（应用数学专业论文）rn上pqlaplace型椭圆方程的非平凡解的存在性.pdf

摘要 本文研究r 上p g l 印z o c e 型的非线性椭圆方程： j 一p t + n ( z ) lu l p 一2t 一口t 正+ 6 ( z ) iui g 一2t = ，( z ，u ) + 9 ( z ) ，z r l 钍形兰w 1 p ( r ) n 1 ，。( r ) ( ) 的弱解的存在问题，其中1 0 ，其中m 、n 为常数，则问题( ) 至少存在一个非平凡弱解( 见定理1 1 2 ) ，该 结果推广了文献【3 6 】中关于p l n p z n c e 型方程的相似的结论并且我们还证明 了当厂0 ，) 总体上满足定理1 1 2 给定的条件时，存在一个常数c 0 ，使得当 l l9 队 c 时，问题( ) 至少存在两个非平凡弱解( 见定理1 1 5 ) ，该结果推广了 文献【9 】中关于p l 叩l o c e 型方程的相似的结论由于我们所给的，( z ，t ) 的条 件较文献【9 】中的更弱，所以我们的结果定理1 1 5 即使在p g 时，也比文献 9 1 中的结论更好 关键词：p g 一三叫础算子；存在性；非平凡解；两个解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w e8 t u d yt h ef o n o 丽n gn o i l l i n e a re m p t i ce q u a t i o no fp g 一 三印2 口西o n 勺憎eo n 础v ： ， j 一p 让十口0 ) lui p 一2t 暑一口让+ 6 ( z ) i 让1 9 吨让= ，( 奶让) + 9 ( z ) ，z r lu 三1 p ( r ) nw 1 ，9 ( r ) ( ) w h e r el 0f o rs o i n ec o 璐t a n tm 、佗，t h e nt h ep r o b l e m ( ) h a sa tl e 鹬t o n en o n t r i 访a lw e a ks o l u t i o n ( s e et h e o r e m1 1 2 ) ，酽n e r a l i z i n gas i m i l 缸r 豁1 l l tf o r p 一工印z o c et y p ee q u a t i o ni nf 3 6 】a l s o ，w ep r o v e dt h a tu n d e re s s e n t i a l l y t h es a m e a s s u m p t i o n so n ，( z ，亡) a st h a ti nt h e o r e m1 1 2 ，t h e r ；i sac o n s t a n tc 0 ，s u c h t h a ti f i lgn c ，t h e nt h ep r o b l e m ( ) p o s s e s 8 e sa tl e a s tt w on o n t r i 讥以w e a k 8 0 1 u t i o n 8 ( s e et h e o r e m1 1 5 ) ，g e n e r a l i z i n gas i 谢l 盯r e s u l ti n 【9 】f o r p 一二叫拟口n t y p ee q u a t i o n s i n c eo u ra s s u m p t i o i l so n ，( z ，t ) a r ew e a i ( e rt h a nt h a ti n 【9 】， t h e o r e m1 1 5i sb e t t e rt h a nt h em a i nr e s u l ti n 【9 】，e v e ni fp = q k e 可钮d r 矗s ：p q 一三n 叫。