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太原理i ：人学硕十研究，上学位论文 r7 8 弘i 0 多类型分枝过程 摘要 首先，本文在介绍g w 分枝过程一些基本理沦、随机环境 分枝过程的主要结论以及两类型分枝过程的基础上，使j j 高等 数学中的极限、导数、泰勒公式等基本理论、方法及非负矩阵 论知识证明了一般两类型分枝过程是否必然火绝的判别定理； 并得h 了当其均值矩阵为对称阵时，其灭绝概率与均值矩阵中 元素的关系。 另外，本文还介绍了随机环境分枝过程混合重组的模型， 州：在此基础上，证明了：给定一个繁衍概率母函数均值待定的 两状态独市同分布随机环境分枝过程，若该随机环境分枝过程 是下临界的，则通过适当选择其繁衍概率母函数均值的取值 后，它的两个独立复制过程总能够混合莺组为个上临界随机 环境分枝过程，但反之，若该随机环境分枝过程足上临界的， 则它的两个独立复制过程彳i 一定总能够混合重组为个_ 卜临 太原理1 人学碾叶：训f 究生学伉论文 界随机环境分枝过程。 最后，本文简单介绍了多类型分枝过程及随机环境多类型 分枝过程。 关键词：随机研：境分枝过程，多类型分校过程，复制过程，混 合重组，灭绝概率 太原理；，人学颤+ 研宄生学位论j ： m u l t l t y p eb r a n c h i n gp r o c e s s a bs t r a c t f i r s t l y , i nt h isp a p e rs o m ee l e m e n t a r yt h e o r i e sa b o u tg w b r a n c h i n gp r o c e s s e s ，s o m ep r i m a r yc o n c l u s i o n sa b o u tb r a n c h i n g p r o c e s s e s i nr a n d o me n v i r o n m e n t s a n d t w o t y p eb r a n c h i n g p r o c e s s e sa r ei n t r o d u c e d o nt h e s ef o u n d a t i o n s ，t h r o u g hu s i n gt h e e l e m e n t a r yt h e o r i e sa n dm e t h o df o re x a m p l ea sl i m i t ，d e r i v a t i v e ， t a y l o rf o r m u l aa n ds oo ni nt h eh i g h e rm a t h e m a t i c s ，a n ds o m e k n o w l e d g eo fn o r l n e g a t i v em a l r i x ，t h ed e c is i o nt h e o l e m a b o u t t h a tat w o t y p eb r a n c h i n gp r o c e s si sc e r t a i n l ye x t i n c to rn o ti s p r o v e d a n dt h er e l a t i o nb e t w e e nt h ee x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e sa n d t h ee x p e c t a t i o nm a t r i xi sg i v e n ，w h e nt h em a t r i xi ss y m m e t r i c a l 太原理i 人学硕+ 研究生学位论文 i na d d i t i o n ，am o d e la b o u tm i x i n go rm i g r a t i o no fb r a n c h i n g p r o c e s s e si nr a n d o me n v i r o n m e n t si si n t r o d u c e d o nab a s i so ft h e r n o d e l ，at w o t y p ei n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l yd is t r i b u t