（计算数学专业论文）几类约束矩阵方程问题的研究.pdf

摘要 约束矩阵方程问题广泛应用于自动控制、振动理论、系统参数识别以及非线 性规划等领域本文分别从递推算法以及利用奇异值分解、标准相关分解和广义 奇异值分解的直接算法两个不同角度系统地研究几类约束矩阵方程的求解问题： 问题i给定x ，b r 及某类矩阵集合scr ”“，求a s 使得i x = b 问题i i 给定x ，b r ”及某类矩阵集合s r ，求a s 使得 1 1 似一口i i = r a i n 问题i l l 给定a r 1 ，b r 7 及某类矩阵集合s cr ”7 ，求x s 使得 l i a l x a 坷l l = m i n 问题i v 给定j r ” ，求爿+ s e 使得怕+ 一侧= m 。i n 川 a 一删，其中s 。表示 问题i 、i t 或i i i 的解集合，表示矩阵的f r o b e n i u s 范数 本文的主要结果如下： 1 研究了矩阵方程a x + x b = f 对称解的递推算法，该算法不仅能够用于 对称解存在性的判断问题，而且当对称解存在时，也能够用于对称解的汁算问 题，选取特殊的初始矩阵时，该算法还能够得到矩阵方程的极小范数对称解：随 后讨论了矩阵方程a x b = c 反对称解的递推算法 2 当s 是对称正交反对称矩阵集台时，给出了问题i 有解的充要条件、解的 一般表达式以及相应问题的解；对于s = 臼s a r ；4 z l ，i l = r a i n ，给出 r 问题i i 的解以及相应问题i v 解的表达式； 问题i l l 的解 3 对于s = 臼a a r ；i a z = y ，x 7 z ， 利用矩阵对的标准相关分解还给出了 一矿l 】；，r z ? z 。= e ，i = 1 ，2 ，给出了问 题i 埔￥的一般表达式，相应问题也得到了解决；当s 是反对称正交反对称矩阵 集合时，利用矩阵对的标准相关分解给出了问题i i l 解的一般表达式 4 当s 是反对称正交对称矩阵集合时，给出了问题i 有解的充要条件、解的 一般表达式以及相应问题的解；利用矩阵对的广义奇异值分解，给出了矩阵方 程4 1 a “= b 反对称正交对称解存在的充要条件、解的一般表达式以及相应问题 的解；对于s = 臼a s r ；4 z y 恃m i n ，给出了问题i i 的解以及相应问题 i v 解的表达式 关键词 约束矩阵方程：递推算法；最d , - 乘问题：最佳逼近问题：线性流形 a b s t r a c t t h ec o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o np r o b l e m sh a v eb e e nw i d e l yu s e di nm a n yf i e l d s s u c ha sc o n t r o lt h e o r y ，v i b r a t i o nt h e o r y ，s y s t e mp a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o n ，n o n l i n e a r p r o g r a m m i n ga n ds oo n i nt h i sp a p e r ，w ew i l ls y s t e m a t i c a l l ys t u d ys e v e r a lk i n d so f c o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o np r o b l e m sf r o md i f f e r e n ta s p e c t s ：r e c u r s i v ea l g o r i t h ma n d d i r e c tc a l c u l a t i o nm e t h o db vu s i n gs i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ，t h ec a n o n i c a l s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o na n dt h eg e n e r a l i z e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o no f m a t r i c e s t h em a i np r o b l e m sd i s c u s s e da r ea sf o l l o w s ： p r o b l e mig i v e nx b r a n dt h em a t r i c e ss e tscr ，f i n da s s u c h t h a ta x = b p r o b l e mi ig i v e nx b r 