（应用数学专业论文）矩阵与线性方程组的图解法.pdf

中文摘要中文摘要本文主要从大家熟悉的矩阵与行列式的计算及线性方程组求解的代数方法着手，引入信号流图的概念，讨论用流图的方法求解方阵的行列式，特征值和特征方程及线性方程组的解。计算行列式的值可以采用定义方法，但计算量过大且繁琐，也可使用行列式的性质化简行列式再进行计算。对于线性方程组的解同样可以用代数方法得到。信号流图是一种顶点和弧都带有权的有向图，它是用图的结构表示线性方程组诸变量之间关系的一种方法。文章通过具体的例子分别用代数方法和图解法来求解，将抽象的代数理论与直观的图论联系起来。从数学观点来讲，信号流图方法不仅为计算行列式的值及方程组的解提供了一种新的方法，而且图的转化直观、灵活且简便，在线性系统中得到广泛的应用。关键词：矩阵行列式信号流图m a s o n 公式ia b s t r a c ta b s t r a c ti i lt h i sp a p e r , t h ec o m p u t a t i o no fm a t r i c e sa n dd e t e r m i n a n t s t h ew a yt og e tt h er o o to fl i n e a re q u a t i o ns y s t e ma n dc o n c e p t i o no fs i g n a lf l o wg r a p ha r ei n t r o d u c e dt od i s c u s s e dt og e tt h ed e t e r m i n a n te i g e n v a l u ea n de i g e n e q u a t i o no ft h es q u a r em a t r i c e sa n dt h er o o to fl i n e a re q u a t i o ns y s t e m w ec a nc a l c u l a t et h ed e t e r m i n a n tb yd e f i n i t i o n ，b u ti ti st o oc o m p l e xa n dr e d u n d a n t ，t h ed e t e r m i n a n tc a nb eg e tb ya l g e b r a i cm e t h o d ，t o o s i g n a lf l o wg r a p hi sad i r e c t e dg r a p hw h o s ev e r t i c e sa n da le sw e i g h e d ，a n di ti m p l yt h er e l a t i o n sa m o n gt h ev a r i a b l e si nt h el i n e a re q u a t i o ns y s t e mb ys t r u c t u r a lo fg r a p h s t h ec o n c r e t ec a s e sh a v eb e e ng i v e nt os h o wh o wt og e tt h er o o tb ya l g e b r a i cm e t h o do rb yt a b u l a t i o n s ，c o m b i n i n gt h ea b s t r a c ta l g e b r at h e o r y 、析t hv i s u a lg r a p ht h e o r y f r o mt h ep o i n to fm a t h e m a t i c s ，t h ew a yo fs i g n a lf l o wg r a p hg i v e san e ww a yt oc a l c u l a t et h ed e t e r m i n a n t sa n dl i n e a re q u a t