（理论物理专业论文）高温、稠密氢等离子体热力学特性及密度矩阵的pimc计算方法的研究.pdf

高温、稠密氢等离子体热力学特性 及密度矩阵的p i m c 计算方法的研究 张丕友 南开大学物理系 内容提要 用直接路径积分梦特卡罗的方法推导了高温、高密状态下 的氢等离子体的内能和压强公式与v s f i l i n o v 等人的直接路径 积分梦特卡罗( d p i m c ) 不同的是，虽然我们依然把质子看作经 典粒子，其相互作用采用库仑势，但是电子一质子之问的相互作 用和电子一电子之间的相互作用则都采用k e l b g 势计算了不同 简并、耦合状态下的氢等离子体的内能和压强，并与限制路径积 分梦特卡罗( r p i m c ) 和v s f i l i n o v 等人的直接路径积分梦持 卡罗( d p i m c ) 的结果进行了比较，对结果进行了详细的分析 关键词：梦特卡罗，路径积分，氢等离子体。 o n t h e r m o d y n a m i cp r o p e r t i e so fd e n s eh y d r o g e np l a s m aa th i g ht e m p e r a t u r e a n dc a l c u l a t i o no fd e n s i t ym a t r i xw i t hp i m c a p p r o a c h m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s a u t h o r ：z h a n gp i y o u a d v i s o r ：h ub e i l a i a b s t r a c t t h ef o r m u l a eo fi n t e r n a le n e r g ya n dp r e s s u r eo fd e n s eh y d r o g e np l a s m aw e r e d e r i v e db yd i r e c tp a t hi n t e r g a lm o n t ec a r l o ( d p i m c ) a p p r o a c h t h ed i f f e r e n c e b e t w e e no u rd p i m c a p p r o a c ha n dv sf i l i n o v sd p i m c a p p r o a c hi st h a tt h ek e l b g p o t e n t i a lw a su s e d a si n t e r a c t i o np o t e n t i a l s n o to n l yb e t w e e ne l e c t r o n s ，b u ta l s o b e t w e e n p r o t o n sa n de l e c t r o n si nt h ec a l c u l a t i o n ，t h ei n t e r n a le n e r p 0 a n dp r e s s u r e i nd e n s eh y d r o g e np l a s m ad e r i v e db yt h es i m u l a t i o nw e r e p r e s e n t e d ，a n dc o r n p a r e d w i t ht h er u s u i t so fr p i m ca n dv s f i l i n o x sd p i m c t h en u m e r i c a lr e s u i t sw e r e d i s c u s s e di nd e t a i l k e yw o r d s ：m o n t ec a r l o p a t hi n t e g r a l ，d e n s eh y d r o g np l a s m a 第一章绪论 高温高密下相互作用的费米系统的热力学性质正变得越来越重要，比如电 击等离子体和激光等离子体、天体、原子核物质等尤其高密度下的强简并强 耦合的氢等离子体的热力学性质，正被越来越多的人关注 1 】因为这些现象都 既与库仑势有关，又有量子效应在里面，所以导致了一些独特的现象，比如金 属氢和等离子体相变等等【2 1 近几年对于这些系统的研究不管在理论上还是 在模拟计算上都有了很大的进展。但由于得到强耦合的氢等离子体的解析解非 常困难，而直接的实验结果又很难得到，所以需要模拟计算方法来验证理论描 述 要想研究等离子体的热力学性质，最理想的对象就是氢这主要是因为氢 的结构比较简单：只有一个电子和一个质子目前很多实验和理论都在研究它， 主要研究的温度范围就是5 ，0 0 0 2 5 0 ，0 0 0 k ，在这个温度逐渐升高的过程中， 氢经历了一个从液态分子到液态原子，最后变成由电子和质子两种成分组成的 等离子体的过程( 图( 1 1 ) ) 氢在这个温度范围内的性质对于研究恒星的形成 和类木行星都很关键f 3 】。 