（逻辑学专业论文）论弗雷格关于“数”的思想——从7512谈起.pdf

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类所特有的财富。弗雷格的工作虽然因为罗素饽论的出现雨不德不面对失败的命 运，但是弗雷格在这一过程之中所展现出来的理性主义精神正是我们当下所需要 重新寻找的东西。 关键词；算术，数，分析，形而上学 中图分类号：b 8 1 - - 0 9 f r e g ei ss u c hap a r t i c u l a rc h a r a c t e ri nh i s t o r yt h a tt h o u g hi g n o r e di nh i st i m e 。h i s w o r k sa m u s e sm o l ea n dm o r ep e r s o n sa t t e n t i o na f t e rh i sd e a t ht h a n k st ot h er i s eo f a n u l 删p h i l o s o p h y f r c g ei s 他驴f d 以a st h ef o u n d 盯o fm o d e mt o g i c , t h eh e r a l do f 姐a l 如c a lp h i l o s o p h y t h es c h o l a r sw h os t u d yo nf r e g ct i l l 嘲p e tm u c hm o r e a t t e n t i o no nh i sa s p e c to fp h i l o s o p h y , c s p e c i a n y f r e g e st h e o r e t i c so fs e n s e ；a st dh i s a s p e c to f m a t h e m a t i c s ；f e wp h i l o s o p h e r ss e tf o o ti nt h i sa r e a , f e wr e s e a r c h e sr e l a t et o t h a t h e r ew ea 聆t r y i n gt os u m m a r z ef r e g e sw o r ki nt h ef i e l do f n a t u r a ln u m b e r , w h i c hj st h ef i r s ts t e po fr e a l i z i n gh i s l o g i c i s m a 霸= d d i s c u s s i n gf r e g e st h e o r yo f 1 b n t u l a ln u m b e ra n dt a l k i n go v e rs e v e r a lp i v o t a lp r o b l e m s ，i n c l u d i n gt h er e l a t i o n s b e t w e e nt h ed e f i n i t i o no f n a t u r a ln u m b e ra n d “c l a s s , t h ep a l a d o xr i s i n gf r o mt h e m a n ds o m ed i f f e r e n ts o l u t i o n s ；t h ep r o b l e mo ft h es t a t u so f n u m b e r ( w h i c hf r e g eu s e d “z a h l ”i ng e r m a n ) ：h o wt ol o o ka tm a t h e m a t i c a lo 研e c t s , t h es i g n i f i c a n c ea n dt h e c o r r e s p o n d i n gm e t a p h y s i c a ls c n s co l lt h e s ec o n c e p t si nf r e g e st h o u g h t , t h e nw e c 蛆 r e a c ht h e 棚瞰；i i r e 硌a tt h ev e r yb e g i n m go ft h e s ep r o b l e m s t h r o u g ht h e s eq u e s t i o n s w e 锄g e t 山唧u n d e r s t a n d i n g 彻f r e g e st h e o r yo f “n u m b e r , a n dt h e nr e a c h d e c e n tu n d e r s t a n d i n ga b o u tf r e g ei nav