（应用数学专业论文）多小波的理论研究.pdf

摘要 多小波的理论研究 杨玉花 摘要：小波分析作为继f o u r i e r 分析之后，调和分析发展史上的又一里程碑， 已经成为各个研究领域的科学工作者都乐于使用的数学工具。在其诞生后的短短 几十年在理论和应用方面得到了迅速发展。作为小波发展的一个重要方向多小 波，不仅保持了单小波的优点，而且克服了它的缺点。使得小波分析又一次形成 研究热潮，成为国际研究热点。 本文的工作正是以多小波为研究对象，以单小波的发展简史和基础理论为出发 点。重点介绍了多小波的发展以及多小波分析理论知识。多小波作为一类新兴的 小波，设计具有好性质的多小波系统是研究者们共同追求的目标。本文主要对多 小波的对称、逼近和插值性进行了研究。在第三章主要讨论了对称和逼近性问题。 在第四章主要讨论了插值性问题。 全文分为四章： 第一章是绪论，综述了小波和多小波发展史，并指卅了多小波相比单小波的优 点：而它相对于单小波的缺点是：多小波的多输入、多输出而引起的不平衡问题。 第二章介绍了小波和多小波的理论基础。在第一部分介绍了连续小波变换、多 分辨分析。在第二部分着重介绍了多小波的有关知识。与争小波一样，多小波也 有多分辨分析，从这里我们可以看出小波与多小波的相同和不同之处。接着介绍 了在信号处理中重要的分解和重构算法。最后，我们介绍了多小波的性质。这些 性质是多小波在实际应用中重要的性能指标。也为后两章的r = 作奠定了基础。 第三章首先针对已有的关于巾( x ) 的每个分量的支集都相等的多尺度函数的 对称性问题，给出了e a ( x ) 每个分量支集长度不同时的多滤波器组应满足的时域条 件。由于逼近性是多小波系统的重要性能指标，尺度函数具有高的逼近阶有效提 高了系统的逼近能力。冈此，它是影响系统去噪、压缩性能的重要冈素。这里， 我们利用对称、反对称f 交多小波的种具体参数化形式1 1 3 1 构造了满足逼近阶 分别为2 ，3 的对称、反对称的正交多小波系统。同时，通过改造，使其具有一阶 平衡性。这样更有利于实际应用。 第四章主要讨论了插值性问题。在正交多小波的分解和重构算法中，如何得到 最细层投影系数c ，? 人们希望能够避免复杂的卷积运算，从信号的采样值通过预 处理获得近似的投影系数。但具有插值性的多小波系统能够避免预滤波也就是 信号的采样值正是信号在这个空间的投影系数。所以构造具有插值性的多小波系 统是非常重要的。本章主要对r = 2 时多小波系统的一般插值性进行了讨论，并在 加入正交性条件的情况时，给出了多滤波器组参数化形式。 关键词：多小波、对称、逼近、插值、平衡。 t h et h e o r yo fm u l t i w a v e l e t s y a n gy u - h u a a b s t r a c t ：w a v e l e ta n a l y s i sa sam i l e s t o n ei nh a r m o n i ca n a l y s i sh i s t o r ya f t e rt h e f o u r i e ra n a l y s i sa l r e a d yb e c a m eam a t h e m a t i c a li n s t r u m e n tt h a tt h es c i e n t i f i cw o r k e r si n e v e r yr e s e a r c ha r e aa r ea l lg l a dt ou s e i th a so b t a i n e dr a p i dd e v e l o p m e n ti nt h e o r ya n d a p p l i c a t i o ni n d o z e n so fy e a r sa f t e ri t sb i r t h a sa n i m p o r t a n tk i n d o fw a v e l e t d e v e l o p m e n td i r e c t i o n 一m u l t i w a v e l e t s ，i tn o to n l ym a i n t a i n st h em e r i t so fs c a l a r w a v e l e tb u ta l s oo v e r c o m e si t ss h o r t c o m i n g ，w h i c ho n c ea g a i nc a u s et h ew a v e l e t a n a l y s i st of o r mt h er e s e a r c hu p s u r g ea n db e c o m ei n t e r n a t i o n a lr e s e a r c hf o c u s t h i sa r t i c l em a i n l yt a k e sm u l t i w a v e l e t sa sr e s e