e db r a n c h i n g p r o c e s s i n i n d e p e n d e n t i d e n t i c a l l y d i s u i b u t e dr a n d o m e n v i r o n m e n t sw i t h2s t a t e sw h o s e r e p r o - l u c t i o np r o b a b i l i t y g e n e r a t i n gf i l n c t i o nd e r i v a t i v e i sa nu n d e t e r m i n e dc o n s t a n ti s g i v e n w h e nt h i sb r a n c h i n gp r o c e s si nr a n d o me n v i r o n m e n t si s s u b c r i t i c a l ，i ti sac e r t a i n t ) t h a ti t st w oc o p yp r o c e s s e sc a l l b e m i g r a t e d a s u p e r c r i t i c a l b r a n c h i n g p r o c e s s i nr a n d o m e n v i r o n m e n t st h r o u g hg i v i n ga np r o b a b i l i t yg e n e r a t i n gf u n c t i o n e x p e c t a t i o n h o w e v e r , i t st w os u p e r c r i t i c a lc o p yp r o c e s s e s c a nn o t a l w a y sb em i g r a t e das u b c r i t i c a lb r a n c h i n gp r o c e s s i nr a n d o m e n v i r o n m e n t s i nt h ee n d ，t h em u l t i t y p eb r a n c h i n gp r o c e s s a n dt h e m u l t i t y p eb r a n c h i n gp r o c e s s i nr a n d o me n v i r o n m e n t sa r e i n t r o d u c e db r i e f l yi nt h i sp a p e r k e yw o r d s ：b r a n c h i n gp r o c e s si nr a n d o me n v i r o n m e n t s i v 太原理l ：人学硕十研究生学位论文 m u l t i t y p eb r a n c h i n gp r o c e s s ，c o p yp r o c e s s ， m i x i n go rm i g r a t i o n ，e x t i n c t i d f ip r o b a b i l i t y v 太原理i ：人学硕十研究生学位论文 第一章预备知识 1 1 分枝过程的定义及发展 为探讨英国贵族姓氏继承与谱系消亡问题g a l t o n 和w a t s o n 于1 8 7 3 年建立了一种新的随机过程模型，此模型的建立奠定了经典分枝过程的 基础，因此经典分枝过程通常称为( ；a l t o n w a t s o n 分枝过程( 简记为g w 过程) 。 定义1 1 g w 过程是一个取非负整数值的m a r k o v 链 互，：”= 0 ，l ，2 ， z 1 z o = 膏；z = 鲁，( h = 0 i ，2 ) ； j 口l 其中k 为某指定的正整数，f ，( f - 1 , 2 ) 是一个驳非负整数值、服从同一 概率分命律 见：j = o ，1 ，2 或具有相同概率母函数中( s ) 的独立随机变 量序列( 简记为 i ，d 序列) 。 一个g w 过程可设想为一个种群演化模型：设某物种在丌始时刻0 有 z 。= k 个称为第0 代或“祖先”的个体，他们根据同一概率分布律 p ，：、，= o ，1 ，2 ( 其中p 。