（运筹学与控制论专业论文）时滞系统的滑动模态变结构控制.pdf

中文摘要 变结构控制，在上世纪5 0 年代就有了相当的研究。它的一个突出优 点表现在对动力学变化，参数变化以及外干扰的摄动，可以具有较强的 鲁棒性。滑动模相轨迹限制在维数低于原系统的子空间内，描述其运动 的微分方程的阶数亦相对降低，当系统具有不确定性匹配或干扰匹配等 等这样一些条件时，滑动模对于干扰或参数的变化具有不变性。变结构 控制所呈现的这些特性，引起了控制界学者们的高度重视，学者们已在 多变量线性系统及非线性系统变结构控制问题的研究中取得了丰硕的成 果。对于时滞系统的变结构的研究，虽然已有一些工作，但进展很缓慢， 并且处于初创阶段，尤其是在多变时滞系统、控制存在多个时滞的系统、 时滞中立型系统等方面的变结构控制的研究少之又少。 本文主要讨论了时滞系统的变结构控制问题。具体的系统为线性不 确定多变时滞系统、控制存在多个时滞的不确定系统、时滞中立型系统、 具有非线性扰动的中立型系统。主要工具有l y a p u n o v 泛函方法、 r a z u m i k h i n 稳定原理、s c h u r 补引理以及线性矩阵不等式( t m l ) 等。在 研究线性不确定多缓变时滞系统变结构控制时，本文通过变换，借助于 s c h u r 补引理以及利用l y a p u n o v 泛函方法，利用趋近率，设计了简单而 易于实现的变结构控制器。研究控制存在多个时滞的不确定系统的变结 构控制问题时，考虑不确定项及多个时滞的影响，通过变换间接地得到 了要研究系统的变结构控制，并且证明了在该控制作用下，系统在有限 时间到达切换面及滑动模态渐近稳定。讨论时滞中立型系统的变结构控 制时，利用趋近率得到了相应的控制，借助线性矩阵不等式给出了滑模 渐近稳定的充分条件。最后针对具有非线性扰动的中立型系统，利用变 结构控制及时滞系统的一般结论选择切换函数，在非线性扰动的情形下， 构造了变结构控制率，通过引进合理的l y a p u n o v 函数证明了滑模渐近稳 定，同时验证了满足到达条件。 关键词：多时滞系统，不确定性，中立型，非线性扰动，变结构控制 a b s t r a c t v a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o lh a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e d s i n c e1 9 5 0 r o b u s t n e s so nt h ec h a n g e so fd y n a m i c sa n dp a r a m e t e r s ，a n dd i s t u r b a n c e p e r t u r b a t i o ni s i t sp r e d o m i n a n tf e a t u r e s i ft h ep h a s et r a j e c t o r yo fs l i d i n g m o d ei sl i m i t e dt oas u b s p a c el o w e rt h a no r i g i n a ls y s t e m s ，t h e nt h eo r d e ro f t h ec o r r e s p o n d i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa l s od e s c e n d s w h e nt h es y s t e mh a s s o m ec o n d i t i o n ss u c ha sm a t c h e so fu n c e r t a i n t yo ri n t e r f e r e n c e ，t h e r ee x i s t i n v a r i a n c en a t u r eo fs l i d i n gm o d eo nt h ei n t e r f e r e n c eo rt h ec h a n g e so f p a r a m e t e r s t h e s ec h a r a c t e r i s t i c so fv a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o l h a v eg a i n e d i n c r e a s i n ga t t e n t i o nf r o mt h ef i e l do fc o n t r 0 1 a n dt h ep r o b l e mo fv a r i a b l e s t r u c t u r ec o n t r o lo fm u l t i v a r i a b l el i