（物理学专业论文）低维无序系统电子态性质的理论研究.pdf

摘要 报告共分为四章第一章扼要评述了有关a n d e r s o n 局域化的几个热点问题， 并介绍了局域化的标度理论以及我们研究同题所采用的方法在第二章，我们研究 了存在非对角无序情况下整数量子霍尔态到绝缘态的转变第三章和第四章分别讨 论了处在平均值不为零的无规磁场下2 维系统电子的局域化性质和2 维系统中长 程关联无序所导致的退局域化相变报告的最后，我们对从事的工作做了简要的总 结 ，长期以来，2 维无序系统中电子的局域化性质一直是人们感兴趣的问题根据 局域化的标度理论，任何小的无序都将导致2 维系统电子态的局域化然而，当2 维 系统处在均匀的强磁场下，由于时间反演对称性遭到破坏，扩展态将出现在由无序 展宽的l a n d a u 能带的中心这一现象和整数量子效应( i q h e ) 有关，对此已经做 了广泛的研究应该指出的是，以前的数值计算采用的格点模型只包含对角无序， 而非对角无序对i q h e 的影响至今无人研究最近人们发现，由于手征对称性，只 含有非对角无序的2 维系统将表现出反常的局域化行为，在报告的第二章，我们研 究了只存在j ! 壁塑重量情况下篓墼量至蕉然到竺燮转变利用转移矩阵和有 限尺寸的标度方法，我们计算了系统的局域化长度艋弱无序情况下，我们发现在 每一个l a n d a u 能带的中心，电子态是扩展的随着无序强度的增加，扩展态的位 置不向能带中心漂移，而是向带边方向移动。根据此图象我们发现了由高i q h e 态到绝缘态转变( n _ 0 ) 的可能性 第三章，我们研究了处于无规磁场( r m f ) b ( r ) = b o + 6 b ( r ) 下2 维系统 电子的局域化性质，其中b o 是无规磁场的平均值，娃i 是磁场空间涨落振幅f 在 6 b 比较弱的情况下。我们发现r m f 系统和i q r r , 系统是等价的，即能带被分成 一系列无序展宽的朗道能级，而在每个朗道能级的中心电子态是扩展的随6 b 的 增强，扩展态按能量发生漂移，这和i q h e 的漂移图象类似扩展态的这漂移图 象可以持续到平均磁场很弱的情形我们还发现和每一个朗道能级对应的临界能量 l l 总是和平均磁场b o 成正比，这和i q h e 的相图是一致的 1 1 最近，关联无序对低维系统局域化性质的影响引起人们的特殊兴趣研究表明， 当在无序的分布中引入某种短程的或长程的关联之后，系统的局域化性质将发生巨 大的变化在报告的第四部分，我们研究了具有长程关联无序的2 维系统电子的输 运性质长程关联无序的在位格点能量可以通过修正的傅立叶过滤方法来生成，其 特定的能谱密度为s ( q ) o ( i q l ，这里s ( q ) 是两点关联函数( e i 勺) 的傅立叶 变换，d 描述了关联的强度对于不同的q 我们计算了系统的局域化长度和电导 当有长程关联的情况下，我们发现存在一组连续的临界点，在该区域电导和样品的 宽度无关这表明系统发生了k o s t e r l i t z - t h o u l e s s 类型的金属一绝缘体转变l i 、 1 1 1 a b s t r a c t t h i sr e d o f tc o n s i s t so ff o u rp a r t s c h a p t e rl 舀v e sab r i e fr e v i e wo fr e - c e n td e v e l o p m e n to fa n d e r s o nt r a n s i t i o n t h es e a l i n gt h e o r yo fl o c a l i z a t i o n a n dt h en u m e r i c a lm e t h o du s e di no u rc a l c u l a t i o n sa x ea l s op r e s e n t e di nt h e c h a p t e r i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h eq u a n t u mh a l lt oi n s u l a t o r t r a n s i t i o ni n t h ed r e s e n c eo fo f f - d i a g o n a ld i s o r d e r r h e l o c a l i z a t i o nb e h a v i o ro fe l e c t r o n s i nat w o - d i m e n s i o n a l ( 2 d ) s y s t e ms u b j e c tt oar a n d o mm a g n e t i cf i e l dw i t h af i n i t em e a ni sd i s c u s s e di nc h a p t e r3 i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h el o c a l i z a t i o np r o p e r t i e so fe l e c t r o n si nat w o - d i m e n s i o n a ls y s t e mw i t hl o n g - r a n g e c o r r e l a t e dd i s o r d e r ，a n dt h e1 a s tc h a p t e ri sd e v o t e dt ob r i e fs u m m a r ya n d d i s c u s s i o n t h e r eh a sb e e nal o n gl a s t i n gi n t e r e s ti nu n d e r s t a n d i n gt h el o c a l i z a t i o n p r o b l e mi n2 dd i s o r d e r e ds y s t e m s a c c o r d i n gt ot h es c a l i n gt h e o r yo fj o c a l i z a t i o n a 1 1s t a t e sa r ei o c a l i z e di na2 ds y s t e r ni fo n l ys c a l a rr a n d o mp o t e n t i a l i sp r e s e n t h o w e v e r ，i nt h ep r e s e n c eo fau n i f o r mm a g n e t i cf i e l d ，t h et i