（应用数学专业论文）多元时间序列的滞后协整分析.pdf

中文摘要 将非平稳时间序列转化为平稳时间序列的方法主要有三个。一是从时间序列 里去掉趋势项和周期项等函数项( 减去函数项) ；二是将时间序列进行差分( 序列 自己前后相减) ，三是建立协整关系( 与另外的序列相减) 。g r a n g e r 通过引入协 整概念指出，含有非平稳随机变量的宏观经济模型同样可以建立平稳关系，而且 其结果在统计学上是合理的，这从根本上改变了现在宏观经济关系经验模型的建 立方式。 传统协整关系的讨论，无论是针对单整分量还是分整分量，无论是线性协整 还是非线性协整，均有一个共同的特征，即仅仅针对同期向量序列讨论协整关系， 并没有考虑到不同时期的向量序列之间的协整关系。而同期变量之间的协整关系 检验可能会被拒绝，或虽然协整关系存在，但是拟合效果欠佳，此时仍然无法很 好地揭示变量之间的长期均衡关系。 本文试图结合多元分析及时序的协整分析和滞后分析，建立时序的滞后协整 分析，并对多元时序系统建立综合分析模型，以期更好地进行预测与控制。 本文首先阐述时间序列协整的一般概念和研究现状，包括向量平稳时间序列 模型、非平稳随机过程与单整序列、分整序列及统计性质、单位根过程、有单位 根的向量自回归、协整与误差校正模型、向量误差校正表示( v c m ) 、协整向量的 估计和检验、协整向量己知时协整的检验、系统方程协整向量的估计和检验、向 量滑动平均协整的含义、向量自回归表示的协整含义、广义协整等。在阐述清楚 这些基本概念以后，我们建立了滞后协整概念，讨论了滞后协整参数估计方法， 包括滞后协整参数的最小二乘估计与极大似然估计，还讨论了滞后协整检验问 题，包括基于最小二乘估计的滞后协整检验、基于极大似然估计的滞后协整检验， 以及j o h a n s e n 检验。我们接着讨论了滞后协整与a d l 模型、自回归分布滞后模 型、几何滞后模型的k o y c k 变换及估计、有限多项式滞后回归等理论问题。 最后本文建立了多元时序和滞后协整混合预测模型，应用该模型对居民消费 价格指数进行趋势预测。实际结果表明该模型具有其他预测模型难以比拟的优越 性，并具有良好的应用前景。 关键词： 向量自回归( v a r ) ，滞后协整，误差校正模型，多重共线性 a b s t r a c t g e n e r a l l ys p e a k i n g , al a r g en u m b e ro fe m p i r i c a lr e s e a r c h e so nm a c r o e c o n o m i c s a n df i n a n c e e c o n o m i c sa r et a k e ni l lt i m es e r i e s a n dn o n s t a t i o n a r i t yh a sa l r e a d yb e e n g e n e r a lc h a r a c t e r i s t i co fm a n yt i m es e r i e si nm a c r o e c o n o m i c sa n df i n a n c e e c o n o m i c s t h e r ea t et h r e ea p p r o a c h e st h a tc a nt r a n s f o r mn o n s t a t i o n a r yt i m es e r i e si n t os t a t i o n a r y t i m es e r i e s o n ea p p r o a c hi st ot a k ef u n c t i o ni t e ms u c ha st r e n di t e ma n dp e r i o di t e m f r o mt h ee x p r e s s i o no ft i m es e r i e s o n ea p p r o a c hi st om a k ed i f f e r e n c et ot i m es e r i e s t h eo t h e ra p p r o a c hi st ob u i l dt h ec o i n t e g r a t i o nr e l a t i o nb e t w e e ns e l fa n do t h e rt i m e s e r i e s w i t ha ni n t r o d u c t i o nt oc o i n t e g r a t i o n ，g r a n g e rp r o p o s e dt h a tw es h o u l d c o n s t r u c tt h es t a t i o n a r y r e l a t i o n s h i pa m o n gn o n s t a t i o n a r yr a n d o mv a r i