1a n d t h e m a t r i c e ss e ts 亡r ”“，f i n da s s u c h t h a t 忙x 一露0 = m i n p r o b l e mi i ig i v e na r b r a n dt h em a t r i c e ss e tscr “”，f i n d xess u c ht h a t l l a 7 剃一丑l l = m i n p r o b l e m g i v e na r ，f i n da + s es u c h t h a t 一二m i 叫n a j | 1 w h e r es ei st h es o l u t i o ns e to fp r o b l e m i ，i io ri i ia n d | 1 ii st h ef r o b e n i u s n u n l l t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： 1 ar e c u r s i v ea l g o r i t h mt os o l v em a t r i xe q u a t i o na x + x b = fo v e rs y m m e t r i c s o l u t i o n si s c o n s t r u c t e d b yt h i sa l g o r i t h m ，t h es o l v a b i l i t yo ft h ee q u a t i o no v e r s y m m e t r i cs o l u t i o n sc a nb ed e t e r m i n e d w h e nt h em a t r i xe q u a t i o ni sc o n s i s t e n t t h e s y m m e t r i cs o l u t i o n sc a nb eo b t a i n e da n di t sl e a s t - n o r ms y m m e t r i cs o l u t i o nc a nb e g i v e nb yc h o o s i n gas p e c i a li n i t i a lm a t r i x t h er e c u r s i v ea l g o r i t h mt os o l v em a t r i x e q u a t i o na x b = co v e ra n t i s y m m e t r i cs o l u t i o n si sa l s od i s c u s s e d 2 w jp r e s e n tt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rp r o b l e mia n dg i v et h e e x p r e s s i o n so fs o l u t i o n sf o rp r o b l e mia n dp r o b l e m1 vw h e nsi st h es e to fa l l s y m m e t r i co r t h s y m m e t r i cm a t r i c e s t h ee x p r e s s i o n so ft h es o l u t i o n sf o rp r o b l e mi i a n dt h e c o r r e s p o n d i n gp r o b l e m i va r e g e t ，i n w h i c hsc a nb e w r i a e na s s = a s a r 爿z y i l = m i n ) i na d d i t i o n ，b yu s i n gt h ec a n o n i c a ls i n g u l a rv a l u e d e c o m p o s i t i o n ，t h ee x p r e s s i o n so fs o l u t i o n sf o rp r o b l e mi i li ss o l v e d 3 o v e r t h e l i n e a r m a n i f o l d s = p a a r ； a z = y ，y ? z j = 一z v , x j z ：z j = ，i = 1 , 2 ，t h ee x p r e s s i o n so fs o l u t i o n sf o rp r o b l e m i 【a n dt h ec o r r e s p o n d i n g p r o b l e mi va r eg i v e n w h e ns i st h es e to fa l la n t i s y