（应用数学专业论文）混合有限元的保辛及保多辛结构性质.pdf

2 0 0 4 年首都师范大学硕士毕业论文 混合有限元的保辛及保多辛结构性质 王彦红 ( 首都师范大学数学系，北京，1 0 0 0 3 7 ) 中文摘要 我们知道有限元方法以及辛算法和多辛算法是解偏微分方程数值饵的重要方 法这篇论文致力于研究两者之间的联系 哈密顿系统最重要的性质是庞加莱一列维尔的一系列相面积的守恒，即系统的 相流是个单参数的保辛变换在用数值方法求解这些系统时，我们希望能保持这 一属性。此类方法称为辛算法 在离散力学和场论中，离散变分是非常重要的方法，尤其是对哈密顿形式最 近。差分离散变分被应用于离散的拉格朗日系统和哈密顿系统，两者是由离散的( 协 变) 勒让得变换进行转换类似，对于混合有限元格式，是否也存在某种辛和多辛 结构，这是本文研究的重点问题 本文在介绍一维和二维非线性椭圆方程混合有限元离散变分后，进一步利用作 用函数的啥密顿原理和外微分的幂零性，得到了一类特殊方程的混合有限元离散格 式以及保辛和多辛结构的性质而且我们还进一步证明了混合有限元保辛( 多辛) 结 构的充要条件是相应的1 一形式是闭的，而不要求系统在运动方程的解空间里 关键词：( 辛算法，辛结构，多辛结构，有限元法，混合有限元法) 2 0 0 4 年首都师范大学硕士毕业论文 s y m p l e c t i ca n dm u l t i s y m p l e c t i cs t r u c t u r e - p r e s e r v i n gi nm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d y a m h o n gw a n g ( d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，c a p i t a ln o r m a lu n i v e r s i t y ) ( b e r i n g ，1 0 0 0 3 7 ) a b s t r a c t w ea l lk n o wt h a tb o t hf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ，s y m p l e c t i ca l g o r i t h ma n dm u l t i - s y m p l e c t i ca l g o r i t h ma r ep o w e r f u lt o o l st os o l v ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sn u m e r i c a l l y t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt os t u d y i n gs o m er e l a t i o n sb e t w e e nt h e m t h em o s ti m p o r t a n tp r o p e r t yo fh a m i l t o n i a ns y s t e m si st h ep o i n c a r ea n dl i u v i l l e l s c o n s e r v a t i o nl a wo fp h a s e8 x e a s ，i e ，t h ep h a e e f i o wi s8o n e - p a r a m e t e rs y m p l e c t i ct r a u s - f o r m a t i o n i nn u m e r i c a l l ys o l v i n gt h e s ee q u a t i o n s ，w eh o p et h a tt h en u m e r i c a ls c h e m e s c a nh o l dt h i sp r o p e r t ya n dt h ec o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a lm e t h o d sa r ec a l l e dn ss y m p