（计算数学专业论文）常微分方程初值问题的线性多步法基本公式的研究.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 本文在常微分方程初值问题的线性多步法公式研究状况的基础上，进行了进 一步的研究。定义了线性多步法基本公式的概念；推导了求解常微分方程初值问 题的2 3 步法全部基本公式，并筛选出其中收敛的公式；研究了这些公式的误差 和稳定性；并给出了一类新的具有良好性质的公式。本文主要的工作有以下几个 方面： 首先，定义了线性多步法公式的基本公式概念，将k 步法中不少于k 阶的公 式称为基本公式。 其次，应用常微分方程初值问题的线性多步法公式的构造理论和m a t l a b 的符 号运算，推导了求解常微分方程初值问题的2 3 步法全部基本公式。 然后，应用线性多步法公式的收敛条件，筛选出其中收敛的公式，计算出了 公式的分数形式的系数，误差主项系数，阶数，绝对稳定区间。并且应用根轨迹 法绘制了其中绝对稳定的公式的稳定区域的图形，并对以上公式的性能作了分析。 最后给出了一类与g e a r 方法类似的k 阶线性k 步法隐式公式，求出了公式的 分数形式的系数，阶数和局部截断误差主项系数，并验证了2 - 6 步公式都具有彳( 一 稳定，计算出了它们的幅角口。最后用对比数值实验验证了公式确实是稳定的，并 且适合于求解刚性常微分方程。 本文的成果对常微分方程初值问题数值方法的理论研究和应用实践都具有重 要意义。 关键词：初值问题，线性多步方法，稳定性，刚性常微分方程 重庆大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h el i n e a rm u l t i s t e pf o r m u l a so ft h ei n i t i a l v a l u ep r o b l e mi no r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ef u r t h e rr e s e a r c h e do nt h eb a s eo ft h ep r e s e n ts i t u a t i o n t h e b a s i cf o r m u l a so ft h el i n e a rm u l t i s t e pm e t h o da r ed e f i n e d t h e nd e d u c e da l ll i n e a r2 - 3 s t e pm e t h o db a s i cf o r m u l a sa n dc h o s eo u tc o n v e r g e n tf o r m u l a sf r o mt h e m t h eo r d e r s ， e r r o ra n ds t a b i l i t yo ft h e s ec o n v e r g e n c ef o r m u l a sa r ed i s c u s s e d a n dan e wc l a s so f f o r m u l a si sg i v e n t h e m a j o rt a s k si nt h i sp a p e ri n c l u d e ： f i r s t l y , t h eb a s i cf o r m u l a so ft h el i n e a rm u l t i s t e pm e t h o da r ed e f i n e d w ec a l l e da k - s t e pf o r m u l ab a s i cf o r m u l ai f i t so r d e ri sn o tl e s st h a n 免 s e c o n d l y , o nt h eb a s eo ft h es t r u c t u r et h e o r e mo ft h em u l t i s t e pm e t h o d ，w e d e d u c e da l l2 - 3s t e pb a s i cf o r m u l a su s i n gs y m b o lo p e r a t i o no f m a t l a b t h e n ，b ym e a n so f t h ec o n v e r g e n tc o n d i t i o no f t h el i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d ， w e a t t a i n e dt h ea l lc o n v e r g e n tf o r m u l a so fl i n e a r2 - 3s t e pm e t h o da n dc a l c u l a t