（计算数学专业论文）约束矩阵方程及迭代解法的预处理技术.pdf

摘要 约束矩阵方程问题及其迭代解法在结构设计、动力模型修正、振动理论等众 多领域有重要应用，其研究已成为计算数学最热门的课题之一，至今已取得很多 研究成果，但迭代法加速技术或预处理技术的研究文献中见之较少 本篇硕士论文研究下述矩阵方程的预处理迭代算法： 问题i已知a ，b r ，求x r 踟，使得 a x = b 问题1 1 已知a r m 一，b r p x q ，c r m q ，求x r 雕p ，使得 a x b = c 。 问题i i i 已知彳，b r m 一，求x s r 一，使得 47 剐= b 首次系统利用多项式预处理技术对上述三类矩阵方程及其最佳逼近的正交投 影迭代解法进行加速的研究 论文研究成果如下： 1 求矩阵方程a x = b 的一般解借助求线性方程组多项式预处理的思想， 利用奇异值和插值法构造了预处理多项式，结合预处理多项式和正交投影迭代法 构造出新的迭代算法一预处理正交投影迭代法，给出了收敛速率的估计式相关数 值试验结果证明了在一定条件下新方法比正交投影迭代法收敛更快 2 求矩阵方程a x b = c 的一般解类似地构造相应的预处理多项式，利用两 个多项式对方程进行预处理，给出了收敛速率的估计式相关数值试验结果证明了 新方法在一定条件下比正交投影迭代法收敛更快 3 根据多项式预处理矩阵的构造思想，结合正交投影迭代法提出了求 a 7 x a = b 对称解的新算法，给出了收敛速率的估计式相关数值试验结果证明了 新方法在一定条件下比正交投影迭代法收敛更快 关键词：矩阵方程；多项式；预处理；正交投影；迭代法 a b s t r a c t t h ec o n s t r a i n tm a t r i xe q u a t i o np r o b l e m sh a v eb e e nw i d e l yu s e di ns t r u c t u r a l d e s i g n ，t h em o d i f y i n go fd y n a m i cm o d e l s ，v i b r a t i o nt h e o r y , a n ds oo n ，t h er e s e a r c h a b o u tc o n s t r a i n tm a t r i xe q u a t i o np r o b l e m sh a v eb e c o m et h em o s tp o p u l a rs u b je c to f c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ，a n dt h e r eh a v eb e e nm a n ya c h i e v e m e n t sa b o u tc o n s t r a i n t m a t r i xe q u a t i o np r o b l e m s ，b u tt h el i t e r a t u r ea b o u tt h ea c c e l e r a t i o nt e c h n o l o g yo rt h e p r e c o n d i t i o n i n gt e c h n o l o g yo fm a t r i xe q u a t i o n si sl e s s t h ep r e c o n d i t i o n i n gi t e r a t i o nm e t h o d so ft h ef o l l o w i n gm a t r i xe q u a t i o n sw i l lb e s t u d i e di nt h em st h e s i s ： p r o b l e mig i v e na ，b r ”，f i n dx r 一”，s u c ht h a t a x = b p r o b l e mi lg i v e na r m 。n ，b r p “叮，c r m 。