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哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 离散代数矩阵方程与不确定离散系统稳定性的研究 摘要 本文研究离散时间代数r i c c a t i 方程、l y a p u n o v 方程解的估计问题和不 确定离散时间系统稳定性分析问题。不确定离散时间系统的稳定性分析是控 制理论研究的主要课题，而离散时间代数r i c c a t i 方程、l y a p u n o v 方程解的 估计在系统稳定性分析、最优控制器和过滤器设计、瞬时性态评估中都发挥 着重要的作用。本文分别研究了这两方面的问题，并把两者有机地结合起 来。具体包含以下内容： 1 研究一般的离散时间代数r i c c a t i 方程正定解的估计问题。利用矩阵 求逆公式，推导出一般的离散时间代数r i c c a t i 方程的等价形式，结合矩阵 r a y l e i g h 不等式及矩阵特征值的性质，获得了离散时间代数r i c c a t i 方程正 定解矩阵尸的几个更紧凑的上、下界。数值算例说明了研究结果的可行性。 2 研究摄动的离散时间代数r i c c a t i 方程正定解的估计问题。针对摄动 参数满足范数有界不确定性情形，通过构造矩阵和离散时间代数r i c c a t i 方 程的相关理论得出摄动的离散时间代数r i c c a t i 方程正定解的界，且界的计 算通过确定的离散时间代数r i c c a t i 方程的解给出，避免了高阶代数方程的 求解。最后给出了数值算例。 3 研究摄动的离散时间代数l y a p u n o v 方程正定解的估计问题。针对摄 动参数满足范数有界不确定性情形，获得正定解的几种上界，且上界的计算 只涉及到了矩阵特征值的计算和线性矩阵不等式的求解，最后给出了数值算 例来说明其有效性。 4 分别讨论线性定常不确定离散时间系统、不确定时变离散时间系 统、不确定离散时滞系统的稳定性问题。针对范数有界不确定性及系统传递 函数，利用s c h u r 引理、l y a p u n o v 方法、特征值方法和线性矩阵不等式等 方法，得出了基于确定的离散时间代数r i c c a t i 方程正定解的线性定常不确 定离散系统渐近稳定的充分条件，以及不确定时变离散系统、不确定离散时 滞系统渐近稳定的充分条件。并通过数值算例进行了验证。 关键词离散时间代数r i c c a t i 方程；离散时间代数l y a p u n o v 方程；不确定 性；解的估计；离散时间系统的稳定性 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 s t u d i e so nt h ed i s c r e t ea l g e b r a i cm a t r i x e q u a t i o n sa n d t h es t a b i l i t yo fu n c e r t a i n d i s c r e t e - t i m es y s t e m s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ee s t i m a t i o no ft h es o l u t i o n st od i s c r e t e t i m ea l g e b r a i c r i c c a t i e q u a t i o n sa n dl y a p u n o ve q u a t i o n sa n dt h ea n a l y s i so fs t a b i l i t yo f u n c e r t a i nd i s c r e t e t i m e s y s t e m s a r eb o t hi n v e s t i g a t e d s t a b i l i t y a n a l y s i s o f u n c e r t a i nd i s c r e t e t i m es y s t e mi sam a i nt h e m ei nc o n t r o lt h e o r y , a n da p p l i c a t i o n s o ft h ee s t i m a t i o n so fs o l u t i o n st od i s c r e t e - t i m ea l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n sa n d l y a p u n o ve q u a t i o n sc a nb ef o u n di nt h es t a b i l i t ya n a l y s i s ，t h ed e s