n e a rs y s t e m sa n dn o n l i n e a rs y s t e m sh a s b e e nw i d e l ys t u d i e da n dm a n yo u t s t a n d i n gr e s u l t sh a v eb e e n o b t a i n e d a l t h o u g hs o m ei n v e s t i g a t i o n sh a v eb e e ng o tf o rv a r i a b l es t r u c t u r eo f t h ed e l a y s y s t e m s ，i t sd e v e l o p m e n ti sr a t h e rs l o wa n di t sd e v e l o p m e n t i si ni n i t i a ls t a g e ， e s p e c i a l l yf o rt h em u l t i v a r i a b l ed e l a ys y s t e m s ，t h es y s t e m sw i t hm u l t i - d e l a y c o n t r o l l e r sa n dt h en e u t r a ls y s t e m sw i t hd e l a y s b a s e do nl y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d ，s t a b i l i t yt h e o r yo fr a z u m i k h i n ， l e ；n ao fs c h u ra n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i ) ，t h ep r o b l e mo fv a r i a b l e s t r u c t u r ec o n t r o lw a ss t u d i e df o rt h eu n c e r t a i nl i n e a rs y s t e mw i t hm u l t i p l e d e l a y s ，t h es y s t e m w i t hm u l t i - d e l a yc o n t r o l l e r s ，t h en e u t r a ls y s t e mw i t hd e l a y s ， a n dt h en e u t r a ls y s t e mw i t hn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o ni nt h i sp a p e r w h e nw e c o n s i d e r e dt h eu n c e r t a i nw i t hc h a n g e sm u l t i - d e l a ys y s t e m s ，as i m p l ea n d e a s i l yr e a l i z e dv a r i a b l e s t r u c t u r ec o n t r o l l e rw a sd e s i g n e d b yi n t r o d u c i n g t r a n s f o r m a t i o na n du t i l i z i n gs c h u rc o m p l e m e n t ，l y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d a n dt e n d e n c yl a w w h e ni n v e s t i g a t i n gv a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o lo fu n c e r t a i n s y s t e m sw i t hm u l t i p l ed e l a y s ，w ei n d i r e c t l yg o tv a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o lo f t h es y s t e m sb yc o n s i d e r i n gt h ee f f e c t so ft h eu n c e r t a i nt e r m sa n dt h em u l t i p l e d e l a y s f u r t h e r m o r e ，i tw a sp r o v e dt h a tt h es y s t e mc a