（数学专业论文）孤子方程的精确解及其符号计算研究.pdf

摘要 本文利用h i r o t a 方法，双线性b 赴k l u n d 变换，w r o n s k i a n 与p f a q f f i a a 技巧，结合计算 机符号计算对一些具有物理意义的孤子方程的精确解进行了深入而广泛的研究总结了 h i r o t a 双线性方法的各种推广及应用；探讨了h i r o t a 双线性方法与其它孤子方程求解方 法之间的广泛联系以及与可积性的内在关系；充分展示了h i r o t a 双线性方法是孤子方程 求解的强有力的工具 在第一章中对h i r o t a 双线性方法作了直接的推广性发展，并具体地研究了r a m a n i 方 程，获得具有不同于经典孤子解带有奇异性的一类精确解，同时分析研究了r a l n a n i 方程 的双向传播问题 第二、四章，应用双线性b a c k l u n d 与w r o n s k i a n 技巧分别对b o u s s i n e s q 和复k d v 方程 进行了研究 第三章主要对非等谱m k p 方程进行了研究提出了非等谱m k p 方程两种形式的 g r a m m i a n 形式解，并说明了这两种解具有不同的特点 关键字# h i r o t a 方法，g r a m m i a n 解，w r o n s k i a n 技巧，双线性b c k l u n d 变换 中图分类号： a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w i t ht h eh e l po fs y m b o lc o m p u t a t i o n ，w ec o n s i d e rt h es o l u t i o n so fs o m e s o l i t o ne q u a t i o n sb yh i r o t am e t h o d ，b i l i n c a rb i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，w r o n s k i a na n dp f a f f i a n t e c h n i q u e i ti se v i d e n tt h a th i r o t ab i l i n e a rm e t h o di s8p o w e r f u lt o o lf o rs o l v i n gaw i d ec l a s s o fn o n f i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n m o r er e m a r k a b l ei st h a tv a r i o u sp h y s i c a l l yi m p o r t a n ts o l u t i o n s t ot h es o f i t o ne q u a t i o n sc a nb ep r e s e n t e de x p l i c i t l yb ym e a n so fh i r o t ab i l i n e a rm e t h o d i nc h a p1 ，t h eh i r o t ab i l i n e a rm e t h o di sg e n e r a l i z e da n di n v e s t i g a t e d ，w h e r et h en - s o l i t o n - l i k es o l u t i o n sw i t hs i n g u l a rs l o w l yd e c a y i n ga ti n f i n i t yf o rt h er a m a n ie q u a t i o ni so h - t a l n e d f u r t h e r m o r e ，w ea l s oi n v e s t i g a t e dt h eb i d i r e c t i o n a ls o l i t o ns o l u t i o ni n t e r a c t i o na n df i n d s i n g u l a r i t y i nc h a p2a n d4 w ec o n s i d e rt h eb o n s s i n e s qa n dt h ec o m p l e xk d ve q u a t i o n sb yh i r o t a m e t h o d ，b i l l n e a rb i c k l u n dt r a n s f r o m a t i o na n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e i nc h a p3 ，t w ot y p e so fg r a m m i a nd e t e r m i n a n ts o l u t i o n st ot h en o n i s o s p e c t r a lm o d i f i e d k “i o m t s e v - p e v i a s h v i l i ( m k p ) e q u a t i o na r ed e r i v e dw i t ht h eh e l po ft h ep f a f l i a nd e r i v a t i v ef o r - m u l a e i ts h o u l db en o t e dt h a tb o t hg r a m m i a ns o l u t i o n sh a v et h e i rd i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i c c l a s s i f i c a t i o nc 0 d e ： i i p r e f a c e t h es o l i t o nt h e o r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fa p p l i e dm a t h e m a t i c aa n dm a t h e m a t i c a lp h y s i c s a se a r l ya s1 8 4 4 ，t h es t u d yo ft h es o l i t a r yw a v eh a v e b e e nb e g u n b u tn o tu n t i lt h ec o n c e p to f ” s o l i t o n ”w a sp r o p o s e db yk e u s k a la n dz a b u s k yi nt h em i d d l