（概率论与数理统计专业论文）ou过程模型下一些新型重置期权的定价.pdf

要 期权是7 0 年代中期在美国出现的一种金融衍生工具近年来，随着 金融市场的不断发展和完善，期权定价已经成为现代金融数学研究的前 沿和热点问题，为了适应市场发展的需要，满足交易者的个性化需求， 各种各样的变异期权相继涌现出来，如回望期权，重置期权，亚式期权 等，它们都是一种路径依赖型的变异的欧式期权 回望期权具有买入按低价，卖出按高价的特点；重置期权具有在特定 的重置条款下能够重新设置敲定价的特点，从而可以为市场上的投资者 提供更多的选择；亚式期权的到期收益依赖于资产价格的某种平均本 文通过对这些期权组合与派生，设计了几种新型期权，并研究了这些新 型期权的定价问题 本文的创新工作主要是如下几个方面： 1 假设标的资产的价格服从0 u ( o r n s t e i n - u h l e n b a c k ) 过程模型，在市 场无摩擦的状态下，首先给出了重置期权的定价公式( 第二章) 2 将回望期权与重置期权结合起来，设计了两种新型期权：回望型 重置看涨期权和回望型重置看跌期权，在标的资产的价格服从o u 过程 模型的假设下，运用g i r s a n o v 定理，进行概率测度变换，利用期权定价的 鞅方法，得到了回望型重置期权在o - u 过程模型下的显式定价公式( 第 三章) 3 将亚式期权和重置期权结合起来，独创性的设计了一种几何型亚式 重置期权在标的资产的价格服从o u 过程模型的假设下，运用g i r s a n o v 定理，进行概率测度变换，利用期权定价的鞅方法，推导出了几何型亚 式重置期权在0 u 过程模型下的精确定价公式( 第四章) t 关键词：o r n s t e i n - u h l e n b a c k 过程；g i r s a n o v 定理；重置期权；回望 期权；亚式期权；鞅方法 a b s t r a c t t h eo p t i o ni sf i n a n c i a ld e r i v a t et 0 0 lt h a tf i r s ta p p e a r e di nt h ea m e r c i a ni n t h e7 0 s ，r e c e n t l y , b e c a u s eo ft h ef i n a n c i a lm a r k e t sp e r f e c td e v e l o p m e n t ，t h eo p t i o n p r i c i n gh a sb e c a m et h eg u i d ea n dh o tp r o b l e mo ft h em o d e r nf i n a n c i a lm a t h e m a t i c a l r e s e a r c h t oa d a p tt ot h er e q u i r eo ft h em a r k e t sd e v e l o p m e n ta n ds a t i s f yt h e b a r g a i n e r si n d i v i d u a t en e e d s ，m a n yk i n d so fs i n g u l a r i t yo p t i o n sh a v ea p p e a r e d ，f o r e x a m p l e ，l o o k i n g - b a c ko p t i o n ，r e s e to p t i o n ，a s i a no p t i o n ，a l lt h o s ea r es i n g u l a r i t y e u r o p e a np a t h - d e p e n d i n go p t i o n s t h el o o k i n g - b a c ko p t i o nh a st h ec h a r a c t e r i s t i c st h a tc a ns e l la tah i g hp r i c eb u t b u ya tal o wp r i c e ! t h er e s e to p t i o nc a nr e s e tt h ek n o c k i n gp r i c ea ts o m es p e c i a l r e s e tc a s e s ，t h e nc a np r o v i d em o r ec h o i c e sf o rm a r k e ri n v e s t o r ! t h ea s i a no p t i o n sl i n c o m ea tt h em a t u r i t yd e p e n d so ns o m ek i n do ft h ea s s e tp r i c e sa v e r a g e ! i nt h i s p a p e r ，t h r o u g hc o m b i n i n ga n dd e r i v i n gt h o s eo p t i o n s ，id e s i g n e ds o m en e wt y p e o p t i o n sa n ds t u d i e dt h ep r i c i n gp r o b l e m so ft h o s en e wt y p eo p t i o n s t h ei n n o v a t i o n si nt h i sp a p e ra r ef o l l o w i n g ： 1 u n d e rt h eh y p o t h e s i st h a tt h ea s s e tp r i c e0 b 盯t h eo r n s t e i n - u h l e n b a e k p r o c e s sm o d e l ，a tt h ec a s et h a tt h em a r k e th a sn of r i c t i o n ，t h ep r i c i n gf o r m u l a so f t h er e s e to p t i o nh a v eb e e ng i v e nf i r s t ( c h a p t e r2 ) 2 t h r o u n gc o m b i n i n gt h el o o k i n g - b a c ko p t i o na n dt h er e s e to p t i o n ，t w ok i n d s o fn e wo p t i o n sh a v eb e e nd e s i g n e d ：t h el o o k i n g - b a c kr e s e tc a l lo p t i o na n dl o o k i n g - b a c kr e s e tp u to p t i o n ；u n d e rt h eh y p o t h e s i st h a tt h ea s s e tp r i c eo b e yt h eo r n s t e i n - u h l e n b a c kp r o c e s sm o d e l ，t h r o u g ht r a n s f o r m i n gt h ep r o b a b i l i t ym e a s u r eb yu s i n g t h eg i r s a n o vt h e o r y , a n du s i n gt h em a r t i n g a l em e t h o d ，t h ee x p l i c i tp r i c i n gf o r m u l a s o ft h el o o k i n g - b a c kr e s e to p t i o nh a v eb e e ng e t ( c h a p t e r3 ) 3 t h r o u n gc o m b i n i n gt h ea s i a no p t i o na n dt h er e s e to p t i o n id e s i g n e dak i n d i i i o fa s i a n r e s e to p t i o ni n n o v a t l y u n d e rt h eh y p o t h e s i st h a tt h ea s s e tp r i c eo b e yt h e o r n s t e i n u h l e n b a c kp r o c e s sm o d e l ，t h r o u g ht r a n s f o r m i n gt h ep