e dt h e c o e f f i c i e n t so ft h ef o r m u l a s ，e r r o r sc o e f f i c i e n t s ，o r d e r sa n di n t e r v a l so fa b s o l u t e s t a b i l i t y f u r t h e r m o r e ，w ed r e wt h ef i g u r e so fr e g i o no fa b s o l u t es t a b i l i t yo ft h ef o r m u l a s n l a ta r ea b s o l u t e l ys t a b l eb ym e a n so fr o o tl o c u sm e t h o da n da n a l y z e dt h es t a b i l i t yo f t h e s ef o r m u l a s f i n a l l y , an e w c l a s so fl i n e a rk - s t e pi m p l i c i tm e t h o d so fo r d e r 屯s i m i l a rt og e a r m e t h o d s i sg i v e n t h ef r a c t a lc e e f f i c i e n t so ft h ef o r m u l a so fo r d e r2t o6i nt h i sc l a s s a r ed e d u c e d ，t h eo r d e r sa n de r r o rc o e f f i c i e n t sa r ea l s og o t t e n t h e nw ep r o v e dt h a tt h e y a r e 爿( 一s t a b l ea n dt h er a d i a n ta n g l e so fs t a b i l i t y 口a r eg i v e n i nt h ee n d ，b ym e a n so f t h ec o m p a r i s o nn u m e r i c a le x p e r i m e n t ，i ti sv e r i f i e dt h a tt h e ya r es t a b l ea n de f f e c t i v ef o r s o l v i n gi n i t i a l v a l u ep r o b l e m so f s t i f f o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h er e s u l t so f t h i sp a p e rh a v em a r k e ds i g n i f i c a n c ei nb o t ht h e o r e t i c a lr e s e a r c ha n d a p p l i c a t i o no f t h en u m e r i c a lm e t h o di nt h ei n i t i a l v a l u ep r o b l e mi no r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s k e y w o r d s ：i n i t i a l v a l u ep r o b l e m ，l i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d ，s t a b i l i t y ，s t i f f o r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重废太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位做储躲纠撕签字眺叼年朋四日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重废太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重废太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“”) 学位做储躲纠橼 签字日期：乙祈年，月谚日 导师签名：爿伽 签字日期：矿7 年厂月刀日 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 1 绪论 自然界和工程技术中的很多现象，例如自动控制系统的运行、电力系统的运 行、飞行器的运动、化学反应的过程、生态平衡的某些问题等，都可以抽象成为 一个常微分方程初值问题。