（计算数学专业论文）分数维偏微分方程的数值解.pdf

摘要 分数阶导数足传统整数阶导数的推广，它能够比整数阶导数更准确的描 述粒子在时空下的分布状态因此有着比整数阶导数更为广泛的应用，常用于 建立物理学中不规则扩散、不规则色散等问题的模型在一般情形下带有分数 阶导数的方程的精确解难以得到，因此其数值解法的研究尤为重要 本文考虑有界域上变系数的空间分数阶偏微分方程 掣= d ( z , t ) 号笋州删o x t t 的初边值问题，其中d ( z ，t ) 为已知函数，q ( z ，t j 为源项 本文共分为三章：第一章主要分析在0 “ 1 情况下的空间分数阶偏 微分方程的数值解法，根据初边值条件建立了向后欧拉格式和c r m k n i c o l s o n 格式两格式的精度分别为o ( r + h 2 _ “) 和o ( r 2 + h 2 ) 证明了两格式的可 解性，收敛性和稳定性最后用数值例子对两格式进行了验证；第二章仍研 究第一章中研究的问题，运用另一种方法给出了精度更高的向后欧拉格式和 c r a n k n i c o l s o n 格式两格式的精度分别为o ( t + h ”o ) 和o ( t 2 - - ”“) 最后 用数值例子对两格式进行了验证，并与第一章的算法做了比较；第三章探讨在 1 “ 2 情况下的空间分数阶偏微分方程的数值解法，根据初边值条件建立 了相应的向后欧拉格式和c r a i l k n i c o l s o n 格式分析了两格式的截断误差，分 别为o ( r + h ”n ) 和o ( r 2 + h 3 一) 最后用数值例子对两格式进行了验证，并与 现有文献的算法进行了比较 关键词：分数阶导数，分数阶偏微分方程，向后欧拉格式，c r a n k n i c o l s o n 格 式，精度，截断误差 a b s t r a c t p r a e t i o n a ld e r i v a t i v e sa r eg e n e r a l i z a t i o n so ft h ec l a s s i c a li n t e g e r o r d e rc o u n t e r p a r t s f r a e t i o n a lo r d e rs p a c ed e r i v a t i v eo p e r a t o r sc a nb eu s e dm o r ea x x u r a t e l yt od e s c r i b et i l e p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o no fp a r t i c l e si ns p a c ea n di nt i m e s oi t i sw i d e l yu s e dg om o d e l a l l o n l a l o u sd i f f u s i o na n da n o m a l o u sd i s p e r s i o ni np h y s i c s i nt h i sp a p e r 1 w ，c o n s i d e rt h ei l f i t i a l b o u n d a r y1 ，z z ef r a c t i o n a lt n u - t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n 掣：a _ ( 州) 号竽+ f ( 蚺。 z 圳 1 w h e r ed ( x t ) a n dq ( x ，t ) i sk n o w n t h i sp a p e rc o n t a i n st h r e es e c t i o n s i nt i l ef i r s t , s e c t i o n b a c k w a r de u l e rs c h e m ea n d c r a n k n i c o l s o ns e h e m ea r ei n v e s t i g a t e dt os o l v et h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ef r a c t i o n a l p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t ht h e c o n d i t i o no f0 n 1 t h ea c c u r a c yo ft i l e t w os c h e n l e sa r eo ( t + h 2 一。