一个特别适合描述强简并强耦合状态下的热力学性质的方法是路径积分梦 特卡罗( p i m c ) 的方法路径积分梦特卡罗的方法特别适用于玻色系统然而， 如果这种方法应用于费米系统，则存在费米符号问题( 4 】为了解决这个问题， 有些人提出了一些方案来改进路径积分梦特卡罗的方法：第一种是b m i l i t z e r 等人提出的限制梦特卡罗路径积分( r p i m c ) 的办法在这种方法中，他们引 入节面( 节点构成的平面) 的概念，通过限制积分的路径使密度矩阵的贡献始终 为正。但是我们只知道少数几种密度矩阵的节面，而且这些节面很近似，另外 结果的误差也很难估计【5 】另一种方法是直接路径积分梦特卡罗( d p i m c ) 的方法最近v s f i l i n o v 等人对n 个粒子的密度算符采取了路径积分的表示方 式，可以适用于很大范围内的高密度氢等离子体的直接费米路径积分梦特卡罗 的模拟计算。用这种方法，他们已经能够成功地计算出高密度非理想氢等离子 1 第一章绪论 2 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 图1 1 ：氢随着温度和密度变化的相图。其中点划线代表等离子体、原 子态和分子态大致的边界，虚线代表等压线。 体的一些热力学性质，比如内能和压强 6 】。 由于质子的质量与电子比较起来大得多，所以质子可以当作经典的粒子， 质子一质子之间的相互作用可以使用库仑势但是随着耦合度的逐渐增大，库仑 势逐渐被屏蔽；随着筒并度的逐渐增大，电子的德布罗意热波长也逐渐增大 这两方面都会增强短程相互作用f 7 1 为了改进这一点，我们在v s f i l i n o v 等 人的直接路径积分梦特卡罗方法的基础上f 8 1 ，对于质子一质子之间的相互作 用我们仍然使用库仑势；电子一质子之间的相互作用，我们仍然使用k e l b g 势；然而对于电子一电子之间的相互作用，我们将库仑势换成了k e l b g 势我 们对公式重新进行了推导，得到了新的高密度下氢等离子体的内能和压强的公 式我们计算的结果同限制路径积分梦特卡罗方法的结果符合得很好 q 卯 5 o 2 1 第二章梦特卡罗方法 2 1 梦特卡罗方法的发展历史 早在1 7 世纪，随机试验是和掷硬币和掷骰子等游戏紧密联系在一起的， 硬币和骰子就是最简单的概率模型【1 3 1 很早以前，数学家h u y g e n s 就曾预言 过，不要小看这些博弈游戏，它有更重要的应用很早以前，人们就把频率作为 概率的近似值人们可以通过随机试验得到的频率来发现问题，并进行校正 例如一位意大利职业赌博者误认为投掷三个骰子得9 点和1 0 点的概率相同，但 大量试验的结果发现得9 点比得1 0 点的频率要少事实上，两者的概率依次为 2 5 2 1 6 和2 7 2 1 6 ，前者比后者小2 2 1 6 。又如一位法国职业赌博者认为掷一对 骰子在2 4 次投掷中至少有一次得双6 的概率大于0 5 ，但多次试验结果却与他 的愿望相反后来经过数学家计算发现其概率约等于o 4 9 1 3 ，略小于o 5 这 些也许是最早用频率近似地估计概率的随机试验方法实际上，这些就是古代 的梦持卡罗方法 然而，在当时随机试验却受到定限制，这是因为要计算结果的准确度足 够高，需要进行的试验次数相当大因此，人们都认为随机实验要用人工进行 冗长的计算，这实际上是不可能的约在1 9 4 6 年，物理学家v o nn e u m a n n 等在 电子计算机上用随机抽样模拟了中子连镇反应，并把这种方法称为梦特卡罗方 法梦待卡罗是摩纳哥的一个著名城市，以赌博闻名于世梦特卡罗方法借用 这一城市的名称，属于象征性的，是为了表明该方法的基本特点的近几十年 来，随着电子计算机的出现和迅速发展，人们才有意识地、广泛地、系统地应 用随机抽样试验来解决数学物理问题，而且把梦特卡罗方法当作计算机数学的 一个新的分支 2 2 梦特卡罗方法的基本思想及一般步骤 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值 3 第二章梦椅卡罗方法 时，他们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随 机变数的平均值，并用他们作为问题的解这就是梦特卡罗方法的基本思想 梦特卡罗方法解题是以一个概率模型为基础的按照这个概型所描绘的过 程，通过部分模拟试验的结果，作为问题的近似解可以把用梦特卡罗方法求 解，归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样； 建立各种估计量【1 4 】 构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确地描述和 模拟这个概率过程对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分 解线性方程组、偏微分方程边值问题等，要用梦特卡罗方法求解，就必须事先 构造一个人为的概率过程，他的某些参量正好是所要求问题的解即要将不具 有随机性质的问题，转化为随机性质的问题这构成了梦特卡罗方法研究与应 用上的重要问题之一 实现从已知分布抽样 由于各种概率模型，都可以看作时由各种各样的概率分布构成的，因此产 生各种概率分布的随机变量( 或随机变量) ，就成为实现梦特卡罗方法模拟试验 的基本手段。