（计算数学专业论文）带形状参数的有理coons曲面的构造.pdf

硕士学位论文 摘要 摘要 c o o n s 曲面方法是1 9 6 4 年由c o o n s 提出的自由型曲面设计方法， 得到很高的学术界评价。与b 6 z i e r 曲面，b 样条曲面相比，c o o n s 曲 面的表达式更为简洁，它是通过控制函数来调控整个曲面的形状与趋 向，而非逐个修改控制顶点。双三次c o o n s 曲面片已经在工程上得到 了应用，本文针对c o o n s 曲面进行了拓展研究。本文主要工作如下： 第一章简单介绍本文的研究背景，并给出本问的主要研究内容。 第二章阐述了c o o n s 曲面的定义及双三次c o o n s 曲面。第三章主要介 绍由c h e r m i t e 函数构造的c c o o n s 曲面片，c c o o n s 曲面片是双三次 c o o n s 曲面的扩展，它的形状调整依赖于参数口，。当口，声- 0 时， c c o o n s 曲面的极限是双三次c o o n s 曲面。第四章给出了两组带形状 参数a 的有理混合函数，并分析了这些函数的性质。基于这些含有参 数的有理混合函数，定义了两种带形状参数的有理c o o n s 曲面，分别 称之为r b f l c o o n s 曲面和r b f 2 c o o n s 曲面。这些曲面不仅具有 c o o n s 曲面的良好边界插值性质，还可以通过调整参数a 的值来改变 曲面内部的形状，并讨论了参数 ，屯对曲面内部凹凸的影响。 关键词：c o o n s 曲面，形状参数，混合函数，h e r m i t e 函数 a b s i r a c i m e t h o d so fc o o n ss u r f a c e si st h et e c h n o l o g ya b o u tf r e ec u r v e sa n d s u r f a c e sd e s i g nw h i c hw a sa d o p t e db yc o o n si n1 9 6 4 ，a n di th a sb e e n e v a l u a t e dh i g hb yt h ea c a d e m i cc o m m u n i t y c o m p a r i n gt ob 6 z i e r s u r f a c e sa n db - s p l i n es u r f a c e s ，t h ee x p r e s s i o no fc o o n ss u r f a c e sa r em o r e s i m p l e i tc a na d j u s tt h es h a p e so ft h ee n t i r es u r f a c e st h r o u g hc h a n g i n g t h ec o n t r o lf u n c t i o ni n s t e a do fa m e n d i n ge v e r yp o i n t c o o n sb i c u b i c s u r f a c eh a sb e e na p p l i e do nt h ep r o j e c t c o o n sb i c u b i es u r f a c e sa r e a n a l y z e dw i t he x p a n s i o ni nt h i sp a p e r t h ep a p e rf o c u s e so nt h ep r o b l e m a sf o l l o w s ： f i r s t l y ，t h er e s e a r c hb a c k g r o u n di si n t r o d u c e di nt h ec h a p t e ro n e ，a n d t h em a i nc o n t e n t so ft h i st h e s i sa r eg i v e n s e c o n d l yi nt h ec h a p t e rt w ow e p r e s e n tt h e d e f i n i t i o no fc o o n ss u r f a c ea n dc o o n sb i c u b i cs u r f a c e t h i r d l yan e wt y p ec o o n sp a t c hc a l l e dc - c o o n sp a t c hc o n s t r u c t e db y c - h e r m i t eb l e n d i n gf u n c t i o n si sd i s c u s s e di nt h ec h a p t e rt h r e e c - c o o n s p a t c hp r e s e