（课程与教学论专业论文）六年级学生代数思维发展现状的调查研究.pdf

摘要 摘要 “数与代数”是义务教育阶段数学课程标准n 1 规定的四大学习领域之一。按 照传统的学段划分，第一、第二学段主要学习认数和数的运算等算术基础知识， 第三学段主要学习式、方程和函数等代数知识。这样的学段划分造成了小学六年 级和初中一年级学生必须面对由算术学习向代数学习的过渡，而算术学习与代数 学习过程中其内在思维机制是不同的，因此处于这一阶段的学生其思维必须实现 由算术思维向代数思维的飞跃。美国学校数学教育的原则和标准中提到，“通 常，学校数学课程要等到初中或高中才明确地包括传统的代数，建议在小学就包 括代数”。心1 中国的数学新课程中，在小学阶段也安排了比较丰富的代数学习素 材，发展小学生的代数思维，帮助学生j i i 贞, n 实现由算术思维向代数思维的过渡。 本文以处在这一重要过渡阶段的小学六年级学生为研究对象，采用了文献研 究、调查研究和案例研究相结合的方式展开课题研究。主要通过对苏教国标版小 学数学教材中代数学习素材的梳理与分析，追踪小学生代数思维发展的逻辑轨 迹，以此为基础编制测试卷对六年级学生代数思维发展现状进行调查，并针对调 查中发现的学生在符号意识、方程与解方程、变化描述、多元表征等方面的主要 问题，以案例的形式展开策略研究，主要包括：l 、通过多元表征的学习逐步发 展学生的符号意识；2 、通过算法多样化的落实逐步发展学生代数的结构意识；3 、 通过代数推理的训练逐步发展学生的一般化思维模式；4 、通过教学渗透使学生 初步体验函数思想。 关键词：算术思维代数思维六年级学生 a b s t r a c t a b s t r a c t n u m b e ra n da l g e b r a ”i so n eo ft h ef o u rf i e l d so fm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u m s t a n d a r d sd u r i n gt h ep e r i o do fc o m p u l s o r ye d u c a t i o n a c c o r d i n gt ot h et r a d i t i o n a l s t u d yp h a s e s 。t h ef i r s tt w os e c t i o n sc o n t a i nn u m b e ri d e n t i f i c a t i o na n dt h eb a s i c k n o w l e d g eo fa r i t h m e t i co p e r a t i o n sa n ds oo n a l g e b r a i ce x p r e s s i o n s ，e q u a t i o n sa n d f u n c t i o n sa r et h em a j o rk n o w l e d g ed u r i n gt h et h i r ds e c t i o n t h i sd i v i s i o nh a sr e s u l t e d i nt h es i t u a t i o nw h e r et h es c h o o ls e g m e n ts i x t hg r a d ea n dj u n i o rh i g hs c h o o ls t u d e n t s h a v et of a c et h et r a n s i t i o nf r o ma r i t h m e t i cs t u d yt oa l g e b r a ，w h i l et h e r ea r ed i f f e r e n c e s b e t w e e nt h ea r i t h m e t i ca n da l g e b r al e a r n i n gp r o c e s s e sw i t h i nt h em e n t a l i t yo fi t s m e c h a n i s m s ot h es t u d e n t sa tt h i ss t a g em u s td e v e l o pt h e i ra r i t h m e t i ct h i n k i n gi n t o a l g e b r a i ct h i n k i n g “i ng e n e r a l ，t r a d i t i o n a la l g e b r ai s n te x p l i c i t l y c o n m i n e di nt h e s c h o o lm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mu n t i lm i d d l es c h o o lo rh i g hs c h 0 0 1 i ti sr e c o m m e n d e d t h a ta l g e b r as h o u l db ec o n t a i n e