所以有人把梦特卡罗方法称作随机抽样技巧 建立各种估计量 一般来说，构造了概率模型并能从中抽样后，即能实现模拟试验后，我们 就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解的估计量。如果这个随机变量 的期望值正好是所求问题的解，我们称它为无偏估计建立各种估计量，相当 于对模拟试验的结果，进行考察和登记，从中得到问题的解。 2 3 随机数与伪随机数 用梦特卡罗方法模拟某过程时需要产生各种概率分布的随机变量最简 单、最基本、最重要的随机变量是在【o 1 1 上均匀分布的随机变量设r 为【o 1 上均匀分布的随机变量，则其密度函数为 m ) ： 1 o 1 lo ，其它， ( 2 1 ) 砷，管， 。， e 【r ) = z 1 础= j 1 ( 2 3 ) j 0z 至三茎芝登里左羹! 图2 2 ：随机数的分布函数 的概率都等于1 1 0 ，而且与其上下左右相邻的其他数字的出现都是独立的满 足上述条件的数字就是从0 到9 十个离散的随机数字如果把相邻的四个随机 数字合并，并用1 0 4 除，那么可把这些数看成是0 0 0 0 0 到09 9 9 9 上均匀分布随 机数。 在电子计算机上使用随机数时，可以预先将随机数表记入磁带或磁盘中， 需要随机数时直接调用但是这种方法需要占用一定的计算机机时和较多的存 储单元，因而是不可取的采用物理方法产生随机数也是一个途径但是，昂贵 的费用以及无法重复产生随机数等缺点，也使这种方法的使用价值大大降低 在计算机上用数学方法产生随机数是目前广泛使用的方法然而，用数学 方法产生的随机数存在两大问题： ( i 1 递推公式和初始瞧确定后，整个随机数序列便被唯一确定下来，不满足 随机数相互独立的要求 ( i i ) 既然随机数序列睫用速推公式确定的，而在电子计算机上所表示的【o ，1 1 上的数又是有限多的，因此，这洋的随机数序列就会出现周期性的循环现象， 这同对随机数的要求是相矛盾的 正是由于这两个原因，常称用数学方法产生的随机数为伪随机数但是只 竖：! 茎簦主曼立鳖箜些墼丝塑堡董焦盐! 要产生伪随机数的递推公式选得比较好，随机数的相互独立性是可以近似地满 足的。另外，因为用梦特卡罗方法解决任何问题时，所用随机数的个数总是有 限多个的，只要其个数不超过伪随机数序列出现循环现象时的长度就可以了 用数学方法产生伪随机数非常容易在电子计算机上实现，可以重复，而且不受 电子计算机限制，因此，虽然存在着一些问题，但是仍然被广泛地在电子计算 机上使用，是在电子计算机上产生随机数的最主要方法 2 4 梦特卡罗方法的收敛性和误差估计 梦特卡罗方法的收敛性梦特卡罗方法常常以随机变量口( 。) 的简单子样 目- ) ，日( u v ) 的算术平均值 1 n 靠2 嘉三8 ( 。n ) ( 24 ) 作为所求解i 的近似值【1 5 i 由柯尔莫哥洛夫加强大数定律知道，知道随机变数序列 p ( 。) ，n = 1 ，2 ) 相互独立，同分布、期望值存在，则有 p r o ( 1 骢o n 2 ，1 = 1 1 2 5 ) 即日n 以概率1 收敛到i 由此立即推得，在梦特卡罗方法中，随机变量口) 的简单子佯的算术平均 根“，当 、_ 时，以概率为1 收敛到i 梦特卡罗方法的误差估计按照中心极限定理 1 3 】，只要随机变数序列 8 ( 。) n = 1 2 相互独立、同分布、数学期望存在，有限标准差口0 即当 、。_ x 时，随机变量 功= ( 口n i ) i ( 盯, n )( 2 6 ) 渐进标准正态分布n ( o ，1 ) 即有 p r o ( 1 、f 0 有 p r 。( i 珠f 墨) = 尸r 。( 怫一，l 丽x o ( 7 j = 而2 0 。e - = ，一a 这表明，不等式 l 珏一j i 等 1 以概率1 一a 成立。通常称为置信度，1 一a 称为置信水平 对应式( 2 1 0 ) 表明，知收敛到i 的速度的阶为o ( x 一 ) 。 我仃1 可以看蛰| 梦特卡罗的误差e 为 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) o 与x 。 e = 等 ( 2 1 1 ) 5 而 1 ) a 和k 的关系可从正态分布n ( o ，1 ) 积分表中查到。常用的几组关系如下表 ( 2 1 ) ：特别称口= 0 5 时的误差0 6 7 5 4 a v 霄为概然误差。 