a b l e si nt h e m a c r o - e c o n o m i c sm o d e l s ，a n di t sr e s u l ti sr a t i o n a li ns t a t i s t i c s t h es u g g e s t i o nh a s r a d i c a l l yc h a n g e dt h em o d eo ff o r m i n gm a c r o e c o n o m i c se x p e r i e n c em o d e l s h o w e v e rt h ed i s c u s s i o na b o u tt h et r a d i t i o n a lc o i n t e g r a t i o nh a sac o m m o nt r a i t ， w h e t h e ri ti so v e ri n t e g r a t i o nc o m p o n e n t ，f r a c t i o n a li n t e g r a t i o n ，l i n e a rc o i n t e g r a t i o no r n o n l i n e a rc o i n t e g r a t i o n i to n l yr e f e r st ov e c t o rs e r i e si nt h es a n l ep e r i o d ，n o tv e c t o r s e r i e si nt h ed i f f e r e n tp e r i o d t h ec o i n t e g r a t i o nt e s tw o u l db er e f u s e df o rt h ev a r i a b l e s i nt h es a m ep e r i o d ，o rt h r o u 【g i lt h e i rc o i n t e g r a t i o ne x i s t s ，t h ef i t t i n gr e s u l tw o u l db en o t g o o d f i n a l l yw ec o u l d n ty e tr e v e a lt h el o n gs t a t i o n a r yr e l a t i o n s h i pa m o n gt h e v a r i a b l e s h a v i n gs y n t h e s i z e dm u l t i v a r i a t es t a t i s t i ca n a l y s i s ，c o i n t e g r a t i o na n a l y s i sa n dl a g a n a l y s i so ft i m es e r i e s ，t h ep a p e rt a k e sa n a l y s i so fl a gc o i n t e g r a t i o na n dc o n s t r u c t st h e s y n t h e t i c a lm o d e lf o rm u l t i v a r i a t et i m es e r i e ss y s t e mi no r d e rt og e tg o o df o r e c a s ta n d c o n t r o le f f e c t f i n a l l yw eb u i l dam i x e da l e r tm o d e lt h r o l 】i g hm u l t i v a r i a t es t a t i s t i ca n a l y s i sa n d l a gc o i n t e g r a t i o nt of o r e c a s tt h et r e n do fc o m m o d i t yp r i c e i nf a c tt h em o d e li sm u c h m o r ea s c e n d a n tt h a nt h eo t h e rm o d e l si nf o r e c a s t i n g ，a n di tc a nb ea p p l i e di nm a n y f i e l d s k e yw o r d s ：v e c t o ra u t o r e g r e s s i o n ，l a gc o i n t e g r a t i o n ，e r r o rc o r r e c t i o nm o d e l ， m u l t i c o l l i n e a r i t y u 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：妄i 敦冬日期。