（运筹学与控制论专业论文）带markov调制的随机时滞微分方程的数值解.pdf

摘要 近年来，对随机时滞微分方程的研究引起了广泛的关注通常情况下，大多数随机时滞微分方程 ( s d d e ) 没有精确解，带m a r k o v 调制的随机时滞微分方程( s d d e w m s s ) 也是如此冈此，诸如e u l e r 方 法的数值方法是研究s d d e w m s s 的解及其性质的有利工具 本文主要讨论了带m a r k o v 调制的随机时滞微分方程的数值方法，主要研究内容有以下几个方 面： 1 本文根据e u l e r 方法，利用b u r k h o l d e r - d a v i s g u i l d y 不等式，c a u c h y s c h w a r z 不等式，g r o n - w a l l 弓【理及d o o b 不等式，对数值解的收敛性进行讨论，得到在均方意义下s d d e w m s s 的数值解 收敛于解析解，并给出数值算例对所得结论进行了验证 2 根据e u l e r 方法，利用重要不等式、引理及i t b 公式，对数值解的收敛性进行讨论，得 到s d d e w m s s 的数值解依概率收敛于解析解，并给出数值算例对所得结论进行了验证 3 用有限差分法研究一类带有参数的广义b l a c k s c h o l e s 模型，并通过具体算例对数值解进行了 验证，结果显示方法是有效的 关键词： i t 5 公式，m a r k o v 链，e u l e r 方法，b l a c k s c h o l e s 模型，有限差分法 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h es t u d yo fs t o c h a s t i cd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s d d e s ) h a sb e e n b e i n ga t t r a c t e d w i d ea t t e n t i o n i ng e n e r a l ，t h em a j o r i t yo fs d d e sh a v en oe x a c ts o l u t i o n s ，s od ot h es t o c h a s t i cd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hm a r k o v i a ns w i t c h i n g ( s d d e w m s s ) n u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n s ，s u c ha st h e e u l e rs c h e m e ，a r et h e r e f o r eav i t a lt o o li ne x p l o r i n gt h e i rs o l u t i o n sa n dp r o p e r t i e s n em a i np u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oi n v e s t i g a t et h ec o n v e r g e n c eo fn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o no f s t o c h a s t i cd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hm a r k o v i a ns w i t c h i n g ，t h ef o l l o w i n ga r et h em a i nc o n t e n t s ： 1 a p p l y i n ge u l e rs c h e m e ，u s i n gb u r k h o l d e r - d a v i s - g u n d yi n e q u a l i t y , c a u c h y - s c h w a r zi n e q u a l i t y , g r o n w a l ll e m m aa n dd o o bi n e q u a l i t y , t h ec o n v e r g e n c eo ft h en u m e r i c a ls o l u t i o n si sd i s c u s s e d i t i s p r o v e dt h a tt h en u m e r i c