i g no fo p t i m a l c o n t r o l l e r sa n df i l t e r s ，a n dt h ee s t i m a t e so ft h et r a n s i e n tb e h a v i o r b o t ht h e p r o b l e m sm e n t i o n e da b o v ea r es t u d i e da sa no r g a n i cc o m b i n a t i o ni nt h i sp a p e r t h ep r e s e n tp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： f i r s t ，t h ee s t i m a t i o no fp o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o n st og e n e r a ld i s c r e t e - t i m e a l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n si ss t u d i e d e q u i v a l e n tf o r mo ft h eg e n e r a ld i s c r e t e t i m ea l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n sw a so b t a i n e db ya p p l y i n gt h ef o r m u l ao fm a t r i x i n v e r s i o n at i g h t e rl o w e ra n du p p e rb o u n d sf o rp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xpo f d i s c r e t e - t i m ea l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n sa r ep r e s e n t e db yc o m b i n i n gt h e r a y l e i g hi n e q u a l i t ya n dp r o p e r t i e so fe i g e n v a l u e t h ev a l i d i t yo ft h er e s u l t si s i l l u s t r a t e db yn u m e r i c a le x a m p l e s 。 s e c o n d ，w es t u d yt h ee s t i m a t i o no ft h ep o s i t i v ed e f i n i t e s o l u t i o n st o s t a n d a r dd i s c r e t e t i m ea l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n s t h eb o u n do f p o s i t i v ed e f i n i t e s o l u t i o n st op e r t u r b e ds t a n d a r dd i s c r e t e - t i m e a l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n sa r e o b t a i n e db yc o n s t r u c t i n gn e wm a t r i xa n da p p l y i n gc o r r e l a t i v et h e o r yo fd i s c r e t e t i m ea l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n s ，u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h ep e r t u r b e dp a r a m e t e r i sn o r mb o u n d e du n c e r t a i n t h eb o u n di sp r e s e n t e db ys o l v i n gd i s c r e t e t i m e a l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n ，t h u si t i sa v o i d e dt os o l v i n gh i g h e r - o r