表示每一个个体产生j 个下一代的概率) 相互 1 太原理l + 人学硕十研究生学位论文 独立且随机地繁殖若干个新个体，所有这些新个体的总数z 恰是z o = k 个服从同一概率分布律 p ，：，= 0 ，1 ，2 或具有相同概率母函数( s ) 的 相互独立随机变量六( f _ 1 , 2 ，k ) 之和。然后，这五个新个体构成第一代 并重复上辈的演化面繁衍出乙个第2 代个体。依此规律一代代繁衍下去。 在此过程中，不管哪一代中的哪一个个体，其繁衍下一代的数日只取决 于上述的同一概率分布律 p ，：，= o ，l ，2 ) 或相同概率母函数中( s ) ，雨不 受其前辈或同代中其它个体的影响。以z ，表示第玎代个体的总数，则 ( z 。 就是一个g w 过程”1 。 在一般g w 分枝过程中，不同个体全部遵循同样的概率分布律而独立 繁衍后代这种时齐性假设，给数学处理及诈- 多实际模型的简化带来极大 的方便。但是，出于自然界中的物种繁衍过程大多都受个体i 、扫j 相互作用 以及其他因素影响而具有相互依赖的关系，因而使得经典分枝过程模型 在应用上受到一定的限制。为弥补g w 分枝过程因时齐性假设而造成的应 用上的局限性，随机环境分枝过程在这种背景下应运而生。 1 2 随机环境分枝过程的定义与主要结论 随机环境分枝过程这一概念最早由s m i t h 和w i i k i n s o n 提出。他们 在般g w 分枝过程 乙 的基础上增加了坏境随机变量 ) ，于1 9 6 9 年 建立了独立同分布环境中的随机环境分枝过程，并在1 9 7 1 年推出了 2 太原理1 人学硕十研究生学何论文 m a r k o v 环境中的随机环境分枝过程。州年，a t h r e y a 与k a r l in 建立，半 稳遍历环境中的随机环境分枝过程。 定义1 2 设 z 。) 为定义在某概率空间( q ，f ，| p ) 上的取非负整数值 的随机变量序列且 z z o = 七；z 。，= 盱，( h = 0 , 1 ，2 ) ； 其巾 为某指定的常数， 乒， 为随机环境。若对每个一，当给定所有氛，、 z 。及 彰) ( o m ) 时， f 产：，= 0 , 1 ，2 为相互独立且服从同一概率 分嘶j 律i p ，( ，) ：j = 0 , 1 ，2 ) 或具有相同概率母函数厶( s ) 的随机变量序 列，则称 z 。) 是初值为 的伴有随机环境 厶) 的随机环境分枝过程j 3 。 显然如此定义的随机坏境分枝过程，其第n 代的个体独立繁殖第 n + 1 代新个体时，不再象g w 分枝过程一样依赖于个不变的概率分布律 p ，：，= 0 , 1 ，2 或概率母函数m ( s ) t 而是随h 的不同，依赖于出坏境 鼻， 的状态所决定的概率分靠律 n ( 乞) ：，= 0 ，l ，2 ) 或概率母函数 中矗( j ) 。 1 2 1 独立同分布环境下随机环境分枝过程的主要结论 s m i t h 与w i l k i n s o n 利用( z 。) 在独立同分布坏境中耿一个任何有限一 3 太原理l ：人等：硕十研究生学位论文 整数均为瞬时状态的m a r k o v 链的性质，便用更新过程的分机妓j j 结合关 千独立随机变量和的波动理论的方法，得到以下结论”。： ( 1 ) 在独立同分御坏境中，当n 趋于无穷时， z ， 或灭绝或无限增大， 而不会停留在一定的规模上。即： p z 。_ 0 或z 。一0 0 ，( ”。) = i 。 ( 2 ) 对于s m i t h w i l k i n s o n 随机环境分枝过程 z ，i z 。= 女) ，若 l l 。g o l - o ) 】 o 且目一l 0 9 0 一巾矗( o ) ) 】 时，q 1 ； 当e 1 0 9 l ( 1 ) 】0 时，q = 1 。 g r e y 与l u ( 1 9 9 3 ) , 就q 0 ) ，即：g 女趋予0 时的渐近 j 为 i 呻2 i o g 疗 除十廿差一个取对数l o g 后比1 0 9 七低阶的因子外大致与七嘲相当。 太原理i ：人学硕十研究生学何论文 在( b ) 类有：女l i m - l o 女g q k = 一l 。g x “，( o 兰工。( 1 ) 即：目女趋于。时的 渐近行为除相差一个取对数l o g 后比k 低阶的因予外火致与x 。k 相当。 徘) 黼o ( 渺l i m 等! 臻s u p 等 o 。棚射叫 h m 0 k h m q k 的渐近行为除相差一个取对数l o g 后比i 低阶的因子外大致与p 一冉相当。 1 2 2 一般平稳遍历环境下随机环境分枝过程的主要结论 设 z 。) 