（运筹学与控制论专业论文）分形理论在经济中的应用.pdf

中文摘要 摘要：分形理论是非线性科学研究中- f - j 十分重要的理论，现在已经被广泛应用 于各种研究领域，如气象学，生物学，地理学，经济学等等。本文主要研究如何 用分形方法来分析经济时间序列。首先，用除趋势波动分析( d f a ) 方法研究了股 票收盘价的绝对收益率序列，得出股票绝对收益率序列具有长相关性，并且研究 了除趋势波动分析方法对不同指数趋势的去除能力。在研究过程中，我们发现了 不相关序列波动函数的叠加公式，并给出了证明。其次，对传统的d f a 方法进行 了改进，将方法中的多项式拟合变为b 样条拟合，得到一种新的d f a 方法，称为 b 样条d f a 方法。同时，研究了该方法对指数趋势的去除能力，结果表明，b 样 条d f a 对指数趋势的去除能力明显强于传统的d f a 。传统的d f a 对周期趋势去 除能力很弱，而改进的b 样条d f a 能比传统的d f a 更有效的去除周期趋势。最 后，利用分形的方法研究了中国的基尼系数，为计算基尼系数提供了一种简便的 非线性方法。 本文图2 9 幅，表1 1 个，参考文献2 9 篇。 关键词：分形理论；股票市场；除趋势波动分析( d f a ) ；b 样条d f a ；基尼系数 分类号： a bs t r a c t a b s t r a c t ：f r a c t a lt h e o r yi sa l li m p o r t a n tb r a n c ho fn o n l i n e a rs c i e n c ea n dh a sb e e n u s e di nm a n yf i e l d so fs c i e n c e ，s u c ha sm e t e o r o l o g y , b i o l o g y , g e o g r a p h y , e c o n o m i c sa n d s oo n i no u r p a p e r , w em a i n l ys t u d yh o w t oa n a l y s i se c o n o m i ct i m es e r i e su s i n gf i a c t a l m e t h o d s f i r s t ，t h i sp a p e ra p p l i e sd f a m e t h o dt os t u d yt h ea b s o l u t er e t u r n st i m es e r i e s , a n dt h e r ei se v i d e n c eo fl o n g - r a n g ec o r r e l a t i o n sf o rs t o c ka b s o l u t er e t u m ss e r i e s t h e c a p a b i l i t i e so fd i f f e r e n to r d e r sd f a i ne l i m i n a t i n ge x p o n e n t i a lt r e n d sa r ed i s c u s s e d i n t h ep r o c e s so fr e s e a r c h ，t h es u p e r p o s i t i o nr u l eo fu n c o r r e l a t e dt i m es e r i e si sf o u n da n d p r o v e d a f t e rt h a t ，w et r y t o i m p r o v et h et r a d i t i o n a l d f am e t h o d ，c h a n g i n gt h e p o l y n o m i a lf i tt ob s p l i n ef i t ，s oa n e wd f am e t h o di sg i v e n ，w h i c hw ec a l li tb 。s p l i n e d f a t h e nt h i sp a p e rs t u d i e st h ec a p a b i l i t i e so ft h i sn e wm e t h o di ne l i m i n a t i n gd i f f e r e n t e x p o n e n t i a lt r e n d s w ef i n dt h a tt h ee f f e c t so fb s p l i n ed f a i ne l i m i n a t i n ge x p o n e n t i a l t r e n d sa r em u c hb e a e rt h a nt h et r a d i t i o n a ld f a f u r t h