r o b a b i l i t ym e a s u r e b yu s i n gt h eg i r s a n o vt h e o r y , a n du s i n gt h em a r t i n g a l em e t h o d ，t h ee x p l i c i tp r i c i n g f o r m u l a so ft h ea s i a n - r e s e to p t i o nh a v eb e e ng e t ( c h a p t e r4 ) k e yw o r d s ： o m s t e i n - u h l e n b a c kp r o c e s s ；g i r s a n o vt h e o r e m ；r e s e to p t i o n ； l o o k i n g - b a c ko p t i o n ；a s i a no p t i o n ；m a r t i n g a l em e t h o d i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名： 出f 磊p 磐办瑚降6 月p 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向匡家有关部f j 或机构送交论文的复印件帮电子版，允许论 文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密盛。 ( 请在以上相应方框内打“ 井) 作者签名：捌2 7 客 导师签名3 移两瘩彳 3 9 日期：舫石月弦日 日期：脯荔月p 日 0 u 过程模型下一些新型重置期权的定价 i 绪论 i i 研究背景与意义 在过去的半个世纪里，金融学的定量研究越来越引起人们的重视。随 着数学化的思想与方法逐步渗入到金融领域的研究中，数学金融学这门 新兴的学科发展得越来越迅速与完善金融衍生产品的定价问题做为现 代数学金融学理论研究领域的核心内容，其研究具有很大的实际意义金 融市场的不断发展与完善，使得期权定价已经成为现代金融数学研究的 前言与热点问题。早在1 9 7 3 年f b l a c k 与m s c h o l e s 共同发表了一篇关予期 权定价的开创性论文，得到了经典的欧式期权定价公式，即b l a c k - s c h o l e s 公式，公式为金融领域的经济评估奠定了定量分析的基础随后，人们 对标准期权，即欧式期权和美式期权进行了大量的研究。 我们知道，期权作为一种金融衍生产晶，其定价是依附于某随机变 化的资产价格期权的价格实质是一种风险价格，影响期权价格的因素 很多，包括标的资产的价格变化，期权的执行价格，标的资产价格的波 动率和无风险利率，还有市场中的一些不确定性因素等等期权是一种 很好的避险工具，也是一种很好的投机手段，它备受投机者和投资者极 大的青睐，因丽期权定价理论成为经济学理论最伟大的发现之一。期权 定价理论为人们进行风险管理提供了理论依据，在期权定价理论产生之 后，人们可以通过定量的估算，理论的进行决策分析，从而可以更好的 把握和利用一些无形的机会，期权定价理论的产生也带来了财务理论中 的很多突破，加速了现代金融学的建立，促进了市场的繁荣发展 随着我国加入w t o ，金融全球一体化的形势给我们带来了机遇与挑 战，市场中的不确定性因素增多了，市场的发展趋向多样化，面人们的需 求也随之变得个性化为了适应市场发展的需要，满足交易者的个性化 硕士学位论文 需求，金融工程师们在标准期权的基础上，运用期权理论和分析方法， 结合交易者的各种需要，设计了许多交易方式和交易价格更为灵活的新 的期权，各种各样的非标准期权邵变异期权相继涌现出来，如：醐望期 权，亚式期权，重置期权，外汇期权，障碍期权等等，这些变异期权在2 0 世纪8 0 年代末期得到了迅速发展，在9 0 年代初变得越来越重要对这些 变异期权的定价能促进证券市场的繁荣与稳定，故对它的研究很重要 由于变异期权比标准期权更有实用性，其定价当然也更复杂 回望期权是一种路径依赖型期权，它在期权到期日的收益依赖于整 个期权有效期随所经历的价格的最大值或最小值，因丽具有买入按低价， 卖出按高价的特点。该种期权可以应用到任何金融资产，但目前主要在 外汇市场上出现按执行价格是否固定，回望期权一般分为两类：固定 执行价格回望期权和浮动执行价格回望期权标准的浮动执行价格回望 期权有两种： 一种是回望看涨期权，假定资产的价格过程为s ( ) ，该种期权在到期 时刻t 的价值为 y ( r ) = ( s ( t ) 一认m ；i 。