1a n do ( 7 2 + h 2 一。) r e s p e c t i v e l y an u n l e r i e me x a n l p l ei s p r e s e n t e dt ot e s tt i l et w os c h e m e s ；i i lt h es e c e n ds e c t i o n w ea l s oe o n s i d e rt h ep r o b l e i n i nt h ef i r s ts e c t i o l l u s i n ga n o t h e rm e t h o d ，t w os d l e m e 8 一b a c k w a r de u l e rs c h e r r i e a n dc r e m k - n i c o l s o n8 c h e n i ea r ei n v e s t i g a t e d t h ea c e l l r a l ：yo ft h et w os c h e n l e s & r e o ( 7 + h 3 一“) a n do ( 7 2 + h 3 一。) r e s p e c t i v e l y w ea p p l yt i l em e t h o d t ot h es a n l ep r o b l e m a st h a ti nt h e 缶s ts e c t i o na n dc o m p a r et h en u m e r i c a lr e s u l t sw i t ht h o s eo b t a i n e di nt h e f i r s ts e c t i o n ；i nt i l el a s ts e c t i o n ，w eg i v et w oh i g h e ra c c u r a c ys d l e n l e st os o l v et h ei n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ef r a c t i o n a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t ht h ec o n d i t i o no fl “ 2 t i l ea c c u r a c yo ft h et w os d l e l l l e sa r eo ( 7 + h 3 ) a n do ( 7 2 + h 3 一“) r e s p e e t i v e l y a n m n e r i c a le x a m p l ei s p r e s e n l e d n u m e r i c a l 】e s u l t , sa y ec o m p a r e dw i t ht h er e s u l t so f l i u ss d l e l n e s k e y w o r d s ：f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e f r a c t i o n a lp d e ，b a c k w m de u l e rs c h e m e s ，c r a n k n i c o l s o ns c l i e h i e ，a c c u r a c ht r u n e a t i o ne r r o r 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名；毖丝日期。坦】：皇：乡 东南大学，中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文 的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档 的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借 阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大 学研究生院办理 签名，尘陵导师签名；捡盖堕，嗍一坦2 ：坦 第一章o l ( 0 n 1 ) 阶偏微分方程的数值解法( i ) 1 1 引言 分数阶导数是经典整数阶导数的推广，它有多种类型但彼此等价的定义式例 如有r i e m a n n - l i o u v i l l e 型g r u n w a l d - l e t n i k o v 型、c o p u t o 型、m i u e r - r o s s 型的定义式 ( 【1 】- 【4 】) 近年来，分数阶导数几乎用于科学的各个领域，例如在a b e l 积分方程、粘弹 性力学问题、不规则扩散问题、地下水模拟问题、金融数学，电容器理论，通用电压 分流器、生物系统的电传导系数、神经元的分数阶模型、数据拟合等问题中都有用到 分数阶方程( 【5 】- 【1 3 】) 因此发展数值方法求解分数阶微分方程是十分有意义的 带有常系数的分数阶常微分方程可用富里埃变换的方法求出其精确解( 【14 】一【1 5 】) 而应用广泛的带有分数阶导数的变系数偏微分方程的理论研究却很少因为要得到分 数阶偏微分方程( f p d e ) 的精确解几乎是不现实的，因此我们更关注于其数值解法的 研究而数值解法的关键就是得到高精度的分数阶导数的离散 本章主要研究下面的f p d e ( 0 n 1 ) t 豢+ d ( 引) 象= 如以o z n o t l u ( z ，0 ) = 妒( z ) ，0 0 ，q ( x ，t ) 是源项，罄表示的是。