表2 1 ：n 和k 的关系 i a00 0 0 0 6 30 0 0 2 70 0 4 5 50 3 1 7 3 05 7 4 500 50 0 20 0 l 【k 43106 7 4 519 6 0 0 23 2 6 32 5 7 5 8 显然，当给定置信度q 后，误差e 由和、决定要减小e ，或者是增大 ，或者是减小方差c r 2 在固定盯下，要提高精度一位数字，就要增加1 0 0 倍 工作量；另一方面，如能减少估计的均方差盯，比如降低一半，鄢误差就能减少 一半，这相当于增大四倍工作量的收益然而一般来讲，往往会使得观察一个 子样的时间增加因此，一种方法的优劣，不能单由降低方差多少来衡量，而 应该育方差和观察一个元素的费用( 使用计算机的时间) 两者来衡量这就是 塑：! 芝登主翌立鳖塑登皇! 梦特卡罗方法中效率的概念它定义为盯2 c ，其中c 为观察一个子样中元素的 费用当a 2 c 越小，方法越有效 2 5 梦特卡罗方法的特点 无论从方法的步骤方面讲，还是从结果的精度和收敛性方面讲，梦特卡罗 方法都是一种具有独特风格的数值计算方法。 1 收敛速度与问题的维数无关 由梦特卡罗方法的误差公式可以看出，在置信水平一定的情况下，梦特卡 罗方法的误差除了与问题所确定的无偏统计量的方差口2 有关以外，只取决于 子样的容量n ，而与无偏统计量9 扛。) 中的x 。是多少维空间的点无关。例如对 于如下的s 重积分计算问题： g = f o o l o l g ( z - ，z s ) d x 。d x s ( 2 1 2 ) 梦特卡罗方法的近似估计是 o = 寺9 慨) ( 2 1 3 其中x 。= ( f 。，! “) ) 为s 维方体内均匀抽样确定的点由梦持卡罗方法的 误差公式不难看出，如果无偏统计量g ( x ) 的方差不变，则除了由于维数s 的变 化可能引起每次观察费用有较小的变化之外，梦特卡罗方法的误差是与维数s 无关的，或者说梦特卡罗方法的收敛速度与问题的维数无关，显然，这一特点 是其他计算方法所不具有的 2 受问题的条件影响不大 梦特卡罗方法的另一个基本特点是，它受问题条件限制的影响不大例如， 对于上述积分，如果加上一个积分区域v 的限制： g 。= 9 ( z t z 。) d r 。一d x ， ( 21 4 ) 第二章梦特卡罗方法 则无论s 维单位方体内的区域v 如何特殊，我们都可以给出类似的近似估计如 下二 0 ：；= 丙1 g ( 矗) x n e v ( 2 ，1 5 ) 显然，这也是其他计算方法所不具有的 3 具有直接解决问题的能力 梦特卡罗方法还有一个特点是，对于那些本身具有统计性质的所谓非确定 性问题，不需要像常规方法那样首先将它转化为确定性问题，如转化为某方程 的解，然后再通过解决确定性问题得到问题的答案。梦特卡罗方法不需要将非 确定性问题转化为确定性问题，可以直接从非确定性问题出发，通过模拟原问题 的实际过程，得到问题的解决在由非确定性问题转化为确定性问题和用计算 方法解这一确定性问题过程中，常常需要很多近似，梦特卡罗方法员i j 不需要， 因此，有人称梦特卡罗方法为精确的方法，并常依此为标准衡量其他方法的近 似是否是合理的 4 误差容易确定 对于一般计算方法，要想给出计算结果与真值的误差，并不是一件容易办 到的事情，梦橹卡罗方法则不然根据梦特卡罗方法的误差公式其中的x 。是 确定的，n 是实际的抽样数，未知的仅仅是均方差盯。可是，它是可以通过计 算g n 的同时计算给出的。邵 2 1 6 ) 对于再复杂的梦特卡罗方法计算问题，均方差的确定大致上也是如此，函此， 误差容易确定成了梦持卡罗方法的另一大优点 5 程序结构简单 梦特卡罗方法主要是通过大量的筒单的重复抽样实现的，因而方法和程序 z n ，g一 0 工 严 。 一n 竺 n 口 兰垒堂圭旦嬖 ! ! 都很简单例如用平均值方法计算定积分 1 ：h ( x ) d x j 0 的数值，其计算步骤为： i 产生均匀分布再f 0 , 1 】上的随机数r 。( n = l ，2 ，) i i 计算g ( t 。) = 1 ，2 ，) i i i 用平均值j = 面1 ：1g ( r 。) 作为i 的近似值 ( 2 1 7 ) 另外，一般计算方法常存在着有效维数损失问题，而要想解决这一问题有 时还是相当困难的，梦特卡罗方法不存在这一问题。 