二是平稳遍历环境下的随机环境分枝过程，对v a r ，记 日+ = m a x a ，o ，a t h r e y a 与k a r l i n ( 1 9 7 1 ) 和j mc h u r c h 的一个关于概率母函 数迭代性质的定理，在研l o g 中奠( 1 ) 】+ 。的条件下把上述 s m i t h w i l k i n s o n 随机环境分枝过程中的结论( 1 ) ( 当玎趋于无穷时， 乙) 或灭绝或无限增大，而不会停留在一定的规模上) 推广到一般的平稳遍历 环境下的随机环境分枝过程。就一般平稳遍历环境下的随机环境分枝过 程，a t h r e y a 与k a r l i n 得出以下结论“1 ： ( 1 ) 当【l o g 中奠( 1 ) 0 时，q 女= 1 ； ( 2 ) 当0 e 1 0 9 o ( 1 ) 】 o o 且e - l o g ( 1 一中 ( o ) ) 】 0 0 时，吼 o ，表示第代中类 2 型f 个体的总数”，i = 1 , 2 ；记l z 。i = z ：2 五+ 乏，表示“第”代个体的 t = l 总数”。 ( 2 ) 设类型i 个体繁衍子代的概率母函数为： 中( s ) = p ( j ) s j ， j 卸 9 太原理i ：人学硕十研究生学位论文 其中： s = ( s ，s ：) ，j = ( ，。，_ ，：) ，s 1 = s i l s 少，p 。( j ) 表示类型f 的个体 t - j 1 个类型1 ，：个类型2 的予代个体的概率。 ( 3 ) 记e 。= ( 1 ，0 ) ，e 2 = ( o ，1 ) ，当z 。= e i 时，记z 。的概率母函数为中：，( s ) m 。( s ) = 扣! ，( s ) ，中：( s ) ) ，m 。( s ) = m ( s ) = p ( s ) ，中2 ( s ) ) ，则有 f o ：( s ) = s ，( f = 1 ，2 l l $ ：。( s ) = 中扣。( s ) l o = 0 , 1 “2 ) 并且，m ，( s ) = 中。( 由。( s ) ) 。 ( 4 ) 记m = ( 聊。) 2 。2 ，m ，= e ( z i z 。= e i ) ，易见：e ( z 。l z ”) = z w m “ 静7 ( s ) 1 m 1 12 亨l 一 勋( 1 ，1 ) c 3 s j ( 5 ) 记灭绝概率q ：( g ，qz ) ，其中：口1 = j 口2 。= 0 , 3 行f z 。= e 叮2 = j f ， z 户0 , 3 胛l z 。= e ： 。 ( 6 ) 定义向量v = ( v ，v ：) 的绝对值为其坐标绝对值之和：1 v l = h + i v ： 2 2 两类型分枝过程的灭绝概率 定理2 i ：假定q 。( s ) 不是_ ，5 ：的线性函数，m 0 ( m 中的每个元素为 限) ，p 为m 的最大特征根。如果p 1 ，那么q = 1 ：如果p 1 ，那 1 0 太原理i ：人学颈十研究生学位论文 么q 1 时，q 是s = m ( s ) ( s 1 ) 的最小非负解1 。 证明：首先，我们考虑p s l 。 根据马尔可夫链的性质可知，当中。( s ) 不是毛，s 2 的线性函数且p 1 及l z ，| = z ：+ 刃时， p o i z 。l o ，i = 1 , 2 ； q 卜巾。( q ? ，q ? ) o ( o ) = g j ，i = 1 ，2 山归纳法得， q - + = o ( q ：，q 2 ) 巾7 ( q j + q l 。) = 或，i = 1 , 2 a 所以辞：( h = t , 2 圳3 ，) 是一单增序列且豉1 ，i = 1 , 2 ，故有： l i r a q ：= q s 1 , i = 1 , 2 。 住( 2 ) 式中，令月_ o 。，则：q 。= 巾。( 目，q2 ) ，i = 1 , 2 或 q = c p ( q ) a 我们下面证明q l 以及q 为s = 零s ) ( s 1 ，当( 7 ) 中的n 充分大时，! i 。m 。 m “s i | s | ，s = ( s t ，s 3 ) ，s o 。 从( 4 ) 和( 7 ) 可得出： 1 一面。( 1 一s ) p i s l 当0 s 1 时，l s l 充分小；此时”充分大，令 月，再设v ：l s ， j j 1 一o 。( v ) i 1 1 一。 其中1 1 一v 1 ( s ，0 v 曼1 。 