d e ra l g e b r a i c e q u a t i o n f i n a l l yan u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e d i i 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 t h i r d ，t h ee s t i m a t i o no ft h ep o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o n st o d i s c r e t e t i m e a l g e b r a i cl y a p u n o ve q u a t i o n s i ss t u d i e d s e v e r a l u p p e rb o u n d so fp o s i t i v e s o l u t i o n sa r eo b t a i n e du n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h ep e r t u r b e dp a r a m e t e ri s1 1 0 1 t n b o u n d e du n c e r t a i n w eo n l yn e e dt oc a l c u l a t ee i g e n v a l u e sa n ds o l v el i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e si nt h ec o m p u t i n go ft h eu p p e rb o u n d s s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r e p r e s e n t e dt ov a l i d a t eo u rr e s u l t s f o u r t h ，t h es t a b i l i t yo fl i n e a rt i m e - i n v a r i a n tu n c e r t a i nd i s c r e t e t i m es y s t e m s ， u n c e r t a i nt i m e v a r i n gd i s c r e t e t i m es y s t e m sa n du n c e r t a i nd i s c r e t et i m e - d e l a y s y s t e m sa r es t u d i e d c o n c e r n i n gt h en o r mb o u n d e du n c e r t a i n t y , a n dt h es y s t e m t r a n s f e rf u n c t i o n ，s c h u rl e m m a ，l y a p u n o vm e t h o d ，e i g e n v a l u em e t h o da n dl m i m e t h o da r ea p p l i e dt oo b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o no fa s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo f l i n e a rt i m e i n v a r i a n tu n c e r t a i nd i s c r e t e t i m es y s t e m sb a s e do nt h ep o s i t i v e s o l u t i o nt od e t e r m i n e da l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n ，a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n o f a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y o fu n c e r t a i n t i m e - - v a r i n g d i s c r e t e - t i m e s y s t e m s a n d u n c e r t a i nd i s c r e t e t i m e d e l a ys y s t e m s t h o s er e s u l t s a r ea l s ov a l i d a t e db y n u m e r i c a le x a m