（计算数学专业论文）两点边值问题高阶格式的交替分组迭代法.pdf

山东人学硕士学位论文 摘要 本文设计构造了两点边值问题的一类高阶差分格式的并行迭代算法，其基本 思想是把高阶差分格式的差分方程组划分为若干个子方程组来分别同时进行迭 代求解。本文给出了构造此算法的过程，并用矩阵理论证明了迭代的收敛性，并 针对具体例子给出了数值试验结果，数值算例验证了理论分析的正确性，表明了 算法的可行性与有效性。 本文最后指出有待解决的问题，明确了今后的研究方向。 关键词：两点边值问题；高阶格式；交替分组迭代；收敛性 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t ak i n do fn e wp a r a l l e li t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rs o l v i n gt w op o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mi s c o n s t r u c t e di nt h i sp a p e r t h eb a s i ci d e ai st od i v i d et h es y s t e mo f d i f f e r e n c ee q u a t i o n si n t oas e to fs u b s y s t e mt h a tc a nb es o l v e di n d i v i d u a l l yi np a r a l l e l t h ep r o c e s so fc o n s t r u c t i n gt h ea l g o r i t h mi sg i v e n t h ep r o p e r t yo fc o n v e r g e n c ei s p r o v e db ym a t r i xt h e o r y t h er e s u l t so fn u m e r i c a le x p e r i m e n to fs o m ee x a m p l e sa r e o b t a i n e d i ts h o w st h a tt h ea n a l y s i si sc o r r e c ta n dt h ea l g o r i t h mi s f e a s i b l ea n d e f f i c i e n t i nt h ee n do ft h ep a p e r , w ep o i n to u tp r o b l e m su n s o l v e da n di n d i c a t ed i r e c t i o no f r e s e a r c hi nt h ef u t u r e k e y w o r d ：t w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；h i g ho r d e rd i f f e r e n c es c h e m e ： a l t e r n a t i n gg r o u pi t e r a t i v ea l g o r i t h m ；c o n v e r g e n c e 2 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：旦j 墨垄叁 日期：堡亟：堡：三f 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：且牟兰k 导师签名： 山东大学硕士学位论文 1 1 简介 1前言 自从1 9 6 4 年第一台电子计算机问世以来，经过半个多世纪的发展，使得科学 与工程计算已经成为2 1 世纪最重要的科学进步之一。高效的计算方法与高速的 计算机是同等重要的，计算作为认识世界改造世界的一种重要手段，已与理论研 究及科学试验并列成为当今世界科学活动的三种方式之一。在许多科学与工程领 域如果没有计算就不可能有第一流的研究成果。为众多的科学与工程问题提供计 算方法，提高计算的可靠性、有效性和精确性，便是科学与工程计算这一领域的 主要内容。 计算数学即是研究如何用电子计算机解决各种数学问题的科学，它的核心是 提出和研究各种数学问题的高效而稳定的算法。