eo fs i x t i e si nt h ep r e s e n tc e n t u r y , w a st h er e l a t e dr e s e a r c hd e v e l o p e dr a p i d l y t h et h e o r yo fs o f i t o n si sa t t r a c t i v ea n de x c i t i n g i t b r i n gt o g e t h e rm a n yb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s ，s o m eo fw h i c ht o u c ho nd e e pi d e a s ，e s p e c i a l l yi n t h ef i e l do fn o n l i n e a rm a t h e m a t i e s i nm a n ym a t h e m a t i c a ls u b j e c t so fs o l i t o nt h e o r y , i ti 8a ni m p o r t a n tt h i n gt os t u d yt h e s o l u t i o n so ft h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s o v e rt h ey e a r s ，av a r i e t yo fm e t h o d sf o rf i n d i n g e x p l i c i ts o l u t i o n so fp a r t i a ld i f i e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e nd e v e l o p e d t h ed i s c o v e r yo ft h e i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m ( i s t ) f o rt h ek d ve q u a t i o nw a sab i gb r e a k t h r o u g hi nt h ea n a l y s i s o fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n 5 5 a tf i r s t ，z a b u s k ya n dk r n s k a lo b s e r v e ds o l i t o ns o l u t i o n ， n u m e r i c a l l yi nk d ve q u a t i o n g a r d n e re ta 1 d e v e l o p e di s tm e t h o dt os o l v et h ei n i t i a lv a l u e p r o b l e mf o rt h ek d ve q u a t i o n t h i sd i s c o v e r yb e c o m e sv i t a ls i n c e ，a f t e rk d ve q u a t i o nw a s s o l v e de x p l i c i t l y , m a n ym o r en o n l i n e a rs y s t e m so fp h y s i c a li m p o r t a n c ew e r ea l s ot r e a t e dw i t h i s tm e t h o d a g a i n ，t h i sm e t h o dw a sg e n e r a l i z e dt om a t r i xf o r m a l i s m ，n o t a b l yb yz a k h a r o v a n ds h a b a t ( z s ) a n dt h e nb ya b l o w i t z ，k a u p ，n e w e ua n ds e g u r ( a k n s ) t h e s ed e v e l o p m e n t s e x t e n d e dt h ea p p l i c a b i l i t yo fi s tt oh a n d e le q u a t i o n sw i t hc o m p l e xp o t e n t i a l sa n dc o u p l e d s y s t e m sa sw e l l t h r o u g hw h i c hm a n ys o l i t o ne q u a t i o n sh a v eb e e nr e v e a l e dt ob ee x a c t l ys o l v a b l e b yt h i sm e t h o d b e s i d e st h ei s t ，t h e r ea r es o m ef a m o u sd i r e c ta p p r o a c h e s s u c ha s ，d a r b o u x t r a u s f o r m a t i o n s 4 3 ，h i r o t a sb i l i n e a rf o r m a l i s mm e t h o d 1 ，p a l n l e v dt e s t s 3 ，a n dw r o n s k i a n a n dp f a i f i a nt e c h n i q u e 2 3 】e r e i n1 9 7 1 ，h i r o t af i r s tp r o p o s e dt h ef o r m a lp e r t u r b a t i o nt e c h n i q u e ，c a l l e dt h eh i r o t am e t h o d l a t e r ，t og e tn - s o u t o ns o l u t i o n so ft h ek d ve q u a t i o n b yi n t r o d u c i n gas u i t a b l ed e p e n d e n t v a r i a b l et r a i l s f o r m a t i o n ，t h es o l t i o ne q u a t i o nb e c o m e sb i l i n e a r a p p l y i n gt h ep e r t u r b a t i o nt e c h - n i q u et ot h er e s u l t i n gb i l i n r e a re q u a t i o no n