（应用数学专业论文）一类时滞脉冲系统的稳定性分析与控制.pdf

学位论文版权使用授权书 唧i if l f l f llrf l lij l l liir lfl lu l y 18 9 4 6 7 0 江苏大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致， 允许论文被查阅和借阅，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文编入中国 学位论文全文数据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂 志社将本论文编入中国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。 论文的公布( 包括刊登) 授权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密口。 学位论文作者签名新阳丽 刈年6 月彳日 舯葛翟兹筇 如，年二月9 日 一类时滞脉冲系统的稳定性分析与控制 i m p u l s i v es t a b i l i t ya n a l y s i sa n d c o n t r o lf o r ak i n do fd e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s 姓 2 0 1 1 年6 月 重要的应 条件发生 力系统研 究的一个重要课题之一对于某些混沌系统，我们可以通过脉冲控制，使其状态 量周期运动，从而达到使其有界甚至可稳定的结果因此，研究具有时滞的脉冲 系统也是十分有必要的近年的研究表明脉冲、时滞在经济系统方面的应用很 少本课题将脉冲、时滞结合在一起进行研究，具有一定的创新性以三阶时滞 微分方程为研究对象，主要通过l y a p u n o v 函数法和稳定性理论，脉冲控制等方法， 来研究一类三阶脉冲时滞系统的稳定性证明了对于不稳定的动力系统加入合适 的脉冲后，可以使不稳定的动力系统稳定最后通过一个例子来验证方法的可行 性和有效性研究所得的结果不但改进和推广了一些成果，发展了微分方程的稳 定性理论，而且为脉冲控制理论应用到实际问题提供新的控制策略技术和方法因 此，对脉冲控制系统的研究具有重大的理论意义和潜在的应用价值 本文主要包括以下几方面内容： 1 介绍了时滞脉冲微分方程的稳定性的背景及意义，并叙述了三阶脉冲时滞 微分方程的研究现状，在此基础上给出了本文的研究内容 2 简要介绍了脉冲时滞微分方程的概念、稳定性的定义、稳定性的l y a p u n o v 泛函方法，这些构成了本文的理论基础 3 在李想，l p g i m e n e s ，孙继涛等人研究的基础上，研究了一类三阶脉冲时 滞微分方程，证明了对于不稳定的动力系统加入合适的脉冲后，可以使不稳定的 动力系统稳定给出数值例子来说明结论的可行性并利用m a t l a b 软件对该系统 进行数值模拟，验证了脉冲控制的有效性 4 进一步研究了一类含脉冲的三阶时滞微分方程的稳定性，补充了对三阶时 滞系统的稳定性研究通过一个数值例子，并利用m a t l a b 进行数值模拟，同样妇e 明 了本章主要结果的j 下确性 关键词：脉冲稳定性，时滞，三阶微分方程，李雅普诺夫函数 一类时滞脉冲系统的稳定性分析与控制 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t n l ed y n a m i cs y s t e mw a so n eo ft h e2 0 t hc e n t u r yr i c h e s ts e n s eo fa c h i e v e m e n t m a t h e m a t i c sb r a n c h e s ，w h i c hh a st h ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni nm a n yd o m a i n s b u tt h e d y n a m i cs y s t e mh a st h ei n s t a b i l i t ya n dt h ec o m p l e x i t y s o m e t i m e se v e nw h e nt h e c o n d i t i o nh a st h es m a l lc h a n g e ，i tc a nc a u s et h ee n t i r es y s t e m st u r b u l e n c e i m p u l s i v e c o n t r o lh a sb e c o m eo n