l e c t i c m e t h o d s i nt h ed i s c r e t em e c h a n i c so rf i e l dt h e o r i e s ，d i s c r e t ev a r i a t i o np r o b l e m sp l a ya ni m - p o r t a n tr o l e ，p a r t i c u l a r l y , f o rt h e d i s c r e t eh a m i l t o n i a nf o r m a l i s m r e c e n t l y , t h ed i f f e r e n c e d i s c r e t ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ( d d 、l r p ) a p p r o a c hh a sb e e np r o p o s e di nt h eb o t hd i f f e r e n c e d i s c r e t el a g r a n g i a na n dh a m i l t e n i a nf o r m a l i s m st h a tr e l a t ee a c ho t h e rb yd i s c r e t el e g - e n d r et r a n s f o r m a t i o no ri t sc o v a r i m a tf o r m s i m i l a r l y , w h e t h e rt h em i x e df i n i t ee l e m e n t e e h e m e sa l s oh a v es o m eh i d d e ns y m p l e e t i ca n dm u l t i s y m p l e e t i cs t r u c t u r e si st h ei m p o r t a n t p r o b l e mw h i c h h a sb e e nd i s c u s s e di nt h i sp a p e r i nt h i sp a p e r a f t e rw e p r o p o s et h em i x e d f i n i t ee l e m e n td i s c r e t ev a r i a t i o n a la p p r o a c h f o rt h es e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o ni no n e - d i m e n s i o n a la n dt w o - d i m e n s i o n a ls p a c e ，w eg e t t h em i x e df i n i t ee l e m e n td i s c r e t ev e r s i o no f e q u a t i o na n ds y m p l e c t i c m u l t i s y m p l e e t i cs t r u c - t t t r ep r e s e r v i n gp r o p e r t i e s ，b a s i n go nt h eh a m i l t o n sp r i n c i p l ea n dn i i p o t e n c yo fe x t e r i o r d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r a n dw eh a v ea l s op r o v e dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t h em i x e df i n i t ee l e m e n ts y m p l i e t i e m u l t i s y m p l e c t i cc o n s e r v a t i o nl a w si sd i r e c t l yr e l a