a r c ho b j e c ta n dt a k e st h eb r i e f h i s t o r ya n db a s i ct h e o r yo fs c a l a rw a v e l e ta sas t a r t i n gp o i n t i tp r e s e n t sd e v e l o p m e n t a n dt h e o r yk n o w l e d g eo fm u l t i w a v e l e t sw i t he m p h a s i s a san e wk i n do fw a v e l e t ， d e s i g n i n gm u l t i w a v e l e ts y s t e m sw i t hg o o dn a t u r ei s ag o a lw h i c ha l lt h er e s e a r c h e r s p u r s u e t h i sa r t i c l em a i n l y s t u d i e s s y m m e t r y 、a p p r o x i m a t i o n a n d i n t e r p o l a t i o n p r o p e r t i e so fm u l t i w a v e l e t s i tm a i n l yd i s c u s s e ss y m m e t r ya n da p p r o x i m a t i o nq u e s t i o n s i nt h et h i r dc h a p t e ra n di n t e r p o l a t i o nq u e s t i o ni nt h ef o u r t hc h a p t e r t h ea r t i c l ei n c l u d e sf o u rc h a p t e r s ： t h ef i r s tc h a p t e ri sa ni n t r o d u c t i o nw h i c hs u m m a r i z e sw a v e l e ta n dm u l t i w a v e l e t h i s t o r ya n dp o i n t so u tt h em e r i t so fm u l t i w a v e l e t sc o m p a r e dw i t ht h es c a l a rw a v e l e t b u ti t ss h o r t c o m i n gi st h ei m b a l a n c eq u e s t i o nc a u s e db ym u l t i i n p u ta n dm u l t i - o u t p u t t h es e c o n dc h a p t e ri n t r o d u c e st h et h e o r yo fw a v e l e ta n dm u l t i w a v e l e t si nt h ef i r s t p a r t i t i n t r o d u c e sc o n t i n u a lw a v e l e tt r a n s f o r r na n dm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sa b o u t s c a l a rw a v e l e t i nt h es e c o n dp a r t ，i te m p h a t i c a l l yi n t r o d u c e sr e l a t e dk n o w l e d g eo f m u l t i w a v e l e t s i nt h es a m ew i t hs c a l a rw a v e l e t ，m u l t i w a v e l e t sa l s oh a v em u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s f r o mh e r e ，w ec a ns e et h es i m i l a r i t ya n dd i f f e r e n c eb e t w e e ns c a l a rw a v e l e t a n dm u l t i w a v e l e t s t h e n i ti n t r o d u c e s i m p o r t a n td e c o m p o s i t i o na n dc o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m si ns i g n a lp r o c e s