其真解通常难以通过解析的方法来获得，至今有许多 类型的微分方程还不能给出解的解析表达式，一般只能用数值的方法进行计算。 有关这一问题的研究早在十八世纪就已经开始了，特别是计算机的普遍应用，许 多微分方程问题都获得了数值解，从而能使人们认识解的种种性质及其数值特征， 为工程技术等实际问题提供了定量的依据。 关于常微分方程初值问题的数值计算方法，许多学者已经做了大量的工作。 d a h l q u i s t 1 1 ，l c b u t c h 一2 1 ，p h e n t i c i 【3 1 ，和c w g e a r 4 1 对于定义在有限区间上 的情形作了比较详细的讨论，对于无界区间上的情形没有涉及。但是文献【5 】【6 】 7 1 讨论了无界区间上常微分方程初值问题数值解的稳定性和收敛性。 本章主要介绍了常微分方程初值问题的研究状况以及本文将要讨论的问题。 1 7 6 8 年，e u l 髓提出了关于常微分方程初值问题的方法，1 8 4 0 年，c a u c h y 第 一次对初值问题进行了仔细的分析，早期的常微分方程数值解的问题来源于天体 力学。在1 8 4 6 年，当a d a m s 还是一个学生的时候，和l ev e n d e r 一起根据天王星 轨道中出现的己知位置，预测了它下一次出现的位置。1 8 8 3 年，a d a m s 提出了 a d a m s b a s h f o r t h 和a d a m s m o u l t o n 方法。r u n g e ( 1 8 9 5 年) 、h e u n ( 1 9 0 0 年) 和 k u t t a ( 1 9 0 1 年) 提出r u n g e k u t t a 方法。 二十世纪五十年代，d a h l q u i s t s 】【9 】建立了常微分方程数值解法的稳定性理论， 线性多步法是常微分方程初值问题的一种数值方法。由于通常的数值方法，其绝 对稳定区域是有限的，不适用于求解刚性常微分的初值问题。刚性微分方程常常 出现于航空、航天、热核反应、自动控制、电子网络及化学动力学等一系列与国 防和现代化建设密切相关的高科技领域，具有无容置疑的重要性。因此，刚性微 分方程的研究工作早在二十世纪五十年代就开始了，1 9 6 5 年，在爱丁堡举行的i f i p 会议后，更进一步地认识刚性方程的普遍性和重要性。自从六十年代初，许多数 值分析家致力于探讨刚性问题的数值方法及其理论，注意到刚性问题对传统数值 积分方法所带来的挑战。这一时期，人们的研究主要集中在算法的线性稳定性上， 就是基于试验方程，= 旯y ，( a c ) 数值解的稳定性研究。在此领域发表了大量的 论文，取得了许多重要的理论成果。例如，1 9 6 3 年，d a h l q u i s t ”给出a 稳定性理 论，1 9 6 7 年，w i d l l l i l d 1 0 1 给出一( 回稳定性理论，1 9 6 9 年，g e a r t l l 】将彳，稳定性减弱， 给出刚性( s t i f f ) 稳定性理论，并找到了当后 6 的k 步k 阶的刚性稳定方法，1 9 6 9 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 年d i l l 找到刚性稳定的7 阶和8 阶以及1 9 7 0 年j a i n 找到刚性稳定的9 阶到1 1 阶， 但可用性没有检验。这些稳定性理论和概念都是在线性试验方程的框架下推导出 的，从严格的数学意义上来说，这些理论只适用于常系数线性自治系统。但从实 用的观点来说，这些理论无疑是合理和必要的，对刚性问题的算法设计具有重要 的指导意义。在八十至九十年代，国内也有一些学者研究线性理论，主要有匡蛟 勋、陈果良、项家祥、李寿佛、黄乘明、李庆扬和费景高等。 线性理论虽然对一般问题具有指导作用，但其不能作为非线性刚性问题算法 的稳定性理论研究基础。为了将线性理论推广到非线性问题中，人们开始对非线 性模型问题进行研究。但是，早期文献主要致力于数值方法基于经典l i p s c h i t z 条 件下的经典收敛理论，即认为良好的稳定性加上经典相容性和经典相容阶就足以 描述方法的整体误差性态。直到1 9 7 4 年，p r o t h e r o 和r o b i n s o n 首先注意到算法 的经典误差估计由于受刚性问题巨大参数的影响而严重失真，产生阶降低现象， 这时人们认识到经典收敛理论对于非线性刚性问题以及线性模型的不足。于是， 1 9 7 5 年，d a h l q u i s t 和b u t c h e rd 2 分别提出了单支方法和线性多步法的g 稳定概 念和b 稳定概念。这两个概念填补了非线性稳定性分析理论，引起了计算数学家 们的极大关注，在上述理论的基础上，1 9 7 5 年至1 9 7 9 年，b u r r a g e 和b u t c h e r 【l3 】提 出了a n 稳定性与b n 稳定性概念，并相应地建立了基本的b 稳定及代数稳定理 论。