m e - r e v e r s a ls y m m e t r yi sb r o k e na n de x t e n d e ds t a t e sa p p e a ra tt h ec e n t e r so ft h e d i s o r d e r e db r o a d e n e dl a n d a ub a n d s t h ee f f e c th a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e d i nc o n n e c t i o nw i t ht h ei n t e g e rq u a n t u mh a l le f f e c t ( i q h e ) m o s to fp r e v i o u s s t u d i e sf o c u s e do nt h et i g h t b i n d i n gm o d e lw i t ho n l yd i a g o n a ld i s o r d e r t h e r o l ep l a y e db yt h eo f f - d i a g o n a lr a n d o m n e s si nt h ei q h eh a sn o ts t u d i e du p t on o w i nc l l a p t e r2 w eh a v es t u d i e dt h ed i s o r d e r - i n d u c e dq u a n t u mh a l l t oi n s u l a t o rt r a n s i t i o ni nal a t t i c em o d e lw i t ho n l yo f f - d i a g o n a ld i s o r d e r ，e c a l c u l a t et h el o c a l i z a t i o nl e n 鼬ho fs u c hs y s t e m sb yt h ef i n i t e - s i z es c a l i n g m e t h o dc o m b i n e dw i t ht h et r a n s f e r - m a t r i xt e c h n i q u e i nt h ec a s eo fw e a k d i s o r d e r ，as e r i e so fe x t e n d e ds t a t e sa r ef o u n da tt h ec e n t e ro fe a c hl a n d a u b a n d w j t hi n c r e a s i n gd i s o r d e rs t r e n g t h ，t h ep o s i t i o n so ft h ee x t e n d e ds t a t e s d on o tf l o a tu pj ne n e r g yb u tm o v et o w a r d st h ed i r e c t i o no f 】o w e re n e r g y b y s t u d y i n gt h e1 0 c a l i z a t i o nb e h a v i o ro ft h es y s t e ma taf i x e df e r m ie n e r g yn e a r t h ec e n t e ro ft h en t hp l a t e a ua tw e a kd i s o r d e r ，ad i r e c tt r a n s i t i o nt oi n s u l a t o r m - 0 ) i sr e v e a l e da sd i s o r d e rs t r e r l g t hw i si n c r e a s e d t h ec r i t i c a ld i s o r d e r 阢f o rn _ 0t r a n s i t i o ni sf o u n dt om o n o t o n i c a l l yd e c r e a s ew i t ht h ed e c r e a s e o fm a g n e t i cf i e l 凼，a n dc a nb ee x t r a p o l a t e dt oz e r oa tz e r om a g n e t i cf i e l d o n rr e s u l t ss h o wt h a tt h er o l e o fo f f - d i a g o n a ld i s o r d e ri sq u i t es i m i l a rt ot h a t o fd i a g o n a ld i s o r d e ri nt h ei q h es y s t e l l i s i nc h a p t e r3 w eh a v es t u d i e dt h el o c 舡i z a t i o np r o p e r t i e so fe l e c t r o n si n at w o - d i m e n s i o n a ls y s t e mi nar a n d o mm a g n e t i cf i e l db ( r ) = b 0 + 5 b ( r ) w i t ht h ea v e r a g eb 0a n dt h ea n l p l i t u d eo ft h em a g n e t i cf i e l df l u c t u a t i o n s 5 b i nt h ec a s eo fw e a k5 b ，w ef i n dt h a tt h er a n d o mm a g n e t i cf i e l ds y s t e m i se q u i v a l e n tt ot h ei n t e g e rq u a n t u mh a l le f f e c ts y s t e m ，n a m e l y , t h ee n e r g y b a n ds p l i t si n t oas e r i e so fd i s o r d e rb r o a d e n e dl a n d a ub a n d s a tt h ec e n t e r so f w h i c hs t a t e sa r ee x t e n d e dw i t ht h el o c a l i