2 = 鱼6 6 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 研究生签名：言：盘公导师签名：t 耋丝及同期! z 二墨= 乡 武汉理工大学硕士论文 绪论 时间序列分析是一种重要的现代统计分析和建模方法。时间序列分析不仅 可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻划某一现象与其 他现象之间的内在数量关系及其变化规律性，而且运用时序模型还可以预测和 控制现象的未来行为，修正或重新设计系统以达到利用和改造客观之目的。统 计学所研究和处理的是有实际背景的数据，尽管数据的背景和类型各不相同， 但从数据的形成来看，无非是横剖面数据和纵剖面数据两类( 或者叫做静态数 据和动态数据) 。横剖面数据是由若干相关现象在某一时点上所处的状态组成 的，它反映一定时间、地点等客观条件下诸相关现象之间存在的内在数值联系。 研究这种数据结构的统计方法是多元统计分析。纵剖面数据是由某一现象或若 干现象在不同时刻上的状态所形成的数据，它反映的是现象以及现象之间关系 的发展变化规律性。研究这种数据的统计方法就是时间序列分析。 时序分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法，是统 计学科的一个分支。其基本思想是根据系统的有限长度的运行记录( 观察数据) ， 建立能够比较精确地反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并借 以对系统的未来行为进行预报。概括起来，时序分析的作用主要有以下几个方 面： 1 对理论性模型与数据进行适度检验，以讨论模型是否能正确地表示所观 测的现象。 2 刻划系统所处的状态及其结构性，从而达到认识和解释系统之目的。 3 描述系统的运行规律性，从而达到认识规律和掌握规律性之目的。 4 预测系统的未来行为，从而达到利用规律之目的。 5 控制系统的未来行为，从而达到利用和支配系统之目的。 时间序列中客观存在的内在规律性，是人们可以根据时间序列认识系统运 行规律和预测其未来惫势的根本原因；发现内在规律性是时间序列分析的主要 内容。在对时问序列进行具体分析时，应根据所掌握的信息建立相应的模型， 寻找出具体的内在规律性。如果既有输出变量的信息x 。，又有输入变量的信息 w t ，则可以考虑建立以下模型： x ，i 妒。彬+ 妒1 形一l + 妒2 彤一2 + + q 并设法求出妒，及e ，对z ，的影响；如果无法取得输入变量w t 的信息，那么，我 们只能依据输出变量自身的信息来建立模型，这就是单变量时间序列分析问题。 武汉理工大学硕士论文 此时，若时问序列是平稳的，则可考虑自回归模型( a u t or e g r e s s i v em o d e l ) ， 简称a r 模型，移动平均模型( m o v i n ga v e r a g em o d e l ) 简称姒模型，自回归 移动平均模型( a u t or e g r e s s i v em o v i n ga v e r a g em o d e l ) 简称a r m a 模型以及 自回归积分移动平均模型( a u t o r e g r e s s i v ei n t e g r a t e dm o v i n ga v e r a g e ) 。 a r ( p ) 即p 阶自回归模型为： 暑妒 1 + q h x , 一2 + + 妒，薯一p + f f h i a ( q ) 即q 阶移动平均模型为： 薯l + b q l + 巴q 一2 + + 吒一9 a r i m a ( p ，d ，q ) 即d 阶差分p 阶自回归q 阶移动平均模型为： 妒( ) ( 1 一) 。一o ( l ) ， 显然，从模型形式上可以直观地看出，a r 模型描述的是系统对过去自身状 态的记忆，m a 模型描述的是系统对过去时刻进入系统的噪声的记忆，而a r m a 模 型则是系统对过去自身状态以及各时刻进入的噪声的记忆。事实上，上述各种 模型，包括a r i m a 在内，都可以概括成如下结构： 本文组织结构如下： 第一章介绍多元平稳时间序列模型，从平稳自回归移动平均模型入手，侧 重介绍多元时序与回归混合模型；第二章讨论了一般协整模型，包括向量误差 校正模型及向量自回归模型，以及它们之问的相互联系；第三章讨论了滞后协 整分析以及a d l 模型，给出了在滞后协整模型中因引入了滞后变量后有可能会 引起的多重共线性问题及解决办法；第四章对城镇居民生活费支出和可支配收 入作出了基于协整的实证分析。第五章是结论和建议，并指出有待进一步研究 的问题。 2 武汉理工大学硕士论文 第一章多元平稳时序模型 1 1 自回归移动平均模型a r m a ( p ，碍) 1 1 1a r m a p ，q ) 模型及其性质 ( 1 ) a r m a ( p ，q ) 模型 时序变量与自身之间的关系a r 0 ) 模型和与白噪声之间的关系m a ( q ) 模 型，结合起来一个很自然的延伸就是要讨论时序变量同时与自身和白噪声的关 系，这就是自回归移动平均模型a r m a ( p ，g ) 。 