i e wo ft h ew h o l eh i s t o r yo f w e s t e r nt h o u g h t t h et e x tc o n t a i n st h r e eo r g a n i c p a r t s ：t h ef i r s tp a r tg i v e sab r i c fi n t r o d u c t i o no l l f r e g e sl i f ea n d h i sw r i t i n g s ，t h ec u r r e n tr e s e a r c ho nf r e g e st h o u g h t ；t h es e c o n dp a r t b e g i n sw i t has i m p l ea r i t h m e t i c a lp r o p o s i t i o n7 + 5 = 1 2 。w h i c hi n t e n d st od i s c u s s f r e g e st h e o r yo f n a t u r a ln u m b e r , a n dr e f e r st o5 0 i n ea n a l y s i s t h et h i r dp a r tp u t s f o r w a r dt h ep a r a d o xr i s i n gf r o mf r c g c st h e o r yo fn a t u r a ln u m b e ra n dt h es t a t u so f “n u m b e r ”, t h e ng o e sd e e pi n t ot h em e t a p h y s i c a lq u e s t i o n sb e h i n dt h e m a sf a ra sia mc o n c e r n e d , t h em e a n i n go ff r e g e w o r kr e s t so nh i si n h e r i t a n c eo n t h ew e s t e r nm t i o n u l j s t i ct r a d i t i o nw h i c hb e g a nf r o mp y t h a g o r a s , p l a t o ，v i ak a n tt o f r e g e t h e yp u r s u et h eu l t i m a t eb a s i c so f t r i i t ha n df a i t h ；b e l i e v et h a ta tl e a s tt o s e v e r a lt r u t h sw ec a nr e a c ht h eu l t i m a t eb a s i c si nl o g o si t s e l f f r e g es t a r t e db o r nl o g i c , 缸i e dt op u tt h ed e p e n d a b i l i t yo f m a t h e m a t i c a lt r u t h so l ll o g i c , a n dt h e nf o u n dt h e d e p e n d a b l eb a s i c sf o rt h ek n o w l e d g ef o rt h ew h o l ep e o p l e t h eb a s i ca st os a yl o g i ci n f r e g e se y e sw a sc o n s i d e r e dt ob et h ep r o d u c t i o no fl o g o si t s e 屹w h i c hi so u lp e o p l e s o w n f o r t u n e a l t h o u g hf r e g e sw o r kh a dt of a c ef a i l u r eb e c a u s co ft h ee m e r g e n c eo f r u s s e l l p a r a d o x ，t h er a t i o n a l i s t i cs p i r i tw h i c hf r e g es h o w e di nt h i sp r o c e s si sj u s t w h a tw en e e dt os e a r c ho v e ra g a mi no u rt i m e 2 幽j w o r d s ：a r i t h m e t i c n u m b e ra n a l y s em e t a p h y s i c s 3 前言 。