eo ft h em o s ti m p o r t a n ta s p e c t si nc o n t r o lt h e o r y f o rs o m e c h a o t i cs y s t e m s ，w eg i v et h es y s t e ms o m es p e c i a li m p u l s i v ec o n t r o li no r d e rt om a k et h e s t a t ev a r i a b l el i m i t a r ye v e ns t a b l e t h e r e f o r et h er e s e a r c ho fd e l a ys y s t e mi sa l s ov e r y n e c e s s a r y i nr e c e n ty e a r s ，s t u d i e sh a v es h o w nt h a tt h er e s e a r c ho fi m p u l s i v ea n dd e l a y a r ev e r yf e wi nt h ee c o n o m i cs y s t e m t h i st o p i cr e s e a r c hi m p u l s i v ea n dd e l a yt o g e t h e r i sv e r yi n n o v a t i v e t a k i n gt h et l l i r d - o r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa st h es u b j e c t , b y t h es e c o n dm e t h o do fl y a p u n o v , t h i sp a p e rm a i n l yf o c u s e so ni m p u l s i v es t a b i l i z a t i o no f ak i n d o ft l l i r d o r d e rd e l a yg e n e r a ls y s t e m s ，b ya d d i n gt ot h ei n s t a b i l i t yo ft h e a p p r o p r i a t ei m p u l s i v ec a ns t a b i l i z et h eu n s t a b l es y s t e m f i n a l l y , u s i n ga ne x a m p l et o v e r i f yt h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s s t h er e s e a r c hr e s u l t sd e v e l o p t h et h e o r yo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dc o n t r i b u t es o m en e wm e t h o da n ds t r a t e g i e si nc o n t r o lt h e o r y s ot h er e s e a r c hi si m p o r t a n ta n ds i g n i f i c a t i v eb o t ht h e o r e t i c a l l ya n dp r a c t i c a l l y t h em a i nc o n t e n ti sd e p i c t e da sf o l l o w s ： 1 t h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo ft h e i m p u l s i v e s t a b i l i z a t i o no fd e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r ee x p l a i n e d , a n dt h er e s e a r c hs t a t u so ft h i r d o r d e r d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sp r e s e n t e d b a s e do nt h i s ，t h ec o n t e n to ft h i ss t u d yi si n t r o d u c e d 2 t h ec