ec a ns y s t e m a t i c a l l yc o n s t r u c tt h en - s o l i t o ns o l u t i o n i nf a c t ，i ft h es y s t e ma d m i t sn s o l i t o ns o l u t i o nt h es e r i e se x p a n s i o ni nt e r m so fs m a l lp a r a m - e t e ri nt h ea b o v ep e r t u r b a t i v ea n a l y s i st r u n c a t e sa u t o m a t r i c a l l y i nt h i sp r o c e s s ，w eo b t a i na c l a s so fl i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hc o j lc a nb es o l v e ds u c e s s i v e l yt oo b t a i nt h e e x a c ts o l u t i o n s i ti sa l s on o t e dt h a tt h en - s o f i t o ns o l u t i o n so fh i r o t a sb i l i n e a re q u a t i o nc a n 1 b ew r i t t e ni nt h ef o r mo fw r o n s k i a na n dg r a m m i a nd e t e r m i n a n t sa n dp f a f f i a n s 3 8 t h el a t t e rf o r m a l i s mi sm o r ec o m p a c ta n de a s yt oh a n d l e t h ep r e s e n t a t i o no fw r o n s k i a nw a sf i r s t p r o p o s e db ys a t s u m a 5 6 ，b u tt h es o l u t i o n sw e r en o tb a s e do nt h eb i l i n e a re q u a t i o n ，t h ew r o n - s k i a nt e c h n i q u e 2 3 1w a sd e v e l o p e db yn s e m a na n dn i m m of o rd i r e c t l yv e c l f y i n gs o l u t i o n st o b i l i n e a re q u a t i o n t h e s et w od i r e c tm e t h o d sb o t hd e p e n do nt h eb i l i n e a rf o r m so ft h ee v o l u t i o n e q u a t i o n s h i r o t am e t h o dp r o v i d e sar e m a r k a b l ys i m p l e rt e c h n i q u ef o ro b t a i n i n gt h en - s o l i t o n s o l u t i o n si nt h ef o r mo fa nn t h - o r d e rp o l y n o m i a li nne x p o n e n t i a l s w r o n s k i a nt e c h n i q u ep r o - v i d e sa na l t e r n a t i v ef o y i n n l a t i o no ft h en s o f i t o ns o l u t i o n s i nt e r m so fs o m ef u n e t i o no ft h e w r o n s k id e t e r m i n a n to fn f u n c t i o n s ，w h i c ha l l o w sv e r i f i c a t i o no ft h es o l u t i o n sb yd i r e c ts u b s t i - t u t i o nb e c a u s ed i f f e r e n t i a t i o no faw r o n s k i a ni se a s ya n di t sd e r i v a t i v e st a k es i m i l a rc o m p a c t f o r m s t ot h eh i r o t am e t h o d ，t h eb a s i ct h o u g h t so fo u ro b t a i n i n gt h ee x a c tn s o l i t o ns o l u t i o n s 8 x ea sf o l l o w s w e 矗r 8 tp r e s e n tas e to fd e p e n d e n tv a r i a b l et r a n s f o r m a t i o n st ow r i t eo u tt h e b i l i n e a rf o r mo ft h ee v o l u t i o ne q u a t i o nb yw h i c hw ec a l ld e r i v eo n & - ，t w o - ，e v e nt h r e e - s o l i t o n s o l u t i o n ss u c c e s s i v e l y t h e s er e s u l t sc a nh e l pu st oc o n j e c t u r eag e n e r a lf o r m u l aw h i c hd e n o t e s n - s o l i t o ns o l u t i o nb u ti so n l yc o n j e e t u r e da n dn o tv e r i f i e d n e x t ，w i t ht h eh e l po ft h em c s s a g e o i lt h et i m ee v o l u t i o no b t a i n e db ym e a n so fh i r o t am e t h o d w ec a nc o n s t r u c taw r o n s k i n na n d t r yt ov e r i f yi tt os a t i s f yt h er e