一这个数是什么，或者，l 这个符号意谓什么”，这是弗雷格在他的算 术基础中一开始就向我们提出的问题，在弗雷格的时代很少有人能够对此给出 一个满意的答案，在我们的这个时代，估计能够回答出来的人也不多。为什么一 个看上去如此简单的问题得不到令入满意的解决呢? 弗雷格指出，这是因为太多 人忽视了这个问题的重要性。在弗雷格看来，类似于此的问题是为数学奠定基础 的问题，如果我们不把这些问题搞清楚，整个数学大厦的基础就存在有缺陷的危 险。而数学中概念构造的精致性是远远超过人类的其他科学门类的。如果连数学 的基础都有问题，利用数学表述的其他科学岂不是处于更危险的境地? 所有的一切都源于我们对于这些简单问题的漠不关心，在现实生活之中实用 性压倒了基础性，功利性的思维主导着我们的行为方式，而关心于人类知识基础 的形而上学被放置在了一个尴尬的位置，一方面是让人觉得高不可及，另一方面 却是无人问津。其实形而上学并不是像想象中的那样与我们的生活无关，真正的 形而上学就存在于我们平凡的生活与思考之中，而我们缺少的只是发现她的心 灵。 举个例子来说，给出一个算术句子7 + 5 = 1 2 ，估计很少人会对它有什么想法， 更多的把它当作应有之义，而在哲学史上这个句子所起的作用可不小，康德拿它 作为说明数学命题是先天综合判断的例子，进而推出存在先天综合判断，而先天 综合判断在康德那里是我们人类知识得以不断扩展的基础。 在历史上，柏拉图是最早对这个问题给出自己的回答的，在他那里，真正的 数学知识是存在于我们之外的理念世界之中的，作为纯粹知识它是绝对正确和完 满的，丙作为有着理性限度的我们在认识这些先天的真理时难免会发生遗漏，从 而在计算的时候难免会出现错误。康德却并不是这样认为的，在他看来，我们的 数学知识是先天综合的，一方面它是先天的，能够保证知识的可靠性，另一方面 它又是综合的，能够不断扩大我们的认识。而在弗雷格这里问题就更进了一步。 数学命题的真在于它是分析的，并且是可以被还原到逻辑的，而作为数学基础的 逻辑是纯粹的、绝对可靠的弗雷格为了完成自己的分析，用“外延”概念来定 义“数”，把数学对象看作是客观的、非实在的存在，从而将自己拖入了悖论之 中，弗雷格面对悖论无奈地承认了自己工作的失败。 于本文而言，我们在这里只分析弗雷格数学思想中的自然数理论及其相关问 题，并不涉及弗雷格数学思想的全部，我们的目的在于通过这一个窗口展现弗雷 格工作的意义。在笔者看来，弗雷格的工作不能用。失败”来形容，弗雷格工作 的意义在于他传承了源自毕达哥拉斯、柏拉图，经由康德而来的西方理性主义传 统，关心于人类理性知识的“最终基础”，并在这一过程之中展现的在我们现时 4 代已经被种种表象掩盖的严格的理性主义精神弗雷格对于人类理性根基的探 询，对于人类知识范围的寻找，都具有他特有的价值而在人类思想史中不可磨灭。 同时，弗雷格对于数学的关注和对相关问题的研究，也使得在现时代已经将源自 毕达哥拉斯学派的神秘数论继承并发扬光大的我们能够从中受益，启示我们去关 心我们知识的根基，去了解我们自己，从而真正地认识理性，关心自己。 如果说真正的哲学是形而上学，那么这个形而上学一定是关涉人本身的。从 而也就直面理性本身，。理性的真正对象就是理性”，弗雷格修改的格言在这里就 成了对形而上学的第一注释。而对于。数”的研究，从毕达哥拉斯学派开始，已 经处于形面上学的研究范围之中。 5 一、弗雷格生平及著述简介： 第一部分导论 弗里德里希路德维希戈特劳伯弗雷格( f r i e d r i c hl u d w i go o t t l o bf r e g e ) 1 8 4 8 年n 月8 日生于德国小城维斯玛( w i s m a r ) ，他的父亲亚历山大弗雷格 ( a l e x a n d e r f r e g e ) 开办了一所女子学校，他早逝之后由他的妻子接管了这所学 校。弗雷格在维斯玛读完小学、中学和大学预科，1 8 6 9 年弗雷格2 1 岁的对候， 母亲送他进入了当时规模较小但却颇有威望的耶拿大学( u n i v e r s i t yo f j e n a ) ，他 在耶拿大学念了两年，然后经由当时耶拿大学的一个老师恩斯特阿贝( e e n s t a b le ) 的帮忙来到哥廷根大学继续学习了五个学期。先后学习了数学、物理学、 化学，哲学等课程。1 8 7 3 年，他在数学家谢林( e s c h e r i n g ) 的指导下获得了哥 廷根大学的哲学博士学位，论文题目是。论在平面上对想象图象的几何描述” 1 8 7 4 年起他回到耶拿大学，以论文。基于量概念的扩展而建立的计算方法。申 请并获得了无薪大学教师的职位，开始了他在数学系执教4 4 年的生涯。1 8 7 9 年 发表概念文字之后被任命为该校副教授，1 8 9 6 年被任命为该校名誉教授， 1 9 1 8 年退休。 弗雷格在执教期间，讲授范围涉及数学的各个分支和他建立的逻辑系统，他 经常讲授的课程是分析力学i 和i i ，以及被称为。概念文字”的- - f - j 课程。