g ，f i n dx r ”“p ，s u c ht h a t 脚= c p r o b l e mi i ig i v e na ，b r m ”，f i n dx s r 一”，s u c ht h a t a 7 觑= b t h ep o l y n o m i a lp r e c o n d i t i o n i n gt e c h n o l o g yi ss y s t e m a t i cu s e dt oa c c e l e r a t et h e o r t h o g o n a lp r o je c t i o ni t e r a t i o nm e t h o d so ft h ea b o v et h r e ek i n d so fm a t r i xe q u a t i o n s a n dt h e i r so p t i m a la p p r o x i m a t i o n t h ea c h i e v e m e n t sa r ea sf o l l o w s ： 1 t h eg e n e r a ls o l u t i o nf o r t h em a t r i xe q u a t i o na x = b a c c o r d i n gt ot h ei d e a so f p o l y n o m i a lp r e c o n d i t i o n i n go fl i n e a re q u a t i o n s ，t h ep r e c o n d i t i o n i n gp o l y n o m i a li s o b t a i n e db yu s i n gs i n g u l a rv a l u e sa n di n t e r p o l a t i o nm e t h o d s ，t h e nt h ep r e c o n d i t i o n i n g o r t h o g o n a lp r o j e c t i o ni t e r a t i o nm e t h o d i s p u t f o r w a r d b yc o m b i n i n g t h e p r e c o n d i t i o n i n gp o l y n o m i a la n dt h eo r t h o g o n a lp r o j e c t i o ni t e r a t i o nm e t h o d ，a n dt h e e s t i m a t i o no fc o n v e r g e n c er a t ei sg i v e n n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ec o n v e r g e n c e r a t eo fn e wm e t h o du n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n si sf a s t e rt h a nt h eo r t h o g o n a lp r o je c t i o n i t e r a t i o nm e t h o d 2 t h e g e n e r a ls o l u t i o n f o rt h em a t r i x e q u a t i o na x b = c s i m i l a r l y , t h e p r e c o n d i t i o n i n gp o l y n o m i a lc a nb eo b t a i n e db yu s i n gs i n g u l a r sv a l u ea n di n t e r p o l a t i o n m e t h o d s ，t h e nt h em a t r i xe q u a t i o ni sp r e c o n d i t i o n e dw i t hp r e c o n d i t i o n i n gp o l y n o m i a l ， t h ec o n v e r g e n c er a t eo fe s t i m a t i o ni s g i v e n n u m e r i c a l r e s u l t ss h o wt h a tt h e c o n v e r g e n c er a t eo fn e w m e t h o du n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n si sf a s t e rt h a nt h eo 讹o g o n a l p r o j e c t i o ni t e r a t i o nm e t h o d 一 3 a c c o r d i n gt ot h ep o l y n o m i a lp r e c o n d i t i o n i n gi d