阶左导数 我们先分析分数阶导数的离散，然后再对微分方程进行离散假定函数f ( x ) g 2 【o ，1 】取正整数m ，记h = 击，x i = i h ， = f ( x i ) ，0s s m 由文献【1 】可知，( z ) 的以。= 0 为左边界的。阶r i e m a n n - l i o u v i u e 型的分数阶左导 数定义式为， 辔= 南弘d n 五z r ( n 尚8 ) a + l 础 出口一a ) d 妒儿( z 一 一n 其中是满足n 一1 os n 的整数，r ( ) 是伽马函数当0 口 1 时， 公式有 掣= 盟r ( 1 等+ 志11 厂o ( 严川幽 如。一n ) r ( 一n ) ”。 引理1 1 ( 【1 6 】)假如，( 功c 2 0 ，1 】，0 o 1 ，那么 驴南一骞掣e ，南i s 击降+ 尝川订。) 趱。咿一 ( 1 4 ) 应用分步积分 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 奎童奎竺塑圭竺堡篁塞苎三塞! 堡! ! ! ：! 堕堡丝坌垄堡墼丝堡堡些堡 2 根据引理1 1 不难得出 引理1 2假如f ( x ) e 2 【o i i ，0 n 1 ，1 m ，那么 可d a f ( x i ) = 夥+ 晶m 一薹i - - i ( 时t 唯舫- c - ；f o 】+ o 1 ，( 1 7 ) 其中 c f = ( i + 1 _ ：) 1 - 1 - - i l 一- a ， o s i 尬o 。 1 c f = ：_ 一， u s l s h ，u o 1 1 2 后退欧拉格式 对区域【0 ，1 】f 0 ，卅进行网格划分：将区间【0 1 】作m 等分，将区间【o ，t 作等 分令h = 击为空间步长，r = 斋为时间步长定义网格函数及简式z 印= u ( t 。) ，“一= 刊1n t 心n 一1 ) ，矗一5 = ；( u 一“一 在结点慨，k ) 处考虑方程( 1 1 ) 一( 1 _ 3 ) 并利用引理1 2 ，可得 以嵋毛+ 着兰【- 。昭+ 印叼 = 聍+ ( r 1 ) ，1 i 厶1 n n 田= 妒( 。 ) ，1 i s m ， u 孑= o ( t n ) ，0 s 佗n 且存在正常数g ，使得 ( n ) ? e ( r + h 2 - o ) ， 1s i m ，1 n n 用蟛代替叼，略去小量项( r ，) ，得到向后欧拉格式t 民n - - + 嵩p t l 3 + 匈嵋一萋( 畔- 一训哆噜t 蚓 j ；l = 露，1 i m 1 n s n ， u o = 妒( 粕) ，1 i s 尬 碲= o ) ，0 n 定义范数 l * 。蟛m 3 a x 。 l u 1 ) ，i * 2l 要野 蚓) ，1 1 l p l l o o2 鼢似训圳矿h = ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 嘴一 q 一 哆1 q 一 一 龟 “一 奎童查兰堡圭兰堡垒塞塞三塞呈! 竺三呈三! ! 堕堡墼坌壅堡墼墼堡堡堡些 3 引理2 1 设o ( t ) e0 ， 婶) 是方程组( 2 4 ) - ( 2 6 ) 的解，那么我们有 0 “”0 。0 妒0 m + r e i q l l 。 ( 2 7 ) 证明；令r = 而笺杀，由( 2 4 ) 式及( 2 6 ) 式可得 砖+ r c o u ? 一( c f 叫一1 一q - j ) 哼】= 嵋1 + r 簖，1 i 尬1 n j f f i i 移项得 ( 1 + r 国) t 口= r ( q o l 一龟- j ) 哼+ t 露一1 + 钉醪， 1 l 尬1 竹， j r l 设i 屹i = i i - 1 1 * ，因为诣= 0 ，0 n n ，则1 i o m 在i = i o 处考虑上式，并注意 到均) 器。是非负递减数列，则有 ( 1 + r c o ) 1 i 矿i r ( 匈一。i o 1 ) i i 矿0 + i i 矿一1 0 + 下0 矿1 i ， 那么有 i i 矿l i 。si l u - 一1 | | o 。+ r 0 口“i i 。 