n t sa l le x t e n s i o no f b i c u b i cc o o n sp a t c h i t ss h a p ed e p e n d s o nt w op a r a m e t e r s a p ，a n dt h el i m i t i n gc a s ef o ra ，- 0 i sb i c u b i e c o o n sp a t c h a tl a s tt w oc l a s s e so fr a t i o n a lb l e n d i n gf u n c t i o n sw i t hap a r a m e t e r aa r ep r e s e n t e di nt h ec h a p t e rf o u r t h ep r o p e r t i e so ft h i sn e wb a s i sa r e a n a l y z e d b a s e do nt h er a t i o n a lb l e n d i n gf u n c t i o n s ，w ed e f i n e dt w o k i n d s o fr a t i o n a lc o o n ss u r f a c e sw i t hs h a p ec o n t r o lp a r a m e t e r s ，w h i c ha r e n a m e dr b f l c o o n ss u r f a c ea n dr b f2 - c o o n ss u r f a c e t h e s es u r f a c e s n o t o n l yi n h e r i tt h em o s tp r o p e r t i e so fc o o n ss u r f a c e s ，b u ta l s o c a na d j u s t t h e ks h a p e st h r o u g hc h a n g i n gt h ev a l u e so fp a r a m e t e r s w ea l s od i s c u s s t h e e f f e c to ft w op a r a m e t e r s 九a n dz 2o nt h ei n t e r i o rc o n c a v i t ya n d c o n v e x i t yo f t h eg e n e r a t e ds u r f a c e s k e yw o r d s ：c o o n ss u r f a c e ，s h a p ep a r a m e t e r s ，b l e n d i n gf u n c t i o n ，h e r m i t f u n c t i o n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名：阻 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 作者签名：牲导师签名：坦嗍垃年且月鱼日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论昂一旱殖下匕 计算机辅助几何设计( c o m p u t e r a i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简称g a g d ) ，主要 研究的是曲线和曲面的表示、逼近、分析和综合等如何在计算机中实现的问题， 它是- f l 涉及数学与计算机的边缘学科。它以数学分支学科中的函数逼近论、微 分几何、代数几何、数值分析等作为理论基础。近五十年来，随着航空，汽车等 现代工业的发展与计算机技术的发展与普及，g a g d 逐渐发展成为- f - j 新兴的学 科，其应用范围也从最初的飞机、船舶、汽车的外形设计进一步扩展到包括建筑 设计、生物工程、医疗诊断、地质研究、军事等各个领域。 g a g d 是一门迅速发展的新兴学科，它的出现和发展既是现代工业发展的要求， 又对现代工业的发展起到了巨大的促进作用，自由曲线曲面造型1 1 - 3 1 是g a g d 的一 项重要内容，其核心问题是计算机的表示，即要解决既适合计算机处理，能有效 地满足形状表示与几何设计的要求，由便于形状信息传递和产品数据交换的形状 描述。基于这些要求，自由曲线曲面就成了描述形状信息的主要工具。它起源于 汽车、飞机、船舶、叶轮等外形放样工艺。2 0 世纪6 0 年代c o o n s 、b 6 z i e r 等大 师奠定了其理论基础。1 9 6 4 年，s c h o e n b e r g 首先提出了样条函数的概念【4 l 。1 9 6 3 年美国播音飞机公司的f e r g u s o n 提出了将曲线曲面表示为参数的矢函数的方法， 引入了三次参数样条。