r lg e tt a n g e n tp l a n ea n d a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fs l i d i n gm o d ei naf i n i t et i m eu n d e rt h i sc o n t r 0 1 b y u s i n gt h et e n d e n c yl a w , t h ec o r r e s p o n d i n gc o n t r o lf o rt h en e u t r a ls y s t e m sw i t h d e l a y sw a sg i v e n a n dt h e n ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ra s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f s l i d i n gm o d e w a sd e s c r i b e di nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y f i n a l l y , b a s e d o nv a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o la n dt h eg e n e r a lt h e o r yo ft h ed e l a ys y s t e m s ，w e c h o s e nt h es w i t c h i n gf u n c t i o nt oc o n s t r u c tt h el a wo fv a r i a b l es t r u c t u r e c o n t r o lw h e nt h es y s t e mw a ss u b j e c t e dt on o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n a tt h es a m e t i m e ，t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fs l i d i n gm o d ew a sp r o v e db yc o n s t r u c t i n g r e a s o n a b l el y a p u n o vf u n c t i o na n ds h o w nt h er e a c h i n gc o n d i t i o n s k e yw o r d s ：m u l t i d e l a ys y s t e m s ，u n c e r t a i n t y ，n e u t r a l ，n o n l i n e a r d i s t u r b a n c e ，v a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o l 内敛古帅范人学坝i 。学位论义 第一章绪论 ( 一) 时滞系统变结构控制的发展概况 变结构控制是前苏联学者e m e l y a n o v ，u t k i n 和i t k i n 在2 0 世纪6 0 年代提出的 一种设计方法川2 】。当初研究的主要是二阶和单输入高阶系统，并用相平面法来分 析系统特性。进入7 0 年代，则丌始研究状态空间线性系统，使得变结构控制系统的 设计思想得到了不断丰富，也提出了多种变结构设计方法【4 1 。而到了8 0 年代，变结 构控制理论引起我国学者的重视，此时，该理论基础已趋于完整，但变结构控制策略 真正为国际控制界重视是在8 0 年代后期鲁棒控制问题成为关注焦点以后。这是由于 在变结构控制中滑模面和滑动运动特性是按要求设计的，对系统的参数变化以及外部 扰动极不敏感，从而系统具有很强的鲁棒性b 】。 在许多实际控制系统中，不可避免存在时滞特性，如物料传输、测量、有限的信 息处理速度等都会产生时滞。时滞的特性不仅使系统控制品质变差，而且可能导致系 统不稳定。而变结构控制的一个突出优点就是滑动模念可以具有对系统摄动，不确 定性以及干扰的“完全自适应性”f 6 1 。所以研究时滞系统的变结构控制是有意义的。 关于时滞系统的变结构控制研究有了一定的初步研究成果，如文献 7 、 8 、 9 、 1 0 。文献 1 0 2 中考虑的系统为 i ( r ) = a 。x ( t ) + a x ( t h ) + b u ( t ) ， 通过变换构造了切换函数 s = 疋x ( f ) 一【何7 ( 口) 】正工( f + p ) ， 此切换流形是c ( 卜h ，o 】，r ”) 中的子流形，因此指出传统的切换函数在时滞系统中应 当是一个切换泛函，给出了系统谱能控条件下具有稳定滑动模念的切换函数的方法， 并利用趋近律设计了相应的变结构控制器如下 时滞系统的滑动模态变结构抻制 “( f ) = 一耻一。