n 。s ( t ) ) + 这种期权的持有者有权在时刻t 以区间【0 ，明上的标的资产曾经达到过 的最低价格购买这种资产，即实现了买入按低价 另一种是回望看跌期权，该种期权在到期时刻t 的价值为 y ( r ) = ( 托m 。a 。x 。s ( t ) 一s ( t ) ) + 这种期权的持有者有权在时刻t 以区间【0 ，卅上的标的资产曾经达到过 的最高价格出售这种资产，即实现了卖出按高价 亚式期权是一种强路径有关期权，它最早由美国银行家信托公司在 日本东京推行，并在日本金融市场上开始使用，所以称之为亚式期权 亚式期权是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的新型期权之一，其到 2 o - u 过程模型下一些新型重置期权的定价 期收益依赖于资产价格的某种平均，这种平均可以是一段时间内的连续 平均，也可以是若干时间点的离散平均，可以是几何平均，还可以是算 术平均通常取标的资产价格的凡何平均值或算术平均值作为其平均价 格，因而有几何乎均亚式期权和算术平均亚式期权之分若从亚式期权 的执行价格是否固定出发，亚式期权又分为平均价格期权和平均执行价 格期权 本文中假设这种平均是几何平均，假定资产的价格过程为s ( ) ，期权 的敲定价格为k ，令g ( = e 彳1 ，0 7 瓤& 鑫，则亚式看涨期权在到期时刻? 的 价值为 y ( 砷一( g ( t ) 一炎) + ， 亚式看跌期权在裂期时刻f 的价值为 v ( t ) = ( k g ( ? ) ) + 重置期权也是一种路径依赣型期权，当标的资产价格达到某一预先 约定的价格水平时，重置期权可以按合约规定，重新设置期权的敲定价 格，使期权的持有者有更多的获益机会按重置方法不同，一般分为规 定重置时间的重置期权和规定重置水平的重置期权，前者在规定的时间 对期权的敲定价格进行重置，后者期权的敲定价在预先规定的重置水平 进行重置。 本文研究的是规定重置时间的重置期权：假定资产的价格过程为s ( 。) ， 期权的敲定价格为k ，r 是事先指定的重置时间，对于重置看涨期权，当 s k 。 3 硕士学位论文 同理，可得重置看跌期权在到期时刻t 的价值为 嘞= s r - s , , 三暑妾蠢 1 2 本文主要研究工作和论文结构 b l a c k - s c h o l e s 公式假定了风险资产价格服从几何布朗运动，无红利支 付，瞬时收益率，波动率，无风险利率都是常数，并且市场是无摩擦的，但 实际的市场是千变万化的，如：股票价格不遵循几何布朗运动，瞬时收益 率与波动率和无风险利率等都是随机的，有随机红利支付等等，因此该 研究不能很好的满足实际发展的需要1 9 7 6 年，m e r t o n 首先提出并研究 了股票价格遵循跳跃扩散过程模型时的期权定价，c o x ，r o s s ，r u b i n s r e i n 。 假设股票价格服从二叉树运动过程，建立了比b s 模型更容易理解也更 直观的二叉数模型，与此同时，人们研究了各种各样市场模型下的期权 定价，如。不完全市场，o u 过程模型，随机利率模型等，同时还大量 研究了在这些模型下的变异期权的定价问题，如重置期权，回望期权， 亚式期权，障碍期权等回望期权、重置期权和亚式期权是为了满足市 场从业者的不同的需求而创造设计出来的，并且已经成为金融工程特别 是期权定价的核心内容由于市场的变化和人们的个性化需要，这些简 单的期权已经不能完全满足市场从业者的各种需要，从而各种各样的新 型期权的产生有了必要前提 本文假设标的资产的价格服从o u 过程模型，在市场无摩擦的状态 下，首先给出了重置期权的定价公式( 第二章) 其次，由于回望期权的到期收益与标的资产价格在【0 ，卅时间内的最 高与最低值有关，而重置期权在特定的条件下能重新设定期权敲定价， 将二者合理的结合起来，设计了两种新型期权：回望型重置看涨期权和回 望型重置看跌期权，这两种新型期权具有回望期权与重置期权的特点， 4 o u 过程模型下一些新型重置期权的定价 更符合交易者的赢利心理本文在标的资产的价格服从0 u 过程模型的 假设下，运用g i r s a n o v 定理，进行概率测度变换，利用期权定价的鞅方 法，首次得到了这两种回望型重置期权在o - u 