递推知( 2 7 ) 式成立，引理证毕 引理2 1 也说明了差分格式( 2 4 ) 一( 2 6 ) 的解关于初值妒( z ) 和右端项9 ( q t ) 是稳定的 定理2 1差分格式( 2 4 ) 一( 2 6 ) 有唯一解 证明t 考虑如下方程组 盯5 + 嵩旷啪c 0 嵋一薹( c _ j _ l - - c _ j 睁铀硼 = 0 ，1s i s m1 n s ，( 2 8 ) 蛳0 = 0 ，1 s i 5 m ，( 2 9 ) 略= 0 ，0 sn ，( 2 1 0 ) 由引理2 1 可得方程组只有零解，故差分格式( 2 4 ) 一( 2 6 ) 有唯一解，定理证毕 定理2 2 设 “ ) 是方程组( 2 4 ) 一( 2 6 ) 的解，令四= 叼一嵋那么 i i e ”0 s c p + h 2 - , 1 ) ，1 n 证明：将( 2 1 ) 式与( 2 4 ) 式相减，再考虑初边值条件可得误差方程 磷毛+ 嵩旷四十c d 日一霎( c i - j - 1 - c 4 _ j 炉吲、 ，= l = ( r 1 ) ，1 s t m ，1 扎n ，( 2 1 1 ) e o t = 0 ，1 i 尬( 2 1 2 ) 皤= 0 ，0 n ( 2 1 3 ) ：墅墼堡圭兰堡垒茎 董三塞! ! ! ；! ；! ! 墼堡丝坌童堡墼墼堡堡鎏堡 4 其中 ( r 1 ) c o + h 2 一。) ，1 i m ，1sn n 由引理2 1 知定理成立 1 3 c r a n k - n i c o l s o n 格式 在结点( 娩，t 。一；) 处考虑方程( 1 1 ) ( 1 3 ) 并利用引理1 2 ，可以得到 & + 轰n - 嵩! 旷。昭- + c o 一歪i - 1 ( c 峥t 刮c j ；l - - - - c _ 1 聃 = 吼n 一+ ( r 2 ) ? 一壬，1 i m1 n ， 四= 妒( 粕) ，1 i m c 留= o ( 如) ，0 s 其中 ( r 2 ) ? 一5 c ( r 2 + a 2 - n ) ，1 i 托1 n m 用嵋代替叼，略去小量项( r 2 ) ? 一则得c r a n k - n i c o l s o n 格式， 魂“一簧n - 嵩! 旷“i 磊i - - i ( ，) 一。甜 = 吼n 一，1 i 尬1 疗， 钟= 妒( 。 ) ，i i 托 t 屠= o ( t n ) ，0 s 乱j 讥 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 引理3 1 设口( ) ；0 ，f 蜡) 是方程组( 3 4 ) 一( 3 6 ) 的解，那么我们有 l i 扩1 1 2 e 2 7 ( 1 i 妒1 1 2 + 2 r l k 。一1 1 2 ) ( 3 7 ) 证明：令r = 赢岳，由( 3 4 ) 式及( 3 6 ) 式得到 乱一t 口一l + r 印n 一= r 萎( q _ j l q 。) 一墨十r 嚣一号，1s ml 竹s m 将上式两边同乘以( 嵋+ “? 。) h ，并对i 从1 取到m ，求和得 。矿1 1 2 刈矿一- i l 。+ 2 r 叁( 一i ) z ：2 r m n 一 萎( q 十，一a j ) 哼一 。? 一5 露一 o 矿1 1 2 一i l 矿一11 1 2 + 2 r ( 一5 ) 2 = 2 r 一o ( q 十1 一a j ) u ；一 ，。? 一女露一 i ；l i = 1 y f f i lt = 1 奎查查兰堑圭耋堡垒塞量三塞! ! ! i ! ；! ! 墼堡墼坌童堡墼墼堡堡望堡 5 注意到 mi - 1 2 h “? 一5 芝二( c f 一卜1 一c 一j ) 一l = 1 ，= l mi 一1 s ( c 叫一1 一q 。) 【( 一5 ) 2 + ( 一5 ) 2 】 = 2 j = l mt 一1 ，d - - 1 = ( c 十1 一q - j ) ( “i n - - j z ) 2 + ( q 一一l 一臼一j ) ( 一5 ) 2 i = 2 j f f i l= 2 j f f i l mm l f he ( o q 一1 ) ( 一5 ) 2 + ( 岛一j 一1 一g j ) ( t 学一o ) 2 i = 2 j = l i 叫+ 1 m， m 一1 = ( 匈一岛一1 ) ( 一o ) 2 + h ( c o c j l f j ) ( 嵋一5 ) 2 t = 2 j f f i l 2 c o l | 矿一钏2 因为r 20 ，故有 进而有 当r 1 时， 递推知 训2 一i l u n - 11 1 2 m i l ui i2 h r 。i n 一 谚一矿1 1 2 2 “i 1 谚1 i = 1 r ( 1 1 n 一1 1 2 + i i q n j1 1 2 ) 纠学+ 竿) + r i i q - 1 1 。 ( 1 一；) | | 乱“0 2s ( 1 十；) o 仳“一10 2 + r o g ”一0 2 i l u 1 1 2 拦忖。