样条方法在构造整体达到某种参数连续阶的曲线曲面时非 常方便，但是它没有局部形状调整的自由度，其形状难以预测。 g a g d 中的曲面大致分为两大类：( 1 ) 以b 6 z i e r ，b s p l i n e 曲面为代表的基于控制 网格的曲面，曲面的形状逼近或插值与网格的控制顶点有关。这类曲面的变形主 要依靠改变控制顶点的空间位置，如果曲面的形状比较复杂，控制顶点的数量就 会很庞大，控制顶点的操控就比较困难。 ( 2 ) 以f e r g u s o n , c o o n s ，g o r d o n 曲面 为代表的可以插值于边界曲线或角点，以及边界上若干阶跨界导矢的曲面。这类 曲面通过改变这些边界条件来实现变形，相对与控制网格的曲面而言，基于边界 条件的曲面变形操作起来更为简单易行而且意义直观，曲面的数据量也比较小， 由于可以直接指定边界和跨界导矢，容易实现曲面之间的拼接。第( 2 ) 类曲面 的变形自由度要比第( 1 ) 类小，无法直接构造出形状比较复杂的曲面。但在工 业领域中，由于许多曲面的形状都比较简单的，所以他仍是一种重要的造型手段。 在设计和加工飞机、汽车、船舶、和其他产品的自由曲面时，首先遇到的问 题是一何种数学模型表示这些曲面。在造船业，人们试图用数学函数表达船体的 硕士学位论文 第一章绪论 整张曲面，虽然百年努力而未果。因为船体表面除规则曲面外，尚包含更为复杂 的自由曲面，欲应用单一的数学函数表达如此复杂的曲面几乎是不可能的。若将 整张曲面分解为若干曲面片。每张曲面片由满足给定边界约束的方程表示，则可 简化自由曲面的构造。理论上，采用这种分片技术( p i e c e w i s et e c h n i q u e ) 。任 何复杂曲面都可以由完善定义的曲面片拼合而成。 在c a g d 中，如何提高曲线曲面形状、位置调整的灵活性、交互性和自由度， 一直是各种曲线曲面造型方法需要重点解决的问题之一，有理b 6 z i e r 曲线曲面 和有理b 样条曲线曲面的权因子能起到调整曲线曲面形状的作用1 5 1 ，此外各种 曲线曲面造型方法的扩展问题也成为近来q 惦d 研究中的热点问题，提出了很 多带形状控制因子的曲线曲面构造方法【6 _ ，如b 6 z i e r 曲线曲面的扩展 s - 1 4 l 、b 样条曲线曲面的扩展 1 5 - - 1 、三角b b 曲面的扩展等i 。 c o o n s 曲面方法是6 0 年代由美国麻省理工学院的c o o n s 提出的自由型曲面 设计方法，他在他的著名“小红书 ( 指技术报告a d 6 6 3 5 0 4 ) 里【2 4 1 详细介绍了 他的这一独特的曲面构造方法。c o o n s 是采用了参数方法和分片技术，其方法理 论严密、描述能力强，对自由曲面造型技术的发展具有深远的意义与其他曲面 构造方法不同的是，c o o n s 直接采用可以是任意类型参数曲线的四条边界曲线来 构造曲面。即c o o n s 曲面不是插值边界曲线上有限数据信息，而是插值两组边界 曲线上无限多个点，戈登( g o r d o n ) 称这种方法为超限插值( t r a n s f i n i t e i n t e r p o l a t i o n ) 1 2 5 1 。c o o n s 曲面方法是根据给定的边界条件，即四条边界曲线及 其跨界切矢，跨界二阶导矢等，利用混合函数来构造的一类曲面其特点是允许 四条边界可以是任意类型的参数曲线，可以插值于边界曲线及其跨界切矢，甚至 跨界二阶导矢，所以c o o r s 曲面方法在基于边界插值的自由型曲面设计中得到了 广泛的应用，在车、船、飞机的外形设计等领域中常常用到c o o n s 曲面方法最 近刘海晨等利用三角函数构造的控制函数生成的曲面作为c o o n s 曲面的扩展 i 孙矧，也有学者研究过c o o n s 曲面的扩展 2 9 - 3 0 1 ，本文我们给出了新的c o o n s 曲 面的扩展。对于c o o n s 曲面，除了边界条件( 相容性) 之外，基函数是影响曲面 形状的另一因素。如何构造基函数是值得研究的课题。本文提出了构造基函数来 构造插值曲线曲面的方法。所构造的基函数具有计算简单、稳定，并且带有形状 参数，可以在不改变插值点的条件下灵活地调整插值曲线曲面。 1 2c a g d 中带形状参数的参数曲线曲面造型的发展 随着c a g d 的发展，b 6 z i e r 曲线和b 槎条方法又表现出一些不足之处。比 如：在控制顶点和相应基函数给定的情况下，曲线的形状也就唯一确定，无法再 调整曲线的形状：b 6 z i e r 曲线不能表示除抛物线以外的圆锥曲线；b 样条曲线不 2 硕士学位论文 第一章绪论 能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，而圆弧段等在机械设计和加工等方面都是 极其基本和常用的。于是，有理b 6 z i e r 曲线应运而生。