1 9 8 1 至1 9 8 5 年，f r a n k ，s c l m e i d 和u e b e r h u b d l 4 1d 5 建立r u n g e - k u t t a 方法 的b 收敛理论。b 稳定与b 收敛理论统称b 一理论，它是常微分方程数值解法研究 领域的巨大成就之一，是刚性问题算法理论的突破性进展，标志着刚性问题研究 从线性向非线性情形深入发展。国内也有众多学者致力于b 理论的研究，如李寿 佛、曹学年【t 6 】【1 7 j 等。 1 9 8 9 年，李寿佛将d a h l q u i s t 的g 一稳定概念推广到更一般 的( c ，p ，q ) 。代数稳定，克服了g 稳定的线性多步法不能超过二阶的限制。对于一 般线性方法，李寿佛建立了一般线性方法的( k ，p , q ) 一稳定性理论及( k p , q ) 弱代数 稳定准则和多步r u n g e - k u t t a 法的一系列代数准则。此外，d a h l q u i s t ，b u t c h e r 和 h a i r e r 分别深刻地揭示了单支方法、一般线性方法和r u n g e - k u t t a 方法线性与非 线性稳定性之间的内在关系。 为了求解刚性微分方程，不少文献中构造含有稳定参数的线性多步方法，利 用适当选择稳定参数来扩大方法的稳定区域。所有改进的思想，都是通过构造一 些特殊的显式或隐式线性多步法，使其具有增大的稳定域，或使爿( 稳定的确 增大。八十年代，就成为国内外学者所研究的一个课题，学者主要有r o d a b a u g h a n dt h o m p s o n 1 9 7 9 【1 吼、r o l fa n do l a v i 1 9 8 1 】 1 9 1 、f e i n b e r g 1 9 8 2 】【2 们、李旺尧 【1 9 8 2 ，1 9 8 3 】 2 1 l 瞄】、李寿佛 1 9 8 3 ，1 9 8 4 】 2 3 1 【2 4 1 、包雪松、徐洪义 1 9 8 4 ，1 9 8 6 】 2 5 1 【2 6 1 、 刘发旺 1 9 8 7 】 2 7 1 、匡蛟勋、项家祥 1 9 8 7 】 2 s 1 、蒋立新 1 9 9 0 】【2 9 1 、李庆扬、谢敬 2 重庆大学硕士学位论文1 绪论 东 1 9 9 1 】3 川和李林忠 1 9 9 2 ，1 9 9 4 】 3 1 11 3 2 1 等。 当前国内外研究刚性问题的一个主要趋势就是在b 理论指导下寻找更为有效 的新算法。另一个发展趋势就是力图突破单边l i p s c h i t z 常数和内积范数的局限， 建立比b 理论更为普遍的定量分析收敛理论。 近年来，刚性延迟系统的算法研究成为刚性问题的另一个热点研究领域，张 诚坚将b u r r a g e 等人创立的针对刚性常微分系统的b 理论拓展到非线性刚性延迟 系统。 常微分方程的数值算法发展到今天已有了线性多步法、龙格一库塔法和在此基 础上发展起来的单支方法、分块方法、循环方法、外推法、混合方法、二阶导数 法以及各种常用的预估校正算法。其中经常用到的线性多步法公式有e u l e r 公式、 h e u n 公式、中点公式、m i l n e 公式、a d a m s 公式、s i m p s o n 公式、h a m m i n g 公式， g e a r 方法、a d a m s 预估一校正法和m i l e 预估h a m m i n g 校正法公式等，此外还包 含许多迄今尚末探明的新公式。b u r r a g e 曾将线性多步法和r u n g e - k u t t a 法比作大 海中的两座小岛，在浩瀚的汪洋之中，还有许多到现在没有发现的新方法。 本文的主要研究工作：一是定义了线性多步法的基本公式的概念，应用m a t l a b 的符号运算功能，推导了许多新的公式。二是构造了一类与g e a r 方法类似的k 阶 线性k 步法隐式公式。本文分为以下几章来讨论这些问题。 本文内容安排如下：第一章绪论；第二章介绍初值问题数值方法的基本理论： 第三章介绍刚性常微分方程与线性多步法；第四章介绍作者提出线性多步法基本 公式的推导方法；第五章介绍作者提出一类4 ( 一稳定的k 阶线性七步法隐式公式； 第六章结论与展望，总结本文的一些主要工作与思路，并对后续工作方向提出一 些个人的看法。 重庆大学硕士学位论文2 初值问题数值方法的基本理论 2 初值问题数值方法的基本理论 2 1 常微分方程的数值解法 在工程和科学技术的实际问题中，常需求解常微分方程。但往往只有少数较 简单和典型的常微分方程( 例如线性常系数常微分方程等) 可求出其解析解。对 于变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线性常微分方程就更困 难了，因此，在大多数情况下，常微分方程只能用近似法求解。