（应用数学专业论文）两类弹性梁方程边值问题单调正解的存在性.pdf

e x i s t e n c eo fm o n o t o n ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rt w oc l a s s e s o fe l a s t i cb e a me q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m b y w a n gx i a n q i a n g b s ( h a n d a nc o l l e g e ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e a p p l i e dm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f l a n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rs u nj i a n p i n g a p r i l ，2 0 1 1 小 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独市进行研究所墩得的研 究成果除了文l | l 特j 由l d r i 以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：l k 俐丢兰| ， 日期：叫年占月多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向同家有关部门或机构送交论文的复印件和电了版，允许论文被杏阅和借阅 本人授权兰州理丁大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时授权中 国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过 网络向社会公众提供信息服务 作者签名：土务k 多易 制磁建彳 日期：夕硼年厂月in 日期：沙f1 年6 月斗口 t ，m 目录 摘要 a b s t r a c t 第一章 1 1 1 2 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 绪论 研究背景及本文的主要工作 预备知识 弹性梁方程边值问题单调正解的存在性 引言 预备知识 主要结果 实例 第三章带非线性边界条件的弹性梁方程边值问题单调正解的存在性 3 1 引言 3 2 预备知识 3 3 主要结果 3 4 实例 结论 参考文献 致谢 附录攻读学位期间所发表的学术论文 i一 1 1 3 5 5 6 0 2 4 4 5 7 9 2 3 7 8 1 1 l l 1 l 1 2 2 2 2 摘要 近年来，随着科学技术的发展，在许多领域中都提出了大鼍由微分方程边值问 题描述的数学模型四阶微分方+ 程边值问题起源于应用数学和物理学的不同领域， 尤其在弹性梁和稳定性理论中有着广泛的应用因此，对网阶微分方程边值问题的 研究具有重要的现实意义 根据内容本文分为三章： 第一章简述了课题的研究背景及本文的丰要t 作，并给出了本文用到的预备知 识 第二章运用单调迭代法研究了弹性梁方程边值问题单调正解的存在性最后给 出一个例了来说明本章的主要结果 第三章讨论了带非线性边界条件的弹性梁方程边值问题通过运用瞥调迭代法， 我1 f j ：, b 仅获得了其单调正解的存在性，而且给出了单调正解的两个迭代序列值得 - 提的是，迭代序列的初值是很简单的零函数或二次函数，这从计算的角度来说是 非常有用和可行的 关键词：边值问题；迭代法；弹性梁方程；甲调正解；存在性 a b s t r a c t r e c e n t l y ，w i t ht h ed e v e l o p m e n t o fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，al o to fm a t h e m a t i c a l m o d e l sa r ed e s c r i b e db yb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( b v p s ) o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h eb v p so ff o u r t h - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s ei nd i f f e r e n tf i e l d so fa p p l i e d m a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，w h i c he s p e c i a l l yh a v ew i d ea p p l i c a t i o n si ne l a s t i