过程模型下的显式定价公 式( 第三章) 第三，由于亚式期权的到期收益与资产价格的某种平均值有关( 本 文假设与资产价格的几何平均有关) ，利用几何亚式期权和重置期权的特 点，将二者合理的结合起来，独创性的设计了一种几何型亚式重置期权 本文在标的资产盼价格蒡瑟及0 u 过程模型的假设下，运用g i r s a n o v 定理， 进行概率测度变换，利用期权定价的鞅方法，推导出了该几何型亚式重 置期权在0 一u 过程模型下的定价公式( 第四章) 5 u 过程模型下一些新型重置期权的定价 2 o u 过程模型下标准重置期权的定价 重置期权是一种路径依赖型的欧式期权对于重置期权的研究较早 的有g r a y , s f 和w h a l e y , r e ，他们在1 9 9 7 年研究了熊市重设型认售权证的 定价问题，1 9 9 9 年研究了重置买权的定价、风险特征与应用；w c h e n g 和s z h a n g 对单一监控区间的多点重置期权进行了定价，给出了封闭解； y u h - y u a nf a n g 使用不同的方法对多个监控区的重置期权进行了研究；d a i m i n ，k w o r ky u ek u e n ，w ul ix i n 在2 0 0 3 年对多次重置期权进行了研究。本 节假设标的资产价格在o u 过程模型下，给出了规定重置时间点的单点 重置期权的定价公式 2 1 市场模型与测度变换 假定证券市场为一个带萨流的概率空阚( q ，芦，( 五) ，p ) ，其中五表示 到t 为止市场所包含的信息，p 表示市场概率，并假设在此市场中满足 如下条件： ( 1 ) 资产的交易时间和额度是连续的且不存在交易费； ( 2 ) 资产的交易没有约束( 比如可以卖空等) ； ( 3 ) 证券市场无套利而且完备； ( 4 ) 股票和债券在期权有效期内不支付红利； ( 5 ) 存款与借款的利率相同； ( 6 ) 市场中只含有两种资产：一种是无风险资产，其价格过程记为( b ( t ) ) t o ， 记r ( ) 为t 时刻的无风险利率，则价格过程满足如下常微分方程 d b ( t ) = r ( t ) b ( t ) d t ，b ( o ) = 1 ( 2 1 ) 另一种是风险资产，其价格过程记力( s ( ) ) 触，它满足如下随机微分 7 硕士学位论文 方程 d s ( t ) = s ( t ) 【p ( ) d t al ns ( t ) d t + a ( t ) d w p ( t ) 】，s ( o ) = s o ( 2 2 ) 其中( 秽) 幽为概率空间( q ，丁，( 兀) ，p ) 上的标准布朗运动，p ( t ) 为股票的 平均回报率，盯( t ) 为股票收益的波动率，总假设a ( t ) 0 常数a 的作用 是当股票的价格上升到一定高度后使得股票价格有下降的趋势 本文假定p ( ) ，仃( t ) ，r ( t ) 均为时间t 的确定性函数，且满足以下可积条 件： z t r ( 。) 出 。，z ? p ( 幻出 。，z t 矿( 幻出 。 称模型( 2 - 2 ) 为指数0 u 过程模型s + ( t ) = s ( t ) e 一露r ( 。) 凼为价格过程s ( t ) 的折现过程 当股票价格满足模型( 2 - 2 ) 时，令 即) = 垃学 若 巩唧 珂怖) d s ) ) o o ， 则存在唯一与概率测度p 等价的概率测度q ，满足 瓢= 耐一肛m s ) 一m 怖) d s ) ， 使得在测度q 下，股票价格的折现过程s + ( ) 是一个鞅过程 令 w q ( t ) = 矿( 句- 4 - o ( s ) d s 则由g i r s a n o v 定理可知：w q ( t ) 是概率测度q 下的标准布朗运动在概率 测度q 下，( 2 - 2 ) 可以化为 d s ( t ) = r ( t ) s ( t ) d t + a ( t ) s ( t ) d w q ( t ) ，s ( o ) = 岛( 2 3 ) o u 过程模型下一些新型重置期权的定价 利用i t o 公式和d o l e a n s - d a d e 指数公式，解随机微分方程( 2 - 3 ) 有 s 兰) = z 。