z a t i o nl e n g t he x p o n e n t = 2 3 4 士 0 0 2 w i t hi n c r e a s i n g6 b ，t h ee x t e n d e ds t a t e sf l o a tu pi ne n e r g y , w h i c h i ss i m i l a rt ot h el e v i t a t i o ns c e n a r i op r o p o s e df o rt h ei n t e g e rq u a n t u mh a l l e f f e c t s u c hr ne v o l u t i o np i c t u r eo ft h ee x t e n d e ds t a t e sc a np e r s i s ti n t ov e r y w e a ka v e r a g em a g n e t i c 矗e l d s i ti sf o u n dt h a tt h ec r i t i c a le n e r g yj 毫f o re a c h l a n d a ub a n di sa l w a y sp r o p o r t i o n a lt ot h es t r e n g t ho ft h ea v e r a g em a g n e t i c f i e l db 0 ，c o n s i s t e n tw i t ht h ep h a s ed i a g r a mo ft h ei q h e r e c e n t l y ，a ne x t e n s i v ea t t e n t i o nh a sb e e na t t r a c t e dt ot h ed e l o c a l i z a t i o n p r o b l e mi nl o w - d i m e n s i o n a ls y s t e m sw i t hd i s o r d e re x h i b i t i n ge o r r e l a t e dm a n n e r i ti sc o m m o n l yb e l i e v e dt h a tt h el o c a l i z a t i o np r o p e r t i e sa r ed r a s t i c a l l y m o d i f i e dw h e ns o m ek i n do fs h o r to rl o n gr a n g ee o r r e l a t i o ni si n t r o d u c e di n t h ed i s o r d e rd i s t r i b u t i o n i nc h a p t e r4 ，w eh a v es t u d i e dt h et r a n s p o r tp r o p - e r r i e so fe l e c t r o n si na2 dm o d e lw i t ho n - s i t ee n e r g i e se x h i b i t i n gl o n g - r a n g e c o r r e l a t e dd i s o r d e r t h el o n g - r a n g ec o r r e l a t e dr a n d o mo n s i t ee n e r g i e se ii n 2 ds y s t e m sa r eg e n e r a t e db yu s i n gt h em o d i f i e df o u r i e rf i l t e rm e t h o d ，c h a r a c t e r i z e db ya s p e c i f i e ds p e c t r a ld e n s i t ys ( q ) o ( i q i _ 8 ，w h e r es ( q ) i st h ef o u r i e r t r a n s f o 珊o ft h et w op o i n tc o i t e l a t i o nf u n c t i o n ( 日白) a n do = f 2 一，y ) 2d e - s c r i b e st h es t r e r i g t ho fc o r r e l a t i o nw i t h7b e i n gt h ec o r r e l a t i o ne x p o n e n t w jc a l c u l a t et h el o c a l i z a t i o nl e n g t ha n dt h ec o n d u c t a n c eo fs u c hs y s t e m s f o rd i f f e r e n tv a l u e so fab yt h ef i n i t e - s i z es c a l i n gm e t h o dc o m b i n e dw i t ht h e t r a n s f e rm a t f i xt e c h n i q u e i nt h ep r e s e n c eo fl o n g - r a n g ec o r r e l a t i o n s ，w e f i n dt h a tt h e r ei 8ac o n t i n u o u sl i n eo f 矗x e dp o i n t si n d i c a r i n gt h a tt h es y s t e m u n d e r g o e sad i s o r d e xd r i v e nk o s t e r l i t z - t h o u l e s 鼬t y p em e t a l - i n s u l a t o rt r a n s i t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1t h eo n e p a r a m e t e rs c a l i n gt h e o r yo fl o c a l i z a t i o n t h es c a l i n gt h e o r yo fl o c a l i z a t i o n 1 lf o r m st h eb a s i so fo n ru n d e r s t a n d i n go f l o w - d i m e n s i o n a lm e t a l sa