常微分方程的近 似解法大体可分成三大类：一类是图解法和器械法；第二类是解的近似法，其中 包括级数展开法、逐次逼近法、变分解法和查普雷法等；第三类是数值解法，它 给出方程在一些离散点上的近似解，其中包括欧拉法、龙格一库塔法和阿当姆斯法 等。在具体求解微分方程时，需要具备某种定解条件，微分方程和定解条件合在 一起组成定解问题，定解条件有两种，一种是给出积分曲线在初始点的状态，称 为初始条件，相应的定解问题称为初值问题；另一种是给出积分曲线首尾两端的 状态，称为边界条件，相应的定解问题则称为边值问题。 我们主要讨论最简单的一阶常微分方程的初值问题的数值解法： i y = f c x ，y ) a x 6 ，陟i 0 0，11 、 、二j i y ( 口) = y o 由常微分方程的理论可知，只要，k y ) 在区域g = 如工6 ，l y l m ) 内连续，且关 于y 满足李普希兹条件，常微分方程的初值问题的解y = y 伍) 存在且唯一。 常微分方程的数值近似解有两个基本的方法：第一个途径是把近似解表示成 有限个独立函数之和，例如，截断的幂级数或者正交函数展开式中的前面几项。 第二个途径是差分方法，差分法是研究微分方程数值方法的最重要的手段之一， 即把一个连续的初值问题离散化为一个差分方程来求解。具体地说，是将常微分 方程离散化后，求解y = y 在一系列离散节点a = x o 五 x 2 矗= 6 上的近 h i 1 似值，y l ，y 2 ，只，其中薯= a + i h ，f = 0 ，l ，2 ，珂，h = 。 通过差分方法可得到向前e u l e r 法，该公式为显式公式；向后e u l e r 法，该公 式为隐式公式。在实际求解过程中，往往采用隐式与显式的结合方法，这种求解 方法称为预估校正法，常用的有改进的e u l e l * 公式，a d a m s 预估一校正公式。 r u n g e k u t t a 方法是一种特殊的单步方法，是常微分方程数值解法中的重要 方法，它起源于简单的e u l e r 折线法。这个方法可以看作在，+ ，) 上取若干条 积分曲线的若干个点的切线斜率，再进行一次( 或多次) 算术( 或加权) 平均后 4 重庆大学硕士学位论文2 初值问题数值方法的基本理论 产生的新斜率，再按这个斜率从而，+ ，) 出发以直线代曲线向前推进一步的过程。 与t a y o r 展开方法相比，r u n g e - k u t t a 方法不用增加微商，“y ) 的次数就可以得 到较高的阶。单步法的优点是计算h 时只用到y 纠，不需要其它的计算值，但也 有不足，一是没有充分利用已有的信息，二是精度不足够高，所以可以采用多步 法。线性多步法虽然精度高，但是在计算时需要用到前面的多个已知值，所以往 往要和单步法配合使用，用单步法先算出需要的开始值，然后再用多步法公式计 算。 在实际计算中，对于具体方程如何来选取算法是非常重要的，一般来说，当 函数不太复杂时可采用单步法，且多采用经典r u n g e k u t t a 方法；当函数，力 比较复杂时，常采用多步法，如a d a m s 预估校正公式等。一旦选定算法，就可 以设计算法程序，直接上机实现求解，且通常并不事先验证可解性条件，那么在 计算中一旦发现问题，则不仅要检查算法程序本身，同时还应该分析方程本身性 态等，具体问题具体解决。 本文主要讨论了一阶常微分方程初值问题的数值解法，主要研究了数值方法 的构造问题，相容性问题，数值解的收敛性问题，数值解法的稳定性问题和误差 估计问题等。由于线性多步法充分利用已经提供的信息，所以在高精度计算中常 使用多步法来求解。是科学计算的重要工具之一。在这一章中将对本文要用到的 线性多步法的若干基本理论作简单的叙述。 2 2 线陛多步法的构造 在科学技术领域中有许多问题可以归结为常微分方程组初值问题( 2 1 ) ，其中 y = ( y 1 ，y ”) 7 ，厂= ( 厂i ，f ”) 7 r ”，是已知的向量函数，y o r ”是已知 初始向量。 定理2 2 1 例如果函数脚) 在区域g ：口z 6 ，l y l 上连续，j 扶5 ：y 满 足l i p s c h i t z 条件，即存在常数三( 称为l i p s c h i t z 常数) ，使得对所有x a ，b 】及任 意y l , y 2 不等式 i f ( x ，乃) 一f ( x ，此) i l l y , 一儿i ( 2 2 ) 均成立，则初值问题( 2 1 ) 在 a ，6 】上有唯一解y ( 曲。 数值方法的构造问题就是通过某个途径构造一个离散化方程去逼近连续性方 程的问题。有差商代替微商法、t a y l o r 展开法、数值积分法和待定系数法等。 构造求解初值问题( 2 1 ) 的线性多步法公式传统上有两种方法：数值积分法 与待定系数法【3 “，a d a m s b a s h f o n l l 公式和a d a m s m o u l t o n 公式的构造可以使用 数值积分法，更广泛一类线性尼步法公式是通过待定系数法得到的，可用如下一 重庆大学硕士学位论文2 初值问题数值方法的基本理论 般形式表示： a j y t 吖- - h e 岛凡， i = 0 , 1 ，2 ，一一k ( 2 3 ) j = 0j = o 其中吁，厚均为实常数，1 l g f k = 1 ，i 口o l + l p o i s o ，当p k = o 时为显式方法，t i a r a 时 为隐式方法。