o n c e p to fi m p u l s i v es t a b i l i z a t i o no fak i n do ft l l i r d o r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，t h ed e f i n i t i o no fs t a b i l i t y , t h em e t h o do fl y a p u n o vf u n c t i o n a li sb r i e f l y i n t r o d u c e d ，w h i c hc o n s t i t u t e st h et h e o r e t i c a lb a s i so ft h i ss t u d y 3 b a s e do nt h es t u d yo fl ix i a n gl p g i m e n e s ，a n ds u nj i t a oa n ds oo n ，w e s t u d i e dak i n do ft h i r d - o r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r es t u d i e d ，a n db ya d d i n gt o t h ei n s t a b i l i t yo ft h ea p p r o p r i a t ei m p u l s i v ec a l ls t a b i l i z et h eu n s t a b l es y s t e m u s i n g m a t l a bs o f t w a r et os i m u l a t et h es y s t e mt ov e r i f yt h ev a l i d i t yo fi m p u l s i v es t a b i l i t y 4 f u r t h e rs t u d yo ft h et w on l i r d o r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t l li m p u l i s i v e s t a b i l i t y , a d d i t i o n a ld e l a yo ns t a b i l i t yo ft h es y s t e mo ft h i r do r d e r an u m e r i c a le x a m p l e p r e s e n t e dt o i l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo fp r o p o s e dr e s u l t s u s i n gm a t l a bp r o v e dt h e 一类时滞脉冲系统的稳定性分析与控制 e f f i c i e n c yo fp r o p o s e dr e s u l t s k e yw o r d s ：i m p u l s i v es t a b i l i z a t i o n ，d e l a y , t h i r d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， l y a p u n o vf u n c t i o n a l 1 1 2 5 7 2 2 脉冲控制系统简介7 2 2 1 脉冲现象7 2 2 2 脉冲控制8 2 3 微分方程的相关概念8 2 3 1 微分方程解的稳定性8 2 3 2 l y a p u n o v 稳定性定理”9 2 4 脉冲微分方程的相关概念1 0 2 4 1 脉冲微分系统1 0 2 4 2 脉冲微分方程解的稳定性1 1 2 4 3 脉冲微分系统中的比较原理一1 2 2 5 时滞脉冲控制方法理论1 3 第三章一类三阶脉冲时滞微分方程的稳定性1 4 3 1弓言1 4 3 2 一类方程的稳定性分析1 4 3 3 数值例子”2 1 3 4 本章小结2 2 第四章一类三阶脉冲时滞微分系统的稳定性 4 1 弓i 言2 3 4 2 一类系统的稳定性分析2 3 4 3 数值例子3 1 4 4 本章小结3 1 总结与展望 致谢 参考文献 读研期间发表的论文 3 2 3 3 3 4 3 6 v 江苏大学硕士学位论文 第一章前言 1 1本课题研究的背景和意义 控制论是由数学家n w l j c n e r 创立的- - i 7 学科，控制理论在动力系统的研究中 有着非常广泛的应用目前，控制理论科学发展十分快速，正处在数学、计算机 