i o ns y s t e m s i n c et h ed i s p l a c e m e n to ft h eg r a p hi sv i s u a la n ds i m p l e ，i ti sw i d e l yu s e di nl i n e a rs y s t e m k e yw o r d s ：m a t r i x ，d e t e r m i n a n t ，m a s o nf o r m u l as i g n a lf l o wg r a p hi i南开大学学位论文版权使用授权书本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的e p , b u 本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。学位论文作者签名：才详珈7 年月7 日经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。指导教师签名：学位论文作者签名：袖罕解密时间：年月日各密级的最长保密年限及书写格式规定如下：一、“”一1 1 ”b d 1 _ 4；内部5 年( 最长5 年，可少于5 年)。秘密1 0 年( 最长l o 年，可少于l o 年 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年南开大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。学位论文作者签名：才匆筝狮 年| ) 只j | b第一章引言第一章引言一个系统( 连续或离散的) 通常可以用方框图、微分或差分方程来描述，而用方框图描述更为直观，信号流图可以看成模拟框图的一种简化表达形式。信号流图最初用于表示线性方程组中变量间的关系，在1 9 5 3 年由美国麻省理工学院的m a s o n 在线性系统分析中首先引用。信号流图主要用于反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统模拟机滤波器设计等方面。信号流图对系统进行简化也是一种图形化的数学模型且便于绘制于运用。用信号流图表示系统使得系统模型更加简明清楚，使系统函数的计算方程得以简化。对于线性代数方程组求解，可以使用c r a m e r 法则对含有n 个方程n 个未知量的方程组利用行列式计算直接得到；也可以采用转化方程组的系数矩阵，得到方程组解的结构及通解。而线性代数方程组中各变量之间的关系可以用信号流图来表示，因此可以通过图的化简简化各变量之间的关系从而得到方程组的解。m a s o n 公式提供了图解线性方程组的理论依据，将代数理论与图论直观图形联系到一起。m a s o n 定理：设g 是方程组从= b 的信号流图。l ，厶，l ，分别是图g 的回路，戗是回路厶的权( 即厶各边的权的乘积) ，则( 1 ) d = d e t a = 1 - q + 哆国，一c o , o j j a l k + j一一j _ 一。j 一，t,jt , j i k厶，互不接触与。句。厶互不接触即d = d e t a = 1 一( 所有回路权的数的和) + ( 两两不相接触的回路权的乘积的和) ( 2 ) t2 吉嘉乞乃，f = l ，2 ，刀。其中乃2 丢形( 最) t 。形( 最) 是从6 点到一的道路e 的权；而。为从d 中消去与道路最上的点及其关联的弧而成的残图的图行列式。第一章引言从数学观点来讲，信号流图方法不仅为计算行列式的值及方程组的解提供了一种新的方法，而且图的转化直观、灵活且简便，在线性系统中得到广泛的应用。后人对m a s o n 定理的研究与推广非常广泛，商慧亮等提出了解非线性方程组的信号流图法，将求解线性方程组的m a s o n 公式推广非线性方程组，且能得到方程组的“通解 与“特解 刘健等提出了用计算机简化信号流图的方法，改善了手算的欠准确和欠迅速的弊端。