1 1 1 2 + 两t 怕”钏2 ( 1 + 2 r ) l l u n 一1 1 1 2 + 2 r | | 矿一1 1 2 ( 1 + 2 r ) ( i i “一1 1 1 2 + 2 r l l q 一1 1 2 ) i l u 1 1 2 ( 1 + 2 r ) “( 1 1 妒1 1 2 + 2 r i i 一一 1 1 2 ) 1 = 1 n e = ( 1 l 妒1 1 2 + 2 r l l q 一i1 1 2 ) 引理证毕 引理3 1 也说明了差分格式( 3 4 ) 一( 3 6 ) 的解关于初值妒( z ) 和右端项q ( x ，t ) 是稳定的 奎翼奎兰堡圭竺堡垒塞 篁三童竺堡三竺三! ! 墼堡丝坌童堡篁墼堡堡童堡 6 定理3 1差分格式( 3 4 ) 一( 3 6 ) 有唯一解 证明：考虑如下方程组 魂吨n - i 。+ 辚n - ! 旷+ 句一薹i - - 1 ( 畔- ，坷- - - c _ 1 融 = 0 ，1 s i s 尬1 佗n ， ( 3 8 ) 胡= 0 ，1 i m( 3 9 ) 略= 0 ，0 s n s ( 3 1 0 ) 由引理3 1 可得方程组( 3 8 ) 一( 3 1 0 ) 只有零解，定理证毕 定理3 2 设u 是方程组( 3 4 ) 一( 3 6 ) 的解，令四= c ，一“ ，那么我们有 0 矿i | c ( r 2 + 舻一。) 证明，将( 3 1 ) 式与( 3 4 ) 式相减，再考虑初边值条件可得误差方程 碱- + 东d 豸2 h - a 旷啼5 埘一歪i - - 1 ( 畔t 一瓣一一t 豸_ = ( r n ，1 i m ，1 仃n ， 0 = 0 ，1 i s m 韶= 0 ，0 n s n 其中 ( r 2 ) s c ( r + h 2 - a ) ，1 i m ，1 佗n 由引理3 1 知定理成立 1 4 数值例子 考虑下面的问题 掣+ r ( 3 5 ) ( 1 + ) 笃笋= e “( 舻+ ) ，。 z l ，。 t l i ( 4 1 ) “( 茁，0 ) = z 3 ，0 z 1 ，( 4 2 ) u ( o ，t ) = 0 ，0 s t s l ( 4 3 ) 容易验证其精确解是“( ，t ) = 一e 一 定义最大误差 民( 也订= 。辫k m ：a x 。i 叼一硎) 应用向后欧拉格式计算问题( 4 1 ) 一( 4 3 ) 表1 给出了当t = 1 时部分点的精确解和 所得的数值解表2 给出了当t = l 时部分点上向后欧拉格式数值解误差的绝对值 壅至奎耋堡圭堂堡垒塞篁三塞竺堡三竺三! ! 墼堡竺坌垄塞墼墼堡堡堡丝 7 表3 给出了当h = 1 4 0 0 0 ，r 取不同值时向后欧拉格式所产生的最大误差表4 给出了 当r = 1 1 0 5 ，h 取不同值时向后欧拉格式所产生的最大误差图1 1 给出了在t = 1 时 向后欧拉格式取不同步长所得u 的数值解的误差曲线 假设向后欧拉格式的精度是o ( r p + h q ) ，当m 取得很大，历。( h ，r ) = d ( 矿) ，e ”h , 2 r 接近2 p ，那么l 0 9 2 ( 1 e 。蔫h 辫, 2 r ) 接近p ，由表3 知p 接近1 当n 取得很大时，e k ( ，r ) = o ( h 9 ) ， e 。2 h , r 接近2 q ，那么l 0 9 2 ( 甓鬟鲁) 接近q 由表4 知q 接近1 5 这与第二部分的分析向 后欧拉格式的精度是o ( r + h 2 ”) 一致( j 比时n = 0 5 ) 应用c r a n k - n i c o l s o n 格式计算问题( 4 1 ) 一( 4 3 ) 表5 给出了当t = 1 时部分点的精确 解和所得的数值解表6 给出了当t = 1 时部分点上c r a n k - n i c o l s o n 格式数值解误差的 绝对值表7 给出了当h = 1 4 0 0 0 ，r 取不同值时c r a n k - n i c o l s o n 格式所产生的最大误 差表8 给出了当r = 1 1 0 5 ，h 取不同值时c r a n k - n i c o s o n 格式所产生的最大误差图 1 2 给出了在t = 1 时c r a n k - n i c o l s o n 格式取不同步长所得u 的数值解的误差曲线 假设c r a n k - n i c o l s o n 格式的精度是o ( r v + h q ) ，同理分析由表7 知p 接近2 ，由表8 知q 接近1 5 与第三部分所分析的c r a n k - n i c o l s o n 格式的精度是o ( r 2 + h 2 ) 一致 ( 此时a = 0 5 ) 衰1 ：t = 1 时部分点的精确解和运用向后欧拉格式所得的数值解 衰2 ：b1 时部分点上运用向后欧拉格式所产生的误差的绝对值 裹3 ：当h = 1 4 0 0 0 ，r 取不同值时向后欧拉格式所产生的量大误差 壅查查堂堡圭耋堡丝塞量三耋! ! ! ! ! ! ! ! 