6 梦特卡罗方法的缺点 梦特卡罗方法也存在一些缺点：第一，对于维数少的问题，一般是二维和 二维以下的问题，它不如其他计算方法好第二，对于大的几何系统或小概率 事件的计算问题，它的计算结果有时比真值偏低第三，误差是概率误差，丽 不是一般意义下的误差 2 6 普丰问题 普丰( b u f f o n ) 是法国的著名学者，对概率论在博弈游戏中的应用深感兴 趣，于1 7 7 7 年发现了随饥投针的概率与7 r 之间的关系，提供了早期学者们用随 机试验求百值的范例 在平面上茴有相互距离均为2 a 的平行线束，向平面上随机投一枚长为2 l 的针，为了避免针与两平行线同时相交的复杂情况，假定0 一k s t l n z ( 为一正值) 时，w ( n ，一e ) 0 ，可以认为是正常的振荡；如果6 “s0 ，则 必然成立) 这个过程需要重复很多次，结果才能够收敛 第三章路径积分 3 1 经典路径 在经典力学中，a 和b 之闻只存在一个特定的轨道，称为经典软遭在所 有可能的路径中，这条特定的路径由适当的条件决定，最小作用原理是表示这 条件的最精彩的方法之一1 1 6 j 也就是说，存在某一个量s ，对于每条路径它都 能被计算，经典轨道就是使s 为最小值的那条轨道实际上，真正的条件为，s 仅是一个极值，也就是说，如果路径稍作改变，s 的值是一阶不变的量s 由 表达式 s = t 1 6 l ( 士z ：t ) d t( 3 1 ) 给出，这里l 是体系的拉氏函数对于质量为m 在势能、。( x t ) ( 它是坐标和 时间的函数) 中运动的粒子，拉氏函数为 = 詈毒2 ( 州) ( 3 ，2 ) 极值路径z ( t ) 的形式可用通常的变分方法决定。因此，设路径偏离王一个量 6 i - ( t ) ；岳的两个端点是固定的，这个条件要求 8 x ( t 。) = 5 x ( t b ) = 0( 3 , 3 ) j 使s 是一个极值的条件为：对于一级的6 z 、有 6 s = s 陋+ 6 t 】一s z j - 0( 34 ) 利用定义式( 3 1 ) ，我们可以得到 s z + d z 】：l “l ( 壬+ j 叠z + 6 x , t ) d t j h = 舯点f ) + 论篑m 警】斑。丘l 阶。) + 论茜“。筹】斑 = s i x + f 6 【菇丽o l 他a 口t 。) 以 ( 3 5 ) 1 6 壁：! 堕堑 一 一三- 分步积分，s 的燹分厩为 a s = 缸篆b 一6 如 爰( 篆) 一筹 出 由于6 z 在端点为0 ，方程右边第一项为0 在两个端点之间 因此，在极值曲线上，总是满足下面的条件： 一d(丽al)一面aldx = 。 、a 士 a z 当欢_ i 文赣县经典拉格朗日运动方程 ( 3 6 ) 6 z 可取任意值。 ( 3 7 ) 在经典力学中，有意义的是作用量积分s = ，l d t 的形式，而不只是极值 s c 这是因为必须知道一组相邻近的路径的作用量，才能决定最小作用量的路 径 3 2 传播子 在量子力学中，我们将从点a 到点b 的几率幅，称做传播子，也可以写成 k ( b a ) ，它是端点a 、b 间所有轨道的贡献之和。 按照薛定谔波动力学，一个量子体系状态l 寸( f ) ) 的演化由薛定谔方程给出 的 1 - 1 ： 沆晏m 啪= 补心) ) 1 3 s ) h 为体系的哈密顿量按照式( 38 ) ，体系在时刻的状态渺( n ) 可由m - i 麴j t ( 曼的状态l 乙( t ) ) 如下定出： i ( f ”) ) = e x p 一i h ( t ”一) 捌i u ( t ) ) 【39 ) 如采用坐标表象，则 ( ，、”l u ( ) = ( r ”l e x p 一i h ( t ”一，) 】口( 7 1 ) = 厂d 3 一( r ”i e z p 【一i h ( t ”一，) a l l ) ( r l ( t ，) ) ( 3 - l o ) 第三章路径积分 1 8 或者表示成 其中 妒( r ”，即= f d 3 x k ( r ”以r r ) 妒( r ，t )( 3 1 1 ) k ( r ”t ”，r ，) = ( r i i l e x p 一i h ( ”一t ) h l l r )( 3 1 2 ) 称为传播子其物理意义如下：设粒子在初时刻t 处于空间r 处( 位置本征 态) ，则k ( r ”t ”，r t ) 表示在以后某时刻t ”( 冬) 粒子处于空间r ”点的几率波幅 当然，粒子在t 时刻的量子态不一定是位置本征态，一般用i 砂( r 7 ，) ) 描述，则 t ”时刻粒子处于r ”点的几率波幅l 妒( r ，) ) 由 k ( r ”t ”，t ) 妒( r 7 t ，) d 3 2 7 给出，此即式( 3 1 1 ) 式( 3 1 2 ) 是传播子在坐标表象中的表达式 如换用能量表象，即用h ( 不显含t ) 的本征态j n ) 为基矢的表象， h i n ) = e 。旧( 3 1 3 ) 则式( 3 1 2 ) 可以表示为 其中 k ( - r ”t ”i j t ) = ( r ”i n ) e x p 一i 日( “一t 1 捌i ) ( 1 r ) n n j = 世( r ”) e z p - , i e 。( f ”一t ) h 1 6 。，世：，r 7 ) n n = 。：( r 7 ( 3 1 4 ) “( r j ，t ”) = 旷) e 印卜j 豌t t 。h j( 3 , 1 5 ) 显然，由式( 3 1 4 ) 可以看出，当t ”= t = t 时， k ( r ”t ”r t ) = 。：( r ) u 。