本文主要将矩阵和方程组计算的代数方法与图解法结合起来，通过相互间的转换阐述图解的过程。并以一例多解的形式加深理解。本文结构安排如下：在接下来的一部分，介绍本文涉及到的基本概念和定义，为后面的理论知识做好铺垫；在第三章，从矩阵引出信号流图的概念，将矩阵及行列式的计算转化为直观的图算；第四章通过线性方程组的解引出著名的m a s o n 公式，并以一例多解的形式总结线性方程组的各种解法。以上这些对我们线性代数课提供了视觉上和理论上的帮助，为我们的课堂注入了新鲜的活力。2第二章基本概念第二章基本概念本章简单介绍图的相关定义设有一个顶点集v = v i ，2 ， 和一个边集e = e l , p 2 ，e 。 ，如果对于e 中的任一条边e 。，在y 中都有一个顶点对( v ，) 和它对应，我们就称由矿和e 组成的集体为一个图，记为g = ( 矿，e ) 。边e 。可以用它的两个端点v ，和1 ，表示，记为( 1 ，。，v ，) 或 ，；v o 如果1 ，。是边的一个端点，则称顶点 ，。与边吼关联。如果v ，是同一条边e 。的两个端点，则称顶点q 与v ，相邻或邻接。如果边e ，e ，关联同一个顶点，则称两条边e i 和e ，相邻或邻接。如果一条边的两个端点为同一个顶点，这条边称为自环。如果一对顶点间有两条以上的边相连，则称这些边为平行边。既没有自环又没有平行边的图称为简单图。图论中涉及到的图大多是简单图。对于图g 的每一条边e ，可以赋予一个数c o ( e ) ，称为边e 的权。g 连同它边上的权称为赋权图。赋权图经常出现在图论的应用中。设有两个图g = ( y ，e ) 和g l = ( k ，e i ) 如果k 矿且局se 则称g l 是g 的子图，g 是g 的母图。如果g l 没有包含g 的全部顶点和边，又称g 1 是g 的真子图。含有g 的全部顶点的子图称为g 的生成予图或支撑子图。从g 中删去所有的自环，并使每一对相邻顶点只留下一条边，即可得到g的一个简单生成子图，称为g 的基础简单图。如果图g 的一个顶点和边的交替序列r o e l ，i e 2 v m _ i e 。v r n ，使得对1 f m ，边e ，的两个端点是哆一。和 ，则称该序列为g 的一条路径。又如果边e 。，p ：，e 肘互不相同，则称该路径为g 的一条链( 或叫迹) 。顶点互不相同的链称为g 的一条路。路中边的条数成为该路的长度。起点和终点相同的路称为成为回路( 或叫圈) 。在图中，与一条边关联的两个顶点的次序是无关紧要的，即认为u v 和 ，“是相同的，这样的图又称为无向图。当一条边e = u v 与其两端点u 和v 的顺序有关，即边甜，和，“不同时，称e 为有向边。几何上用箭头的指向表示有向边的方向：j箭头所指向的顶点成为该边的终点，另一端成为该边的起点。并称该有向边与端点关联，所有边均有方向的图称为有向图，有向边通常称为弧。3第二章基本概念有向图的一个顶点和弧的交替序列v o g l v l 口2 v m - i 吼唯，弧口。的始点是y h 终点是h ，l f k ，则称该序列为有向途经，弧互不相同的有向途径称为有向链，顶点互不相同的有相链称为有向路。起点和终点相同的有向路称为有向圈或有向回路。4第三章矩阵运算的c o a t e 流图表示第三章矩阵运算的c o a t e 流图表示第一节矩阵与c o a t e 流图3 1 1矩阵有关知识表定义3 1由m n 个数口 ，( i = 1 , 2 ，m ，= 1 , 2 ，刀) 排成的m 行刀列的数q i 。c 1 2q 1 2 1q 2 09 2 ”口h la n 2口朋称为m 行行列矩阵，简称mx ，z 阶矩阵，记作a =口1 nq2 h口m是位于矩阵4 的第纤于第，列的元素。矩阵也可记作( ) 。，m x ，l 阶矩阵彳也记作a 胛朋。以上矩阵a 。= ( ) ，。行数与列数都等于甩的矩阵么称为刀阶矩阵或，z 阶方阵，记作以。由，z 阶方阵彳的元素所构成的行列式( 各元素的位置不变) 称为方阵彳的行列式，记作h或d e ta 。只有一行的矩阵a = ( 口，口：，口。) 称为行矩阵，又称行向量。