墼堡堡坌童塞墼墼堡堡鋈丝 8 图j t = 1 时向后欧拉格式取不同步长所得“的数值解的误差曲线 表4 ：当r = 1 1 0 5 ，h 取不同值时向后欧拉格式所产生的最大误差 衰5 ：t = 1 时部分点的精确解和运用c r a n k - n i c o l s o n 格式所得的数值解 衰b ：t = 1 时部分点上运用c r a n k - n i c o l s o n 格式所产生的误差的绝对值 手基，工r荨i 奎童奎堂堡圭堂堡垒塞篁三塞! ! ! ；! ! ! ! 堕堡堡坌童堡竺墼堡堡鋈堡 9 图j 2t = 1 时c n z n k - n i c o b o n 格式取不同步长所得u 的数值解的误差曲线 衰7 ：h = 1 4 0 0 0 ，r 取不同值c r a n k - n i c o l s o n 格式所产生的最大误差 衰8 ：，= 1 1 0 5 ，h 取不同值c r a n k - n i c o l s o n 格式所产生的最大误差 手气fr营一 第二章o ( 0 口 1 ) 阶偏微分方程的数值解法( i i ) 2 1 引言及分数阶导数的离散 本章研究的方程与第一章完全一样，并将给出两个精度更高更为有效的差分格 式 象= d ( x , t ) 象+ 如t ) o z 1 ，o t t ( z ，0 ) = 妒p ) ，0 z 1 ， u ( o ，t ) = o ( t ) ，0 t z ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 其中扩散系数d ( x ，t ) o ，g ( 羁t ) 是源项，貉表示的是o t 阶左导数 下面先分析分数阶导数的离散再给出方程的离散假定，0 ) c 3 f 0 ，1 】取正整数 m ，令h = 击，戤= i h ， = ，( 戤) ，0 ism 记b k = ( k + 1 ) 2 瓤- a _ k 2 - a ，铅= ( k + 1 ) x 1 - 一a 口- k 1 - a ， 其中k = 1 ，2 ， 应用文献【1 j 1 中的定义，函数，0 ) 的以z = 0 为左边界的a 阶( 0 a 1 ) r i e m a n n l i o u v i u e 型的分数阶左导数定义式为； 掣= 志f1 旦d x z 。器缸 ( 1 t ) a 嘧o ( 一a )如( z s ) o 、7 对( 1 4 ) 式进行一次分步积分进而有t 掣= 丽b d 引 x l - a f ( x o ) + 五i 0 1 o t 1j o 。，( 8 ) ( 广。叫a z or f l 一n 1 如l一一o 。r 八“7 一j = 剃r ( x + 志f 等幽 s ， 一o ) 。r ( 1 一n ) ，o ( o 一8 ) o 、7 在点x i 处考虑( 1 5 ) 式有， 型=而(ih)-foox+ 南o t 鬈器幽 ( 1 。) r ( 1 一n ) r ( 1 一) 厶。( z 一8 1 0 、7 引理1 若，( z ) c , 3 b 一1 ，巧+ 1 】，l ( 。) 是，( z ) 在点q 一1 ，巧，x j + l 的二次插值多项 式，则有下面结论成立t ， ) 一l ( z ) = 者，( 3 ( f ) o 一巧一1 ) 扛一即) o 一巧+ 1 ) ，( m i n x j l ，) ，m a x x j + 1 ，z ) ) 定理1 若a ( 0 ，1 ) ，( z ) c 3 【0 ，1 】，那么我们有 型 氆一 = 夥+ 焉卜 学+ ( i - - 1 ) ( 丘- 2 ，l + ，o ) 】也( y 2 _ 2 ，1 + f o ) ) + 篙 学+ 击c 纠“侬。， + 晶孙一扣一t 一玩一j 一- 】乃一- 一2 附一j ) 岛。一- 一玩一j 一】乃+ l ( i - j + ；) q - j 一- 一玩叫一t 】乃+ - ) + o ( h s o ) ，i = 1 ，2 ，尬 其中 = 。0笼嚣埘时 证明：我们逐项考虑( 1 6 ) 式的离散，尽可能使每一项的精度都高先考虑( l 6 ) 式中 第二项的离散，易知 f 如) ( 一8 ) ”d s ：厂1 ，( 8 ) 一s ) - a d s + 董尸”，( 8 ) 慨一矿n d e + 6 ( 0 “，( 8 ) ( 铲矿。d s ( 1 7 ) j z o = 1j q j z t - - 1 记 a ： “，b ) ( 翰一s ) 吲s ，b ：量尸”，如) ( 一s ) - a d s ，c ：厂，( 8 ) ( 甄一s ) 一 j , t o 4 = 1j j z i - - i 先对a 离散，有 a = e 1 ( 瓤 8 ) 一o 【，( x 1 ) + ，”扛1 ) ( s z 1 ) + o ( h 2 ) 幽 = e 1 ( 甄_ 8 ) 1 警+ 半( 8 - - x 1 ) + o 妒) 如 = ( 1 ( 瓤叫” 警+ 半( h ) + 半( s 刊+ d ( 确】d 8 因为在0 o _ 1 ，z ，尬 故k 摆。