di nt h ep r i m a r ys c h 0 0 1 t h i si s m e n t i o n e di n “t h e p r i n c i p l e sa n ds t a n d a r d so fa m e r i c a ns c h o o lm a t h e m a t i c se d u c a t i o n ”i nt h ec h i n a s n e wm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u m ，r e l a t i v e l yr i c ha l g e b r a i cl e a r n i n gm a t e r i a l sh a v ea l s o b e e na r r a n g e di np r i m a r ys c h o o l si no r d e rt od e v e l o pp u p i l s a l g e b r a i ct h i n k i n g ，w h i c h h e l p ss t u d e n t sr e a l i z es u c c e s s f u l t r a n s i t i o nf r o ma r i t h m e t i ct h i n k i n gt oa l g e b r a i c t h i n k i n g i nt h i sp a p e r ，i t st a r g e to b j e c t sa r et h es i x t hg r a d es t u d e n t so ft h ee l e m e n t a r y s c h 0 0 1 w h oa r ei f lt h i si m p o r t a n tt r a n s i t i o n a lp e r i o da n di tc o m b i n e si i t e r a t u r es t u d i e s ， s u r v e y sw i t hc a s es t u d i e s m a i n l yt h r o u g hc o m b i n g a n da n a l y z i n gm a t hl e a r n i n g m a t e r i a l so ft h eg bv e r s i o no fj i a n g s u ，t r a c k i n gs t u d e n t s l o g i ct r a c eo f t h e d e v e l o p m e n to fa l g e b r a i ct h i n k i n g ，w eh a v ep r e p a r e dt e s tp a p e r st om a k eas u r v e yo f f t h ed e v e l o p m e n to fa l g e b r a i ct h i n k i n go ft h es i x t h - g r a d e ，a n di nt h ef o r mo fc a s e s t u d i e s ，h a v eh a dar e s e a r c ho nt h em a i np r o b l e m so fs t u d e n t s s i g na w a r e n e s s e q u a t i o n sa n ds o l u t i o n so fe q u a t i o n sc h a n g ed e s c r i p t i o n s ，m u l t i - r e p r e s e n t a t i o n ，f o u n d i nt h es u r v e y ，m a i n l yi n c l u d i n g ：( 1 ) d e v e l o ps t u d e n t s l e a r n i n gs i g na w a r e n e s st h r o u g h t h ep r o g r e s s i v ed e v e l o p m e n tm u l t i - r e p r e s e n t a t i o n ；( 2 ) d e v e l o ps t u d e n t s a l g e b r a i c s t r u c t u r a la w a r e n e s st h r o u g ht h ed i v e r s i f i c a t i o no ft h ei m p l e m e n t a t i o no ft h e a l g o r i t h m ；( 3 ) d e v e l o ps t u d e n t s g e n e r a lt h i n k i n gp a t t e m st h r o u g ha l g e b r a i cr e a s o n i n g t r a i n i n g ： ( 4 ) e