x ( f ) + 一。x ( f - ) + l 【研7 ( 口) 4 。工( h 口) + a j x ( t 一 + o ) 1 一占，s 0 ， 一瓦【爿。z ( r ) + 一。z ( ，一向) + ，【d 彳7 ( 口) 】正【爿。z ( f + 回 + a x ( t 一厅+ 口) 】+ 占， s o 一疋【彳。x ( f ) + 4 1 工。一f ) + a 2 i ( t f ) 】+ d 彳7 ( 护) 】i 【4 。x ( f + 口) + a 。x ( t h + 口) + 4 2 l ( f r + 日) 】+ s ， s 0 一侧) 将趋近于s ( x ) = 0 表示的切换面，而且于有限时间到达切 换面。 换句话说，初始条件为( f 。，x 。) 的式( 2 ) 的解 工+ ( f ) = x + ( r ，x o ，t o ) ，s ( x o ) 0 当f 从，0 增大时满足 s ( x + ( ，) ) 0 且存在正数f ，使得当，= r 时 s ( x + ( f ) ) = 0 类似地，对于 膏= f ( x ，u ( x ) ，r ) 的解 x - ( f ) = x - ( f ，x o ，t o ) ，s ( x o ) 0 有 s ( x 一( ，) ) 0 惦，一q l ：鲮- ：i 蜘* o f q 。 0 1 q ：一q ：q i l q ，： 0 。 0 堕茎直业垫占堂堡! ：兰丝丝苎一 第三章两类多时滞系统的变结构控制 ( 一) 线性不确定多缓变时滞系统变结构控制 本节研究了一类线性不确定多缓变时滞系统的变结构控制，设计了相应的变结构 控制器。 1 系统描述 考虑下面的含有多个变时滞的线性不确定系统： m x ( f ) = 4 x ( f ) + f l , a 。x ( t f ( f ) ) + b “( f ) x ( t ) = p o ) ，一h s t 蔓0 ( 5 ) 其中，x ( f ) r 一为状态变量；a r “4 ( t = 0 ，1 ，州) 是常矩阵；b r ”为常输入 矩阵；( r ) r 7 为输入向量：对于给定的几， 0 ，屈卜屈w ，儿】( 露= 1 ，2 ， 聊) ，为不确定时不变参数，“( ，) r r + ，( t = 1 ，2 ，所) 可导，并且o “( ，) s f w ， 0 蔓r ：( ，) 。f r + ，伊( f ) r “是任意已知连续状态函数向量，h = m a x i z k m ，k = ， 1 , 2 ，m ) 假定b 为列满秩；即有：r a n k ( b ) = ， 月。另外记成= 1 ，f o ( f ) = 0 。 2 变结构控制器设计 选取切换函数为 s ( r ) = c x ( t ) ，c = b r p ，0 0 ，= 1 ，2 ；i = l 一2 ，坍) 。 将( 7 ) 式代入( 5 ) ，可得到系统( 5 ) 的滑模方程为 ( 7 ) ( 8 ) x ( f ) = ( ，一曰( ) 一。c 1 4 0 z ( f ) + 芝k = l 反( ，一b ( ) 一1 c ) 4 。x ( 卜。( f ) ) ( 9 )、j ， 。s f z l = 0 下面给出滑动模态渐近稳定的一个充分条件 定理1 ：若存在矩阵0 p = p 7 r “”，0 o( 1 0 ) 矿( x ( f ) ) k = 2 x r ( f ) p x ( f ) + 芝几每7 ( ，) 瞅( f ) 一工7 ( 1 - t k ( f ) ) w x ( t - r k ( f ) ) 【l _ r 】 = 2 x 7 ( f ) p 【( ，一b ( c b ) c ) a 。x ( t ) + f l k ( i b ( c b ) c ) a x ( t f i ( ，) 】+ 内敛古师i 乜人学颀i - 学位论文 艺卢ox t ( f ) 限( f ) - x r ( t - - r k ( f ) ) 吼( f - - t k ( ，) ) + r 7 ( 1 - - k ( ，) ) 耽( f 一。( f ) ) f ：( 硝 k l 由引理1 进一步得到 y 伽) ) b x 7 ( 咖( 吼) + ( 眦) r p + 兰鼬j p 刚。w ( t 2 a + ) ，尸 + 窆鼬z 7 ( t - l k ( f ) ) 阮( t - r k ( r ) ) + 艺几扛，( f ) 脓( f ) 一 l ，1 = l x r o f 。o ) ) 耽。一f 。( f ) ) + 工7 ( f f 。