l a t e db i l i n e a re q u a t i o n s t h eb i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ( b t ) i s a n o t h e rd i r e c tm e t h o df o rd e r i v i n gs o l u t i o n sf r o mak n o w ns o l u t i o no ft h ec o n c e r n e de q u a t i o n h o w e v e r ，s o l v i n gt h es e to fp a r t i a l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f t e nr e s t r i c t si tt ob ef u r t h e ru s e d i n 1 9 7 4 ，h i r o t ap r o p o s e dak i n do fb ti nb i l i n e a rf o r m 1 3 ，b yw h i c hi ti se a s yt of i n dm u l t i s o l i t o n s o l u t i o n s i nt h i sm e t h o d ，t h el i n e a rp r o b l e mo ft h ee v o l u t i o ne q u a t i o nc a nb e e nw r i t t e nt h e b i l i n e a rf o r mb yas e to ft r a n s f o r m a t i o n f r o mt h eb i l i n e a re q u a t i o n ，i ti se a s yt od e r i v e t h e s o l i t o ns o l u t i o n s i nt h i sp a p e r ，s i m i l a rt ot h ei s o s p e c t r a ls o l i t o ne q u a t i o n ，t h r o u 曲as e to f t r a n s f o r m a t i o nw ew r i t et h en o n i s o s p e e t r a lm k pe q u a t i o n si n t ot h eb i l i n e a rf o r i l l b a s e do n t h eb i l i n e a rf o r m ，w ec a no b t a i nt h es o l u t i o n sb yh i r o t am e t h o da n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e i n c h a p t e r4 ，w r o n s k i a ns o l u t i o n sf o rt h ec o m p l e xk d ve q u a t i o na r eo b t a i n e db yh i r o t a sb i l i n e a r m e t h o d m o r e o v e r ，s t a r t i n gf r o mt h eb i l i n e a rb i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，m u l t i - s o l i t o ns o l u t i o n s a r ep r e s e n t e df o rt h es a n l ee q u a t i o n r e c e n t l yt h e r eh a sb e e nc o n s i d e r a b l ei n t e r e s ti nt h es t u d yo fv a r i a b l & - c o e f f i c i e n tg e n e r a l i z a - t i o n so ft h es o l i t o ne q u a t i o n s t h en e e d o rs t u d y i n gt h e mi sd u et ot h ef a c tt h a tt h ep h y s i c a l s i t u a t i o n si nw h i c he q u a t i o n sw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t sa r i s et e n dt ob eb i g f l yi d e a l i z e ds ot h a t 2 e q u a t i o n sw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa n dn o n i s o s p e e t r a lp a r a m e t e r sm a yp r o v i d em o r er e a l i s t i c m o d e l ，f o re x a m p l e ，i nt h ep r o p a g a t i o no f ( s m a l l - a m p l i t u d e ) s u r f a c ew a v e si ns t r a i t so rl a r g e c h a n n e l sv o r t i c i t y s o m ee x t e n s i o n so f t h ei n v e r s es c a t t e r i n gi ns o l v i n gan o n i s o s p c c t r a ta n dv a r i - a b l ec o e f f i c i e n tk d ve q u a t i o nw i t ht i m ev a r y i n gn o n v a n i s h i n gb o u n d a r yc o n d i t i o nh a db e e np r e - s e n t e d ，a n do b t a i n e ds o m en o n p r o p a g a t i n gs o l i t o ns o l u t i o n sa n d d e m o n s t r a t et h e kb e h a v i o r ( t h e c o e f f i c i e n t so ft h ee v o l u t i o ne q u a t i o n sa r et i m ev a r y i n g ，t