n a b l es t u d e n t st oe x p e r i e n c et h ef u n c t i o no ft h ei n i t i a li d e a st h r o u g h t e a c h i n g k e y w o r d s ：a r i t h m e t i ct h i n k i n g ，a l g e b r a i ct h i n k i n g ，s i x t h - g r a d es t u d e n t s i i 绪论 绪论 一、问题的提出 小学与初中同属九年义务教育阶段，在数学新课程标准中，将小学与初中的 数学学习进行了整合，划分为三个学段：第一学段小学一至三年级，第二学学段 小学四至六年级，第三学段初中一至三年级。根据皮亚杰的认知发展理论，第一、 第二学段的小学生其认知水平应处于具体运算阶段，而第三学段的初中学生由于 抽象逻辑思维的发展，其认知水平已经处于形式运算阶段。基于学生认知发展的 特点，小学与初中的数学学习内容也有很大的不同，直接导致了许多初一学生在 数学学习上的不适应。因此，追求小学与初中数学教学的无缝衔接，一直是南京 市数学教学研究的重要课题之一。 我有幸参加过多次研讨活动，从几次活动的研讨主题来看，其关注点主要集 中在“数与代数”这一传统学习领域中。许多初中教师提出有相当多的初一学生， 甚至是初中高年级学生，对有关以字母符号来代表数的题目感到非常畏惧，没有 信心，显示出他们对于字母符号概念仍然一知半解；同时，初中学生因计算错误 而无法成功解题的比例也很高，究其根本原因，不难发现问题早发生在学生学习 代数之初，学生在由以具体操作数字为主的算术学习向以抽象形式运算为主的代 数学习的过渡中，存在相当大的困难，是否能够实现顺利的过渡往往影响到学生 往后许多数学学习过程。新。一轮课程改革为了实现义务教育的整体性与一。贯制， 在第二学段已经涉及了一些代数的初步知识式与方程，如果在小学相关的数 学教学中，我们能基于这一部分知识，深入研究，初步培养小学生的代数意识与 代数思维能力，那么对于初中学生的数学学习无疑有很大帮助。 有了这样的想法，我开始在教学实践和各级教学研讨中关注并收集相关研究 信息，同时也参与了一些区、市级个人课题的研究。从目前的研究成果来看，许 多做法是行之有效的，这成为我对这个问题进一步深入系统研究的基础和动力， 于是便有了这个课题的产生“六年级学生代数思维发展现状的调查研究”。 二、研究的意义 1 、促进小学生代数思维的形成与发展是国际数学课程的改革趋势。 “数与代数”作为传统教学内容在小学数学课程中所占的比重相当大，小学 数学教材中至少有7 0 以上的内容都是“数与代数”。在传统小学数学课程中， “数与代数”的学习内容主要是数与数的运算，在解决问题中强调“算术方法”， 以帮助学生进一步发展算术思维。然而随着“数字化时代”的到来，“数与代数” 作为研究数量关系和变化关系的数学模型，帮助学生从数量关系的角度认识、描 述和把握现实世界的重要工具，其内容的编排与实际的教育价值受到重新的审 绪论 视。美国、英国、德国等发达国家率先提出要从小学低年级开始就注意发展学生 的代数概念、代数思维与推理，并且在课程设置的各个学段都比较明确的指出其 需要发展的具体目标，重视代数符号、模式的建立。我国新课程改革起步较晚， 但受国际课程新理念的影响，在全日制义务教育阶段数学课程标准中对“数 与代数”的内容作出了调整，提出“注重使学生经历从实际背景中抽象出数学模 型、探索数量关系和变化规律的过程，重视发展学生数感和符号感”的新要求， 并据此在小学数学教材中增加了负数、集合、方程、函数等代数内容的渗透与学 习，以增加小学生代数学习的经验，促进代数思维的形成与发展。因此，对于本 课题的研究是有现实基础的，是对我国数学课程改革趋势的清醒认识之后的抉 择。 2 、促进代数思维的形成与发展是增强小学生解决问题能力、促进其抽象思维发 展的有效途径。 代数思维作为重要的数学思维工具，往学生解决问题过程中，起着举足轻重 的作用。它为学生解决问题提供了策略上的新支持，使多方探索解决问题的方法 成为可能；它发展了学生表征数学信息的意识与方法，学生可以以此来理解信息 之间的内部关系与数量的变化趋势；它帮助学生进行数学推理，以合理地转化问 题，提高思考问题的深度。同时，代数作为一般化的算术，它符号化的重要特征 使其不论在表征问题、表述关系、建立模型等数学思维活动中，都具有一定的抽 象性，这对正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的小学高年级学生来说， 无疑是“雪中送炭”，但也对我们如何把握合理的抽象水平提出了新思考。由此 可见，本课题的研究是基于提高小学生数学学习质量、发展小学生数学思维能力 的客观需要。 3 、促进代数思维的形成与发展是实现小学与初中数学学习衔接的重要问题。 小学与初中数学学习的衔接问题是一个国际性的研究课题，许多国际教育评 估组织都对此进行过专题研究。其中，美国国内和国际评估的结果表明：在美国， 许多年幼的孩子本来喜欢数学，而且掌握得也很好，但是从四五年级开始不少学 生就对这一学科感到困难，并且厌恶，特别是有证据表明美国学生在正式的代数 学习上有很大的困难。