p l e s k e y w o r d s d i s c r e t e - t i m e a l g e b r a i c r i e c a t i e q u a t i o n ；d i s c r e t e - t i m ea l g e b r a i c l y a p u n o ve q u a t i o n ；e s t i m a t i o no fs o l u t i o n ；u n c e r t a i n t y ；s t a b i l i t yo f d i s c r e t e t i m es y s t e m s i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文离散代数矩阵方程与不确定离 散系统稳定性的研究，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位 期间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包 含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：主德主、 日期：知名年罗月多日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 离散代数矩阵方程与不确定离散系统稳定性的研究系本人在哈尔滨理工 大学攻读硕士学位期间在导师指导完下成的硕士学位论文。本论文的研究成果归 哈尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全 了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部 门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密囱。 ( 请在以上相应方框内打) 日期：沥孱；月多日 啉阳红3 聂 日 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 1 课题背景 1 1 1 课题来源 第1 章绪论 本课题属于理论研究范畴，来源于指导教师正在进行的国家自然科学基金 项目，主要针对在工程系统中广泛应用的离散时间代数r i c c a t i 方程和离散时 间代数l y a p u n o v 方程进行解的估计，对在实际应用中存在的不确定离散时间 系统进行鲁棒稳定性分析。 1 1 2 研究的目的及意义 随着高速电子计算机的出现，对工程系统、经济系统、生物系统等的动态 描述都自然而然地由离散时间系统来实现，离散时间系统已经形成了与连续系 统相平行的理论体系。从而对连续系统中代数r i c c a t i 方程和l y a p u n o v 方程的 研究转向对离散时间系统中这两类方程的研究。 离散时间代数r i c c a t i 方程和离散时间代数l y a p u n o v 方程广泛应用于工程 系统理论的各个领域，特别是控制系统理论领域【1 1 。这两类方程在系统稳定性 分析、最优控制器和过滤器设计、瞬时性态评估中都发挥着重要的作用。此 外，这些方程的解的界还应用于解决系统稳定性分析【2 】【3 】【4 】、时滞系统控制器设 计【5 1 、最大成本估算和控制器设计【6 】、数值算法的收敛性川、r i c c a t i 微分方程的 性态【8 】等中的许多控制难题。 通常情况下我们需要求解这两类方程，然而当矩阵维数增大时，方程求解 将变得相当困难；另一方面，有时可能只需要方程的近似解或精确解的估计。 为此，对这两类方程解的界的估计具有重要的实用价值和理论意义。 在实际的工业控制中，一方面，各种工业生产过程、生产设备以及其它众 多的被控对象，其动态特性一般都难以用精确的数学模型来描述，有时即使能 获得被控对象的精确数学模型，但由于其过于复杂，也难于对其进行有效的性 能分析和综合，因此必须进行适当的简化：另一方面，随着生产过程中工作条 件和环境的变化，控制系统中元器件地老化，使得描述被控对象的数学模型和 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 实际对象之间不可避免的存在一定的误差。多种因素导致系统模型中会存在一 定的不确定性。同时，在实际工业控制系统中，时滞现象大量存在，如长管道 进料或皮带传输、缓慢的化学反应过程、网络控制系统信号的传输以及复杂的 在线分析仪等均会导致时滞现象。不确定性和时滞性的存在，造成了系统控制 无论在理论分析上还是工程实际中都有特殊的困难，并且实践证明，系统中不 确定性和时滞的存在常常是系统性能变差和系统失稳的主要原因。我们考虑带 有参数不确定性和时滞的离散时间系统时，由于系统中的离散时间代数r i c c a t i 方程和离散时间代数l y a p u n o v 方程关于系统中的不确定性参数矩阵是非线性 的，所以在具体研究中还会遇到许多与连续系统情形不同的且难于处理的情 况。