e r m o r e ，t h et r a d i t i o nd f a f a i li n e f f e c t i v e l ye l i m i n a t i n gt h ep e r i o d i ct r e n d s ，b u tt h eb - s p l i n ed f ac o u l de l i m i n a t et h e p e r i o d i ct r e n d se f f e c t i v e l yi n m o s tc a s e s a tl a s t ，t h eg i n ic o e f f i c i e n to fc h i n ai s c a l c u l a t e du s i n gf r a c t a lm e t h o d ，s u p p o r t i n gan e wn o n l i n e a rm e t h o dt ot h ec a l c u l a t i o no f g i n ic o e f f i c i e n t k e y w o r d s ：f r a c t a lt h e o r y ；s t o c km a r k e t ；d e t r e n d e df l u c t u a t i o na n a l y s i s ( d f a ) ； b - s p l i n ed f a ；g i n ic o e f f i c i e n t c i a s s n 0 ： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位做作者躲撇穆 签字同期：碍年多月p 日 导师签名：i 譬p 舟愤俚 签字同期：o l - 年占月z 同 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名私爱蟹签字吼 秒莎年莎月 5 2 致谢 本论文的工作是在我的导师商朋见教授的悉心指导下完成的，商朋见教授严 谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两年来 商朋见老师对我的关心和指导。 商朋见教授悉心指导我们完成了实验室的科研工作，在学习上和生活上都给 予了我很大的关心和帮助，在此向商朋见老师表示衷心的谢意。 商朋见教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷 心的感谢。 在实验室工作及撰写论文期问，我的同学和师兄妹对我论文中的研究工作给 予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。 另外也感谢我的家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 1 引言 所谓分形n 2 1 ，简单地说，就是局部和整体以某种方式相似的形体。上世纪 7 0 年代，美籍法国数学家曼德尔布罗特在美国科学杂志上的论文英国的海 岸线有多长统计自相似性与分数维数及专著分形：形状、机遇和维数 中，阐明了他的分形( f r a c t a l ) 思想。后来他进一步将分形定义为其组成部分和 整体以某种方式相似的客体。这类客体极其破碎而复杂，不能用传统的欧几罩德 几何来描述，但这些客体却都是具有自相似或自仿射性的体系，如弯弯曲曲的海 岸线，起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流等等。 这类客体不具备特征尺度，用不同倍数的放大镜去观察它们，其相貌是相似的， 并且这个性质不随观察位置的变化而变化。分形理论就是专门研究分形的几何特 征、数量表征及其规律和应用的科学。 尽管关于“分形”目前还没有一个统一的、严格的定义，但其作为一种新的 分析方法已受到了诸多学科的广泛重视，在经济科学领域也获得了广泛的应用。 德国学者瓦内克教授甚至提出了一种新的企业管理模式：分形企业管理，从而拓 展了分形理论在实际经济生活中的应用。此后，众多国内外学者运用分形理论的 自相似性与维数原理来研究经济管理领域的时问序列、随机过程等非线性动力过 程，说明和解释复杂多变的经济现象。相关实证研究也取得了许多有价值的成果。 经济学分形理论及其方法的引入口1 ，直接从非线性复杂系统的本身入手，从未 简化和抽象的研究对象本身去认识事物，使人们对整体与部分的思维方法由线性 发展到非线性，解释了貌似混乱、无规则、随机现象的内部规律，恰能分析传统 方法所不能研究的那些处处不光滑、处处不可微、支离破碎的、混乱的一大类极 其复杂的经济现象的“形状和结构”。例如，受政策面的影响，中国的股票指数 在市场发展过程中时常大起大落，不能客观地预测和反映其自身与宏观经济之间 的规律。股指走势虽然呈现出不规则且不均匀的形态，但各阶段股票指数的形态 却存在着相似性。