t e d t ot h ek e r n e lo ft h er e l e v a n tf i r s te l ( e u l e r - l a g r a n g e ) c o h o m o l o g yr a t h e rt h a nt h es o l u t i o n s p a c eo ft h ee q u a t i o no fm o t i o n s k e y w o r d s ：s y m p l e c t i ca l g o r i t h m ，s y m p l e c t i es t r u c t u r e ，m u l t i s y m p l e e t i cs t r u c t u r e ， 6 n i t ee l e m e n tm e t h o d m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ! ! 丝笪查堑垂盘堂塑主望些笙塞 1 引言 经典力学有三种等价的数学形式体系：牛顿( n e w t o n ) 体系、拉格朗日( l a - g r a n g e ) 体系、哈密顿( h a m i l t o n ) 体系，其中哈密顿体系具有突出的对称形式， 一直是物理学理论研究的重要数学工具在实践上选定哈密顿形式为基本形式，其 动机；一是哈密顿方程具有对称的形式，它把位形空间内的二阶运动方程转化为相 空间内的一阶正则方程组；二是一切真实的、耗散可忽略不记的物理过程都可以表 示为啥密顿体系哈氏体系的应用范围很广，很多方面的应用已被列为美国研究计 划的重点。g r a n dc h a l l e n g e s ，二十世纪量子力学创始人之一s c h r i ；d i n g e r 曾说过； “哈密顿原理已经成为现代物理的基石如果您要用现代理论解决任何物理闻 题，首先得把它表示为哈密顿的形式”【1 】 论文的第一章首先简要概述了哈密顿系统的辛几何背景以及对连续力学及场论 的拉格朗日形式和哈密顿形式的变分哈氏体系的数学基础是辛几何辛几何是现 代物理和力学的基础，它与欧氏几何一样起着重要作用辛几何历史可追溯到1 9 世纪英国天文学家哈密顿他为了研究牛顿力学，引进广义坐标和广义动薰来表示 系统的能量，现在通称为哈密顿函数对于自由度为n 的系统，n 个广义坐标和1 2 个动量，张成2 n 维相空间于是。牛顿力学就成为相空间中的几何学，用现代的 观点来看，这是一种辛几何学随后很多工作者从不同角度对它进行研究进入八 十年代后，整体辛几何的研究相继出现，如硬辛几何的研究( 如g r o m o v 等人的研 究) 、辛映射不动点的研究( 如c o n l e y , z e h n d e r 的a r n o l d 猜测) 、矩映射凸性的研 究( 如a t i y a h ，g u n e m i n ，s t e r n b e r g 等人的研究) 可见，不仅辛几何本身的研究是极 其丰富而有生命力的，而且它的应用领域极其广泛t 如天体力学、几何光学、等离 子体物理、高能加速器的设计、流体力学、弹性力学、最优控制等 哈密顿体系的个重要问题是稳定性问题，在几何上的特点是它的解在相空问 上是保面积的，其特征方程的根是纯虚数的所以不能用经典的渐近稳定理论来研 究它们长期以来，国际上对于这一具有重要物理意义的哈密顿方程的计算方法几 乎是空白这种状况与哈氏系的普适性与重要性相对照是很不相称的冯康于1 9 8 4 年在微分几何和微分方程国际会议上发表的论文 2 1 差分格式与辛几何，首次 系统地提出哈密顿算法( 即辛几何算法或辛几何格式) ，提出从辛几何内部系统构 成算法并研究其性质的途径，提出了他对整个问题领域的独特见解，从而开创了晗 密顿算法这一富有活力及发展前景的新领域，这是计算物理、计算力学和计算数学 的相互结合渗透的前沿界面工作主要成果有： ( 1 ) 提出了基于辛几何的哈密顿算法及完整的理论框架，是国际上最早系统 地研究并建立辛几何算法的 ( 2 ) 提出非线性算子的分式达布( d a r b o u x ) 变换，并在此基础上发展了辛 变换的生成函数的系统理论 ( 3 ) 系统地提出了用生成函数方法构造出任意阶精度的辛格式的方法，分析 了它们的守恒性 2 0 0 4 年首都师范大学硕士毕业论文 2 ( 4 ) 辛格式具有独特的计算稳定性与长时间跟踪能力，能正确地反映原系统 的定性的、拓扑的及结构的性质，反映系统的本来面貌，避免了传统的非辛算法带 来的人工耗散及种种非系统所本有的干扰传统算法除极个别例外均非辛，大都是 面向渐近稳定系统设计的，都含有耗散机制以保证计算稳定性，哈密顿系统不具有 渐进稳定性，这些算法不可避免地带进人为耗散性，最终导致严重歪曲、失真 辛算法不含人为耗散性，先天地避免了一切非哈污染，是“干净”的算法一切 辛算法都拥有自己的形式不变量。