s i n g f i n a l l y ，w ei n t r o d u c em u l t i w a v e l e t s p r o p e r t i e s t h e s e p r o p e r t i e sa r ei m p o r t a n tp e r f o r m a n c ei n d e x e so fm u l t i w a v e l e t si np r a c t i c a la p p l i c a t i o n i ti sa l s oi m p o r t a n tf o u n d a t i o no f t h ef o l l o w i n gt w oc h a p t e r i na c c o r d a n c ew i t he x i s t e ds y m m e t r yq u e s t i o na b o u tm u l t i s c a l i n gf u n c t i o n sw i t h e q u a ls u p p o r to fe a c hc o m p o n e n t ，t h et h i r dc h a p t e rp r e s e n t st h et i m ed o m a i nc o n d i t i o n s o fm u l t i f i l t e rb a n k sf o rs y m m e t r i c a lm u l t i s c a l i n gf u n c t i o n sw i t hd i f f e r e n t s u p p o r to f 1 1 l 摘要 e a c hc o m p o n e n t a p p r o x i m a t i o np r o p e r t yi sa ni m p o r t a n tp e r f o r m a n c ei n d e x f o r m u l t i w a v e l e ts y s t e m s t h em u l t i s c a l i n gf u n c t i o n sw i t hh i i g ha p p r o x i m a t i o no r d e r e f f e c t i v e l ye n h a n c et h ea p p r o x i m a t ea b i l i t y s o ，i ti sa ni m p o r t a n tf a c t o rt oi n f l u e n c e p e r f o r m a n c ei nd e n o i s i n ga n dc o m p r e s s i o n h e m ，w ec o n s t r u c tm u l t i w a v e l e ts y s t e m s w i t ha p p r o x i m a t i o no r d e r2 ，3u s i n gac o n c r e t ep a r a m e t r i cf o r mo ft h es y m m e t r i c ， a n t i s y m m e t r i co r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e t s 1 3 a tt h es a m et i m e ，w em a k ei tt oh a v eo n e o r d e rb a l a n c i n gp r o p e r t yb yt r a n s f o r m i n g s o ，i ti sm o r ea d v a n t a g e o u si np r a c t i c a l a p p l i c a t i o n t h ef o u r t h c h a p t e rm a i n l y d i s c u s s e s i n t e r p o l a t i o n b e f o r ei m p l e m e n t i n g d e c o m p o s i t i o na n dc o n s t r u c t i o na l g o r i t h m so fo r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e t s ，h o wc a nw e o b t a i nt h ep r o j e c t i o nc o e f f i c i e n t s c ji n t h et h i n n e s tl e v e l ? p e o p l eh o p et oa v o i d c o m p l e xc o n v o l u t i o no p e r a t i