c i t ya n d s t a b i l i t yt h e o r y t h e r e f o r e ，i ti ss i g n i f i c a n tt os t u d yt h eb v p so ff o u r t h o r d e rd i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ep a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s ： c h a p t e r1i st h ei n t r o d u c t i o no ft h i sp a p e r ，w h i c hi n t r o d u c e st h es t u d y i n gb a c k g r o u n do ft h i st h e s i sa n do u rm a i nw o r k s i na d d i t i o n ，w el i s ts o m ep r e l i m i n a r y k n o w l e d g en e e d e di nt h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c ea n di t e r a t i o no fm o n o t o n ep o s i t i v e s o l u t i o n so fb v pf o ra ne l a s t i cb e a me q u a t i o n a ne x a m p l ei sa l s oi n c l u d e dt o i l l u s t r a t et h em a i nr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s sb v pf o ra ne l a s t i cb e a me q u a t i o nw i t hn o n l i n e a r b o u n d a r yc o n d i t i o n s b ya p p l y i n gm o n o t o n ei t e r a t i o nm e t h o d ，w en o to n l yo b t a i n t h ee x i s t e n c eo fm o n o t o n ep o s i t i v es o l u t i o n s ，b u ta l s ot w oi t e r a t i v es e q u e n c e so f m o n o t o n ep o s i t i v es o l u t i o n sa r eg i v e n i ti sw o r t hm e n t i o n i n gt h a tt h e s ei t e r a t i v e s c h e m e ss t a r to f fw i t hz e r oo rq u a d r a t i cf u n c t i o n ，w h i c hi sv e r yu s e f u la n df e a s i b l e f o rc o m p u t a t i o n a lp u r p o s e k e yw o r d s ：b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ；i t e r a t i o n ；e l a s t i cb e a me q u a t i o n ； m o n o t o n ep o s i t i v es o l u t i o n ；e x i s t e n c e 第一章绪论 1 1 研究背景及本文的主要工作 常微分方程是数学中一个古老而蕈要的分支，它在自然科学和工程技术中有着 广泛的应用随着科学技术的进步与发展，在非线性扩散、气体动力学、流体力学、 物理学、种群动力学、自动控制、生物学、医学和经济学等许多自然科学和边缘学 科的领域中提出了大量由微分方程边值问题描述的具体数学模型基于丰富的实际 应用背景，常微分方程边值| u j 题正解或单调正解的存存性问题存整个微分方程领域 显得尤为重要，是近些年研究的热点问题之一然而，有关此类问题的研究大多集中 于较低阶的常微分方程，见文献l 一1 0 】 微分方程边值问题在应用数学、物理学等领域都有广泛的应用具体的有工 程学上均匀杆轴向受力问题、南部分不同密度构成的均匀截面的悬链线的振动 问题、两定点的悬链受力问题、弹性稳定性问题等对线性二二阶微分方程多点边 值问题的研究由义献f l l ，1 2 1 开始，而非线性二阶常微分方程多点边值问题的研究 源- j ：g u p t a 1 3 1 自此，许多作者研究了更一般的非线性二阶微分方程多点边值问 题 1 4 - 1 8 随着对二阶多点边值问题更j “泛的研究，i 阶边值问题也逐渐成为人们热 