a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n so fs d d e w m s sc o n v e r g et ot h ea n a l y t i cs o l u t i o n so f t h ee q u a t i o n si nm e a ns q u a r e a tl a s t , a ne x a m p l ei sg i v e nf o ri l l u s t r a t i o n 2 t h ec o n v e r g e n c eo f t h en u m e r i c a ls o l u t i o n sa l ed i s c u s s e db yu s i n go fe u l e rs c h e m e t h ei m p o r t a n t i n e q u a l i t y , l e m m aa n di t o sf o r m u l af o ro u rp u r p o s e s i ti sp r o v e dt h a tt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so fs d - d e w m s sc o n v e r g et ot h ea n a l y t i cs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n si np r o b a b i l i t y f i n a l l y , a l le x a m p l ei sg i v e n f o ri l l u s t r a t i o n 3 ac l a s so fg e n e r a l i z e db l a c k - s c h o l e sm o d e lw i t hp a r a m e t e r si ss t u d i e db yaf i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d t h en u m e r i c a ls o l u t i o n si sv e r i f i e dt h r o u g hs p e c i f i ca l le x a m p l e a n dt h er e s u l ts h o w e dt h a tt h e m e t h o di se f f e c t i v e k e yw o r d s ：i t o sf o r m u l a ，m a r k o v i a nc h a i n ，e u l e rs c h e m e ，b l a c k - s c h o l e sm o d e l ，f i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：出 时 间：多年歹月戈曰 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 时 间：二吵年歹月露日 时 i 日- j ：2 寸降妒炉 宁夏人学硕 i j 学f 寸论文 第一帝随机微分疗程数值解文献综述 第一章随机微分方程数值解文献综述 随机微分方程( s d e s ) ，近几年来国内涉足它的人开始逐渐增多它也是- - f l 建立在随机分析与 微分方程数值解之间的新兴学科作为一门年轻而又有着光明前景的非线性科学，已广泛应用于科 学和社会的各个领域，在自然科学与工程技术的研究中，随机微分方程已经成为解决许多复杂实际 问题的一个强有力工具为了有效地解决实际问题，随机微分方程数值解理论显得尤为重要，因而 合适的数值方法对研究随机微分方程数值解的收敛性与稳定性具有重要意义 1 1 随机微分方程理论起源、发展及研究意义 随机微分方程起始于k o l m o g o r l v 的分析方法与f e l l e r d e 的半群方法，它的研究足随着随机过程 理论与微分方程理论的发展而迅速发展起来的1 8 2 7 年，英国生物学家布朗( b r o w n ) 首先注意到侵 入液体巾的胶体微粒受到周围液体分子不平衡的碰撞，山于分子极微小，因此粒予每秒钟所受到的 碰撞次数很多，达到1 0 2 1 次，碰撞又极不规则，所以微粒的精确路径不能详细得到，但能进行统计描 述，故而认为粒子足因为受到很多微小的随机力的作用而作的随机运动 b r o w l a 运动的发现带动了后续一系列关于这方面的课题研究，1 9 0 5 年，e i n s t e i n 首次对这现象 的物理规律给出了一种数学描述，使这一课题有了显著的发展这方面的物理t 作在s m o l u c h o w s