( r ”) = d ( ，一r ”) ( 3 1 6 ) ” i ! ：! 堕量堡坌塑苎查星鲞 ! ! 3 3 路径积分的基本思想 在量子力学中，从a 到b 的过程中，不仅是那条特定的极值路径对总几率 幅有贡献，而是所有路径都有贡献他们对总几率幅贡献的大小是相等的，但 贡献的相角却不相同给定路径对相角的贡献就是该路径的作用量以用量子作 用量 为单位而表示的值。总括起来是，从时刻t 。的点到时刻“的点的几率 p ( b ，n ) = i k ( b ，a ) 1 2 这个几率幅是每条路径的贡献西陋( t ) 之和： k ( b ，n ) = 庐k ( ) 】 ( 3 1 7 ) 所有路径 一条路径的贡献具有一个与作用量s 成正比的相角： 毋【z ( t ) | _ c o n s te i s 3 6 ( 3 1 8 ) 这个作用量就是相应的经典系统的作用量 费曼路径积分理论的基本假定是如下构造传播子 k ( b ，a ) = c e 。5 删7 “ 所有路径 其中 r 日 s _ j ( 。工( 州) 出 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 代表粒子沿道路r ( t ) 从 到b 的作用量，l 是粒子的拉格朗日量，c 为适当 的归一化常数。这里的道路r ( t ) 并不限于使作用量s 取极值的经典轨道，而是 包括从a 到b 的一切可能的通道。于是粒子在b 点被测到的几率为 p ( b 4 ) = i k ( b 4 ) 1 2 l1 2 = l e l 2 i e i s r ( t ) “ ( 3 _ 2 1 ) l 所肓路径l 实际上，由于各种的道路是连续变化的，是不可分的，所以式( 3 2 1 ) 中的求和 将求和化为对所有连续变化的道路r ( t ) 进行积分这就是路径积分的由来我 第三章路径积分 们可以用一个不太严格的记号将所有路径上的求和写为 k ( b ，。) = ，a a b e i s ，1 6 d z ( )( 3 2 2 ) 这里，d r ( t ) 】就是表示对给定的初始点【a , b 】下的一切连续变化的可能轨道求 积分 如何计算这个道路积分，是一个困难的数学问题费曼是通过多边折变方 案来解决的 经典极限 按照费曼路径积分，粒子走各种路径的可能性都是存在的，但是在经典力 学中，粒子只选择走s 取极值的道路现在我们来考虑在经典极限下，该路径 是怎样变成最重要的路径的。按照路径积分理论，从 到b 的各轨道均应视 同仁地考虑，但沿不同轨道所贡献的几率波幅的相位不同，因而会导致干涉现 象设从a 到b 的某一轨道相应的作用量为s ，而与之相邻的另一轨道相应的 作用量记为s + 5 s 。一般说来，对宏观上可以区分的两条轨道，6 s 危，即相 位差5 s h l ，所以相邻诸轨道的贡献，彼此相消得很厉害。但是使s 取极值 ( 5 s = 0 ) 的一条轨道( 作用量为& 1 ) 的临域的诸轨道，在准到一级小o ( a s ) 下，作用量( s c f + o ( a s ) 2 ) 是相同的，因而相位相同这些相邻轨道的贡献，由 于相干叠加，将使总的几率波幅不仅不抵消，反而大大加强这就是宏观粒子 为什么总是沿最小作用量原理所指示的轨道而运动的量子力学说明 3 4 对路径求和 两个事件的规则 设t 。为t 。与t 6 之间的某时刻，则沿a 和b 间任一路径的作用量可以写成 s b n 】- s b ，c + s 【c a 】 ( 3 2 3 ) 这可以从作用量按其定义是一个时间上的积分得出。利用定义传播子的定义可 以写出 矗r m ) - 秒烨舯孙棚d z ( t ) ( 3 2 4 ) 图3 1 ：两个事件的规则 将任一路径分为两部分是可能的第一部分的端点为x 。和如x 。= x ( t 。) ) ， 第二部分的端点为和乩，如图( 3 1 ) 所示可以先对坟a 到c 的所有路径积 分，再对从c 到b 的所有路径积分，最后，对所有可能的z 。值积分。在计算积 分的第一步时，s b ，c 】是常数，因此，结果可以写为 ( 6 口) ：_ 厂e ( z t , ) 即州a ( c ) d z ( t ) 出。 ( 3 ，2 5 ) j z c ，c 式中的积分不仅必须在e 和b 之间的路径上进行，而且包括对可变端点z 。的积 分第二步，对具有任意值的某点z 。与点b 之间的所有路径进行积分，最后剩 下的工作就是对所有可能的值作积分因此， k ( b n ) = 凡( 6 ，c ) k ( c ，a ) d z 。( 3 2 6 ) j r c 选择一个分立的时刻作为t 。令t 。= t k 和工。= x k 首先对i 女的所有z ： 第三章路径积分 积分，这将引进因子k ( b ，c ) 最后要教的工作是对z 。进行积分这个结果可以 写成式( 3 2 6 ) 这个结果可以小结如下：从a 到b 的所有可选择的路径能用粒子在时刻t 。 所通过的位置z 。来标记于是，从a 运动到b 的粒子的传播子可以根据下列规 则计算： 1 从a 到b 的传播子是从a 到c 、然后再到b 的所有可能x 。