前两 门课程是他在古典力学讲座的核心，第三门则是弗雷格自己研究的成果，反映了 他在逻辑领域的研究。2 0 0 4 年出版的英文著作弗雷格逻辑讲座：1 9 1 0 - - 1 9 1 4 卡尔纳普的学生笔记中反映出弗雷格教学的一些细节，书中以卡尔纳普在1 9 1 0 1 9 1 4 年在耶拿大学听弗雷格讲课的笔记为主，提及弗雷格在。概念文字i ” ( 1 9 1 0 - - - 1 9 1 1 ) 、。概念文字i i ”( 1 9 1 3 ) 和。数学中的逻辑”( 1 9 1 4 ) 三门课程， 根据卡尔纳普( c a r n a p ，r ) 的回忆，弗雷格的课学生很少，课堂上几乎没有人 提问，弗雷格上课时几乎不看学生，只是一个人孤独地讲授，课下也没有学生和 弗雷格进行交流，而。概念文字”在好几个学期险些因为选课学生不足3 人而被 取消，一次卡尔纳普把自己朋友威廉弗里特纳( w i l h e l mf l i t n e r ) 写进选课名单 才凑足了3 人。总的说来，弗雷格的教学生涯不是顺利的，虽然有恩斯特阿贝 等一些老师的支持，但是在学生那里却反响平平，值得一提的就是卡尔纳普和维 特根斯坦( w i t t g e n s t e i n 。l ) 都曾听过他的课并对这些课程有着不错的评价，并 且维特根斯坦经由弗雷格建议前往英国剑桥大学三一学院跟随罗素( r u s s e l l ， b l w ) 学习，罗素对弗雷格的评价也是很高的。 6 和他的教学生涯相比，弗雷格的著述更是命运叵测。1 8 7 9 年发表的概念 文字；一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言中第一次建立了一阶谓词演 算系统，成为现代数理逻辑的奠基性著作，但是在出版之后却没有得到人们的充 分认识，当时至少有六位学者写了书评，但是评价都很低，有的书评甚至认为弗 雷格的工作是逻辑的倒退，唯一评价不错的却认为概念文字是“对思维理论的有 价值的贡献”，而这完全曲解了弗雷格的本意1 还有人认为弗雷格使用的符号笨 拙费事，与布尔逻辑相比显得很不方便。弗雷格针对这些曲解和错误的批判，在 1 8 8 0 1 8 8 1 年写了一篇论文布尔的逻辑演算和概念文字来反驳，但是却没 有杂志社愿意发表。1 8 8 4 年算术基础一对于数这个概念的一种逻辑数学的 研究发表之后，更受冷遇，但是对于这本书只有三个书评( 其中包括康托的书 评) 且均持反对态度，几年之后胡塞尔在他的算术哲学) ( 1 8 9 1 ) 中讨论并批 判了这本书。这本被达米特称为。迄今写下的几乎最完美的唯一一部哲学著作” 在其出版后的二十年里基本上被忽略了。算术的基本规律的命运则更糟。第 一卷于1 8 9 3 年出版之后出版社拒绝出版第二卷，弗雷格不得不自己出钱出版算 术的基本规律第二卷( 1 9 0 3 ) 而对于第一卷的问世，只有两个书评，都是批 评的，除此之外没有任何入提到这本书。在算术的基本规律 第二卷即将出版 的时候，弗雷格接到了罗素的来信，宣称他所构建的逻辑系统存在悖论，弗雷格 无奈中写下了如下的文字：。对于一个科学工作者而言，没有什么比在工作之后 发现那大厦的基础已经被动摇更为不幸的了”2 弗雷格写下一个附录试图解决这个问题，但是显然他没有能够真正解决掉， 这种失败所导致的沮丧使得弗雷格在此后的大部分时间中陷入了沉默之中，不仅 放弃了自己关于算术的基本规律第三卷的出版工作，而且几乎再没有任何著 作发表，1 9 1 2 年罗素邀请弗雷格去剑桥大学在数学讨论会上傲学术报告，也被 他婉言拒绝。 1 9 1 8 年退休之后。弗雷格离开耶拿，搬到离他的家乡维斯玛很近的一个小 城巴特克莱嫩( b a dk l e i n e n ) 定居。1 9 2 5 年7 月2 6 日，弗雷格逝世于巴特克 莱嫩，时年7 7 岁。在这段时间中，弗雷格好像从前几年的沮丧之中稍微恢复了 一些，开始撰写一些文章继续阐述自己关于逻辑和数学的想法，其中1 9 1 8 年到 1 9 2 3 年，弗雷格在德国唯心主义哲学上以“逻辑研究”为题连续发表了三 篇论文：。思想”( 1 9 1 8 - - 1 9 1 9 ) 、。否定”( 1 9 1 8 - - 1 9 1 9 ) 、。思想结构”( 1 9 2 3 ) ， 这些文章被研究者认为有很高的学术价值。1 9 2 3 年之后在弗雷格岁月的最后两 年之中，他还撰写了四篇关于数学基础的文章( 未发表) ；。数”( 1 9 2 4 ) 、。数学 和数学自然科学知识的源泉”( 1 9 2 4 2 5 ) 、“数和算术”( 1 9 2 4 ，2 5 ) 、。