o n sa n do b t a i na p p r o x i m a t ep r o j e c t i o nc o e f f i c i e n t sf r o m t h es i g n a ls a m p l e st h r o u g hp r e f i l t e r i n g b u tt h ei n t e r p o l a t i n gm u l t i w a v e l e ts y s t e m sa r e a b l et oa v o i dp r e f i l t e r i n g i no t h e rw o r d s ，t h es a m p l e so fs i g n a li sj u s tt h ep r o j e c t i o n c o e f f i c i e n t si nt h ep r o j e c t i o ns p a c e t h e r e f o r e ，i ti se x t r e m e l yi m p o r t a n tt oh a v e i n t e r p o l a t i n gp r o p e r t yf o rm u t t i w a v e l e ts y s t e m s i t d i s c u s s e s g e n e r a li n t e r p o l a t i n g q u e s t i o n f o rr = 2m u l t i w a v e l e t s y s t e m s m o r e o v e r ，w h e nj o i n i n go r t h o g o n a l c o n d i t i o n s ，w ep r e s e n tt h ep a r a m e t r i cf o r m so fm u l t i f i l t e rb a n k s k e yw o r d s ：m u l t i w a v e l e t ，s y m m e t r ya p p r o x i m a t i o n ，i n t e r p o l a t i o n ，b a l a n c i n g 学位论文独创性声明 y9 0 0 0 5 4 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：超丝日期；塑! ：圭匹 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：翅缝 臼期：伽丘r 盯 1 绪论 第一章绪论 1 1 小波分析的简史 小波分析和应用是当前数学和信号处理领域一个迅速发展的新兴学科。与 f o u r i e r 变换相比，小波变换是时间( 空间卜一频率的局部变换，能够通过塔型算法快 速处理并可以从信号中有效提取信息，克服了f o u r i e r 变换的缺点，被欲为”数学 显微镜”。它被认为是继f o u r i e r 分析之后，调和分析发展史上的又一里程碑。 小波理论的发展从一开始就与2 ( r ) 正交基的构造紧密联系在一起。小波基的 多样性灵活性是它的最大优点。从某种意义上讲，传统的f o u r i e r 分析是以工具 为主体来解决问题的；而小波分析是一种”面向对象”的数学工具。不同的小波 函数往往具有不同的时间( 空间) 频率特性，具体表现为消失矩，正则度、支撑性 质以及对称性等性能指标的多样性。 1 9 1 0 年，h a a r 在描述抽象h i l b e r t 空间特性的论文叶，首次构造了紧支撑的正 交函数系h a a r 函数系。自h a a r 在建立h a a r 小波之后的几十年里，数学工作者 们又建立了许多小波。从8 0 年代开始，小波理论的研究才有了巨大的进展。它从 一开始就是沿着两条不同的路线发展。即多速率滤波器组的构造 1 和小波基的构 造，前者是相对独立与后者发展的。1 9 8 4 年，g o u p i l l a r d 、g r a s s m a n 和m o r l e t 首 先提出了”小波”( w a v e l e t ) 的概念，提出了用一个函数的时移和尺度的组合表示信 号的新思想。随后1 9 8 6 年，s m i t h 和b a r n w e l l 提出了共轭镜像滤波器( q m f ) 这一 重要概念。这为二进紧支撑小波构造提供了契机。与此同时，d a u b e c h i e s 、g r a s s m a n 和m e y e r 对完全重构的非正交小波基进行了详细的研究，给出了小波的容许条件 并证明了一维小波函数的存在性。 八十年代后期，是小波发展的又一重要时期。人量的正交小波类被构造出来， 紧支集的d a u b e c h i e s 正交小波、非紧支集的l e m a r i e b a t t l e 小波、频域紧支集的 m e y e r 小波等。