（应用数学专业论文）若干分布参数系统正反问题的研究.pdf

摘要 针对四类由偏微分方程( 组) 描述的分布参数系统，本文主要讨论偏微分方稃( 组) 解的定 性理论、参数辨识以及数值分析方法等问题。其中重点研究了一类分布参数系统模型解的 存在性唯一性和解在有限时间内的b l o w u p 性质，还系统讨论了有关模型精确行波解的新 解法、系统参数的可识别性以及千u 关模型新的数伯解法。本文取得的主要结果概拓如下： i 、研究了一类非线性s o b o l e v - g a l p e r n 型方程的初边值问题。首先借助特殊的g r e e n 函数将原方程等价变换成积分方程；然后利用压缩映象原理方法，证明了方程局部广义解 的存在唯一性；最后，借助于j e n s e n 不等式，证明了该问题在不同边值条件下解的b l o w u p 性质。 2 、分析了j a c o b i 椭圆函数展开法的求解过程，通过引入类函数变换，推广了j a c o b i 椭圆函数展开法，应用该方法求得了一类较广泛的非线性波动方程的精确椭圆周期解。该 方程包含物理学上许多著名的方程，如l s i n - g o r d o n 方程，4 方程，k l e i n g o n d o n 方程， l a n d a u - g i n z b u r g h i g g s 方程，以及非线性电报方程等。 3 、讨论了一类耦合分和参数系统的参数识别问题。把分布参数最优控制理论引入到 其有多个识别参数的三维种群生态系统的参数识别问题之巾，利用单调方法证明了正问题 解的存在唯一性和有界性，建立了相应参数识别问题的数学模型，给出了参数识别问题最 优解的存在性结论，证明了状态方程的解对识别参数的连续依赖性。 4 、研究了变系数对流占优s o b o l e v 方程有限元法的后验误差估计。利用得剑的后验误 差估讨结果来调整计算网格，给出了基于后验误差估计的自适应局部网格调整方法。 关键词：分布参数系统；j e n s e n 不等式；b l o w - u p ；j a c o b i 椭圆函数展开法；参数识别；可 识别性；后验误差 占计；有限元方法 a b s t r a c t d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m sa r eo f t e nd e s c r i b e db yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e s ) t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e sm a i n l yt h eq u a l i t a t i v et h e o r y , p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o na n dn u m e r i c a l m e t h o dp r o b l e m si np d e s t h e r e i nw ep l a c ee m p h a s i so nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n ，t h eb l o w u pi nt h ef i n i t et i m e so fs o l u t i o n ，t h en e we x a c tt r a v e l i n gs o l u t i o n so f e q u a t i o n s ，t h ei d e n t i f i a b i l i t yo ft h ei d e n t i f i c a t i o np r o b l e m s ，t h en e wn u m e r i c a lm e t h o d o f e q u a t i o n s t h em a i nr e s u l t s ，o b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o n ，m a yb es u m m a r i z e da sf o i l o w s ： 1 1 1 1 ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so ft h en o n l i n e a rs o b o l e v - g a | p e me q u a t i o n sa r e s t u d i e di nc h a p t e ro n e f i r s t l y , t h eo r i g i n a lp r o b l e mi st r a n s f o r m e di n t oa ne q u i v a l e n to p e r a t o r e q u a t i o nb yag r e e n + sf u n c t i o n s