e a s ，a n e wm e t h o df o rt h e s v m m e t r i cs o l u t i o nt om a t r i xe q u a t i o n a t x a = bc a nb eo b t a i n e db yc o m b l n l n gt h e o r t h o g o n a lp r o j e c t i o ni t e r a t i o nm e t h o d ，t h ee s t i m a t i o n o fc o n v e r g e n c er a t e1 s9 1 v e n n u m e r i c a lr e s u i t s s h o wt h a tt h ec o n v e r g e n c er a t e o fn e wm e m o du n d e rc e r t a m c o n d i t i o n sjsf a s t e rt h a nt h eo r t h o g o n a lp r o j e c t i o ni t e r a t i o nm e t h o d k e yw 。r d s ：m a t r i xe q u a t i 。n ；p o l y n o m i a i ；p r e c o n d i t i o n i n g ；o r t h 。g 。n a l p r o je c t i o n ；i t e r a t i o nm e t h o d 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特另t ld r i 以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名： 目前日期：动年d - 月夕日 作者签名： 日弼日期：动年月夕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本论文收录到中国学位论 文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密囵。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：同穆日期：驯矽年f 月? 7 日 刷谧辄彬醐片朋啪 1 1 课题研究背景 第一章绪言 1 1 1 约束矩阵方程的相关研究 约束矩阵方程问题是指在满足一定约束条件下的矩阵集合中求矩阵方程的解 约束条件不同，或矩阵方程不同，则得到不同的约束矩阵方程问题约束矩阵方 程问题在经济、土木工程、热力系统、结构设计、参数识别、固体力学、自动控 制理论、振动理论、有限元等领域都有着广泛而重要的应用 近些年来，关于约束矩阵方程问题的研究已经取得了很多很好的成果所研 究的矩阵方程形式多样，内容丰富，例如1 9 5 1 年b j e r h a m m a r 1 1 通过广义逆讨论矩 阵方程a x = b 的一般解；h e n kd o n t 2 】在1 9 8 7 年利用矩阵拉直算子给出了a x = b 对称解的充要条件及通解表达式；2 0 0 4 年孟纯军 3 1 在广义反射阵、部分等距算子、 j 下交投影算子上研究了似= b ；2 0 0 6 年龚丽莎 4 1 在子矩阵约束下研究矩阵方程 似= b ；在2 0 0 3 年刘晓芬，周小燕【5 】应用矩阵的初等变换等技巧，给出了矩阵方 程a x b = c 有解的条件；同年，尤兴华，严涛1 6 利用矩阵的广义奇异值分解，对 a x b = c 的反对称解进行了研究；2 0 0 4 年姚国柱( 7 1 在线性流形上讨论了a x b = c 的 反中心对称解；2 0 0 7 年孙劫i s 利用一种分裂方法给出了求矩阵方程a x b ：d 的一 种迭代方法；2 0 0 8 年周富照，朱丹【9 】在子矩阵约束下提出了一种求a x b = c 的双对 称迭代解的算法；而在2 0 0 0 年屠文伟 1 0 l 研究了a r x a = b 的双对称解；2 0 0 3 年彭 亚新，胡锡炎和张磊 1 1 1 给出了a t x a = b 的对称正交对称解及最佳逼近；2 0 0 5 年钱 爱林等 1 2 1 通过矩阵的广义奇异值分解，得到了矩阵方程a r x a = b 存在对称正交 反对称解的充分必要条件，而且还给出了解和最佳逼近的表达式；2 0 0 7 年陈兴同 1 1 3 1 给出了a r x a = b 双对称最小二乘解的最佳逼近；2 0 0 8 年李珍珠 z 4 1 利用矩阵对 的商奇异值分解，给出了线性流形上a7 x