它对于原有不变量的逼近阶与算法本身的逼近阶 相当哈氏算法的体系结构与守恒律完整并行，高度逼近于哈氏原形，而且拥有理 论上无限长期跟踪能力因此，一条正确计算牛顿运动方程的途径就是先把方程哈 密顿化，然后运用哈密顿算法 第二章我将介绍有限元法的概念以及有限元变分形式，即能量泛函极小原理 有限元方法是求解偏微分方程数值解的一个重要方法最早利用有限元法处理偏微 分方程近似解始于4 0 年代的c o u r a n t 等人1 9 6 5 年冯康在应用数学与计算数 学上发表的论文基于变分原理的差分格式【3 】，是中国独立于西方系统地刨 始了有限元法的标志这是为了解决平衡同题的系统化算法为保证几何上的灵活 适应性。对区域n 可作适当的割分，取相应的分片插值函数，构造出一个有限维空 间s ，是原问题的解空间即c j i 索伯列夫广义函数空间h l ( n ) 的子空间基于 变分原理，把与原问题等价的在h l ( n ) 上的正定二次泛函极小问题化为有限维子空 间s 上的二次函数的极小问题，正定性质得到严格保持 这样得到的离散形式叫做基于变分原理的差分格式有限元法与其它差分法相 比有独特的优越性它的网格割分灵活，适用区域广泛，还可以根据基函数的需要 疏密有致地、自如地布置节点，因而对区域的形状有较大的适应性而且，有限元 法在实际应用上的更大优势还在于它与大容量的计算机相结合，可以编制通用的计 算机程序，代表着计算方法的进步 7 0 年代初，b a b u s i k a 4 和b r e z z i | s 创立了混合有限元的般理论其主要的结 果就是所谓的b - b 稳定性条件为了使混合有限元法能够解决更多、更广泛的 问题，得到更高的计算精度，舳年代初，f a l k 和o s b o r n 提出了一种改进脖方法， 扩大了混合有限元的应用范围，使混合有限元得到更进一步的发展但是，作为有 限元的一个前沿分支，它的理论仍有待于进一步的发展与完善，它的应用有待于进 步的推广我们讨论混合有限元的原因在于，其相对于标准的有限元有以下优点 【8 】： ( 1 ) 混合有限元的解空间( 即有限元或有限维空间) 的光滑度较普通的有限元 ( 也称为标准有限元) 的解空间的光滑度低，从而容易构造出混合有限元空间，并可 提高计算的精度 ( 2 ) 在工程问题中，函数1 1 的梯度v 通常具有更重要的意义u 通常表示 电势场、压力场、重力场等数量场v “表示电场强度、流场等向量场在流体力 学和电动力学中，这些向量场支配着质量、电量、能量等的运动因此，高精度的 模拟v u 十分重要而用标准有限元法时，v “是通过求导效数值微分得到的精 ! ! 丝堇塑堑整盘堂塑望些煎圭 3 度必然降低混合有限元则可解决这一问题，使u 和v u 在各自不同的有限元空间 中按其有限元空间的精度得到逼近，从而减少了计算过程中的许多工作量和计算所 造成的误差 ( 3 ) 混合有限元对处理高阶方程和含有两个或两个以上未知函数的方程更便 利，且宜于数值处理 文章的后两部分将具体介绍一下我在原有的保结构算法的基础上所做的一些 扩展及其成果上面我们简单介绍了哈密顿系统的辛算法以及有限元算法的发展历 史以及各自的优越性那么对于哈密顿体系的辛算法和有限元算法有什么内在的联 系? 本文第三部分以一维及二维非线性椭圆方程为例，在对极小泛函进行标准有限 元离散变分的过程中，运用了差分算子这样我们不仅得到了方程的标准有限元离 散格式，同时还得到了保辛及多辛结构的性质利用外微分的幂零性，我们还得到了 保结构性质的充要条件第四部分我们同样以一维及二维非线性椭圆方程为例，对 其极小泛函进行混合有限元离散变分类似。我们在得到混合有限元格式的同时， 也得到了相应的辛及多辛结构通过这些计算我们可以看到某些有限元的确存在着 保结构的性质 ! ! 