为递减的有界列故有 a = 啦一t ，l 一。 垒亏鱼+ 。一1 ) ( ，2 2 + o ) 一b i - 1 一。( ，2 2 + 矗) + o ( h 3 一。) ( 1 8 ) 类似地，对c 离散得 c = 矗( 一8 ) 一n 矿，( 甄一i ) + ，”( z 一1 ) o 一翰一1 ) + o ( h 2 ) l d s j z t l = t - - ( x t - s 广 与筹+ 止学( 8 - - x i - - 1 ) + d ( 炉) d 8 = ：( 矿圹。 与竽+ 丝等地+ 止学8 - - x i ) + o ( h 2 ) 幽 = 可 三( 一五一2 ) + ( 而1 一而1 ) ，l 一。( 一2 五一- 十 一：) + o ( h s 一。) ( 1 9 ) 至霎奎量堡圭量堡堡蚤量三堇竺堡三呈三! i 墼! 堡堡垒霍塞里坚堡矍鎏! 型 “ 下面对b 项进行离散，设 驰) - 苎1 抽拓鱼1 。翥- 1 - 豢 ( 1 1 0 ) l = 一拓一f j 一j t “ 是，0 ) 在巧一1 ，巧，q + l 三点的二次插值多项式，对其求导数有 髟( z ) = 去乃一- 。一巧+ ) 一吾方 一巧) + 去方+ 。一勺一) ( 1 1 1 ) 令 岛二尸+ 1 巧( 。) 一。) 一n 幽，台：差岛 ( 1 1 2 ) 由( 1 1 1 ) 一( 1 1 2 ) ，可以得出 h r1 雪= h 一。 o j 一；) 龟一j 一1 一以j 一1 】乃一l 一2 【o j ) 龟- j l 一玩j 一1 】乃 + 【( 江j + ) c 4 - j - 1 - - 一， 鼠- ) 根据引理1 ，可以得到 i b 一雪卜i 差尸”( ，( 旷叫圳( 铲圹i ：i 差。讲1 ( m ) 一l ( 。) ) ( 规一。) 一- d 8 - - ：晒i x i a 蛳xi ，( 3 k ) h 3 e ( x t - 8 ) ”_ 1 幽 = ；。i ，( 3 k ) lh 3 竿 1 ；。m s 。a s x 。i ，3 ( s ) l h 3 一。， ( 1 1 3 ) 讲而右 i - - 2 b = 岛+ d ( 驴- 口) ， ( 1 1 4 ) j = l 由( 1 7 ) 一( 1 9 ) 及( 1 1 4 ) 可得定理1 成立定理证毕 2 2 后退欧拉格式和c r a n k - n i c o l s o n 格式的建立 在结点，k ) 处考虑( 1 1 ) - ( 1 3 ) 式并根据定理1 ，有 ；( 叼一叼一1 ) 壅童奎兰塑圭兰堡垒塞 量三兰! ! ! 二! ：! ! 堕堡堡坌童塞墅墼堡堡童坠：= = = = = 一1 3 = 露 篇+ 晶川华+ ( i 叫( 叨一z 四+ 冽 一巩- 1 ( 叨一2 砑+ w 好+ 熹篓丢 华十五1 五t 叱n 一2 曜t + 嘤。) + 晶私州一扣一t 隋附叫) c i - j - 1 一b i - j - 1 】叼 + 阶一j + 1 ) c ；- j - 1 - b i - j - 1 】曙，) 1 + 背+ ( r - ) ，1 i m ，1 n 四= 妒( a ) ， 1 i s 肘j 瓣= d ( t n ) ，0 n 兵甲 i ( r 1 ) l g p + h a - a ) ，i = 1 ，2 ，肛 略去小量项( 风垤，用u 代替w ，则得到向后欧拉格式。 ；( u ? 一“一 = 科篙+ 晶川华邯_ 1 ) ( 蚪州) 】 屯。( “n _ 2 卅略) ) + 等写 车粤+ 击嘞孙“黝】 + 晶私卜卜) c i - j - 1 - b i - j - i 啪- 2 附。) c x - j - 1 - b i - j - 1 埘 + 【“一j + ) o - - j - - 1 - - b i - j - 1 】叼；。 l + 醪 u , o = 妒( 甄) ， 1 t m ， 瑶= n ( t 。) ，0 ，l n 同样地，在结点( ，t n j ) 处考虑( 1 1 ) 一【1 3 ) 瓦j l l ! j 碉 ；( 叼一叼一1 ) 彳吖婿挲+ 南川掣娟- 1 ) ( 呓一叫。1 硝5 ) 】 也，( v ；- ；- 2 v i 一 + 略1 ) + 器 掣+ 磊1 ( v u 5 - 2 v ： q 5 + 鼢n - + 晶鄞一扣一】删圳- j ) 州山- 1 】哆t + 肛j + 扣州一巩州, u - - - 5 0 ，+ , q i + ( 嘞) 曩 1s 逛m ，1 s n n ， 四= 妒( 规) ， 1 i 肘j 瓣= a t 。1 o n ”动砷偿协 一 n 一 1m 一 p 一 l 奎童查兰堡圭兰堡垒塞 量三霎竺堡三竺三! ! ! ! 堡堡坌童璧竺墼堡堡童型 1 4 其中 i ( r 2 ) ? 