关于算术基 础的一种新尝试”( 1 9 2 4 ，2 5 ) ，这些最后的文字是弗雷格对于自己毕生奋斗事业 7 最后的努力，对于研究弗雷格的学术思想具有重要的意义 二，弗雷格思想研究现状 当前国内对于弗雷格思想的研究还不是十分充分且对于弗雷格思想的研究 偏重于哲学方面，国内关于弗雷格的论著很少，至于弗雷格的原著翻译也只有王 路教授所完成的算术基础和弗雷格哲学论著选辑两本而研究弗雷格的 二手资科也很少，除去王路教授所撰写的一些关于弗雷格思想研究的专著之外， 翻译出版的也只有汉斯d 斯鲁格( h a n sds l u g a ) 的弗雷格，在数学哲学方 面涉及弗雷格的就更少了，目前笔者所见之友林夏水在2 0 0 3 年出版的数学哲 学中“弗雷格的数学哲学”。 国内对于弗雷格恩想的研究明显受到国外相关研究的影响，国际上对于弗雷 格思想的研究也是偏重于哲学方面。达米特指出的，弗雷格作为逻辑、语言和思 想的哲学家的名声已经从二十世纪五十年代之后得到了广泛的承认，并且被认为 是分析哲学的奠基入，但是在数学哲学这个领域内，弗雷格并没有得到承认目 前笔者所见的资料之中，明确涉及弗雷格的数学哲学或者是数学思想的著述，主 要有以下一些：威廉涅尔和玛莎涅尔( w i n i a mk n e a l ea n dm a r t h ak n e a l e ) 夫 妇在1 9 6 2 年出版的逻辑学的发展中涉及弗雷格的相关内容，保罗贝纳塞拉 夫( p a u lb e n a c e r r a f ) 和希拉里普特南( h i u a r yp u t n a m ) 在1 9 8 3 年编辑出版的 数学哲学 ( 第二版) 中涉及弗雷格的相关内容，迈克尔达米特( m i c h a e l d u m m e t t ) 在1 9 9 1 年出版的弗雷格的数学哲学 。汉斯斯鲁格在1 9 9 3 年编辑 出版的弗雷格的哲学第二卷。弗雷格哲学中的数学逻辑和数学基础”，以及 斯图尔特夏皮罗( s t e w a r ts h a p i r o ) 在2 0 0 0 年出版的关于数学的思考数 学哲学中涉及弗雷格的相关内容。 在这些著述中，涅尔夫妇侧重于从逻辑学发展的角度去看待弗雷格的数学思 想，对于他们来说，弗雷格思想的意义在于他在数理逻辑创建过程中的伟大贡献， 弗雷格在布尔之后以其卓越的工作推动了逻辑学的发展，他比之前的任何一个逻 辑学家都更进一步地要求在逻辑研究中的形式严格性，他精心构造的演绎系统是 在这个问题的历史上最伟大的独特的成就。3 在保罗贝纳塞拉夫和希拉里普特 南将弗雷格看作在数学基础这个问题上逻辑主义的代表人物，将他和罗素、怀特 海联系在一起，认为逻辑主义起因于对于数学真理性质问题的重视。4 迈克尔达 米特的 、奎因( q u i n e ， w v o ) 、达米特等人陆续发表了一些论文，到7 0 年代，弗雷格研究进入了高潮 期1 9 7 3 年达米特的弗雷格的语言哲学出版。这本书详细讨论了弗雷格关 于专名，意义和意谓，概念和对象、语境原则已经生平思想发展等许多问题，提 出了一系列独到的见解。该书认为弗雷格语言哲学的核心是意义理论。意义理论 包含三种要素，即s c 础e ，t o n e 和f o r c e 蛾是句子中与真假有关的东西，t o n e 是句子中与真假无关的东西，f o r c e 是句子之外的东西。这一理论涉及现代语言 哲学中与意义相关的一系列重要的问题，包括句子、思想、真假、语境、理解， 以及与之相关的问题。达米特认为这一理论把意义问题放在首位，由此给哲学研 究带来了一场革命，开辟了一个新的哲学时代。7 达米特之后还出版了一系列与 弗雷格有关的著述，其中比较重要的有弗雷格哲学研究( 1 9 8 1 ) ，真和其他 难解之谜( 1 9 9 2 ) 等。总的来说，达米特是侧重于从哲学的角度，特别是语言 哲学的角度看待弗雷格的思想，达米特虽然承认弗雷格只是个。业余的哲学家”， 但是认为弗蚕格对于哲学的贡献之巨大可以与笛卡尔媲美，把弗雷格看作是分析 哲学和语言哲学的最重要的奠基人之一。克里认为达米特这种观点很有偏顾，达 9 米特是错误地从维特根斯坦的问题来看待弗雷格的哲学，背离了弗雷格的本意。 在克里( c u t t l e ，g ) 看来。弗雷格对语言的兴趣是有选择性的。首先基于认识 论的考虑。克里在弗雷格哲学导论( 1 9 8 2 ) 8 中认为，弗雷格的整个哲学生涯 中努力解决的问题是认识论中的两个核心问题，即确实性和客观性问题。他认为 弗雷格的核心计划是刻画我们在有关数的理论和分析的认识方面的客观和先验 基础，弗雷格的主旨是要强调和保持逻辑和数学的规范性、客观性和认识的可靠 性，弗雷格关于意义和意谓的区别是对认识论的贡献，而不是对于意义理论的贡 献与他们不同，斯鲁格则从历史的角度讨论了弗雷格的思想。斯鲁格将弗雷格 放在德国哲学传统发展的过程之中，弗雷格之前的许多哲学家都对他产生了重要 的影响，其中洛采( i z t z e ) 是影响最大的一个。斯鲁格认为弗雷格的众多思想， 包括关于概念和对象的区别，关于同一性论题的探讨，关于判断行为和判断内容 的区别等等。甚至从逻辑推出数学的思想都是来自于洛采的9 此外，还有众多 观点，在此不一一列举 总体上讲，虽然研究弗雷格的成果很多，但是众多研究者都面临从自己的立 场出发解释弗雷格的诘难。