这方面的工作近几年已为人们所重视，但所获得的成果还较少。对摄动的 离散时间代数r i c c a t i 方程和离散时间代数l y a p u n o v 方程的研究具有重要的理 论和实际意义，也更具有挑战性。 而对于系统而言，同时具有时滞和不确定的动态系统，我们称之为不确定 时滞系统。控制理论中的一个重要问题就是系统的鲁棒稳定性分析问题，因为 稳定性是对一个动态系统的基本要求，一个动态系统只有在稳定状态下才能正 常运行。系统的鲁棒稳定性是指在名义系统稳定的前提下，不论系统中的不确 定参数在允许范围内取什么值，实际系统都是稳定的。以不确定时滞系统为研 究对象，以系统的鲁棒稳定性分析为研究目标，是本课题的又一重要部分，它 无论在理论研究还是在实际应用上都有着重要意义。 1 2 国内外研究概况和发展趋势 1 2 1 离散矩阵方程解的估计发展概况 对于两类方程的研究源于上个世纪八十年代。1 9 8 2 年t m o r i 卅利用 o s t r o w s k i 不等式得出离散时间代数l y a p u n o v 方程的一个上下界，随后t t r a n t l 0 1 利用矩阵恒等式对离散时间代数r i c c a t i 方程进行恒等变形，将方程求解 问题转化成对关于方程解矩阵的行列式的一元二次不等式的求解问题，从而得 出两类方程矩阵解的行列式的下界，他们为两类方程的研究开辟了先河。1 9 8 5 年，t m o r i ( 】开始了对离散时间代数l y a p u n o v 方程解的特征值的界的估计，j g a r l o 符1 2 】给出了基于两类方程特征值的一系列项( 包括特征值、特征值的部分 和、特征值的部分积、迹) 的界的估计，而t m o r i t l 3 】则先对矩阵( x - 1 + 】，) - 1 的 迹的下界进行估计，从而得出比j g a r l o f f 的结果更强的结论，使人们对方程 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 的研究从对解本身界的估计转移到对其特征值及其相关项的界的估计，之后产 生了大量相关的成果【1 4 1 1 1 5 1 【l 刚7 】，其中n k o m a r o f f 的研究方法更具有代表性， 他将不等式吒i 以( 别引入，并和与特征值相关的一系列不等式结合得出 相关结果，同时利用柯西不等式等数学工具与此前的结果进行了比较，说明了 其结果的有效性。1 9 9 5 年，中国学者卢琳璋【1 8 】从对标准离散时间代数r i c c a t i 方程解的界的研究转向对更一般的离散时间代数r i c c a t i 方程解的界的研究， 导出一个求解的简单迭代，并得出在一定条件下，离散时间代数r i c c a t i 方程 的解x 与离散时间代数l y a p u n o v 方程的解y 的关系，即x y ，为两类方程 的解之间架起了一座桥梁，但并未从根本上指出二者的依赖关系。1 9 9 6 年，孙 翔【1 9 】通过对不确定离散随机系统协定差的定界研究，为摄动的离散时间代数 l y a p u n o v 方程在满足范数有界不确定性的情形下解的上下界的估计提供新的思 路，直至1 9 9 9 年，在王子栋【2 0 】的研究下，这一问题得到了解决。1 9 9 9 年，m k t i p p e t t t 2 1 】通过定义一个r ( 允，彳) 函数，用其相关项来估计离散时间代数 l y a p u n o v 方程的解，从而得出解的范数的一个上界及解的迹的上界。近些年， 随着越来越多的学者对标准的两类方程的解、特征值、极特征值、特征值的部 分和、特征值的部分积、迹和行列式等的估计，产生了大量的结果【2 2 】【2 3 】【2 4 1 2 5 1 ， 使得对其解的估计也越来越精确。2 0 0 0 年，李学俊【2 6 】【2 7 】通过对一般的离散时间 代数r i c c a t i 方程解的上下界估计得出了更一般的结果，并指出用r a y l e i g h 商 的极性来研究此类问题的新方法。随后，h h c h o i t 2 8 】将基于线性矩阵不等式 的方法引入，并结合s c h u r 引理对离散时间代数l y a p u n o v 方程的解进行了估 计。而国内学者张端金【2 9 】【3 0 】【3 1 】贝0 基于d e l t a 算子的描述，统一研究了连续时间 代数l y a p u n o v 方程和离散时间代数l y a p u n o v 方程的定界估计问题，给出在极 限情形下的估计结果。余军扬【3 2 】则得出r i c c a t i 方程亚纯解( ，l ，1 ) 级的上界。 2 0 0 3 年，c h l e e t 3 3 1 利用s c h u r 引理，通过构造半正定矩阵推导出矩阵的简 单迭代公式，从而给出连续代数r i c c a t i 方程解的上下界。