这是因为绝大多数美国学生到八年级或九年级才学习代 数，他们中的许多人在此之前从未有过任何的代数学习经验，所以对从算术到代 数的过渡感到困难，由此美国在数学课程改革中提出了需要从低年级开始强调和 发展美国学生的代数思维。b 3 中国学生开始正式代数学习的时间比美国学生早得 多，但是如何在此之前为学牛创造定的代数学习机会，帮助学生累计代数学习 经验，支持小学生代数思维的发展，以便使学生实现从算术到代数的平稳过渡仍 是值得我们研究的课题。 绪论 三、研究的内容和方法 本项研究选择的研究对象是小学六年级学生，理由有两点：l 、六年级学生 的抽象思维已经有了初步的发展，正处于小学与初中数学学习的重要过渡阶段， 研究这一阶段学生代数思维的发展更具有现实的意义；2 、小学阶段有相当一部 分代数学习内容都安排在小学高年级，而学生代数思维的发展主要是以代数内容 的学习为依托，因此研究六年级学生代数思维的发展现状无疑可以使我们的研究 更充实。本项研究中选用的教材是江苏教育出版社出版的义务教育课程标准试验 教材( 以下简称苏教国标版教材) ，这套教材是依据新课程标准编制的教材，比 较好地体现了数学新课标所反映的课改精神，同时也是本项研究所确定的研究对 象从一年级开始就一直使用的数学教材。 六年级学生代数思维发展现状的调查研究主要关注六年级学生代数思维 发展的现状调查与对策研究，课题研究的主要内容有以下几个方面： 1 、对目前为止国内外关于代数思维以及算术思维向代数思维过渡的相关研 究成果进行分析整理，为课题研究寻求理论支柱与突破口。这一部分的研究主要 采用文献研究的方式，具体研究成果将体现在第一章文件综述当中。 2 、对苏教国标版教材中的代数学习素材进行梳理与分析，以探明六年级学 生在小学阶段都累积了哪些代数学习经验，以及这些学习经验促进了学生代数思 维在哪些方面的发展。这一一部分的研究主要采用文本研究的方式，具体研究成果 将体现在第二章当中。 3 、基于第二章对教材代数学习素材的整理，设计问卷以考察六年级学生在 解决简单代数问题时的表现，并通过分析查明六年级学生代数思维发展的现状， 对调查中发现的主要问题进行分类整理。这一部分的研究主要采用调查研究的方 式，具体研究成果将体现在第一章当中。 4 、针对第三章调杏中发现的主要问题，结合自己的教学实践、过往课题研 究成果以及参加各种研讨活动积累的资料，对六年级学生代数思维的培养进行相 关的策略研究，以此对教材以及教学提出进一步的建议。这一部分的研究主要采 用案例研究的方式，具体研究成果将体现在第四章当中。 第一章研究综述与课题界定 1 1 算术与代数 第一章研究综述与课题界定 需不需要区分算术与代数? 这是本项研究首次需要回答的问题，如果算术与 代数本身就不需要区分，那么所谓的代数思维也无从谈起。为了正确认识算术与 代数的关系，我们可以从以下三个方面进行分析： 1 1 1 数学史的考证 “算术”一词出自希腊文0 【p 伯百l 硼，这个词是由数数和技术变来的，原来 的意思是“数和数数的技术( 或学问) ”。而古希腊数学的内容包括算术、几何学 和三角学，把代数归入到算术之中。这一传统在数学研究中一直保持着，如有“代 数学鼻祖”之称的希腊数学家丢番图，曾写过一本算术，主要讲数的理论， 并讨论了一次、二次以及个别的三次方程和大量的不定方程，就其根本来说是一 本代数学著作。中国古代对算术一词的使用更加宽泛，把算术等同于数学，如中 国传统数学代表作九章算术，其内容就涉及数的运算、数论初步、方程、测 量、面积、体积、勾股等算术、代数、几何等绝大部分初等数学知识。在古代数 学研究者看来，“算术”与“代数”是不分家的，并且普遍承认了算术是代数研 究的基础。 公元8 世纪，阿拉伯著名的数学、天文和地学家阿尔花拉子米将算术与代 数的相关研究分开记录，编著了两本传世之作印度的计算术和代数学， 其中代数学的阿拉伯书名是i l m a i j a b rw a lm u g a b a l a h ，直译为还原与对消 的科学，还原与对消是本书系统讨论的一般二次方程的重要解法，一般认为现 代“a l g e b r a ”( 代数学) 一词是由“a l j a b r ”( 还原或移项) 演变而来。1 6 世纪， 在欧洲有“代数学之父”之称的韦达开始有意识地系统地使用字母符号来表示已 知数、未知数及其乘幂，并于1 5 9 5 年创立了“符号法则”，至此代数逐渐成为一 种工具，能够提供数值关系的普遍性法则，方程和代数恒等式有了简洁清楚的表 达方式，代数式本身也变成了可以运算的对象，一般认为这就是当今符号代数的 开端。就代数学的发展来说，经历了由无到有，由简单到复杂的过程。最初的代 数学研究是从简单方程开始的，逐步扩展到高次方程、不定方程，代数学本身也 形成了许多分支，如线性代数、近世代数、布尔代数、代数数论等。h 。 1 1 2 词义的考证。 在现代汉语词典中，“算术”词被定义为：数学的一个分支，是数学中最 基础、最初等的部分。主要研究零和正整数、正分数的记数法，在加、减、乘、 除、乘方、开方运算下产生的数的性质、运算法则以及在社会实践中的应用。“代 4 第一章研究综述与课题界定 数”则被定义为：数学的一个分支，用字母代表数来研究数的运算性质和规律， 从而把许多实际问题归结为代数方程或方程组。