同时，m a l l a t 巧妙地将计算机视觉领域的多尺度分析的思想引入到 小波分析、小波函数的构造、小波变换的分解重构，从而成功地统一了在此之前 的s t r o m b e r g 、m e y e r 、l e m a r i e 和b a t t l e 提出的具体小波函数的构造。他还研究了 小波变换的离散化情形，并将相应的算法现今m a l l a t 算法 2 】有效地应用丁图象 分解与重构。 九十年代初期，随着小波理论和实际应用的结合，小波性能指标日益受到重 视。主要有：线形相位、紧支撑、消失矩、正则度等。这些要求在两带正交小波 中无法兼容。这时提出了一种新的小波类型双正交小波系统。这类小波系统的 1 绪论 分析和综合可以利用两组不同的滤波器。这使得它能具有多种优良性质，这在正 交情况下是不可能的。1 9 9 0 年，c h u i 和王建中将它推广为有限冲激响应( f i r ) 和无 限冲激响应( i i r ) 互对偶的非正交滤波器组形式，由此构造了最小支撑的线形相位 的样条小波系。与此同时，数学家w i c k e r h a u s e r 通过对母函数施加伸缩、平移和 调制运算，提出了小波包的概念，给出了小波包基的构造算法。小波包对频带的 划分突破了小波分析等q 划分的限制，因而拓宽了小波信号分析的适用范围。 总之，2 0 世纪9 0 年代以后，小波理论从基本性质到正交基的构造形成了一个 比较完整的体系，并且在语音合成、故障诊断、分形理论、流体湍流、方程求解 以及天体力学等许多领域都有重要的应用，取得了许多极具科学价值的成果。1 9 9 9 年，在中国广州中山大学召开了第二界国际”小波分析理论与应用研讨会”，进 一步促进了小波理论的发展。目前，国内外己经出版了若干小波方面的著作和专 辑。 1 2 多小波理论的概述 1 21 多小波理论的发展 众所周知，在信号处理的实际应用中，小波和尺度函数是紧支撑的，则相应 的分解和重构算法可以通过有限滤波器组实现；具有正交性，那么分解和重构就 能保持能量；而小波和尺度函数是对称时，相应的滤波器是广义线形相位的，缺 乏此性质会引起相位失真，对称性又易于信号在边界的处理。所以，分析工具同 时拥有这三种性质是十分重要的。可是，实数域中，紧支、对称、正交的非平凡 单小波是不存在的，这使人们不得不在这三者之问进行折衷。 为了解决这个问题，人们开始提出新的思想多小波。最早出现由多个尺度 函数生成多小波基的文献是在1 9 9 1 年，a l p e r t 和r o k l i n 两位学者构造了r f r 大于 1 ) 个尺度函数，每个尺度函数都是支集在【o ，l 】区间上的r 1 次多项式，这些尺度函 数生成了多小波并被用于解秋分方程，它能够使积分方程形成的矩阵有更大的稀 疏性。1 9 9 4 年，g o o d m a n 3 l 等人基于，元的多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s m r a ) ，建立了多小波的基本理论框架。同年，g e r o n i m o 、h a r d i n 和m a s s o p u s t 4 1 利用分形插值的方法，成功地构造了具有短支撑集、正交、对称和二阶消失矩的 向量尺度函数巾= 【吐，龙 7 。这就是著名的g h m 多小波尺度函数。这对单小波来说 却是不可能的。1 9 9 6 年，d o n o v a n 、g e r o n i m o 、h a r d i n 和m a s s o p u s t 5 再次利用分 形插值方法，构造了g h m 的多小波函数= 【仍，妒，l t ，称为d g h m 多小波。 因为多小波地成功构造，吸引了众多小波研究者的目光。近年来，多小波的 l 绪论 研究成了小波领域中的研究热点。1 9 9 6 年，c h u i 和l i a n 6 两人研究了多小波的正 交性、支集特性、对称性和插值特性等基本性质后，利用对称性给出了支集在 o ，2 】 和【o ，3 区间上的二元多尺度和多小波函数，并且不用分形插值的方法重构了g h m 多小波。同年，d o n o v a n 等人研究了互卷多分辨率分析，认为一个紧支，元多分辨 率分析总是包含有另外一个r + p 元的多分辨率分析，并构造了正交样条多小波。 这里值得一提的是s t r a n g 、s t r e l a 和p l o n k a 等人的工作。1 9 9 6 年，s t r e l a 在他的博 士论文多小波理论和应用中对多小波在时域和频域上的性质作了比较深刻的 分析，提出了两尺度相似变换( t s t ) 的概念，并用t s t 来改进和构造多小波。p l o n k a 用t s t 来分析多小波的消失矩性质，在有关矩阵两尺度符号分解形式方面得出了 重要的结论。同时，数学家们也开始从不同角度来深入研究多小波。1 9 9 6 年，h e i l 和c o l e l l a 研究了向量作为多尺度函数解的唯一性问题，分析了矩阵两尺度方程解 的无条件收敛、条件收敛和超约束收敛的情形。