反n 竹；e x i s t e n c e ；n o n t r i v i a ls 0 1 u t i o l l s ；t w os o l u t i o n s i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：芬鲤 日期：撕，辟扣汐日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：挈堡 叟 日期：加擀步月嘲 导师签名： 荟堂巷要 日飙心月2 1 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。圃童途塞握变卮进卮! 旦圭生；旦二生；旦三生筮查! 作者张粤造 神叛巷乒) 名 日期：跏肛步月潮日期：的 够月z 1 日 第一节引言 本文研究r 上p g l 印z 口c e 型的非线性椭圆方程： i 一p 乱+ n ( z ) lt 正l p 一2u 一q t 正+ b ( z ) lt l 口一2t = ，( z ，t 正) + 9 ( z ) ， z r lu 三1 护( r ) n 1 ，9 ( r ) ( 1 1 ) 的弱解的存在问题，其中l o ，使得( p s ) 条件得以验证 在有界区域上，当，( z ，t ) 具有一1 ) 超线性时，运用s o b o l e v 嵌入定理、 标准“凸紧”方法及山路引理，可证明方程( 1 3 ) 和( 1 4 ) 有非平凡解( 见文献 【2 】) 在r 上，方程( 1 ，3 ) 和( 1 4 ) 非平凡解的存在性问题就变得困难了因为 r 的平移不变性和旋转不变性，导致s o b o l e v 嵌入失去紧性为了克服这一困 难，在过去的几十年中，已出现了各种不同的方法例如，当厂( z ，t ) = ，( 舌) 或 ，( z ，) = 确zi ，) 时，文献【6 】f 3 2 】运用径向对称的s o b o l e v 空间来研究方程 ( 1 3 ) 文献f 2 6 】f 2 7 】【2 8 】运用集中紧致原理和约束极小值理论来研究方程( 1 3 ) 文献 2 4 】【3 6 1 运用集中紧致原理和山路引理来研究方程( 1 4 ) 更多的信息见文 献【1 6 】【8 】【1 3 】( 1 5 j 1 8 】【2 0 1 【2 2 】- 3 4 】【3 6 1 ( 3 8 】 在有界区域上，当，( z ，乱) = 幻( z ) fui 了q 牡时( 其中1 p ，y g ， 7 矿当p o ，夕( z ) 兰。时，文献【17 】证明了方程( 1 1 ) 存在 一个非平凡解 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 本文的主要目的之一是研究如下方程： 的非平凡解的存在性问题，其中1 口p o ， i z l + 十。0 。 m e 口s z 已：，( z ，t ) 厂( t ) ) o ( ) 对任意的t o ，。一1 ) ，( t ) 0 是单调不减的 ( 矗) ，( z ，亡) 满足a i n b r 0 8 e t t i - 王乙如i n a 而t z 条件：存在p o ，使得 。砟，札) 三z “他 s ) d s 南m ，咖，( 圳) r r + 3 妨八 l i r 、 u r i 义 卅肌 n一 卜 h 叫川 一 u ，iij(、【 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 我们称u 兰1 ，p ( r ) nw 1 ，9 ( r ) 是方程( 1 5 ) 的一个弱解，若对任意 的u ，有 力v 计。2v u v 州t t i p - 2 让州v up v u v 川钍i p 2 删如= m m 口如 晶晶 ( 1 6 ) 设条件( ) 一( ，5 ) 成立，易见方程( 1 5 ) 的能量泛函 j ( 仳) = 三厶( iv 札i p + i 牡l p ) 妇+ 考上( 1v u l g + lu l 口) 如一上f ( z ，乱) 如 ( 1 7 ) 是定义在w 上的c 1 泛函 由条件( ) ( 厂2 ) 知，对任意的z 缺，厂( z ，0 ) = o 所以缸兰0 是方程( 1 5 ) 的一个平凡解 为了叙述我们的主要结论，以下设条件( ) 一( 五) 成立 首先考虑方程( 1 5 ) 对应的“无穷远处”的问题： ：裂篙蒿耥簖一弛l 蜒掣 m 8 ， i 钍兰w 1 ，p ( r ) n 1 ，9 ( r ) 、。 