k i ， f o k k e r , p l a n c k ，b u r g e r , f u r t ho r n s t e i n ，b l e n b e c k 等人的努力下迅速发展起来了，但数学方面却由于 精确描述太困难而进展缓慢例如1 9 0 8 年，l a n g e v i n 1 】在研究b r o w n 运动时就得到形如 m m 杀= 一触+ 可( t ) 的微分方程，其中z 表示液体微粒在某一方向的运动速度，一触表示介质对微粒的影响，即摩擦力作 用项，y ( t ) 表示介质中分子运动对微粒的碰撞构成的随机作用力这种形式的方程称为l a n g e v i n 方 程在具体物理问题的研究中，虽然经常遇到l a n g e v i n 方程，然而对它缺乏确切而又严格的数学描 述 直到1 9 1 8 年，美国数学家维纳( w i e n e r ) 对这一现象在理论上作出了精确的数学描述，并进一步 研究了布朗运动轨道的性质，提出了在布朗运动空间上定义测度与积分这些t 作使对布朗运动及 其泛函的研究得到迅速而深入的发展，并逐渐渗透到概率论及数学分析的各个领域当中，使之成为 现代概率论的重要部分 1 9 4 2 年，k i t s 弓l 入随机微分方程，它的一般形式为 似( 。) = f ( x ( 出+ a ( x ( 州删( 吼涎( 蛆】，( 1 1 1 ) lx ( o ) = x o 这里称f ：r + 舻_ r ”为漂移系数，9 ：r + x 舻一r n ”为扩散系数w ( t ) 是有独立增最 的m 维标准w i e n e r 过程，j 是一随机变景( 1 1 1 ) 仅是种形式写法，其等价的随机移 分方程为 ，t x ( t ) = + ，( x ( s ) ，s ) d s + g ( x ( s ) ，s ) d w ( s ) ( 1 1 2 ) ，o 与常微分方程的本质区别在于随机秋分9 ( x ( s ) ，s ) d w ( s ) 不能理解为普 的l e b e s g u e s t i e l t j e s 宁夏人学硕上学化论文第。一带随机微分方程数值解文献综述 秋分，原冈在于对几乎所有的u ，w i e n e r 过程的轨迹( t ，) ( 【0 ，t i ) 是不可微的且在t 的任意小 区间内没有有界变差历史上对随机积分的定义有多种，但在理论和应用上广为接受的只有i t 5 积 分和s t m t o n o v i c h 积分，分别记为9 ( x ( s ) ，s ) d w ( s ) 和矗t9 ( x ( s ) ，s ) 。d w ( s ) ，二者的关系是 9 伍( s ) ，s ) o d w ( s ) = 9 伍( s ) ，s ) d w ( s ) + 言爰9 d s d 0d od o 0 7 “ 2 0 世纪4 0 年代，j 斌日本数学家伊藤清) 和i g i h m a n 分别独立研究了随机微分方程的基本理论， 之后在电子t 程学的控制问题、生物学的人口动力问题等实际需要的推动下，随机微分方程的基 本理论得到不断完善和发展i t 5 方程是目前随机微分方程研究的一个重要的方面，因为它的解过 程是m a r k o v 过程，因此它对随机过程理论和控制理论的应用都具有重大的意义通常情况下，一般 文献中以“s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ”指i t 5 型方程( 仍译作随机微分方程) 自随机微分和随机微分方程的理论创立后，随机微分方程有了迅速的发展，并在许多领域有着 广泛的应用例如，在随机系统控制和滤波理论中，随机微分方程是不可缺少的工具，著名的k a l r r m a b u o y 滤波公式就是一个典型的例了；工程结构分析中常常要考虑随机荷载；风力，海浪，地震力等模 型归结为随机微分方程金融经济学是随机分析应用最成功的领域之，7 0 年代，b l a c k - s h o l e s 从证 券价格的随机模型出发，得出它的衍牛物期权的价格适合的足一个偏微分方程的定解问题，因此 把偏微分方程作为_ t 具，利用偏微分方程的理论和方法，导出了期权定价公式，成为金融经济领域的 一个重大突破近些年来，随机微分方程和随机动力系统也被广泛的应用于生物数学的研究 近年来，许多学者对随机微分方程解的存在唯一性、稳定性等进行了系统的研究，也有许多学 者研究了时滞随机微分方程数值解理论，但是有关带跳随机微分方程数值解的结果较少此外，随 机微分方程数值解的收敛性更是引起了人们的极大兴趣，特别是带跳随机微分方程的收敛性与稳 定性的研究，因为它更能接近客观实际，如1 9 9 7 年的亚洲金融危机，1 9 9 8 年的俄罗斯金融危机以 及2 0 0 5 年的印度洋海啸，2 0 0 8 年的美国次贷危机造成了全球股市的动荡，即发生了不可预测的跳，因 