目前，一些研究已经运用多标度分形方法刻画出这类市场波动 的复杂特征，从而有利于指导投资者的投资行为以及政府经济调控部门的风险管 理工作。 我们利用分形的方法探索复杂系统局部与整体自相似关系的同时，还注意到 一个新的现象，即所有的分形结构都具有分数维的特征。传统的概念模型或机理 模型一般需要根据因果关系或统计关系来分析不同事物之间的内在联系，当问题 涉及的维数或相关因素较多时，模型必将包含大量参数，使问题复杂化，这时， 即使是运用欧氏维数、拓扑维数等这类整数维数也无法对这种参差不齐、有无限 细微结构的复杂形状进行准确刻画。而当利用分形所研究对象的相似性来解决这 类问题时，则能用很少的参数描述复杂的分布，从而合理确定差异系数，有利于关 键问题的解决，这是传统数学方法所不能比拟的。 经济学不均等问题经常在不同政府层级和不同地区资源配置公平的研究中 出现，该类问题传统分析法( 如方差，调整极差，变异系数，基尼系数，塞尔系 数等方法) 需要在各级面板数据基础上进行分析，样本量大，采样工作复杂。运 用非线性多重分形来再现非均匀分布只需要抽样调查某一层次的数据或同一系列 的样本就能再现不均匀的状态，保证取样具有一般性和代表性，使在任何一个研 究尺度上的模拟结果与实际分布能够得到有效统计。 本论文利用分形理论来研究经济时问序列h 1 。用除趋势波动分析方法来研究 股票时间序列，并对传统的d f a 方法尝试性的进行了改进，得到了较好的结果。 鉴于目前国内收入分配差距越来越大这一现状，用分形的方法来计算衡量收入差 距的基尼系数，与原来计算基尼系数的线性方法比较，计算过程更为简便。 2 2 指数趋势对股票时间序列相关性的影响 在经济中股票市场是一个很复杂的受很多因素影响的动力系统。股票时间序 列通常具有很大的波动性，没有明显的相关性。由于股票时问序列的复杂性，我 们很难对这种序列进行研究。在过去的2 0 年罩很多入对股票收益率序列的相关性 进行研究，股票时间序列的相关性在一定意义上使对股票的波动进行预测成为可 能。股票时间序列是否具有长相关性仍然是实际研究中的一个重要问题。近年来， 通过对各种股票时间序列进行研究，很多学者发现股票时间序列具有长相关性。 b a r k o u l a s 在研究希腊股票市场瞄3 时首次发现了长相关性，关于股票市场时问序列 具有长相关性的文献叫0 3 有很多。 股票时间序列受不同趋势的影响，这些趋势是由一些外部因素造成的。强趋 势会影响序列长相关性检测的正确性。因此，研究不同的趋势对时问序列相关性 的影响有重要意义。 我们通常应用r s 分析方法、小波变换极大模方法和除趋势波动分析方法。1 2 1 ( 简称d f a 方法) 来分析相关性。由p e n g 等人提出的d f a 方法已经成为确定和检 测时间序列是否具有长相关性的一种常用方法。同时，d f a 方法已被广泛应用到很 多领域，如d n a 序列n 引，心率系统u4 1 ，长期天气数据n 剐等。 标度性是研究中用到的一个重要概念。很多时间序列在不同的时间尺度上具 有不用的标度性。在某些时间序列中，存在一个交叉标度s 把系统分为两个不用 的标度指数n6 j ，如对于s s ，则为短相关或是不 相关。有些时间序列则更为复杂，不同部分的标度指数是不同的n 7 1 。 除趋势波动分析方法是估计时间序列长相关系数的一种常用的标度分析方 法。本文利用d f a 方法来研究股票时间序列的长相关系数，把香港恒生指数作为 一个具体例子，来研究不同指数趋势对股票时问序列长相关性及交叉点位置的影 响。本文分析了不同阶的d f a 对指数趋势的去除作用。 在本章中，运用d f a 方法对两个国家的股票绝对收益率序列进行研究，来检 测序列是否具有相关性，把恒生指数的绝对收益率序列作为具体例子来分析指数 趋势对序列相关性的影响。通过对时间序列添加不同的指数趋势，分析序列相关 性的变化，得到了一些有意义的结论。 北塞奎道太堂亟堂焦论蓝一一一指熟趋蛰蕴股墓吐间庄到扫差性的毖瞳 2 1 方法介绍 2 1 1绝对收益率 近年来，关于股票收益率以及绝对收益率的研究越来越多。很多文献n 州羽研究 股票收益率及绝对收益率的长相关性。一些研究表明股票收益率序列不具有长相 关性，而绝对收益率序列具有长相关性。下面给出股票时间序列绝对收益率的定 义。我们用x ( f ) ( t = l ，2 ，n ) 表示t 时刻股票价格，时间问隔为出的收益率为： r ( t ) = x ( f + 出) 一x ( f )( t = l ，2 ，一出)( 2 1 ) 时间间隔为f 的绝对收益率定义为： r ( t ) = l o g ( x ( t + a t ) ) 一l o g ( x ( f ) ) l ( f = l ，2 ，一垃) ( 2 2 ) 2 1 2d f a 方法介绍 我们考虑一个等度量的时间序列 薯 ( f = l ，2 ，) ，通常情况下，f 表示时间 度量。d f a 方法有四个步骤： 第一步：求序列对于均值的累积离差 】，( f ) ： r ( ) - - ( 薯一( 工) )( 2 3 ) 其中 善 凡、一备五 ( 2 4 ) ( 石) = 丝一 、一。