m m e t r i co r t h a n i t i s y m m e t r i c m a t r i c e s ，t h ee x p r e s s i o n so fs o l u t i o n sf o rp r o b l e mi i ii sd e r i v e db yt h ec a n o n i c a l s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o no fm a t r i c e s 4 t h es u f h c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rp r o b l e mia n dt h ee x p r e s s i o n so f s o l u t i o n sf o rp r o b l e mia n dp r o b l e m a r eg i v e nw h e nsi st h es e to fa l l a n t i s y m m e t r i co r t h s y m m e v i cm a t r i c e s b ya p p l y i n gt h eg e n e r a l i z e ds i n g u l a rv a l u e d e c o m p o s i t i o no fm a t r i c e s w ed e r i v et h en e c e s s a r ya n ds u m c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e e x i s t e n c eo ft h ea n t i s y m m e t r i co r t h s y m m e t r i cs o l u t i o no fl i n e a rm a t r i xe q u a t i o n a 1 a 爿= b t h eg e n e r a le x p r e s s i o no ft h es o l u t i o n sf o ra 1 x a = ba n di t s c o r r e s p o n d i n gp r o b l e m a r eg i v e ni na d d i t i o n ，t h ee x p r e s s i o n so ft h es o l u t i o n sf o r p r o b l e mi ia n dt h ec o r r e s p o n d i n gp r o b l e mi va r ep r o v i d e do v e rt h es e tsw h i c h c a nb e w r i t t e na s s = 臼a s r ；i1 | 爿z l ，0 = m i n k e y w o r d s c o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o n ；r e c u r s i v ea l g o r i t h m ； l e a s t s q u a r e sp r o b l e m ；0 p t i m a la p p r o x i m a t i o np r o b l e m ； l i n e a rm a n i f o l d 两北t 、m 夫学 】| 士学位论文 第一章前言 1 1 发展概况 约束矩阵方程问题就是在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解不同 类型的矩阵方程或不同的约束条件，均能产生不i 司的约束矩阵方程问题例如， 数值代数中，在一定的约束条件下，求矩阵使其具有预先给定的特征值和特征向 量，称为代数特征值反闯题；己知矩阵x ，曰和4 ，求满足某种约束条件的矩阵 一使得a x = b 和怕一爿+ | 1 = m i n 成立( 称为矩阵方程a x = b 的最佳逼近问题) ， 就是一类约束矩阵方程问题；已知矩阵x ，嚣和4 + ，求满足某种约束条件的矩阵 a 使得4 a x 一酬= r a i n 和i i a 一_ + 6 = m i n 成立( 称为最小二乘问题4 a x 一圳= r a i n 的最佳逼近) 也是一类约束矩阵方程问题 在神经网络设计中，人们提出了矩阵特征值反问题【7 p 】矩阵特征值反问题 就是研究如何根据矩阵的特征值、特征向量等信息( 有时还可能附加其它约束条 件) ，以确定矩阵的元素，即给定某类矩阵集合s 、”维向量i 一，x 。( m n ) 和数丑，五。，求a s 使得 血，= 丑x ， ( f = 1 , 2 ，) 若令x = b 一一，x 。