e c o n d l y , t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eg e n e r a l i z e dl o c a l s o l u t i o ni so b t a i n e du s i n gt h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e f i n a l l y , t h eb l o w u pp r o b l e m so f s o l u t i o n si nf i n i t et i m eu n d e rd i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ep r o v e dw i t ht h ea i do fj e n s e n s i n e q u a l i t y 2 i nc h a p t e rt w o ，u s i n gt h et r a v e l i n gf u n c t i o nt r a n s f o r m a t i o n ，t h ej a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n e x p a n s i o nm e t h o di si m p r o v e d s o m en e wp e r i o d i cs o l u t i o n so f ac l a s sn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n a r eo b t a i n e db yt h i sm e t h o d ，s e v e r a li m p o r t a n tn o n l i n e a re q u a t i o n so f m a t h e m a t i c a lp h y s i c ss u c h a ss i n e - g o r d o ne q u a t i o n ，庐4 e q u a t i o n ，k l e i n - g o r d o ne q u a t i o n ，l a n d a u - g i n z b u r g h i g g s e q u a t i o na n dn o n l i n e a rt e l e g r a p he q u a t i o na r et h es p e c i a lc a s e so ft h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n p r e s e n t e di nt h i sp a p e r 3 t h ei d e n t i f i c a t i o np r o b l e md e s c r i b e db yc o u p l e dd i s t r i b u t e ds y s t e mi s i n v e s t i g a t e di n c h a p t e rt h r e c t h et h e o r i e so f o p t i m a lc o n t r o lo f d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e ma r ei n 仃o d u c e dt o i n v e s t i g a t et h ep a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o np r o b l e mi n v o l v i n gt h et h r e ed i m e n s i o n a lp o p u l a t i o n s y s t e m t h ee x i s t e n c e ，t h eu n i q u e n e s sa n dt h eb o u n d n e s so ft h es o l u t i o no ft h es y s t e mo ft h e p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ep r o v e db yu s i n gt h em o n o t o n em e t h o d t h ee x i s t e n c eo ft h e p a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o np r o b l e m i se s t a b l i s h e d ，a n dt h ec o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo ft h es o l u t i o