( 巾) 一夏1 盯2 ( 5 ) ) d s + z 0 to dwqs(ts o p a ( s ) d w q ( s ) s 兰) = ( r ( s ) 一i 盯( s ) ) d s + ( s ) o 五 令 扣e 讣t r 0 ( s ) d s ) 磐，瓢 & = e 印卜( s ) d s ) 掣，装l r = p 口u v 因为朋( 韵一1 ，因此概率测度r 的定义有意义，且概率测度r 与概率测 度q 是等价的，由g i r s a n o v 定理可知，在概率测度r 下，铲( t ) 一w q ( t ) 一 f oa ( s ) d s 是一个标准布朗运动，并且( 2 可以化为 d s ( t ) = ( r ( t ) + a 2 ( t ) ) s ( t ) d t + a ( t ) s ( t ) d w 嚣( t ) ，s ( o ) = s o ( 2 4 ) 利用i t o 公式和d o l e a n s - d a d e 指数公式，解随机微分方程( 2 4 ) 有 & 曼s ( t ) = 岛e 印 z 2 ( r ( s ) + 兰c r 2 ( ) ) d s + 0 0 t o ( 8 ) d 切r ( s ) 2 2 重置期衩的定价 重置期权具有一般期权的基本特征，但由于其在特定条款下能重新 设置期权的敲定价，比一般的期权能更好的规避风险，因而具有比一般期 权更高的价值设重置期权的敲定价格为k ，期权的到期时刻为t ，r ( o 7 t ) 是事先指定的重置时闻，对于重置看涨期权，当冀 k 定理2 1 标的资产价格在o u 过程模塑( 2 - 2 ) 下，敲定价格为k ，期 权的到期墨为t ：重置时闻是下o 丁st ) 的重置看涨期权在t = 0 时的价 格为 g 硕士学位论文 c e ( s o ，o ) = s o t n c d ：1 ) ( d ；1 ) + v ( 一啦l ，一d t 2 ，p ) 一e fr ( 。) 山( d i l ) ( 蝣1 ) 1 一k e f r ( ，) 山( 一d ；1 ，一呓2 ，p ) ， 其中， 函数， n ( x ，y ，p ) 表示表示相关系数为p 的二元标准正态分布的累积分布 n ( x ) 表示标准正态分布的累积分布函数，而 , t 0 1 2 前2 = ，哦1 = l n 簧一f ( r ( s ) + i 1 盯2 ( s ) ) d s 磁2 = i n 丽k 片( r ( s ) + 1 ( 7 2 ( s ) ) d s ， 1 = l n 簧一譬( r ( s ) 一 仃2 ( s ) ) d s i n 簧一石( r ( s ) 一；0 - 2 ( s ) ) d s ，。p = 证( s b ，o ) ：e q ( e f f r ( s ) d 。v c r ) 兰e l + 毪 ：e q , ( e 一口r ( 。) d s ( s t s ) l s 研) 兰a i l 一b h 下面分别计算a ：。和b 恐 a ；l = e o ( e j 孑( 。灿s t i s 母) = e q ( e - f f r ( 。) d 8 安os o i s , 母) = s o b y ( 肆 爵) = 岛毕( s 爵) ， 毕( s ) = 矽( 1 ns i n 辞) = 帮( fa ( s ) d w r ( s ) 一f ( r ( s ) + 2 ( s ) ) d s ) = 舻( 1 0 0 一u 过程模型下一些新型重置期权的定价 一( 蝣1 ) ， 从而可得a ：1 = s o n ( 前，) ( 磁1 ) 而 b 1 2 = e q ( e 一譬r 国西肆l s 霹) = e o ( e - g r 。泌- 蚤s o e 一乒r 冲| 冀 霹) ：s o e 一r ( s ) d s ( d ；1 ) ( 蝣1 ) ， 故倍一s o n ( d ；1 ) ( 靠1 ) 一s o e f r ( s 胁j 7 、r ( 前1 ) ( 蝣，) 吃= e q ( e 一贸( 8 ) d s ( s t 一) i 墨k ，s r k ) 兰一d 2 ， = e o ( e j ：；| ( 。) d s t i s ，2k ，曲 k ) 一岛带( 1 l l 肆i n k ，i n s r i n k ) = 帮( 滞( s ) d s 噎铲0 2 ( s ) d s ，骆a 丝2 ( s ) d a 事辨0 2 ( s ) d s ) 4 t 、0 l j 一 。 q j ； j q l ： 。 