，) ，a = d i a g 帆，丑。) ，则上述关系式可写为a x = x a 于是， 矩阵特征值反问题可叙述为：己知矩阵集合s ，给定矩阵x r 和对角矩阵 a = d i a g ( ，无，) ，求a s 使得爿x = x a 因此，矩阵特征值反f q 题实质上 【：堕l 是约束矩阵方程问题 1 9 9 8 年，a l l w r i 【g h t s l 在研究非线性规划问题的算法时提出了具有半正定约束 的不相容的矩阵方程求解问题在对电学、光学、自动控制等线性系统进行测试 或复原时，由于原有资料不全或要求对已有资料进行检验等原因，提出了谱约束 下的矩阵最佳逼近问题 1 2 , 1 6 , 1 8 , 2 3 , 2 5 , 2 6 1 ，在研究结构振动系统的校正旧2 4 2 9 , 5 7 1 ，有限 元模型的修正等问题时，也遇到了类似的问题在航空工业中，对飞行器来说振 动设计和振动控制是相当重要的，逆特征值方法已成为飞行器设计的有力工 具线性最优控制问题也可归结为约束矩阵方程问题【1 1 , 2 7 , 2 9 正是由于结构设计、参数识别、生物学、电学、结构动力学、分子光谱学、 自动摔制理论、振动理论、非线性规划与动态分析等领域提出的不同类型的约束 矩阵方程问题以及问题本身所具有的数学魅力，刺激了约束矩阵方程理论的快速 发展，使之成为当今数值代数领域最热门的研究课题之一无论从理论上还是从 应用角度来讲，约束矩阵方程问题的研究都具有广阔的前景 随着约束矩阵方程问题的研究文献日渐增多，特别是从1 9 8 6 年后，各类约 束矩阵方程或其最小二乘问题及其最佳逼近问题解的存在性等理论不断完善，已 经提出了一些求解约束矩阵方程问题的有效数值方法，并应用于实际问题 两北t l k 大学硕十学位论文 近年来，对各类矩阵方程的研究已经有了许多结果： f 1 ) 周富照等给出了矩阵方程a x = b 的对称正交对称解的一般表达式及其 最佳逼近问题的解【3 】；盛炎平等研究了该矩阵方程的对称次反对称解，得到了解 的一般表达式，并且给出了矩阵方程的解集合中能够对给定矩阵进行最佳逼近的 解矩阵表达式 3 z ；戴华讨论了对称正交反对称矩阵的结构，并利用矩阵的奇异值 分解给出了该矩阵方程对称正交反对称解的一般表达式，还研究了对称正交反对 称矩阵特征值反问题【4 0 l ；盛炎平等研究了该矩阵方程双反对称矩阵反问题存在的 条件及其最佳逼近问题1 4 “ ( 2 、周富照等研究了矩阵方程a x = b 的反对称正交对称最小二乘解，证明 了最佳逼近解的存在惟一性并给出其具体表达式p i l ；戴华讨论了该矩阵方程对称 正交对称矩阵反问题的最小二乘解问题【3 4 】：谢冬秀等给出了该矩阵方程反对称次 对称矩阵反问题的最小二乘解”“ ( 3 1d a i 等研究了一个来源于振动理论反问题的矩阵方程a 1 x a = b 的最小二 乘解问题，给出了该矩阵方程的对称解和对称半正定最小二乘解【8 1 ；彭振赞等给 出了该矩阵方程有对称次反对称解矩阵的充要条件及其解的一般表达式，后来又 给出该矩阵方程有双对称解矩阵的充要条件及其解的一般表达式 3 1 , 3 6 1 ；彭亚新等 讨论了该矩阵方程的对称正交对称解及其最佳逼近问题【35 j ；廖安平等利用标准相 关分解方法研究了该矩阵方程的双对称最小二乘解1 4 “ ( 4 1 张忠志等研究了线性流形上h e r m i t e ；广义反h a m i l t o n 矩阵反问题的最小 二乘解f 3 8 】；周富照等研究了线性流形上中心对称矩阵的最佳逼近问题，后来又给 出了线性流形上对称正交对称矩阵逆特征值问题【4 ”】；张磊等研究了线性流形上 双对称矩阵的逆特征值问题俐 总之，约束矩阵方程问题的研究已经得到了国内外学者的广泛关注，除上面 提到的研究成果外，相关文献还有【2 ，4 ，3 0 ，3 3 ，4 5 ，5 4 ，5 5 ，5 6 1 等但是，对于某些具 有特殊结构的矩阵类，比如对称正交反对称矩阵、反对称正交反对称矩阵以及反 对称正交对称矩阵等的讨论还不很完善本文将对上述问题进行讨论 1 2 本文研究的主要问题 在对电学、光学、自动控制等线性系统进行测试或复原时，由于原有资料不 全或要求对已有资料进行检验等原因，提出了约束矩阵方程问题，此时通常分为 两种情形进行讨论：第一种是根据已知矩阵的有关信息( 其中包括实际测量所得 的数据以及理论上的要求等) ，即矩阵的约束条件，确定一个矩阵集合s ，目的 是研究该矩阵集合非空的条件，矩阵集合的性质以及集合元素的一般表达式等； 另一方面，由实验所得数据生成的矩阵j 不满足矩阵结构等要求，要求对其进行 校正，在矩阵集合s 。