n s o f t h es t a t ee q u a t i o n so nt h ei d e n t i f i e dp a r m n e t e r si sp r e s e n t e d 4 ap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t eo ff i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rs o b o l e ve q u a t i o nw i t hv e r i a b l e c o e f f i c i e n ta n dc o n v e c t i o n d o m i n a t e dt e r mi sp r e s e n t e di nc h a p t e rf o u r , w h i c hc a nb eu s e dt o a d j u s ts p a c em e s h f i n a l l y , a na d a p t i v em e t h o dt oa d j u s tl o c a ls p a c em e s hb a s e do nt h ep o s t e r i o r i e s t i m a t ei sg i v e n k e yw o r d s ：d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m ； f i m c t i o ne x p a n s i o n ；p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n ； e l e m e n tm e t h o d j e n s e n s i n e q u a l i t y ；b l o w u p ；j a c o b ie l l i p t i c d e n t i f i a b i l i t y ；p o s t e r i o r i e l t o re s t i m a t e ；f i n i t e 独创性声明 所提交的学位论文是本人在导师指导卜j ! 行的研究工作及取得的研究成果。尽我所 知l ，除了文中标注和致谢的相关内容外，论文中不包含其他个人或集体已经公开的研究成 果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文题目： 羞j ! 岔壹叁熟丕统正厦回遨的婴宣 学位论文作者签名 一猫碳 日期：渺年月多彩日 学位论文版权使用授权书 本人完仝了解信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权信息，程大学 可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印什和电子文档，允许论文被查阅和借 阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采川影印、缩印或 扫描等复制手段保存、犷编学位论文。 ( 涉密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文趣月： 置王公血叁堑丕筮匹厦回题曲d i 究 学位论文作者签名 作老指导教帅签名 l i 卿j ：1 一衫句：，7 j 歹列 日期：加卵易年6 月彩日 信息1 。 7 大学硕l 节何论文 第一章非线性s o b o l e v - g a l p e r n 型方程解的b l o w u p 性质 1 1 引言 土壤中的湿气辽移方程( s o b o l e v g a l p e m 型) u x t x + 叩( j ，t ) u 。十d ( x ，) 虬+ d ( x ，) 珥+ b ( x ，t ) u = q ( x ，t ) 是类重要的伪抛物方榨”1 。属于非经典扩敞方程的，在某些怙况下也称为s o b o i e v 方程。 该类方程广泛出现在流 奉力学、热传导和渗流瑚论等领域( 参见文献【2 4 】) ；近来，基于伪 抛物方程的后向的适定性，该类方程还被作为一类热流密码体制的加密器( 参加文献【5 】及 其引文) 。因此，研究该类方程的定性理论和数值方法，具有极为重要的应用价值，从而引 起了国内外数学、物理，生物工程以及密码学等方面工作者的广泛关注。 1 9 7 2 年， p l d a v i s1 6 1 提h j 拼研究了如下非线性s o b o l e v g a l p e m 型方程的初边值问 题 i u t = 盯( “，) ，+ 砌d ， ”( 茗，0 ) = u 0 ( 并) ， i u ( 0 ，) = u ( 1 ，f ) = 0 ， 结合g r e e n 函数与压缩映象原理，得到了弱解的存在唯一性。文献 7 】研究了一类多维非线 性s o b o l e v g a l p e m 型力程的弱解问题。