在近代数学中，代数学的研究由 数扩大到多种其他对象，研究更为一般的代数运算的性质和规律。嵋3 定义中算术 与代数变成了数学的两个分支，它们的研究对象有了明确的分野。比起代数，算 术的研究对象更为具体，主要研究记数、数的性质及运算法则，突出了基础性； 而代数则研究数运算中产生的性质、规则，并被看作是不断拓展的研究领域。 1 1 3 教学意义上的算术与代数。 根据尤塞斯金( u s i s k i n ，1 9 8 9 ) 的观点，学校代数包括四个方面：1 、代数作为一 般化了的算术；2 、代数作为解决某种类型问题的过程的研究：3 、代数作为数量 之间的关系的研究；4 、代数作为结构的研究。1 其中，明确指出了代数与算术 的关系：代数是一般化的算术。由此可见，算术确实是代数研究的基础，而代数 又为什么能成为算术的一般化呢? 是因为代数中有了文字符号，在算术中参加运 算的客体只是数字，但存代数中除数字之外，文字符号和由文字符号组成的代数 式也能参与运算，从而使算术中关于数的理论有了更为普遍化、一般化的意义。 更进一步，正因为有了文字符号，改变了算术中过分关注于计算结果的一种思维 模式，转而更关注于对过程、关系与结构的研究，转移了算术研究的重点，扩充 了算术研究的领域。 k i e r a n 从历史性的分析将代数的发展看作一种程序性到结构性的周期，而学 校代数的学习可以理解为一系列的过程对象( 即程序性结构性) 的调整。 盯1 d a v dt a l l 提出了“过程对象的对偶体”，认为由过程向对象的过渡不只是 一种单向的运动，要能将数学概念既看成一个过程，又看成一个对象，并能在两 者之间进行灵活的转换，形象地描述了算术与代数两者之间发展与转化的关系。 8 】 正因为有了文字符号，代数比起算术运算更为抽象。h e r s c o v i e s & l i n c h e v s k i 根据方程中未知数的个数、对未知数操作的次数不同设计了四组方程，对2 2 名 从未正式学习过代数的学生进行了调查，发现学生在解a x + b = c x d 以及a x b x + c = d 这两种形式的方程时遇到了困难。阳1 他把这种困难称之为“认知差距”， 即学生不能在未知数上进行运算。 通过以上数学史、词义和教学意义上的算术与代数的考证分析，我们可以得 出两点结论：1 、从广义上说，算术和代数是密不可分的，算术是代数研究的基 础，代数是算术研究的深入；从狭义上说，算术和代数存在区别，主要表现在研 究对象的不同：算术主要研究计数、数的性质和相关运算法则，具有具体化、特 殊化的特点；而代数则主要研究运算过程中产生的结构、关系，具有抽象化、一 般化的特点，由此也带来了算术与代数学习中思维方式的不同，这是开展本研究 第一章研究综述与课题界定 的重要基础。2 、人类从“算术 走向“代数 经历了千年，但是现在我们的学 生在童年与少年时代仅花几年的时间就耍学习这些知识中的大部分，确实存在困 难，因此，如何处理好学生的数学学习与身心发展的关系，帮助学生顺利实现由 算术学习向代数学习的过渡，确实是值得我们研究的问题。 1 2 算术思维与代数思维 1 2 1 算术思维与代数思维的区别 国内学者徐文彬提出：从数学思维的角度来看，算术主要是由程序思维 ( p r o c e d u r a lt h i n k i n g ) 来刻画的，也即，算术程序思维的核心是获取一个( 正确的) 答案，以及确定获取这个答案与验证这个答案是否正确的方法：而代数思维则是 由关系或结构( r e l a t i o no rs t r u c t u r e ) 来捕述的，它的目的是发现( 一般化的) 关系、 明确结构、并把它们联接起来。【吲 h a r p e r ( 1 9 8 0 ) 认为要准确的区分出算术思维与代数思维是一个难题，历来 对算术思维和代数思维有许多说法。对算术思维：算术是处理计算的方法( p e r c y n u n n ，h a r p e r ，1 9 8 0 ) ：字符的角色只是传统的未知数( h a r p e r ，1 9 8 0 ) ；通过列 式逐步施展一些面向解答的活动，并不彰显量之间的关系( s t e f f e ，e t a l ，1 9 8 9 ) 。 对于代数思维：代数处理的是计算时所包含的过程( p e r c yn u n n ，h a r p e r ，1 9 8 0 ) ； 字符的角色是代表任意一个数( h a r p e r ，1 9 8 0 ) ：问题必须先经过描述然后才进行 计算( l e s h ，p o s ta n db e h r l 9 8 7 ) ；代数垃对算术的再组织，发现与表示量的关系 并根据规则转化( s t e f f e ，e ta i ，1 9 8 9 ) 。 通过分析算术思维与代数思维在问题解决中的不同，斯黛西等人给出了这两 种思维的区别：j 表1 1算术心、维与代数思维的区别 算术思维代数思维 1 、通过已知量的运算得出未知的量；l 、f 司时操作已知量和未知量： 2 、通过一系列的、连续的运算得出答2 、进行一系列的等价或者不等价的符号 案； 变换： 3 、未知量是暂时的，表示中间过程；3 、在整个问题解决过程中，未知量是设 4 、方程( 如果有的话) 被看作是用于定的、固定的； 计算的公式，或者是对数的产生的一4 、方程被看作是对不同量之间的某种关 种描述；系的描述：5 、中间最不一定有明确的含 5 、中间量有明确的含义。