随后a m e d v e d e r t 3 4 】 研究了微分形式给出的r i c c a t i 方程的稳定性，为我们的研究提供了新的思 路。2 0 0 5 年，包志华【3 5 】通过矩阵逆公式及矩阵解极特征值满足的不等式，对离 散代数r i c c a t i 方程解的估计问题进行了研究，是国内研究此类问题仅有的几 位学者之一，然而只得到了方程解的迹的一个上下界，且有较大的保守性。 从目前学术界的研究来看，对标准的离散时间代数r i c c a t i 方程与离散时 间代数l y a p u n o v 方程解的相关项界的研究较多，而对一般的离散时间代数 r i c c a t i 方程与离散时间代数l y a p u n o v 方程及带有不确定参数的离散时间代数 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 r i c c a t i 方程与离散时间代数l y a p u n o v 方程的研究则少之又少，而本文将以这 些方程为主要研究对象，讨论方程解的相关项界的大小。 1 2 2 不确定离散系统稳定性发展概况 对于不确定离散时间系统，针对系统矩阵中摄动参数的不同形式，国内外 学者做了大量的工作。杨保民【3 6 】通过不确定矩阵秩1 分解，计算加权矩阵，沿 用r i c c a t i 代数方程，设计了鲁棒控制器，并讨论了控制器的存在性问题。 d m s t i p a n n o v i c t 3 7 】则以二次型的形式定义了系统的非线性扰动界，通过线性 矩阵不等式的方法给出了该类系统鲁棒稳定条件，并提出了单输入系统反馈控 制器的设计方法。而h yw a n g t 3 8 】则讨论了相应的多输入系统反馈控制器的设 计方法。申涮3 9 】对该类问题做了进一步研究，利用线性矩阵不等式方法提出了 使得多变量闭环系统具有较大稳定界的反馈控制器的设计。俞立【柏】采用不确定 系统的r i c c a t i 方程处理方法讨论了不确定离散时间系统的保成本控制问题， 将保成本控制律的设计问题转化成某个线性时不变离散系统的状态反馈h 0 0 控 制问题，从而得到所要的保成本控制律。而陈国定【4 l 】则基于线性矩阵不等式处 理方法，证明了保成本控制器的存在性等价于一个线性矩阵不等式的可行性， 并用该线性矩阵不等式的可行解给出了控制器的构造方法和闭环性能指标的上 界。1 9 9 4 年，gg a r c i a t 4 2 1 开始研究不确定离散系统二次稳定性问题，他定义了 系统的状态反馈二次镇定问题，并针对具有目标约束的系统的二次稳定性，通 过求解一个具有线性矩阵不等式约束的动态规划问题，设计出系统的状态反馈 二次稳定控制器。近几年，鲁棒稳定性的研究已扩展到离散区间系统1 4 3 1 。j m o h s e n n i t 矧、吴方向【4 5 】、申涛等学者先后给出了系统鲁棒稳定性的判据，判 据的保守性也越来越小。yt j u a n g t 4 7 1 、s k h y u n g t 4 8 1 、俞立【4 9 1 、程相权【5 0 】先 后研究了系统d 一稳定性分析，得出了闭环极点圆盘约束的状态反馈控制器、 满足h o o 性能指标和方差约束条件的区域极点配置等方法。 关于时滞系统稳定性的研究，经过许多学者的努力，取得了较多的研究成 果。钟守铭【5 l 】利用特征根轨迹稳定的特性以及g c r s h g o r i n 定理，给出了参数扰 动界，获得了系统渐近稳定的充分条件。颜钢锋【5 2 】基于l y a p u n o v 理论提出了 鲁棒稳定化控制器一种新的设计方法。m s m a h r n o u d t 5 3 1 、俞立【5 4 】、关新平【5 5 】 先后利用线性矩阵不等式方法对系统保成本控制进行了研究。刘碧玉【5 6 】对包含 多个时滞和非线性不确定性的离散系统给出了比较定理，基于比较定理和不等 式方法，提出了通过输出反馈实现系统鲁棒镇定的不依赖于时滞的条件。此 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 外，z yr e n 5 7 1 、d d e b e l j k o v i c 【5 8 】分别得出系统的时滞独立稳定性条件，陈东 彦【5 9 】、孙金生、郑英【6 l 】等分别给出系统的鲁棒镇定方法。对时滞系统的d 稳 定性也有了更多的结果。 1 3 本文所做的工作 本文将讨论以下三个离散时间代数r i c c a t i 方程解的估计问题。 ( 1 ) 一般的离散时间代数r i c c a t i 方程： 彳1 剐- p - ( a 1 p b + 三) ( 尺+ 曰1 p b ) _ 1 ( b 1 尸4 + 三1 ) + q = 0 其中，a ，o r “，b ，l r n x m ，r r “”均是已知常值矩阵，且r a n k ( b ) = n ， o = o t 0 ，r = r t 0 是对称正定矩阵，p r “”是矩阵变量。