有理b z i e r 曲线可以表 示为： j i i 9 ) - ( x ( f ) ，y o ) ，z o ) ) - 罗县? 9 ) 趸，0 f 1 ， 镯 或删一獭删- ( 鬻，器，鬻) i 等等， 其中钟o ) 为n 次b e m s t e i n 基， r i 一“，y j ，毛) ：l 跚3 ，9 t 3 空间中其次坐标下 的点豆- ( x ；，x ，z ；，劬) 一( 峨t ，皑y 。，q 乙，皑) ，f o 工，万为控制顶点，晟属豆 为控制多边行或b 网格，劬 0 为权因子或权。 有理b 6 z i e r 曲线不仅能表示多项式曲线( 如飞机身上的纵向曲线) ，而且 还能表示圆锥曲线( 如飞机身上的横截曲线) 。有理b 6 z i e r 曲线具有b 6 z i e r 曲 线类似的优美性质，如几何仿射不变性、对称性、凸包性、变差缩减性等，并且 可以退化为b 6 z i e r 曲线。最早提出并研究应用有理参数曲线的是c o o n s 2 4 1 ， r o w i n 3 ，继之有b a l l t 翊，f o r r c s t 3 3 1 ，f a r i n 川，刘鼎元【3 5 l 和汪国昭【矧，王国瑾1 3 7 - 弼j 等。有理b z i e r 曲线通过引入权因子，使得曲线在不改变控制顶点的情况下， 可以通过改变权因子劬的值来调整曲线的逼近控制顶点r 的程度，给曲线的设 计提供里更大的自由空间。 b 6 z i e r 曲线曲面、有理b z i e r 曲线曲面和b 样条曲线曲面等种类繁多的参 数曲线曲面就造成了产品几何定义的唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形 式，很容易造成生产设计管理和信息处理的混乱。为了进一步满足工业界的实际 应用的要求，1 9 7 5 年美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e t 3 9 】首次提出非均匀有理b 样条方法( n u r b s ) 。后来p i g e l 4 1 - 4 6 1 ，t i l l e r t 柏1 ，c h o i t 4 7 】和g r a b o w s k i 钾i 等人对 n u r b s 方法进行里深入的研究，并使n u r b s 方法成为现代曲线曲面造型方法 中最重要而且最为广泛流行的技术。n u r b s 曲线的一般表示形式为： f ( t ) 一( x o ) ，】，( f ) ，z ( f ) ，( f ) ) - 罗j 七( f ) i ，t t f 墨f 。“，刀z k ， 虮肿似州巾炉黜，z 删( t ) ，i 。鬻， 其中佗。纯，y 。，毛) 厶飒3 ，观3 空问中齐次坐标下的点 3 硕士学位论文第一章绪论 巧= ( x ，k ，z ；，o ) i ) 1 ( 皑毛，q y ；，q z 。，q ) ，fz0 工- oo ，n 为控制顶点，亏五为控 制多边行或b 网，q o 为权因子或权。n i jo ) 为相应于参数t 轴上不均匀分割 t = p ， 4 ，- - - o o 。，t is fs t m ，f10 ，1 ，2 ，的七阶b 样条基函数。 n u r b s 方法不仅具有b 样条曲线形状局部可调及连续阶数可调的优点，而 且具有有理b 6 z i e r 曲线可精确表示二次规则曲线曲面，如圆锥曲线的特性，而 其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面局部或整体形状的形状控 制参数，即权因子。使形状更适宜于控制和表现；在权因子或节点向量取某些特 殊值时，可退化为b & i e r 曲线曲面、有理b z i e r 曲线曲面和b 样条曲线曲面。 由于n u r b s 方法具有这些突出优点，1 9 9 1 年国际标准化组织o s o ) 颁布了工业 产品数据交换的s t e p 国际标准，将n u r b s 方法作为工业产品几何形状的唯一 数学定义，从而使n u r b s 方法成为参数曲面造型技术发展趋势中最重要的基础； 而国际上著名的c a d 软件公司也把曲线曲面造型系统首先建立在n u r b s 的数 学模型上。 1 9 8 1 年，b a s k y 的博士论文中提出了b e t a 样条曲线1 4 9 - | ，他把c 2 连续的三 次均匀b 样条松弛为g 2 连续的。假设两条参数曲线分别为：s o ( f ) ，s 。o ) ，0s ts1 ， 它们在连接点处g 2 连续。根据参数曲线的几何连续性，定义： 8 1 ( o ) 1 5 0 ( 1 ) ， 墨1 卢l s o ( 1 ) ， s ；( o ) = 2 s j + l s o ( 1 ) ， 其中，除控制顶点外，还含有额外的两个形状参数店和：，从而可以通过调整属 和反的值来进一步地调整曲线的形状。卢样条曲线具有凸包性、局部性、变差 缩减性等b 样条所拥有的若干性质。 2 0 0 2 年，韩旭里【5 1 j 提出了带一个形状参数的二次三角多项式曲线。