sw e l l 勰v a r i o u sm e t a l - i n s u l a t o rt r a n s i t i o n s ( m i t ) t h et h e o r yi sb a s e do nt h eo n e - p a r a m e t e rs c a l i n gh y p o t h e s i sw h i c ha r g u e s t h a tt h ed i m e n s i o n l e s sc o n d u c t a n c e9o fah y p e r c u b eo ft h ev o l u m el di st h e o n l yr e l e v a n tp a r a m e t e rt h a tc o n t r o l si t sv a r i a t i o nw i t hs i z el ，i m p l y i n g 卢( g ) = 丽d l n g ( 1 1 ) i t sq u a l i t a t i v eb e h a v i o rw a so b t a i n e db yi n t e r p o l a t i n gt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ra tl a r g ea n ds m a l lc o n d u c t a n c ea s s u m i n gt h a t 口( g ) i sam o n o t o n i ca n d n o n s i n g u l a r 如n c t i o no f 口o n l y i f 口 0t h ec o n d u c t a n c ei n c r e a s e sw i t ht h e s i z eo ft h es a m p l e r e f l e c t i n gm e t a l l i cb e h a v i o r t h em e t a l l i cr e g i o nm a yb e c h a r a c t e r i z e db yt h ec l a s s i c a lb e h a v i o r ，n a m e l y 芦( 们= d 一2w h i c hm a yb e o b t a l n e df r o mt h ec l a s s i c 址r e l a t i o nb e t w e e nt h ec o n d u c t a n c ea n dt h ec o n d u c t i v i t y o nt h eo t h e rh a n d ，i f 卢 0 ) t oa ni n s u l a t o r ( 卢 0 ) t h i sd i s o r d e r - i n d u c e d m i ti sk n o w na st h ea n d e r s o nt r a n s i t i o n t h ef u n d a m e n t a lr e s u l t so ft h e o n e - p a r a m e t e rs c a l i n gt h e o r yi st h a ts l l c ham i tc a no n l ye x i s ti nt h r e ed i - m e n s i o n ss i n c et h i si st ho n l yd i m e n s i o n a l i t yw h e r e 曰c a nh a v ep o s i t i v ea n d n e g a t i v ev a l u e s i no n ea n dt w od i m e n s i o n sg ( l ) i sa l w a y sd e c r e a s i n gw i t h l 2 l t h u s ，t h ei n s u l a t i n gr e g i m ei se v e n t u a l l yr e a c h e di nt h et h e r m o d y n a m i c 1 i m i ta tt h ea b s o l u t ez e r oo ft h et e m p e r a t u r ef o rn o n i n t e r a c t i n ge l e c t r o n s v a r i o u sn u m e r i c a la p p r o a c h e ss u c ha st r a n s f e rm a t r i xm e t h o d 【2 ，t h e r e c u r s i v eg r e e n sf u n c t i o nm e t h o d 2 】，a n de n e r g yl e v e ls t a t i s t i c sc i t e l e v e l ， e t c h a v eb e e nu s e dt ot e s tt h es c a l i n gt h e o r yo fl o c a l i z a t i o n n o wi t i s w i d e l ya c c e p t e dt h a tt h eo n e p a r a m e t e rs e a l i n gt h e o r yi s t h eb e s tw a yt o s t u d y1 0 c a l i z a t i o np r o b l e ma n da s s o c i a t e dc r i t i c a lb e h a v i o rn e a rt h em o b i l i t y e d g - e 1 2n u m e r i c a lm e t h o d 1 2 1t r a n s f e rm a t r i xc a l c u l a t i o n s t h et r a n s f e rm a t r i xm e t h o dh a sb e e nd i s c u s s e di nn u m e r o u sp a p e r s 2 】s o o n l yt h eb r i e f e s to u t l i n ew i l lb ea t t e m p t e dh e r e t h es t a r t i n gp o i n ti st h eu s u a la n d e r s o nh a m i l t o n i a n h = e d 0 ( i