的值几率幅 和 2 从a 到c 再到b 的几率幅就是从a 到c 的传播子乘以从c 到b 的传播 子 因此，我们得到规则如下：对于时间上相继发成的时间，其几率幅相乘 推广到几个事件 将所有的路径进行两次分割是完全可能的：一次在t 。，另一次在“一个 粒子从a 运动到b 的传播子可以写为 k ( b , a ) = 上。z 。k ( b c ) a ，( c - d ) k ( d , a ) d z ( f ) d x c d z a ( 3 2 7 ) 这就是说，一个从a 到b 的粒子可看成它从a 运动到d ，再从d 到c ，最后从。 到达b 。通过这样一条路径的几率幅是该路径上各部分传播子的乘积。在所有 可能的值和r d 上，对这个乘积积分就得到从a 到b 的所有这种路径的传播 子 继续进行这个过程，直到将时间分割成个间隔( 如图( 3 2 ) 所示) ，其结 果为 - ( 6 n ) ：_ ， j f lj x 2，x y l k ( b n 一1 ) k ( 一一1 n 一2 ) - k ( i 十1 i ) 一i c ( t a ) d x l d x 2 一d z x l( 3 2 8 ) 在这个定义中，一个粒子在无限小的时间间隔；的两点间运动的俺播子为 k ( i + t i ) = 蚓鲁( 半，竿半) j ( 3 f 。) l ! 主塑丝墨坌皇壁重竖立堡董丛 一塑 图3 2 ：路径的求和 它正确到e 的一阶近似因此，根据时间上相继发生时间的几率幅乘法规则， 对一个完整路径的几率幅，我们有 j v 一1 蝴) 】- 觋娶( z ) ( 3 3 0 ) 然后利用可选择的路径的几率幅的相加规则，我们就可以得到k ( ba ) 的定义 3 5 路径积分与薛定谔方程等价 在薛定谔理论形式中，用波函数描述例子的量子态例如一维粒子，用眇( z t ) 表征例子在时刻t 出现于x 点的几率波幅( 并不问其过去历史如何) 传播子则 直接给人以更细致的信息k ( x t 工“t ) 表示一种特别的几率波幅，即指明粒子 在t 1 时刻位于x 点，而在t 时刻出现于x 点的几率波幅两者的关系为 ， 妙( 上t ) = k ( z t z t ，) l ( 丁，t ) 如( 3 3 1 ) j 事实上，人们对例子过去状态的细节并无兴趣，只需用l ( 上t ) 就足以描述例子 的状态了粒子过去的历史情况已经反映在u ( 正t ) 中尽管人们忘记了过去历 第三章路径积分 史，只要知道某时刻t 粒子的波函数驴( z ，t ) ，根据薛定谔方程，就可以知道以 后粒子状态的演化由于薛定谔方程的形式比传播子满足的方程简单一些，所 以人们通常还是习惯与薛定谔方程打交道，采用w ( x ，t ) 这种描述方式 费曼路径积分理论的特点是采用完全不同的方案来建立传播子，把它与经 典力学中的作用量直接联系起来下面我们来讨论路径积分理论与薛定谔波动 的等价性为了简化起见，仍以一维粒子来讨论 考虑t + e ( _ 0 + ) 时刻粒子的状态砂( z t ) 有下列关系： v 扛，t + e ) = ( z ，t + e ；y ，t ) c ( y ，t ) d y( 3 3 2 ) 考虑到e _ 0 + ，在此无穷小的时间间隔中，传播子可以表示成 砷，m 归c e x p 隆( 丁z + y ：半t ) ( 3 s s ) 设粒子在势场v ( x ，t ) 中运动， = 妄m 未2 一i ( 。t )( 3 3 4 ) 则式( 33 3 ) 可以表示成 “川州= c e 唧 辨( 半) 2 ( 半t ) l ( 胁s s ， 最终，式( 3 3 5 ) 可以变为 瑶“川) = 卜笪2 m 旦o x 2 k f ) ( 3 3 6 ) 这正是薛定谔方程这也就说明了费曼的路径积分理论与薛定谔方程的等价性 第四章高温、高密状态下的氢等离子体的内能和压强 将配分函数对不同的热力学变量进行微分，就可以得到各种热力学性质方 程其中，对于内能e 和压强p ，有： 卢e = 一卢o l n 。q ( 4 1 ) p p = 万a l n q = 高ao a l n 。q k ： ( 4 2 ) 其中o z = l l o 是长度标度参数配分函数z 的表达式为： 她以耶) = 紫 ( 4 3 ) q ( 2 - l 也口) 2 莓如( 口r 盯，卢) ( 4 4 ) 其中3 = 1 k b t ，q = 口1 q 2 ，口沁 、r = r 1 r 2 ，7 k 分别为离子和电子的 坐标。盯= 0 - 1 ( 7 2 ，盯凡 为电子的自旋。在氢等离子体系统中有个质子 和气个电子，并且= k = 。 4 1 密度矩阵 对于一个有相互作用的系统，由于波函数很难求，所以确切的密度矩阵虽 然不知道但在高温状态下，可采用高温近似，用路径积分表示： 删呻莓卯1 邓) = 上，删叭删“叭 ( 士1 ) k p s ( o p c , ) 户p ( ( 4 j ) d p 其中p 三p ( n 卜，只( ) ：a 3 ) 三( 尺【一1 i e 一3 膏i r ( ) ，j 三：3 ( n + 1 ) ， a ：= 2 7 1 1 2 z 生3 r a 。