最近，文献【8 】研究了非线性的s o b o l e v g a l p e r n 型 方程 珥u 。，= a ( u ，) ； 的初边值问题，得到了整体解的存在唯一性以及解在有限时问内的b l o w - u p 性质，证明了 非线性函数盯( s ) 在盯( s ) c ( r ) ，盯( s ) 下方有界，即= 亍在一常数c o ，使d ( s ) c 0 ，j r 条 件下，该初边值问题存在唯一的整体广义解。 文献 9 】对文献 8 中的结果进行了改进，得到了当盯0 ) 不满足下方有界时该 q 题整体 解的不存在性，并证明了方程 缸，一口“n 一声“。= 厂( 群) 初边值问题整体解的不存在性，即解在有限利问内爆破。 本章我们考虑如下一类具有一般形式的非线性s o b o l e v g a l p e r n 型方程 “，一“。= ，( “) 。( 1 ) u ( x ，o ) = t 0 ( x ) ，0 x 1 ， ( 2 ) u ( 0 ，) = “( 1 ，f ) = 0 ，t 0 ( 3 ) 的初边值问题，其中f ( u ) 是一非线性函数，( x ) 为一给定的函数。 由于本章所讨论模型, t 1 7 5 端项为一般函数且为两阶导数形式，因此，一方面甬数f ( u ) 第1 页 信息l 稃大学硕七学竹论文 扛某些清况f ，可以转化为上述文献所讨论的模型；另力i “l ，山十结构的柏殊f j ：和复杂 性，使得我们若用传统的g a l e r k i n 分析方法，将会对函数f ( u ) 有更多的限制，需要寻找更 合适的分析方法。本章基于文献 6 ，l o 】的思想，结合g r e e n 函数和压缩映象原理来讨论该初 边值问题。本奄主雯结构如下：第1 ，2 节在对函数f ( u ) 更少的约束条件下，证明了初边值 问题( 1 h 3 ) 局部广义解的行在唯一性；在第1 3 币我们借助于j e n s e n 不等式证明了局部古 典解在有限时问内的b l o w ，u p 性质。 1 - 2 局部广义解的存在唯一性 本节利用g r e e n 函数将方程( 1 ) 表示成等价的积分方程，并用压缩映敦原理就任意的非 线性豳数f ( u ) ，证明了问题( 1 卜( 3 ) 局部广义解的存在唯一性。 设空问c 【o ，l 】的范数为陋o ) 1 1 m j j = m 。a 。x k ( z ) i ，又设g ( x ，孝) 是常微分方程边值i u 】题 y ( x ) 一y ”( x ) = f ，y ( o ) = y ( 1 ) = 0 的g r e e n 函数，即 i 去( p e 一1 ) 一1 ( p 一e 一) ( e 一一e 一1 ) ，0 x 孝， c ( x ，毒) = ( 4 ) l 去( p e 一1 ) 一( p 。- e - 5 ) ( e 1 一一p 。一1 ) ，善j 1 则o ( x ，亭) 满足如下性质： s l 理1 ( i ) g 0 ，舌) = g ( 善，x ) ， ( i i ) 0 g ( x ，f ) 三，0 x 1 ，0 吾1 证明性质( i ) 显然成立。这里只需证明( i i ) 成立。事实上，首先考虑0 j 亭，易 矢口g ( x ，亭) 0 此i j 弓( 矿一e - ) ( 一e - ) ，故 g ( x ，孝) o 由( 1 0 ) 及引理l 可得： l t s d l l 。m + 导7 1 7 ( m + 1 ) 如果选择 咫州n 蒜南j ， ， m j i i s l l o ，m + i 所以如果( 1 1 ) 成立，则映射s 是由b ( m ，r ) 到自身的映射。 进一步，给定任意的q ，哆b ( m ，t ) ，可得 s q s 吐匕= 一f 【( q ( x ，f ) ) 一厂( 吐( x ，f ) ) 】d r + ff g ( x ，f ) 【( q ( 孝，r ) ) 一f ( r 0 2 ( 4 ，r ) ) 】d 善d f 叉i h 中俏定理以及引理1 得 第3 页 信息t h 大学坝士学仲论文 i i s 皑一s n 乇0 。， 2 t t ( m + 1 ) i i q n t l i 。， 菪7 满足 风训n 志i ，丽7 2 f ( m2 f ( m ，- i+ 1 ) + 1 )j r * l l l s 6 0 , 一s o , , l l 。- 0 。s 有唯一不动点 u ( x ，) b ( m ，丁) ，即问题( 1 ) ( 3 ) 至多有一个解“( x ，) c 【o ，写) ，c o ，】) ，故有下面结论： 定理1设引理2 的条件成立。则问题( 1 h 3 ) 存在唯一的极大广义解 u ( x ，t ) e c ( o 。瓦) ，c o ，1 1 ) ，其中【o ，瓦) 是解的最大时间存在区间。 定理l 中解的最大时问存在区间 0 ，瓦) 在一定条件下可以延拓到整个州间区问，对此我 们由如下的结论： 定理2 设定理1 成立，且有s u pi l u ( ，) 忆l 0 0 ，则瓦= 0 0 证明 u ( x ，f ) c ( 【o ，瓦) ，c 【o ，1 1 ) 是方程( 1 ) 局部广义解，【0 ，列是解的最大时问存在区间， 且瓦 o ，其中等s i n 厅x 是特征问题 国。