计算数学主要研究与各类科学计 算和工程计算相关的计算方法，对各种计算方法及其应用进行理论和数值分析， 设计和研究应用数值模拟方法来代替某些耗资巨大甚至是难以实现的实验，研制 专用或通用科学工程应用软件等。近年来，计算数学与其他领域交叉渗透，形成 了诸如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物等一批交叉学科，在自然科学、 社会科学、工程技术及国民经济的各个领域得到了日益广泛的应用。 1 2 问题的提出和解决 随着高性能并行计算机的问世与发展，极大地推动了并行数值方法的发展。 关于偏微分方程有限差分逼近的并行算法，w l m i r a n k e r 曾在他的著名综述文 章中指出：“在此设计新算法的动力几乎没有，并且确实没有新算法出现 。他 的话在并行计算的早期阶段甚至整个七十年代都是对的。那时候多数数值专家并 没有大力关注一些偏微分方程有限差分逼近并行方法的研究领域。1 9 8 3 年 d j e v a n s 和a r b a b d u l l a h 首先建立求解抛物型方程的交替分组显式方法 2 。 1 9 8 5 年d j e v a n s 又建立了两点边值问题的2 阶交替分组并行迭代方法 3 。此 后关于交替算法的研究得到了广泛的重视，并被应用到许多问题中，见文 山东大学硕士学位论文 e 4 3 1 - 1 8 。 众所周知，两点边值问题的数值方法求解有广泛深入的研究( 见文 1 9 一1 - 9 1 ) ，差分法是一种主要方法。差分法是直接用差商逼近导数，进而将一 个连续的微分方程边值问题转化为代数方程组的求解，此时，系数矩阵常常是大 型稀疏矩阵，即非零元素占的比例很小，且有一定的分布规律。解线性代数方程 组的方法主要是直接方法和迭代方法。直接法是指在没有舍入误差的情况下经过 有限次运算可求得方程组的精确解的方法。因此，直接法又称为精确法。迭代法 则是采取逐次逼近的方法，亦即从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构 造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精确解，只经过有限次运算得不到 精确解。迭代法中的经典方法是雅可比( j a c o b i ) 迭代法和高斯一塞德尔 ( g a u s s s e i d e l ) 迭代法以及逐次超松弛( s o r ) 迭代法。高斯一塞德尔 ( g a u s s s e i d e l ) 迭代法与雅可比( j a c o b i ) 迭代法相比较的一个明显优点是节省 内存，收敛速度快，但是其收敛性受到各个方程排列次序的影响，而逐次超松弛 ( s o r ) 迭代法的最佳松弛因子的选取是不易的。 本文正是利用文 3 的并行迭代方法的思想，构造了两点边值问题的高阶差 分格式并设计求解该格式的并行迭代算法，其基本思想是把高阶差分格式的差分 方程组划分为若干个子方程组来分别进行迭代求解。文章给出了构造此算法的过 程，并用矩阵理论证明了迭代的收敛性。随后针对具体例子给出了数值试验结果。 这个并行迭代方法获得了并行性与稳定性兼顾的优点，数值算例显示它们具有较 高的精确度。 2 两点边值问题四阶格式的交替分组迭代法 2 1 两点边值问题的四阶差分格式 4 我们考虑二阶常微分方程边值问题 三“= 一万d 2 u + g “= 厂，口 0 醴也是正定矩阵。 盎，龟是非负定矩阵，从而q ，g 一2 是正定矩阵。 1 0 山东大学硕士学位论文 其中 下面讨论公式( 2 1 9 ) 的收敛性。 从( 2 1 9 ) 消去西“n ，得 定义矩阵 则有估计式 材+ 1 = t u + 户， ( 2 2 0 ) 丁= ( p ，+ 最) - 1 ( p i - g i ) ( p i + g 1 ) - 1 ( p ，一巨) ， 户= ( + 匠) 。1 ( p ，一面) ( + 叵) 一，+ ， 于= ( p ，+ 互) 丁( p ，+ 匾) ， ( 2 2 1 ) p ( 丁) = p ( 于) = i l 于l l ： 0 ( p x e ) ( p ，牟叵) q | 1 2 i l ( p ，一嘎) ( + 互) 。i l ： = m 叫筹j i 叫嚣l 亿2 2 ， 其中心，玩( 汪l ，2 ，j ) 分别为q 和巨的特征值。由引理知，面和最都是正定矩 阵， 由此可见，以 0 ，仇 0 ( 待l ，2 ，) 。