只要给出k ，确定对a j ，届的要求，例如令其中某些参数为零，就可以 通过求解线性方程组： c o = a o + 口l + + 吼2 0 g ：( q + 2 + + 2 吼) 一( 风+ 届+ + 反) 2 0 ( 2 4 ) ： c 。= ( q + 2 9 0 f 2 + + 后9 口i ) p f _ ( 届+ 2 - 1 压+ + k 9 - f l k ) ( p 1 ) ! = o ； 求出嘶，岛，构造出相应的线性多步法的公式。 在线性方程组( 2 4 ) 的解中选取不同的自由参数缉，居，可以使线性多步法具 有收敛性，具有稳定性，局部截断误差项中的系数较小和具有一些良好的计算性 质，如自由参数嘶，房中的零系数尽量多。k 步法必须先算出附加的初值 ，y l ，y k l 的k 个值才能逐次算出儿，儿+ 】 的值，提供这些附加初值的常用 方法是各阶的龙格一库塔方法，要求附加初值的精度阶不应低于多步法的阶。显式 公式只要给出前面k 个点的值就可以直接算出y 。+ k 。隐式方法由于觑卸，公 式右端包含硬砀+ ，j + t ) 项，所以当a x y ) 关于y 非线性时，不能直接算出+ k ，而 必须求解关于+ k 的方程，可以利用迭代法或预估一校正法来计算。 2 3 线性多步法的相容性和误差估计 相容性问题就是通过某种方法所构造出的离散化方程，当步长h 趋于零时， 能否逼近连续性方程的问题。如果离散化方程能趋于连续性方程，我们称这个数 值方法是相容的，否则是不相容的，不相容的数值方法是不能使用的。 误差估计问题是指离散化方程的解对连续方程的解的收敛阶问题，也就是方 法的精度问题。 定义2 3 1 3 5 1 设y ( 是初值问题( 2 1 ) 的精确解，对多步法( 2 3 ) 称 k = 【哆瓴+ ，) 一h p j y ( ) ( 2 5 ) 为线性多步法在x n + k 的局部截断误差。 定义2 3 2 1 3 5 1 设y g ) 是初值问题( 2 1 ) 的精确解，对线性多步法( 2 3 ) 满足 6 重庆大学硕士学位论文2 初值问题数值方法的基本理论 “y ；明= a y y ( x + i h ) 一h f l j y + 访) 】- d ( 1 l “) ( 2 6 ) ，= 0 其中p 为正整数，则称相应数值方法是p 阶相容的。 对于线性多步法( 2 3 ) ，根据局部截断误差三砂俐；明，由t a y l o r 展开可 求得多步法的系数和相容性条件。 定义2 3 3 【”1 如果线性多步法( 2 3 ) 是p 阶的，则三女【y 例； 】= d ( 矿) ，它等 价于c o = c l = = c p ，c 川0 ，于是 厶 ) ，( x ) ； 】= c ，+ l h ，+ 1 y p + 1 ( x ) + o ( h ，+ 2 ) ( 2 7 ) 故( 2 3 ) 的局部截断误差为 + i = c 州h p + l y t p + 1 ) ( 力+ 0 ( p + 2 ) ( 2 8 ) 我们称o + j h p + 铲w o 。为局部截断误差主项，g + j 为误差常数。 定义2 3 4 3 6 1 设r 是正整数变量n 的一个已知函数，k 为正整数，方程 c 饥，以“，只“) = 0 ( 2 9 ) 称为差分方程。 定义2 3 5d s 若记 量 p ( 善) = 呸， i = o ( 2 1 0 ) 分别称a 白与0 ( 0 为差分方程( 2 9 ) 的第一和第二特征多项式。 定理2 3 i 3 5 1 线性多步法( 2 3 ) 相容的充分必要条件是 p ( 1 ) = 0 ，p ( 1 ) = 盯( 1 ) ( 2 1 1 ) 2 4 线性多步法的收敛性 求解常微分方程的方法可以分为：显( 隐) 式线性多步法、显( 隐) 式龙格一 库塔方法、配置方法、线性多级多值方法以及由这些方法衍生出来的一些方法。 如何选择合适的积分公式构造一个高效的常微分方程数值方法是个复杂的问题， 需要考虑公式的变步长问题、显式公式作为隐式公式的预报并与隐格式构成预报 校正系统等。其中收敛性是对数值方法的一种起码要求，不收敛的数值方法没有 任何实际应用价值，因此，对数值方法的收敛性分析，其意义是很重要的。 数值解的收敛性问题就是由数值方法得到的数值解能否近似代替原连续方程 的解。 定义2 4 1 【3 5 】对于初值问题( 2 1 ) 的任意一种数值方法在x = 处的数值解 7 声 屈 。瑚 = 、，声j 、 ，l 1 3 重庆大学硕士学位论文 2 初值问题数值方法的基本理论 为，这里= x o + n h 【a , b 】为固定点，设y 为( 2 1 ) 的精确解，称岛可嘞 为整体误差，若 l i me 。