h es c a t t e r i n gp r o b l e mi sn o n i s o s p e e t r a l a n dt h et i m ev a r y i n gb o u n d a r yc o n d i t i o ni sn o n v a n i s h i n g ) f u t h e r ，t h en - s o f i t o ns o l u t i o n sf o ra n o n i s o e p e e t r a lv a r i a b l e - c o e f f i c i e n tk pe q u a t i o nh a db e e no b t a i n e db yt h ed r e s s i n gm e t h o da n d s t u d i e di nd e p t ht h et w o - s o f i t o nc a s eb ya p p r o p r i a t e l yd e c o m p o s i n gt h e mi n t oi n d i v i d u a ls o l i t o n s i no r d e rt oe x a m i n et h e i ri n t e r a c t i o n s i nc h a p t e r3 ，t w ot y p e so fg r a m m i a nd e t e r m i n a n ts o l u - t i o n st ot h en o n i s o s p e c t r a lm o d i f i e dk a d o m t s e v - p e v i a s h v i l i ( m k p ) e q u a t i o na r ed e r i v e dw i t ht h e h e l po ft h ep f a f f i a nd e r i v a t i v ef o r m u l a e ，i ts h o u l db en o t e dt h a tb o t hg r a m m i a ns o l u t i o n sh a v e t h e i rd i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i c i nc h a p t e r2 , 4 ms t u d yt h eb o u s u n e s qa n dt h ec o m p l e xk d v e q u a t i o nb yh i r t o am e t h o d ，b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n dw r o n s k l a nt e c h n i q u e s o l u t i o n si n t h eh i t t o a sf o r ma n di nw r o n s k i a nf o r ma r ed i f f e r e n tb o t hf o r m a l l ya n de s s e n t i a l l y t h e s et w o k i n d so fs o l u t i o n sa r en o ts a m ef o rr e c o v e r i n gt h ens o l i t o n8 0 l u t i o n sf r o mt h et r a n s f o r m a t i o n s 3 c h a p t e r1 n o v e lm u l t i s o l i t o ns o l u t i o na n db i d i r e c t i o n a ls o l i t a r yw a v es o l u - t i o n sf o rt h er a m a n ie q u a t i o n 1 1i n t r o d u c t i o n i n1 9 7 1h i r o t ai n g e n i o u si n t r o d u c e dan e wd i r e c tm e t h o df o rc o n s t r u c t i n gm u l t i s o h t o ns o l u - t i o nt oi n t e g r a b l en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s 1 t h ei d e a sw a st om a k ead e p e n d e n tv a r i a b l e t r a n s f o r m a t i o n ，t h en o n l i n e a re q u a t i o na r et r a n s f o r m e di n t ot h eb i l i n e a rd i f f e r e n t i 矗le q u a t i o n a n dt h es o l i t o ns o l u t i o n sm a yb ee x p r e s s e da sp o l y n o m i a l so fs i m p l ee x p o n e n t i a l so n l yi nt h e c o r r e s p o n d i n gn e wv a r i a b l e s t h em e t h o dt u r n e do u tt ob ev e r ye f f e c t i v ea n dw a sq u i c k l ys h o w n t og i v en s o l i t o ns o l u t i o nt ot h ek d v ，m o d i f i e dk d v ( m k d v ) ，s i n e - g o r d o n ( s g ) ，k pa n dt o d a l a t t i c ee q u a t i o n se t c 1 2 ，3 】 v e r yr e c e n t l y , f o l l o w i n gt h em e t h o do fh i r o t a w eh a v ee x t e n d e dt h ei d e aa b o v ea n ds u c c e s s f u l l ya p p l i e dt o $ o n l es o l i t o ne q u a t i o n s 4 - 6 t h es t u d yo ft h ec o l l i s i o n so fm u t u a l l yi n t e r a c t i o ns o l i t a r yw a v e sh