科学和工程学交叉学科的发展前沿例如，在工程应用中，机械系统对高性能的 追求使得控制理论在实际工程和科学实验中得到广泛应用，并由此产生了各类控 制系统在生物、生态、医学、经济、金融和社会学等方面，系统控制理论都有 着广泛的应用，可以说它是一门具有强大生命力的学科它涵盖的内容越来越广， 涉及线性系统、非线性系统、分布参数系统、离散事件系统、随机系统、大规模 系统等不同性质的控制对象研究领域不断扩大，包括建模和系统辨识、统计估 值和滤波、最优控制，鲁棒控制、自适应控制、故障诊断和容错控制、智能控制 及控制系统c a d 等途径和方法同时，它在社会经济、环境生态、组织管理等人 类决策活动，与生物医学中诊断及控制，与信息处理、新型计算原理( ，如人工神经 网络1 等邻近学科相交叉中又将形成许多新的研究分支它以工程技术中的实际需 要为背景和动力，以数学和计算机为主它的应用和影响已经遍及众多的部门和 领域，贯穿其中的许多思想和方法已经用于经济和社会现象的研究自1 9 5 9 年以 后，h h k p a c o b c k h h 用泛函分析观点对这类方程作了创造性研究，称其为泛函微 分方程( f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，简写为f d e ) 在2 0 世纪7 0 年代，j k h a l e 等进一步使若干基本概念精确化时滞微分方程的特点是当前发展趋向依赖于以 前的历史状态，就是存在着时间滞后的现象，或遗传效应从工程技术、物理、 力学、控制论、化学反应、生物医学等中提出的数学模型带有明显的滞后量例 如，前面举的两个例子( 造船工业中的模型和麻疹传播的模型) 以及弹性力学中的滞 后效应，特别是自动控制中任何一个含有反馈的系统，大体上总有时滞这类时 滞的出现，是因为需要有限的时间接受信息，作出反应，对于这类系统往往用时 滞微分方程比常微分方程来刻画更加符合实际另外，时滞微分方程是在常微分 方程，微分差分方程及带有滞后变元的微分方程基础上自然推广而来的由于方 程的解映射是在无穷维空间上考虑的，与常微分方程相比，性质上有很多差别因 一类时滞脉冲系统的稳定性分析与控制 此，对时滞微分方程的稳定性的研究无论在理论上还是在应用上都具有非常重要 的意义 ? ，许多实际问题的发展过程往往有这样的特征：在发展的某些阶段，会出现快 ， 速的变化为方便起见，在这些过程的数学模拟中，常常会忽略这个快速变化的 持续期间而假设这个过程是通过瞬时突变来完成的，这种瞬时突变现象通常称之 为脉冲现象脉冲微分系统最突出的特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状态 的影响，能够更深刻、更精确地反映事物的变化规律近年来，脉冲微分系统在 混沌控制、机密通信、航天技术、风险管理、信息科学、生命科学、医学、经济 领域均得到重要应用因此，脉冲微分系统来源于实践，应用于实践，在科技领 域有着重要的应用价值时滞现象常产生于航空航天、电力、冶金、化工过程、 电子技术、经济管理和交通等系统中，而且常常是导致实际系统控制性能恶化甚 至不稳定的重要原因之一时滞微分方程( 也称泛函微分方程) 比常微分方程更精确 地描述了客观世界，从系统理论的观点看，任何实际系统的过去状态不可避免的 要对当前的状态产生影响在实际工程系统中，时滞现象是普遍存在的，时滞产 生的原因有很多，如：系统变量的测量过程需要一定时间、系统中设备的物理性 质( 大惯性环节) 因数也会导致滞后、物质或信号的传递( 传输过程) 亦需要一定的时 间，缓慢的化学反应过程等都会使系统产生时滞通常情况下时滞将使系统的性 能变坏，甚至使系统失去稳定性，从研究的角度来说，时滞的存在给系统的稳定 性分析和控制器的设计带来了很大的困难因此，对时滞微分方程的稳定性的研 究无论在理论上还是在应用上都具有非常重要的意义 1 2 本课题的研究现状 本课题主要研究三阶脉冲时滞微分方程解的稳定性，在此将主要介绍带脉冲 的三阶时滞微分方程的研究现状目前，关于时滞微分方程的研究论文也很多稳 定性理论是时滞微分方程理论中的重要部分，李雅普诺夫第二方法中李雅普诺夫 函数的结构，建立了一致稳定、等度渐近稳定、指数渐近稳定等各种稳定性概念， 丰富了稳定性理论的研究内容随着时间的推移，众多学者为稳定性理论的研究 奠定了雄厚的基础，使其形成了一套比较完善的理论 最近的一二十年，对脉冲控制周期解的研究，国内外都取得了一定进展保 2 江苏大学硕士学位论文 加利亚的b a i n o v 和s i m e o n o v 在他们的专著( i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a d o n s ： p e r i o d i cs o l u t i o n sa n da p p