a = b 存在中心对称解的充要条件及其 通解的表达式；除此以外，胡锡炎、张磊、周富照和张忠志等多位专家学者根据 不同的需要在中心对称矩阵、对称正交对称矩阵等不同的约束矩阵集合中研究了 逆特征值的最小二乘问题等，可看参考文献 1 5 - 3 2 1 1 2 预处理的相关研究 众所周知，很多工程问题最后常归结为求解一个或一些大型矩阵方程关于 矩阵方程的求解有很多种方法，但归纳起来一般是两种，一种是直接法，l 种是迭 代法，而人们常常利用迭代法来求解这些大型的稀疏矩阵方程，这时迭代格式的 收敛性及收敛速度就成为一个非常关键的问题用收敛但收敛速度却很慢的迭代 法，不但浪费人力物力，而且还不一定能够及时解出近似或j 下确的结果因此，寻 找一种预处理方法是提高迭代法收敛速度的主要途径之一 近年来，预处理的研究己获得了一系列丰硕成果许多专家学者根据不同的 需要提出各种预处理方法，如2 0 0 1 年陈其安、杨大地 3 3 1 介绍了国内外p c g 法的 新成果；2 0 0 5 年m l a r i n 、v i l i n l 3 4 1 通过预处理方法研究了部分对称特征值问 题；2 0 0 6 年a i x i nc h e n 、h u i j u a nz u 0 1 3 5 l 等人用预处理技术对电磁波工具进行了分 析；2 0 0 7 年张弦1 3 6 1 利用预处理技术讨论了模糊线性系统的分块并给出了数值求解 方法；2 0 0 8 年任孚鲛 3 7 1 利用g a u s s s e i d e l 预条件法求解l 矩阵方程等等；因此为 了提供实际的需要，预处理技术有着广阔的应用前景，但目前的研究还不十分系 统，这就给工程建设带来了一个较为突出的问题，所以，关于预处理技术是值得深 入研究的 预处理技术是改变矩阵奇异值分布的一种方法这种方法一般有两种类型： 第一种类型是对系数矩阵进行矩阵分解，使分解后的矩阵奇异值分布更加符合我 们的要求，另一种类型是通过乘以一个恰当的多项式矩阵，从而达到改变系数矩 阵奇异值分布的目的然而，虽然预处理方法在解线性方程组中已有大量的研究， 但这些方法应用于矩阵方程中的却不常见，虽然文献【3 2 】提出了一种加速方法，但 却只是简单的介绍，而没有详细的过程 1 2 本文主要工作及创新点 研究下述问题的预处理迭代算法： 问题i 给定彳，b r 舭”，求x r 删，使得 a x = b 问题i i 给定a 足m 一，b r p 一，c r r n x q ，求x 只，一，使得 伽= c 问题i i i 给定a ，b r “”，求x s r ，使得 彳7 捌= b 首次系统的将线性方程组迭代解法的多项式预处理思想运用约束矩阵方程j 下 交投影迭代解法上，分别构造了求解问题i 、i i 、i i i 的一种新的迭代算法一预处理 正交投影迭代法，并根据预处理矩阵的结构和性质，给出了算法速率的估计进 行了数值实验，结果说明矩阵方程经过预处理之后，算法在一定条件下比正交投 影迭代法收敛更快 1 3 符号的定义 r m x ” 5 淑月x ” 全部m x n 实矩阵所构成的集合 全部，2 刀实对称矩阵所构成的集合 2 彳的转置 非奇异的方阵a 的逆 a 7 a 的奇异值 矩阵的f r o b e n i u s 范数 a t a 的奇异值的取值区间，即0 5 ，江1 , 2 ，n 矩阵方程a x b = c 中b b r 的奇异值的取值区间 a _ a r 的奇异值的取值区间 门阶的单位矩阵 盯&厶 2 1 引言 第二章求么x = b 一般解的多项式预条件 正交投影迭代法 预处理技术是改变矩阵奇异值分布的一种方法这种方法一般有两种类型： 第一种类型是对系数矩阵进行矩阵分解，使分解后的矩阵奇异值分布更加符合我 们的要求，另一种类型是通过乘以一个恰当的多项式矩阵，从而达到改变系数矩 阵奇异值分布的目的在近几十年来，通过利用预处理技术来求解线性方程组的 研究多不胜数，如文献 3 3 3 8 ，但利用这种方法来求解矩阵方程却不是很多，2 0 0 7 年郭孔华通过一种正交投影迭代法研究了约束矩阵方程a x = b 的一般解、对称解 等，此迭代法能在矩阵方程相容条件下求出方程的极小范数解并给出了算法收敛 速率的估计式，随后虽然在文中提到了一种提高算法敛速的预处理方法，但只是 一种简单的说明，而没有具体的过程 研究如下问题的预处理迭代算法： 问题2 1已知4 ，b r “一，求x r 删，使得 a x = b 对于矩阵方程a x = b ，已有文献如 3 9 4 1 】利用传统的矩阵分解等方法对它 进行了研究，这些方法不仅内存需求大，而且收敛速度慢针对这种问题，本章通 过奇异值和插值多项式构造了一种多项式预处理矩阵，提高方程的收敛速度，减 