方程( 1 8 ) 相应的能量泛函是： j 0 0 ( 珏) = 三上( 1v 让l p + | 珏n 如+ 言上( iv u i a + lu i 口) 如一上户( 珏) 如 ( 1 9 ) 其中f ( u ) = 灭s ) d s ，厂( 牡) 由( ，4 ) 给出易见，在条件( ) 一( ，5 ) 下，o 。 c 1 ( 彬r 1 ) 定义： a = 让彤：( ，( u ) ，u ) = o ，”o ) ， 其中( ，) 是w 与其对偶空间之间的对偶运算，j 是f r e c h 乱导数因为 人0 ( 见第二节) ，类似于文献【3 4 1 【2 3 】，我们定义如下极小问题： j = i n f j ( u ) ：t 人) ( 1 1 0 ) 称t a 是方程( 1 8 ) 的一个基态解，若j = j ( u ) 显然当条件 ( ) 一( ，6 ) 成立时，若j = j ( 仳) ，则让是方程( 1 8 ) 的一个弱解 对于方程( 1 8 ) 和( 1 5 ) ，我们有下面的结果： 定理1 1 1 设( ) 一( ) 成立，则j ” o ，且存在磊w ，冠( z ) o ，使 得j ”= j ( 云) 且尸( 豆) = o 即方程( 1 8 ) 有一个基态解 定理1 1 2 设( ) 一( ，6 ) 成立，则方程( 1 5 ) 有一个非平凡的弱解 方程( 1 8 ) 和( 1 5 ) 的解是其能量泛函，o 。和j 分别对应的临界点为了对 ，一和，应用临界点理论，我们需要，”和，在上是c 1 的，由条件( ) 一( ，6 ) 可以保证这一点因为由( ) 一( ) 知，v o ，ja 0 ，s ，矿) ，使得 由( ) 知： l ，( z ，t ) l ei ti p 一1 + a t1 8 ， ( z ，亡) r r ( 1 1 3 ) i ，( t ) sfl 古l p 一1 + a 亡1 8 ，p ，1 ) r r ( 1 1 4 ) 为了应用集中紧致原理，条件( ，4 ) 是必要的( 见文献( 3 6 】【1 7 】【2 3 j ) 为了保 证a 是一f i n s l e r 流形，条件( ) 是必须的对于超线性问题，为了保证，。和 ，的每一个( p s ) 。序列在中有界，条件( ，6 ) 是一个标准的条件 本文中条件( ) 一( ) 是标准的，但与文献 2 3 】和【1 7 】中的条件略为不同 在文献【2 3 】【l7 】中，( z ，t ) 在t 一十o o 时趋近于垆，可见条件( ) 是不成立 的定理1 1 l 和定理1 1 2 推广了文献【3 6 】中关于p 一三印z 口傥型非线性椭圆方 程的主要结果 我们主要运用文献f 2 3 】 3 6 中的方法来证明定理1 1 1 和定理1 1 2 为了 证明定理1 1 l ，类似于文献【2 3 1 我们首先证明j o ( 见引理2 1 0 ) ，然后由 5 e k e l a n d 变分原理得到j 一个的极小化序列，该序列的弱极限达到j 然而 由于p 和g 一工0 p 2 0 c e 算子的同时出现，详细的分析是必要的 为了证明定理1 1 2 ，我们首先证明当c ( o ，) 时，似) 满足( p s ) 。条件， 其次运用没有( p s ) 条件的山路引理得到j ( t 1 ) 的一个( p s ) 。序列，这里c 是山 路引理的水平值： c 2 藉警讹) ， 一r ru 1 、 其中r = ，y c ( 【o ，1 】，) ：，y ( o ) = o ，7 ( 1 ) = t o 仳o ) 是连接。和u o 的连续 道路的集合，这里札。是由定理1 1 1 所得到的方程( 1 8 ) 的基态解，亡。