5第二章矩阵运算的c o a t e 流图表示么r 。只有一列的矩阵b =称e =1ool：oo0l：0b lb 2：以称为列矩阵，又称列向量。为，2 阶单位矩阵，记作e 。把矩阵4 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做a 的转置矩阵，记作3 1 2 矩阵的流图表示定义3 2 设d 为一有向图，彳= ( a 打) 是一个刀阶矩阵，如果( 2 ) d 中从项点巧到顶点v ，的弧的权是，1 f ，丹，流图。记作d c ( 4 ) 。，、f 口1 l口1 2口1 31例如，与矩阵d = l 口：，口：口：，l 相对应的流图由9 条弧和3 个顶点组成。l 口3 la 3 2a 3 3 )6第三章矩阵运算的c o a t e 流图表示口图3 i于是线性代数的问题可以转化为图论来讨论。第二节行列式的展开法求矩阵行列式的值是常见的一种运算，由行列式的定义，有：h =口1 。a 2 月口m= ( 一1 ) “2 ，以q 口2 止，其中f ( ，：， ) 是排列( j l , ：， ) 的逆序数。把次序 办 改为自然顺序1 2 刀所需要的置换次数叫做工办 的置换次数。置换次数为奇数的叫做奇置换；否则叫做偶置换。置换奇偶数可以通过这个序列中大小倒置的个数来计算。例如2 3 1 5 4 ，大小倒置有2 1 、3 1 、5 4 三个。4 3 2 5 6 1 则有4 3 、4 2 、4 l 、3 2 、3 1 、2 1 、5 1 、6 1 。第一个例子是奇置换，后者为偶置换。1 2 3 4 5 也属偶置换。7!砣；以吼；第三章矩阵运算的c o a t c 流图表示直接用定义的方法计算行列式的值比较复杂且符号容易出错，在代数中计算行列式的值常用行列式的转化性质将其转化为对角或是上下三角行列式，如：对角行列式( 其中对角线上的元素是丑，未写出的元素都是o ) 。= 五以，n ( n - i )= ( 一1 ) 2 五如以上下三角行列式( 对角线以下( 上) 的元素都是0 )a l lg 2 1g 2 2a 1a n 22 口l i g 2 2 口m ，如果d 是对应矩阵a 的流图，那么可以直接从流图d 求得对应矩阵的行列式。下面给出一个定理，它是行列式展开的图算的依据。定理3 1hd e t a = ( 一1 ) ”( 一1 ) a j 。= l其中以为矩阵的阶，h 是图g 中由过n 个顶点的简单回路( 不自身交叉的回路) 形成的子图g j 的个数，一是g j 中回路的数目，a 是q 的各边的权的积。证明：设d 。( 彳) 是彳对应的c d 口胞流图，g 是由弧v 1 ，l ，v j ：v 2 ，v 。导出的子图。如果f 1 ，- - 1 是一个置换，则g 中每个顶点标号在该置换第一行出现l - ，l ，- ，2 ，j 。一次，在第二行中也出现一次。因此，和g 的每个顶点相连的恰有两条弧，而且每个顶点在g 中出度和入度都是1 。所以，若g 是连通的，则g 是一个单向圈，若g 由几个分支构成，则每个分支是一个单向圈。g 是几个单项圈的点不重的并。8第三章矩阵运算的c o a t e 流图表示因此，g 包含疗条弧。若这几条弧为，v 如，v 、，则下标序列( ，i 2 ，厶)和c 凡如，l ，必是c 幺，甩，的置换。因此，( i l ，, i 2 ：, ， , ，i n ) 是一个置换。g 的权可以写成口，l ，q ：止，a 厶，它是式一项。若g 的以条弧为 v 1 ，v v 2 ，v 厶1 n ，则g 的权可以写成q 口2 如，口帆。d e t a = ( 一1 ) 毗加川口l 口2 j 29 * * * = e - o 毗扣训，对于其中长度为，的回路，要使下标序列之变成下标序列之，只要，一1次置换就可以办到。如果子图g 由个回路组成，则顶点下标的排列次序为f l ，1 2 ，k 、- - - - - - - - - - j第一个回路对应于行列式中的项。k l ，k 2 ，。，k j、- - - - - 、第n 叫路翻 t i 2 a “l 2 a 珧n k 止l n 卟其中占= 1 ，+ 1 2 + + l j = 甩。