4 - a m = 0 ，r o ( o ) = c o ( 1 ) = 0 ，0 0 ， 协e y o ，佃) ，r 蠡 n - 2 f 詈g ( “) s i n 万砌口2 9 ( y ) 0 3 ) 又由于= 一了1 f ( j ) s i n 口砌 o ，则由定理条件及( 1 3 ) 式可知，对v t o ，有 y ( ，) 儿 0 且夕( ，) 0 再由( 1 3 ) 得 学r 蠡砒 ， 。 g lyj 则巾假设条件( i i ) ，在j ，( f ) 的存在区问( o ，r ) 上积分上式有 7 监n - 2 p 丽d s 丝；, r 23 r y , 孬, i s = ， 0 ，故当t 寸r 时，y ( ，) 寸抽o ，即 i 。寸+ o o 定理得证。 口 利用同样的方法，我们还可以进一步得到下面的定理： 定理4 假设方程( 1 1 满足初值条件( 3 ) 和第二边值条仲： 第5 页 “，( o ，f ) = “。( 1 ，) = 0 ，t 0( 1 5 ) u ( x ，) 是初边值问题( 1 ) ( 2 ) ( 1 5 ) f f a 占典解，厂( 5 ) 局部l i p s c h i t z 连续，( s ) 2 9 ( s ) ，g ( s ) 对于s o 为凸函数且满足g d ) o ， v s ， r 言岛 o ；垤( o ，1 ) ，“。( x ) 0 h u o ( x ) o 则问题( 1 ) ( 2 ) ( 1 5 ) 的解 u ( x ，) 必在有限时问内爆破，即存在有限常数r ，使得当f t 时有。一+ m 证明设y ( ，) = 一号f “( x ，) c 。s 厅埘r ，方程( 2 ) 两端关于工在( o ，1 ) 上积分，利刖第二边 值条件( 1 5 ) ，分部积分得 ( 1 + 万2 ) 夕= 厅2 f 鲁厂何) e o s x 砌 由定理条件和j e n s e n 不等式，有 ( 1 + 石2 ) 夕万2f 等g ( “) c 。s ，r x d x 2 x 2 9 ( y ) 3 , f l l 刁= y o = 一吾f ( x ) c 。s “出 o ，于是v f o ，有y ( ，) 儿 o ，r y ( t ) o 则在y ( f ) 的 存在区间( o ，t ) 上积分( 1 十万2 ) 夕z 2 9 ( y ) 得 r 孚r 丽d s 1 + 。7 ：1 2 1 , 丽d s - 0 情形2 6 = 0 ，b o = 其中0 = t x 代入( 2 8 ) 得 ( 2 9 ) ，p ，q ，为任意常数，并且要求 村= 代入( 2 8 ) 得 ，g ，为任意常数，且q ( d ，k 2 - - ( 1 ) 2 ) q 0 ( 3 0 ) 进一步，当方程( 2 3 ) 的系数取不同值( 参加附录b ) 时，得到方程( 1 6 ) 的下列精确周期行 波解： a ) 当取p = m 2 ，q = 一( 1 + 聊2 ) ，r = 1 时( 其中0 r t 0 ，使得当“， k 时，有，( ，“2 ，u ，) o ， 掣= 嘲。，v 2 ，o ) v 2 ( 0 ) = s 。u p ( 咖。， ( 3 9 ) 掣= 毗v 3 ) 螂) s 攀u p 小) o 证明显然( o , o ，o ) 是系统( 3 1 ) - t 3 5 ) 的一个下解。我们设i ，= s u p u ，。( j ) ，由假设条件b ) j d l 和c ) 可知常微分方程( 3 1 ) - - ( 3 5 ) i 懈存在，且任一解v ，( ，) 为k 和鼋之间的单调函数。再由条 件“，。( j ) 0 可知 0 0 ， 最后由条件d ) 和定义2 t 可知( h ( ，) 屹( f ) ，v a t ) ) 是问题( 3 1 ) ( 3 5 ) 的一组正的上解，从而由反 应扩散方程组的比较原理i r 得定婵成立。 口 注l ：当m 。( x ) c 2 ( q ) n r ( q ) = j ，2 ，3 ) 为非负函数对，由定理4 豹证明过程知道问题 ( 3 l 卜( 3 5 ) 的角i f 是一致有界的，且满足仙计： 忱( x ) l l f 。m 3 3 参数识别模型 一般地，分布参数系统的参数识别模型的建立必须具备四个前提条件：系统方程、观 测值、允许参数集和拟合准则。 对于本章所研究的参数识别问题中，系统方程就是三维种群生态系统模型( 3 1 ) 一3 5 ) ， 其中d = ( 一，d 2 ，以) 是模型中的待识别参数。 另外，在给分布参数系统参数识别中，识别参数d = ( 吐，以，吐) 属于某参数空间，而 空间的可能情形有： 1 、常数参数形式。如： x = d = ( 4 ，也，以) r ： 2 、认定的函数形式。假定参数d 的某些分量有已知的函数形式，未知常数参数包含于 这螋函数中，如： 第1 4 贝 信息一r 徉大宁硕1 学付论文 x = d = ( 4 ，畋) r 3 , 以( j ) c ( q ) ， 其t p 吐( x ) 的泛函形式已知； 3 、参数是关于空间或时间变量的函数。 