以下运用( 8 ) 证明q l l 一巾( o ) | ( 9 ) 当 r 充分大且j 1 一m 。( 0 ) l f 时，( 9 ) 成立；但它与当n 哼时，中：，( o ) 造于1 矛盾，所以假设( q = 1 ，即g = 1 ，i = 1 , 2 ) ；f 成立。 1 4 太原理i 人学硕。h 研究生学位论文 假没q 。 1 ，q2 = 1 ，则：q 。= 中。( 口1 ，1 ) ，1 = q2 = 巾2 ( 口，1 ) 。 通过上街两式可知，当q 。 0 矛盾，假设( q 1 ，q2 = 1 ) 不成立。 同理可证，q 1 = l ，q2 l ，不成立。 故q 1 。 最后证明q 是s = 中( s ) ( s 0 且q = m ( q ) ，因为此函数具有单调性，所以 q = m ( q 。) 中。( 0 ) ： 将 ：式迭代可得：q m 。( 0 ) ；取极限得：q q 。 定理2 2 ：存定理2 1 的条件下，如果q 为小于l 的任何向量，那么 l i m _ ( p 。( q ) = q 1 。 太原理i ：人学硕十研究生学位论文 证叫：设0 q7 o 时，分蹦称该随机环境分枝过程为下临界的，临界的， 上临界的。故当 z ) 为一个下临界随机坏境分枝过程时，有 e l o g o ；( 1 ) 0 ，即 “1 八中：( 1 ) + ( i 一口) l n 巾：( i ) = a , l n x i + ( 1 一盘) l a x 2 0 或x ? 艽：口 1 。 3 3 定理及主要结论 定理3 1 ：设两状态下l 临界独立同分布随机环境分枝过程 乏 的两个独 立复制过程 z ， ，i = 1 , 2 混合重组为一个随机环境分枝过程 z 。 ，则 总存在一 0 ( i = l ，2 ) ，使当 乏j 的繁衍概率母函数均值西：( 1 ) = 工 ( i = 1 ，2 ) 时，混合重组过程 z 。) 为上临界的。 证明：因为 z ： 为下临界过程，故x ? x r l 。 记口：竺一，则有屯 x y ，为简便，不妨设p 1 ( 否则，记 l 一口 口：生，则有l ，可类似地讨论玉 巧9 ) 。 = l 于 z 。1 为 z ：) 的两个独立复制过程 z ，) ，j = 1 ，2 的混合重组 过程，易见 z 。 等价于一个三状态独立同分布随机环境分枝过程，其相 应的繁衍概率母函数均值m 的分布为： p m = x ，) = 口2 ；p m = x ： = ( 1 一口) 2 ； p m = 眠+ ( 1 一叻t ) = 2 a ( 1 一曲； 2 0 瓜原到一t ，人1 学硕十研究， 学位i ：i 文 从而对 z 。 有 e 1 nm 】= 口2i n 工。+ ( 1 一口) 2i nr 二+ 2 a ( 1 一口) i n ( a x + ( 1 一口) 上! ) 即：e i n m ：l n x , 。x y ：( 锻十( 1 一a ) x 。) ：邮。 由1 知，x i 4 x i 4 ；故由x ： x 1 4 2 x i 4 和x 。a x ：i - 。 0 ，存在万。 0 ，使当x ： i 旷瓯时，l - e , , ( 1 一口) 一( ( 1 一氏) 一一2 a ( 1 - a ) 一a 6 1 ) j ( 1 一a ) 一1 ( ( 工? 2 x ? 一。3 ) 2 “( 1 一“1 一缎1 ) 即 x ? 工；”：( 删，+ ( 1 一a ) t ) 2 。1 4 1 ； 或 研l n m = l n 9 2 墨。( 缎+ ( 1 一a ) x ：) 2 一” o 。 从而选取_ 妒一百时，即可使等可能混合重组过程 z 。 成为上 临界随机环境分枝过程。 由定理3 ，1 的证明易见，使得两状态下临界独立同分布随机环境分 枝过程f z j 的两个独立复制过程的混合重组过程 z ，j 成为f 二临界随机 环境分枝过程的( x t , x ：) ，其存在情形大敛范围如图3 一l 阴影部分所示。 ，1 太原理i ：大学硕i ：研究生学位论文 图3 1 定理3 1 ( x l x 2 ) 存在范围图 f i g 3 1t h eb o u n do f ( x ix 2 ) i n t h e o r c m3 1 定理3 2 ：设两状态上临界独立同分布随机环境分枝过程 z ： 的蕊个独 立复制过程 z l o ) ，江1 ，2 混合重组为一个随机环境分枝过程 z 。) ，则不 一定总存在_ o ( i = 1 ，2 ) ，使当 z ：) 的繁衍概率母函数均僮 中：( 1 ) = 鼻( f ：l ，2 ) 时，混合重组过程 z 。 