要把式中第二个下标序列f z 毛：六k 6 k l 改变为第一个下标序列屯j l j 2 j 3 k l 气，只要作( 一1 ) + ( 1 r 2 一1 ) + + ( t 一1 ) = ( + 1 2 + + 巳) 一= n - j次置换。所以有s = ( 一1 ) ，= ( - d ，幽，= ( - d ，故有d e t a - ( - i ) ”( 一1 ) “a ，例t ：设彳= 二：季二。 ，如图3 2 所示：9第三章矩阵运算的c o a t e 流图表示图3 2过v 。，1 ，：，屹点的简单回路有以下六个：如图3 3 3 8 所示的g l ，g 2 ，g 3 ，g 4 ，g 5 ，g 6 ，故h = 6 ，刀= 3 ：g l ：屹n 一1v_ ，= 1 时 l = 3 ，a l = ( 一1 ) ( 一1 ) ( 2 ) = 2 ；( 一1 ) 3 2 = - 2 ；g 2 ：图3 4= 2 时刀2 = 2 ，a 2 = ( 一1 ) ( + 1 ) ( 2 ) = - 2 ；( 一1 ) 2 ( 一2 ) = - 2 ；g 3 ：图3 52y ：0 1歹= 3 时，岛= 2 ，a 3 = ( 一1 ) ( 1 ) ( 2 ) = 一2 ；( 一1 ) 2 ( 一2 ) = 一2 ；1 0p 屹3h图q第三章矩阵运算的c o a t e 流图表示g 4 ：饼v图3 6j = 4 时刀4 = 2 ，4 = ( 1 ) ( 1 ) ( 一1 ) = - i ；( 一1 ) 2 - ( 一1 ) = - i ；g 5 ：图3 7= 5 时疗5 = i ，5 = ( 2 ) ( 1 ) ( 一1 ) = - 2 ；( 一1 ) 1 ( 2 ) = 2 ；g 6 ：v 1图3 8j = 6 时刀6 = 1 ，a 6 = ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) = 1 ：( 一1 ) 1 ( 1 ) = - 1 ；故6d = ( 一1 ) 3 ( 一1 ) _ = 一( _ 2 2 2 1 + 2 1 ) = 6由行列式的展开法容易验证：i li ili22iiiii一1= 2 2 + 1 + 2 + 1 + 2 = 6第三节矩阵的特征值和特征方程定义3 3设彳是刀阶方阵，如果数x 和以维列向量孝使关系式么善= x 孝成1 1第三章矩阵运算的c o a t e 流图表示立，那么，这样的数x 称为方阵彳的特征值，非零列向量孝称为彳地对应于特征值x 的特征向量。上式彳善= x 孝也可写成( 舾一彳) 善= 0 ，这是刀个未知数刀个方程对应的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是行列式i 姬一ai - 0 ，即x a l ia 2 1a 1 2x a 2 2一口l 片一a 2 打一a 疗1一a 一2z 一口朋= 0上式是以z 为未知数的一元n 次方程，称为方阵4 的特征方程。显然，方阵a 的特征值就是特征方程的解，特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的阶数。因此，甩阶方阵a 有刀个特征值。设刀阶方阵么= ( ) 的特征值为而，x 2 ，x 。则有：( 1 ) x i + x 2 + + x j = a l l + a 2 2 + + a 埘( 2 ) x i z 2 x 。= l a i对于疗阶方阵彳的特征方程| x e al = 0 ，利用h 的流图解法可得ix e ai 的流图解法，比较直接展开行列式1 翘一4i 来求解简单得多。比较矩阵的c o a t e 流图d c ( 彳) 和矩阵a =口1 10 1 2a 2 1a 2 2a 1口月21 2疗打孵轧锄；知第三章矩阵运算的c o a t e 流图表示( x e 一彳) =x a l l。