义。 1 2 2 代数思维 苏州大学的周颖娴在相关研究中总结出代数思维的四大特征： 6 第一章研究综述与课题界定 l 、从表现形式上看，代数思维是一种形式的符号操作。具体包括三个方面 ( 鲍建生，周超，2 0 0 9 ) ：一是表征，即用符号或者由符号组成的代数式、方程、 不等式、函数去表示数学( 或他学科或现实生活) 中的对象或结构；二是符号变 换，即各种表征之间的等价的或小等价的转化；三是意义建构，即解释或发现形 式符号或表达式背后的数学结构或实际模型以及各种符号操作的意义与作用。 2 、从思维形式上看，代数思维是一种基于规则的推理。首先，代数是算术 的一般化；其次，代数是一种句法( 代数规则) 导向的形式操作( k a p u t ，1 9 9 8 ) 。 3 、代数思维是一种数学建模活动。要用代数方法来解决实际问题，首先必 须根据实际情境找到或者构造相应的代数模型，因此从本质上看，代数思维是一 种数学建模( m a t h e m a t i c a lm o d e l i n g ) 活动。 4 、代数思维的核心是一般化的思想。一般化的思想在代数中是无所不在的， 从最简单的“以符代数”，到一元二次方程的公式解，再到抽象代数中的各种代 数系统。事实上，代数的本质就是发现处理问题的一般模式，因此一般化的思想 应该成为代数学习的基础。【1 2 】 更为一般的看法是把代数思维作为一种数学思想方法，而对核心代数思想 ( b i gi d e a ) 究竟包括哪几个，可谓众说纷纭。r a n d a l li c h a r l e s 在n c t m2 0 0 5 年会上归纳了以下l o 个代数核心思想：数、运算方法和关系、性质、比例、等 价、比较、变量、模式、关系和函数、方程和不等式。这样的概括将对多种代数 形式的理解整合为互相关联的整体，同时也将抽象的代数思想具体化，便于我们 理解。1 3 3 中美学生数学学习的系列实证研究一书中，记录了一个关于各国早期代 数思维培养的研究，这里的早期代数思维主要指未正式学习代数之前学生的代数 思维，即小学生的代数思维。此项研究选取了中国、俄罗斯、新加坡、韩国、美 国五个国家的小学数学课程，并对照n c t m ( 2 0 0 0 ) 的“学校数学的原理和标 准”对课程中相关的代数学习重点进行了对比分析，结果如下： 表1 2五国代数课程对比 中国 俄罗斯 新加坡韩国 美国 目标1 ：理解“模式 -j- 目标2 ：使用“代数符号” _- 目标3 ：使用“数学模型” -0_- 目标4 ：分析“变化” 从表中，我们可以看出二个亚洲课程在代数重点上是一致的，将小学代数的 目标定位在帮助学生从数和符号的角度更好地表示理解数量关系，主要关注方程 与解方程，而将函数的初步学习，即对变化的定性分析放在初中阶段。俄罗斯达 第一章研究综述与课题界定 维多夫的小学代数课程比较特殊，课程并没有构建有关数的体验，也没有按照 n c t m 建议学生的归纳模式，而是让学生分析量之间的关系，然后用代数符号表 达，将代数思维的培养放在学习算术之前。美国课程在代数部分的中心目标是分 析各种情境中变化，并强调要从非形式化的角度教变化，以丰富学生的早期直觉 经验，并不要求上升到符号的或形式化的l 岛度。n 钔课程编排是影响小学生代数思 维发展的重要因素，不同的学习重点将造就不同的认识与体验，形成不同的“代 数思维”。这给我们的研究以重大的启示，虽然课程是由国家统一制定的，但教 师作为课程的实施者，在实际的教学中可以根据实际情况与学生后继学习的需 要，对学生代数学习的某一方面进行加强或削弱的调整，从而有效地促进小学生 代数思维的发展。 在本课题中，“代数思维”我们理解为在学习代数相关内容或解决代数相关 问题时，经历分析、综合、比较、抽象、概括的过程，从而形成的具有一定特征 的思维过程与思想方法。代数思维的特征是由代数本身的特点来决定的，根据尤 塞斯金对代数特点的分析，我们认为作为一种具有特征的思维过程，代数思维在 思维形式上，不同于算术思维的程序化描述，而更倾向于由关系与结构来描述； 其思维过程是一种数学建模活动，贯穿着一般化的数学思想；其表现形式是形式 化的符号操作；其思维的目的并不仅仅是为了获取或验证答案，而是为了发现一 般化的关系或结构，并把他们联系起来。小学六年级处于代数学习的初始阶段， 由学习内容和学生的年龄特点、认知发展水平决定了六年级学生的代数思维也处 于发展的起始阶段，在这一阶段我们研究学生代数思维的发展，不能完全从概念 上严格进行界定，因此，我们的研究重点主要在于以算术思维为主的小学生在解 决简单代数相关问题中，所表现出的具有一定代数思维特征的思维方式，研究的 目的在于不断强化和规范这样的思维方式，以发展六年级学生的代数思维能力。 1 3 从算术思维到代数思维 皮亚杰认为个体了解周围世界有一种认知结构，这种认知结构可以协调具有 相同性质的各种活动，将具有同样特征的所有活动予以同化，并且在重复运用中 仍然能够保持其共同性，这种认知结构就足“图式”。以个体已有的图式与环境 中的新事物之间的关系不| 一，个体在运用已有图式去认识新事物时，其内部机制 也是不同的，从而产生了同化和顺应这两种不同的认识过程。