7 、 此处，首先去除了时间序列的平均值。由于一个时间序列可能有趋势、季节、 循环这三个成分中的某些或全部再加上随机成分。因此，如果要对一个时间序列 本身进行较为深入研究，把序列的这些成分分解出来、或者将其去除会有很大帮 助。 第二步：序列重构，把，( f ) 等分成m 个不相重叠的等时间长度s 的区间，其 中，m 暑【n s 】( 即取整数部分) 。由于序列长度并不总是时问增量s 的整数倍， 因此，序列尾端有时会出现小部分的数据信息未能被利用。为了充分利用数据， 对该序列的逆序进行同样操作，这样，则共有2 m 个等长度的区间。 第三步：对于每个区间，用最小二乘法拟合数据，得到局部趋势。去除该趋 势后的时间序列记为r s ( i ) ，表示原序列与拟合值之差，即： 乓( f ) = y ( i ) 一凡( f ) 4 ( 2 5 ) 式中，仇( f ) 为第，区间的拟合多项式。如果拟合多项式采用的是线性的、二次 的、三次的，甚至是更高次的多项式，则分别记为d f a ( d f a l ) ，d f a 2 ，d f a 3 ，d f a n 那么刀阶的d f a 贝j j 去除了累积离差中的刀阶趋势成分以及原始序列中的刀一1 阶趋势 成分。 第四步：计算每个区间去除趋势后的方差( 此处将顺序和逆序分别公式进行计 算) ： g s 2 ( y ) = ( k 2 ( f ) ) = k 2 【( 1 ，一0 s + 订 ( y = l ，2 ，帆)( 2 6 ) 和 b 2 ( y ) = i i 厶一 y ，2 【j v 一一虬) s + i 1 ( 矿= m + l ，虬+ 2 ，2 n s ) ( 2 7 ) 对所有等长度区间求均值并开方，计算得到标准d f a 波动函数： 邢，= 壶觏p ) i 2 ( 2 8 ) 对于不同的除趋势阶数，我们得到不同的波动函数f ( s ) ，用c ( s ) 来表示，由 c ( s ) 的构造可知，它只对s n + 2 有定义。很显然，当s 变大时，方差也会随之 变大。如果 x ( 磷是长相关的，则c ( s ) 与s 成幂律关系，即： 。) ( s ) o cs 口( 2 9 ) 此时，在双对数坐标( f ( s ) ，s ) 中，以l o g ( s ) 为解释变量、l o g ( f , ( s ) ) 为被 解释变量做散点图，用最小二乘法拟合数据，其直线部分的斜率即为标度指数口。 其中，口存在于一定标度区间( 0 口 1 ) ，表征序列是否具有相关性： 1 ) 口= 0 5 时，说明序列具有标度不变性，表示一个独立的随机过程，不相关 ( 随机) 或短程相关； 2 ) 0 5 t ；t 1 时，说明观测值之间不是相互独立的，系统表现为正长程相关， 这时径流时间序列具有状态持续性。即时间序列过去个时期是上升( 下降) 趋势 隐含着未来时期总体上也呈现同样的趋势，过去发生事件对未来产生影响，在跨 时间尺度的事件之间存在相关性。从复杂性理论来讲，即对初始条件的敏感依赖 性，而且时序的长期记忆性不随时间标度而变化，不同时问增量( 日、周、月、年 等) 的时序间具有相同的统计规律。 3 ) 0 口 - - 志f i 善l - - s 一_ _ s ( 2 1 0 如果 是不相关的，那么对于s 0 ，c ( s ) 的值为o ；若 玉 是短相关的， 那么c ( s ) 指数衰减，即c ( f ) 芘e x p ( - s s , ) ；若 再 是长相关的，c ( s ) 则以幂律形 式衰减： c ( s ) 芘s 吖 ( 2 1 2 ) 其中，指数0 l 。由于强趋势和未知的潜在趋势的影响，齐tc ( s ) 进行直 接计算通常是不合适的，例如，如果时间序列有很强的长相关性，序列自i 半部分 的均值 和后半部分的均值通常是不同的。这样c ( s ) 的定义就出现了问题，因 此我们需要间接的定义指数，对k ( s ) 进行类似的估计得到： 鼻。，( s ) o cs 卜7 坦( 2 1 3 ) 我们发现对于0 y l ，得到下面关系： 7 = 2 2 0 r ( 2 1 4 ) 相关指数y 能够通过计算波动指数口来间接的得到。 我们主要研究股票绝对收益率序列的相关性。在绝对收益率波动很大时通常 相关性是变大的，比如说在股市危机时。规模大的市场比规模小的市场灵活。规 模小的市场对相关信息反应比较迟钝。在1 9 7 8 年1 0 月的股市危机之后，人们更 加关注股票相关性的概念。 2 2 数据描述 本章中数据分别为从1 9 8 8 年1 月到2 0 0 7 年6 月的美国道琼斯指数和香港恒 生指数，各有4 8 9 6 和4 8 1 0 个数据，原数据来源于雅虎财经网站 ( h 主主乜；么么璺翌：i n 垫曼金：y 曲q q ：q 堡) 图2 1 给出了原始序列图。