给定节 点u o 比l 0 ，“ 。，“i + 3 ) ， p ) 包 ) = 0 ，u 阻o ，即l 】，“陋i + 3 ，u 。+ 3 】， ( c ) 荟“翟u 2 u n + i l 上述基函数相应的带一个形状参数的二次三角多项式曲线定义为： r ) 一三6 j ) 弓，刀之2 ，“啊2 ，u n + l 】， j 。u 其中弓观d ，d g l l2 , 3 ，fl o , l ，刀，节点向量为u 一 。，l ，“3 ) 。如果节点 口。为k ( ka1 ，2 3 ) 重的，那么二次三角多项式曲线r ( u ) 在节点“；是c 2 4 连续的。 2 0 0 3 年，韩旭里1 5 2 1 提出里带形状参数的分段三次l 琵z i e r 曲线其第f 段基 函数可表示为： 卜油o ) - o - x , t x l 一f ) 2 ， 比- ( 2 + x 1 - t ) t ，0 st 互1 k 2 ( f ) 1 1 ( 1 一 + a i t ) t 2 ， 并目基函数具有性质： 荟( f ) _ 1 其定义在印；，“柑】上的分段三次b 毛z i e r 曲线为： 其中 c ( 枷m ( ；半) 一眦+ 2 】， q ( 和) 弘f - i z l - - i i ，比吼m 吧+ l - 即玑刀， 节点为“l h 2 口一，控制顶点为化一“，y j ，乙) z 1 巩。，d - 2 , 3 c ( ；“) 是 二次b s z i e r 曲线的扩展，可通过改变形状参数 来改变曲线的形状，并且具有 端点插值、对称性、凸包性、几何不变性等和b 6 z i e r 曲线类似的性质。通过改 变形状控制参数九的取值，可以调整第i 段曲线接近某控制多边形的程度。所给 取笑中的形状参数 是局部的，修改其值，只影响当前曲线段c ( ；“) ，因而所 5 硕士学位论文 第一章绪论 构造的曲线具有良好的局部性质o 2 0 0 4 年，韩旭里【5 3 1 提出了带一个形状参数的三次三角多项式曲线。给定节 点u o u l u 。+ 4 ，a 9 t ，i e z + ，令j u f “一口j ， 若，展毒毛- 石币丽1 丽= _ ， 口j 。肛，d i 。j 跳“，岛2 。赢( j + l 一f ) 即 b i o a f 一1 口i n 一口j + 饥2 ，饥l - j n + 包2 ，饥3 - 1 - ( 2 a + 3 ) 屈慨2 ， c 矿而1 ( a j - l 也) 即c 矿【1 一( 2 a + 弧h ，q ：一扣”c j l ， q 3 一a m 屏n + c i l - d f ， f o ( t ) 一( 1 一s i n t ) 2 ( 1 一a s i n t ) ，1 0 ) t ( 1 + c o s t ) 2 ( 1 + a c o s t ) ， a ( t ) 一( 1 + s i n t ) 2 ( 1 + a s i n t ) ，a ( t ) 一0 - c o s t ) 2 ( 1 - a c o s t ) 则带一个形状参数的三次三角多项式基函数的定义如下： d ；厂3 ) ， l ， ， 弘z ， ， a i 4 3 兀t i + 3 ) 0 u 阻j ，u j + 1 ) ， u 【比m ，比m ) ， u 阻i + 2 ，u m ) ， u 【“i + 3 ，u j + 4 ) ， “圣【“j ，比“4 ) ， 舯毗m 似) 。三等一咖卅3 ，并且基函数具有性质： 罗且 ) a 1 ，比阻，雎。+ 。】 衙 显然，当a = 0 时，上述基函数即退化为二次三角多项式。当节点向量为非均匀 时，基函数且 ) 在每个节点是c 2 连续的；当节点向量为均匀时，若a 一1 ， 则基函数曰， ) 是c 5 连续的。 上述基函数相应的带一个形状参数的三次三角多项式定义为： 丁( 比) 。磊b ， ) 弓，以苫3 ，髓1 3 ，u m * 1 ， 其中弓巩d ，d - 2 , 3 ，j = o 工，刀，节点向量为u - ( u 。，比。，“柑) 当节点向 6 硕士学位论文第一章绪论 量为非均匀时，如果节点比；为k ( k l 2 ，3 ，4 ) 重的，那么三次三角多项式曲线r ) 在节点“；是c “连续的：当节点向量为均匀时，若a 一1 ，则三次三角多项式曲 线r ( u ) 是c 3 连续的，若a 一1 ，则三次三角多项式曲线r ( u ) 是c 5 连续的。 2 0 0 5 年，王文涛、汪国昭例提出一类带形状参数的广义b 6 z i e r 曲线模型，其 基函数定义如下： 1 n o ，。o ) 一吾a ( 1 一f ) 2 + ( 1 一a ) ( 1 一f ) ， f 【o ，1 】， n l t l ( f ) 一詈刀2 + ( 1 一a 弦， f 【o ，1 】， n 。，p ) l1 - 3 | c6 0 , , 一- 一o ) 出， m ，o ) 。j ：喊山一m - l a - 1o ) 一6 i , , - i j 一- - ( x ) l d x ， 虬一o ) 。