中求与矩阵a 最接近的矩阵爿，使得校正后的矩阵a 满足 西北小i k 大挚顾上学位论文 瓤蓐缝秘等要求；第二季申是结毒毒模型掺正等实鼯阉题中，已躲短簿逶露耄实验绘 出，一般难以保证矩阵方程有解，此时转而求矩阵的f r o b e n i u s 范数最小剩余解， 即最d , z - 黎解，并对饴定矩阵避行校正 约素楚薄方程嗣题磷究静淘容包括：闷瑟瑟可解牲( 郄阚题可解静条件，如 必要条件，充分条件以及充要条件) ；解集合的性质，包括解集合的结构、性质， 鳃集台的发达式，鼹集台中对绘定矩阵f l 奄最佳遥近勰等；数镶方法( 氛矮稳造竭 颓豹解) 等 本文分别从递推算法与直接计算两个不同的角度研究约束矩阵方摆问题第 二章鹰签p e n gy a x i n 磐 1 , 4 7 1 懿惑怒方法，稳臻递箍簿法隶瓣嚣类矩箨方程静蒋豫 解，该算法0 i 仅能够用于解的存在性判断，而且能够用于解的计算；第三三、四章 借助奇异馕分解、标凇相关分解以及广义奇异值分瓣等分别讨论对称正交反对秣 艇阵、反对称正交反对称矩阵以及反弱称正交对称矩阵的约涞矩阵方程的有关问 题具体安排如下： 第二露，营先礤究了矩辫方程x + x b = f 澍豁鼹懿递攘算法，该算溱不 仅能够用予对称解的存在性判断问题，而且当对称解存在时，也能够用于对称解 的计算问题选取特殊的初始矩阵时，该算法还能够得到矩阵方程的极小范数对 称麓；随螽讨论了耀簿方程a x b = c 反羽称解静邀稚算法 第三奄，首先通过讨论对称正交反对称矩阵的结构，研究了线性约束下矩阵 方程a x = 霹蕊对稔正交反对穆解，绘出了鼹黪一般表达式毂最佳逶遥瓣蔻戆簿； 接着给出- 2 线性流形上矩阵方程a x = b 的对称芷交反对称斑阵反问题的最小二 乘解，以及最佳逼近问题的锵；利用标凇桤关分解又讨论了短阵方程a t x a = b 戆薄穗歪交反对豫最小二乘群；蓬磊讨论了线毪流形上矩障方程a x = 嚣煞爱愆 称正交反对称矩阵逆特征值嘲题；最后给出了矩阵方程a 1 x a = b 的反对称正交 反对称最小二乘解的一般表达式 第图章，首先讨论反对称正交对称矩阵的结构，研究了线性约束下矩阵方程 a x = b 脊反对称正交对称解的充要条件，给出解的一般表达式及最馒逼近问题 熬簿；接饕讨论谨绞索下反对称正交澍称矩簿瓣最佳遥远阕熬；裁弼广义奇买 蠹 分解又讨论了线性约束下矩阵方程a x a = b 的反对称正交对称解：髓后讨论线 性流形上嫩阵方程a x = b 的反对称正交对称矩肄发问题的黢4 - 乘解；最后绘 滋线性流澎上矩簿方程a x a = b 致反辩称歪交对称最小二聚解靛一般表达式 1 。3 记号、定义 用r “”( c ) 袭示n m 实( 复) 矩阵集合：o r ”表示h 阶正交矩阵集合； s r ”表示月阶对称矩阵集合；a s r ”袭示珂阶反对称矩阵粜台；4 + 袭示矩阵a 豹m o o r e - p e n r o s e 邋；表示甜阶单位籁阵，鼻表示毛戆第i 确，矗= 弛，气m 3 西北j ，业大学顼上学位皓文 - ，p 。 表示n 阶次单位矩阵；实矩阵a = ( d 。) 与b = ( 6 。) 的内积定义为 ( 4 ，b ) = t r ( b 1 4 ) = e o ：z i = i a o b 。由此导出矩阵的f r o b e n i u s 范数归0 = 板瓦面； 爿与b 的h a d a m a r d 乘积记作a b = ( 口b 。；a ob 表示矩阵a 与b 的 k r o n e c k e r 积；r ( 4 ) 表示矩阵4 的值域 下面给出几类特殊矩阵的定义，第三、四章的讨论主要围绕这些矩阵展开 若p r 满足p 1 = p ，p 1 p = i 。，则称p 为n 阶对称正交矩阵 定义1 3 1 设a r ”，若a 1 = a ，( 只4 ) = 一p a ，其中p 为h 阶对称正交 矩阵，则称4 为关于矩阵p 的”阶对称正交反对称矩阵，记n 阶对称正交反对称 矩阵的全体为s a r ； 定义1 3 2 若a = ( a 。) r “”满足a 。，= a ，。= 一日h 扎。+ 1 ( f ，j = 1 , 2 ，”) ，则称 a 为对称次反对称矩阵，记”阶对称次反对称矩阵的全体为s a r “” 定义1 3 3 设a r ，若a 1 = 一a ，( 刚) 1 = p a ，其中p 为n 阶对称正交 矩阵，则称a 为关于矩阵p 的n 阶反对称正交对称矩阵，记n 阶反对称正交对称 矩阵的全体为a s r ： 定义1 3 4 若a = ( a 。) r ”满足口。= 一口f ，= a h 扎。“( f ，= 1 , 2 ，月) ，则称 a 为反对称次对称矩阵，记n 阶反刘称次对称矩阵的全体为a s “ 定义1 3 5 设a r ”，若a 1 = a ，( c a ) = p a ，其中p 为n 阶对称正交矩 阵，则称4 为关于矩阵p 的n 阶对称正交对称矩阵，记竹阶对称正交对称矩阵的 全体为s r ； 定义1 3 。6 菪a = ( 盯d ) r 满足a = a = a 扎。+ i ( f ，= 1 , 2 ，n ) ，则称 4 为双对称矩阵，记 阶双对称矩阵的全体为b s r “” 可以证明，若p = j 。，则s r ；= s r “”；若p = 1 。，则s a ；= b s r 定义1 1 3 7 设a r ，若a 1 = 一a ，( 似) 1 = 一p a ，其中p 为n 阶对称正 交矩阵，则称a 为关于矩阵p 的h 阶反对称正交反对称矩阵，记疗阶反对称正交 反对称矩阵的全体为a a r ； 定义1 3 8 若a = ( 。) e r 满足口。