而很有必要对带跳的随机微分方程作系统的研究 许多动力系统的结构往往冈受重叠随机冈素的扰动而发生变化人们常用混杂系统来模拟这 类变结构的动力系统，其中一类特殊的混杂系统模型是具有跳参数随机微分系统具有跳参数随机 微分方程能描述某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃，带跳随机微分方程正是刻 画这种现象的最佳模型，它能更好地描述出现在经济学、物理学、生态学、生物学和医学等领域 的客观现象，因而关于带跳随机微分方程数值分析的研究引起了人们的广泛关注该理论已被广 泛应用到投资决策、期权定价、递归效用、随机微分效用等经济理论和实践中在金融数学理论 中，一个最主要的应用是期权价格模硝例如，一类b l a c k - s h o l e s 模型，证券价格被表示为没有跳的 随机项j 有一个b r o w n 运动的线性微分方程但实际情况下，山于股票价格的突然变动产生了不可 预期的跳最初带跳的价格模型足山m e r t o n 提出的 1 2 国内外关于随机微分方程理论的研究现状 目前对随机微分方程的研究主要涉及以下i 个方面： 1 2 1 随机微分方程数值解收敛性的研究 在一般情况下，给出随机微分方程的解析解是几乎不可能的冈而在实际巾应用随机微分方 程或者研究它们的性质时，需要合适的数值方法逼近解析解因此研究随机微分方程数值解的 2 宁夏人学硕l j 学位论文第一奇随机微分方程数值解文献综述 收敛性十分必要关于随机微分方程数值解方面的讨论，大量的文献通过离散化的方法研究随机 微分方程数值解的收敛性，例如t h n l o a s c ，s o b c z y k ，l a w r e n c e ，m a o ，k l o e d e n 和p l a t e n ，h i g h a m ，m a r i o n , m i l s t e i n ，s a i t o ，z h a n g ，l i b a k e r 乘l b u c k w a r 币 用单步解析法给出了随机微分方程数值解收敛性的结 果s a b a n i s 证明了在局部l i p s c h i t z 条件下e u l e r - m a r u y a m a 产生的数值解收敛到其真实解近些年，关 于随机微分方程的研究得到了长足的发展，但由于随机因素所带来的复杂性，在缺乏有效数值 算法和计算工具的情况下，大多数随机微分方程解的表达式是无法给出的，于是数值方法的构 造显得特别重要，已有大量的学者投入到随机微分方程数值解的研究当中并取得了一系列的成 果p e k l o e d e n 和e p l a t e n 用i t 6 公式给出了随机t a l y o r 展开式，并且讨论了求解随机微分方程数值方 法的构造及其稳定性、收敛性等x r m a o 介绍了随机微分方程的e u l e r 法和强方法，通过将数值解 连续化，证明了数值方法的均方收敛性发数值解在局部l i p s c h i t z 条件下的收敛性z h a n g 等给出了 随机泛函微分方程的e u l e r 型数值解证明了数值解的均方收敛和依概率收敛张启敏将随机项引入 到与年龄相关的人口发展方程中，并证明了解的存在性、唯一性和指数稳定性 1 2 - 2 随机微分方程定性的研究 一般通过构造l y a p u n o v 函数研究方程各种意义下的稳定性，指数稳定性，均方稳定性，渐近 稳定性等例如，b u o y 对于i t 5 方稗存c = 0 通过半鞅理论给出了稳定的允分条件：h a s m i n s k i i 通 过l y a p u n o v 函数对线性i t 5 方程证明了均衡解稳定的充分必要条件：h a u s s m a n n 得到了依概率1 稳 定的顺向指数稳定性；c a r a b a l l o 推广到变时滞的方程；i c h i k a w a 又对半线性随机系统的适度解证明 了类似的结果；与此同时，c h o w 考虑了样本路径的渐近稳定性近年来，c a r a b a l l o 和r e a l 在强制条件 下证明了解的几乎处处指数稳定性，随后又给出了非线性随机微分方程均方意义下和几乎处处意 义下一些指数稳定性准则l i u 和x i a 对随机泛函微分方程的强解建立了某些比较有用的指数稳定 性准则a n a b t a w 研究了抛物型随机偏微分方程数值解的稳定性t o e i n o 讨论了二阶r u n g e k u t t a 法 数值解的均方稳定性a y o o l a 和g b o l a g a d e 研究发鼍子随机微分方程强解的稳定性随机微分方程的 稳定性已被人们广泛研究 与收敛性类似，关于带跳随机微分方程稳定性的讨论还很少，h i g h a m 讨论了一类带跳线性 随机微分方程半隐式e