l i c a t i o n s ) ，提出了脉冲系统周期解的定义，及其存在唯 一性、稳定性、渐进稳定性等概念定理美国华裔数学家杨涛在其专著( i m p u l s i v e s y s t e m sa n dc o n t r o l ：t h e o r ya n da p p l i c a t i o n ) 对非自治系统周期解的研究踢出了 一系列理论山西大学的燕居让教授对l o t k a v o l t e r r a 系统的正周期解的存在性和 全局稳定性进行了深入的研究，等等然而，含时滞的脉冲系统的稳定性研究中 还有很多问题尚待解决稳定而有效地控制混沌吸引子中不稳定状态，改变原金融 系统的行为从而达到新平衡，是控制的重要原则这是经济学界理论与方法研究 的一个热点问题通过脉冲控制，把经济系统中的不稳定的平衡点控制成稳定的 平衡点，从而有效的控制金融系统中的不稳定现象目前，研究时滞微分方程解 的稳定性的有效方法，仍是l y a p u n o v 直接法( 即l y a p u n o v 第二方法) 其主要优点 在于不需要预先知道解的情况，就可确定其解的稳定性在过去的四十多年里， 已有很多学者利用构造l y a p u n o v 泛函的方法，研究了时滞微分方程解的稳定性， 得到了许多不错的结果郑祖麻在f 1 1 中和李森林在【2 1 中首先研究了泛函微分方程， 继而秦元勋在f 3 1 中研究了时滞动力系统的稳定性，j k 在【4 】和v b k o l m a n o v s k i i 在 5 1 q 口都研究了不同的一阶微分方程的稳定性，t a b u r t o n 在【6 】和川中运用 l y a p u n o v 函数的方法研究了系统的稳定性，t y o s h i z a w a 在【8 】和a h a l a n a y 在【9 】 中又进一步研究了不同方程的稳定性理论，v k e l m a n o v s k i i 在1 0 1 ，c e m i lt u n c 在 1 1 1 中研究了不同方程的指数稳定，s c s i n h a 在f 1 2 1 研究了方程的时滞性， a i s a d e k 在 1 3 1 和g m a k a y 在 1 4 1 6 - 子析了不同方程的指数稳定赵杰民在 1 5 1 考察了一类非线性时滞系统的定性傅朝金，廖晓听分别在 1 6 1 和 1 9 2 1 1 中研究了时 滞微分方程的稳定性和通过构造l y a p u n o v 函数研究了不同动力系统的稳定性但 是，如何构造合适、有效的泛函? 这是一个难题，没有学者给出一个明确的方法这 样的难题在高阶常微分方程中一样存在显然，对于高阶时滞微分方程构造 l y a p u n o v 泛函将是更加地困难 在大量的自然与社会现象中，许多事物都存在着确定性的运动规律，其中许 多运动规律可以用微分系统来描述因此，从上世纪五、六十年代到本世纪初掀 起了研究微分系统稳定性及有界性的热潮，并有许多研究成果在微分系统稳定 性及有界性研究成果得出的过程中，巴尔巴辛公式功不可没自从巴尔巴辛给出 3 一类时滞脉冲系统的稳定性分析与控制 了 阶线性微分系统y 函数构造的公式以后，许多学者通过“类比法”构造y 函数研 究了大量二至五阶非线性微分系统的稳定性和有界性其中r r e i s s i g f f 铂e s a n s o n e 在 【1 7 】中总结了七十年代以前的研究成果，马知恩在【1 8 】中导出了二阶和三阶常系数 线性系统的y 函数构造，并运用公式进行了相应的研究，解决了一类二阶非线性 系统零解的全局稳定性问题吴檀，贾建文，刘昌东，康慧燕等人分别在 2 2 2 5 】 中研究了三阶非线性系统零解的全局稳定性问题下面，介绍三阶时滞微分方程 解的稳定性的研究形状对于三阶时滞微分方程解的稳定性的研究成果虽没有三 阶非线性系统那么丰富，但也有一些不错的成果 2 0 0 4 年李想等在前人一阶时滞微分方程研究的基础上，在【2 7 】和【3 5 】中证明了 以下一类二阶脉冲时滞微分方程的稳定性 i x ”( f ) + 口o ) z o f ) = 0 ，t t o ，t t k x o ) = 吠f ) ，t t o f t o ，x ( f o ) = y o 【杖& ) = 厶( x ( ”，x ( 气) = j 。 