对于每个股市的股 票同收盘价格，计算月度绝对收益率序列如下： r ( f ) = l l o g ( x ( h 2 2 ) ) 一l o g ( x ( f ) ) l ( 2 1 5 ) 月度绝对收益率序列与时间的关系图如图2 2 所示。 6 道琼斯指数 时间t 香港恒生指数 图2 11 9 8 8 年至2 0 0 7 年两股市的日收盘价格图( a ) 道琼斯指数：( b ) 香港恒生指数 道琼斯指数 0 5 铬o 4 弘3 弘2 吒0 1 0 时间t 香港恒生指数 ( b ) i 枞删抵_捕： 05 0 01 0 叩1 5 0 0 砌2 硼姗3 5 0 0 砌4 5 0 05 0 0 0 时间l 图2 2 两股市的月绝对收益率序列图( a ) 道琼斯指数：( b ) 香港恒生指数 7 $ 相掣皿 $ 稍塾皿 2 3 绝对收益率序列的相关系数 我们计算不同时间间隔的绝对收益率，分别为1 天，5 天，1 0 天，1 个月( 2 2 天) ，2 个月( 4 4 天) ，3 个月( 6 6 天) ，6 个月( 1 3 2 天) ，1 年( 2 6 4 天) ，对应的 & 分别为a t = l ，a t = 5 ，a t = 1 0 ，& = 2 2 ，a t = 4 4 ，a t = 6 6 ，a t = 1 3 2 ，a t = 2 6 4 。然后对每 一个绝对收益率序列r ( t ) ，应用d f a 。图2 3 和图2 4 分别为波动函数e ( s ) 和时 问尺度s 之间的关系图。对于不同的出都出现交叉点，并且当出变大时交叉点的 位置后移。从图2 3 和图2 4 能得到相关系数不是一个常数，出现了交叉点。在 图2 3 和图2 4 中箭头指向的位置为交叉点。交叉点通常是由于不同尺度下相关 系数的改变，或数据中存在的趋势造成。 为了进步研究绝对收益率序列的性质，对缸= l 的绝对收益率序列进行详细 的分析。波动指数口和相关指数y 的值在表2 1 和表2 2 中给出。表2 1 更有力的 证明了道琼斯指数和香港恒生指数股票绝对收益率序列的长相关性。表2 2 分别 给出了道琼斯指数和香港恒生指数股票绝对收益率序列的相关指数y 。结果表明道 琼斯指数的绝对收益率序列具有较强的长相关性。 图2 3 ( b ) a t 道琼斯日收盘价绝对收益率序列的波动函数只( s ) 和时间尺度s 的关系图( a ) 出= 1 ； = 5 ；( c ) a t = 1 0 ；( d ) a t = 2 2 ；( e ) a t = 4 4 ；( f ) f = 6 6 ；( g ) a t = 1 3 2 ；( h ) a t = 2 6 4 9 (【s)(f。o一(s)cuo 6 0 i (旺乒。口一 务)(u0拿一 图2 4 香港恒生指数日收盘价的绝对收益率序列的波动函数e ( s ) 和时间尺度s 的关系图 ( a ) a t = l ：( b ) a t = 5 ；( c ) a t = 1 0 ；( d ) a t = 2 2 ；( e ) a t = 4 4 ；( f ) a t = 6 6 ；( g ) a t = 1 3 2 ； ( h ) a t = 2 6 4 表2 1 当a t = 1 时的标度指数口 口- d f a l 口- d f a 2口一d f a 3口- d f a 4口- d f a 5 道琼斯 0 8 1 5 2 0 7 6 2 9 0 7 4 1 60 7 2 0 1 0 7 0 6 9 恒生0 8 3 2 8 0 7 9 1 60 7 6 9 60 7 5 2 10 7 4 6 6 1 0 7 。d f a l，一d f a 2厂一d f a 3，一d f a 4z - d f a 5 道琼斯 0 3 6 9 60 4 7 4 30 5 1 6 90 5 5 9 80 5 8 6 2 恒生0 3 3 4 30 4 1 6 7 0 4 6 0 8 0 4 9 5 90 5 0 6 8 2 4 不同指数趋势对股票绝对收益率序列相关性的影响 2 4 1 对尺( f ) 添加指数趋势 实际测量出来的数据经常受很多趋势的影响，这些趋势需要从原始数据中去 除才能更好的对数据进行分析。在2 3 节中我们利用d f a 方法研究了原始序列的 性质。在本节中，将对原始序列添加不同的指数趋势得到构造序列，对构造序列 利用d f a 方法进行研究，对比标度的不同结果。本节中选取香港恒生指数作为研 究对象，研究不同指数趋势对股票市场相关性的影响。通过下面方式得到构造序 列： ； r ( f ) = r ( f ) + 1 0 p 其中，x - 古( f = l ，2 ，)( 2 1 6 ) y r ( t 1 是香港恒生指数的同绝对收益率序列，是数据量。 2 4 2 对指数趋势进行d f a 分析 我们考虑下面的指数函数： j y = 1 0 ，矿 其中，j = 吉( 江l ，2 ，n ) ( 2 1 7 ) v 在p = 0 ，g = 1 ，2 ，3 ，4 的情况下，对相应指数趋势的分析结果在图2 5 和表2 3 中给出；在p = 0 , 1 ，2 ，3 ，q = 1 2 的情况下，对相应指数的趋势分析结果在图2 6 和 表2 4 中给出。