同化就是把外界信 息纳入原有图式，使图式不断扩大：顺应就是当环境发生变化时，原有图式不能 再同化新信息，而必须经过调整建立新图式。通过图式的同化作用可以使已有的 图式在量上得到丰富和扩大；通过顺应的作用，图式可以发生质的变化。l l5 j 涂荣 豹教授认为“学生学习代数，就是顺应学习的过程。如果学生此前只学过算术， 就不能单靠同化方式在原有的算术认知结构的基础上学习代数，而是首先要改造 第一章研究综述与课题界定 算术认知结构”( 涂荣豹，2 0 0 6 ) 。由于原有算术图式的“顽固性 ，学生要实现 这个顺应过程是比较困难的。由此可见，存由算术向代数的过渡中，绝不像表面 看上去那样只存在知识学习上的更新，更重要的是内部认知结构的改造，是从算 术思维向代数思维的飞跃。如何帮助学生顺利完成这样的飞跃呢? 许多学者与一 线教师进行了理论和实践上的探索。 1 3 1 数学概念的二重性理论 数学概念的二重性理论是s f a r d 在皮亚杰反省抽象理论的基础上，根据数学 的特殊性提出的。s f a r d ( 1 9 9 1 ) 认为在数学中，特别是代数中，许多概念既表 现为一种过程操作，又表现为对象、结构，往往有这样的二二重性。因此抽象数学 概念的形成可以有两种迥然不同的方式：构造性的( 作为对象) 和运算性的( 作 为过程) 。她认为在运算性的和结构性的概念之间存在着一个深深的本体论的问 题：把一个数学实体看作一个对象的意思是可以作为一个实际的东西一一个静止 的结构来谈及它，它存在于空间和时间的某处，这也意味着可以把它- 1 艮就认出 来，并且可以把它作为一个整体来处理而不必进入到细节；将一个概念解释为一 个过程就意味着把它看成为一个潜在的而彳i 是现实的实体，它在经过了一系列动 作后可以作为实体而存在。凶此，结构性的概念是静止的、即时的和综合的，而 运算性的概念是动态的、继起的和详细的。 形成一个概念，往往要经历由过程逐步转变为对象的认知过程，最终两者共 存于认知结构之中，在适当的时机分别发挥作用。因此，运算性是获得概念的第 一步，而从一个“过程的概念到一个“对象的”概念的过渡既慢又难。代数的 发展就是一个“过程一对象”的循环，学校代数教学也必须依照“过程一对象 的序列，使学生了解代数的结构。 根据许多数学概念由过程到对象的历史演进，s f a r d 提出了一个数学概念的 “三阶段”发展模式：第一阶段内化( i n i e r i o r i z a t i o n ) ，学习者可以熟练地进行过 程的运算，即过程的操作能够脱离相对具体的环境，转变或上升为心理上的操作， 而不再依赖具体的被操作对象和实际问题；第二阶段压缩( c o n d e n s m i o n ) ，将运 算压缩为一个更容易操作的程序或单元，使过程逐步向对象过渡：第三阶段客体 化( r e i f i c a t i o n o r o b j e c t i f i c a t i o n ) ，在压缩的基础上，概念达到结构化、整体化， 完拿摆脱过程的束缚和限制，形成概念的对象。“内化”和“压缩”可视为必要 的准备：前者是用思维去把握原先的视觉性程序，即己不再是由前一个步骤依次 实际地去启动下一个步骤，而在头脑中建立起相应过程的整体性心理表征；后者 则是指相应的过程被压缩成了一个更小的单元，从而我们可以从整体上对所说的 过程做出描述或进行反思。“客体化”代表了质的变化，即用一种新的见解去看 一件熟悉的事物，原先的过程现在变成了一个静止的对象。n 6 1 9 第一章研究综述与课题界定 从上面所述的心理学观点看来，在从算术思维向代数思维的过渡中，学生的 思维必须有两点调整：l 、不能仅将代数式视为数字的运算，必须要将其视为对 象，进行更高层次的运算。2 、学习如何处理代数的结构，特别是数字关系的符 号表征。郑毓信教授认为，对于字母( 更为一般地说，就是符号表达式) 意义的把 握，可以区分出两种不同观点：其一，是指将字母看成所要求取未知量的直接取 代物，此时关心的是如何通过具体的计算以求得未知量，他把这种观念称为“程 序性观点”；其二，字母( 符号表达式) 被看成直接的对象而并非具体数量的取代 物，此时关注的主要是式与式之间的相。巨关系，特别是可对各种符号表达式实行 一些新的运算，在这样的理解下，字母( 符号表达式) 就成了整体性代数结构的一 个组成部分，他把这种观点称为“结构性观点”。相对于“程序性观点”而言， “结构性观点”更应被看成代数学的核心所在。由于“程序性观点”在算术的学 习中占据了十分重要的地位，因此，从算术向代数过渡的关键是帮助学习者能够 较好地实现由“程序性观点”向“结构性观点”的转变。n 7 1 1 3 2 关于算术思维向代数思维的过渡个性化研究 1 3 2 1 代数“形化” 所谓代数“形化”。就是将抽象的代数问题进行“形体化”，使用图形、数轴、 表格、物体等来帮助学生理解和解决代数0 d 题，换句话说，就是我们经常所说的 将问题进行多重表征的方法。丁民族认为：算术学习与代数学习由于内容和方法 上的不同，必然要求思维产生一次更新和过波，即从特殊过渡到一般，从具体过 渡到抽象。在这个过程之中，教法的使用将成为关键，初中代数的教法应当与小 学教学相衔接，“形化教学应成为首选方法，因为它可以为抽象思维建立感性 基础，并促进学生认知结构的完善和迁移。