话 一s o n ( - d ；l ，一蠢；2 ，矿) ， d 勤= k e 一譬( 8 ) d s 单( 冀芝k ， k ) 一k e 一詹r ( 一) d s 华( 1 n s f i n k ，i n 踯i nk ) 、 一k e 一詹( 5 ) d s ( 一磁1 ，一如，p ) ， 故毪一s o n ( 一前1 ，一当2 ，矿) 一k e 一茹7 ( 毒狮( 一蝣1 ，一蝣2 ，矿) 。 由上即证明了定理2 1 对子重置看跌期权，设期权的敲定价格为k ，到期时刻为t ，丁( o k 时，重设期权的敲定为鹭，豢冀k 时，不重新设置而是维持期权原来的敲定价，即则期权在到期时刻t 的 价值为 v e t , 一 s 品t - - 一s r ，, s 岛t k 必, ，s 岛t s 趸, 。, 推论2 1 标的资产价格在0 - u 过程模型( 2 - 2 ) 下，敲定价格为k ，期 权的到期西为t ：重置时间是f f o 7st ) 的重置看跌期权在t = 0 时的价 格为 l 王 硕士学位论文 p e ( s o ，o ) = s o n ( 一田1 ) ( 磁1 ) + ( 1 ，一d 2 ，矿) 一e fr ( s ) 山( 一d ；1 ) ( 蝣1 ) 】 ，k e 一口r ( 。) 出( 龙1 ，一呓2 ，矿) 证仿照重置看涨期权的证明方法，可得上式 1 2 0 一u 过程模型下一些新型重置期权的定价 3 0 u 过程模型下回望型重置期权的定价 重置期权髑与匾羹期权1 1 4 l 都是是路径依赖型的变异的欧式期权，重 置期权允许期权的持有者在特定的重轰条款下重新设置期权的敲定价， 而回望期权其到期收益依赖于整个期权有效期内标的资产所经历价格的 最大或最小值，因而可以实现买入按低价，买入按高价，将二者合理的 结合超来，可以很好的满足人们投资赢利的心理，因此其定价闻题受蓟 市场从业者的极大关注，也具有了很大的实际意义本文设计了两种回 望型重置期权，即：回望型重置看涨期权和回望型重置看跌期权在标 的资产的价格服从0 u 过程模型下，利用期权定价的鞅方法，分别给出 了这两种新型的路径依赖型期权的显式定价公式 s 1 市场模型简介 本章的市场模型假设同第二章的市场模型。为方便计，简述如下： 假定证券市场为一个带伊流的概率空间( q ，( 疋) ，功，其中五表示 到t 为止市场所包含的信息，p 表示市场概率，并假设在此市场中只含 有两种资产：一种是无风险资产，其价格过程记为( b ( t ) ) t 0 ，记r ( t ) 为t 时 刻的无风险利率，受| j 价格过程满足如下常微分方程 d b ( t ) 一r ( t ) b ( t ) a t ，b ( o ) = 1 ( 3 1 ) 另一种是风险资产，其价格过程记为( s ) 籼，它满足如下随机微分 方程 d s ( t ) = s ( ) 阻( ) d 一al ns ( t ) d t + a ( t ) d w p ( ) 】，s ( o ) = 岛( 3 2 ) 当股票价格满足模型( 3 - 2 ) 时，令 即) 一垃冯巡 1 3 硕士学位论文 若 巩e 印 互1z 2 晔) d 5 ) ， 则存在唯一与概率测度p 等价的概率测度q ，满足 瓢= e 印卜小s ) d 州一抬2 ( s ) d s ) ， 使得在测度q 下，股票价格的折现过程伊( t ) 是一个鞅过程 令 w q ( t ) = 矿( t ) + o ( s ) d s 则由g i r s a n o v 定理可知：w o ( t ) 是概率测度q 下的标准布朗运动在概率 测度q 下，( 3 - 2 ) 可以化为 d s ( t ) = r ( t ) s ( t ) d t + a ( t ) s ( t ) d w o ( t ) ，s ( o ) = 岛( 3 3 ) 利用i t o 公式和d o l e a n s - d a d e 指数公式，解随机微分方程( 孓3 ) 有 5t兰)=5oezpz。