所以由( 2 2 2 ) 知p ( t ) 0 ，仍 0 ( i = l ，2 ，j ) 。由( 2 2 2 ) 知p ( t ) 0 ，r , 0 ( 扛1 ，2 ，) 。所以由( 2 2 2 ) 知p ( 丁) l ，故证明迭代公式 1 8 山东大学硕士学位论文 ( 3 1 3 ) 是收敛的。 3 2 3 格式 取j = 1 2 k ，k 为正整数，将系数矩阵彳分解为 其中分解矩阵为 门 ， 2 3 6 0 = 门 厂 q 2 3 6 0 - 4 5 4- 4 - 5 4 05 4- 4 g l 9 2 a = g l + g 2 + - 4 5 4 - 5 4 0 - 45 4 - 4 ( 3 1 7 ) 1 9 山东大学硕士学位论文 g d = 2 4 7 2 7 02 7 4 - 2 7 04 9 0- 2 7 05 4- 4 2 7- 2 7 07 3 3- 5 4 05 4 _ 4 - 45 4- 5 4 09 8 0- 5 4 05 4 - 4 - 45 4- 5 4 09 8 0- 5 4 05 44 - 45 4- 5 4 09 8 0- 5 4 05 4 _ 4 - 45 4- 5 4 07 3 3- 2 7 02 7 _ 45 4- 2 7 0 4 9 0- 2 7 0 - 45 4 - 2 7 02 4 7 i = 1 ，2 ，k 只= 9 8 0 - 5 4 0 5 4 4 i2 4 7 = l 2 7 0 f 2 7 。2 7 4 9 0 一- 2 7 7 0 h 0 0 0-2707 3 3000 1 ，q = ii jij 将( 3 1 7 ) 代入式( 3 1 0 ) ，便得 ( g l + g 2 + 弦= f 由此设计出交替分组并行迭代公式 正数 ( 3 1 8 ) f ( p ，+ 五) 历( “1 ) = ( p ，一最) “ ) + f i ( p ，+ 龟) 甜( “1 ) = ( p ，一最) 历( “1 ) + f ( 3 1 9 ) k = o ，1 ，2 ， 其中叵= 6 1 + j 1 ，叵= g 2 + 三，p 是使( + e ) 一la m ( p ，+ 最) 一1 都存在的 3 2 4 收敛性分析 g l ，g 2 是非负定矩阵，从而叵= g l + 丢，匾= g 2 + 虿1 是正定矩阵。收敛性分析同上。 山东人学硕+ 学位论文 4 数值算例 例1 ：一万d 2 u + x 甜= s i n 地+ 1 ) 。 e u l = 【u ( 1 ) ，u ( 2 ) ，u ( 3 ) ，u ( 4 ) ，u ( 5 ) ，u ( 6 ) ，u 0 一1 ) ，u ( j ) 】； u u ( 1 ：4 ) = i n v ( r o e y e ( 4 ) + 1 2 * d i a g ( q ( 1 ：4 ) ) + r 1 2 奉q 1 ) ( ( r o 奉e y e ( 4 ) - 1 2 宰d i a g ( q ( 1 ：4 ) ) ) 幸u ( 1 ：4 ) 一r 1 2 q 5 木u l + f ( 1 ：4 ) ) ； f o r k = l ：k 2 u 2 = u ( 4 k - 0 ，u ( 4 k ) ，u ( 4 幸k + 1 ) ，u ( 4 丰k + 2 ) ，u ( 4 k + 3 ) ，u ( 4 幸k + 4 ) ，u ( 4 木k + 5 ) ，u ( 4 幸k + 6 ) 】； u u ( 4 木k + l ：4 k + 4 ) = i n v ( r o 丰e y e ( 4 ) + l 2 幸d i a g ( q ( 4 木k + l ：4 奉k + 4 ) ) + r 1 2 木q 1 ) 奉( ( r o 奉e y e ( 4 ) 一1 2 枣d i a g ( q ( 4 k + 1 ：4 幸k + 4 ) ) ) 木u ( 4 k + 1 ：4 l c + 4 ) 一f f l 2 幸q 4 + u 2 + f ( 4 幸k + l ：4 幸k + 4 ) ) ； e n d k = k - i ； u 3 = 【u ( 1 ) ，u ( 2 ) ，u ( 4 幸k - 1 ) ，u ( 4 奎k ) ，u ( 4 木k + 1 ) ，u ( 4 幸k + 2 ) ，u ( 4 奉k + 3 ) ，u ( 4 木k + 4 ) 】； u u ( 4 幸k + l ：4 幸k + 4 ) = i n v ( r o e y