= 一a ，= 一口。+ i 十( f ，= 1 , 2 ，n ) ，则 称a 为双反对称矩阵，记n 阶双反对称矩阵的全体为a b s r ” 可以证明，若p = j 。，则a a r ；= a s r ”；若p = i 。，则a a r ；= a b s r “ 幽北工业大学硕上学位论文 第二章求解两类矩阵方程问题的递推算法 本章讨论求解两娄矩阵方程问题的递推算法： 1 矩阵方程4 x + x b = f 对称解的递推算法 2 矩阵方程a x b = c 反对称解的递推算法 2 1 矩阵方程爿x + x b = f 对称解的递推算法 矩阵方程a x + x b = f 的可解性问题已经得到解决1 4 , 1 9 , 2 1 , 2 8 , 5 3 , 5 4 ，但许多工 程技术中的问题( 如力学、物理及控制论等) 往往要求矩阵x 是对称的，本节 借鉴文献 1 ，4 7 的思想方法，考虑以下问题： 问题2 1 1 给定a ，占，f r ”，求x s r ，使得a x + x b = f 问题2 1 2 令s z 表示问题2 l 1 的解集合，求x + s e ，使得0 x + 9 = 恕l | x 9 2 1 1 求解问题2 1 1 的递推算法 基于文献 1 ，4 7 的思想方法，构造求解问题2 1 1 的递推算法如下： 第一步：任意选取初始矩阵x s r “”，计算 月i = f a x l x i b ，m = a t r l + 置b ，n l = 去( 吖i + 肘j ) ，k ：= 1 第二步：令 却黯m b ， 第三步：计算 r + l = f a s k + l x b ，m = a 皿“+ r + l b 7( 2 1 2 ) k ，鼍1 嘲卜背m ( 2 1 - 3 ) r k + = 0 ，或者b 。0 但m + 。= o ，停止 否则，令k ：= k + 1 ，转向第二步 显然，n k s r “，x 。s r ”( 七= 1 , 2 ，) 下面讨论该算法的基本性质， 并证明计算过程在有限步之后停止 定义2 1 1 i 爱p , q r ，5 若：t r ( p 7 q ) = 0 ，则称p 与q 正交 引理2 1 1 瞪0 】设p r ，q e r ，贝1 t r ( p 7 ) = t r ( p ) ，t r ( p q ) ：t r ( q p ) 西北d i k 火学顾上学 、7 沱文 _ _ - _ _ _ _ - _ 一 性质2 , 1 1 对于递推算法中的矩阵r ，m ，和_ 】v ，有 t r ( r a , + l r j ) = t r ( r 飞卜黯t r ( 删 证明由式( 21 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 13 ) 和引理2 ，11 可得 t r ( r ；t l r ，) = t r ( f - a x 一x 占) 1 r ， 训f 叫即器r2 划+ 衙r 2 m 甜 = t r 【( f 一正a i x 。x 。b 、，t r ，- 1 i i i r 。i 矿1 2 ( 爿。+ 。b ) 1 r ，】 一t r ( 一, , t r ，、_ i i r , i p 2 ? a t r j + b t n 州删户踟研( a t r ；+ r j 叻h 帆卜器加 性质2 1 2 设t 2 ，对于递推算法中的矩阵e 和，有 t r ( 且j 剐= 0 ，t r ( n , 1 n j ) = o ( 埘，j = 1 ，2 ，2 ) ( 2 _ 1 4 ) 证明采用归纳法证明对于k = 2 ，由性质2 1 1 可得 郴酬旧r 一器州。华) _ 1 限r 一黯忡i ) _ 。 似一t r c c 华一背小【】 叫华m 一背州w = t r ( 型学) _ l r ( 掣1 ) _ 。 假定k ：s o 2 ) 时式( 2 1 4 ) 成立，则当k = s + l 时，由式( 2 1 3 ) 及性质2 1 1 可得 郴。tq m 驴黯弘忙州2 。黯叫幔， 西北工业大学坝土学化呛文 钏删2 黯州j 丝专墼h 陋酽一丽i i r g - 研帆+ 爱斧， 刊酬_ 黯昧溉，+ 背c 啦! ) j 锄显讳2 一黯州w 蛾t 蝴叫( 半一帮蝣辑】 叫坠笋黝一帮蝌醐 拄【丝丛婪螋】一域甄+ ；致) = o 嘁t 划强锻t ，一糌髓， 一器蜓爆华卜黯删弘。 对于= 2 , 3 ，s 一1 ，有 似站曩h 一黯t 帆卜器叫m 华， 一黯删_ + 箭， 一黯垛哪+ 裂c 帆舻。 对于歹= 1 , 2 ，s - 1 ，有 吣叫( 半一锴硝哆】 叫华”一帮州黔帆+ i n j ) = t r ( ， = 黔c 蛳瑚洲肛豁赋峨铲c 酶瑚枷 西北工业夫学硕上学位沦文 t r ( r j r ) = t r ( r ：。