少迭代次数 2 2 求似= b 的多项式预条件技术的理论分析 2 2 1 基本思想 假设问题2 1 有解，选取一个次数小于力的实系数多项式预处理矩阵c ( ) 对 a x = b 做如下变换： c ( a ) a x = c ( a ) b 令秀= c ( 彳) b ，彳= c ( a ) a ，则得到一个新的矩阵方程 放：否 其解与a x = b 相同这时，如果c ( a ) a 的非零奇异值比要比a 的非零奇异值比远 远的小，则通过正交投影迭代法求c ( a ) a x = c ( 彳) b 的速度将远远要比求似= b 的 速度快很明显，这种方法的关键就是如何找到恰当的多项式预处理矩阵c ( 彳) ， 4 使得所选取的多项式矩阵能够容易被构造及利用，并本着使c ( a ) 在某种意义下接 近a 叫的原则，使经过预处理后的矩阵方程更容易求解但一般来说，要在求解的 过程中同时满足这些条件是有难度的，因此需要寻求一个平衡，使矩阵方程经过 多项式预处理之后的迭代次数远远比之前的要少 对矩阵方程a x = b 做如下变换： a x = b a 7 1 a x = a 7 b c ( a7 a ) a7 a x = c ( a 7 a ) a r b 记a r a = a 一，则有c ( 才) 劢= c ( - a ) a r b 假设系数矩阵才可逆，理想中的情形是c ( 才) = ( 才) ，则有 c ( a ) a = ( 彳) 。1 a = i ( 2 2 1 ) 此时式( 2 2 1 ) 右边已变为一个简单的式子当然，这在现实中是不可能实现的，因为 求a 一1 很难所以，根据矩阵多项式预条件法的基本思想，是要寻求一个次数不仅 小于，? 并近可能地接近于a - - 的矩阵多项式 通常情况下，系数矩阵万不可逆，因此利用万+ j 来代替万，则 c ( 一a ) 一a = ( 万+ 1 ) 一1 孑i 记f = f ( a 一) = c ( 万) a 一，则矩阵方程a x = b 的求解问题转化为： f ( - a ) x = c ( 万) 彳7 b 的求解 2 2 2 多项式预处理矩阵c ( 才) 的构造 假设a 的秩为，且令a 的全部非零奇异值满足q q ，s = io - , q ，q ， ，= 1 ，2 ，为了方便下面的表述及计算，记口= 0 i ，b = 盯， 11 过两点( 口，j ) 和p ，j ) 作条直线 口十ld 十i f ( 万) = ( 3 + v ( 2 2 2 ) 其中系数材，v 的值待定 把两点代入到式( 2 2 2 ) 中，解方程组，得 1口+ b + 1 ( 口+ 1 ) ( 6 + 1 )( 口+ 1 ) ( 6 + 1 ) 一 v = ：一+ 因此 c ( a ) = 一 l口+ 6 + l ( 口+ 1 ) ( 6 + 1 )( 口+ 1 ) ( 6 + 1 ) 记厂( 盯) = c ( a ) a ，则当旺( f = 1 ，2 ，厂) 是彳的全部非零奇异值时，f ( o - , ) 为f 的 全部非零奇异值，且有 厂( 仃) = c ( 仃) 盯= 一i i i 丽1 仃2 + 瓦i a i + 而b + l 仃， 删一两赢( 仃一半) 当盯 竿时， 厂7 p ) 0 ，则厂p ) 是单调上升的； ( 盯) 丽4 a b = 。面而1 t 4 a b 2 b a 力= 二一= ) = 一 ( 口+ 6 + 1 ) 2( 口+ 6 + 1 ) 2 ( 口+ 6 ) 2 + + 4 ( 口+ 1 ) ( 6 + 1 ) 当b 很大且b 口时，有口6 0 ，b a 2 ， 7 所以 丛盟4 上：4 旦 f ( b )b a b 通过上式可以看出，经过一次多项式预条件处理后，可让系数矩阵的非零奇 异值比的值高于原系数矩阵的4 倍，丛盟以比_ a 高4 倍的速度趋向于1 ，从而 f ( b ) b f ( 万) x = c ( a 一+ i ) a r b 的收敛速率比删= b 的收敛速率高4 倍 如果f ( a ) x = c ( 万+ i ) a r b 经过一次多项式预条件处理后，还不能符合我们实 际的要求，则可对预处理后的矩阵方程进行同样的一次多项式预条件处理，直到r l 值变到我们满意为止 ，( i ) 设名哥为f ( 才) 经过第k 次多项式预条件处理后的非零奇异值比，则有 翌：兰笸：笠：! ! 兰篓：美：! ： ( ，+ ，+ 1 ) 2 ( z j 叫+ 。1 ) 2 扣f(k-i)m茚f(k-i)一争fo(k-d+务f(k-i)+务f(k-1)+茚f(k-1)4 4= = 一： 一 一群卅 一万。 