o ) ) f f _ ( f 一 g k o ) ) f ：o ) 当愀f 一靠( f ) 州，忉( f ) 忆时，由引理2 ，上式进一步得 矿( x ( f ) ) i ( ，) x 7 ( f ) 【j d ( q 如) + ( q 爿。) 7 ，+ y 鼬e c u 。w 一1 ( q 4 ) 7 p + i = l f l 。w ( 1 + f w ) 】x ( f ) k - l 由引理3 知：当( 1 0 ) 式成立时 j m e ( c z a 。) + ( q ) j 尸+ p 倒 形。( 呲) 7 p + 鼬( 1 + f 。) 】 0 i ；l。l 成立因此，当f f 砸一f i ( ，) ) 札s8 z p ) 鼽时：有 矿( x ( ，) ) k o ， 由pa 3y mhxn h 条件下j i ny hob 方法划可得：当( 1 0 ) 式成立时，滑模方程( 9 ) 是渐近稳定的。 3 检验到达条件 下面检验系统( 5 ) 在控制( 8 ) 作用下满足到达条件。 因为 ， s r ( ，梦( f ) = s 7 ( ，) = s r c b ( u - u 。) = s 7 k i s - s 7 k 2s g n ( s ) - z ( 七h 霹+ 蠡2 ，j ，s g n ( ) ) 0 时滞系统的滑动模恋变结构拧制 其中s 罕( _ ，j ，) 7 ，s ，e r ，i = 1 , 2 ，。 所以系统( 5 ) 在控制( 8 ) 作用下满足到达条件s r ( ，) s ( ，) 0 。 4 小结 本节通过变换，借助于s c b u r 补引理以及pa 3y mm x h h 条件下的, i 月r l y h0 8 方法，研究了线性不确定多缓变时滞系统变结构控制，设计了简单而易于实现的变结 构控制器。 ( 二) 控制存在多个时滞的不确定系统变结构控制 下面研究控制存在多个时滞的不确定系统的变结构控制问题，考虑不确定项及多 个时滞的影响，通过变换且j 接地得到了要研究系统的变结构控制，并且证明了在该控 制作用下，系统在有限时间到达切换面及滑动模态渐近稳定。 1 系统描述 考虑如下系统： 5 c ( t ) = 血( ，) + b “( f ) 十b ，u ( t f ，) + ，( 工，f ) 。(11) 其中x ( f ) r ”，”( ) 月”，a ，口，e ( f _ 1 , 2 ，九) 是具有相应维数的常数矩阵，f ， r ( f = 1 ，2 ，打) ，i 甸量f ( x ，r ) r ”表示总的不确定性，其限制为 假设1 ；f ( x ，o l t - 卢，其中声为可知的常数。 2 变结构控制器设计 做如下变换 3 7 j 砸一( f ) + 喜。钟 引即( 州盯 对上式两端关于，求导得： 4 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 内蒙古师范大学硕上学位论文 砸) = 即) + 喜一。e a ( t - r , - 口) e 甜( 盯) d 盯+ 喜e “。且) 一喜e 砸一 ( 1 4 ) 将( 1 1 ) 、( 1 3 ) 式代入( 1 4 ) 式得： 2 ( f ) = 出( f ) + 舰( f ) + 喜e ( ，一f ，) + 厂( 州) + 喜一。e a c t - r l - f ) a l “( 盯) 如+ p “e “( f ) - e b ，u ( t - r , ) j ( f ) = a z ( t ) + b u ( t ) + f ( x ，t ) ( 1 5 ) n 其中百= b + p “。e 。( 1 5 ) 式代表一个无时滞的系统。 假设2 ：系统( 1 5 ) 完全可控，百为列满秩，即r a n k ( b ) = m 0 和0 a i 为两个可调参数。 把( 1 5 ) 、( 1 6 ) 式代入( 1 7 ) 式并整理后得： ( 1 7 ) ( ，) = - c 两一1 阻( o + k l l s u 4s g n ( s ) + 巧k f ) 】 ( 1 8 ) 因为( 1 8 ) 式中f ( x ，r ) 是未知的且不确定的，因此( 1 8 ) 式无法实现，但它揭示了控 制律应与不确定因素有关，所以仿照( 1 8 ) 式可构造能实现的控制律： “( ，) = ( i 圃。b _ z ( f ) + k i t s l l 4s g n ( s ) + c 8 f x f fs g n ( s ) 】 ( 1 9 ) 下面检验到达条件 定理2 ：不确定系统( 1 5 ) 在控制律( 1 9 ) 作用下，能在有限时间内到达切换面， 即到达条件满足。 证明：由( 1 5 ) 、( 1 6 ) 、( 1 9 ) 式及假设1 可得： s t s 【l ”= s 7 c e ( t ) = s 7 c a z ( t ) + c b u ( t ) + c f ( x , t ) 时滞系统的滑动模态变结构柠制 = 脚z ( f ) + ( 晒) 【- ( 砸) 一( c a z ( r ) + j i 4s g n ( s ) + 即i s g n ( s ) 】 + c f ( x ，f ) = 一k l l s l l 。