衷研究的对象，并取得的丰富的成果【1 争2 4 】 相对于二阶和i 阶微分方程边值问题的发展而言，四阶微分方程边值问题的发 展速度是比较缓慢的，这就为我们研究四阶微分方程边值问题提供了广阔的空间 众所周知，四阶微分方程边值i 、u j 题有着广泛的应用背景，它常被用来描述大昔的物 理、生物和化学现象例如，弹性横梁在平衡状态的弯曲可以描述成一些四阶微分 方程的边值问题因此，四阶微分方程边值问题引起了数学工作者的极大兴趣例 如文献f 2 5 3 1 1 讨论了一些四阶两点边值问题值得一提的是，在2 0 0 7 年，b a i 2 5 】讨论 了边值问题 fu ( 4 ( ) = f ( t ，u ( ) ，u 他) ，u 7 他) ，u ) ) ，t ( o ，1 ) ， 【u ( 0 ) = 7 ( 1 ) = 秕( 0 ) = u 胛( 1 ) = 0 解的存在性，其o o f ：【0 ，1 】xr 4 一r 为连续函数所用工具是上。f f 僦g l s c h a u d e r 不动点定理 m a z h a n g 雨l f u 2 8 】运用上下解方法证明了边值问题 f 孔( 4 ( t ) = f ( t ，札( ) ，“( z ) ) ，t ( o ，1 ) ， 、u ( o ) = u ，( 1 ) = u i t ( o ) = 姐( 1 ) = 0 解的存在性边界条件捕述了一端固定、一端滑动的弹性梁的形变 1 两类弹性梁方程边值问题单调i f j 解的存在性 然i 佰，我们以上所提及的有关网阶边值问题的研究工作中，大多数文献所关注 的仅仅是相应边值问题解或正解的存在性，而很少有文献考虑到正解的计算力法 近年来，许多学者通过运用g u o - k r a s n o s e l s k i i 不动点定理、l e r a y s c h a u d e r 连续性原 理、卜下解方法、迭代法及不动点指数定理获得了许多有关四阶微分方程边值i 、口j 题 正解和单调正解的存在性方面的结果其中迭代法是获得单调正解的存在性结果的 强有力的工具最近，迭代法已被成功的运用于证明非线性微分方程边值问题单调 正解的存在性，读者可见3 2 3 5 1 由于非线性项含有未知函数的导数时，研究边值问题止解的研究就会面临很多 困难，因此大多数讨论边值问题正解的研究工作都假定非线性项不含有未知函数的 导数受以上文献的肩发，本文第二章研究非线性项含有未知函数一阶导数的弹性 梁方程边值问题 iu ( 4 ( t ) = f ( t ，u ( t ) ，仳7 ( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) ， 【u ( 0 ) = 让7 ( 1 ) = u ( 0 ) = 札删( 1 ) = 0 单调正解的存在性通过利用单调迭代法，我们不仅获得了上述边值问题单调正解 的存在性，而且还给出了单调j f 解的迭代序列，值得一提的是，迭代序列的仞值是很 简单的零函数，这从计算的角度来说是非常有用和可行的在第_ 二章的最后给出一 个例子来说明本章的主要结果 弹性梁在平衡状态下的弯曲可以描述成一些四阶微分方程边值问题，由于弹性 梁在工程学、物理学和材料力学的重要性，弹性梁方程边值问题已经吸引了国内外 很多学者的广泛关注，见义献 3 6 - - 4 5 然而，我们提到的大多数义章在讨论边界条 件等二f 零的非线性方程边值问题当边界条件为非零或非线性时，弹性梁方程边值 问题可模拟为梁的肢体歇息在弹性轴承上 但据我们所知，对于带非线性边界条件的弹性梁方程边值问题的研究工作还相 对较少，值得一提的是，最近，m a 4 7 研究了下述带非线性边界条件的四阶微分方程 两点边值问题 ， iu 【4 ) ( t ) = f ( t ，乱( ) ) ，t ( 0 ，1 ) ， u ( 0 ) = u 7 ( 0 ) = 0 ， i ( 1 ) = 0 ，u 删( 1 ) = g ( 仳( 1 ) ) 正解的存在性，其中，c ( o ，1 】r ) 和9 c ( r ) 为实函数所用工具为变分法和 一个最人值原理 受以上文献和本文第二章的启发，本文第三章将在第j 一：幸的基础卜研究下述带 2 硕十学化论文 非线性边界条件的弹性梁方程边值问题 iu ( 4 ( t ) = f ( t ，钍( t ) ，u m ) ) ，t ( 0 ，1 ) ， i t ( 0 ) = u ( 0 ) = 0 ， iu 7 ( 1 ) = 0 ，札7 ( 1 ) = g ( u ( 1 ) ) 单调止解的存在性值得提的是，我们不仅获得了上述边值问题单调l e 解的存在 性，而且还给出了荦调正解的两个迭代序列，并且迭代序列的初值足很简瞥的零函 数或二次函数，这从计算的角度来说是非常有用和可行的 1 2 预备知识 为了后面推理的需要，我们存这- 4 , 节里以定义和定理的形式给出若干个已知 结论作为工具 定义1 2 1 【4 8 】设x 为实b a n a c h 空j 、h j ，k 是x 中的i i 了集，如果k 满足： ( 1 ) 若z k ，a 0 ，则a z k ； ( 2 ) 若z k ，一z k ，则z = 0 ( p 代表x 巾的零元) ， 则称k 是x 中的锥 注意，给定x 中的一个锥后，可在x 中的元素问引入半序：z y ( z ，y x ) 当且仅当y z k 定义1 2 2 1 4 8 j 设x 为实b a n a c h 空间，k 是x 中的锥，如果存在j 0 ，使当忙l i i = i | z 2 i i = 1 ，x 1 k ，z 2 k 时，恒有忙1 + z 2 | i 6 ，则称锥k 是正规的 定义1 2 3 4 8 】设尸为实b a n a c h 空间x 中的锥，则锥p 足正规锥的允分必要条件足：存 在常数 0 ，使得当o u v ( u ，v p ) 时，恒有l i u i | n i | 定义1 2 4 f 4 9 】设a 是度量空间x 的子集，如果对于a 的任何一族开覆盖，都有有限的 子覆盖，则称a 是紧的；如果a 的闭包才是紧的，则称a 是相对紧的或者致密的 定义1 2 5 【4 9 】设x ，y 是线性赋范空间，且dcx ，称映射f ：d _ y 为紧映射，如 果f 将d 中的任何有界集s 映成y 中的相对紧集f ( s ) ，即丽是y 的紧集进一步， 如果映射f 还是连续的，则称f 为紧连续映射，或者称全连续映射 定理1 2 6 ( a r z e l 加a s c o l i 定理) 【5 0 】集合acv i a ，6 】是列紧集的充要条件为下列两个 条件均成立： 3 两类弹性梁方程边值问题单凋i 卜解的存在件 ( 1 ) a 是一致有界的，即存存常数m ，使得对一切的z a 及任意的 o ，6 】，均 有 i z ( ) i m ； ( 2 ) a 是等度连续的，即对任意的e 0 ，存在6 ( e ) 0 ，使得对任意的z a 及任 意的l ，t 2 a ，6 】，只要i t l 一t 2 i 5 ，就有 i x ( t 1 ) 一z ( t 2 ) l e 定理1 2 7 ( 勒贝格控制收敛定理) 【5 0 】设m e ， 厶( z ) ) 是e 上的可测函数列， 并且l i m 厶( x ) = f ( z ) ( a e ) ，若存在一个e 卜的勒贝格可积函数夕( z ) ，使得在e ： n + 。 i 厶( z ) i g ( z ) ( a - e ) ，n = 1 ，2 贝t j f ( z ) 在e 上勒贝格可积，并且 z 他) d n l 。i r a 。f e f 。( 州m 4 第二章弹性梁方程边值问题单调正解的存在性 2 1 引言 众所岗知，在建筑学中，梁是最基本的结构之弹性梁在平衡状态卜的形变可 以描述为下面挠度曲线方程： 嘉( e 瑶) 刊， 其中，e 是弹性模量，厶为横截面对礴由的惯性矩和q ( ) 为梁上分布载荷的集度如果 考虑梁上载倚的偏转和挠度变化率的变化，我们需要研究更一般的方程 札( 4 ) ( t ) = ，( t ，u ( t ) ，让7 ( t ) ) 根据弹性梁支撑形式的不l 司，各种各样的边界条件已经被考虑 由于弹性梁在：l ：程学、物理学和材料力学的重要性，弹性梁方程边值问题已经 吸引了周内外很多学者的广泛关注，见文献f 2 5 3 0 ，3 6 4 5 1 然j 酊，我们提到的大多 数文章在讨论弹性梁方程边值问题解或者正解的1 竽在性在现有的文献，几乎很少 的文献考虑解或者j 卜解的计算方法值得一提的是，z h a n g 3 5 】获得了带有一个隅角 的弹性梁方程边值问题正解的存在性，并建立了正解的迭代序列主要工具足单调 迭代技巧，单调迭代技巧可参考文献3 2 3 5 】 受以上杰出工作的启发，在本章，我们讨论下述弹性梁方程边值问题 ：；竺乏，f。(，tit 0 1 兰寥 0 菇竺三；， 1 亏竺1 0 l c 2 1 ， l( ) = u 7 ( ) = u ( ) = 乱肿( ) = 、。 单调j e 解的存在性在材料力学，( 2 1 ) 中的方程描述弹性梁在外力，作用卜的挠曲 或形变，( 2 1 ) 中的边界条件描述了弹性梁在t = 0 被简单的固定，而在t = 1 被滑动夹 子夹住的弹性梁的形变通过运用单调迭代技巧，我们彳i 但获得了边值问题( 2 1 ) 单 调正解的存在性，而且还给出了单调正解的迭代序列值得一提的是，迭代序列的 初值是零函数，这从计算的角度来说是非常有用和可行的最后给出一个例了来说 明本文的丰要结果 本章中，我们总是假设下述条件成市： ( a ) ，c ( 0 ，l 】【0 ，+ 。