7 ( 巧) ) 和 x ”( f ) + f - ，b ( t 一以弦 ) = 0 ，t _ t o ，t * t k z o ) = f p ( t ) ，f t o f t o ，x ( ) = y o x ( t a = 厶o 何”，x 瓴) = 以 何) ) 2 0 0 6 年l p g i m e n e s 等在【2 8 】和【3 0 】中又进一步补充了这一类二阶带脉冲的时 滞微分方程，得到了系统： 和 r x ”o ) + q o ) x o 一弓) + 厂( x o ) ，x 7 0 ) ) = o ，f - t o i = l x o ) = 认f ) ，t o r m - _ t o x ( t ) = 双f ) ，t o f f - t o ，t t k x ( f ) = 吠f ) ，t o f t t o ，x ( t o ) = y o 【气) = ( 工( f ) ) ，x ( & ) = ，。o ( ) ) x ”( f ) + ，6 ( 卜h ) x ( u ) d u + 厂( 工( f ) ，x ( f ) ) = o , t - t o ，f 气 x ( t ) = 烈f ) ，t o f f 0 及占均为常数 1 9 7 3 年，w e l o n d o n 和j a y o r k e 研究麻疹传播的模型为： s ( f ) = f l ( t ) s ( t ) s ( t 一1 2 ) 一s ( t 一1 4 ) 一2 r + r ，( 2 2 ) 其中，s ( f ) 表示时刻f 无免疫力的个体数目，r ( f ) 是这种个体在人口中所占的比例， f l ( t ) 是人口特征函数，两个滞量= 1 2 ，乞= 1 4 分别为麻疹传染的潜伏期上、下 限c o o k e 与y o r k e 的淋病传播方程则为： s ( f ) = g ( s ( t q ) ) 一g ( s ( t 一乞) ) ，( 2 3 ) 其中，g 是在某闭区间之外消逝的非负函数 2 2 脉冲控制系统简介 2 2 1脉冲现象 脉冲现象作为一种瞬时突变现象，在现代科技各领域的实际问题中是普遍存 7 一类时滞脉冲系统的稳定性分析与控制 在的，且往往对实际问题的规律产生本质的影响因此，在建立数学模型对这些 实际问题进行研究时，必须充分考虑脉冲现象的作用，其数学模型往往可归结为 脉冲微分系统鉴于脉冲微分系统在现代诸多科技领域日益广泛的应用，逐渐引 起微分系统学者专家的关注与重视 2 2 2 脉冲控制 给定一个非脉冲控制系统p ，x r “表示它的状态变量，一个控制时刻的集合 t = 气，k = 1 2 ，且在每一个时刻吒，x 按照x ( ) = x ( 吒) + u ( 七，矽的规则有一个 脉冲突变，并且输出y = g o ，功，g ：r r ”专尺“，ye r 棚，y r “，当k 一时，即 f j o o 时，y 逼近空间r ”中的一个固定y 如果系统是脉冲系统则控制方法可 以是非脉冲的 对于脉冲系统，我们可以直观地做以下理解： ( 1 ) 至少受控系统p 的一个状态变量能够脉冲突变到由控制方法指定的任意 值这样说来，p 并不是所有的物理系统都可以归纳到脉冲控制的范畴 ( 2 ) 我们仅需要在离散的控制时刻处，改变可变的状态变量控制时刻通常由 特定的方法来确定，控制时刻不必一定是等距离的，也可以确定为某些条件成立 的时刻，例如当状态变量达到某一边界值时，即给予脉冲控制 ( 3 ) 控n 规贝e u ( k ，功与其他控制方法中的“控制输入”相类似然而，在脉冲系 统中，v ( k ，z ) 还给出了在时刻吃的状态变量x 的突变 ( 4 ) 引入脉冲控制的目的并不是取代了别的控制方法，我们应该看到脉冲控制 提供了一种新的观点，当系统中至少有一个状态变量有突然变化，或者系统本身 就有这种突变效应时，我们就可以采用它 2 3 微分方程的相关概念 2 3 1微分方程解的稳定性 设微分方程 戈= 厂( f ，x ) ，x ( t o ) = x o ，x e r “( 2 4 ) 定义2 1 若对任意给定的s o ，都能找到8 = 8 ( 6 ，气) ，使得当i k i 0 ， 总能找到一个r = 丁( s ，岛，x o ) ，使得当f 岛+ r 时，有忙( f ，t o ，) l l o 且 v ( o ) = o ，则称v ( x ) 为定正的如果函数一v ( x ) 是定正( 常正) 的，则称v ( x ) 为 定理2 5 对于式( 2 5 ) ，如果存在一个定正的函数v ( x ) ，其关于方程的全导数 v ( x ，y ) 为常负函数或恒等于零，则式( 2 5 ) 的零解为稳定 定理2 6 对于式( 2 5 ) ，如果存在一个定正的函数v ( x ) ，其关于方程的全导数 9 一类时滞脉冲系统的稳定性分析与控制 矿( x ，y ) 为定负的，则式( 2 5 ) 的零解为渐近稳定 定理2 7 对于式( 2 5 ) ，如果存在一个定正的函数y ( x ) ，其关于方程的全导数可以 表示为： 矿( x ，y ) = y ( x ) + 形( x ) 且当非负常数0 时，w 为常正函数或恒等于零，= o 时，w 为定正函数，又 在z = 。的任意小领域内都存在某个二，使得y ( 刁 。