可以想见，自回归移动平均模型的基本形式应该是 置一艺p 一j + a j e t - ， ( 1 1 ) j - 1 j 。” 其中自噪声岛一研( o ，口2 ) ，a o - 1 , p p a 口，0 ，同时我们继续强调本章本节的时 间t 取值为整数。 如果对系数p 和a ，没有限制，那么序列可能不平稳。为了使序列满足平稳 性，我们类似于a r o ) 模型和m a ( q ) 模型假定两个特征多项式在单位圆内没有 根： p 口 l 一p ，z 7 ，o ，艺a ，z 7 0 lz l 为a r m a ( p ，q ) 序列。 ( 2 ) a r m a ( p ，目) 模型的平稳解 将( 1 1 ) 的x ，项归并到一边，也可以将模型基本式写为： 以一p ，蜀一一a f t - j ( 1 3 ) 武汉理工大学硕士论文 在模型系数满足( 1 2 ) 的条件下， 可以唯一解出x ，与 ，之间的关系： x f 一芝妒，q 一， ( 1 4 ) j - 0 这个式子表示了模型的平稳解，并且称缈t ) 为 墨 的w o l d 系数。这个式子也 还是反映了平稳的a r m a o ，q ) 模型与无穷阶的移动平均模型之间的转换关系。 由于a r m a ( p ，q ) 模型解的平稳性，类似a r ( p ) 模型的情况，我们可以利 用白噪声 ， 和模型系数，递推产生a r m a ( p ，q ) 序列。取初值 y o k = y 口- l 一0 ，然后利用模型递推出序列 k ，： kt p ，k 一，+ a ，g t - ，f p ，p + 卜，m + n ( 1 5 ) y - 1y - o 取适当的m ，令 盖j ；z 。+ f ，t t l ，2 ，以 ( 1 6 ) 则可以将 置 视为所需要的a r m a ( p ，牙) 序列。和a r ( p ) 序列的产生一样，当 特征多项式有靠近单位圆的根时，m 要适当加大。 o ) a r m a ( p ，q ) 模型的自协方差函数 从、0 l d 系数表示式知道a r m a o ，q ) j 事歹l j x ，) 的自协方差函数与序列初值 没有关系，而只与模型参数有关，并且可以由w o l d 系数 妒， 表示： “r o t 2 邺p ，“，k - - 0 ( 1 7 ) j u 利用a r m a ( p ，q ) 模型的参数伽j ) 、似，计算w o l d 系数 妒，) 时，可以采用递推 方法。首先取1 ；f r o 。1 ，然后依下式逐步递推： 垆”耋风，m 2 ，3 ， 并且规定若，) q 时则a j 一0 ；若，c o 时则妒，；o 。 ( 4 ) a r m a ( p ，q ) 模型的y u l e - w a l k e r 方程 满足平稳性条件的a r m a ( p ，q ) 序列和自协方差函数仃。 ， 4 ( 1 8 ) 也可以得到 武汉理工大学硕士论文 y u l e w a l k e r 方程： y q + l y q + 2 ： ( 1 9 ) 可以证明上述线性方程组的系数矩阵可逆，于是参数伽， 可以由y o ，y 1 ，y 。+ ， 唯一确定。 。 在模型参数扣，唯一确定后，根据( 1 3 ) ，左边的序列也唯一确定，并且 是一个u a ( q ) 序列： k 一墨一p ，j h 一芝a ， 一， ( 1 1 0 ) t - 1 - o 它的自协方差函数仃， ) 是g 后截尾的。x c l ki s 碍，由于y y ) ；e 暇k t ) ，所 以有： r ，c 七，一蓑e ( x , - j x , _ k _ l ，薹霪p ，p ，r “。一， c - t ， 其中p o 一1 。在确定了派生模型的自协方差函数 y y 0 ) ) 以后，根据m a ( q ) 模 型知识，就可以唯一确定a r m a ( p ，q ) 模型中的参数协， 。 ( 5 ) a r m a ( p ，g ) 的谱密度 a r m a ( p ，g ) 序列的自协方差函数是绝对可和的，其谱密度也是有理谱密度 为 触1 1 弘m m ( 6 ) 可逆的a r m a ( p ，呼) 模型 前面( 1 2 ) 式对a r m a ( p ，可) 平稳性的条件要求是iz k l 时特征多项式无根。 如果进一步要求特征多项式在单位圆上也无根，即 1 + 蔓中7 地i z i 虬 ( 1 1 3 ) ，- 】 则称a r m a ( p ，窜) 模型为可逆的a r m a 模型，相应的平稳解为可逆的a r m a 序 n m ；以 iiiiiiii八 “ 砣 叩? ：托 加朋 ， 之 * 峰： r t 一 ? ： 叩 y m 2 胁 p 。芝 ，云 _ 武汉理工大学硕士论文 列。此时我们可以从( 1 3 ) 或( 1 4 ) 反解出 q 一2 q g j x f 一， ( 1 1 4 ) y - o 表明可逆a r m a 川) 序列和它的白噪声序列可以相互线性表示。 