r j ) = 0 ，t r ( n 7 n 。) = t r ( 二n ，) = 0 ( ，= 1 , 2 ，j ) 因此，式( 2 14 ) 对k = s + 1 成立由归纳法原理知，式( 2 1 4 ) 成立口 性质2 1 3 假定x 是问题2 1 1 的任意一个解，则 t r ( x x 。) x d = i i r 。1 1 2 ( a = 1 , 2 ，) ( 2 1 5 ) 证明采用归纳法证明易见x ，x 。( = 1 , 2 ，) 均为对称矩阵对于k = 1 ， 由引理2 1 1 可得 t r ( x x 1 ) ， = t r ( x x ；) 掣 = t r 【( x x ，) 吖| = t r ( x x 1 ) ( 一1 墨+ r i b 7 ) = t r ( x x 1 ) 爿7 r i + ( x x 1 ) 胄l b 7 】 = t r a ( x x 1 ) i t r i + r i 【( x x 1 ) b 】7 = t r a ( x - x 1 ) + ( x x 1 ) 占 1 r 。 = t r ( a x + x b ) 一a x - 一x t 占 t r i = t r ( f 一4 x t x 。曰) 7 焉 = t r ( r i r ) = i i r r 即t r ( x x ) 7 、r 1 】= i i r ，旷假定k = 5 0 2 ) 时式( 2 1 5 ) 成立，则当k = s + l 时，由 式( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 及引理2 1 1 可得 傅爿“w 卜埘c n 卜黯班， 刈x x m 卜川l i n g lt f f n n 、- i i 置，i i2 一丽i i r v i l 2 州m ) = 。 叫啤“w “h 小n c 堕学一亟静产， 刊叫“州一背娟n 剐仆t r ( n 】 = t r ( x x ) ( a 1 e + t + r + l b l ) _ t r ( x - x ) _ 7 r + ( x k + i ) e + 【b 7 = t r a ( x x ) + ( x x ) 四 7 r 。 = t r ( a x + x n ) 一月x 。+ l x ，+ i 丑】7 r ，十1 ) = t r ( f a x 一x b ) 1 r 。 = t r ( r 。r 墨+ ，) = i l r 。r 由归纳法原理知式( 2 1 5 ) 成立口 西北工、i k 大学颁l 学位沦文 定理2 1 1 若问题2 1 1 相容，则对任意的初始矩阵x s r ”，问题2 1 1 的解均可在有限步计算之后得到 证明 若r ，o ，由性质2 1 3 知相应的n 。o ( j = 1 , 2 ，1 , 2 ) ，按照递推算 法得到x 和r 1 ，结合性质2 1 2 知 t “肆+ i 置) = 0 ，t r ( r , t r ，) = 0 ( f 川，= 1 ，2 ，n2 ) 故g i 胄：，g 。：是矩阵空间r 中的一组正交基，这就意味着r = o ，从而 一，是问题2 1 1 的解因此问题2 1 1 相容时，其解最多在n 2 步计算之后得到口 定理2 1 2问题2 1 1 不相容的充要条件是存存正整数女，使得由递推算法 得到的g k 0 ，而n k = 0 证明充分性若存在正整数，使得r k 0 ，而n 。= 0 ，则递推算法不能 进行下去，由定理2 1 1 可得，问题2 1 1 小相容 必要性问题2 1 1 不相容意味着对任意正整数f 均有冠0 ，由性质2 1 3 知相应的n ，0 按照递推算法得t ：+ ，和n ，结合性质2 1 2 有 t r ( ：+ l ) = 0 ，t r ( n f n , ) = 0 ( j t ；s ，扭1 , 2 ，月2 ) 故，：，n ：是矩阵空间r 中的一组正交基，这就意味着n ：，= 0 ，由性 质2 1 3 知r ，+ ，= 0 ，从而x 就是问题2 1 ，1 的解，这就与问题2 1 1 不相容矛 盾因此，必存在正整数t ，使得由递推算法得到的r o ，而。= o 口 2 1 2问题2 1 2 的解 引理2 1 2 5 0 1 若方程组m y = b 相容，则惟一极小范数解r ( m 7 ) 定理2 1 3 设问题2 1 1 相容，取初始矩阵x 。= a 1 汀1 + 日7 曰7 + b h 十h a ( h r “”) ，则按照递推算法可在有限步计算后得到问题2 1 1 的极小范数对称解 证明由递推算法和定理2 1 1 知，若取x = a 7 h 1 + h 1 占7 + 朋+ h a ( 任 意h r ) ，则在有限步计算之后得到矩阵方程a x + x 8 = f 的对称解x 。