丝堇塑堑垂叁芏塑望些堡圭 4 第一章辛几何及连续变分原理的回顾 当代科学计算的主题是求解各种各样的物理方程而牛顿运动方程又在众多的 物理方程中占有重要地位在经典力学和场论中，守恒牛顿方程又有两种形式：拉格 朗日形式和啥密顿形式拉格朗日形式是在位形空间的二阶运动方程。通过勒让得 变换可变为相空间的一阶运动方程组，即哈密顿形式两种不同的形式描述的是同 一物理规律，但不同的外形差异会启发出解决问题的不同途径，从而收到不同的效 果而辛几何是相空间的几何，是哈密顿体系的数学基础与欧氏几何相比它是研 究面积的几何而辛几何在数值分析中的应用就是辛算法这种算法使离散化的方 程保持原有系统的辛结构，恢复离散哈密顿力学的本来面貌 1 1 哈密顿系统的辛几何背景 首先我们简单介绍位形空间和相空间位形空间描述了力学系的位置状态 对于n 个自由度( 这里与广义坐标数相同) 的体系s ，位形空间m ； 口) ，其中 q = 矿，q 2 ，矿) 称为广义坐标为了描述s 的状态，我们还需要广义速度4 = 爰q 1 ，磊dq 2 ，爰口“，或者广义动量p = 如l ，p 2 ，p n ) ，其中m = 券，女= 1 ，2 ，n 这里工是系统的拉格朗日函数动力系统随时间的变化可看成m 中的曲线 矿( t ) 则拉格朗日函数工为位形空间 矿，矿 的函数，即是m 的切丛t m 上的个函数 场而啥密顿函数日是相空间 矿，p k ) 的函数，即是m 的余切丛p m 上的函数 场 辛几何是相空间的几何学，赋予了辛结构的相空间也称为辛空间 定义1 1 1设m 是一个一般的2 n 维流形，称m 上的2 一形式u 为一个辛 形式，如果 ( 1 ) t o 是闭的，即幽= 0 ； ( 2 ) t o 是非退化的，即对任意向量场x ，若有i x w = 0 ，则x = 0 u 给m 以辛结构，而偶( m ，u ) 称为辛流形 其中i x 为内乘算子，定义如下t 定义1 1 2若x 是流形m 上的光滑向量场，算子i x ：a ( m ) 一a k - 1 ( m ) ，满 足以下条件， ( 1 ) 如果，a o ( m ) = c 。( m ) ，i x = 0 ， ( 2 ) 如果u a k ( m ) ，则v x l ，x k l x ( m ) ， i x w ( x , ，瓤一1 ) = u ( x ，x 1 ，甄一1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 则称圾是用x 内乘或用x 收缩其中x ( m ) 是m 的光滑向量场空问 对于辛形式，我们有t 定理1 1 1 ( d a r b o u x ) 1 】辛形式u 存在的充分必要条件是。对于每一$ m ，存 在局部坐标系 矾讲，使得妒( z ) = 0 r x 于p ( t ) = ( z 1 “) ，矿( u ) ，矿( u ) ，旷( u ) ) ，“ 2 0 0 4 年首都师范大学硕士毕业论文 u 有 u = d x a d y f 1 13 1 利用t + m 上的坐标( m p ) ，我们若定义 n u = d p k a d 矿， ( 11 4 ) k = 1 则t m 就有个自然辛结构，此时( t m ，u ) 成为一个辛流形，u 就是余切丛t + m 的2 一形式，也称为正则2 一形式很容易看出，正则2 一形式“可由定义在t + m 上的正则1 一形式 n 口= m 由 ( 1 1 5 ) k = l 给出。事实上u = d o 辛空问所具有的这种特定的辛结构，取决于一个双线性，反对称的非退化内积 一辛内积t 陋，y 】= ，( 1 1 6 ) 其中： j = j 2 n 1 三斗 ”， 一般地，辛内积是面积度量，由于内积的反对称性，对于任意的z 恒有k ，z 】= 0 ，所 以不能由辛结构导出长度概念，这是辛几何与欧氏几何的根本差别由于奇数维中 不存在非退化的反对称矩阵j ，因此辛空间必定是偶数维，相空间正是如此概括来 说，辛几何是研究面积的几何学 辛几何中一对一的线性变换称为辛变换，也叫正则变换，如果满足下面的定义t 定义1 1 3一个铲n 一丑“中线性变换8 称它为辛的，如果它保辛内积 k ，8 训= 陈，叫比， r 2 “ 定理1 1 2辛空间上的一个线性变换8 是辛的充分必要条件，为 卜簇， ，oh 1 、 【肌。