o ) 0 ，+ ) ， o ，+ ) ) 5 两类弹性梁方程边值问题甲调i t ：解的存在性 2 2 预备知识 引理2 2 1 若y c 【0 ，l 】，则边值问题 有唯一解 u ( 4 ( t ) = y ( t ) ，t ( 0 ，1 ) ， 【2 ( 0 ) = 扎7 ( 1 ) = “( 0 ) = ( 1 ) = 0 1 ， 1 2 t t 2 1s t 1 ， s 1 ， ( t ，s ) 0 ，1 】 0 ，1 0 s t 1 0 t 0 ，由掣的一致连续性可知，存在6 0 ，使得对任意 的t l ，t 2 0 ，1 h - l t l 一t 2 i 6 时， 8 0 ，1 】 因此，对任意的自然数k ，t l ，t 2 0 ，1 _ h 1 t 1 一t 2 i 6 时，可知 秒：( 1 ) 一以( t 2 ) l = i ( t z 知) ( t 1 ) 一( t z 知) 7 ( 2 ) o g ( t l ，8 ) 0 t 0 ，使得， f ( t ，u l ，v 1 ) f ( t ，u 2 ，v 2 ) 2 a ，0 t 1 ，0 u l u 2 a ，0 v l v 2 a ( 2 5 ) 构造迭代序列+ 1 = t ，n = 0 ，1 ，2 ，其中咖( t ) 三0 ，t 0 ，1 ，则 墨l 收敛 于矿c 1 0 ，1 】，而 + 为边值问题( 2 1 ) 的一个单调正解并满足 0 + ( t ) a ，t ( 0 ，1 】，0 ( u + ) 7 ( t ) o ，t 0 ，1 】 i 础f l ：令k a = u k ：i l u l l n ) 我们断言t ：玩_ 玩事实上，对任意 的u 比，则 0 u ( s ) o m 。“a x ，u ( s ) l l u l l n ，s o ，l 】 且 0 u 7 ( s ) o m 。a x 1u 7 ( s ) l l u l l 。，s o ，1 ， 结合条件( 2 5 ) 和引理2 2 2 ，有 ，1 0 ( t u ) ( t ) = g ( t ，s ) ，( s ，珏( s ) ，u ，( s ) ) d s o ，t 【0 ，1 且 。( t u ) ，( 归0 1 掣坤川s ) ，州s ) ) d s 叫 o ，l 】 因此，我们可得t ：心_ 玩 现在，我们断言【，甚1 收敛于矿c 1 0 ，1 1 ，而 + 为边值问题( 2 1 ) 的一个单调 正解并满足 0 0 凶此， 根据v + 玩可知 0 墨。分别收敛于t 的不动点u ，w v o ，y 2 0 】 本章总是假设下述条件成立： ( a 1 ) ，c ( 【o ，1 】 0 ，+ ) 0 ，+ 。) ， 0 ，十) ) ； ( a 2 ) g c ( o ，+ ) ，( 一，0 1 ) 3 2 预备知识 籍繁。 慨2 ， 有唯一解 ， u ( t ) = g ( t ，s ) y ( s ) d s 7 ( t ) ，t 【0 ，1 】， j 0 两类弹性梁方程边值问题单调i 卜解的存在性 其中 和 0 8 t 1 ， 0 t 8 1 ) = 三一菩艇 0 ，】 证明：若仳是边值问题( 3 2 ) 的一个解则可设 “( t ) = j ( 0 1g ( t ，s ) 秒( s ) ( f s + a z 3 十b t 2 + c t + 。，t 。，1 】 由( 3 2 ) 式中的边界条件易知， a 2 古，b = 0 ，c = 一考，d = 0 ，vv 故边值问题( 3 2 ) 有唯一解 ( t ) = f g ( ，s ) y ( s ) d s - 7 矽( t ) ， 0 ，1 】， 其中g ( t ，s ) 和矽( t ) 如引理所示 引理3 2 2 对任意的( ，8 ) 0 ，1 】 0 ，1 】，则有 o 掣纠l 叫， 证明：见第二章引理2 2 2 的证明 引理3 2 3 对任意的t 0 ，1 】，则有 g s ) 0 ，使得假定下述 条件满足： ( 日1 ) f ( t ，u l ，v 1 ) f ( t ，u 2 ，v 2 ) a ，0 t 1 ，0 u 1 u 2 a ，0 u l 钉2 n ； ( 凰) 一；g ( z 2 ) g ( z 1 ) ，0 z 1 z 2 a 则边值问题( 3 1 ) 存在单调正解 证明：记e = c 1 0 ，1 1 ，定义其r f l 的范数为 1 u l l a x 令 k = u e ：u ( t ) 0 ，u 7 ( t ) 0 ，t ( 0 ，i i 则k 为b a n a c h e 中的正规锥在b a n a c h 守问e 巾诱导一个序关系毛，定义u 毛口当且 仅当u u k 我们定义算子t ：k _ e 如下： ，i l ( t u ) ( t ) = g ( t ，s ) ，( s ，u ( s ) ，u ) ) d s g ( u ( 1 ) ) 砂( t ) ，t 0 ，1 ， 则 ( t = z 1 掣饰川s m ，( s ) ) d s - g 1 ) ) 叭吼蚓0 j 1 】， 结合( a 1 ) ，( a 2 ) ，引理3 2 2 和引理3 2 3 暗含了r ：k _ k 显然，丁的1 i 动点即为边 值问题( 3 1 ) 的单调非负解 令v 0 ( t ) 兰0 ，w 0 ( t ) = n ( 2 t t 2 ) 2 ，t 0 ，1 】首先，我们很容易通过运 用a r z e i a - a s c o l i 证明t ：i v 0 ，w o j _ k 是全连续的接卜来，将分下面的步骤证明 我们的定理： 第一步：证明丁在v o ，w o 】上是单调递增的 假设“， u o ，w o l j x u v ，n o u ( t ) 秒( t ) a r 0 i t 7 ( t ) u 7 ( t ) a ，t 【0 ，1 】，于是，由( 1 ) 和( h 2 ) 