a r m a c o ，哼) 序列以及它的自协方差函数和谱密度图像都可以由d a s c 软 件生成。 1 1 2a r m a ( p ，q ) 模型的参数估计 当我们拿到平稳序列的观测数据- ，石：，x ，后，首先将它平移一个常数， 使均值为零，然后我们拟合a r c o )m a 0 ) 模型。如果这两个模型的拟合效果 都不理想，就要考虑拟合一般的a _ r m a ( p ，g ) 模型： x fa 2 p j x 卜。+ e t + 窆a ，e t - ， ( 1 1 5 ) j - 1y - 1 其中 白) 是白噪声，未知参数芦一( n ，p 2 ，p p ) 和互，( 九，a 2 ，九) 满足 1 - 2 p j z o 1 + 窆a ，z 一0 ，l z l 墨1 ( 1 1 6 ) - 1 j - 1 并且两个特征多项式没有公共根。我们假定a r m a ( p ，g ) 模型阶数p ，q 均已知， 它的参数估计的方法比较成熟实用的有矩估计和最小二乘估计。 ( 1 ) 基于自协方差函数的矩估计方法 从( 1 3 2 9 ) 式知道序列的自协方差函数满足y u l e w a l k e r 方程，以自协方 差函数的估计代入，可以证明方程的系数矩阵可逆，于是就得到参数 乃= ( n ，p 2 ，p p ) 的估计： n p 2 ： p p 并且矩估计是唯一的 y q y q 一1。y 口一p + l y q + l y q一y q p + 2 y q + p 一1y q + p 一2 y q 而且是强相合的： 6 y q + l y q + 2 ： ) r q + p ( 1 1 7 ) 武汉理工大学硕士论文 0 氅p 。p j ，们，1 s ，s p ( 1 1 8 ) 在模型参数伽，) 唯一确定后，根据( 1 1 0 ) 构造一个新的序列，它满足m a ( q ) 模型： tt x t - pp ，h ，；妻a 一一， ( 1 1 9 ) 它的自协方差函数可以利用以下公式估计： ，y ( t ) ；p j p f 州 ( 1 2 0 ) 其中p o1 - 1 。在确定了派生模型的自协方差函数移， ) 以后，根据m a ( q ) 模 型参数估计办法，如基于自协方差函数的矩估计、逆相关函数估计、新息估计 等，就可以唯一确定a r m a ( p ，q ) 模型中的参数似， 。 ( 2 ) a r m a ( p ，留) 模型的最d x - 乘估计 和标准的a r ) 模型不一样，a r m a ( p ，g ) 模型里的残差不止一项，所以如 果要利用最小二乘方法，使残差的平方和达到最小，需要首先估计出模型里的 白噪声序列矗， 。我们采用二步估计法。第一步对观测数据建立a r ( p ) 模型： x t 一艺p i xc - j t h 2 1 ) 使用a r ( p ) 模型的估计方法估计出参数( a ，p 2 ，p 。) ，然后计算出残差： t x t 一艺p 札，f = p + 1 , p + 2 ， “2 2 ) 有了残差的估计，我们进行第二步，写出完整的a r m a ( p ，牙) 模型： 而；兰p ，_ 一+ 妻a ，t 一，+ 岛，f 。l + 1 ，+ 2 ，n ( 1 2 3 ) 这里三一m a x ( p ，q ) ，p ，、a f 是待定参数。然后根据残差平方和写出目标函数： 蛳厕；篁卜一妻p j x t _ ) - qv 叫1 z 4 ， t - l + 1 if - 1j - 1j 7 武汉理 ：大学硕士论文 对q ( 卢，石) 极小化，就得到最小二乘估计声。( a ，多：，p ，) 和 彳= ( 五，毛，t ) 。至于盯2 的最小二乘估计则由下式定义： 毋2 。击q ( 声，工) 一l 。7 注意( 1 2 2 ) 是一个线性模型，可以写成y 。邶+ 的形式： y ，( 并卅，x l + 2 ，x n ) ，卢一( 芦，石) ( 1 2 5 ) tx hx l 4 x l ，p n l l _ 1 x - i 誓“誓矗- p + ：6 1 “0 i ： ： ： x n 一1x n 一2 x n pe n - i n 2 其中y 向量有( 一三) 个分量，芦向量有 + q ) 个分量， 矩阵。 最小二乘估计为： p q x 、一1 x y 这是我们在回归分析里非常熟悉的形式。 1 + 1 g 2 ： e n q ( 1 2 6 ) x 是( 一工) x ( p + q ) 的 ( 1 2 7 ) 算例a r m a ( p ，q ) 模型参数最小二乘估计 与a r q , ) 模型类似，a r m a ( p ，q ) 模型参数的最小二乘估计的数据准备比较 简单一些，结果相对于其它估计一般也比较准确一些。同样我们注意三个序列， 一个是原始观测数据序列 x 。 ，一个是拟合数据序列 膏， ，一个是残差估计序 列融 ，它们之间也满足三个关系。