这里r “表示 刀n 阶实矩阵集合，r a n k ( x ) 表示矩阵x 的秩，x 丁表示矩阵x 的转置矩阵， 下同。 ( 2 ) 摄动的离散时间代数r i c c a t i 方程： p = ( 么+ 爿) 1 p ( a + 4 ) 一( 么+ 爿) p b ( i + b 1 p b ) - 1 8 1 p ( a + 彳) + o 其中，a ，a r “，b ，r “4 ，1 r “均是已知常值矩阵，且r a n k ( b ) = 刀， o = o t 0 ，r = r t 0 是对称正定矩阵，p r “”是矩阵变量，a a r ”“为不确 定矩阵，表示矩阵彳的结构摄动。假设鲋r “”满足范数有界不确定性，即 m = d f e 其中，d ，e 为适当维数的已知数阵，f 为相应维数的未知矩阵，但满足 f t f i ，i 为相应维数的单位矩阵。又假定矩阵爿渐近稳定。 ( 3 ) 摄动的离散时间代数l y a p u n o v 方程： p = ( 彳+ 鲋) t p ( 彳+ 鲋) + q 其中，么，a r “均是已知常值矩阵，且q = a t 0 是对称正定矩阵，p r “4 是矩阵变量，a d r “是不确定矩阵，表示矩阵彳的结构摄动。又假设鲋满 足上述范数有界不确定性，且矩阵a 渐近稳定。 此外，本文还将讨论以下三个不确定离散时间系统的稳定性问题。 ( 1 ) 线性定常不确定离散时间系统 x ( k + 1 ) = ( 彳+ 4 ) x ( 七) 其中，x ( 尼) r “为系统的状态度量，a r “为已知的系统矩阵，鲥r “表 示矩阵a 的结构摄动，且满足范数有界不确定性。假定矩阵彳渐近稳定。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 ( 2 ) 不确定线性时变离散时间系统： x ( k + 1 ) = 4 ( 尼) + 彳( 后) 】石( 尼) 其中，x ( k ) r ”为系统的状态度量，a ( k ) r “为已知的系统矩阵， 鲋( 尼) r “表示矩阵4 ( 七) 的结构摄动，且满足范数有界不确定性。假定矩阵 彳( 后) 渐近稳定。 ( 3 ) 不确定离散时滞系统： x ( k + 1 ) = ( 彳+ 彳) x ( j | ) + ( 4 + 4 ) 工( 尼一j j l ) 其中，x ( k ) r ”为系统的状态度量，4 ，4 r “4 为已知的系统矩阵，k 为离散 时间变量，k = 0 ，l ，2 ，h 0 ( 正整数) 为时滞，且h 可以是定常的也可以是 时变的，可以是已知的也可以是未知的，5 , 4 ，m 为相应维数的不确定矩阵，且 满足范数有界不确定性。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第2 章基础知识 本章介绍离散时间代数r i c c a t i 方程、l y a p u n o v 方程的相关理论，离散动 态系统的状态空间模型、稳定性概念和l y a p u n o v 稳定性定理，以及本论文中 需要用到的数学引理。 2 1 离散矩阵方程理论 2 1 1 离散时间代数ri c c a t i 方程 在考虑离散线性定常系统的线性二次最优控制问题中， 数r i c c a t i 方程，该方程在系统控制研究中起到了重要作用。 设系统为 i x ( 七) = a x ( k ) + b “( 尼) ，k = o ，1 ，2 ，刀一1 【x ( o ) = x o 所考虑的二次型性能指标为 引入了离散时间代 ( 2 1 ) ，= x t ( 尼) 跏( 七) + u y ( j | ) r “( 七) 】 ( 2 2 ) k e 0 二 其中，x ( k ) r “表示系统状态变量，u ( k ) r ”表示系统输入变量，a r “和 b r “”均为系统矩阵，q ，q r “和r r ”“均为对称正定矩阵，且设彳是 可逆的。 问题是：确定最优控制序列恤( 0 ) ，”( 1 ) ，u ( n 一1 ) ) 使性能指标，达到最小 值。 这一最优控制问题的解为 “( 七) = 一( r + 曰t p b ) - 1 b t p a x ( k ) ( 2 - - 3 ) 其中，p 为离散时间代数r i c c a t i 方程( 简记为d a r e ，下同) a t p a p a t p b ( r + b t 尸曰1 1 b t p a + q = 0 ( 2 4 ) 的对称正定解矩阵。 在式( 2 4 ) 中令r = i ，得 a t p a p a t p b ( i + b t p b ) 一1 b t 户4 + q = 0 ( 2 5 ) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 我们称方程( 2 5 ) 为标准的d a r e 。 