在本节中，”口一b ”表示交叉点为最= c ，在交叉点之前斜率为a ， 在交叉点之后斜率为b 。例如，在表2 3 中，什一0 2 0 1 7 爿4 9 3 7 8 ”表示交叉点 为鼠= 2 0 ，在交叉点之前斜率为一0 2 0 17 ，在交叉点之后斜率为4 9 3 7 8 。 在第一种情况下，g 值变化时，f 。、( s ) 和s 双对数图的斜率变化很小，当增大 变量g 时，交叉点的位置左移，即q 的值越大，交叉点值越小。在第二种情况下，1 p 值变化时， 鼻。，( s ) 和s 双对数图的斜率几乎不变，对于不同的p 值，我们得到 几乎相同的图形( 如图2 6 所示) 。 图2 5l 古l 定p = o 对指数趋势进行d f a 分析得到的波动函数l 。) ( s ) 和时间尺度s 的犬系图 ( a ) g = 1 ；( b ) q = 2 ；( c ) q = 3 ；( d ) q = 4 1 2 一琶(u)b60i (s一誊o一 l 叼向 i o n s ) 图2 6 同定g = 1 2 对指数趋势进行d f a 分析得到的波动函数e 。，( s ) 和时间尺度s 的关系图 ( a ) p = 0 ：( b ) p = l ；( c ) p = 2 ；( d ) p = 3 表2 3 州定p = 0 ，变化q 得到的标度指数 g口- d f a l口- d f a 2口- d f a 3口一d f a 4口- d f a 5 l 2 0 0 0 8 3 0 0 6 44 0 1 6 8 0 2 0 1 71 甜4 9 3 7 8 o 1 8 6 8 召5 8 6 2 5 21 9 9 5 13 0 0 0 7 4 0 1 0 9加1 2 3 7 司4 9 8 4 5 o 16 0 3 1 葛一5 9 4 5 7 31 9 8 82 9 9 3 54 0 0 3 7_ o 4 4 5 3 i 砷4 9 7 0 70 1 4 2 5 司5 9 4 7 9 41 9 8 0 72 9 8 5 93 9 9 64 9 9 7o 伽8 l 司5 9 1 6 3 p口一d f a i口- d f a 2口- d f a 3瑾- d f a 4口- d f a 5 l 1 9 9 9 8 3 0 0 5 54 0 1 5 8- 0 0 5 4 6 _ 甜4 9 7 1 3 0 2 1 6 r ；矿5 9 5 2 1 9 9 9 83 0 0 5 54 0 1 5 8_ 0 0 2 1 8 胃4 9 7 0 20 2 1 9 9 菇葡5 9 4 8 4 31 9 9 9 83 0 0 5 54 0 1 5 8- 0 0 3 6 2 泰矿4 9 7 0 7o 2 2 8 9 百矿5 9 4 7 9 41 9 9 9 83 0 0 5 54 0 1 5 8- o 0 3 3 蠢矿4 9 7 1o 2 2 1 3 吲5 9 4 9 2 4 3 d f a 方法对强指数趋势的去除能力 首先，固定p = 0 ，变化g ，讨论d f a i 到d f a 5 对相应指数趋势的去除能力。 对于添加趋势p = o ，q = l ，2 ，3 ，4 ，5 的构造序列，波动函数。) ( s ) 和尺度s 的关系在 图2 7 中给出，在图2 7 ( a ) 中，出现一个交叉点最= 4 0 ，当s 最时，口= 1 9 1 5 5 。当s 最时，没有长相关性。 图2 7 同定p = 0 ，变化g ，得到构造序列r ( f ) 的波动函数鼻。) ( s ) 和时间尺度s 的关系图 ( a ) q = 1 ；( b ) q = 2 ；( c ) q = 3 ；( d ) q = 4 ；( e ) g = 5 如果刀q + l ，指数趋势可以被完全去除。对于相同阶的d f a ，交叉点的位置 左移，即g 值变大时，最变小( 如图2 7 所示) 。高阶d f a 能够较好的去除趋势， 但是对于大尺度s ，仍然存在交叉点。交叉点位置的变化和交叉点前后斜率的变化 1 4 (s)(u)b口一 匿【uo-oi 在表2 5 中详细给出。“0 9 1 9 8 - o1 9 1 5 5 ”表示交叉点前斜率为0 9 1 9 8 ，交叉点之 后斜率为1 9 1 5 5 。交叉点位置是分别对交叉点两边的点进行线性拟合并求交点得 到的。 表2 5 同定p = 0 ，变化q 得到的标度指数 g口- d f a l口- d f a 2口- d f a 3口- d f a 4口- d f a 5 l0 9 1 8 司1 9 1 50 8 1 4 50 7 6 9 60 7 5 2 10 7 4 6 6 21 5 6 2 r i 一1 9 80 7 5 2 _ i 丽尹2 3 9 60 7 0 7 70 7 5 2 10 7 4 6 6 31 9 7 7 7 o 7 4 61 j 矿2 8 3 6 0 7 5 4 r 布3 0 5 4 0 7 5 2 l0 7 4 6 6 4 1 9 7 9 53 0 0 5 54 0 1 5 80 7 5 6 70 7 4 6 6 51 9 7 3 20 6 7 7 爿2 8 90 7 0 7 i 3 - 7 6 50 7 1 5 爿4 2 5 40 7 4 7 2 然后，研究p = 0 ，l ，2 ，3 ，4 ，5 ，q = 1 2 对应的指数趋势如何影响r ( f ) 的标度性质。 