根据新息估计的思想，有关系式 i l ；x t x t 根据a r m a 模型，有关系式 p4 x t 一艺p x 1 j + ”艺婶叫 ，- 1i - 1 根据最佳拟合要求，有关系式 罗( 石，一耍，) 2 - m i n j - ， 武汉理工大学硕士论文 这样就可以完成编程计算。具体计算数据和结果见d a s c 软件。图1 2 1 是算例 的拟合图像。 图1 1 1 1 3a r m a 0 ，口) 模型的检验 在得到a r m a ( p ，q ) 模型的参数估计后，还需要对模型进行检验。首先我们 要检验模型的平稳性和合理性，即要检验估计的参数满足模型平稳性条件，然 后对取定的初值 x 0 一并一1 一- ，x - p + l 一手。一一亭一口+ 1 。0 递推计算模型的残差 口口 矗t 坼一艺p ，x t - f + 茏互，t 一，f 一1 ，2 ( 1 2 8 ) 1 - 1 ，- 1 取研一o ( n 1 3 ) 和m m a x ( p ，g ) 如果残差 t ，t = 所，m + 1 ，n ( 1 2 9 ) 可以通过白噪声的检验，就认为模型合适，否则寻找其他的模型。 对于实际样本数据，参数( p ，牙) 往往未知，但是可以知道阶数的大约范围。 我们可以在这个范围内对每一对( p ，q ) 建靠_ a r m a ( p ，q ) 模型，如果某一个模型 可以通过检验，就把这个模型留做备用。然后在所有备用的模型中选出p + q 最 小的个模型。也可以在所有的备用模型中，采用下面的a i c 定阶方法，最后 确定一个模型。 武汉理工大学硕士论文 1 1 4a r m a ( p ，口) 模型的定阶问题 a r m a 模型的a i c 定阶方法和a r 模型的a i c 定阶方法相同。如果已知p 的上界蜀和q 的上界a o ，对于每一对 ，) ，0 s k e o ，0 s ，s q 。计算a i c 函 数 a 取_ i ，) 。l n p 2 ，) ) + 型磐 ( 1 3 0 ) v a i c ( k ，) 的最小值点 ，毒) 称为( p ，口) 的a i c 定阶。 a i c 定阶主要考虑的是使白噪声方差盯2 的估计6 2 达到最小值，但是为什么 要添加第二项2 ( k + j ) n 呢? 原来，虽然d 2 越小表示模型拟合的越精确，但是 只要模型阶数增高，总会使残差方差彦2 进一步减小。这样看，如果准则里只有 第一项而没有第二项，a i c 函数可能就总是单调递减的。这样就会使模型阶数定 得特别高，导致较多的待估参数，使建立的模型关于数据过于敏感，降低模型 的稳健性。现在有了第二项，它会随着阶数的增高逐步增大，a i c 函数就会在一 个适当的点取得最小值。 如果我们将准则中的2 ( k + ，) 改为 + j ) l n n n 就得到b i c 传，j ) 定阶 准则。由于他+ j ) l n n n 比2 + j ) n 要大，只有第一项l n 毋2 需要取得更小的 值才能使整个函数取得最小值，所以b i c 准则比a i c 准则定的阶要高一些。我 们知道，阶数太高会造成模型不稳定，但是阶数太低也不好，它会使模型误差 较大。 1 2 多元平稳时序模型 1 2 1 多元平稳时序一般概念 经济现象往往都是多个变量互相联系，经济变量往往又都是纵向时序数据， 这就提出了多元时序问题。同样的，我们先研究多元平稳时序。研究的思路还 是平稳性条件、自协方差函数、谱密度、参数估计、阶数估计等。 设有m 元时序 1 0 武汉理工大学硕士论文 j f ；( x l f ，x2 r ，x f ) ( 1 3 1 ) 我们继续约定t 是整数。我们定义它的期望为一个向量： e ( x f ) 一面一( e ( x 1 f ) ，e ( x 2 f ) ，e ( x 。f ) ) 一( 胞，2 ，m ) ( 1 3 2 ) 定义它的自协方差函数为一个矩阵： ( 私) 一e 【暖，“一面) ( 置一面) 】。( 托( 七) ) ( 1 3 3 ) 如果多元时序的期望向量和自协方差函数矩阵都与f 无关，则称该时序为多元平 稳时序。 ： 。 还可以定义多元平稳时序的自相关系数： 叶， 卜丽r s j ( k ) 3 4 ) 称 r ( k ) 一以， ) ) 。 ( 1 3 5 ) 为多元时序 j ， 的自相关系数矩阵。 多元平稳序列的自协方差函数有如下的基本性质： ( 1 ) 对称性：a ( 一七) ；d ) ； ( 2 ) s c h w a r z 不等式：iy i j ) k 【y f f ( o ) y j j ( o ) 】1 佗； ( 3 ) 非负定性；对任何m 元实向量y 1 ，y 2 ，y 。，有 荟荟) ，麟一m o n 3 6 还可以定义肌元零均值白噪声孑；( 8 l ，8 2 ，。) ，它的每一个分量都是自 噪声： 孑w ( o , a 2 j 。) 一8 ，一w ( o , a 2 ) ，i ；1 ，2 ，m ，且独立 多元移动平均模型是试图建立坍元时序拉， 与m 元白噪声幢，之间的线性 关系。模型的基本式为： 只= 互+ 人l 云一。