可知 ( t u ) ( t ) = 1 7 曲 西 ” ” q q 扣 9 g 一 一 如 如 砖 曲 v 盯 、j、j s s j， ” 西 m ，-k，fl ，j s s g g z ， 两类弹性梁方程边值问题单渊j l 解的存存性 且 = ( t v ) ( t ) ，t 0 ，1 】 ( t = z 1 掣仲，u ( 札州圳d s - 咖( 1 ) m 1 o g i 万( f t , 堕，( s ，u ( s ) ， 7 ( s ) ) d s 一夕( ( 1 ) ) 7 ( t ) = ( t v ) 7 ( t ) ，t 0 ，1 】， u p t u t ，这表明t 在 口o ，w o 】上是单调递增的 第二步：证明咖是t 的下解 对任意的t 0 ，l j ，有， ，1 1 ( t v o ) ( t ) = g ( t ，s ) f ( s ，0 ，0 ) d s g ( 0 ) 咖( t ) 0 = v o ( t ) 且 ( t v o ) m ) = 0 1 掣帅 o 。) d s - g ( 0 ) 。刊， e p v o t v o ，这就意味着u o 是丁的下解 第三步：证明w o 足t 的上解 根据引理3 2 2 ，引理3 2 3 ，( h 1 ) 和( 凰) 可知， r 1 ( t w o ) ( t ) = g ( t ，s ) f ( s ，w o ( s ) ，w ：( s ) ) d s g ( w o ( 1 ) ) ( t ) 字弘b 州m 舯s + 警 竺堕= 璺+ 坐尘璺 一 44 = w o ( t ) ，t 0 ，l 】 且 ( t w o ) ) = 1 掣作，硼0 ( s 加搀) ) d s - g ( 叫0 ( 1 m 幻 ( 1 - t ) ：0 1s 帅黜( s ) ，叫搀) ) d s + 掣 0 0 ( t v o ) ( t ) ( t v ) ( t ) = v ( t ) w ( t ) ，t ( 0 ，1 】， 这表明u 和w 是边值问题( 3 1 ) 的正解 和 3 4实例 | ，“( 4 ( t ) = 去u ( ) 十i ( i + t ) ( u 7 ( ) ) 2 + 1 ，t ( o ，1 ) ， 【“，( 1 ) = o ，u 删( 1 ) = 一夏1 ( ( 1 ) ) 2 我们设 f ( t ，u , v ) = 去u + 而1 ( 1 + ) v 2 + 1 ，( 铀， ) o ，1 j 0 ，+ ) 0 1 + 。) 夕( u ) = 一五1 “2 ，u o ，+ o 。) 鹏类弹性梁方程边值问题单调i l i 解的存存件 选取n = 2 时，则定理3 3 1 的所有假设均满足根据定理3 3 1n - - i l l ，边值问 题( 3 3 ) 存在单调正解u 和叫 此外，迭代方案为 v o ( t ) 三0 ，t 0 ，1 】， 硕+ 学化论文 4 7 2 9 1 。- 1 2 3 8 6 3 0 4 0 0 1 6 1 + 西两丽 一丽i 1 3 6 0 0 0 t 1 6 + 丽1 1 6 8 0 0 0 t 1 7 -2 3 0 0 3 1 3 6 0 0 02 1 0 5 6 7 1 6 8 0 0 0 2 1 结论 边值问题是非线性微分方程理论研究中一个活跃而具有重要现实意义的领域 事实上，对于四阶微分方程边值问题，近年来已有不少的研究成果，但是在许多方 面还有待于发展，尤其是四阶两点边值问题单调正解的计算方法需要更进一步完善 为此，本文对两类非线性四阶微分力程两点边值问题做了一些探讨，并获得了一些 研究成果 本文第二章讨论了一类弹性梁方程边值问题，利用单调迭代法获得了其单调正 解的存在性，还给出了相关单调正解的迭代序列，并且迭代序列的初值是很简单的 零函数，这砦性质是一般的不动点定理和其它一些判定边值问题单调正解的工具所 不能得到的 在第三章中，我们研究了带非线性边界条件的弹性梁方程边值问题通过运用 迭代法，我们不仪得到其单调正解的存在性，而且给出了单调正解的两个迭代序列， 同样地，达代序列的初值依然是很简单的零函数或二次函数这从计算的角度来说 是非常有用和町行的 由于高阶微分方程多点边值问题在应用数学和物理学等许多不同的领域有非 常重要的应用，因此有越来越多的人热衷于研究高阶微分方程多点边值问题尽管 已经得到了若干研究成果，但仍有很多研究方向值得我们继续去探讨今后，我们 将利用迭代法的最新成果来研究高阶微分方程多点边值问题正解或单调正解的存 在性及多解性 2 2 参考文献 【1 】a n d e r s o nd ，a v e r yri m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n st oat h i r d o r d e rd i s c r e t ef o c a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m c o m p u t m a t h a p p l ，2 0 0 1 ，4 2 ：3 3 3 - 3 4 0 【2 】d j e b a l