，由 q 西北d i k 人学硕上学何隆文 数学归纳法可以证明x + = a 1 y 1 + y 7 8 1 + b y + y a ( y r “”) a x + x b = f ，b 1 x + x a l = f 1 ( 2 1 6 ) 若问题2 1 1 有解z s r ，则z 1 = z ，a z + z b = f ，并且b z + z a 7 = f 1 ， 因此，方程( 2 1 6 ) 有解z 反之，若方程( 2 1 6 ) 有解z r ，即a z + z b = f ， b t z 十z a t ：矿令z 0 ：2 竺，1 j z o s r ，并且 爿a o + 五b = 尹1 ( z + z t ) + ( z + z t ) b = i f 十( f ) 7 = ， 因此，z 。是问题2 1 1 的解综上，问题2 1 1 有解的充要条件是方程( 2 1 6 ) 有解， 且问题2 1 1 的解必是方程( 2 1 6 ) 的解记方程( 2 1 6 ) 的解集合为s ：，则s 。c s ： 为证明x 是问题2 1 1 的极小范数对称解，只需证明x + 是方程( 2 1 6 ) 的极小范 数解，记v e c ( x ) = x ，v e c ( x ) = x + ，v e c ( y 7 ) = y l ，v e c ( y ) = y 2 ，v e c ( f ) = ， v e c ( f 1 ) = ，则方程( 2 1 6 ) 等价于 僻a i 川+ i 。固b 爿t x = 匕 ， 注意到 x + = v e c ( a 7 y 1 + y t b l + b y + 黝) = ( _ 70j r + j o s ) y l + ( 丑0 ，+ j o a ) y 2 = 僻，篇) 晗加l b + 。川i + i 训圆a 1 t j 由引理2 1 2 知x + 是方程( 2 1 7 ) 的极小2 - 范数解，因为算子v e c 是同构的，所以x + 是方程( 2 1 6 ) 的极小f - 范数解，从而x 是问题2 1 1 的极小f - 范数对称解口 应用本节构造的递推算法，对任意初始矩阵x s r “”，若存在正整数k ， 使得r k 0 ，而i = 0 ，则问题2 1 1 不相容，即矩阵方程a x + x b = f 无对 称解：若问题2 1 1 相容，则对任意初始矩阵x s r ，均可在有限步计算之 坐些查：! ! 竺皇! ：| = 笪堕塞 后得到问题2 1 1 的解x s r ，特别地，取x l = a r h + h 1 8 7 + b h + 删f 任 意日r ”“) ，可求得问题2 1 1 的极小范数对称解x t 2 1 3 数值算例 例2 1 1 用本节提出的 数对称解( 终止准则= 1 ，0 e a = 1 9 9 24 2 26 4 26 6 递推算法求矩阵方程a x + x b = f 的对称解、极小范 1 0 ) ，其中 r2 02 4 2 0 3 07 73 6 2 69 阵x 。s r “和有关计算结果如下： ，x 1 2 = 矩阵方程a x + x b = f 的对称解 11 2 7 l1 2 72 7 3 0 2 70 5 6 10 2 12 5 8 x + x 1 2 ( 2 ) 求极小范数对称解初始矩阵x ，= a r h 7 + h 7 8 7 + 肼+ h a 和有关计 算结果如下： f 54 1 2 、f 1 o 3 0 h 2 l 1 4 3 - 一2l ，x 。= 3 01 1 l一。0：37。011：3173 i ” l 一一 l 一2 1 34 jl 0 1 92 6 2 一o 7 0 1 1 3 1 3 7 一 一2 3 8一 取h = d 0 1 9 1 2 2 6 3 2 8l ，i i 胄。，u = 1 8 5 e 一1 1 0 6 2j 得矩阵方程删+ = f 的极小范数对称解x ax ：= x ”，且忱2 i i = 1 8 7 e 一1 1 例2 1 2i a = 寸论矩阵方程a x + x b = f 是否存在对称解 f 9 1 2 f 6 - 11 1 2-3-2 l ，b = l2 7l i ， 1 1 4 1 j1 3 3 8 j 终止准则同上例- 取x 。= o ，计算得4 。忙4 9 1 p 一1 1 时，l 恤。6 = 1 6 42 ，根据定 理2 1 2 知该矩阵方程无对称解 t 4 = 丑 、0， 3 6 9 2 5 2 6 4 o 3 2 2 5 一 i l ， 、， o 3 3 l p592 = 2 品 、1，f h 铋铊船n 幺五吼 一 一 7 6 8 2 2 5 3 4 0 o 3 2 糍乱叫引刮 黼 ：，：o 视 ，32 轧 一 稀 o。， 对 ，o_2 求 ， 一 、 ， = u 一 扒j纠 o 2 驺拼之 0 3 o 3 l 1 一 ，。，。l i l f 西北上、l k 人学硕上学位论文 2 2 矩阵方程a 凇= c 反对称解的递推算法 上一节讨论了求矩阵方程a x + x b = f 对称解的递推算法，该算法不仅能 够用于对称解存夺性的判断问题，而且当对称解存在时，也能够用于对称解的计 算问题选取特殊的初始矩阵时，该算法还能够得到矩阵方程的极小范数对称 解本节讨论求矩阵方程a x b = c 反对称解的递推算法考虑以下问题： 问题2 2 1 给定a r ，b r