+ a 2 云一：+ + a q 乏1 ( 1 3 7 ) 平稳性条件为 d e t ( 1 。+ a l z + a 2 2 2 + + a 口z 9 ) 0 ， l z l 1 ( 1 3 8 ) 武汉理工大学硕士论文 若模型系数矩阵进一步满足 d e t ( i 。+ a l z + a 2 2 24 - - + a 。z 9 ) 一0 ，i z l l ( 1 3 9 ) 则称该m a ( q ) 序列可逆。 一元自回归模型a r ) 推广到多元是向量自回归模型v a r ( p ) 。 1 2 2 多元平稳序列的均值和自协方差函数的估计 设 置 是埘元平稳序列，j 1 ，j 2 ，j 是观测值，均值厅一e ( 丘) 的点估 计定义为 蔚娟，鼢一以卜专n n 加 如果 毫) 的每个分量序列 x y t ) ，j 一1 ，2 ，m 都是严平稳遍历序列，则当 _ 时， 豆犀，口j ( 1 4 1 ) 牙。) 的自协方差函数矩阵钟) 的估计为 6 ) 万1 “刍- x ( z - m 一氨) ( j t 一五) 7 ，o 七董一1 ( 1 4 2 ) 而6 ( 一女) 一台 ) 。 如果用店j ) 表示方阵自露) 的第o ，) 元素，则相关系数_ ) 的估计是 矗 ) 4 而f 丽q ( k ) i ij 而j ( 1 4 3 ) 、y l w yl w 自相关系数矩阵的估计是 盖 ) 一( t ，( j ) ) ( 1 4 4 ) 利用严平稳序列的遍历定理可以证明这些估计的收敛性，当n 一* 时， 6 ) 一g ( ) ，a 3 ，袁( 女) 一n ( k ) ，口丑。 1 2 3 向量自回归模型v a r ( p 1 武汉理工大学硕士论文 为 向量自回归模型是试图建立多元平稳序列内部的线性滞后关系，其基本式 j i t - 艺p i 孟t j + ；t ( l 4 5 ) 其中 己 是册元白噪声形( o 盯2 ，。) ，毋，芝，匕是m x 研实矩阵。模型的平稳 性条件是 d e t ( k 一差弓z 7 ) 一。，k i s ，c ，4 s ， 因为是向量自回归( v e c t o ra u t o r e g r e s s i o n ) 模型，所以简称为v a r 0 ) 模型。 如同一元的a r 佃) 模型一样，v a r p ) 模型有其平稳解： j r 。肛+ 善f ，瓦一， ( 1 4 7 ) 镯。 设零均值的向量自回归模v h r ( p ) 序列的自协方差函数是鳅) ，我们也能 d ( 1 ) g ( 2 ) ： g ) g謦量吲2u(p-1)2至 ( 1 )g ( 0 )g ( p 一) l l 爿 g o 一) g ( 0 ) j i ( 1 4 8 ) 当序列的协方差矩阵正定时，可以由这个方程唯一解出模型系数日，马，巴。 这样解出来的估计属于矩估计。 v a r ( p ) 模型还有最小二乘估计。假设给定的脚元序列观测值 j 1 ，x 2 ，工满足v a r ( p ) 模型基本式( 1 4 5 ) ，将其转置得 口 牙；一膏o j e t + 彭，f p + l , p + 2 ，n ( 1 4 9 ) j - 1 它可以写成y ；邶+ 的形式： 武汉理工大学硕士论文 y 宣x ， 影爿- ，i 。j j i “毒引芦。 j - 2 t 一，乏一j 一 弘 e p + l 4 ， e p + 2 ： 其中l ，和f 都是o - p ) x m 矩阵，工是0 一p ) x m p 矩阵，卢是m p m 矩阵。当工 列向量线性无关时，口有最小二乘解： 夕一僻x ) 以x y ( 1 5 0 ) 算例格兰杰检验与脉冲响应函数 格兰杰检验也称因果检验，其基本思想是要检验在多元时序模型中变量之间 是否存在某种因果关系( c a u s a l i t y ) 。例如，美国二战以后的经济衰退被归咎于 石油价格急剧增长，到底是不是呢? 我们考虑两个变量，y 1 = g n p ，y 2 = 石油 价格，y 一( y 1 ，y 2 ) 7 ，建立一个简单的v a r 模型： 豆5 ( _ ：) + ( 客；i ) 歹r 一- + ( ；：) 为了推断石油价格与g n p 之间的因果关系，我们需要检验a ，是否为0 。 一般情况下，我们将模型写成 盼( 圳蓉烈洲剖 注意现在的y l , y 2 本身就可以是多元的，x 1 , x 2 是它们各自的滞后值。如果我们 要考虑x 2 与y 1 是否构成因果关系，那就分别计算s 1 1 与s 1 1 ( o ) ，这里s 1 1 是y 1 对 x 1 ，石2 回归后的残差矩阵，s l l ( o ) 是y 1 对曲回归后的残差矩阵，似然比检验统计 量是 a t o n i $ 1 1 ( o ) i l s 】1d 其中t 是序列滞后的阶数，l s l l ( o ) l 与l s l li 代表对矩阵取行列式。a 有渐近z 2 分 布，自由度为零约束的个数。 这只是一种格兰杰检验的叙述。事实上，格兰杰检验已经有多种形式，d a s c 软件里是使用f 检验的形式。