e ( 4 ) + 1 2 d i a g ( q ( 4 木l ( + 1 ：4 幸k + 4 ) ) + r 1 2 奉q 1 ) 宰( ( r o 奉e y e ( 4 ) - 1 2 奉d i a g ( q ( 4 k + l ：4 木k + 4 ) ) ) 木u ( 4 木k + l ：4 幸k 十4 ) 一r 1 2 宰q 6 宰u 3 + f ( 4 k + l ：4 k + 4 ) ) ； u u 以上部分为计算迭代公式中第一个式子 f 1 = 【f ( 1 ) ，f ( 2 ) ，f ( j - 1 ) ，f ( j ) 】； u 4 2 【u u ( 1 ) ，u u ( 2 ) ，u u ( j - 1 ) ，u u ( j ) 】； u 5 = u u ( 1 ) ，u u ( 2 ) ，u u ( 3 ) ，u u ( 4 ) ，u u ( j - 3 ) ，u u ( j - 2 ) ，u u ( j 一1 ) ，u u ( j ) 】； u 6 = i n v ( r o 幸e y e ( 4 ) + l 2 奉b l k d i a g ( q ( 1 ) ，q ( 2 ) ，q ( j - 1 ) ，q ( j ) ) + r 1 2 幸q 2 ) ( ( r o e y e ( 4 ) - 1 2 宰b l k d i a g ( q ( 1 ) ，q ( 2 ) ，q ( j - 1 ) ，q ( j ) ) ) 幸u 4 - r 1 2 q 3 u 5 + f 1 ) ； u u u ( 1 = u 6 ( 1 ) ；u u u ( 2 ) = u 6 ( 2 ) ； u u u ( j ) - - u 6 ( 4 ) ； f o rk - - l ：k - l u u u ( j - 1 ) = - u 6 ( 3 ) ； 3 1 山东大学硕士学位论文 u u u ( 4 * k 1 ：4 * k + 2 ) = i n v ( r o * e y e ( 4 ) + 1 2 幸d i a g ( q ( 4 幸k - 1 ：4 木k + 2 ) ) + r 1 2 木q 1 ) 幸( ( m 幸e y e ( 4 ) - 1 2 木d i a g ( q ( 4 k - 1 ：4 k + 2 ) ) ) u u ( 4 幸k - 1 ：4 书k + 2 y - r 1 2 + q 4 幸u u ( 4 幸k - 3 ：4 k + 4 ) + f ( 4 木k - 1 ：4 k + 2 ) ) ； e n d以上部分是计算迭代公式中的第二个式子 u 2 u u u ： c h a = u u u - t r u e ； 绝对误差 l = s q r t ( c h a * c h a ) ；误差的l - 2 模 p l a g = p l a g + 1 ； 迭代次数 e n d l p l o t ( x ，t m e ，川) h o l d o n p l o t ( x , u u u ，t b ) h o l d o n p l o t ( x , c h a , - - ) 四阶并行格式二 c l c c l e a r k = 3 ： j = 8 ，i k ： h = 2 奉p i j ； r = l h a 2 ； r o = 1 ； e = 2 e - 0 0 3 ； f o ri - 1 ：j x ( i ) = ( i - 1 ) ； q ( i ) = x ( i ) ； f ( i ) = s i n ( x ( i ) ) ( x ( i ) + 1 ) ； u ( i ) = 0 ； 3 2 山东大学硕士学位论文 e n d f = f ： q 1 = 3 0 - 1 6101 - 1 6 ；- 1 63 0 - 1 610l 】； q 2 = 7 - 810 0 0 ；一8 2 3 - 1 610 0 ；1 - 1 63 0 1 610 ；01 1 63 0 - 1 61 ；0 01 - 1 6 2 3 8 ；0 0 01 - 8 7 】； q 3 = i - 1 62 3 - 8oo0000 ；01 87 00 0000 ；0000000000 ；0000000000 ；000000 7 - 810 ；000000 82 3 - 1 61 】； q 4 2 【l - 1 63 0 - 1 610 ；01 1 63 0 - 1 6l 】； q 5 = o01 - 1 62 3 - 