1 9 9 7 年，数学家m i c c h e l l i 和s a u e r 从向量细分法( v e c t o rs u b d i v i s i o ns c h e m e s ) 的角度讨论了矩阵两尺度方程收敛的充 分必要条件，并研究了多小波的正则性 7 】。m i c c h e l l i 和x u 从仿射映射的角度给 出了一类区间多小波，使得a l p e r t 和r o k h l i n 构造的多小波成为其特例，并研究了 这一类区间双正交多小波的分解重构算法。j i a 和w a n g 从矩阵尺度符号h 的谱分 解出发，讨论了矩阵两尺度方程稳定的充要条件。1 9 9 8 年，s h e n 从h 的交换算子 咒的谱特性分析着手，也证明了两尺度方程收敛的充要条件。这些性质的讨论和 分析，无疑为多小波的理论发展打下了坚实的基础，也为其应用提供了必要的条 件。 12 2 多小波的优点 多小波是单小波的推广，它既保持了单小波所具有的良好时域与频域的局部 化特性，又克服了单小波的缺陷，多小波相对于单小波的优势在于： ( 1 ) 多小波能够同时具有对称性、正交性、光滑性和紧支性，这些性质是图像 处理中十分重要的性质。 ( 2 ) 多小波滤波器组没有严格的低通和高通划分，通过对多小波预滤波，能够 将高频能量转移到低频，从而有利于提高压缩比。 多小波在理论上所表现出来的优势以及在应削领域所具有的潜力，使其受到 高度重视。在它诞生的短短十几年时间内，从理论方面、多小波的构造、多小波 变换的实现、预滤波器的设计及信号的边界处理正迅速成为新的研究热点：而对 它在图像处理方面的应用，人们正进行积极探索，并在静止图像编码、图像去噪 两方面取得了定的成果。 1 2 ，3 多小波的缺点 1 绪论 多小波最早用于解积分方程，取得了鼓舞人心的结果，并且在这一方向的发 展也比较迅速。然而，理论上完美的多小波在信号和图像处理中的应用却遇到了 很大的困难。 ( 1 ) 由于多小波变换本质上是一个多输入、多输出的系统，而实际要处理的是 一维信号( 图像也是分成行和列分别来处理) ，如何将一维信号转换为多小波所需要 的向量输入流就是一个必须要考虑的问题。 ( 2 ) 对单小波变换，其离散实现自动地伴随着它们的多分辨结构，即树状两通 道滤波结构。在这个树状结构中，滤波器低通特性和高通特性都比较明显。但对 于多小波变换，这个树状结构变成一个树状向量滤波结构。对这个向量滤波结构 而言，其低通和高通性质将不如在单小波变换中两个滤波器的性质那样明显。每 个低通通道若有不同的谱行为，即有不问的增益，就会导致复杂的分解过程。这 样的性质使常值序列经低通分解滤波器都升i 能保持。因此不适合于应用，所以必 须对信号进行适当的预处理。 为了解决这一问题，迄今已有许多作者对此进行了研究。1 9 9 6 年，x i a 等人 对离散多小波的预滤波问题作了详尽的分析【8 ，9 。后来，许多文献从不同角度给出 了预滤波器，特别是h a r d i n 和r o a c h 构造了正交f i r 预滤波器 1 0 1 ，它能对任意 的多尺度函数保持p ( p 2 ) 阶逼近，r o a c h 还研究了p 3 的情形。从改进小波基 以适应信号标准采样空间的思路出发，1 9 9 8 年，l e b r u n 和v e t t e r l i 提出了平衡多小 波的概念，其基本思想是对现有的多小波基作平衡旋转 1 1 】。同年，数学家s e l e s n i c k 根据多小波的正交性并结合高阶平衡的条件，利用g r o b n e r 基来计算非线性方程 组，直接构造出了平衡的多小波1 1 2 1 。经过预处理后，多小波在信号去噪和图像压 缩方面卜i 开始有了一些简单的应用。1 9 9 8 年，d o w n i e 和s l i v e r m a n 以及b u i 和c h e n 分别采用预处理的方法对一维信号去噪做了讨论。同年，s t e r l a 和w a l d e n 将多小 波用于图像去噪和压缩，并做了简单的分析。 1 3 本文的主要工作 本文的工作主要基于多小波的理论。主要工作有： 1 、首先，给出了多尺度函数的每个分量支集长度不同时具有对称。陛时满足的 时域条件。其次，利用对称、反对称正交多小波的一种具体化形式f 1 3 1 ，构造了满 足逼近阶分别为2 ，3 的对称、反对称正交多小波。并且，通过正交变换，使其具 有一阶r 衡性。 2 、给出了，= 2 一般插值正交性的多小波和多尺度滤波器组的参数化形式。 2 预备知识 第二章预备知识 2 1 小波分析简介 2 1 1 连续小波变换 信号表示或者函数展开一直是调和分析、信号处理研究的一个基本问题。信 号的小波展开是通过一个给定函数妒r ( r ) 小波函数的伸缩平移来表示信号对 于连续小波变换，伸缩和平移参数是连续变化的。 亿。( x ) = 去妒( 兰兰) ，口，b ej r ，口o ( 2 1 ) h 。 