使得 j ( t o 牡o ) o ，6 ( z ) 6 o 的情形 本文的另一主要内容是研究方程( 1 1 ) 至少两个弱解的存在问题因为当方 程( 1 5 ) 的非平凡解的存在性得到以后，方程( 1 1 ) 是否存在多解就成为一个很 自然的问题当p = g = 2 ，( z ，t ) = lt1 5t ，2 1 时，文献 1 4 】【3 7 】中 的方法不能直接运用到的方程( 1 1 ) 当p = 鸟 1 ，( z ，) = q ( z ) iti 驰- 2 亡 时，其中p 口1 口2 g m o ，使得对任意的z 玻， a 口( z ) p ，a 6 ( z ) 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( a 2 )存在a ，5 r 1 ，使得 。举m 口( z ) = 西，草m6 ( z ) = 6 ， m 一、 。 l z i o o 、 。 且对于任意的z r ，口( z ) 五，6 扛) 5 ，同时 m e 口s 【z r la ( z ) o ，存在g 0 ，有 l 爰( ，o ，亡) t ) l el 亡i p l + gi 亡i 。一l ， ( z ，亡) 酞r 1 下面是关于方程( 1 1 ) 至少存在两个解的主要结论 定理1 1 5 设( ) 一( ，7 ) ，( a 1 ) ，( a 2 ) ，( g ) 成立，则存在c = c ( ，p ，口) o ， 当i i9 c 时，方程( 1 1 ) 在中至少存在两个解 很明显，函数，( z ，) = q ( z ) l 亡l q t 一2t ( p g l q 2 9 3 o ，则存在序列 圾) ，t 七一l ，使得面k = “让七人 然而在本文中，类似于文献【1 7 】，在相同的条件下，我们证明存在某个序列 缸 ，且如叶1 ，使得诹= 珏奄( t 七z ) a ，而这种方法只需要，( z ，t ) 满足条件 ( ) 一( 办) 即可，不需要其它任何条件由此可见，定理1 1 5 即使对p = q ，也 较文献【9 】中的主要结果更好些 在本文中，我们用标准的记号 定义= w 1 ，p ( r ) n 1 ，9 ( r ) u w 的范数定义为： i l 缸o = ( iv 札i p + iui pd z ) ；+ ( lv ul 。+ it l 。d z ) j t ，r “j r “ 易见w 是一个自反的、可分的b a n a c h 空间彤+ 为w 的对偶空间，且彬4 中 的范数定义为i l 忆u ( r ) 的l 3 一范数定义为l i 乱i | s w 1 ，8 中的范数为 ”1 1 1 。，且u n 一让( 一乱) 表示仳n 在相应的函数空间中的强收敛( 弱收敛) c 表示一般的正常数除非特殊说明占k ( 勋) 表示在f 上球心为z o ，半径为r 的球，且b r = b r ( 0 ) 本文第二节给出一些初步的结论，第三节证明定理1 1 1 和定理1 1 2 ，第四 节证明定理1 1 5 8 第二节初步结果 本节中，我们给出一些初步的结果，这些结果将在以后的证明中用到 设条件( ) 一( ) 成立，则对任意的e o ，存在q o ，s 0 ，矿) ，使得 i ，( z ，t ) i eitl p 一1 + al 亡1 8 1 ，( z ，亡) 碾r ( 2 1 ) 由( ) 知： l ，( 亡) l el 亡i p 一1 + c ：lt1 8 ， ，) r r ( 2 2 ) 所以对任意的e 0 ，存在饺 o ，使得 i f ( z ，t ) l 0 是一个常数 易见如下泛函： j ( u ) = 刍上( iv ui p + iu | p ) 如+ 昙上( 1v 让i g + l 钍l g ) 出一上f ( z ，u ) 如， ，。( 乱) = 三上( 1v 缸i p + 缸n 出+ 考上( iv 钍1 9 + l 铭n 如一上尹( 钍) 出， 9 满足j c 1 ( m r l ) ，p c 1 ( 彬r 1 ) ，且对任意的u ，u w ，有 ( ，7 ( t ) ，”) = iv 让i p _ 2v u v 舛iu | p - 2u 口出+ ，r lv 乱1 2 2v t v ”+ i 牡1 9 2t t ，矗z 一，( z ，让) 暂d z ， j r - ，r ( ，( t | ) ，钉) = iv ui p 一2v t 正v u + lul p 一2 “u a 沁+ i ，r 上lv u r 2 v 让v 计l 让i 口- 2 伽如一上灭u ) u 出， ( 2 6 ) ( 2 7 ) 其中( ，) 是形与其对偶空间。