a 2 1一a ”1一口i n一1 2 x q m n的c o a t e 流图d c ( x e a ) 流图，可以发现见( x e 一彳) 的每个顶点上多了一个权为x 的自环，且每条弧上的权恰与d c ( 彳) 上相应的弧的权相差一个符号，因此可以通过修改d c ( 4 ) 来求得d 。( 翘一彳) 。以图3 9 所示的c o a t e 流图的对应矩阵彳为例简单说明：口 ，2彳= r 薹图3 9c羌e一彳，=l(x一-苫a：。1l1 37兰aa32xa 3 3 x一，1l一一1，一、一n驺口口口第二章矩阵运算的c o a t e 流图表示图3 1 0过1 ，l ，v 2 ，1 ，3 点的简单回路有以下四个，如图6 所示的g 。，g 2 ，g 3 ，g 4 。于是有：h = 6 ，n = 3图3 1 1j = i 时，刀l = 3 ，a l = ( x - - a t i ) x ( x - a 3 3 )g 2 ：1 ，2图3 1 2j = 2 时，n 2 = 2 ，a 2 = ( x - a 1 1 ) ( 一口2 3 ) ( 一口3 2 )1 4。a 3 3第三章矩阵运算的c o a t e 流图表示g 3 ：一口3 3图3 1 3歹= 3 时，刀3 = 2 ，a 3 = ( x 一口3 3 ) ( 一口1 2 ) ( 一口2 1 )g 4 ：一口，2图3 1 4j = 4 时，行4 = 1 ，a 4 = ( 一口2 1 ) ( 一口1 3 ) ( 一口3 2 )所以，41 ，2x e - al = ( 一1 ) 3 ( - 0 “a = - 【( 一1 ) 3 a l + ( 一1 ) 2 a 2 + ( 一1 ) 2 a 3 + ( 一1 ) 1 a 4 】= l2 x 3 - ( a n + 口3 3 ) x 2 + ( 口1 l 口3 3 一c 1 2 a 2 l 一口2 3 a 3 2 ) x + 口1 2 a 2 l a 3 3 + 口l l a 2 3 a 3 2 一a 1 3 a 2 l 口3 21 5第四章线性方程组与信号流图第四章线性方程组与信号流图第一节线性方程组的代数解法含有聆个未知数而，x ：，x 。的m 个线性方程的方程组a l i x l + g 1 2 x 2 + + a 1 月x n = 岛a 2 l x l + a 2 2 x 2 + + a 2 月x n = b 2：a m l x l + a m 2 x 2 + + 口m 以2 吒当6 = 1 2 ，所) 不全为零时，方程组称为非齐次线性方程组，否则称为齐次线性方程组。记么=o i ia 1 2( 2 1 ( 2 2a m ia m 2f 而ix 2x2ij ：i x 。b =饥b 2：九这时方程组可以写成矩阵乘积形式i x = b其中矩阵a 。成为方程组的系数矩阵，向量6 成为右端向量，向量x 是未知数向量，矩阵( 4 1 6 ) =称为线性方程组的增广矩阵。4 。1 1c r a m e r 法则a l 。岛a 2 n6 2口。屯含有玎个未知数x 。，x ：，x 。的，1 个线性方程的方程组为1 6打肝坩；第四章线性方程组与信号流图记d =a l t x l + a 1 2 x 2 + + a l n x h = b lc 2 1 x i - i - a 2 2 x 2 - i - - i - a 2 n i n = b 2：a n l x l + a n 2 x 2 + + 口朋x n = 巩口l 。a 2 n：口mf a l l b l a l 。i，d ，：a 2 1 冬口：”。l：ii a 。l 吒口。其中d 是用岛，6 ：，丸代替d 中第列元素所形成的行列式( ，= l ，2 ，疗) 。