王路教授指出，相比较于英美学者德国学者更加注 重弗雷格思想本身的讨论，很少进行太多的引串性的探讨，因此更接近于弗雷格 真实的想法。可惜源于材料及语言的限制，这部分未能列入本文的讨论过程中。 三、本文写作思路 现在中外学界一般公认弗雷格是分析哲学、语言哲学、现代数理逻辑的开创 入，追逐现在学界如何形成对弗雷袼看法的历史，我们可以发现分析哲学、语言 哲学诞生在前，而把弗雷格作为两者的开创人却延迟了很长一段时问，究其原因， 则因为弗雷格生前和生后一段时间并没有多少人赏识他，缺乏影响力，人们对弗 雷格的发现是源于他们研究罗素、卡尔纳普、维特根斯坦等人的著作，发现其中 有提到弗雷格对他们的重要影响，这才促使人们转过头去重新看待弗雷格，并在 这一发掘过程中发现了弗雷格的价值，赋予了弗雷格现在的地位；达米特曾经说 过，如果没有维特根斯坦，弗雷格可能至今默默无闻，淹没在历史之中，由此可 见弗雷格的命运之戏剧性。而关于弗雷格的数学哲学思想，关注的人更是屈指可 数。 本文立足于梳理弗雷格在自然数领域内对于其。逻辑主义纲领”的实现论 述弗雷格的自然数理论。并提出几个比较重要的阻题进行探讨，这些问题包括自 然数的定义与“类”的关系，以及由此引起的悖论和不同种类的解决；。数”的 地位问题，即怎样看待数学对象，对“数”的看法在弗雷格思想中的意义以及他 的形而上学倾向，并将其引向其本源处寻找答案。通过这些问题。可以加深我们 对于弗雷格关于“数”的思想的了解，并将弗雷格的思想放在整个西方思想发展 的历史之中去探讨他的意义 笔者认为，弗雷格在这一部分的思想是其整个学术思想的精华所在，具有很 高的学术价值，而由于研究者的兴趣，对于这个一部分的研究并没有得到其应得 的重视，因此相关的研究成果也就很少。本文一方面立足于梳理弗雷格的自然数 理论和相关问题，另一方面将其背后隐藏的形而上学问题揭示出来，从一个全新 的角度审视弗雷格的价值。 全文分为三个部分，第一部分介绍弗雷格的生平和著述，以及当前弗雷格思 想的研究情况；第二部分从7 + 5 = 1 2 这个简单的算术句子出发，介绍弗雷格的自 然数理论并涉及一些简单的分析；第三部分提出弗雷格自然数理论中出现的悖 论和。数的地位问题，深入研究在这些问题背后的形而上学问题 在笔者看来，弗雷格工作的意义就在于他继承了源自毕达哥拉斯、柏拉图， 经由康德而来的西方理性主义传统。他们关心真理和信念的“最终基础”，认为 至少对子某些真理丽言。可以在理性自身找到这种。最终基础”弗雷格驭逻辑 出发，试图将数学真理的可靠性奠定在逻辑之上，进而为整个人类的知识寻找到 一个可靠的根基，而这样的基础即逻辑在他看来正是理性自身的产物，是我们人 类所特有的财富。弗雷格的工作虽然因为罗素悖论的出现而不得不面对失败的命 运，但是弗雷格在这一过程之中所展现出来的理性主义精神正是我们当下所需要 重新寻找的东西。 1 1 第二部分：算术命题性质的解决 7 + 5 = 1 2 这个看上去没有什么特别之处的算术式子，在哲学发展史上却由于 康德以之作为说明数学命题是先天综合判断的例子而享有它异于其它算术式子 的标志性意义。在这样一个普通的式子的背后，隐含的是这样一个数学哲学的基 本问题，那就是：数学知识是先天的还是经验的? 在试图对7 + 5 = 1 2 这个命题进行历史考据以作性质断定之前，我们有必要回 忆一下我们是如何学会7 + 5 = 1 2 这个算术式子的我们首先记忆的是一串串数字， 即数字表1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 。9 ，1 0 ，这是我们的学习数学的最初 阶段，在记忆的过程中，一个确定的顺序被印入我们的记忆之中，借助于这个顺 序，我们开始了数数( 或者说计数) 。接下来就是加法表、乘法表，我们整天背 诵这一类表格，并能在我们各式各样的文具上发现这样的表格，通过这个阶段的 学习，我们开始了计算。在第二个阶段之中，我们知道了7 + 5 = 1 2 是加法表中的 一栏，并由此对它深信不疑。从单个人的数学知识发展的历史看，我们对于算术 命题的接纳是以它的真理性为前提的。考察这个真理性的来源我们无法将之归 于经验之中，而更愿意相信它的先天普遍性，我们人类的知识正在建立在这样一 些先天自明的命题之上的。而当我们转向人类思想的发展史，我们就会发现单纯 从单个人角度考虑问题会使我们丧失一些认识我们理性本质的东西，而在实际上 人类一直以来就在坚持对于人类理性基础的追阎，7 + 5 = 1 2 这一类的命题的性质 就属于这个范围。 一、从柏拉图、康德到弗雷格：算术命题性质的历史回顾 在笔者所见的文本之中，柏拉图的泰阿泰德篇最早涉及到这类问题，同 时我们也看到了康德7 + 5 = 1 2 的例子的最早原型。在这篇对话中，苏格拉底和泰 阿泰德围绕什么是知识这个问题展开了讨论。