，o i = p ，e 膏为哈密顿算符，矗= 尺t0 ，包括动能贡献矗 和势能贡献p 此外， r 2 = ( 口“1 r ( 。) 三( 月：r 9 1 ) ，其中i = 1 ，n + 1 ， 邴o ) 三( q r ) 三( r 妒) ，硝) ，并且尉”1 ) 三只( 叭，d 7 = 巧，即把每个粒子用一个 2 5 蔓堕童壹星：蔓童鉴奎! 塑堑苎曼王签盟塑堕塑匿塑堑 费米循环( 1 0 0 p ) 表示：【r 】三【兄( 叭，r ( ”，r ( ，r ( ”1 ) 】s 为自旋部分，置换 效应是由置换算符p 描述的，作用在粒子坐标和自旋投影上，体现在奇偶算符 尺p 上对于费米子来讲取负号。这样就该求和号包含了札! 2 个正项和札! 2 个负项，而具体哪一项为正的，哪一项为负的却很难确定也就是说，不好确 定密度矩阵对路径积分的贡献是正的还是负的这就是费米符号问题由于电 子和质子在质量上的巨大差别，在我们讨论的范围内，依然把质子看作经典粒 子。不采用高温近似条件 在r p i m c 方法中，他们事先选取一个节面，通过限定积分的路径为不穿 过并且也不接触节面，而使密度矩阵的贡献始终为正，从而解决了费米符号问 题 3 l 。只是我们所知道的节面较少，比较常用的节面是自由粒子节面 矩阵元素p ( ”可以写成 r ( 卜1 ) i e 一口日l r ( 2 ) = ( r ( 。一1 l e 一口( f + k l r ( 2 1 ) = ( r ( ) l e - 口d e - 日r e 2 笋窥q r ( z 1 )( 4 6 ) 在高温近似的条件下，即x 3 1 ，可以舍去二阶小量，得 ( r ( 卜1 l 芒一d h l r ) = ( r ( i - 1 ) l e 3 u e 一3 k i r ( 1 ) 则式( 4 5 ) 变为 p ( q ，加；卢) = 赤风( q ”3 ) ( 4 7 ) d l as = 0 其中 风( 口，【叫ij ) = 杂e - i u ( q , r , 3 1h 1 i 蛎d e f 心l 。 ( 4 8 ) 其中势能项为： u ( q ，口) - 。卯( q ) + 手堕型：望l 盟型业 一 r = 。卯( q ) + 型必等导业型 ( 4 9 = u 其中 p p ，【f ，c p 分别代表质子之间、顶点l 上的电子之间和顶点l 上的电子 与质子之间的势能我们引入了循环上相邻顶点之间的无量纲距离f 1 ，f “， 坚：! 鉴! ! 竖堑! ! 嘞三e x p 一”i 锣1 2 】，显然 r 】兰i r ，r + 儿f 1 ，r + a 。( 1 + f 2 ) 】我们需要强 调的是上式并不包含一个对置换的求和，因此也就克服了费米符号问题实际 上整个置换问题包含在了一个独立的置换矩阵里： 1 1 妒2 ；钿。三h 一碍7 1 。1 mj 2 m ( 4 1 0 ) 其中鳢= a a 。：一 ) 由于自旋累加，矩阵带有一个下标s ，它代表具有相 同自旋的电子的数目 4 2k e l b g 势 由于质子的质量与电子的比起来镘大。所以在我们的讨论范围内，可以把 质子当作经典粒子处理，质子一质子之间的相互作用势可以近似地用库仑势表 示；而对于电子一电子之间和电子一质子之间的相互作用，为了包含其量子效 应，我们这里采用k e l b g 势： 矿 ，却) = 玩e a e b 1 一e 一。蠢+ 征曲( 1 一弛n 6 j ) 】( 4 1 1 ) 其中r 曲= i r b l a 曲，a 毛= ；等并且“i = m i l + m f l e m ) 。击d t 0 e “ ( 4 1 2 ) 7 rj 是误差方程 随着耦合度r 的增大，库仑相互作用作用越来越被屏蔽另外，随着简并 度m 、3 的增大，电子的热波长也会随着增大，这两方面都会增大短程作用势 并且在粒子间距离为零的时候出现奇点的可能性增大所以我们对于电子一质 子之间的相互作用势也采用k e l b g 势( v s f i l i n o v 等人的方法中，对于电子一 质子之间的相互作用势采用的是库仑势) 这样我们就将所有与电子有关的粒 子间的相互作用势都采用了k e l b g 势，充分考虑了电子的量子效应由干量子 效直，在近距离( r a ) 的范围内，k e l b g 势与库仑势的差别较大采用k e l b g 壹堕童j 堑塾塑墼堕薹互! ! ! 垡直至笠丝直照塑匡堡 一一塑 势能够避免产生奇点，从而使在r = o 处的值为有限大的此外，k e l b g 势通过 德布罗意热波长a 与温度有关系 4 3 高温、高密状态下的氢等离子体的内能和压强 由式( 4 i ) 我们可以得到内能的表达式 = ；( 札+ ) + 虿1 霹石墨万叁由打蜓风( 州味岁) 耄篙+ 毫薹寄卜r i 2 k 2 + y v l