s 7s g n ( s ) 一p l l c l l1 1 4 s 7s g n ( s ) + s 7 c f ( x ，f ) 一k l l s l l s 踺蜓s ) 一即懈! i s 7 s g f l ( s ) + 邪c 懈8 = - k l l s l 。l i s 7 一p l l c l l l l z r i l l s 70 + p l l s 7 i i i i c l l l l x 0 = - k l l s l l 4 别f 0 且是下 p ( a l i - a 1 2 f ) + ( 4 l - a 1 2 f ) 7 p = - 0 ，( 口= 0 7 o ) ( 3 1 ) 则系统的滑动模态( 2 7 ) 式是渐近稳定的。如果系统的不确定项f ( x ，f ) 满足匹配条件， 滑动模态具有不变性，此时c 不受( 3 0 ) 式约束。 证明：取l y a p u n o v 函数： 矿( x ) = 工7 p x 沿( 2 7 ) 式的解求导有： 旷( w i ) = 2 w i p _ l ；，l = 2 w i j p ( 一1 l a i2 ，) w l + 2 w p t i f ( x ，f ) = w i 【p ( 4 i a 1 2 f ) + ( 一f l a i z ，) 7 p h + 2 w r le t i f ( x ，f ) 1 ，t - r ，盯，) 成立，则存在 h ( 】q r w , ( f ) 】 ( 3 6 ) 其中，= 把( 3 6 ) 式代入( 3 5 ) 式得： 歹l l w , 8 ( 3 7 ) 其中声= 州二嘲y 陋。“m a 。x l e9 啼小 将( 3 7 ) 式代入( 3 2 ) 式有： 矿( m ) s 一吖跳+ 2 碉阿渺i l 【( 口) + 2 厢m 妒0 l l w 4 2 于是得到滑动模态渐近稳定的充分条件： 廖 揣 即 1 9 互压 时滞系统的滑动模态变结构拧制 咿1e - i l i a + 啡研溉 哺】 o j = 1 , 2 ，r n ) ，占 0 由( 4 4 ) 、( 4 5 ) 、( 4 6 ) 式可得变结构控制为： ) ) ) “ 诣 矩 ( ( ( 内蒙古师范大学硕l 学位论文 “o ) = “。( f ) 一( c 日) 一1 ( k s ( t ) + e s g n ( s ) ) ( 4 7 ) 将( 4 5 ) 式代入( 4 2 ) 式可得滑动模态运动微分方程为： d 9 卜a i x ( t - r ) ( 4 8 ) 【s ( t ) = 0 。 这里d ( t ，) = x ( t ) - a 2 f x ( t - r ) ，a 2 i = i f b ( c b ) 一c a 2 ，a o l = i t 一8 ( c 8 ) 一c l a ， 1 , l = 1 - b ( c b ) 一c a i 。 定理1 ：如果 1 ) 她川 1 a 2 ) 存在半正定矩阵矗，正定矩阵尸，m o ，q 满足 m o = 露p a j l + a i p a 2 l + 且 ( 4 9 ) p a o 】+ 4 磊p + r + ( p a 一4 二p a 2 - ) m i ( e a i i 一五p a 2 f ) 7 + g = 0 ( 5 0 ) 则时滞中立型线性系统( 4 8 ) 渐近稳定。 证明：要讨论系统( 4 8 ) 的稳定性，首先必须使差分算子 d ( t ，一) = x o ) 一a 2 l x ( t r ) 在零点稳定，而1 ) 恰恰保证了差分算子d ( ，) 在零点一致稳定i 。 引进l y a p u n o v 函数： v l ( t ，一) = d 7 ( r ，x , ) p d ( t ，) + ，x 7 ( e ) r x ( o ) d e 并沿系统( 4 8 ) 的解关于t 求导得： 吒( r ，) l ( 4 s 】= d 7 ( r ，x , ) e d ( t ，z ，) + d r ( f ，) p d ( t ，一) + j 7 ( ，) 冗x ( f ) 一工7 ( f r ) e x ( t f ) = 【a o l x ( f ) + j 4 l i z ( f f ) rp 【工( f ) 一a 2 l x ( t f ) 】+ 【工o ) 一a 2 i x ( t f ) 】7 p 【厶l x ( o + a l l x ( t f ) 】+ x t ( t ) r x ( t ) - x 7 ( t - r ) r x ( t - r ) = 工7 0 ) 【p 厶l + “五p 十r l x ( t ) + 2 x 7 ( f ) ( p l 一爿二p a 2 1 ) x o f ) 一 x t ( f - r ) ( a ；, e a l l + 4 j p _ 2 i + g ) x c t - r ) ( 5 1 ) 时滞系统的滑动模态变结构拧制 由引理1 可得： 2 x 7 ( o ( p a l l 一4 磊尸4j ) 工( f f ) = ( 爿j p 一彳五j p ! 