一| e ( r 2 + h s a ) ， 1 i m ，1 n n 然后略去小量项( 兄2 ) ? ，用嵋代替叼，则得到c r a n k - n 格式， ，1 n 一砰一1 ) 吖箐窨+ 晶川蔓霉 叫( 谚一钟- + 一巩一。( 谚一一2 砰一+ 罐一) + 鲁芋 丝n 二- ! 兰n 生- 。十f b ( 一一2 “砑+ n 一- f ! ) + 晶鄞一扣一t - - b i _ j _ 1 u j _ 1 l 2 附卅山- l 】莺 磕= d ( 如) ，0 仃n 2 3 数值例子及算法比较 考虑与第一章相同的数值例子： t o u ( z , t ) + r ( 3 5 ) ( 1 秽s ) 譬_ e - t ( 5 x 3 + 舻5 ) ， “( 。，0 ) = 茁3 ，0 z 1 ， u ( o ，t ) = 0 ，0 t 1 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 容易验证其精确解是u ( x ，t ) = 护e 定义最大误差 瓦( h ，r ) 2o 。m 。a 。x o 黝i 叼一“叫 应用向后欧拉格式计算问题( 3 1 ) - ( 3 3 ) 表1 给出了当t = 1 时部分点的精确解和 所得的数值解表2 给出了当t = 1 时部分点上向后欧拉格式数值解误差的绝对值表 3 给出了当h = 1 4 0 0 0 ，r 取不同值时向后欧拉格式所产生的最大误差表4 给出了当 r = 1 1 0 5 ，h 取不同值时向后欧拉格式所产生的最大误差图1 1 在t = 1 时向后欧拉 格式取不同步长所得“的数值解的误差曲线假设向后欧拉格式的精度是o ( 矽+ h q ) 运用与第一章相同的分析方法，表3 知p = 1 ，由表4 知q = 2 5 与第二部分分析的向 后欧拉格式的精度是o ( r + 扩一o ) 一致( 此时n = 0 5 ) 应用c r a n k - n i c o l s o n 格式计算问题( 3 1 ) 一( 3 3 ) 表5 给出了当t = 1 时部分点的精确 解和所得的数值解表6 给出了当t = 1 时部分点上c r a n k - n i c o l s o n 格式数值解误差的 一 n 一 m 一 一 一 n吼 + 、，i， 蝣 尬 一 一 l 一 一 1 q 1 1 2 + l吼 江 “ 州乒 1 2 3 3 3 3 v v v 1 o1 z o 东南大学硕士学位论文第二章o ( o d 1 ) 阶偏微分方程的数值解法 1 5 绝对值表7 给出了当h = 1 4 0 0 0 ，r 取不同值时c r a n k - n i c o l s o n 格式所产生的最大误 差表8 给出了当r = 1 1 0 5 ，h 取不同值时c r a n k - n i c o l s o n 格式所产生的最大误差图 1 2 给出了在t = 1 时c r a n k - n i c o l s o n 格式取不同步长所得“的数值解的误差曲线假 设c r a n k - n i c o l s o n 格式的精度是o ( 一+ h q ) 表7 知p = 2 ，由表8 知q = 2 5 与第二部 分分析的c r a n k - n i c o h o n 格式的精度是d ( 一+ h a ”) 一致( 此时o t = 0 5 ) 衰1 ：t = 1 时部分点的精确解和运用向后欧拉格式所得的数值解 裹2 ：t = 1 时部分点上运用向后欧拉格式所产生的误差的绝对值 衰3 ：当h = 1 4 0 0 0 ，r 取不同值时向后欧拉格式所产生的最大误差 裹4 ：当r = 1 1 0 5 ，h 取不同值时向后欧拉格式所产生的量大误麓 塞童奎兰堑圭耋堡垒塞 堑三塞! 堡! ! ! ! ! 堕堡童坌童堡竺墼堡堡童丝 1 6 圈j 1t = 1 时向后欧拉格式取不同步长所得u 的数值解的误差曲线 图j 2t = 1 时c r a n k - n i c o l a o n 格式取不同步长所得“的数值解的误差曲线 手号，rr量手葛fr量 誊气，工，蔓 手，工r善一 奎童查竺堑圭耋堡垒塞量三塞! ! ! ! ! ! ! ! 墼堡堡坌童堡竺墼堡堡堂丝 1 7 衰5 ：t = 1 时部分点的精确解和运用c r a n k - n i c o l s o n 格式所得的数值解 衰b ：t = 1 时部分点上运用c r a n k - n i c o l s o n 格式所产生的误差的绝对位 衰7 ：当h = 1 4 0 0 0 ，r 取不同值时c r a n k - n i c o l s o n 格式所产生的最大误差 衰8 ：当r = 1 1 0 5 ，h 取不同值时c r a n k - n i c o l s o n 格式所产生的最大误差 最后我们应用此算例比较一下第一、二章相应算法的优劣在相同的最大误差( 比 如1 0 4 ) ，都取最优步长比的情况下，比较两算法所用时间的多少第一章的向后