定义2 1 一个函数f ( x ) l 2 ( r ) 的连续小波变换( c w t ) 定义为： 如，。南j c 孚胁 b 2 ， 利用p a r s e v a l 恒等式，( 2 2 ) 式对应地频域形式为， 啦啦南谨 砌。妫p “如 ( 2 3 ) 小波妒和它f o u r i e r 的变换痧是一个双窗函数，时间中心和频率中心分别为覃和万， 中心偏差为。和a 即 i = 寺( x ) 1 2 d x ”丽胂恤) i 砖。赤嶝) 2 i 贴) 1 2 如 石和。可以类似定义。于是，连续小波变换在( d ，b ) 的值提取了信号在时间区间 【b + 面一a a ，6 + a w , + a a ， 和频率区间 ( 面一。) a ，( 万+ a 。) d 】内的信息。这两个区 间确定了个时频窗，窗的位置、高度和宽度通过参数d ，b 调节。称为小波 函数p 的时宽带宽积，从整体上刻l 阿了小波的时频局部化特性，这是小波系统的一 个重要性能指标。因此，与f o u r i e r 本质不同的是，小波变换是一种变分辨率的时 频联合分析方法。当分析低频( 对应大尺度) 信号时，其时间窗很大，而分析高 频( 对应小尺度) 信号时，其时间窗减少。这恰好符合实际问题中高频信号持续 时间短，低频信号持续时间长的规律。凶此，同f o u r i e r 变换相比，小波变换在时 频分析领域中具有不可比拟的优点。 当小波函数伊满足容许条件( a d m i s s i b i l i t yc o n d i t i o n ) 2 预备知识 巳= 饼舨m 时，连续小波变换是可逆的，逆变换公式为： f ( x ) 2 专肌，6 ) 咖) 警 ( 2 4 ) 2 1 2 多分辨分析和离散小波 实际应用中，因为小波系数的冗余度，为了达到压缩数据和节约计算量的目 的，且为了方便在计算机上实现，以对连续小波在不丢失信息的情况下加以离散 化。这一离散是针对连续的尺度参数a 和平移参数b ，而不是传统意义上的时间变 量t 。这里我们从多分辨分析的定义开始，来引入离散小波。 1 尺度函数和多分辨子空间 定义2 2l 2 ( r ) 的一个多分辨分析定义为个闭子空间列一( 2 2 f ( 月) ，j z ， 满足下面性质： ( a ) t c 一 ( b ) v ( x ) 矿，v ( 2 x ) v 一 书卜4 每扣t 轲e + 兮“鲁 ( d ) u _ 在l 2 ( r ) 中是稠密的并且n v 0 1 | 一r 。4 、 ( e ) 存在个尺度函数k ，满足知( ) 出o 并且 ( x f ) ，z l 勾成v o 的 r i e s z 基。 在多分辨分析中，经常使用”层”这一术语。所谓”层”就是指一个多分辨 空间p ，。j 越小，相应的层时间分辨越细( f i n e r ) ；j 越大，相应的层时间分辨越粗 ( c o a r s e r ) 。 因为矿o ) c 旷，所以，存在一个序列 厅( 七) ) ，2 使得尺度函数满足r 列双 尺度方程， ( x ) = x 2 h ( k ) ( k ( 2 x - k ) ( 2 5 ) 显然， “( x ) = 22 ( 2 1 x ，) ，刁构成一的r i e s z 基。由上面的最后个性 质容易得到， 2 预备知识 ( 女) = 压 t 般地，尺度函数双尺度方程在下面归一化条件下唯被确定【1 4 】， 知 皿“ 为了使 矿o - 1 ) ，z ) 能够表示最简单的函数。比如常函数，般要求尺度函 数具有单位划分，换句话说， v x e r ：( x i ) = 1 利用p o s s j o n 求和公式，容易得到单位划分的个等价条件， 乒( 2 女f ) = 石( ) ， k z 按照公式( 2 5 ) ，尺度函数的f o u r i e r 变换满足， ( ) = 向( 吐2 ) ( 2 ) h ( c o ) 是周期为2 玎的函数，定义为： h ( c o ) = y h ( k 1 “ y 于是，至少从形式可以得到， ( 国) = u ( 2 奶 j = l 定理21 尺度函数构成r i e s z 基的一个充分条件是， 0 一6 ( m ) = i 乒( 甜+ 2 k 口) 1 2 b m a e 女 a e 表示几乎处处成立。 2 小波函数和细节子空间 设彤表示多分辨子空间一在一，中的补空间，印满足 一一，2v 0 w ，一n ，= 口 空间包含了第j l 层逼近信号与第j 层逼近信号之间的细节信息。显然， 卑2 2 ( 尺) 如果一个函数矿的整数平移 伊o f ) ，f z ) 是的r i e s z 基，我们称口为小波 函数a 这时 妒川( z ) = 2 1 驴( 2 - ) x - - n ，z ) 构成的r i e s z 基。由于c 旷，所 以存在序列培( 女) ，2 使得， 2 预备知识 妒( x ) = 压g ( ) 矿( 2 x t ) 它的f o u r i e r 变换为， 庐( 国) = g ( 叫2 ) ( c o 2 ) 其中，g ( ) = 苫y g ( k ) e “。，是周期为2 7 r 的函数。 