之间的对偶运算，j 是r e “t 导数 很明显如下结论成立 引理2 8 令 风) cl 1 ( r ) 是一有界序列，且m o ，则存在一子序列仍 记为 m ，使得下面两个结果必居其一： ( 1 ) ( 消失) ：对任意的。 r o ，o 兄 。 引理2 9 ( 消失引理，见文献【2 8 】) 令1 7 + 。o ，1 一y 1 ，有 ( 亡) = 护上( 1v u 。i p + i 撕l p ) 如+ 垆上( 1v 1 9 + i 钍。1 9 ) 出一厶，( t 让。) 亡咖出- ，r ，r - ，r s 舌p ( 1v 蜘l ，+ f 铷l p + lv 让oi 。+ i 锄1 9 ) 如一0 + p ) ，( 舌咖) 如 j r rj r n 俨a 一俨+ 一c + 口) l 让ol p + 口出， 其中a 是一正常数故当t _ + o o 时，危( t ) 一一o 。 另一方面，对任意的 t 。) 且t n _ o + ，由( ) ，( 2 3 ) 和控制收敛定理知， 。l ，学如：o ， l + o o ，r r 兹 所以存在t 0 ，使得 h 0 ) 垆 lv 咖 p + i 乱ol p6 b 一，( 亡缸o ) 亡t 幻6 b ，r ，r 叫上iv 训p + l 训p 如一上笔磐删，r ，r 旷 0 所以由h ( t ) 是关于t 的连续函数知，存在t o ( o ，o 。) ，使得 ( 如) = o 即：t o 乱o 人所以a d 令 j 。= i n f ，( u ) lu a 引理2 1 0 设( ) 一( ) 成立，则j o 证明：对任蒽的u a ，由( ) 知： 州垆扣ul l p 护+ 扣ul l q 扩上肌) 妇 三上iv 让l p + i 牡i p + iv 钍1 9 + i 让1 9 如一上尹( 乱) 出 兄砷肚一南上翮u 出 = ( 三一南) 上m z = ( 三一南) 上l v ui p + iu ”iv ui g + 口d z o ( 2 1 1 ) 因为i n f ，o o ( u ) i 让人) = j ”所以j ”o 另一方面，由( 2 1 1 ) 知，存在常数c 0 ，使得 c 泌州u ) 言厶弛) u 如一上讯) 如 0 足够小所以 d i lu 帷p ai l 仳雌，p 这就推出存在某个常数c 0 ，使得 c 剑札峤i p 剑让扩p ， ( 2 1 2 ) 其中s ( p ，矿) 所以由( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 推出j o o 0 口 引理2 1 3 ( 见文献【1 3 】【2 3 】)令( e ，0 - l i ) 是一实的b a n a d h 空间，驴是其 对偶空间，设，c 1 旧，r ) 若对于q 0 ，有 m a x ) ，m ) ) a p ，则存在序列 u k ) ce ，使得当七_ + o o 时， ，( 让奄) _ c p ， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 1 + 0 札知0 ) 0 ，( 钍七) i i 一o 其中c p 定义为： c 2 瓣黼m ( r ) ) ， r r o 墨1 s 1 而r = ，y c ( 【o ，l 】，e ) ：，y ( o ) = o ，y ( 1 ) = 1 ) 是连接。和u l 的连续道路的集 合 现在我们回忆关于f i l l 8 l e r 流形的一些基本概念和结果 令x 是一b a n a c h 空间，夕l ，鲰：x _ r ，且都是c 1 的 m = z x ：珧( z ) = o ，i = 1 ，2 ，n ) ， 其中 反( z ) ) 冬。