凡) x ( f ) 】7x ( t f ) + i t ( ，一f ) 【( 爿j p 一彳二尸4 。) 石0 ) 】 x t ( t - r ) m o x ( t - r ) + 工7 0 ) ( j p _ ，4 l l a j , p a 2 】) f i 。( a ：i p 一爿丢尸_ ，哇。1 ) x ( r ) 与( 4 9 ) 式一并代入( 5 1 ) 式，其中注意( 5 0 ) 式，则 砖( f ，z ，) l ( 3 ) s i t ( t ) e a o l + a r l p + r + ( 朋l l 一名p a 2 1 ) m 0 1 ( j d _ 一l l 一一互p h 2 1 ) 7 i x ( t ) = 一x7 ( f ) q x ( t ) 0 因此时滞中立型线性系统( 4 8 ) 渐近稳定。( 证毕) 由s c h u r 引理及定理1 可得如下推论 推论l ：如果 1 ) 。l i 1 2 ) 存在半正定矩阵尺，正定矩阵尸满足 乞+ e a o l + r，“：一朋2 ，l 0 ，i = 1 , 2 ，埘) ，f 0 。 由( 5 4 ) 、( 5 5 ) 、( 5 6 ) 式可得变结构控制为： 群( f ) = 材。( f ) 一( c b ) 。( k s ( t ) + e s g n ( s ) ) 将( 5 5 ) 式代入( 5 2 ) 式可得滑动模态运动微分方程为： 胁叫。加) + 靴川_ ) 【s ( ，) = 0 ( 5 3 ) ) ) ) ) ) 矾 弱 弱 盯 鼹 ( ( ( ( ( 时滞系统的滑动模态变结构抻制 这里 d ( f ，) = 工( ，) 一b j ，x ( t f ，) ，b i = 【卜曰( c 丑) c l b , ， a o l = i - b ( c b ) c 1 4 ，a l ，= 【，一8 ( c b ) c a ，。 假设q ：慨i j 1 j | i 注：假设日是为了保证算子d ：c 卜f ，0 】_ 尺“是稳定的，这时对任给定的初始条 件下，系统( 5 8 ) 在t 0 上都有连续的解存在 4 2 1 ，显然系统( 5 8 ) 总有零解。 定理2 ：假设h ，成立，且存在正定矩阵p 、r ，使得 r 0 ：r o 。 r l ：r l 。 k r 2 。 吃吒屹l 0( 5 9 ) 其中f = 爿二j p + p a o l + r ；r ，= 一( 爿i t ，p b ，+ b ( , p a l + 月) ，( f = 1 , 2 ，肝) ；r 0 ，= 一 ( a r p b t ，+ p a l ) ，( f = l ，2 ，n ) ；l = ( 一j p 口l j + b 1 t p a l ) ，( f ，= 1 ，2 ，竹：i ) 。 则时滞中立型线性系统( 5 8 ) 渐近稳定。 证明：引进l y a p u n o v 函数： v 2 ( ) - d r ( ， 跳 ) + 喜f - 。x 7 ( 帆( 州目 并沿系统( 5 8 ) 的解关于f 求导得： 嘶砒s s ) 2 b 7 ( t , x i ) 肋( t , x 1 ) + d 7 ( t , x i ) 肋( + 善咖愀) - x r ( ，一f ) 血( f f ，) 】 月n = 【以x ( t ) + z a ，x ( t - - r ，) 】7 h 工( ，) 一e ，x ( t 一) 】+ f = i，- i 内鼗古师范人学硕i ：学位论文 x ( o - b i ，x ( t - - ，) 】7 研如x ( f ) + 一，x ( t - r 。) 】十 工7 ( ，) 麒f ) 一z ( t - r ) r x ( t - r ) = x t ( t ) p a o i + a r p + r x ( t ) 一工7 ( ，) 鬣尸e ，x ( t - r , ) - 由条件( 5 9 ) 可得 e x 7 ( t - z 。) b ：e a 。x ( f ) + 工7 ( f 一一) a r p x ( t ) + 月n月 膏7 ( f ) p a 。，x ( t f ) 一( j 7 ( 卜f i ) 爿：妒( b ，即一f ，) ) 一 ( 工7 ( t - - t ) 磁) p ( e a x ( t - v ，) ) + 工7 ( f 一0 ) r x ( t - r ，) 工( f ) f f i ) x ( t l ) r 0 - r l i 矗 磁吒屹 吃(