为下临界的。 证明：构作反例如下。设 z 为两状态独立司分布随机坏境分枝过程 z ： 的两个独立复制过程的混合重组过程，若 互 为一个上临界随机环 境分枝过程， z 。 为一个下临界随机环境分枝过程，则有 口i n x l + ( 1 一a ) l n x ! 0 ； ( 1 ) 2 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 口2t n x t + ( 1 一甜) 2l n x 2 + 2 c r ( 1 一口) i n ( c c c 】+ ( 1 一a ) x 2 ) x i l 和工： 0 ，恒有x i l 一x 。+ 2 故知不存在工，x 。) 0 能同时满足( 1 ) 和( 2 ) 。( 可参见圈3 - - 2 ) “j 3 x ，| 扎 雨 7 令o 。即 l 1 2 小, + ( t - a ，x l ： nb = o 圈3 2 口= 妻时x ix 2 存在范围圈 2 f i g 3 - 2t h eb o u n do f 曩以口= 圭) 不难看出，对于一般的由两状态上临界独立同分布随机环境分枝过 程 互 的两个独立复制过程的混合重组过程 z 。 ，有可能便它成为下旗 界随机环境分枝过程的( x ，x ，) 其存在情形只能在图3 - 3 阴影部分内。 太原理工大学硕士研究生学位论文 “： ， 饕鬟，一 x k l o 2 扑。，幽r 6 0 ，使得m ” 0 ，则称多类型分枝过程( z 。 是f 规的( p o s i t i v e l yr e g u l a r ) ；若中。( s ) ( 1 i i ( ) 均为$ 1 , - - - , s 的线性函数 且无常数项，则称多类型分枝过程 z 。 是奇异的( s i n g u l a r ) “。 定理4 1 设多类型分枝过程 z 。 是正规且奇异的，则对 v i = ( f 【，一，) 0 ，总有：e ( z 。= i 无穷次出觋) = 0 “。 注：0 是常返的5 当_ j = 2 时，0 1 ( s ) = s 。s ：，中2 ( s ) = 1 ，虽菲奇异但不正规，因为 m = ( ：爿，但出于p t z 。；c t 舢l z 。= c 。，= ，则。娜为常返的； 定理蕴含，不论z 。为何值，只要i 0 ，总有l i r a p z 一= i ) = 0 a 定理4 2 当多类型分枝过程 z 。) 是正规非奇异时，如果p 1 ， 那么q = 1 ：如果p l ，那么0 - q 是正规菲奇冥对，则对 v s ( o s 1 ) ，有q = l i m 。( s ) 吧 推论4 1 在0 、1 之间m ( s ) = s 的解仅有q 、1 z 4 1 。 推论4 2o s q l - 0 ，m 0 ，i 、j 可以相同，则称i 、，类型相通。易见，一个类型与其它类型相通，则与 自身相通。 若一个类型既不与自身也不与其它类型相通，则称该类型为奇异的。 将奇异的归为一类，其它按相通分“类”。若c 为一个“类”，且具有它 包含的状态的每一个个体以概率卜晗生一个属于c 中类的下一代( 不属 于c 中类的个体也可能被生) ，则称c 为终极类( f i n a lc l a s s ) 。 定理4 4 多类型分枝过程 z 。) 对每个z 。灭绝概率均为1 的充分必 要条件为p 茎l 且不存在终极类“。 4 2 随机环境多类型分枝过程 这里给出随机环境多类型分枝过程的数学描述。 设具有k 个类型的随机环境为独立同分布随机变量序列 的多类 型分枝过程 z 。 ，记 z 。) 的状态空间为丁， 厶) 的状态空间为o 。为了 以后研究方便，我们引入如下一些记号并将相关结论同时附上。 ( 1 ) z 。= ( z ：，z ：) ，其中z - 0 ，表示“第”代中类型f 个体的 t 总数”，1 曼i k ；记l z 。i = 瓦，表示“第代个体的总数”。 = j 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 2 ) 第n 代中类型i 个体繁衍子代( 即盯+ 1 代) 的概率母函数为 中奠( s ) = p 奠( a ) s i ， d e r 其中；a = ( 呸。，以) ，s = ( s ，一。) 1 0 ，1 。，p 乙( a ) = p 0 ，吒) 为第 ”代中类型i 的个体生成q 个类型l ，a 。个类型k 的子代个体的概率。 ( 3 ) 记m 矗( s ) = ( 中奠( s ) ，中色( s ) ) ，对v a ，b t ，当p z 。= a 0 时，p ( a ，b ) = p ( z 。= b l z 。= a = e ( o ( s ) ) 中s b 的系数，它为 z 。 的一 步转移概率，即：e ( 西( s ) ) 4 = p ( a ，b ) s “。 b e t ( 4 ) 当z o = a 时，记z 。的概率母函数为：g 。( s i a ) ，显然有 g 。( s i a ) = s ? s a k = s 依此类推可得： i g 。( s l a ) = ( n i - 1 中：0 ( 。矗( 矗一。( s ) ) ) q k = e ( g 巾_ 一( 西矗一：( 。如( s ) ) ) = e ( o t 一( 辔靠一：( o 靠( s ) ) ) 。 ( 5 ) 若l i 霉! 兰生堡! 生：。( j ，) 存在，贝l j m e ( f ，j ) 为一个第n 代 f一0t w 类型i 的个体在环境厶下生出的类型予代数目的均值：记 m = 矗( f ，朋，m = e m = ( e r a 矗( f ，) ) 枞，则有 e ( z 。+ i z ) = z m ”，( 口s ) ，( 玎，n = 0 , 1 ，2 + ) ； 2 9 太原理f ：人学硕士研究生学位论文 从而：e ( z 。i z 。= a ) = a m ”，( 口置) 。 ( 6 ) 记口( a ) = p z 。= o ，对某个”= 1 ，2 ，3 i z 。= a ) ，称其为 z 。) 的灭绝 概率，因为p ( o ，o ) = 1 ，所以g ( a ) = l i r a 。p z 。= 0 i z 。= a ) = 熙g 。( o la ) 。 c - ，记f 妻：i ! m 。x ， 。：。，。，：， 则 x 。 为 z 。) 的对偶过程( d u a lp r o c e s s ) ，x 。= ( 列，霹) 。 易见：o x 川= m 矗( 中矗1 ( m 如( x o ) ) ) ； ( 萤x 。i x 。= s 【o ，1 1 4 x 。i x 。= 0 ； g 。( s l a ) = ( x ：i x 。= s ) = ( m 矗。( 母矗一：- 一( m “( s ) ) ) ， a r ， s 【o ，1 r ，雄= 0 , i ，2 ： q ( a ) = l i m e ( x ：l x 。= 0 ) ，a r 。 定义4 2 设m 有限，若j ”使得m ” 0 ，则称多类型随机环境分枝 过程 z 。 不偏( i m p a r t i a l ) 2 0 2 1 1 5 2 2 ；。 定理4 5 设 z 。 不偏t 若9 i 使得q ( e ，) = 1 ，则：q ( e ，) = 1 ， w = 1 , 2 ，k 啪f - “”。 定理4 6 存在女维随机变量v = ( v l ，v ：，v ) 【0 ，l 】，使得 x 。山v ，且g ( a ) = e ( v9 ) ，a t 。 太原理工大学硕士研究生学位论文 证明：由 2 3 第八章1 中例( d ) 即得。 3 1 太原理一i ：人学硕十研究生学伉论文 5 1 结论 第五章结论与展望 首先，本文在介绍g w 分枝过程一些基本理论、随机环境分枝过程的 主要结论以及两类型分枝过程的基础上。使用高等数学中的极限、导数、 泰勒公式等基本理论、方法及非负矩阵论知识证明了一般两类型分枝过 程是否必然灭绝的判别定理：并得出了当其均值矩阵为对称阵时，其灭 绝概率与均值矩阵中元素的关系。 另外，本文还介绍了随机环境分枝过程混合重组的模型，并在此基 础上，证明了：给定一个繁衍概率母函数均值待定的两状态独立同分布 随机环境分枝过程，若该随机环境分枝过程是下临界的，则通过适当选 择其繁衍概率母函数均值的取值后，它的两个独立复制过程总能够混合 重组为一个上临界随机环境分枝过程，但反之，若该随机环境分枝过程 是上临界的，则它的两个独立复制过程不一定总能够混合重组为一个下 临界随机环境分枝过程。 5 ，2 今后的工作设想 太原理工大学硕士研究生学位论文 在定理3 2 中，我们仅对口= 妄作出了判断，对于一般的ae o ，1 j 是 否能将上临界随机环境分校过程的两个独立复制过程混合重组为一个下 临界随机环境分枝过程尚须探讨。 另外，本文只对两类型分枝过程作了初步研究，今后我们可以在两 类型分技过程的基础上研究多类型分枝过程；并可在两类型分枝过程中 引入“环境”因素的基础