80000 ；000i - 870000 ；0000000000 ；0000000000 ；100000 0 07 - 8 ；一1 610 00 0 0 0 - 8 2 3 】； q 6 = 3 0 1 6101 1 6 ；- 1 63 0 - 1 6101 ；1 1 62 3 - 800 ；01 8700 ；10007 8 ；- 1 6100 - 82 3 】； q 7 = 【o000000000 ；00 00000000 ；007 - 81 00000 ；00 - 82 3 1 610000 ；0000001 1 62 3 - 8 ；000 000 01 87 】； c h a = l ； p l a g l - - - o ； l = s q r t ( c h a 木c h a i ) ； f o r _ 1 ：j u u ( i ) = u ( i ) ； u u u ( i ) = u ( i ) ； t r u e ( i ) = s i n ( x ( i ) ) ； e n d w h i l ep l a g = 10 0 u 1 2 【u ( 1 ) ，u ( 2 ) ，u ( 3 ) ，u ( 4 ) ，u ( j - 1 ) ，u ( j ) 】； u u ( 1 ：2 ) = i n v ( r o e y e ( 2 ) + l 2 幸d i a g ( q ( 1 ：2 ) ) ) 幸( ( r 0 e y e ( 2 ) 一1 2 + d i a g ( q ( 1 ：2 ) ) ) u o ：2 ) - r 1 2 幸q 1 幸u l + f ( 1 ： 2 ) ) ； f o rk = l ：k 1 u u ( 8 幸k - 5 ：8 宰k ) = i n v ( r o 幸e y e ( 6 ) + 1 2 木d i a g ( q ( 8 奉k 一5 ：8 枣k ) ) + r 1 2 木q 2 ) 幸( ( r o 宰e y e ( 6 ) - 1 2 d i a g ( q ( 8 k - 5 ：8 k ) ) ) 拳u ( 8 宰k - 5 ：8 奉k ) 一r 1 2 木q 3 u ( 8 幸k 一7 ：8 牛k + 2 ) + f ( 8 木k - 5 ：8 + k ) ) ； 3 3 山东大学硕士学位论文 u u ( 8 幸k + 1 ：8 k + 2 ) = i n v ( r o 幸e y e ( 2 ) + 1 2 幸d i a g ( q ( 8 + k + 1 ：8 k + 2 ) ) ) 木( ( r 0 e y e ( 2 ) - 1 2 奉d i a g ( q ( 8 k + l ：8 唪k + 2 ) ) ) 宰u ( 8 k + 1 ：8 木k + 2 ) - r 1 2 * q 4 奉u ( 8 k 一1 ：8 奉k + 4 ) + f ( 8 k + l ：8 幸k + 2 ) ) ； e n d k - - - k ； u 2 = u ( 1 ) ，u ( 2 ) ，u ( 8 幸k - 7 ) , u ( 8 k - 6 ) ，u ( 8 幸k - s ) ，u ( 8 k - 4 ) ，u ( 8 k - 3 ) ，u ( 8 幸k - 2 ) ，u ( 8 奉k 1 ) ，u ( 8 k ) 】； u u ( 8 枣k 一5 ：8 奉k ) = i n v ( r o e y e ( 6 ) + l 2 幸d i a g ( q ( 8 宰k - 5 ：8 木k ) ) + r 12 奉q 2 ) 幸( ( r o 牛e y e ( 6 ) - 1 2 车d i a g ( q ( 8 幸k 一5 ：8 k ) ) ) t u ( 8 事k - 5 ：8 幸k ) - r 12 q 5 宰u 2 + f ( 8 幸k - 5 ：8 掌k ) ) ； 以上部分是计算迭代公式中的第一个式子 u 3 = u u ( 1 ) ，u u ( 2 ) ，u u ( 3 ) ，u u ( 4 ) ，u u ( j 1 ) ，u u ( j ) 】； u 4 = u u ( 1 ) ，u u ( 2 ) ，u u ( 3 ) ，u u ( 4 ) ，u u ( 5 ) ，u u ( 6 ) ，u u ( j - 3 ) ，u u o - 2 ) ，u u ( j 1 ) ，u u ( j ) 】； f 1 = f ( 1 ) ，f ( 2 ) ，f ( 3 ) ，f ( 4 ) ，f ( j 一1 ) ，f ( j ) 】； ql = b l k d i a g ( q ( 1 ) ，q ( 2 ) ，q ( 3 ) ，q ( 4 ) ，q ( j 一1 ) ，q ( j ) ) ； u 5 = i n v ( r o 事e y e ( 6 ) + l 2 幸q l + r 1 2 丰q 6 ) 宰( ( r o 幸e y e ( 6 ) 一1 2 搴q 1 ) 幸u y - r 1 2 事q 7 搴u 4 + f i ) ； u u u ( 1 ) - - u 5 ( 1 ) ；u u u ( 2 ) = u 5 ( 2 ) ；u u u ( 3 ) = - - u 5 ( 3 ) ；u u u ( 4 ) = u 5 ( 4 ) ；u u u ( j 一1 ) = u 5 ( 5 ) ；u u u ( j ) = u 5 ( 6 ) ； u u u ( 5 ：6 ) = i n v ( r o 辜e y e ( 2 ) + 1 2 宰d i a g ( q ( 5 ：6 ) ) ) 辜( ( r o 宰e y 2 ) 一1 2 掌d i a g ( q ( 5 ：6 ) ) ) 事u u ( 5 ：6 ) - r 1 2 事q 4 幸u u ( 3 ： 8 ) + f ( 5 ：6 ) ) ； f o rk - - - 1 ：k 1 u u u ( 8 幸k i ：8 掌l c + - 4 ) = i n v ( r o 幸e y e ( 6 ) + l 2 幸d i a g ( q ( 8 幸k 一1 ：8 宰k + 4 ) ) + r 1 2 宰q 2 ) 宰( ( r o 幸e y e ( 6 ) 一1 露母d i a g ( q ( 8 k 一1 ：8 l 汁4 ) ) ) u u ( 8 木l ( _ 1 ：8 乖k + 4 ) - r 1 2 q 3 木u u ( 8 木k - 3 ：8 幸k + 6 ) + f ( 8 幸k - 1 ：8 幸k + 4 ) ) ； u u u ( 8 牛k + 5 ：8 宰k + 6 ) = i n v ( r o 幸e y e ( 2 ) + l 2 事d i a g ( q ( 8 k + 5 ：8 + k + 6 ) ) ) 奉( ( r 0 宰e y e ( 2 ) - 1 2 木d i a g ( q ( 8 奉k + 5 ：8 幸 l 【+ 6 ) ) ) 幸u u ( 8 宰k + 5 ：8 k + 6 ) - r 12 事q 4 + u u ( 8 奉k + 3 ：8 幸k + 8 ) + f ( 8 幸k + 5 ：8 k + 6 ) ) ； e n d 以上部分是计算迭代公式中的第二个式子 u 2 u u u ： c h a = u u u t r u e ；绝对误差 l = s q r t ( c h a * c h a ) ；误差的l 2 模 p l a g = p l a g + 1 ；迭代次数 e n d l ； 3 4 山东大学硕士学位论文 p l o t ( x , t r u e , * ) h o l do n 、 p l o t ( x , u u u ，b - ) h o l d o n p l o t ( x , c h a , - - ) 2 、六阶格式 c l c c l e a r k = 5 ： h - - - 2 p i ( 6 奎k ) ； r = l h 2 ； j = 6 木k ： e = 3 2 8 8 2 e 一0 0 6 ； r o l = 7 ： f o r i = 1 ：j x ( i ) = ”( i - 1 ) ； 坟i ) = s i n ( x ( i ) ) ( x ( i ) + 1 ) ； q ( i ) - - x ( i ) ； t r u e ( i ) = s i n ( x ( i ) ) ； f ( i ) = f ( i ) ； e n d g 1 = z e r o s ( j ，j ) ； g 2 = g 1 ； m 2 d i a g ( q ) ； q l = z e r o s ( 3 ，3 ) ； q 2 = 2 4 7 2 7 02 7 400 ；一2 7 04 9 0 - 2 7 05 4 - 40 ；2 7 2 7 07 3 3 - 5 4 05 4 - 4 ；- 45 4 - 5 4 07 3 3 - 2 7 02 7 ；0 - 4 5 4 - 2 7 0 4 