下面的例数据采自参考文献【3 】。 1 4 武汉理工大学硕士论文 n o y 1y 2 n o y 1y 2 n 0 h y 2 16 14 21 42 32 92 762 0 2811 53 13 62 83 73 5 3 11 l 1 63 1 8 2 91 2 6 44 1 21 73 34 33 02 54 5 53 01 61 81 43 13 11 62 5 614 11 92 62 93 23 96 74 51 42 0783 32 33 2 81 71 72 1693 493 0 9 22 6 2 242 3 551 0 1 01 7，2 02 31 32 03 616 1 11 61 02 44。1 03 72 46 1 2 4 1 1 2 5653 81 91 2 1 382 32 651 样本总数为7 6 ，我们使用前7 1 个数据，时序自回归最高阶数p = 4 ，多元 时序变量个数( 方程个数) m = 2 ，有效样本容量为7 1 4 = 6 7 。下面是计算机 输出的主要计算结果。 明确要检验的因果关系：要检验的原因变量序号i = 1 ，要检验的结果变量 序号j = 1 。 不加零约束的回归系数：8 5 0 8 0 0 5 90 2 4 60 1 6 90 0 4 30 1 3 7 0 2 4 60 3 0 3 0 0 5 0 回归平方和：4 2 4 6 6 5残差平方和： 7 1 8 0 0 9 误差方差估计：2 8 7 2 0 3全相关系数：0 6 0 9 6 2 4 不加零约束的残差平方和：7 1 8 0 0 9 ，误差方差估计：2 8 7 2 0 3 加零约束的回归系数：8 8 5 20 3 0 40 0 5 70 2 6 10 1 0 9 回归平方和：2 8 8 4 1 8残差平方和：8 5 4 2 5 6 误差方差估计：2 9 4 5 7 1全相关系数：0 5 0 2 4 加零约束的残差平方和：8 5 4 2 5 6 ，误差方差的估计：2 9 4 5 7 1 格兰杰检验统计量凡：1 1 8 5 9 8 ，f 检验的显著性水平q = 0 0 5 f 检验( 自由度1 3 7 1 5 9 8 8 ，2 9 ) 的临界值：2 7 0 1 4 1 1 8 5 9 8 = 2 7 0 1 4 ，不拒绝零假设，因果关系不存在 拟合效果图见图1 3 3 1 。计算结束。 脉冲响应分析是研究变量间动态影响关系的一种方法。设置为多元时序向 量，p 阶v a r 模型( 1 4 5 ) 在满足( 1 4 6 ) 条件下可以表示成移动平均模型 ( 1 4 7 ) 。 j ，= 面+ ，t 己础 七一0 武汉理工大学硕士论文 图1 2 将z 随时间t 的变化视为一个系统的演变，在经过较长时间之后，系统将趋 于平稳。现在我们考虑通过f 的改变给系统注入个冲击，那么系统将偏离平稳， 经过一段时间，系统将恢复平稳。脉冲响应函数( i m p u ls er e s p o n s ef u n c t i o n ， i r f ) 就是用于衡量来自己的一个标准冲击对丘的影响的变动，它能够比较直 观地刻画出变量之间的动态交互作用及其效应。脉冲响应函数的估计比较复杂。 假设了系统只受一个变量的冲击，不受其他变量的冲击，也就是说假设了误差 向量岛的各分量之间不相关，那么系数矩阵f 第i 行第，列元素表示第i 个随机 扰动对由系统变量，产生的单位冲击的k 期滞后反映。如果上述假设不成立，如 为误差向量f ，不是标准的白噪声，它的各分量之问是相关的，即误差向量的协 方差矩阵q 不是对角阵，那么需要进行一定变换。误差向量的协方差矩阵d 是 正定的，因此存在一个非奇异阵q 使得q q7 ；d ，于是v a r 模型可以表示为： j f 一声+ 伊t q ) ”e t - k ) 一面+ 伊女q ) 0 3 t - k 硒k 一- o 经过变换，原误差向量五变成标准的向量白噪声西，所以系数矩阵f ，q 的第i 行 j 列元素表示系统中变量i 对变量j 的一个标准误差的正交化冲击的k 期脉冲影 响。这些可以使用d a s c 软件计算出来。 1 2 4 交互影响的多元回归与多元时序混合模型 本段介绍我们提出的交互影响的多元回归与多元时序混合模型。我们知道 武汉理工大学硕士论文 回归分析是寻找一个变量与另外一些变量的关系，时序分析则是寻找一个变量 的当前值与过去值之间的关系。前一段介绍的向量自回归模型，如果展开成一 个一个的方程，它的右边完全没有出现其它变量的当前值，这不能不说是一个 缺陷。 ( 1 ) 模型概述 我们提出的模型可以表述为： y f 摹a + 0 0 y f + e 1 y f 1 + 0 2 y t 一2 + o p y l i p + 占l ( 1 5 1 ) 这里0 。是一主对角线为0 的h 雄阶矩阵a 将上述方程展开是： 0 如1 2 1 ，i 嘞2 l 0 翻 l l 0 ( 1 5 2 ) y 哥d 1 + 0 y k + 1 2 ) ，2 f + + 铴h y n f + q 1 1 y