，那么式( 2 5 ) 的零解为不稳 定的 定理2 8 如果存在一个定正的函数y ( x ) ，其关于式( 2 5 ) 的全导数矿( x ，y ) 为定负 的，但使矿( x ，y ) = o n a x 的集合中，除零解x = o 外，并不包含式( 2 5 ) 的其它解， 则式( 2 5 ) 的零解为渐近稳定的 李雅普诺夫第二方法将稳定性的问题转化为李雅普诺夫函数的构造问题，寻 找和建立满足上述诸定理的函数矿( x ) ，实质上需要很高的技巧李雅普诺夫和他 的后继者也已经提供了某些建立李雅普诺夫函数的方法，可以成功的解决许多具 体问题 2 4 脉冲微分方程的相关概念 2 4 1 脉冲微分系统 ( 1 ) 考虑微分系统 戈= s ( t ，x 1 ( 2 6 ) ，：r + x f l - - r ”是连续的，q 尺”是开集，r 4 是胛维空间，足= 【o ，+ ) ； ( 2 ) 集合m ( f ) ，n ( t ) q ，v t r ； ( 3 ) 算子彳( f ) ：m ( f ) 寸( f ) ，v f r ； 设x ( ，) = x ( ，t o ，) 是系统( 2 6 ) 在满f f _ x ( t o ) = x o 的解，它具有下列特点： 点c = ( f ，x ( f ) ) 开始于瓴，而) ，沿弧线 ( f ，x ) t - t o ，x = x ( ，) 运动直到点 气，在矗 处碰到集合m ( f ) ，在f = t 1 处，么( ，) 将气= ( ，x ( t 。) ) 变成名= ( ，对) ( ) ，这 里对= 彳( ) x ( ) 而沿着系统( 2 6 ) 的解x ( f ) = z ( ，) 所代表的弧继续运动直 = ( 乞，葛) n ( t ：) ，这里 x ( t ，t ：，砖1 所代表的弧继 续运动如果系统( 2 6 ) i e ，则只一直运动下去我们称具有上述运动过程的 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 综合起来称为脉冲微分系统 具有固定时刻的脉冲微分系统： i 戈( ，) = s ( t ，x ( f ) ) ， f t 止( ) = x ( ) 一x ( ) = u ( k ，x ) ，t = t k ( 2 7 ) 【x ( 牙) = x ( ) ， f o o ，k = l 州2 一 这里厂：rx r ”专科，u ：彤x r “一掣对每一个k 都是连续的；0 - t o 乞 k o , v t o r ，存在正常数万= 万“，s ，7 7 ) 0 ，满足当 k 一i 刁其中x o ( t ) = x ( t ，t o ，x o ) ，t t o 是 系- e 究( 2 6 ) 的任意解； 1 1 一类时滞脉冲系统的稳定性分析与控制 ( b ) 一致稳定：如果( a ) 中a - 与t o 无关； ( c ) 吸引：如果对v g o ，r o ，v t o 尺+ 存在正常数万= 8 ( t o ) o ，t = t ( t o ，r ) 0 满足k - y o i r ； ( d ) 一致吸引：如果( c ) 中8 0 ，t 与f o 无关； ( e ) 渐近稳定：如果( a ) ，( c ) 同时成立； 一致渐近稳定：如果( b ) ，( d ) 同时成立； 2 4 3 脉冲微分系统中的比较原理 定义2 1 0 设y ：rx r ”j r ，则称y k ，如果： ( 1 ) v 在心d ，t k x r “内连续，且对每个x r “( k = 1 ，2 ，) ( ”晰l i m ，) v ( 、以少) = y ( ，x ) 存在； ( 2 ) v 关于x 满足局部l i p s c h i t z i a n 条件； 定义2 1 1 令y k ，对v ( r ，x ) ( 气q ，气】r “ 矿y ( 船) 2 。l 。i ms u p 节y ( r 地x + 办巾，x ) ) 一矿( 舢) 抛m 脚叫船篙曼凛焉，兽吼如 其中g ：rx r + jr 是连续的，么：rj 足是非减的，则 d = g ( t ，国) ， f 气 缈( 砖) = 吮( 缈( 气) ) ，= 厶 七= 1 2 ( 2 9 ) ( - o ( t o ) = 舀o o o 系统( 2 9 ) 称作系统( 2 8 ) 的比较系统 引理2 1 3 比较系统( 2 9 ) 与系统( 2 8 ) 的零解稳定性一致，如果： ( 1 ) y ：rx s pj r ，p o ，v k ，则当f 时，d + v ( t ，x ) g ( t ，矿( f ，x ) ) ； ( 2 ) 存在p o o ，使得当x s 岛时，对所有的七有x + 【，( 后，x ) ，且当f = 气， x s 庙时，有矿( f ，x + u ( k ，x ) ) 唬( 矿( f ，x ) ) ； ( 3 ) 存在口( ) ，( ) ，使得：( ) v ( t ，x ) 口( ) 在rx s p 上成立； 江苏大学硕士学位论文 引理2 1 4 假设引理2 1 3 中，g ( t ，缈) = 五( f ) 缈，旯c 1 ( r ，r ) ，并对所有的k 有 识( 回= 噍国，d 。 