is ，m e b a r k ik m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rs i n g u l a rb v p so nt h ep o s i t i v e h a l f - l i n e c o m p u t m a t h a p p l ，2 0 0 8 ，5 5 ：2 9 4 0 2 9 5 2 【3 3 h e n d e r s o nj ，t h o m p s o nhb m u l t i p l es y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n sf o ras e c o n d o r d e r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m p r o c a m e r m a t h ，s o c ，2 0 0 0 ，1 2 8 ：2 3 7 3 - 2 3 7 9 【4 】l i uw ，l i ul w uy p o s i t i v es 0 1 u t i o n so fas i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o r s y s t e m so fs e c o n d o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a p p l m a t h c o m p u t ，2 0 0 9 ，2 0 8 ：5 1 1 5 1 9 【5 】z h o uy ，x uy p o s i t i v es o l u t i o n so ft h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs y s t e m s o fn o n l i n e a rs e c o n do r d e ro r d i a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l ，2 0 0 6 ， 3 2 0 ：5 7 8 5 9 0 【6 】s u nb ，g ew s u c c e s s i v ei t e r a t i o na n dp o s i t i v ep s e u d o - s y m m e t r i cs o l u t i o n sf o ra t h r e e p o i n ts e c o n d o r d e rp - l a p l a c i a nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a p p l m a t h c o r n - p u t ，2 0 0 7 ，1 8 8 ：1 7 7 2 1 7 7 9 【7 】m ar e x i s t e n c et h e o r e m sf o ras e c o n do r d e rm p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 7 ，2 11 ：5 4 5 5 5 5 1 8 】s u njp ，r e nqy ，z h a oyh t h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nm e t h o df o rn o n l i n e a r t h i r d o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m e l e c t r o n i cj o u r n a lo fq u a l i t a t i v e t h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 0 1 0 ，2 6 ：1 - 8 【9 】g u olj ，s u nj 只z h a oy h e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rt h i r d o r d e r t h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s n o n l i n e a ra n a l ，2 0 0 8 ，6 8 ：3 1 5 1 3 1 5 8 【1 0 】 s u njp ，g u olj ，p e n gjg m u l t i p l en o n d e c r e a s i n gp o s i t i v es o l u t i o n sf o ras i n - g u l a rt h i r d o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m c o m m u n i c a t i o