在实际计算中，无穷维空问需由有限维空间近似，以获得数值结果。当允许参数空间 为上述第一、二种情形时，相对来说较简单。但是，在大多数情况下，观测者可根据问题 的实际背景对参数加以约束，因而，对于参数的识别可限制在一允许参数集j 乙亡x 同 时，j 乙应满足如f 条件： 1 、对j 乙中任一参数d ，系统方程( 组) 存在唯一解： 2 、有充分的紧致性，以保证识别问题解的存在性。 对任给的d j 0 ，问题( 3 l 卜( 3 5 ) 都存在某种意义下的适定的，与物理背景相符的广义 织“，记为“= u ( a ) 。因此，观测值z 可通过一个观测算予a 与状态u ( a ) 相联系，即 z = a m ( j ) ) 当然，在实际情况下，观测值一般含有噪声，故上式不可能是绝对恒等的，只能要求 在某种意义下的近似。因此，必须为识别参数给定一个拟合准测，定义为 j ( d ) = l l z 一人 ( d ) ) l l ：， 其中，| | | | ：表示测试空间m 中的某一范数，这种拟合准则称为输山最小二乘准则。 综上，在定义了状态方程、允许参数集、观测值与拟合准则后，可碍到分布参数系统 参数识别模型的一般描述：在允许参数集以。中，寻找参数d ，使得 m i n j ( j ) = 0 z a ( “( d ) ) 4 ：， 8 t d x 在本章中，要使微分方程组( 3 1 ) 所摘述的系统能够较真实地反映三个种群的变化规律， 应根据观测数据较准确地确定系统中的性能参数( 一，吐，以) 因此，根据参数识别问题的上 述捉法，我们将建立参数( 一，吐，以) 的参数识别模型。 首先引入下面的錾本假设： h l 设一e c l ( q ) n c ( 孬) ，0 色 - 4 z ，其中盔，孑( f = l ，2 ，3 ) 均为正常数； h 2 i i v i i ；= ( 詈) 2 + ( 薏) 2 + + ( 薏) 2 o ，使得对于任意的妒r ，有 似仍力扫靠 其中妒= ( 吼，仍，仍) ，a 妒= ( 吼，他，) 1 证明对于任意的d b ，妒v ，由g r e e n 公式与c a u e h y 不等式，有 ( d a y ，妒) = 竹。一纪出 = 忑l v 识。v ( d ，锻) 出 一窑v 帆v 巧加喜l v 叫，v 以出 s ；f 喜4 d ；v 够眨。，+ 窑4 茹蛾v 吐眨。， 一喜4 d ；v 妒贬。， = ；窑l 茹纪v 矿e 。，一圭喜l d ；v 够吧。， s ；水删k 再d j 似设条件h i 取1 h 2 ，取 a = m a x 刚v 一略 ，i = 1 2 ，3 从而有 ( d 卿) ； 知仍，吾丑： 引理得证。 口 定理6 若条件h 1 和h 2 成立，“( x ，d ) 是嗣题( 4 0 ) 对应于参数d 以一的解，则由此确 定的映射d u ( x ，f ；d ) 在j 乙上是连续的。 证明设孑，d b ，万，分别为对应予问题( 4 0 ) 的解记占d ；孑一d ，面= 订一“，代入 ( 4 0 ) ，则砌满足 璺- 、肌砌+ ( 劬u 何卜( 以力，( 4 3 ) l 艿口( x ，o ) = 0 ， 其巾d = d i a g ( d , ，互，乏) ，8 d = d i a g ( 万d , ，啦，姒) 在上式的第一个方程两边同时与翻徽内积得 ( c a “) ，如) = ( 石却+ ( j d ) “，却) + ( ( 玎，孑) 一f ( u ，d ) ，翻) ， ( 4 4 ) 圭昙忪川：= ( 五i 面，却) + ( ( 占d ) 以j “) + ( ，( 玩孑) 一( 虬以砌) ( 4 5 ) d 1 带参数的c a u c h y 不等式曲s - 2 1 占- 1a 2 + 里2 b 2 ，对于任意的 o ，则有 ( ( 扣) 血，占”) = 窑上( 配虬) s u , d x 去窑上( 配她) 2 出+ 互e 委3 ( 跳) 2 如 ( 4 6 ) x 因3 j ( u - ，“2 ，屿) 旧( ( o ，7 ) ；h 2 ( f f o n h 。( q ) ) 】3 ，所以存在一个常数m o ，有0 “| | ：_ r m ， 同时取参数f = m ，则( 4 6 ) 式变为： ( 巧d ) 觇) 劲矧：+ 等俐0 ( 4 7 ) 由注i ( 即q 的有界性) 和假设a ) 以及参数矿的取值范围知，( “，吐) ( f = i ，2 ，3 ) 的定义 域为一有界闭凸集，从而存在常数厶 o ( f _ l ，2 ，3 ) ，使得 f “，( 玎，孑) 一“，。，d ) l f 杰l 观f + 套l - , l l ，f ：1 ，2 ，3 ( 4 8 ) 取三- - - m a x l , i i ；l ，2 ，3 ，从而有 岍万，d ) - f ( “，d 圯r ( 恻暑+ 蚓盼i = 1 ，2 。3 ( 4 9 ) 利用带参数的c a u c h y 不等式，且驭s = 云得 ( ，( 虿，孑) 一( 辑d ) ，如) i 1 彬6 2 ，+ 三0 (