o 如果条旯( f 。h ) + l i l ( y 矾) 兄( 气) ，y l ( k = l ，2 ，) 成立，且 五o ，那么系统( 2 9 ) 的零解是渐近稳定的 2 5 时滞脉冲控制方法理论 一般非线性时滞脉冲控制系统 f j ( f ) = 血( f ) + g ( x ( f ) ) ， f 气 a x ( t ) = b i x ( t - r , ) ，t = t i k = 1 ，2 ，( 2 1 0 ) i x ( f ) = 妒( f f 0 ) ，t o 一8 t t o 其中x 彤是状态变量，g ：rx r ”_ 尺”，a ，反都是疗疗维的常数矩阵离散时刻 集合 气) 满足：0 t o t 1 f 2 气 ，并且当七j 时， 气一， 反：气一气1 o o ， = 1 ，2 ) 缸o ) 1 1 吨= x k ) 一x k ) ，x o ) 是左连续的，即 x k ) = x 也) 气是f = k 时的延迟常数，0 o ，缸f ) ：k f ，佃卜只； 工”o ) ，x ( f ) 分别剧m p ) 的导数，且z 协“o ) = 溉塑学 如果杖f ) 是分段连续的，存在x ( s 一) 和x ( s + ) ，特别地，它的左极限和右极限 是当，趋近于s 时； ( 也) 在伊：k f ，岛】尺有有限的第一类间断点，并且在这些点是右连续的； ( 日。) 口o ) ，6 ( f ) ，c o ) 在k ，+ o 。】是连续的，e ( f ) 在【0 ，f 】是连续的； a ) 0 矗 乞 气 o ，存在 万 0 ，如果( 3 1 ) ( 或者( 3 2 ) ) 的解x ( t ；t o ，仍，z o ) 满足： i i 妒0 2 + y ；+ z ；万 有 ：2 ( f ) + 工吃o ) + x 砣( f ) _ t o ， 其训酬= s u pi 邢) l 主要结论 首先我们考虑系统( 3 1 ) 定理3 3 如果存在a 2 0 ，b o ，c o ，有i 口( f ) i a ，p ( f ) i 曰，p ( f ) i c ，并且 a r e x p _ 2 ( 1 + a + 曰+ c ) f ) ，( 3 3 ) 系统( 3 1 ) 的解通过脉冲控制可以指数稳定 证明：通过( 3 3 ) 可以得出，存在口 0 和z f 有 a r 0 ，有 艿2 了亍杀e x p - 口( h 一岛) 】e x p 【_ ( 1 + a + b + c ) ( 气一岛) 】 可以证明对( 3 1 ) 中的任意解杖f ；岛，f o , y o ，z o ) ，其中圳纠1 2 + 元+ 露万有 烈f ) + z 吃( f ) + x ”2 0 ) - t o 如果f k 巾气) ，七，考虑李雅普诺夫函数 y ( f ) = x 2 0 ) + 2 0 ) + x 2 0 ) + 【，k o + 力k 2 ( s ) a s ，y o ) 满足： ( i ) v ( t ) x 2 ( f ) + 工7 2 ( f ) + x ”2 0 ) ； ( i i ) v ( o - x e ( t ) + 2 ( f ) + x 砣o ) + 忙盱f 竹i 口o ) l 出x e ( t ) + ，2 ( d + 2 ( f ) + a f 忙盱 - 0 + ar ) l f 石盱+ x 2 0 ) + x ”2 0 ) j 其中= s u pi x ( o i ； ( i i i ) v7 0 ) = 2 x ( t ) x ( f ) + 2 x o ) x ”( f ) + 2 x 。( f ) z ”o ) + i 口o + f ) k 2 0 ) - a ( t ) x 2 ( t - f ) = 2 x ( t ) x o ) + 2 x ( f ) x 。o ) + 2 x 。o ) 【- c o ) 茗”o ) 一b ( t ) x 7 ( f ) 一a ( t ) x ( t r ) 】 + i 口( f + r ) i x 2 ( f ) 一l 口( t ) x z ( t f ) i 2 z ( f ) x ( f ) + 2 x ( f ) 工”o ) + 2 c o ) x ”2o ) + 2 6 0 ) x 7 ( f ) x ”( f ) + 2 口o ) x o r ) x ”o ) + + 力l x 2 ( f ) 一i 口( t ) x 2 ( t 一力l k 2 0 )