若方程组的系数行列式d 0 ，则它有唯一解，其解为：毛= 告 = 告， = 告毛5 苫j 22 苫j 一2 方4 1 2 线性方程组的一般解法定理：线性方程组a x = b 有解的充分必要条件系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即r ( a ) = r ( aib ) ；在方程组有解时：( 1 ) 若r ( a ) = r ( ab ) = 栉，则方程组有唯一解；( 2 ) 若r ( a ) = r ( ab ) ，则方程组有无穷多解；线性方程组的一般解法：第一步对方程组的增广矩阵( 4i6 ) 施以初等行变换，把它变成行阶梯形矩阵，从而求出，( 么) 和厂( 彳l6 ) ；第二步若，( 彳) r ( a6 ) ，则方程组无解，解题结束，否则进行第三步；第三步继续对增广矩阵施以初等行变换把它变成行最简形矩阵。若，( 么) = r ( ai6 ) = 刀，则写出方程组的唯一解1 7他砣；砣讲仍；以第四章线性方程组与信号流图若，( 彳) = r ( ai6 ) 吖xl 一厂消自环x 4 = x规则1吖z规则2= 图4 1 4这说明图4 1 4 信号流图中x 。与x 。的关系为1 一铲 小古( 耐删k例2 ：简化如图4 1 5 所示信号流图以确定x 与民的关系2 6第四章线性方程组与信号流图l d e消消去顶点x 3 自环= ：消去顶点屯= 消去顶点x 4 自环二消去顶点x 4= 消去顶点x 3h = 今加法规则= x r 亨叶6咖+ 篙i + 羔( 咖+ 臀锄)。一沈l 一6 c 、。1 一沈图4 1 52 7第四章线性方程组与信号流图( 5 ) 反向( 先以简例说明)于是有由而= 饿2 + 缸3x ，弋屯一x l b x 3x 22 ：二口j 而气；少屯图4 1 6即对于源点x ：，弧( x ：，而) 改为弧( x ，x ：) 但是权由口改为三，而弧( x ，而) 改为( x 。，x ：) ，其权改为一b 。同理，可得一般情况：j而图4 1 7说明：反向只能对于弧( 一，x ) 的始点t 为源点是才有效。lx 22 眠+ 撕3 ，例3 ：对方程组 _ = 麟2 + d x 3 + 蹦5 ，所示的图反向。【x 6 。乒4 + g x 5 + h x 7 ，2 8第四章线性方程组与信号流图一ibx ，l一一源点，对( x l ，x 2 ) 边反向。彳r一鱼少p口】冬x 对( 石2 ，x 4 ) 边反向11、7、7 弋彳、p夕b 一一x：vx ，一一ca痊l一对( x 4 ，x 6 ) 边反向l_ 一1。、7 一1 弋彳、弋力汐一一一一一墨7一i cz 工、图4 1 82 9第四章线性方程组与信号流图第四节线性方程组的图解法4 1 线性方程组的c o a t e 图解设方程组为：a l l x l + 口1 2 x 2 + + a l n x h = b ic 2 1 x l + a 2 2 x 2 + + a 2 n x n = b 2a 月l x l + a _ ，1 2 x 2 + + a m x n = 以根据c r a m e r 法则可得解为：一2 去喜屯彳，= ，2 ，刀。其中以为元素的代数余子式。求解这方程组的过程相当于除了计算系数行列式外，还需计算下列刀个行列式：q 。口2 n：口mj a l l 岛i 口2 16 2t 麦这些行列式的计算相当于对矩阵：厶=a 1 月b l口2 月b 2a 。吮0o作如下的运算：( 1 )令口州。f = 1 ，( 2 )第f 列与第疗+ 1 列互换，( 3 )求所得的矩阵的行列式的值。3 0a 1 月一lb la 2 月一ib 2a 删一i 以222气吒；illq 吒；，疗栉打；222气吼；第四章线性方程组与信号沉图一一_ _ _ 一设4 矩阵的c o a t e s 图为g o ，由于4 的第刀+ 1 行元素全部为零，故从x 。，x ：，x 。各点到矗+ 。点的边不存在。但从x 州点向一，x ：，x 。各点的边是存在的。作运算：a 州。= 1 ，相当于从毛点到x 州点引一条权为1 的边，然后计算行列式的值可得方程组的解。例4 ：求解方程组解：a =么：l弘=x l x 32b2 x i + x 2 = 0 x 3 + x 420一x l x 2 + x 420l0一l0 b22o0 0o0ll01 10l0o000 0，a 4 =3 l1olb 022o0 00ol0111001o0oo1oo 0l02o一，20o，。