u l e r 法数值解的收敛性与稳定性，s w i s h c h u k 和k a z m e r c h u k 考虑了一类 带m a r k o v 调制的随机微分方程的稳定性，l u o 给出了带m a r k o v 调制的、带跳随机微分方程的比较 原理，w u 研究了带跳随机微分方程p 阶矩的稳定性除一 ：述文献外，有关带跳随机微分方程稳定性的 结果很少，冈此，对带跳随机微分方程稳定性研究十分必要 1 2 3 倒向随机微分方程的研究 倒向随机微分方程( b s d e ) 源于随机控制的研究倒向随机微分方程的概念是2 0 世纪9 0 年代初 由我国数学家彭实戈和法国数学家p a r d o u x 6 l 入的而在这之前，从2 0 世纪4 0 年代末以来兴起的已 经成为经典理论的随机微分方程( s d e ) 已经成为数学巾的一个非常活跃、引入瞩目的领域通过 对s d e 的研究使得人们对于自然界无处不在的随机现象和经济金融领域巾的无处不在的风险的 本质和统计规律有了深刻的了解【2 】但直至l j 9 0 年代初期，这个领域的研究基本局限于正向随机微分 方程的研究，它描述的是一个受到随机干扰的客观对象在已知确定的初始条件的情况下的运动规 律，这样所获提的解足随机状态的虽然人们不知道将来某时刻的确切状态是什么样的，t h 足却能在 某种程度上掌握其分稚规律，从而更好的进行预测达到避免风险减少损大的h 的但在实际中往往 我们要处理为达到将来某预定目标如何确定当前的状态和策略等问题。这里作为将来目标及其所 3 宁夏人学硕j 学化论文第一一章随机微分方程数值解文献综述 在的环境是随机的，而当前的状态和策略是确定的如何确定这类问题的数学结构、具有这样结构 的数学模型的研究方法是否与正向随机微分方程一样，是数学界包括经济金融、随机控制领域解 决一系列难题的关键环节到底倒向随机微分方程这样结构有什么样的含义，它的解应该有什么样 的特性，怎样讨论解的存在唯一性等诸多问题有待进一步明确的凹答 在这样的背景下，直到1 9 9 0 年，彭实戈和p a r d o u x 发表了作为b s d e 奠基意义的 具有适应解 的倒向随机微分方程一文【3 】，提出了倒向随机微分方程的一般形式，并证明了作为理论基础的 解的存在唯一性定理之后，b s d e 逐渐成为一个有趣的、活跃的和逐渐扩大的领域1 9 9 0 年，彭实 戈在s i a mc o n t r o l 杂志发表了最优控制问题的一般随机最大值原理综述文章无限维最 优控制理论对该文的评价是：“彭实戈针对这一困难引进了一阶变分方程和二阶变分方程，借 助于摄动方法和共轭系统的引入，证明了一般的随机最大值原理，解决了人们长期期望解决的问 题”倒向随机微分方程理论提出之后，许多随机分析，金融数学和随机控制等领域的学者们也热心 于b s d e 的研究工作，1 9 9 2 年，著名的经济学家d u t i e 和e p s t e i n 发表了随机微分效用一文 4 1 ，从经 济的观点收入b s d e ，将巧i 确定市场下投资者的投资源共享消费的效用定义为一个倒向随机微分方 程的解，开拓t b s d e 在经济金融领域的应用此后，人们开始寻找b s d e 在经济金融领域的进一步应 用，1 9 9 4 年，著名随机分析专家法国经济数学家e l k a r o a i 发现了b s d e 可以应用于解决金融证券市场 中一人类衍生证券( 如期权和期货等) 的定价问题，从而可以将未定权益的套期定价理论表示为线 性b s d e 这样，著名的b l a c k s c h o l e s 公式可以表示成线性b s d e 的解，这一发现为b s d e 在金融数学 领域中的廊用和深入发展打下了坚灾的理论基础【5 _ 9 】近年来，随着倒向随机微分方程在数学的相 关问题、控制及金融理论中应用范围的不断扩大，使得其本身的研究价值越来越重要，并引起许多 学者的兴趣 1 3 论文的主要内容与创新点 本文研究了带m a r k o v 调制的随机时滞微分方程的数值解的均方收敛性、依概率收敛性及在 金融工程巾的应用 主要内容有以下几个方面： l 、简要介绍t s d e s 及其数值方法的研究现状和应用背景，给出空问的概念，在空间上定义范 数 2 、给出m a r k o v 调制的概念及其性质，提出假设条件，给出相关定义、不等式及引理 3 、根据e u l e r 方法，利用b u r k h o l d e r - d a v i s g u n d y 不等式，c a u c h y s c h w a r z 不等式，g r o n w a l l 弓i 理，d o o b 4 ( 等式及i t 5 公式，对数值解的收敛性进行讨论，得到数值解均方收敛和依概率收敛于解析 解 4 、为验证本文中的结论，设计数值算例，根据提供的数值解方法，编写m