关于任意的z m ，都是线性独立的，则m 是x 的具有一般 f i n s l e r 结构的子流形，从而也是一个完备的f i n s l e r 流形对任意的p m ，在 m 中存在一个坐标邻域，微分同胚于 g ：( p ) ，炙白) ) 上，即：存在如下的直和 分解 x = 墨。印n 他 e 1 ，e n ) ， 使得在m 中存在p 的一个邻域u 和秽x 的邻域y ，且u 与y 微分同胚这 里e x ，对任意的1 i ，歹佗，满足 ( 9 ：) ，岛) = 妨， 其中幻满足：若i j ，如= o ；若z = 歹，翰= 1 对任意的茁1 x l ，l j ：讫，有 9 ：白) ，z 1 ) = o m 在p 处的切空间0 ( m ) 满足耳( m ) 竺墨( 见文献f 1 1 】) 引理2 1 4在上述的记号下，对任意的u x ，我们有 ( 够i mo ) ，丌口) = ( ，白) ，口) 一( ，o ) ，勺) ( 彰( p ) ，口) 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中7 r 是x 到弓( m ) 垡x 1 的投影 证明： 这个引理的证明隐藏在文献【1 1 】中定理1 5 的证明中 口 下面给出在f i i l s l e r 流形上的e k e l a n d 变分原理 引理2 1 5令m d 是一完备的f i n s l e r 流形若，c 1 ( m ，r ) 是下有 界的，则存在一序列 p 七) cm ，使得 南，慨) 5 盟，p ) ，是彤溉) = o 特别地，若，满足( p s ) 条件，则存在伽m ，使得 ，) 2 辫，p ) ， 够) = o 证明： 见文献【1 1 】中推论1 3 的证明 口 因为，( t ) c 1 ，在上定义的泛函 g ( u ) 三( j o o ( u ) ，u ) = ( 1v ui p + lt 正l p ) d z + ( 1v t 正l a + lui 。) d z 一 ，( u ) u d 。 ，r ，r ，r 是c 1 的 对任意的u 人，由( ) 我们知，当t 1 ，q 是r 中的个开 集，n ( z ，) g o ( qxr ，r ) 且存在q ，p 0 ，对任意的，7 r 7 7 ) ， 有 q lfl p 墨o ( z ，毒) ， io ( z ，) j l i p - 1 ， ( o ( z ，) o ( z ，7 7 ) ) ( f 一叩) o 设珏n ，让w 1 ，p ( q ) ，佗= 1 ，2 ，贝u 熙上瞰z ，v 钆n ( z ) ) 一n ( z ，v 钍( z ) ) 】( v ( 功一v 钆( z ) ) 妇= o 当且仅当v u n _ v u 于汐( q ) 引理2 1 9设，( 为t ) 满足) 一) ，执) ，则存在p o ，p o ，使 得对任意的“，满足l i 缸i i = p 时，有，( u ) p ，且存在u 1 w ，满足 l lu ll l p 时，有j ( 让1 ) o ，使得对任意的t w ，当i it 0 0 ，存在q 0 ，使得 l f ( z ，u ) 如i e0t i i p + 以l i 札旷， 其中s ( p ，矿) 所以，若l iu | l = p o 足够小，则存在p 0 ，使得对任意的铭w ，当l 让l l = p 时，j ( 札) 卢 接下来，取让o ，乱o o 且u o o ，由条件( ，6 ) 知，对任意的( z ，t ) 酞r ，有f ( z ，t ) o 令e = z r i 仳o ( z ) o ) ，则由f a t o u 引理和条件 ( ，2 ) ，有 ，密簪上掣如，罂警上掣啦 “” ，r n pn _ o 。j e 舻喵 。 上哩簪掣啦 = + 0 0 由于口p ，故对于某个常数口和6 ，当n 充分大时，有 ，( 礼珏o ) 矿8 + 礼9 6 一 f 扛，粥物) 如 刮帅6 一上掣删 1 6 固定一个充分大的7 l ，令u 1 = n 钍o ，则有j ( t 1 1 ) 0 ，我们有 i ，( 乱知) 一j o 。