l + t l i ) ( j i ( 巧) ( 1 2 ) w h e r e 似) r e f e r st on e a r e s tn e i g h b o rs i t e sw i t ht h eh o p p i n gi n t e g r a ltt a k e n a st h eu n i to fe n e r g y0 = 1 ) t h ed i a g o n a le l e m e n t s 毛a l er a n d o mn u m b e r s c h o s e nf r o mau n i f o r mr e c t a n g u l a rd i s t r i b u t i o nw i t h i 矿2 6 7 2 t h e l o c a l i z a t i o nl e n g t ho fa ne l e c t r o nc a nb ec a l c u l a t e dt h r o u g hal o n gn a r r o w s y s t e mo fl e n g t h 三a n dc r o s s s e c t i o nm 4 1w h e r ed i sd i m e n s i o n a l i t yo ft h e s y s t e m t h es c h r s d i n g e re q u a t i o n 丑曲= e 曲i ns u c haq u a s i 一1 ds y s t e mc a n b ew r i t t e nu s i n gt r a n s f e rm a t r i c e s 丑 ( 1 ) = 置( 囊。) = e j 趣了) ( 姥。) ( 1 3 ) w h e r e 哦a n d 甄d e n o t et h es e to fc o e f f i d e n t so ft h es t a t e 妒a n dt h eh a m i l t o n i a no ft h ei t hl a y e r ，r e s p e c t i v e l y t h ei d e n t i t ym a t r i xi sd e n o t e db y ， g i v e nt h ei n i t i a lv a l u e sf o r 妒oa n d 妒1t h eb e h a v i o ro f 五i sg i v e nb y l 钆= 墨 i = 1 ( 1 4 ) 3 t h e r ee x i s t sam a t h e m a t i c a lt h e o r e md u et oo s e l e d ew h i c hg u a r a n t e e st h e e x i s t e n c eo ft h ep r o d u c ti nt h et h e r m o d y n a m i cl i m i t ， r = 触( q l q ) 1 “ ( 1 5 ) b + t h el o g a r i t h m so ft h ee i g e n v a l u e so fa r er e f e r r e dt oa sl y a p u n o ve x p o n e n t s a n do c c u ri np a i r sw h i c ha r er e c i p r o c a l so fo n ea n o t h e rd u et ot h es y m p l e c t i c i t yo ft h em a t r i x ( 1 4 ) b yc o m p a r i s o nw i t he q ( 1 4 ) t h el y a p u n o v e x p o n e n t sm a yb ei d e n t i f i e dw i t ht h er a t eo fe x p o n e n t i a lr j s e ( o rf a l l ) o ft h e w a v ef u n c t i o n s i nf a c tt h es m a l l e s te x p o n e n tc o r r e s p o n d st ot h el o n g e s t d e c a yl e n g t ha n dh e n c et ot h el o c a l i z a t i o nl e n g t ho ft h es y s t e m i np r i n c i p l et h e ni ti sn e c e s s a r yt oc a l c u l a t eq lf o rl a r g el ，a n dd i a g - o n a l i s eq l q h o w e v e r ，i ft h ep r o d u c to fr a n d o mm a t r i c e si s c o m p u t e d d i r e c t l y , t h ei n f o r m a t i o na s s o c i a t e dw i t ht h es m a l l e s tp o s i t i v el y a p u n o ve x - p o r t e n ti sl o s tw h e nt h er a t i oo f t h es m a l l e s tt ot h el a r g e s tl y a p u n o ve x p o n e n t b e c o m e sc o m p a r a b l ew i t ht h em a c h i n ea c c u r a c y t oc i r c u m v e n tt h i sp r o b l e m w ep e r f o r mt h es t a n d a r dg r a m - s c h m i d to r t h o n o r m a l i z a t i o np r o c e d u r e d e n o t e 玩a st h enc o l u m no ft h ep r o d u c tq lo ft h et r a n s f e rm a t r i c e s w ep e r f o r mt h ef o l l o w i n gg r a m - s c h m i d to r t h o n o r m a l i z a t i o nt r a n s f o r r a a t i o n o n b n ： 岛= ( 玩一( 反- 玩) 豆) 缈，( 1 6 ) i n w h e r e b “= i b 。