对添加指数趋势后的序列进行d f a 分析，图2 8 给出了波动函数f 。、( s ) 和s 的关 系图。在表2 6 中具体给出了交叉点的值和标度指数口的变化。通过图2 8 和表 2 6 可以得到，如果p = o ，l ，当以 p + g 时，指数趋势完全被去除。如果p = 2 ，3 ，4 ，5 ， 当刀 - p + g 一1 时，指数趋势完全被去除。 图2 8 同定q = 1 2 ，变化p 得到构造序列r ( f ) 的波动函数曩町( s ) 与时间尺度s 的关系图 ( a ) p = 0 ；( b ) p = 1 ：( c ) p = 2 ；( d ) p = 3 ；( e ) p = 4 ；( o p = 5 表2 6 同定q = 1 2 ，变化p 得到的标度指数 p口- d f a l口- d f a 2口一d f a 3口- d f a 4口- d f a 5 0 0 8 9 _ 耐1 9 1 0 8 4 4 50 7 6 9 60 7 5 2 10 7 4 6 6 l 1 9 8 9 50 7 3 1 耐2 8 5 0 7 7 1 40 7 5 2 10 7 4 6 6 21 9 9 9 7o 7 5 下矿2 9 7o 7 7 司3 3 20 7 5 2 10 7 4 6 6 31 9 9 9 8 0 7 71 力2 9 8 o 7 3 两矿3 8 5 0 7 5 2 l0 7 4 6 6 4 1 9 9 9 81 6 8 1 矽2 9 9o 7 6 蕊矿3 9 20 7 3 胄4 6 3 0 7 4 6 6 51 9 9 9 83 0 0 4 60 7 l 刁3 舯0 7 1 吲4 7 80 7 4 6 6 1 6 岔一cf-ol 2 4 4 d f a 方法对弱指数趋势的去除能力 对弱指数趋势，用类似分析强指数趋势的方法进行d f a 分析。对于刀2 ，对 r ( f ) 进行d f a 分析与对尺( f ) 进行d f a 分析得到的结果相同，因此我们只研究d f a i 的情形。固定p = - i ，变化q ，在表2 7 中给出了当q 变化时相应的标度指数。固 定q = 1 2 ，变化p ，在表2 8 中给出了当p 变化时相应的标度指数。 lg o 70 50 20 1o 0 50 0 20 0 l l 口 0 9 50 8 9 4 10 8 4 1 70 8 3 4 90 8 3 3 30 8 3 2 90 。8 3 2 8 lp l - 5一1 7一l - 9- 22 22 52 5 5 l 口 0 9 0 8 10 8 6 70 8 4 6 30 8 4 0 80 8 3 5 30 8 3 2 90 8 3 2 8 当p = - i ，q 比较小时，没有明显的交叉点，当q 值减小时，标度指数口的值 也随之减小，当q = 0 0 1 时，口= 0 8 3 2 8 ，这与没有力h _ i z 指数趋势的原始序列是相 同的；当q = 1 2 ，p 比较小时，得到与上面类似的结果，p = - 2 5 5 时，口= 0 8 3 2 8 。 从而能得到结论，当p + q - - 0 3 时，没有明显的交叉点，当p + q - 1 5 时，趋势 对任意阶的d f a 的标度指数口都没有影响。 3 不相关序列波动函数的叠加公式及其推导 3 i 实验性的结果 对于两个不相关序列f ( i ) ，g ( f ) ，图3 1 中给出了其时间序列图，他们的均 方根波动函数分别为( ，z ) 和v ( 订) ，在对实际数据的研究中，发现了一个普遍存 在的现象，两个序列和的均方根波动函数的平方同两个序列均方根波动函数平方 和的结果是非常近似的( 在图3 2 中给出) ，也就是满足下面的式子： t + 掌2 ( 刀) 2 ( 以) + c 2 ( 刀)( 3 1 ) 我们称( 3 1 ) 式为叠加公式。 图3 1 序列厂与g 的时间序列图( a ) 序列厂；嘞序列g 图3 2 序列厂与g 的均方根波动函数之和与序y of + g 的均方根波动函数对比图 ( a ) 一阶d f a ；( b ) 二阶d f a ；( c ) 三阶d f a ；( d ) 四阶d f a 通过上面的图形可以直观地看出，序列f 与g 的均方根波动函数之平方和与序 列厂+ g 的均方根波动函数的平方是非常接近的，尤其在小尺度的时候，几乎是重 合的。在图3 3 中，给出了两种波动函数的差值。和我们直观得到的结论一样，差 值在小尺度时几乎为0 ，只是在时间尺度很大时差值是在0 的附近波动的。对于越 高阶d f a ，两种波动函数之间的差值越小。 