在泰阿泰德认为真的意见就是知识 的第二个阶段，泰阿泰德认为自己向德奥多罗所学的几何算术就是一种知识，苏 格拉底模仿荷马以腊版比方心地，假设有人不在当前眼见五个与七个人或物，而 是在“胸中默念所谓铭于心版而不致引起虚假论断的五与七，计议此二数本身， 自问自答其和为几7 ”，询问泰阿泰德是否有入答为十一、有人答为十二，或 者人人答为十二。泰阿泰德认为，不至于人人答为十二，因为苏格拉底不仅指五 与七这类具体的数，而是指一般的数，而。计议较大的数，愈易致误”，同时五 和七仅是涉想所及的纯概念，人不可能混淆所想的人和马，却可能混淆五和七这 类纯概念。这种情况下发生的错误是纯粹思想中的错误。苏格拉底赞同泰阿泰德 的主张，指出答错者是将所知一物想象为所知之他物，因而得到了虚妄的论断。 进一步柏拉图将知识比作笼中之鸟，而这个鸟笼是置于人心的。这个笼子在我们 小的时候是空的，我们学习的过程就是不断将学到的知识放入笼中的过程。在柏 拉图看来，一个完全的算术家心上是有一切数的知识的，他有时计算在他头脑里 的数本身。有时则计算外面的特殊的数是多少当一个人本来应该从笼中取出十 二却错取了十一，。正如捉鸽而得鸠”，如果他取了那片真的便是真意见，取了假 的便是假意见由此便避免掉了4 人不知道他所知道的东西”矛盾( 即“美诺悖 论”，详见美诺篇) ，这样一来就解答了不包括直接感知在内的知识间如何会 产生错误判断的朗题植拉图对待数学的看法非常明显地包含在他的。理念论。 之中，正如上文所说，真正的数学知识是存在于我们之外的理念世界之中的，作 为纯粹知识它是绝对正确和完满的，而作为有着理性限度的我们在认识这些先天 的真理时难免会发生遗漏，我们不完善的理性是导致我们把7 加5 计算成l l 的 原因。 如果说在柏拉图那里，7 + 5 = 1 2 这个式子还仅仅只是一个用来说明算术性质 的无关紧要的例子，那么在康德那里，这样一个普通的式子就获得了它举足轻重 的地位，它被康德用来作为例证以说明数学中存在着先天综合判断。而。先天综 合命题是怎样可能的2 ”这个问题。促成了康德纯粹理性批判的诞生。在康 德看来，我们的一切知识是从经验开始的，知识是用判断来表现的。康德认为可 以把知识根据其来源区分为先天的( ap r i o r i ) 和后天的( ap o s t e r i o r i ) 即经验性 的( c m p t r i s c h c ) ，在判断中根据主词对谓词的关系来考虑将一切判断分为综合的 和分析的。按照康德的标准，我们可以由此把知识分作四类先天综合、后天 综合、先天分析、后天分析，但是康德认为一切分析命题都是先天判断，而经验 判断永远是综合的，后天的分析判断是不可能的，因此我们在这里就只能有三种 知识。但是分析的知识不能给我们带来新的知识，综合的知识是来自经验的，而 。经验永远也不给自己的判断以真正的或严格的普遍性，而只是( 通过归纳) 给 它们以假定的、相比较的普遍性”1 1 剩下的只有先天综合知识，一方面因为它 是先天的，所以是必然与严格普遍的，另一方面又因为它是综合的，所以能扩展 我们客观有效的知识范围，看来只有它才能符合我们不断扩大知识领域的要求。 康德认为在理性的一切理论科学之中都包含着有先天综合判断作为原则为 了说明存在着先天综合判断，康德依次对数学、自然科学( 物理学) 和形而上学 的情况进行了分析，而在这样的一个分析中，数学的分析是相对最充分、也是最 关键的。康德认为数学的判断全部都是综合的，“真正的数学命题总是先天判断 而不是经验性的判断，因为它们具有无法从经验中取得的必然性。”1 2 康德将自 己的命题局限在纯粹数学来说明存在先天综合判断。他的例子就是7 + 5 = 1 2 这个 命题。初看上去，人们也许会认为，7 + 5 = 1 2 这个命题是一个单纯的分析命题， 它是从7 加5 之和的概念中根据矛盾律推导出来的。但是让我们进一步考虑就会 发现，“7 加5 之和”这个概念并没有包含更进一步的东西，它仅仅是我们的一 种描述，我们并没有赋予这个概念以除去“7 ”、“5 5 、“加”、“和”之外更多的东 西。因此。7 加5 之和8 这个概念只包含这两个数结合成为一个数的意思，这种 结合并没有使人想到第三个数到底是哪一个确定的唯一的数或者是哪一类数。我 们单纯地思考7 和5 的结合，是不可能得到1 2 这个概念的；并且，不论我们把 关于这个可能的和的概念分析多久，我们也终究不会在其中发现1 2 。因此，康 德认为，。我们必须超出这些概念之外，借助于与这两个概念之一相应的直观， 例如我们的五个手指，或者( 如谢格奈在其算术中所说的) 五个点，这样一 个一个地把直观中给予的五的这些单位加到七的概念上去。”u 这样我们就通过 7 + 5 = 1 2 这个命题实际上扩大了我们的概念，从而得到了一个在等号的左边所没 有想过的新的概念。因此，算术命题是综合的，我们所掌握的所有算术命题都是 先天综合判断。同样纯粹几何学的一切公理也都是依助于直观而是先天综合的。 康德进一步指出，纯粹数学的知识的实质和它同其他一切先天知识相区剐的特 点，在于它们“决不是通过概念得出来的，而永远只是通过构造概念得出来的” 。