( 鼠玩) 豆 f n ( 1 7 ) t h i st r a n s f o r m a t i o nh a st ob ep e r f o r m e dr e g u l a r l yb u tn o t n e c e s s a r ya te a c h s t 印a f t e rt h et r a n s f o r m a t i o n ，e a c hc o l u m no ft h et r a n s f e rm a t r i xi so r - t h o g o n a lt ot h eo t h e r t h ef i r s tc o h t m ac o n v e r g e st ot h ee i g e n v e c t o rc o r - r e s p o n d i n gt ot h em a x i m u me i g e n v a l u e t h es e c o n dc o l u m nc o n v e r g e st o t h ee i g e n v e c t o rc o r r e s p o n d i n gt ot h es e c o n dm a x i m u me i g e n v a l u ea n ds o f o r t h s i n c et h es y s t e mi ss y m p l e t i c ，t h el y a p u n o ve x p o n e n t s a p p e a ri n p a i r s ( m ，) t = 1 ，2 ，m d 一1 f r o mt h et r a n s f o r m a t i o ne q u a t i o n ，i ti sn o td i f f i c u l tt or e c o g n i z et h a t b 【i sam e a s u r eo fd i v e r g e n c eo ft h en 0 1 2 2 1o ft h ec o l u m nv e c t o r ，r e s u l t i n g i nt h el y a p u n o ve x p o n e n t s t h e r e f o r e ，f o ra b a r ”o fc r o s ss e c t i o n 仇t h e l o c a l i z a t i o nl e n g t hi sg i v e nb y a ”= 熹 o l w h e r e 霄= i n 啦+ c 墨l 4 ( 1 9 ) i no u rn u m e r i c a lc a c u l a t i o n s ，a j jt h e 晶a r ei n i t i a 】i z e dt oz e r o 0 t h e rl y a - p u n o ve x p o n e n t sc a nb ef o u n db yc o m p u t i n g 掣sa n d ”s s i n c et h el y a - p u n o ve x p o n e n t so fap r o d u c to fr a n d o mm a t r i c e sa r es e l a v e r a g i n gq u a n - t i t l e s ，t h ea v e r a g ep r o c e d u r ei sg r a n t e df o rl a r g e s y s t e m s i ng e n e r a l ，i f t h em a t f i xe l e m e n t sd i v e r g ev e r yf a s t o n en e e d st or e d u c et h en u m b e ro f s t e d sb e t w e e nt h es e q u e n t i 蛆t r a n s f o r m a t i o n s s i n c et h er a n d o mm a t r i c e s a r es y m p l e c t i c ，t h el y a p u n o ve x p o n e n t sa p p e a ri np a i r s i ft h en u m b e ro f t r a n s f o r l n a t i o ni si n a d e q u a t e ，n op a r e d ee x p o n e n t sc 8 2 1b eo b t a i n e d 1 2 2 s e a l i n gt h e o r y t h ei n v e r s eo ft h es m a l l e s tl y a p u n o ve x p o n e n ti st h el o c a l i s a t i o nl e n g t ha 吖 t h er e s c a l e dl o c a l i z a t i o nl e n g t ha m = a u mi sf o u n dt oo b e yas c a l i n g t h e o r ys u c ht h a t 【2 】 些d l ：、(11)nm x(ina)0 2 【1 lj w h i c hh a ss o l u t i o n so ft h ef o r m a m ：，( 警) ，( 1 1 1 ) w h e r e i sac h a r a c t e r i s t i cl e n g t hs c a l ew h i c hc a l lb ei d e n t i f i e dw i t ht h e l o c a l i z a t i o nl e n g t ho ft h ei n s u l a t o ra n dw h i c hs c a l e sa st h er e c i p r o c a lo ft h e r e s i s t i v i t yo ft h em e t a l l i cp h a s e h3 de q ( 1 1 0 ) a l w a y sh a s8f i x e dp o i n t ) ( = 0w h i c hc o r r e s p o n d st ot h em e t a - 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