j c6 。山一- 虬一功一- o 皿， 其中6 抽。j ：抽p ) 斑， i o 工，订， 万一2 时， a ( 一2 , 1 1 ， 刀z3 时， a ( 一，- 2 ) o ( - 2 , 1 】。基函数m 1 9 f ) 具有类似b e r n s t e i n 基的非负性、权性、端 点性和对称性，即： ( 口) 0 一( 0 ) 一以一( 1 ) - l p ) 嚣d ( o ) - 器1 ( 1 ) - 0 咄( 0 ) - 雌( 1 ) 0 j - o , 1 ，f - 1 ；kn0 ，】，刀- i - 1 ；i l 2 , ，刀- 1 ， ( c ) 0 ( o ) 一6 0 ，一6 l , n - 4 。- 1 l 5 f 一劲2 6 f 一轴一l ，f 一1 2 ，办， p ) 荟( f ) _ 1 ， ( e ) t o ) 一虬一；j 0 - 0 ，f 【0 ，1 1 ，f o ，1 ，刀 但是由于此基函数是由递归积分方法产生的，其中的形状参数在每一个基函数的 位置是很难预料的。上述基函数相应的带形状参数控制参数的b 6 z i e r 曲线定义 为： p ( 0 。荟油( f ) 号， 其中f 【0 ，1 】，只筑。，d 2 , 3 ，且该曲线具有和b z i e r 曲线类似的性质，如端 7 硕士学位论文 第一章绪论 点插值和凸包性，并且其一阶导数为： p o ) 2 荟，f 0 , 1 1 1 3 主要研究内容 本文一共四章，第一章简单介绍本文的研究背景，c a g d 中带形状参数的参 数曲线曲面造型的发展及现状。第二章阐述了第一类、第二类和第三类c o o n s 曲面以及双三次c o o n s 曲面。第三章介绍李杨、汤文成和刘海晨提出c - c o o n s 曲面片及性质【5 5 】。第四章给出两组带形状参数a 的有理混合函数，并分析了 这些函数的性质。基于这些含有参数的有理混合函数，定义了两种带形状参数的 有理c o o n s 曲面，分别称之为r b f l c o o n s 曲面和r b f 2 c o o l i s 曲面。这些曲面 不仅具有c o o n s 曲面的良好边界插值性质，还可以通过调整参数a 的值来改变曲 面内部的形状，并讨论了参数 ，厶对曲面内部凹凸的影响。第五章总结了本文 的主要工作和创新之处，并对进一步的工作做了展望。 8 硕士学位论文第二章c o o n s 曲面 第二章c o o n s 曲面 本章阐述了第一类、第二类和第三类c 0 0 璐曲面以及双三次c 0 0 潞曲面， 并且说明了其构造原理。 2 1 具有给定边界的c o o n s 曲面 2 1 1 曲面表示法与记号 号。 为了便于介绍c o o n 曲面的构造原理，我们先扼要归纳曲面的表示法与记 1 ) 曲面上的点o ，y ，z ) 可表示为双参数“和v 的函数p ( u ，l ，) ： p ，v ) 一b ，l ，) y ( u ， ，) z ( u ，l ，) j ， ，【0 棚 2 ) 令l ，- ，则尸0 ，y o ) 是曲面上一条以“为参数的曲线，称为u 向线或比线。 ，n 的值由o 变化至1 ，可得到一组“向线，由此构成整张曲面片。类似 地，参数比由0 变化至1 ，可得到一组 ，向线，同样构成了整张曲面片。 3 ) 曲面片的四条边界曲线为p ( u ，0 ) ，p ( u ，1 ) ，p ( 0 ，) 和p g v ) ，如图2 1 所示： p ( 1 图2 1 曲面的表示法与记号 4 ) 曲面片的是个角点为p ( 0 0 ) ，p ( 0 1 ) ，p ( l o ) 和p ( 埘，见图2 1 2 1 2 插值四个角点的双线性曲面 给定四个角点p ( o ，0 ) ，p ( o ，1 ) ，p o , o ) 和p ( 埘，则可按式( 2 1 1 ) 定义一个双线 性曲面q ，) ： q “， ，4 p ( p o ( 。l o o 姐一o 雎- 1 v 一) ：p + ( l p i 如。妻v 1 一睇y 口， ，【。，1 】 ( 2 1 1 ) + ， 。 显然，式( 2 1 1 ) 满足给定的约束条件： q ( 0 ，0 ) _ p ( o ，0 ) ，q ( 0 山一p ( 0 山，q ( l 0 ) 一p ( l o ) ，q ) 一p ( u ) 9 硕上学位论文第二章c o o n s 曲面 2 1 3 线性插值两条边界曲线 给定两条边界p ，0 ) 和p ( u , 1 ) ，可在其间构造一线性插值曲面q 。 ，v ) ： q 。 ，v ) lp ，0 ) ( 1 - v ) + p ，1 ) l ，“，y 【0 川 ( 2 1 2 ) 显然，q 。 ，0 ) 一p ( u ，0 ) ，q 。 ，0 ) p ( u ，0 ) ，类似地，可构造插值于另两边界p ( o ，y ) 和p g ，) 的线性曲面q ： ，v ) ： q 2 ，l ，) - p ( 0 y ) ( 1 - u ) + p ( 1 ，v ) u ， , l ，【0 朋 ( 2 1 3 ) 式( 2 1 2 ) 和式( 2 1 3 ) 就是用c o o n s 方法定义的直纹面。 