a sb e e na ni n t e r e s t i n g i s s u e a sb e f o r ew el o c a l l yc o n s i d e rt h es o l i t a r yw a v e sp r o p a g a t e si no n ed i r e c t i o n ，i nf a c tt h e m o s ti m p o r t a n ta n ds i g n i f i c a n tf e a t u r et ot h es o l i t a r yw a v e sp r o p a g a t i o ni st h eb i d i r e c t i o n a l w a v ei n t e r a c t i o n s ，i n c l u d i n gh e a d o na n do v e r t a k i n gc o l l i s i o n s t h eb o n s s i n e qw a t e re q u a t i o n i san a t u r a lc a n d i d a t et om o d e lb i d i r e c t i o n a ls o l i t a r yw a v e s 【7 j n e g l e c t i n gt h en o n l i n e a rt e r m s ， t h eb o n s s i n e qe q u a t i o nb e c o m e san o r m a lw a v ee q u a t i o n ，w h i c ht h ew a v e si sp r o p a g a t i n gi n b i d i r e c t i o n a l ， t h er a m a n ie q u a t i o n 8 】i s 5 a 一1 t 雠+ 5 “嚣一1 5 u s e 一1 5 u 8 1 t b 一4 5 u 2 + 1 5 t b t 黜+ 1 5 “。删：一t k 船= 0 ，( 1 11 ) i t i sr e l a t e dt ot h ew e l l - k n o w ns a w a d a - k o t e r a ( s k ) e q u a t i o n 【9 | ，t h em a t h e m a t i c a lp r o p e r t i e s t h a ta s 8 u r et h ec o m p l e t ei n t e g r a b i l i t yo ft h er a m a n ie q u a t i o nh a v eb e e ne s t a b l i s h e d 8 ，1 0 1 h i e t a r i n t ah a ss h o w nt h a tt h er a m a n ie q u a t i o np a s s e sp a i n l e v dt e s t 1 1 1 e q u a t i o n ( 1 1 1 ) m a y b ec o n s i d e rab i d i r e c t i o n a lv e r s i o no ft h es ke q u a t i o n 【1 2 】i nt h eb i l i n e a rf o r m ，e q ( 1 ，1 1 ) i 8 i d e n t i f i e sw i t ht h eb i d i r e c t i o n a ls ke q u a t i o n t h ep u r p o s eo ft h ep r e s e n tp a p e ri sd r i v et h e n o v e ln - s o l i t o ns o l u t i o nf o rt h er a m a n ie q u a t i o n ，a n dt os t u d yt h eb i d i r e c t i o n a ls o l i t a r yw a v e f o rt h ep a r t i c u l a rc a s en = 2 4 t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o u o w s i ns e c t i o n1 2 ，w eg i v ed e t a i l so ft h en o v e ln s o l i t o ns o l u - t i o nf o rt h er a m a n ie q u a t i o n ，i ns e c t i o n1 3w ei l l u s t r a t eo u rr e s u l t sb yc o n s i d e r i n gb i d i r e c t i o n a l p r o p a g a t i n gf o rt h ec a s en = 2 f i n a ls e c t i o np r e s e n t so u rc o n c l u s i o n s 1 2 t h en o v e ln - s o l i t o ns o l u t i o no ft h er a m a n ie q u a t i o n t h er a m a n ie q u a t i o na n dab i d i r e c t i o n a ls ke q u a t i o n a l lp o s s e ss o l i t o ns o l u t i o nt h a ta m o s tc o n v e n i e n t l yr e p r e s e n t e db ys e t t m g u = 2 昙l o g f ， ( 1 2 1 ) a n ds o l v i n gf o r ，b ym e a n so ft h et r a n s f o r m a t i o n ( 1 2 1 ) ，e q ( 1 ，1 1 ) i st r a n s f o r m e di n t ot h e b i l i n e a rf o r m ( 5 d + 5 d ：d t 一磁) ，= 0 ，( 1 2 2 ) w h e r et h eb i l i n e a rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o ri sd e f i n e db y 明r a n ，f = 池一岛，) ”池一如) ”，t ) a ，t ) k ：z , t t ：“( 1 2 3 ) f o rn o n - n e g a t i v ei n t e g e r sm n i nt h i ss e c t i o