(r(s)一jls(t矿2 ( s ) ) d s + z 2a ( s ) d w o ( s ) 00 s 兰 ) = s b e a 窄 ( r ( s ) 一万矿2 ( s ) ) d s + ， ， 令 6 = 唧 一z 2 巾) d s ，磐，丽d r 0 虻矗 ，a ou v 因为伊他) = 1 ，因此概率测度r 的定义有意义，且概率测度r 与概率测 度q 是等价的，由g i r s a n o v 定理可知，在概率测度r 下，w r ( t ) = w q ( t ) 一 f oa ( s ) d s 是一个标准布朗运动，并且( 3 - 3 ) 可以化为 d s ( t ) = ( r ( t ) + c r 2 ( t ) ) s ( t ) d + a ( t ) s ( t ) d w r ( ) ，s ( o ) = s o ( 3 4 ) 利用i t o 公式和d o l e a n s - d a d e 指数公式，解随机微分方程( 孓4 ) 有 s t _ = s ( t ) = 岛e 印 z ( ，- ( s ) + 互1 盯2 ( s ) ) d s + z 仃( s ) d 切r ( s ) 1 4 o - u 过程模型下一夔新嫠重置期权的定价 3 2 回望型重置看涨期权的定价 定义3 1 霞望型重置着涨期权是一种特殊的重置期权，设敲定价格 为k ，期权的到期慰为t ，记& = m i n o 羔蜒，s ( t ) ，则回望型重置看涨期权在 到期e tt 的收益为 陆= 岛8 t 氐- - g 曼主篆 从上式可以看出，若f 0 ，t i 内标的资产价格的最小值蹋大予或者等 于k ，尉无需要重置敲定价，期权的到期收益为曲一毯若f 0 ，司内标的资 产价格的最小僵魄夺手k ，则重置该期权的敲定价为，期权的爨期收 益为函一。 定理3 1 标的资产价格在o - u 过程模型( 3 - 2 ) 下，敲定价格为k ，期 权的到期日为t 的回望型重置看涨期权在t 一0 时的价格为 c e c s o ，o ) = 蕊随( 如) 十( 一如) 一n ( d s ) 一e 一簪r 秘鼬6 1 h 鸯( 也) j k e 譬r 转洳泌( 喝) 一n ( d 4 ) 乒k 鸯j ， 其中，( 墨) 表示标准正态分布的累积分布避数，愿 疏一g(r(1s)_-夏矿a2(s)ds，如=差斧， 壮丽2 管r ( s ) d s ， 舾鳖一，如：蛙蔓弩竺塞翌塑，如=-ln翥一+fot(r(s)-a2(s)ds， n ；a 2 ( s ) d s铽a 2 ( s ) d s 魂：i n 簧+ f o t 产( 兹r ( ：s ：) ：- 鬻 ：a 2 ( s ) ) d s ，魂：i n 篝- j o v 声( 篇r ( ：s ：) ：+ 。 ：a 2 ( s ) ) d s 。 毫0 2 ( s ) d s 。 q 譬0 - 2 ( s ) d s 证 魄岛，o ) 一班( e 一擘r ( s ) 如妖灌当最+ 是 硕士学位论文 ，l ：e q ( e 一口r ( s ) 山( s t k ) l s k ) 华( k ) 三a 1 一b 1 下面分别计算a 。和b 。 a l = e q ( e 一层7 ( 。) d 8 曲i k ) 帮( k ) = e q ( e 一詹r ( a ) d 3 蚤岛1 k ) 华( k ) = 岛p 2 ( s m k ) - - s o n ( d ，) 一e 印 乌黼学l i l 簧) ( d 2 ) 】， b 1 = e q ( e 一层r ( 。) d s j k ) 华( k ) ：k e 一口r 【s 灿砰( ) = k e 一詹( 。灿 n ( d 3 ) 一e x p 6 2i n 簧】( d 4 ) 】， 故 = s o n ( d 1 ) 一e 印 篮高铲l n 簧 ( d 2 ) 】一k e 一口r ( s ) d s 【( d 3 ) 一 e 印 如1 n 簧) ( d 4 ) 1 厶= e q ( e 一启7 ( | ) 幽( s t 一) i k ) 华( k ) 量a 2 一b 2 下面分别计算a 2 和玩 a 2 = e q ( e 一石( 8 ) d s 岛i k ) 华( k ) = s o 1 一p 2 ( s m 之k ) = 岛【1 一n ( d ) + e 印 芷警告杀警l n 簧 ( d 2 ) 】， b 2 = e q ( e 一片7 ( 3 ) d 8 ) = e 一层7 ( 5 ) d s 俨( s k 厶 k ) ) 为求b 2 ，先求z m = i n s o 的概率分布 令z o = l i l 簧，由于对任意的z 0 有： 砰( z m 列= ( 等襻) 一e 印 铩竽z ) ( 驾紫) = n ( y 1 ) 一e 而z n ( y 2 ) ， 1 6 0 u 过程模型下一些新型重置期权的定价 其中 记 则 则 炉一-x+fot(r(s)-a2(s)ds，耽：竺哗篓丝塑 毯g 2 ( s ) d snl ：0 - 2 ( s ) d s m