2 1 4 双线性c o o n s 曲面 已知四条边界曲线p ( u ，0 ) ，p ( u 山，p ( o ，y ) 和p ( 1 , v ) ， 性c o o n s 曲面为： q ( u ，l ，) 一q 。 ， ，) + q ： ， ，) 一q 3 0 ，l ，) ， 式中： 则插值该四条边界的双线 ( 2 1 4 ) q l ，v ) 一pu ，o ) ( 1 - v ) + p ，1 ) l ， q 2 i l l ，l ，) 一e ( o , v ) ( 1 - u ) + 飑v ) u ， q ， ，y ) | 【p ( o o ) ( 1 一h ) + p q 啪】( 1 一w h ，l ，m ( 2 1 5 ) + 【p ( o ，1 ) ( 1 - u ) + p ( 1 1 ) u i v ， 1 现需要对式( 2 1 5 ) 的来源做进一步说明。由式( 2 1 2 ) 和式( 2 1 3 ) 可知， q 。 ，y ) 插值p 0 ，0 ) 和p ( u 山的两条边界，q ： ，l ，) 插值p ( o ，y ) 和p “，) 的两条边 界，但q ， ，l ，) 和q ：o ， ，) 两者的简单叠加并不能构成插值于边界的曲面片。容易 验证，当矿0 和y 一1 时，q l ，v ) + q ： ， ，) 所形成的边界分别是： q 。 ，0 ) + q 2 ，o ) 一p ，0 ) + p ( o ，o ) ( 1 - u ) + p ( 1 , o ) u ， q 1 ，1 ) + q ： 舯tp 0 ，1 ) + p ( 0 山( 1 - u ) + p ( u 弘 两者并非我们所要求的边界p ( u ，0 ) 和p ( u 山。这是由于q 。 ， ，) 和q ： ，l ，) 的叠加 重复应用了四个角点的点矢。因此，需要构造另一曲面片q ：q ，l ，) ，以便消除重 复应用四个角点的情况。q 3 ，) 应满足下述条件： q 3 ，o ) - p ( o ，o ) 0 - u ) + p g 0 ) i l ， q ， ，1 ) 一p ( 0 , 1 ) ( 1 - u ) + p ( u 弘 式( 2 1 5 ) 所表示的曲面片可以满足此要求。因此： q i l l ， ，) = q 。 ，v ) + q ： ，l ，) 一q 3 ， ，) ， 即为具有四条边界的曲面片。 为使表达式更为简练、更便于推广至一般形式，我们将式( 2 1 4 ) 改写成为 1 0 硕士学位论文 第二章c o o n s 曲面 十叫嚣井舭叫1 卅 【1 _ 叫裟裟 1 e ( u ，0 ) p 0 ，1 ) 1 - 11 = 一【一1 l 一弘“l p , o , ，) e ( o ，o ) p o , a ) l l l 一 ，i ，“，v 0 , 1 1 ( 2 1 。6 ) 【m ，) p g 0 ) p ( 1 , 1 ) j 【 ，j 式( 2 1 6 ) 右端的三阶方阵中，第一行和第一列的元素包含了曲面片的四条边界曲 2 。1 。5 插值给定边界的c o o n s 酋面的一般形式 给具一般性，分别以混合函数r 0 ) ，e ) ，r o ) 和e o ) 取代线性函数( 1 - u ) ， 胫9 5 e 9 。1 ， ( 2 1 7 ) 剐) 一 主：二羔 扣咄j m ( 2 埔) 1p ( u ，0 ) p ，1 ) 1 f 一11 q ( u ，v ) - - 一 - 1f o ( u ) 最 ) 1 尸( 0 ，l ，) p ( 0 o ) e ( o , 1 ) i if o ( v ) i ， ，【o 棚( 2 1 9 ) im ，)p n 0 ) p ( u ) i | 互v ) i 硕上学位论文 第二章c o o n s 曲面 2 2 具有给定边界和跨界切矢的c o o n s 曲面片 在各种应用领域中，斜率连续是一个非常重要的条件，但前述简单曲面片只 能保证四条边界处的位置连续，起跨界切矢是曲面片所固定有的。若要求满足斜 率连续，则除给定边界外，还必须给定跨界切矢。具体地说，曲面片必须满足具 有给定的四条边界p ( u ，j ) 和p ( i ，v ) 及其跨界切矢p v ( u ，j ) 和( f ，y ) ，其中 j ，_ | t0 , 1 ，如图2 2 所示。 v ) 图2 2 曲面片的边界及其跨界切矢 为清晰起见，我们应用混合函数来构造这一类c o o n s 曲面片，其步骤如下所 述。 首先，根据边界曲线p ( 0 ， ，) 和p 0 y ) 及其跨界切矢( 0 l ，) 和g ，) 沿参数h 方向构造曲面片q l ，v ) ： 吨 ) 删叫嬲p ( o , v ) l g l ，) ( 2 2 1 ) f 昂 ) - 扫3 一知2 + 1 ， 1e ) 一叫3 + 知2 ， f g 0 ) 一u ( u 一1 ) 2 ， 1 g 。 ) 一以2 - 1 ) 类似地，可根据边界曲线脚，0 ) 和尸 山及其跨界切矢似，0 ) 和只 舯沿y 方向 构造曲面片q ：0 ， ，) ： q ：帅o ) 脚国酏o ) 只叫豁 r o ) i g 。q v ) ( 2 2 2 ) 硕士学位论文第二章c o o n s 曲面 但蜴 ， ，) 和q ： ，l ，) 的简单叠加并不能得到我们所要求的曲面片，因为两者简单 叠加时重复应用了四个角点处的点矢、切矢和混合偏导矢。如切矢只( 0 ，0 ) 既隐 含于p ( u ，0 ) 也隐含于( 0 y ) 中，混合偏导矢只，( 0 ，0 ) 既包含在只( o l ，) 也包含在 p v ( u ，0 ) 中，如此等等【5 6 1 。因此，必须从q 。 ， ，) + q ： ，v ) 中减去某些多余项 q 3 ，y ) ，才能得到插值于给定边界和跨界切矢的曲面片q ， ，) ： q ，l ，) q l ， ，) + q ： ，l ，) 一q 3 ，v ) ，( 2 2 3 ) 式中 q ，o ，y ) al r o ) e o ) g o ) g l ) j 尸( 0 ，0 ) p q 0 ) ( 0 ，o ) q o ) 月( 0 ，1 ) p ( 堋 乞( o 山 只g 1 ) 式( 2 2 - 3 ) 可以用矩阵形式表示为： q ( u ，) - 4 - 1 晶 ) 墨 ) g 。 ) 0 p ( o , v ) m y ) ( 0 ，) g ，) p ，0 ) p 舢 p ( 1 0 ) ( 0 ，0 ) 0 ) 脚，1 ) p ( o 1 ) m 1 ) 只( 0 山 ( 坞 p v ( 0 0 ) g 0 ) 匕( o o ) q o ) e ( 0 ，1 ) ( u ) 已( 0 d ( u ) g 。q ) j ，0 )只 舯 只( o ，0 )( 0 1 ) q 0 )g 1 ) 匕( o o ) 匕( 0 1 ) g 0 ) o ) 民o ) 互( ，) g 。o ) g 。) 一1 届o ) 正o ) g o ( y ) g l ) ( 2 2 4 ) ， 翟，v e o a ( 2 2 5 ) 式( 2 2 5 ) 右端的五阶方阵中，第一行和第一列为两对边界及相应的跨界切矢；右 下角的四阶方阵由四个角点的有关信息组成，其中包括角点的点矢、比向切矢、 ，向切矢和混合偏导矢。角点的所有信息都可由第一行或第一列相应位置上的矢 函数求得。该五阶方阵为具有给定边界和跨界切矢c o o n s 曲面片的边界信息矩 阵。这一类曲面片也称作第二类c o o n s 曲面片。 2 3 具有给定边界及跨界切矢、跨界导矢的c o o n s 曲面 上节推倒的曲面片式 ( 2 2 5 ) 可以插值于给定的边界及其跨界切矢，但其 固有的跨界二界导矢未必能满足实际提出的要求。为了构造具有给定边界及其跨 界切矢、跨界二阶导矢的c o o n s 曲面，需要应用三对五次混合函数昂，e ；g 。， g i ；h o ，h l ： 硕士学位论文第二章c o o i i s 曲面 r ) a 一6 u 5 + l s u 4 1 0 u 3 + 1 e ) - 6 u 5 1 5 u 4 + 1 0 u 3 ， g o ( 比) 曩一3 “5 + 1 4 6 比3 + h ， g l ( 比) 一一轭5 + 7 “4 一缸3 ， ( 2 3 1 ) h o ) = 去 5 + 细4 3 u 3 + “2 ) ， 二 h 1 ) = 去 5 2 u 4 + “2 ) e ( j ) 一( ) 一日? ( j ) = ：二皇 ( 2 3 2 ) i e ( ) 一e 。( | ) 一g j ( j ) - g ? ( | ) - h ，( j ) 一日：( j ) - 0 q ( u ，y ) z 一 - 1f o ( u ) e ) c o ( u ) g 。 ) h 。0 ) h 。 ) 】 o p ，o )尸 ，1 ) ，0 )只o ，1 )只 ，o )最 ，1 ) p ( 0 ，) p ( o ，0 )e ( o ，1 )( o 0 )只( 0 ，1 )已( 0 ，0 )厶( 0 ，1 ) e ( t v ) p g 0 ) p ( l 1 )“o )g 1 )已n 0 )厶g 1 ) ( o y )( 0 ，0 )( o d匕( o o )( 0 ，1 ) j 乙。( o o ) j 乙( 0 1 ) g y )o o )q 1 )匕q o )匕q 1 )q 0 )( u ) 匕( 0 ，y ) 气( o ，o ) 兄( 0 ，1 ) j 乙( 0 ，o ) j 姗( 0 ，1 ) f 乙。( 0 ，o ) j ：。( o ，1 ) 匕g ，) 匕q o ) 乞( 枷g o ) p 姗g 1 ) q 0 ) q 1 ) 一1 r ) e o ) g 。o ) g 。p ) h 。o ) h ，o ) 距，y 【0 朋 ( 2 3 3 ) 具有给定边界及其跨界切矢、跨界二阶导矢的c o o