= l i m 【y ( x 。) 一y 。 一0 ， 2 掣。) o 则称数值解朋收敛于精确解y ( 力，即数值方法是收敛的。 定理2 4 1 线性多步法( 2 3 ) 是收敛的，则它一定是相容的。 定理2 4 1 的逆定理是不成立的，但对单步法逆定理也成立。 k 定义2 4 2 1 如果线性多步法( 2 3 ) 的特征多项式p ( 善) = 的根都在 i = 0 单位圆内并且在单位圆上只有单根出现，则称多步法( 2 3 ) 满足根条件。 定理2 4 2 【3 习线性多步法( 2 3 ) 是脸，阶相容的，则多步法( 2 3 ) 的差分 方程收敛的充分必要条件是多步法( 2 3 ) 满足根条件。 定理2 4 3 3 5 1 线性多步法( 2 3 ) 收敛的充分必要条件是方法相容，并满足根 条件。 2 5 线性多步法的稳定性 在实际进行计算时，一方面出发值不一定是完全精确的，带有一定的误差， 同时，由于计算机的字长有限，在运算中一般总会产生舍入误差，不论是单步法 或多步法，在逐次计算下去的时候，初始数据的误差( 或称之为摄动) 以及在计 算过程中产生的舍入误差，都会传播下去，对以后的计算结果产生影响。所谓稳 定性问题是指初始数据的误差和计算过程中产生的误差的积累和传播是否受到控 制，或者说，如果计算结果对初始数据的误差以及计算过程中的舍入误差不敏感， 就说相应的计算方法是稳定的，否则就称之为不稳定的。 定义2 5 1 即1 令 瓯，行= o ，1 ，n 及 矿，n = 0 ，l ，1 是任意两个扰动， 并令 乙，以= o ，1 ， 及 z + 。，甩= o ，1 ，n 是对应以上扰动结果的解，若存在 常数h o 和c ，使对( d ，j j z ，只要对o ，l n ，l 瓯一皖i 占，就有 l 乙一z n i c 6 ，0 ，z n ， i 则称方法是稳定的或称为零稳定的。 这种稳定性也称渐近稳定，首先由d a h l q u i s t 于1 9 5 6 年给出的，也称d 稳定性。 定理2 5 1 【3 刀线性多步法( 2 3 ) 是稳定的充分必要条件是它满足根条件。 定理2 5 2 【3 1 稳定的线性后步法，当k 为奇数时阶数不超过斛j ，当后为偶数时， 重庆大学硕士学位论文2 初值问题数值方法的基本理论 阶数不超过七十2 。 2 6 线性多步法的绝对稳定性与绝对稳定域 稳定性概念，是在7 l 一0 的情况下讨论的，这样的稳定性称之为渐近稳定性( 或 古典的稳定性) 。然而，实际上我们是取有限的固定步长h 进行计算的，它并不能 随意地缩小。因此，重要的是，在计算过程中所产生的摄动对以后的计算结果的 影响不会增长，这种稳定性概念就是通常所说的绝对稳定性。 研究数值方法是否数值稳定，不可能也不必对每个不同的右端函数肋) 进行 讨论，通常只对试验方程 y = 2 y ，r 五) 0 ( 2 1 2 ) 进行讨论，即研究数值方法用于解方程( 2 1 2 ) 得到的差分方程是否数值稳定。 定义2 6 1 3 5 3 一个数值方法用于解试验方程( 2 1 2 ) ，若对给定步长h 得到的 线性差分方程解，当，l 一时，y 。- - - ) 0 ，就称该方法对步长h 是绝对稳定的。 当以一时，无界，则称该方法数值不稳定。 定义2 6 2 口5 】一个数值方法用于解试验方程( 2 1 2 ) ，若在a = h 2 的复平面中 的某个区域r 中方法都是绝对稳定的，而在区域尺外，方法是不稳定的，则称区 域只是该数值方法的绝对稳定域。 定义2 6 3 【3 5 】将线性多步法( 2 3 ) 用于解( 2 1 2 ) 得到k 阶的线性差分方 程 ki 吩只+ = 岛z + ( 2 1 3 ) j = oj = o 若记p = h 2 ，则得( 2 3 ) 的特征多项式 顽誊力= 反9 叫d ( 0 ( 2 1 4 ) 称为稳定性多项式，它是关于f 的k 阶多项式。 为继续研究多步法的稳定性，引入试验方程： i y = 2 y ，r e ( g ) 0 i y 0 ) = y o ( 2 1 5 ) 定义2 6 4 【3 8 】如果线性多步方法 ti a j y i + ，= 矗岛厶 = 0，= 0 稳定多项式 kt 万( 善；) = q 乒- a h 胎， 9 重庆大学硕士学位论文 2 初值问题数值方法的基本理论 对给定的= j j l 五，顽9 的根都在单位圆内，则称该方法关于= i l a 是绝对稳定的a 若存在区间( 珥历，使线性多步方法对任意的( 伍历都是绝对稳定的，则称( q 历为 绝对稳定区间。 2 7 线性多步法的边界轨迹法 求线性多步法的绝对稳定区域较为复杂，边界轨迹法是求绝对稳定区域的有 效方法。 定理2 7 i 【蚓设特征多项式刀( z ，垆厦砂叫d ( z ) ，f 彻的零点为弓( 力， - - 1 ，乒， 则线性多步法的绝对稳定区域 r = = h 2 ，b ( ) i 0 ； ( 2 ) r 为一个无界区域，且有 r e c z ) 0 ) c r ； ( 3 ) r 为一个无界区域，且有( 一0 】堡； ( 4 ) 其它情况： 情况称方法有绝对稳定区间( h o 0 】，h 。