一硒 5 2 0 0 4 年首都师范大学硕士毕业论文 就可以写成为： 宰：j 一1 掣( 1 a 9 ) d td z 其中z = ( p ，q ) ，是一对n 维向量在辛变换下，哈密顿方程的正则形式不变，哈密 顿动力学的基本原理是：对于任意哈密顿体系必定存在依赖日及时刻t o ，t l 的辛变 换族( 即相流) g 鲁4 0 ，使得： z ( q ) = g 0 2 ( o o ) ( 1 11 0 ) 也就是说g 留o o 把t o 时刻的状态变为t 时刻的状态因此哈密顿动力学体系的演 化永远是辛变换的演化， 而辛算法的开创正是基于这一基本的定理，使离散以后的方程保持原有系统的 辛结构它的离散相流可以看成一系列离散辛变换，从面保持一系列的相面积和相 体积守恒在了解离散情形之前，先让我们了解一下连续条件下力学和场论的变分 1 2 连续力学与场论的变分 哈密顿原理是分析力学中最重要的个原理由此理论可导出拉格朗日方程或 正则方程，并建立整个分析力学体系哈密顿原理是变分的积分原理所以先简单 介绍变分算子 9 - 1 1 t 对于g ( z ) 的全变分定义如下t 扛) 一9 7 ( z 7 ) = ( z ) + 民( z ) ( 1 2 1 ) 其中t 1 5 t y ( z ) = 凡y ( z ) + j h y ( x ) 5 。y ( x ) = y 1 0 ) 一扛) ， 5 h y ( = ) = y l ( 7 ) 一矿( z ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 瓦，民分别为竖直变分和水平变分这里我们主要考虑如竖直变分是在自变量不 变的条件下函数自身的变化 简单来说哈密顿原理就是用竖直变分算子求解真实运动的方法 定义1 2 1 s ；，“l ( q ，出 j l s 被称为啥密顿作用量 总动能，y 为总势能 ( 1 2 5 ) 式中工为拉格朗日函数，它定义为l = t v ，t 为系统的 那么哈密顿原理具体表述表示为t 在相同的始终位置和等时( 竖直) 变分条件 下，保守系所可能的真实运动使哈密顿作用量取极值，即，5 v q ( t 1 ) 】_ 5 v q ( t 2 ) _ 0 时 r t o 凡s = 以l ( g ，口，t ) d t = 0 ( 1 2 6 ) 6 ! 塑! 董垄堑蕉叁堂塑圭芏些堂皇 7 a 那么如何通过竖直变分得到真实运动呢? 首先让我们看一下连续力学的具 体变分过程时间t r 1 是底流形，m 是t 上的位形空间，其坐标为口k ，k ：1 ，n t m 是m 上的切丛，坐标为( q k , 矿) f ( t m ) 是t m 上的函数空间系统的拉格朗 日函数表示为l ( q ，矿) 瓦s = r 2 出f 研o l 以q k + 哥o l 啪 = ，f “t t 2 。a o q l k 。j 。k + j d 、d 0 4 l 。6 。k ) 一i d t 、d o 口l s 1 ( 1 2 7 ) = 序( 砑o l - _ d 蝌c 8 l ，5 。q k + 券训： 可见由引矿( 1 ) j _ 瓦矿渤) 】- 0 和矗占= 0 ，便可得到拉格朗日方程t 丝o 一袅纂姐(12_8)qk一一磊百器。“ 【l + z 。8 j 与6 相对应，我们介绍一下全微分算子f 目： d # 也+ d h ，d 2 = 0 ， 也，d h = d t ，如+ 如也= 0 这里如是沿着底流形的外微分，满足普通的l e i b n i z 法则 的外微分对于一个竖直变分向量场； 那么 f q = 时杀 “矿= i 矗也矿 用也代替如我们可得； d t j 叫嚣一面d 叩o l d v q 吲d , 咖o l d v 幽 我们有t 也l ( q k , q ) = e ( 矿，矿) + 孤d 口， ( 1 2 9 ) 而也是沿着位形空闻 ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 3 ) 这里e ( q ，矿) 称为e u t e r - l a g r a n g e ( e l ) 1 一形式，口称为正则1 一形式，分别表示 为t e ( 扎) i = 。