、z 2 2 多小波分析基础 多小波是指由两个或者两个以上的函数作为分量生成的小波，它是小波理论 的发展。由于多小波能够把在实际应用中十分重要的对称性、紧支性、正交性和 高阶消失矩完美地结合在一起。因此，在信号处理中比单小波更有优势。 2 2 1 多小波多分辨分析 1 多尺度函数 多小波的多分辨分析是把单小波的多分辨分析推广到，维得到的。下面我们对 照上一部分的单小波多分辨分析，得到多小波的多分辨分析。 定义2 3 上2 ( r ) 的一个多分辨分析定义为一个闭了空间列v jcl 2 ( 月) ，j z ， 满足下面性质： ( a ) 矿，cy 川 ( b ) v ( x ) 矿，铮v ( 2 x ) v j 一 ( c ) v ( x ) 一铮v ( x + i ) ( d ) uy ，在2 ( r ) 中是稠密的并且n = ( 0 ) 2 咖，。_ 呻 ( e ) 存在一个向量函数巾( x ) = 嘲( x ) ，以( x ) ，以( x ) 】7 r ( r ) ，它的平移 ( 谚0 一女) ：1 i r ，ke z 构成的r i e s z 基。 因为m ( x ) v oc n ，所以，存在，r 矩阵h f2 ( z ) ”7 使得向量尺度函数满 足下列双尺度方程， 。( x ) = 压h 。o ( 2 x - k ) ( 2 6 ) 一 显然， 痧。( t ) = 22 ，( 2 1 x 一 ) ，1 isr ，k z ) 构成_ 的r i e s z 基。 为了方便，一般记： 【唬。；( x ) ，办卅( 圳= m m ( x ) ( 2 7 ) 2 预备知识 对( 2 6 ) 式两端做f o u r i e r 变换，可得， 6 ( c o ) = 日( 叫2 ) 击( o ) 2 ) 其中，h ( 叻是周期为2 z 的函数，h ( c o ) = 去q p “。 v i 一个正交多尺度函数指的是，巾( j ) = m ( ) ，c d x ) ，以( x ) 】7 r ( r ) 不仅仅是 k 的r i e s z 基，还是标准正交基。 ( 。( x ) ，巾。一七) ) = 卜( 工) m 7 0 一七) 出= ，4 七z 定理2 2 若向量函数o ( z ) = 破( x ) ，破( x ) ，砟( z ) r r ( 月) 构成v o 的标准正交 基。则有下列命题成立， ( 1 ) 击( + 2 z ) 面( c o + 2 k z ) = ( 2 ) 巩磁+ 。= ，磊f z ( 3 ) h ( c o ) h ( c o ) + + h ( c o + 7 r ) h ( c a + ，r ) = i r ，【0 ，2 f 2 多小波函数 设表示多分辨子空间_ 在一一，中的补空问，即满足 一一- = _ o ，一n 一= 啦 与单小波一样，空间，包含了第j 一1 层逼近信号与第层逼近信号之间的细节信 息。由定义2 3 的( a ) 和( d ) 条件，显然可得。矿= l z ( r ) 。设， 甲( x ) ； 识( x ) ，e 2 ( x ) ，竹( x ) r l 2 ( 尺) 7 如果 仍0 一) ：1 i r ，t z ) 是的r i e s z 基，这时我们称甲g ) 为多小波函数。显 然， 仍。i ( x ) = 22 以( 2 1 x 一女) ，l i ，k z 是空间的r i e s z 基。那么， 够 i ( x ) = 22 够( 2 一。x 一七) ，1 i ，k z ，j z ) 就是上2 ( r ) 的r i e s z 基。 为了方便，一般记： 【锻，i ( x ) ，蚌。t ( x ) 】7 = 甲( x ) ( 2 8 ) 凶为c 旺，而 强( 2 x 一女) ：1 i r ，k z ) 是t 的r i e s z 基。所以存在r ， 2 预备知识 矩阵q 。：1 2 ( z ) 使得多小波与多尺度函数间一定满足双尺度方程， 甲( 工) = 压q 。( 2 x t ) ( 2 9 ) 如果是多分辨子空间l 在_ 一，中的正交补空间，即， l 一，= 一。一，_ 上 那么当j = 0 时， ( e o ( x ) ，甲。一女) ) = f c o ( ) 掣( x - k ) d x = 0 ，女z ( 2 1 0 ) 定理2 3 如果多尺度函数生成了空间的标准正交基，且满足上面正交条件， 则有下列命题成立： o ) z 6 ( c o + 2 k , r 归( w + 2 k t r ) = 0 ， ( 2 ) g 或。= o ，z ( 3 ) h ( c o ) g ( w ) + 日( 卯+ 万) g ( m + 万) + = 0 ，0 9 【0 ，2 丌】 定义2 4 如果多尺度函数生成了空间的标准正交基，且，是多分辨子空间 y ，在矿，中的正交补空问。这时，我们称这样的一个多分辨分析为正交多分辨分析， 相应的多小波函数称为半正交多小波函数。 由定义2 3 的( a ) 和( d ) 条件，一个半正交多小波指的是， j _ 暇，j k ；o 形= r (