同样地，称方程 a t p a p 一( 彳t p b + m ) ( r + b t p b ) - 1 ( 召t p a + m t ) + q = 0 ( 2 6 ) 为一般的d a r e 。其中m r “”。 在式( 2 5 ) 中，将a 换成a + 鲋，得 ( a + a a ) t p ( a + 彳) 一p 一( 彳+ 彳) t p b ( i + b t p b ) - 1 b t p ( a + a a ) + q = 0 ( 2 7 ) 称方程( 2 7 ) 为摄动的d a r e 。 假设方程( 2 7 ) 中鲋满足下列条件之一： ( 1 ) 非结构不确定性即存在万 0 ，使得 盯( 彳( 后) ) 万，或i l 彳( 七) 0 万，k = o ，1 ，2 其中，孑( 埘( 后) ) 和0 鲋( 尼) 1 1 分别表示鲋( 七) 的最大奇异值和范数。 ( 2 ) 强结构不确定性即存在非负矩阵d ( 每个元素均为非负数) ，使得 l 鲋( 尼) l d 其中，i 鲋( 尼) i 表示鲋( 尼) 的模矩阵，即由a a ( k ) 的元素的模组成的矩阵，”。 表示两个矩阵对应元素之间的小于等于关系。 ( 3 ) 范数有界不确定性 即存在已知矩阵d 一n x t ，e r 肛“和不确定性矩 阵f ( k ) r 腿，使得 m ( 尼) = d f ( k ) e 其中，f ( k ) 满足f t ( 七) ，( 七) i 或f t ( 七) ，( 七) 万2 i ，万 0 是已知常数，是相 应维数的单位矩阵。 ( 4 ) 矩阵多胞型结构不确定性即存在已知矩阵e r “”，未知参数 ，；( 七) ，使得 鲋( 七) = ( 后) 墨，三，；( 尼) i 或懈) 陲，i = 1 ，2 ，s i = 1 其中，和均是已知常数。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 2 1 2 离散时间代数l y a p u n o v 方程 在式( 2 5 ) 中令b = 0 ，得 彳t p a p + q = 0 ( 2 8 ) 称方程( 2 - - 8 ) 为离散时间代数l y a p u n o v 方程( 简记为d a l e ，下同) 。 在式( 2 8 ) 中，将a 换成4 + 鲋，得 ( a + 4 ) 1 p ( a + 4 ) 一p + q = 0 ( 2 9 ) 称方程( 2 9 ) 为摄动的d a l e 。其中鲋满足( 2 7 ) 中的不确定性。 2 2 离散时间系统l y a p u n o v 稳定性 2 2 1 稳定性概念 我们考虑由差分方程描述的离散时间系统 x ( k + 1 ) = 厂( z ( 尼) ，k ) ( 2 1 0 ) 其中，k i = h + i l i = o ，1 ，2 ，；j j i o ) ，x ( 七) r “，( 工( 尼) ，七) ：r ”x i _ r “。假设对 于每个x o r “及对每个初始时刻 0 ，方程( 2 - - 1 0 ) 有唯一解x ( k ；x o ，h ) ，且 x ( o ；x o ，h ) = x o 。我们假设，对于所有k i ，f ( x ，k ) - x 成立的充要条件是z = 0 ， 因此，方程( 2 1 0 ) 有唯一的平衡点x = 0 。 定义2 1 6 2 离散时间系统( 2 - - 1 0 ) 的平衡点x = 0 称为是稳定的，如果对 于任给的占 o 及任何非负整数 ，存在万= 万( 占，j 1 1 ) o ，使当0 而8 万时，有 i i x o ( 与五和占无关) 及一r ( 占) o ( 与办无关) ，使得当0 0 o ，存在一个万( 占) o ，使得恢l l o 及非负整数 ，存在一个卢= ) o ( 与h 无关) ，使得当0 x o l l 口时， 有 i x o ( k ；x o ，h ) l l - 0 ，任何占及h r + 存在t ( e ，口) ( 与h 无关) ，使得当 l o ，存在( ) ， i x o l l - t o 成立。 以上关于稳定性的概念均是l y a p u n o v 意义下的。 2 2 2 稳定性理论 考虑非线性定常离散时间系统 x ( k + 1 ) = 厂( x ( 尼) ) ，k = 0 ，l ，2 ， ( 2 一1 1 ) 并且假设f ( o ) = 0 ，即x = 0 为其平衡状态，我们有下面定理。 定理2 1 【明对于离散时间系统( 2 一1 1 ) ，如果存在一个相对于x ( k ) 的标 量函数矿 工( 尼) ，且对任意x ( k ) 满足： ( 1 ) 矿 x ( 尼) 】为正定的： ( 2 ) a v x ( k ) 】= v x ( k + 1 ) 一y x ( 七) 负定； ( 3 ) 当i l 石( 删专0 0 时，有矿b ( 七) 】j ； 则原点平衡状态，即x = 0 为大范围渐近稳定的。 定理2 2 t 6 2 】对于离散时间系统( 2 1 1 ) ，如果存在一个相对于x