一a ：按行列式的展开法得故相应的有图4 1 9d = 2 ，d 4 = 0 x d ：d 4 ：0确2 百。x 35 - - x 4 = 0 ，x l2b + x 32b ，x 22 一x l2 一b4 2m a s o n 公式fx l + 口1 2 x 2 + + a 1 x n = b li 口2 l 而+ x 2 + + a 2 n x n = 也【a n i x l + a n 2 x 2 + + x n = 九3 2第四章线性方程组与信号流图a x = b其中么= ( ) 棚，但= 1 ，j = 1 , 2 ，刀。即a =1a 1 2b 21吒a 。2口l n口2 n：lx =而x 2：x 月b =b lb 2：b ，作方程组( 4 1 ) 的m a s o n 信号流图g 。这个图g 便称为是方程组觚= b的m a s o n 信号流图。下面介绍m a s o n 公式如下。m a s o n 定理设g 是方程组似= b 的信号流图。l ，三2 ，l ，分别是图g 的回路，q 是回路厶的权( 即厶各边的权的乘积) ，则( 1 ) d = d e t a = l 一q + 绋哆一c a , c o o l 【+ j 一_jj 一fi , jt , j ，kl j ，互不接触厶，l j , l , r i - ：4 y 强即d = d e t a = l 一( 所有回路权的数的和) + ( 两两不相接触的回路权的乘积的和) ( 2 ) 墨2 吉喜6 ，f = 1 ，2 ，刀。其中乃2y 。，w ( e i t ) t 。w ( p k ) 是从乞点到x ，的道路只的权；而。为从d 中消去与道路最上的点及其关联的弧而成的残图的图行列式。例5 ：求方程组的解第四章线性方程组与信号流图x l x 32b2 z l + x 2 = 0黾+ x 4 = 0x l x 2 + x 420解：先将方程组化为标准形式：lx i2b + x 3lx 222 x l + 石2ix 3 = 2 屯+ x 4【x 42x l + x 2这个方程组的m a s o n 信号流图如图4 2 0 所示。图4 2 0有向回路：c i2x 2 x 2 ，c 22x 3 x 3 ，c a 。x l x 4 x 3 x l ，c 4 = x l x 2 x 4 x 3 x l。它们的权分别为烈c 1 ) = 3 ，c o ( c 2 ) = 2 ，国( c 3 ) = 1 ，烈c 4 ) = 2互不接触的回路为c l 与c ：，c 。与c 3 ；不存在三个以上不相接触的回路，所以d = 1 一( 3 + 2 + l + 2 ) + ( 3 2 + 3 1 ) = 2容易验证，原方程组系数行列式l 彳l _ 2 ，这说明m a s o n 定理的结论( 1 ) 对3 4第四章线性方程组与信号流图此例正确。从b 到矗的有向路有两条：e = b x l x 4 ，它们的权分别为烈鼻) = 1 ，国( 最) = 2 ，g 一鼻= g 1 ，如图4 2 1 所示，所以a l = 1 一【国( c 1 ) + o j ( c 2 ) 】+ 国( c 1 ) 烈c 2 ) = 2g 一只= g ：，如上图中( b ) 所示，所以a 2 = 1 一烈c 2 ) = 一1因此黾= 面1b l 瓦。= 1 。b l 彩( 暑) l + 缈( 最) 2 】= b 1 2 + 2 ( 一1 ) 】= o0 2( 口)图4 2 l3 5( 6 )2第四章线性方程组与信号流图消去x 2 ，x 3 的自环- - - 少n ，6图4 2 2另一方面，通过简化图4 2 0 所示图g 的运算，也容易求得方程组的解，如图4 2 2易得方程组的解ix 42x l x l20ix l = 一x 4 + b = bjx 2 = 一x l = 一b【x 32 一x 4 = 0通过上述分析可见，用图解法求解线性方程组不仅为方程组求解提供了一种新的算法，而且图的转化直观、灵活且简便，更将抽象的代数理论与直观的图论联系起来，在线性系统中得到广泛的应用。致谢致谢首先感谢我的导师金应烈教授，是金老