越大，绝对稳定性越好； 情况称方法具有爿稳定性，此类公式用于刚性方程组求解时步长h 不受 限制。但根据d a h l q u i s t 第二障碍定理，爿稳定的方法最高阶数只有2 阶； 情况称方法具有4 ( o ) 稳定，其中有一部分方法是爿( 功一稳定方法，是求解 刚性方程组的主要方法之一； 情况方法稳定性不好，实用价值有限。 1 0 重庆大学硕士学位论文 3 刚性常微分方程与线性多步法 3 刚性常微分方程与线性多步法 在航天航空、电子电路设计、工程控制、化学动力等许多重要科技领域中， 有大量物理或化学过程可用常微分方程模型来描述，这些模型的解中既包含衰减 十分迅速的分量，又包含有变化相对缓慢的分量，当人们试图在解的慢变区间上 数值求解这类问题时，尽管此时快变分量的值己衰减到可以忽略不计，但这种快 变分量的干扰仍严重影响数值解的稳定性和精度，致使所得到的数值解失真，人 们称这类微分方程的定解问题为“刚性( s t i i f ) 问题”。 刚性方程在文献中也称作为病态方程或坏条件方程，或称为具有差别大的时 间常数问题或具有大的l i p s c h i t z 常数问题。这类问题在实际工作中经常碰到。例 如，控制部件一般反应灵敏，是快变的，具有小的时间常数，而受控物体一般惯 性大，是慢变的，具有大的时间常数。航空中的运载器，通常是通过控制部件来 控制质心运动。姿态运动是快变的，而质心运动是慢变的。在许多化学反应中， 有些反应瞬间完成，达到稳定状态，是快变的；而有些反应速度则较为缓慢，两 者差别很大。 刚性性质是数学问题本身的固有性质。不依赖于求解这个问题的数值方法。 正是由于这个性质，使得传统的常微分方程的数值积分方法遇到极大的困难。为 了克服这个困难，刚性常微分方程数值积分方法的研究成为数值方法中最为重要 的研究方向之一。 3 1 刚性方程的线性多步法稳定性概念 用绝对稳定域有限的数值方法求刚性方程数值解，由于对步长h 的限制，导致 计算步数很大，为减少计算步数，应选择对步长h 无限制的方法。下面给出刚性方 程数值方法的稳定性相关理论。 定义3 1 11 1 一个数值方法称为爿稳定的，如果它的绝对稳定域包含整个左 半平面r e ( h j t ) 0 。 1 9 6 3 年，d a h l q u i s t 【1 1 在引入4 一稳定的同时，证明了以下约束性结论： ( 1 ) 任何显式线性多步法( 包括显式r u n g e k u t t a 方法) 不可能是4 一稳定的。 ( 2 ) a 稳定的隐式线性多步法的阶不超过2 。 ( 3 ) 具有最小误差常数的2 阶a 稳定隐式线性多步法是梯形法。 判断一个公式是否具有彳一稳定性，可使用如下定理： 定理3 1 1 【3 6 】一个k 步法公式是彳一稳定的，如果它满足： ( 1 ) i 呀1 0 ，i x 1 ， j - - o 其中 k = q 局 ( 3 1 ) 1 = 0 k 乃= ( q + ，届+ q 局+ ，) ； ( 3 2 ) l = 0 乃是，次切比雪夫多项式。 由于彳稳定的方法太少，并且梯形公式的误差常数最小。为找其他4 稳定的 数值方法，一方面是考虑隐式的龙格一库塔法，另一方面就是降低对稳定性的要 求，使方法的绝对稳定域为无限域，但又不包含整个左半平面。下面给出4 ( 稳 定、彳( 0 ) 一稳定和4 0 稳定的定义。 定义3 1 20 0 一个数值方法称爿( 回稳定的，如果它的绝对稳定域包含无限 的楔形区域= 讣一a 丌- a r g ( h a ) o s ( 3 ) 0 ( 0 的根q 满足i 呀1 0 ，0 c 0 ，碉； ( 5 )i m ( e 6 ) + t a n 口r 似e f 勺o ，o e 0 ，碉 则k 步法公式是4 ( 回一稳定的。其中从0 = , 4 0 o ( 9 。 在此定理的条件( 3 ) 成立时，条件( 4 ) ，( 5 ) 又分别等价于 厶0 ，x z - l ，l 】 ( 3 3 ) 4 1 - x 2 , ( x ) + t a n a r , ( x ) o ，x e - 1 ，1 】 ( 3 4 ) 其中， t i a x ) = 哆( x ) j = l r a x ) = 乃乃( x ) j = o t = q 届 1 = 0 k - ， 乃= ( 嘶+ ，届+ 口f 屈+ ) ，j = l ，2 ，k ， l = o t 一， 岛= ( a u ，届一嘶届+ ) ，j = l ，2 ，七， 其中u a x ) = s i n ( j o ) s i n o ，r a x ) = c o s o o ) , x = c o s o 为切比雪夫多项式。 定理3 1 3 【3 1 1 若口，p o 满足 一1 2 a l , - 立1 盟2 属 0 ，使( ，o ) 是绝对稳定区间，此类公式不具有绝对稳定性。 判断a -