1 9 d f a l ( a ) q 07 ， 1 03 07 0邮 d f a 3 ( c ) - 一 d f a 2 彻 疋 1 0 2 d 7 0 t d f a 4 l d ) 峨矗 0 o加柏卯7 01 图3 3 序列厂与g 的均方根波动函数之平方和与序列f + g 的均方根波动函数平方的差值 ( a ) 一阶d f a ；( ”二阶d f a ；( c ) 三阶d f a ；( d ) 四阶d f a 上面得到是实验性的结果，而且对于不同组数据进行实验研究，均得到相类 似的结论，为了使结果具有说服力，从理论上来证明这一结论，在下一节中给出证 明过程。 3 2 叠加公式的证明过程 证明：对于两个不相关序列( f ) ，g ( f ) ，均方根波动函数分别为( 以) 和 ( 刀) ， 要证明对于序列厂( f ) + g ( f ) ，它的均方波动函数满足 弓+ 9 2 ( 以) c 2 ( 以) + 乞2 ( 珂) 即证： 2 0 0 锄 也就是证 笠 弓+ g ( 州2 ：芝 弓( ，) 2 + 芝 匕( ，) 2 下面我们来证明： 弓+ 量( f ) = 弓( f ) + 匕( i ) 因为 + g ( i ) = y y + 譬( f ) 一蛸。( i ) 髟( f ) = 乃( f ) 一矽( i ) 匕( f ) = 以( f ) y 一一t ( i ) 我们分两步来证明( 3 4 ) 式成立： 第一步：i f f b 韭j y + 譬( f ) = 以( f ) + 以( i ) y f ( f ) = ( 厂( ) 一( “) ，) y = t 以( f ) = ( g ( ) 一( “) 譬) ( 3 9 ) 产i jj 乃+ 窖( 萨( 厂( j ) + g ( ) 一( “) 似) = ( 厂( ) + g ( ) 一( “) 厂+ ( “) g ) ( 3 1 0 ) j = ly ：l 所以巧+ g ( f ) = 乃( f ) + 以( f ) 第二步：证明吆g ( f ) = 矽( f ) + 哆( f ) 曲线拟合的实际含义是寻求一个函数q ( 工) ，使得此函数与所有数据点最为接 近， 即求q ( x ) ，使d = 砰= ( q ( 薯) 一咒) 2 最小，对于d f a 方法，我们采用多 项式拟合： 9 9 q ( x ) = 口。x ”+ 口月一l x “_ 1 + + 口l x + a o( 3 11 ) 即 q ( 玉) - z 吼x ( 3 1 2 ) k = o 将( 3 1 2 ) 代入到d = 彰= ( q ( t ) 一y ，) 2 中得到： d = i 吼霉- y ( i ) l ( 3 1 3 ) 力 筇 q $ 吣力 p p p p p p 得到： + 譬：艺l 窆口f + 署# 一乃+ g ( f ) f ( 3 1 4 ) 由极值定理，我们可以得到： 警= 2 喜溪矿# - y i ( i ) - y 譬( i ) ) = 。其忙1 2 ，刀 ( 3 1 5 ) 圭f 羔“k f + 窖= 羔一( y ，( f ) + 只( f ) ) ( 3 1 6 ) 同理可得： l k - - z 衫( y 脚) ( 3 1 7 ) l k = 芝x i j ( y g ( i ) ) ( 3 1 8 ) 把( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 两式相加： l 一“l ( a f + 口；) = 一( 乃( f ) + 以( f ) ) ( 3 1 9 ) ( 3 1 6 ) 和( 3 1 9 ) 是同解的，所以 增= 衫+ 口；( 3 2 0 ) 所以 蛸g ( f ) = y ，a ( f ) + 站( i ) ( 3 2 1 ) 由第一步和第二步的证明，可得： 弓+ 窖( i ) = l ( i ) + y s ( i ) ( 3 2 2 ) 那么，把( 3 2 2 ) 式两边分别平方并求和： s m 队( z ) 2 ；羔 弓( z ) 2 + 州 2 + 2 兰硼 ( 3 2 3 ) 而对于两个不相关的序列，我们可以认为。芝l ( f ) 匕( f ) 是近似等于0 的，综 合上面的证明，我们得到增2 ( 刀) 口2 ( 刀) + 名2 动) 。命题得证。有了这个结论， 我们可以间接的判断两个时间序列的相关性，如果满足0 + 暑2 ( 刀) 2 ( n ) + c 2 ( 疗) ， 那么两个序列是不相关的，如果+ ；2 ( n ) 哆2 ( 玎) + c 2 ( n ) ，而且差别很大，就要 考虑两个序列之间是不是存在某种相关性。 4d f a 方法改进 d f a 方法及其不同阶的d f a 对指数趋势的去除作用在第二章中已经详细地阐述 过。一般地，高阶d f a 对指数趋势的去除效果较好。值得注意的是，传统d f a 方 法第三步：在每个区间内，对原始数据作多项式式最小二乘法拟合，得到局部趋 势。其中，式r s ( f ) = y f f ) 一p 。，( i ) 表示真实值与多项式拟合值的差。显然，不