o _ - l 五d 硒o l 矿 恬罢如矿 啪“ ( 1 2 1 4 ) ( 1 2 1 5 ) 2 0 0 4 年首都师范大学硕士毕业论文 由如的幂零性，即= 0 ，司知 d ”e ( q k , 矿) + 羞“= o ( 1 21 6 ) 这里u ：= 出日是辛2 一形式 于是我们的得到了下面的定理i n ： 1 存在e l 上同调： h l m ( 拉格朗日力学的上同调) ：= p ：出口= o o ：日= d v o r ，这里n = a ( q ，矿) ，是 ( 矿，矿) 的任意函数 2 保辛结构，即盖。= o ，的充要条件就是相应的e l l 一形式是闭的，而不是系统 仅在解空间内 为了得到哈密顿形式，我们要用到勒让得变换，即 m ：竺， ( 1 - 2 1 7 ) m 。丽， l 。“j 于是我们得到了哈密函数： h ( q k , p k ) = j h 口“一l ( 矿，口) ， ( 1 2 1 8 ) 那么哈密顿形式的拉氏量为， l ( q k , p k ) = p m 扩一h ( q k , p k ) ( 1 2 1 9 ) 因此： 乱三；p 女“矿+ 矿如k 一百o f h 。q k 一百o 瓦h 咖k = 矿矗m + 丢扫t 瓦g ) 一办凡q k 一硒o h 。”q k 一篆巩p - ( 1 2 2 。) = ( 扎筹) 地一慨+ 砑o h m k + 夏d 慨时) 同样我们用也代替矗，则我们可以得到 如工= ( 矿一篆) d t | m 一k + 哥o h j q k + 五d 。k 也q ) ( 122 1 ) 所以，正则方程为： 卜篱 。艘， 1 a h 、7 【m2 一矸 8 2 0 0 4 年首都师范大学硕士毕业论文 9 卜q 势 ( 1 。粥) l 岛叫。一筹m ，n 。 u = d 。m d 。q ( 12 2 4 ) 和拉格朗日形式一样，保持辛结构墨“= o 的充要条件为e l 1 一形式是闭的 b 对于场论的变分和前面类似，所以介绍稍微简略些它们主要区别在于场论 的底流形是n 维流形x ，坐标为扩，肛= 0 ，n 一1 ，而不是r 1 这里z o 代表时间 t 系统的拉格朗日函数为l ( 铲，u ：) ，u = 矿( ) ，k = 1 ，s ，u ：= 孔。o x 也l = 砑o l 也u k + 石0 ( o 。l ) 一百0 ( o 。l 妒 雌2 5 1 = ( 筹一而c o 砸o l ) + 丽0 獗0 l 蹦) 。 d 。l ( ，u ：) = f ( u ，“：) + a 日“a ( 1 2 - 2 6 ) e ( u k ，啦) = 丽c g l 一丽0 0 l ( 1 2 2 7 ) 是e l l 一形式，正则1 一形式为： ：= 丽o l d u 矿 ( 1 2 2 8 ) d e ( u ，：) = 0 ， ( 1 2 - 2 9 ) n 笔- 1 而0 扩= o ( 1 2 3 0 ) 2 0 0 4 年首都师范大学硕士毕业论文 1 0 对场论有广义勒让得变换及广义协变勒让得变换对于哈密顿形式，广义勒让 得变换为： 萨罴 1 z a l ) ”一丽 j 其中驴= 孤d u k 通过广义勒让得变换，哈密顿函数日为： h = “h i ”一l ， 则 l = 。i “一h 对于协变哈密顿形式，广义协变勒让得变换为： “ o l 9 z2 蕊 得到的协变哈密顿函数钾为t 爿= 礁吼”一l ， 所以有： l = 醮以“”一h 对l 进行竖直外微分，我们得到： d t l l = a 。u k d 硝+ d t ，钆小一筹d t ，矿一研0 7 i 也碟 = ( 钆u l 嚣) d l | 硝一( 钆+ 象胁+ 去雠也幽 所以可以得到方程： f 2 嚣 【似= 一筹 e l l 一形式： 卜地矿一簇瞄 l 岛= ( 钆硝+ 券m 2 ( 1 2 3 2 ) ( 1 2 3 3 ) ( 1 2 3 4 ) ( t 2 3 5 ) ( 1 2 3 6 ) ( 1 2 3 7 ) ( 1 2 3 8 ) ( 1 23 9 ) 多辛结构为： s u “：= 如碟a d c ，u 。( 1 - 2 4 0 ) k = 1 删年首都师范大学硕士毕业论文 这样就有保多辛结构，即j = 0 ，的充要条件依然是相应的e l1 一形式是 ：昌o z 闭的 上面分别对连续力学及场论的拉格朗日形式和( 协变) 哈密顿形式作了分析，我 们可以看出对作用函数进行变分是一种非常重要的方法用这种方法在得到拉格朗 日方程( 正则方程) 的同时还得到了正则1 一形式而且由于竖直外微分的幂零性 ，我们得到保辛结构的充要条件是e l1 一形式是闭的，而系统不一定在解空问 那么对于离散的情形，我们用离散变分会得到什么结果? 