9 0 2 7 0 ；0 0 - 42 7 - 2 7 0 2 4 7 】； q 3 = 9 5 0 - 5 4 05 4 40o ；一5 4 09 8 0 5 4 05 4 - 40 ；5 4 - 5 4 09 8 0 5 4 05 4 4 ：45 4 - 5 4 07 3 3 2 7 02 7 ；0 - 4 5 4 - 2 7 04 9 0 2 7 0 ；00 - 42 7 2 7 02 4 7 ； q 4 = 2 4 7 - 2 7 02 7 4oo ；一2 7 04 9 0 - 2 7 05 4 - 40 ；2 7 - 2 7 07 3 3 5 4 05 4 4 ：45 4 5 4 09 8 0 5 4 05 4 ；0 - 4 3 5 山东大学硕士学位论文 5 4 5 4 0 9 8 0 - 5 4 0 ；00 - 45 4 - 5 4 0 9 8 0 】； g l = b l k d i a g ( q 1 ) ； f o ri = 1 ：k 1 gl = b l k d i a g ( g1 ，q 2 ) ； e n d g l = b l k d i a g ( g 1 ，q 1 ) ； g 1 ； g 1 - - r 3 6 0 g 1 ； g 2 = b l k d i a g ( q 3 ) ； f o ri _ 1 ：k 2 g 2 = b l k d i a g ( g 2 ，q 2 ) ； e n d g 2 = b i k d i a g ( g 2 ，q 4 ) ； g 2 ( i ，j 一2 ) = - 4 ；g 2 ( 1 ，j - 1 ) = 5 4 ；g 2 ( 1 ，j ) = - 5 4 0 ；g 2 ( 2 ，j - 1 ) = q ；g 2 ( 2 ，j ) = 5 4 ；g 2 ( 3 ，j ) = - 4 ； g 2 ( j - 2 ，1 ) = - 4 ；g 2 ( j 一1 ，1 ) = 5 4 ；g 2 ( j 一1 ，2 ) 一4 ；g 2 ( j ，1 ) = 一5 4 0 ；g 2 ( j ，2 ) = 5 4 ；g 2 ( j ，3 产- 4 ； g 2 ： g 2 = r 3 6 0 宰g 2 ： f o r i _ l ：j u o ( i ) ：0 ； e n d u = u 0 ：给u 赋予初始值 g l = g l + m 2 ； g 2 = g 2 + m 2 ； p l a g = 0 ； f o r i - 1 ：j c h “i ) = l ； e n d w h i l ep l a g = 10 0 迭代次数 u u = i n v ( r o * e y e ( j ) + g i ) * ( f + ( r o * e y e ( j ) - g 2 ) u ) ；迭代格式，u u 是迭代中间变量 u u u = i n v ( r o e y e ( j ) + g 2 ) ( f h r 0 e y e ( j ) - g1 ) 幸u u ) ； 3 6 山东大学硕士学位论文 u = u u u ； e n d c h a 幸c h a ；p l a g l ： p l o t ( x , t r u e , * b ) ； h o l d o n p l o t ( x , u , + ) ； h o l do n c h a c h a ； p l o t ( x ，c h a , 峰) ； c h a 每个离散点的绝对误差 t r u e ； s q r t ( c h a c h a ) 3 7 山东大学硕士学位论文 参考文献 【1 w l m i r a n k e r as u r v e yo fp a r a l l e l i s mi nn u m e r i c a la n a l y s i s s i a mr e v i e w 1 3 ( 1 9 7 1 ) ，5 2 7 5 4 7 【2 d j e v a n s ，r b a b d u l l a h g r o u pe x p l i c i tm e t h o d sf o rp a r a b o l i ce q u a t i o n s i n t e r n j c o m p u t e rm a t h ，19 8 3 ，v 0 1 1 4 ，p p 7 3 10 5 3 d j e v a n s g r o u pe x p l i c i