如小学在比较两个( 正) 分数的大小时， 一般用切月饼似的图形来让学生观察发现规律，到了初中比较两个有理数的大小 时，靠什么呢? 靠数轴，有了数轴这个“形”的支撑，使学生把数的大小比较迁 移到一般和普遍的意义中去，使认知结构逐渐完善起来。u 别 1 3 2 2 准变量表达式 国内的数学教育学者徐文彬提出了培养学生准变量思维能力的观点，可以有 效地缓解从算术思维过渡到代数思维之间的割裂状态。那么，什么是准变量思维 呢? 准变量思维的对象主要是准变量( 表达式) 及其代数关系与结构的非符号陈 述：准变= 黾思维的核心是充分利用算术巾所隐含的代数关系与结构，以对算术及 其问题进行“代数地思考”。准变量思维足介于算术思维和代数思维之间的一种 数学思维形式，它是学牛数学思维从算术心维发展到代数思维的桥梁和纽带。钔 “准变量”概念最早是由m a x s t e p h e n s 和t o s h i a k i r a f u j i i 在提出的，他们曾 运用一个所谓“彼特减5 算法”( 比如，3 2 5 = 3 2 - i - 5 1 0 ) 对澳大利业和日本的 l o 第一章研究综述与课题界定 一些一、二年级小学生进行了访谈。访谈的目的是要了解：他们是如何理解“彼 特减5 算法”的? 他们是如何运用“彼特减5 算法”来构造自己的案例的? 他们是否具有对“彼特减5 算法”进行一般化的可能性? 访谈的结果是，孩子们 对算法的选择并没有明显的倾向性，但是把注意力仅仅集中于获取一个正确答案 的算术程序思维方式肯定是非批判性的；同时，也有一些学生能修对“彼特减5 算法”进行一般化：“无论你减什么数，你都要加另外一个1 到1 0 之间的数，使 它们的和等于l o ，比如，7 和3 、4 和6 等，然后再减去1 0 ，就算出了答案。 和“我有一个适合任何数字的解释，那就是，无论彼特要减去什么数，都应该加 上一个数，使其构成一个1 0 ，然后再减去l o 。减去的数越人，要加的那个数就 越小，而且它们的和要等于1 0 。”等( 这些都是算术中的代数思维，即准变量的 运用) 。这个结果说明，在算术教学【f i 可以运用准变量对小学生进行代数思维的 培养，并且有可能降低他们学习代数的困难。乜町 1 3 2 3 代数推理 杨彦教授认为，小学阶段要进行代数推理的教学。国外已有不少教学实验和 研究表明：在小学阶段教授学生代数推理的基本模式，有助于其更好的学习算术。 研究还发现：低龄儿童是可以“代数的”进行推理，即从小学一开始，如果能够 给予学生一定的学习机会和条件，采用适当的教学方法，学生可以从小培养代数 推理能力，而这将有益于其将来代数学习及数学能力的养成。 n c i s l a 的两位研究者j i m k a p u t 和m a r i ab l a n t o n 对一组三年级学生进行了为 期一年的教学实验和案例研究，结果表明：小学生是有潜力从算术学习中进行代 数推理的。他们再三强调要注重发展教师对代数的敏感度，从一年级就要注意将 代数推理融入日常教学，从算术问题中挖掘出新的有挑战性的问题，来培养学生 代数推理能力。这些问题应该包涵重要数学概念：适用于不同层次及表征：可以 引发丰富讨论；蕴含潜在的推理和运算。其中有这样，题：“5 个人两两握手共 要握几次? 6 个人? 2 0 个人? n 个人? 写 f j 算式表示总数。”被追踪研究的教师 j a n 通过这道题，在计算了多次结果后，最终引导学生归纳出l + 2 + + n 的计算 公式。这就提供了一个很好的例子：许多传统算术问题是可以转化成培养学生代 数推理能力的新材料。比如，许多公式都可通过合情推理导出。另外，j a n 对于 代数推理的深刻理解，也使她在课堂上能很自然地将代数融入算术课中。因此， 要将代数推理教学推行n d , 学各个年级，教师必须认真研究教材，关注未开发的 资源，特别是算术材料，为合情推理提供：# 富的数学背景。 2 i 】 1 4课题界定 在前面的研究综述中，我们已经对算术与代数以及算术思维与代数思维的关 系进行了相关讨论，并且对有关从算术思维向代数思维过渡的研究进行了介绍与 第一章研究综述与课题界定 整理。在本次研究中，我们将应用综述中的相关理论，以六年级学生作为研究对 象进行个案研究。本研究的特色主要有以下三点： 1 、将六年级学生作为研究对象。从以往的研究资料中，我们发现类似的研 究大多以中学生特别是初一学生为研究对象，因为初一是正式代数学习的开始， 面临着算术思维向代数思维过渡的迫切需要。在本次研究中，我们将研究对象定 为六年级学生，一方面考虑到新教材编写的特点，另一方面我们认为六年级也是 中小数学衔接的重要阶段，我们研究这一时期学生代数思维的发展，将从很大程 度上减轻中学代数学习的压力。 2 、对新教材中代数学习内容进行了系统的整理。在相关研究的整理中，我 们发现这些研究虽然都论及教材中的代数学刊素材，但对这些代数学习素材进行 系统整理的几乎没有。在本次研究中，我f f j 尝试对苏教国标版小学数学教材中， 涉及代数思维培养的学习素材进行了分类整理，一方面是为了寻求六年级学生代 数思维发展的逻辑轨迹，另一方面也是调查研究和策略研究的重要基础。 3 、以教