a t l a b 程序，绘制解析 解、数值解图像，并作出误差图像，结果显示方法是有效的 5 、由于金融t 程中的许多模型很难求出解析解，因此数值方法是研究其解性质的有利工具本 文利用随机微分方程解决金融t 程巾的b l a c k s c h o l e s 模型期权定价问题，通过有限差分法给出了 期权定价方程的数值解，并通过一个实际算例验证了我们给出算法的有效性 创新点： l 、目前，关于随机微分方程数值解的研究很多，其理论也比较完善，但对于带m a r k o v 调制的随 4 宁夏入学顾上学化论文第一章随机微分方程数值解文献综述 一1 i 一一 1 _ _ _ 一 机时滞微分方程( s d d e w m s ) 的研究，大多文献讨论的是解性质的理论，如解的存在性、唯一性和 稳定性等本文给出了数值解法。并讨论了其数值解的均方收敛及依概率收敛性 2 、在现有的金融数学模型的研究中，大多数给出的是能求出解析解的倒向随机微分方程，本文 对一类b l a c k s c h o l e s 模型( 其解析解不能求出) 的数值解进行了研究，利用有限差分方法，对该模型 的数值解进行讨论，并给出数值计算结果 5 宁夏人学硕l 学化论文 第章预备知识 第二章预备知识 2 1 定义 随机微分方程是概率论、随机过程与常微分方程相结合发展而成的- f q 边缘学科，涉及的知 识面很广，理论严谨，基础深厚因此，在研究带m a r k o v 调制的随机时滞微分方程的数值解问题之前， 我们将与随机微分方程相关的基本概念作简单介绍 定义2 1 ( b r o w n 运动) 【1 0 l若一个随机过程 ( t ) ，t o 满足： ( b 1 ) w ( o ) = 0 ； ( b 2 ) w ( t ) 是独立增量过程，即对任意0 t o t l t 。，随机变量w ( t k ) 一w ( t k 一1 ) ( 1sksn ) 相互独立； ( b 3 ) 若0 s t ，则w ( t ) 一w ( 8 ) 一( p 一s ) ，仃2 ( t s ) ) 则称 彤( t ) ，t o b r o w n 运动 或w i e n e r 过程常数p 称为偏移系数，口2 称为过程的强度若p = 0 ，盯2 = l ，则称 ( t ) ，t o ，为 标准b r o w n 运动 定义2 2 0 l 何布朗运动) 【1 1 】d j x ( t ) = e b ( 扪，t o 定义的过样 x ( ) ，t o ，称为几 何b r o w n 运动由于b r o w n 运动的矩母函数为e ( e 诏( 。) ) = e t s z 2 ，所以几何b r o w n 运动的均值函数 与方差函数分别为 e 陋( f ) 】= e ( e b ( 。) = e t 2 ， ( 2 1 1 ) v a r ( x ( t ) ) = e x 2 ( t ) 】一旧( x ( t ) ) 】2 = e ( e 2 b ( 。) ) 一e 。= e 孔一e ，。 ( 2 1 2 ) 在金融市场巾，人们经常假定股票的价格按照几何b r o n w 运动变化，在本文第五章中我们讨论期权 定价模型时假设股票价格遵守几何b r o n w 运动 定义2 3 m a r k o v 链) 【1 2 l 随机过程 ，r , = 0 ，1 ，2 ，) 称为m a r k o v 链，若它只取有限或可列 个值岛，e l ，易，( 我们以 o ，1 ，2 ，) 来标记并称它们是过程式的状态 o ，1 ，2 ，) ，或者其子集 记为s ，称为过程的状态空间) 对任意的 n o 及状态i ，j ，i o ，i l ，i 2 ，i n - t ，有 p + l = j l x o = i o ，x i = i l ，恐= i 2 ，矗一i = i 。一1 ，= i ) = p _ 【+ l = j l = 班 ( 2 1 3 ) 定义2 4 ( 转移概率) f 1 2 1 称( 2 1 3 ) 式巾的条件概率p + l = 引= 1 ) 为m a r k o v 链 ，他= 0 ，l ，2 ，) 的一步转移概率，简称转移概率 定义2 5 ( 随机矩阵) 【1 2 lp q ( i ，j s ) 为从i 到j 的转移概率，将只j 排成一个矩阵的形式，令 r 2 p 1 2 b 2 ：岛r 色； 6 o o o 而h b ； ，。一 l f r i j p 宁夏人学硕上学化论文 第_ 章预备知识 l 一。一一i 曼i ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 苎! 皇苎! 曼苎皇寞! ! 曼! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 称p 为转移概率矩阵，一般简称为转移矩阵，r ，( t ，歹s ) 有性质 ( 1 ) p i j o ，i ，歹s ，( 2 ) 一1 ，v s ， ( 2 1 4 ) j e s 则称p 为随机矩阵 定义2 6 ( 停时) 1 2 1令 k ：n = 0 ，l ，2 ，) 是一个定义在概率空间 q ，莎，p ) 上的具有可数状 态空间的随机过程， q ，莎，p 上的广义随机变量( 即可以取值) 称为一个停时，如果 ( 1 ) ：1 - 只取非负整数值( 包含+ 0 0 ) ； ( 2 ) ：对每个非负整数m ，事件如：r ) m 完全由，m ，y m 确定 定义2 7 【1 3 l 在【q ，例上定义的随机过程，( ) 称为阶梯函数，如果存在h 例的划分 a = t o t 1 1 ，q 1 ，；1 r i l = 1 ，如果，( z ) 驴( e ，p ) ，9 ( z ) i f ( e ，p ) ， 宁夏人学顾j 学化论文第带预备知识 那么f ( x ) 9 ) 妒( e ，p ) ，并且有 其中 i l f g l i i l f l l p 口， i l f l l p = ( ei f ( 卵舡) ， 这里当p = 2 时，上式就是c a u c h y - s c h w a r z 不等式 f 1 9 l f 口= ( 丘怖h 1 ( 2 2 3 ) ( 上，( z ) 9 ( z ) 如) 2 ( 上，2 ( z ) 如) ( 五9 2 ( z ) 如) ( 2 2 4 ) 引理2 4 ( d o o b 不等式) 【1 6 l 设p ( 1 ，o o ) ，m = ( i t ) t o 是鞅，且有s u pi i m d l l ， 。o 则 t 2 0 m 矗= l i mm ta e 且 t o 。 这里 恢s u p 舰, 1 1 一 o ，p ) 足一个满足通常条件( 即：右连续增长，玩包含所有p 一零测集) 及滤波 玩) t o 的完备概率空间令b ( t ) = ( b l ( ) ，( t ) ) r 是一个定义在概率空间上的m - 维 标准b r o w n 运动令i i 表示r n 上的e u c l i d e a n 范数如果a 是一向景或矩阵，那么a 丁表示其 转置如果a 是个矩阵，那么它的迹范数表示为i a l = 佩a t a ) ，它的算子范数定义为 i i a i l = s u p l a x i ：= 1 ) ，如果a 是一对称阵，那么a m 娃( a ) 和a m i n ( a ) 分别表示a 的最大及最小 特征值定义z ( ) 为e u l e r 近似，d g 是任意一紧集，令c ( 【一r ，0 】；f p ) 是从【_ 下，o l 到舻上的连 9 续函数族咖，其范数l i 1 l = s u p 一，i ( z ) f ，( 【一丁，o 】；舻) 表示所有边界上玩- 可测，c 上取值 的随机变量令r ( t ) ，20 ，是在概率空间上取值有限的状态空间s = l ，2 ，) 上的右连续的 m a r k o v 链，算予f = ) x 由下式给出： 醐删刊例= 糍，善兽 其中a o ，乍j 0 为从i 到j 上的转移概率，当i j 时，有= 一我们假设m a r k o v 链 r ( ) 与标准b r o w n 运动b ( ) 是相互独立的r ( t ) 的大多数概率轨道是一个右连续的阶梯函数 为证本文的结论，我们给出以下假设条件： ( 1 1 1 m 、盯满足局部l i p s c h i t z 条件：即对z ，y ，s ，叫d ，存在一个常数凰( d ) 0 使得 l p ( t ，z ，y ) 一p ( t ，8 ，w ) 1 2vi i 盯( t ，z ，暑，) 一盯 ，s ，叫) 1 1 2 k i ( d ) ( 1 x s 1 2 + l y 一加1 2 ) ； ( 1 1 2 ) 弘、仃满足线性增长条件：即对所有t o ，i s z ，y r “，对i = 1vm sk ，存在一个 h 0 ，使得 i p ，z ，i ) lvl 仃( t ，z ，t ) ish ( 1 + i z i ) ； ( 1 1 3 ) 存在一个正常数k 4 0 对一切一7 - 8 0 ，t 0 ，有 n ， t 0 ，有 t e i 肛( s ，圣( s ) ，y ( s ) ，7 ( 5 ) ) 一肛( s ，岔( s ) ，y ( s ) ，r ( s ) ) 1 2 d s c l ( d ) + o ( ) ( 3 3 3 ) - ，0 证明令n = t a 1 足纠的整数部分，1 - = m a ，那么 ，t e i p ( s ，圣( s ) ，弘( s ) ，r ( s ) ) 一p ( s ，圣( s ) ，y a ( s ) ，r ( s ) ) 1 2 d s j o n e ( a + z ) a 2 荟e 以 氟( s 溉抛啡) )