数学在命题里必须超出概念达到与这个概念相对应的直观所包含的东西，因 此，数学命题都是综合的，永远不能、也不应该通过概念的分析来得到。 在康德那里，我们关于数的知识依赖于我们作为。内直观的纯粹形式”( 即 内感官形式) 的时间意识，依赖于心灵对于它自己能够无数次地重复计数活动这 种能力的意识。康德认为，在认识数的定律时心灵的洞察力仅仅及于它自己的内 在活动，而不及于作为物自体的实在。正是通过先天综合的洞察我们才知道诸如 7 加5 等于1 2 这类关于数的特殊知识的。 弗雷格认为康德在这一点上显然是只考虑了较小的数，认为对于较大的数而 言直观是不可能的，例如1 3 5 6 6 4 加上3 7 8 6 3 等于多少显然不是直观一下子能够 得到了。这样一个较大数字的计算对于我们中的极少数人而言是可能的，但对于 绝大多数人而言是不可能的，而康德所讲的内直观纯粹形式的时问意识是我们每 个人都拥有的，因此康德可能在这一点上犯了个错误。但是存在这样的可能性， 即虽然我们拥有认识事物的能力，但是我们却没有能力将其运用。对于这样的一 个可能，我们可以借用亚里士多德的。潜能说”这个名称命名。在康德那里，毫 无疑问，每个人都是具有内直观形式的时间意识的，我们能够进行计数活动所依 赖的那个序列就是时问意识的体现，但是是否每个人都能够充分地利用这种形式 1 4 则是无法保证的，正如我们已经指出的那样，我们中的少数人是可以达到这样的 程度的，既然他们能够达到这样的程度，那就说明作为同类的其余的多数人也是 具有这样的潜能的。同时弗雷格也明确指出他这样说存在一个难以克服的问题， 那就是无法在较小的数和较大的数之间划出明确的界线。 当弗雷格提出这个问题的时候，留给我们的解决的空间和他一样显然是不存 在的。因此我们就必须放弃在自然数之中区分大数和小数的企图，而这样的一个 区分带给我们的往往不是数学或逻辑上的提示，而毋宁说只是一种心理上的暗示 而已。 在弗雷格那里，对于7 + 5 = 1 2 这样的算术式子，我们必须进行严格的数学证 明，确定这个式子的意义，为此必须追溯到普遍的逻辑基础，这样的证明在于提 供关于算术句子的真之间相互依赖性的认识这样的探究从事物的表面出发，不 断追问事物背后的东西，进行达到到所有事物的初真越来越少、日渐明显的程度， 而这种简化本身就是我们探究人类理性能力的一种值得追求的目标。弗雷格指 出：“促使我进行这样的探究，也有哲学动机。关于算术真的先验性或后验性， 综合性或分析性的问题，在这里有待回答因为，即使这些概念本身属于哲学， 我也依然相信，没有数学的帮助，对它们的判定是不能成功的”。u 在弗雷格这 里，。先验和后验，综合和分析的那些区别与判断的内容无关，而与做出判断的 根据有关”。1 6 在涉及数学真的时候，如果利用那些具有普遍逻辑性质、不涉及 特殊知识领域的真就可以进行证明的话，句子就是分析的；反之，不利于那些不 具有普遍逻辑性质、而涉及特殊知识领域的真就不可能进行证明的话，句子就是 综合的。要依据事实进行证明的话，所得的句子的真是后验的；相反，如果完全 可以从本身既不能够也不需要证明的普遍定律得到证明，这时得到的真就是先验 的。 弗雷格否认了算术规律是归纳的真命题，针对密尔( j o h ns t u a r tm i l l ) 关于 数学公式是归纳的真命题的观点，他指出密尔没有区分对算术句子所做的物理的 并且是以观察的事实为前提的应用和纯数学句子本身，当密尔称算术的真命题为 自然律时，他混淆了这些命题和它们的应用。而数的不同类性( 奇偶等) 也不 利于密尔的观点，我们并没有通过定义而得到数的许多共同特征，很可能相反， 归纳是基于算术而证明的。数有一种由其本性决定的排列次序，因为每个数都 以自己的方式建立起来并有自己的性质，这些性质在0 、1 和2 的情况下表现的 特别突出。” 针对康德的观点，弗雷格认为康德把算术规律看作先验综合的，必然会导致 他只能把一种。纯粹的直觉”作为最终的认识基础。弗雷格否认了对于普遍的数 的直觉，他认为说有对1 0 0 0 0 0 的直觉是不可能的。而康德在纯粹理性批判 中指出这样的一个直觉必须与感性结合起来，只有借助于感性，对象才能被给予 我们，因而只有感性才能为我们提供直觉。康德这样说可能是过高估计了算术与 几何学的。亲缘关系”，而实际上几何与算术有很大的差别，在几何学中，点、 线、面可以被看作是它们整个属的代表，而在数的情况中，每个数都有自己的独 特性。同时。联系由真命题支配的领域来比较真命题，也表明不利于算术定律的 经验的和综合的性质。”就欧几里得几何学而言，几何学的真命题支配着空问 直观的领域，是想象力的实现或产物，在这个领域中，几何公理相互独立，不依 赖于逻辑的初始规律，因而是综合的；而“算术的真支配着可计数的领域”，它 不仅包括现实的东西、直观的东西，而且还包括。一切可被思考的东西”。莱布 尼茨( l c i b n i z ) 和w s 杰芬斯( w s t a n l c yj e v o n s ) 都赞同数规律的分析性，在 他们看来，。数不过是