( u 七) is lf ，仳知) 一f ( u 知) id z j r if ( z ，t 正七) 一f ( u ) l ，b l r 三礁+ 露 如+ 以眺i f ( z ，u t ) 一f ( u 七) i 如 因为u k o 于，由s o b 0 1 e v 嵌入定理知，u 七一。于l ：0 c ( r ) ，其中 p t 0 ，我们有 i h j + 】if ( z ，u 七) 一f ( 让k ) ld z 忙1 2 r ，i “k i 6 l z i r ，6 l t 工k i 0 由引理2 1 7 知，存在一列 u n c 人，使 得 严( u 。) _ 尸， j 7 ( t ，1 ) _ 0 于+ 即： ) 是，”的一个( p s ) j o o 序列 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 我们首先证明0 “n | i c + o o 由( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，我们有 ( 三一南) 小v 训p 十j 蚶肌( 南) 加v 曲小斗 + 上【弓穴u 。) 一户( ) 】如= 户+ 。( 1 ) ， 这里以及下文中l i mo ( 1 ) = 0 由( ，6 ) 和q p p + p ，可见对某个常数c ，i i 似。l i c ，使得 u n _ 铷于玩( r ) ，p s 鹊， ( 3 4 ) u 。_ t 正o a e 于r j v ( 3 5 ) 令肪( z ) = l 珏。( z ) i p ，由上面可知 砌) 在l 1 ( r ) 中是有界的所以由引理 2 8 知，下面两个结果必有一个成立： 1 9 ( 1 ) ( 消失) ：对任意的o r o ，o r 。 如果“消失”成立，则因为0 让n0 c 。 ( 3 7 ) 令面七( z ) = 弛( z + 弧) ，则对任意的彬，有 ( j o o ( 饥) ，) = o ( 1 ) ( 3 8 ) 事实上，对任意的庐缈，令机= 咖0 一弧) ，则0 饥| | ：8 i l ，由( 3 3 ) 我们有 i ，d ( 诹) ，妨i = i ，”( ) ，机) i i lj ( 让知) 机l l = l l ，( ) l 1 l o 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s l 诹( z ) 一面( z ) 于 诹( z ) _ 面扛)于l ( r ) ，s 白，p ) ( 3 9 ) 诹( z ) _ 面扛)于l ( r ) ，s 白，p ) ( 3 9 ) i 面七( z ) _ 面( z ) a e 于r 对任意给定的叩( z ) c 字( r ) ，若叩满足os 叼1 ，且叼= 1 于b p ( o ) = z 珥ilzl p ，则由( 3 8 ) 和( 3 9 ) 推出 d ( 1 ) = ( j ( 面七) 一j ”( 豇) ，叼( 豇七一面) ) ( 3 1 0 ) 现在我们证明： v 诹_ v 面 a e 于r ( 3 1 1 ) 为了证明这个结果，令 只( z ) = ( 1v 豇知l p 一2v 证砖一iv 覆l p 一2v 面) ( v 五是一v 豆) + “v 面1 9 2v 露七一lv 矗1 9 2v 百) ( v 云七一v 面) 由于对任意的z 1 ，叩r ，且7 7 ，有 ( 1 i 一2 一i 叩1 2 27 7 ) ( 一叼) o ( 3 1 2 ) ，1 i 攀最( z ) 如= o + o oj 历 一 由引理2 1 8 及( 3 1 2 ) ，有v 饥_ v 面于上尸( 岛) 因为j d o 是任意的，则( 3 1 1 ) 成立由( 3 1 1 ) 可见 l iv 面七j p 一2v 面七- iv 雹l p 一2v 面于l i ( t ) i v 面七1 9 2v 舀七lv 面i 口一2v 豆于l 百( r ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 硕士拳位论丈 m a s t e r st h e s i s 由( 3 1 1 ) 和v i t a h 收敛定理知，对任意的西， o = 。