以前用变步长差分离散变 分得到了相应的差分离散格式【1 1 】对于有限元离散又会得到什么样的离散格式，是 否能保辛结构呢? 下面一章先简单介绍有限元的相关知识 2 0 0 4 年首都师范大学硕士毕业论文 第二章有限元法和混合有限元法的简介 当代计算方法研究的一条不成文的的基本法则是；问题原型的基本特征在离散 后应该尽可能地得到保持而为了达到这一效果。则离散化尽可能在问题原型的同 一框架中进行有限元方法正是把离散纳入原型的解所组成的s o b l e v 函数空间的同 一框架中进行，使得对称性、正定性、守恒性等基本特性得到保持，从而从根本上 保证了实用上的有效性和可靠性，同时使得理论的建立相当容易 2 1 有限元法的理论基础 首先让我们简单介绍有限元的理论基础，这里我们主要以椭圆型偏微分方程为 侵h 在介绍广义解( 即变分方程的解) 之前，我们需要简略介绍s o b o l e v 空间 设ec 俨是有界开集，口( e ) 是e 上无穷多次可微且紧支集在e 内部的函数构 成的线性空间，( e ) 是口( e ) 的对偶空间( 亦称为分布空间) ，( ，一) 。表示它们的对 偶内积下面用到的n 表示自然数的集合 定义2 1 1 设a = ( a l ，n 2 ，如) ”，h = 啦，若v u 口他) ，都有 i = l ( 矿u ，妒) 。= ( - 1 ) l 圳( “，铲妒) 。，v 妒口( e ) ， ( 2 1 1 ) 则称扩u ( e ) 是u 的蚓阶广义导数 注- 当c i a l ( 习( 伊( _ ) 表示m 次连续可微的函数空间) 时，函数“的偏导数 a l 。l u = 0 1 。l u o z ? 1 a z 字如：n 为微分学中的通常的导数 定义2 1 。2设m n ，1 p so 。，p r ( 实数集) ，则s o b l e v 空间定义为 m 1 ( e ) = l 9 ( e ) ia o 酽( e ) ，l o i m ) ， ( 2 1 2 ) 其范数为 当p o 。时，0 v ”= ，i 铲 1 9 如戽 ( 2 1 3 ) i q l _ ， 对于方程( 2 3 2 ) 的r i t z 形式的导出稍微繁琐一些 ( 2 3 ，1 ) 的r i t z 形式： i 求u 吗( n ) ，使得 ij ( “) 2i n f j ( v ) v ”h 6 ( n ) 1 在这里j ( ) = ；( v ，v 。) 一( ，”) 现令声= v u ，则在n 上有d i v e + ，= 0 如果有 q = 彳i k 。( n ) ：d i v e + ，= o ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 首先我们回顾一下原问题 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 一 圳 圳 2 0 0 4 年首都师范大学硕士毕业论文 那么f q 所以原采的极值函数司以进行以f 的燹彤 j ( 。) = ；( v ，v ) 一( ，。) = ；( v u ，v u ) + ( d i 口甙 ) ：；( v 。，v 。) 一憾v 。) = ；( v ”一正v ”一回一；( 匠回 一；( 匠西 注，等号成立当且仅当彳= 乳所以有 删i n f 5j ( ”) - 硼i n f s u p 一；( 磊神) = 一躺j 1 ( 玩t i ) f 236 1 ( 2 3 7 ) 从上式看出于q 把范围缩小了，因此我们引入l a g r e m g e 乘子，消去q 中的约束 d i v e + | = 0 洲= 二，未。) = 晶乩 这样就得到； 襞互1 ( 正面= 采h i 机n f ( n ) ；( 匠回+ 6 ( 出”互+ ，i 。) 2 戎蕞( 喾) i ( 甙前+ ( 执f + ，”) 一 所以方程( 2 3 2 ) 的r i t z 形式为； i 求憾u ) h d 。( n ) l 2 ( n ) ，使得 ic 候u ) 2 呼s