ti t e r a t i v em e t h o d sf o rs o l v i n gl a r g el i n e a rs y s t e m s i n t e r n j c o m p u t e rm a t h ，1 9 8 5 ，v 0 1 1 7 ，p p 8 1 - 1 0 8 4 d j e v a n s a l t e r n a t i n gg r o u pe x p l i c i t ( a g e ) i t e r a t i v e m e t h o d s i n t e r n j c o m p u t e rm a t h ，19 8 6 ，v 0 1 19 ，p p 3 0 9 3 2 6 【5 s h a o h o n gz h u ，j e n n i f e rz h a o a l t e r n a t i n gs c h e m e so f p a r a l l e lc o m p u t a t i o nf o r t h ed i f f u s i o np r o b l e m s i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fn u m e r i c a la n a l y s i sa n d m o d e l i n g ，2 0 0 7 ，1 ( 2 ) 19 8 2 0 9 【6 s h a o h o n gz h u ，z h i l i n gy u ，j e n n i f e rz h a o ah i g h o r d e rp a r a l l e lf i n i t ed i f f e r e n c e a l g o r i t h m a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 618 ( 3 ) ：3 6 5 3 7 2 7 r o h a l l a ht a v a k o l i ，p a r v i zd a v a m i n e ws t a b l eg r o u pe x p l i c i tf i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o df o rs o l u t i o no fd i f f u s i o ne q u a t i o n a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n d c o m p u t a t i o n ，1 8 1 ( 2 0 0 6 ) 1 3 7 9 1 3 8 6 【8 t 文洽对流扩散方程的一类交替分组方法高等学校计算数学学报，2 0 0 2 ， 1 2 ，2 8 9 2 9 7 9 张宝琳，陈劲抛物型方程有限差分并行解法数值计算与计算机应用，1 9 9 5 ， 1 6 ( 3 ) ：1 9 7 - 1 9 5 10 w e n q i aw a n g ac l a s so fa l t e r n a t i n gs e g m e n tc r a n k - n i c o l s o nm e t h o d sf o r s l o v i n gc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n c o m p u t i n g ，2 0 0 4 ，7 3 ( 2 ) 4 1 - 5 5 【11 z h a n gb l ，l iw z o na l t e r n a t i n gs e g m e n t c r a n k - n i c o l s o ns c h e m e p a r a l l e lc o m p u t i n g ，1 9 9 4 ，2 0 ( 8 ) ：9 8 7 - 9 0 2 【12 】z h a n gb l a l t e r n a t i n gs e g m e n te x p l i c i t - i m p l i c i tm e t h o d f o rt h ed i f f u s i o n e q u a t i o n j n u m m e t h o d & c o m p a p p l ，19 91 ，12 ( 4