1 i 罂( j 耐( 讥) ，砂) = ( j 耐( 面) ，妒) 特别地，取咖= 五，可知( p ( 面) ，面) = 0 由于我们已知面o ，所以百a 接下来需要证明，( 面) = j 由饥的定义和l i 饥4 c ，有 ：芸i 豸兰0 叱u a 砧：。1 ， c 3 - 5 ， i ( p 心知) ，讯) = ( p h 七) ，u 知) = d ( 1 ) 、7 由( ) 知，对任意的t r 1 ，墨当f ( t ) o 所以由( 3 1 ) ( 3 1 5 ) 和 移 f i a t o u 引理，我们有 ，o o ( 露) j 。= ，1 1 毋，o o ( 诹) 七+ + o o = 知蜘训瞪p + i i 训| q t 。) 上讹蹦z + ( 昙一却训瞪。】 疑掣誉【上【三砸蜘七一即堋d 计( 昙一却训i g ，口+ d ( 1 ) 】 凄掣g 上【三施加知一即跏d 卅幽磐( 孝一却训i q 。 上 三反矗) 磊一户( 豆) 】出+ ( 昙一三) i l 云i i ，。 = p ( 面) 所以，o o ( 云) = 户，对任意的，( j o 。7 ) ，) = 0 由( ) 推出面一= m a x ( 一面，0 ) = 0 ，所以豇0 故定理证毕 口 在证明定理1 1 2 之前，我们需要下面的引理 引理3 1 6 设，( z ，t ) 满足( ) 一( 兀) ，若面，满足西0 ，豆o ，且 j ( 矗) = j o 。令u 1 = r 砬，且j o 。( 让1 ) o 令，y ( 亡) = t 缸l ，其中t 【o ，1 】，则 7 r 因为j ( 7 ( t ) ) 是关于t 的连续函数，对某个t o 】o ，1 【，由( ) 我们有 o o 、 由( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ，我们有 0 c 0 矛盾所以我们可 以设u 七坍。于w ，对任意的七1 ，设u 奄 o ) ，且。l i 粤0 锹i i _ 7 7 o 咒+ 十 因为t 七j0 于由引理2 2 0 ，我们有 湍端竺艺裂州1 ) ( 3 2 5 ) 类似于文献【17 】，我们可以证明存在一个序列0 k ，且“_ 1 ，使得 露七( z ) = 让奄( 亡知z ) a 事实上，令诹( z ) = ( 靠z ) ，其中扳 o 待定，则 ，( 诹) = 三坛( 壤一1 ) 上iv 让南l p 如+ 昙石( 2 1 ) 上iv 让七1 9 + 石j 0 0 ( 锹) ， ( 3 2 6 ) ( ，。( 面七) ，面知) = t i ( 蜈一1 ) lv u 七i pd z + t i ( t z 一1 ) iv 让七1 9d z + 芒i 肛k ，r ，r ( 3 2 7 ) 我们可不妨设存在a 0 ，使得下面两式必有一个成立 lv 让七i p 如a o ， ，r 厶 iv u 七1 9 如a o 事实上，如果( 3 2 8 ) 和( 3 2 9 ) 都不成立，则 lv 牡七i p 如_ o ， ，r 上 iv 仳南1 9 如_ o 因为0 o j r - ，r ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 不失一般性我们可以假设 所以 ( 。，lu 奄l 口如( 罢) a + 。( 1 ) ，r 二 由( 如) 一( ，3 ) ，我们有 ，让七) 仳七i 狰a d ( 1 ) = ( ，( t 正) ，u 七) i ，r 翔a o 札七1 9 如一 + o ( 1 ) i 札七1 9 + cl 让七l p 。 羚上i 乱卵妇一c 厶l v 训p 出 这就得到了矛盾所以( 3 。2 8 ) 和( 3 2 9 ) 至少有一个成立不失一般性我们可以 设 上iv 乱卵d z a 。 ( 3 3 0 )