即争争f ( k - 1 ) ，又由于4 万i 1 万4 扛帅c 碓过后次迭代后有 4 - ( k - 1 ) f ( k - i ) 争笳 筹“墟，川 成立，即 4 旦 4 ( k 1 ) 旦 4 兰 1 ( 2 2 4 ) bbb 因此，当f ( a 一) x = c ( a 一+ i ) a r b 经过尼次多项式预条件处理后，系数矩阵的非 零奇异值的比值将比原系数矩阵高4 倍 综合上述讨论，当f ( 彳i ) x = c ( a 一+ i ) a r b 经过有限次多项式预条件处理之后， 矩阵方程的收敛速度将比原算法高4 倍 证毕 b 推论2 2 1多项式预条件处理法最多不超过l o g ： 步循环 证根据式( 2 2 4 ) 有，4 a ，4 。 d 时，有d e 0 ，p d 2 ， 所以 巫盟4 上：4 鱼 g ( e 、)e f d e 又由7 7 = 筹，有 丝2 4 上：4 旦 f ( b )b a b 则 幽星鲨! ：4 z 堕 f ( 8 ) g ( g7 ) b e 通过上式可以看出，利用完一次多项式预条件处理后，可让f ，g 非零奇异值 的比值比j ，否的高4 z 倍，= ! 型! 星垡! 以比堡生高4 z 倍的速度趋向于1 矩阵方程 f ( b ) g ( p ) b z e 2 f x g = 万的收敛速率比a x b = d 的收敛速率高4 2 倍 如果f x g = 万经过一次多项式预条件处理后，还不能符合我们实际的要求， 则可对预处理后的矩阵方程进行同样的一次多项式预条件处理，直到7 7 及万值变 到我们满意为止 口( 女) 设为g ( 否) 经过第k 次多项式预条件处理后的非零奇异值比，则有 纠雾雾1 蒂g 譬- 1 g z 1 g z - 1 。 g 一g p 。 盟+ 2 + 皇g ! ( k ! - 1 ) 矿“十铲 即争g ( k - i ) ，又由于4 巫i 1 翌咋1 乩呦，经过尼次迭代后有 g 芏_ 1 。g 譬- 1 争 器 嚣扎舻墟，川 4 鱼 4 ( ) 鱼 4 鱼 1 铲 c a i ) 筘 等d 4 旦 4 ( k 一1 1 一a 4 k a 1 推论3 2 1 多项式预条件处理法最多不超过i 。l 0 9 4 d 步循环 一户 芝 型哲鬻 b o b o 证根据上述定理证明过程有 4 2 * 譬 1j 4 z t 兰j2 k 1 4 时，有州z 0 ，z w 2 ， 筹h ( z 4 专= 4 詈鬻h 卅击z 2w 纠等、)z f w z z ( z t 、 z z | 异值比的值比j 的高4 2 倍，等等以比7 w 2 高4 2 倍的速度趋向于1 矩阵方程 设筹为何( _ ) 第尼次多项式预条件处理后的非零奇异值比，则有 望：兰竺：! 竺：! ! 竺 兰笪：竺：! ! ：4 1 掣蜮叫- 劈”+ 1 尸7 暇1 棼 户。器+ 2 + 筹 纠砑! 酽f j 鳟。1 。硝一蟛一。磷q 蟛一 = ：一 磷一 即争矿h t a k - ) 又由于4 霏1 4 扛咖面经过七次迭代后有 办，一) 。办，_ 1 秘 等 等虬陋墟，川 2 l 4 2 芝 4 2 似- l 芝 4 2 等 1 2 z z z ( 4 2 3 ) 因此，当h r x h = 百经过k 次多项式预条件处理后，胃的非零奇异值比的值将 比彳的高4 z 倍 综合上述讨论，当h r x h = 万经过有限次多项式预条件处理之后，方程的收敛 速度将比原算法高4 2 倍 证毕 2 1 二- 推论4 2 1 多项式预条件处理法最多不超过i 1 - u 苎。 w 2 步循环 证根据式( 4 2 3 ) 有 4 2 k 丁w 2 1 4 2 女 1 2 2j2 七 l 。g 尹七 1 1 。g 尹 z 。w 。2 证毕 4 3 数值算例 本次的数值算例在m a t l a b 6 5 中编程运行下面例子中，f 表示算法运行过程 所用的时间( 单位：秒) ，k 表示迭代的次数 例4 3 1 已知 a = 8 6 6 6 6 7 8 3 5 3 9 5 4 7 8 6 0 2 1 4 1 1 2 8 l 6 3 6 5 6 8 3 4 5 9 9 7 9 3 8 2 9 9 7 2 7 3 3 3 2 5 6 9 8 5 b = 6 6 2 4 3 5 8 3 8 9 6 7 8 2 4 5 3 8 3 7 6 8 6 7 7 6 4 5 1 6 6 3 3 1 6 5 5 5 2 l 6 7 2 7 3 5 8 8 3 2 5 8 1 5 5 9 3 9 6 l 7 4 2 0 2 3 0 5 2 4 5 0 4 6 8 2 5 4 9 8 9 7 1 9 4 4 2 0 1 4 1 4 4 1 4 7 7 9 8 0 9 0 5 3 3 3 5 7 5 3 5 8 3 8 9 5 4 2 6 0 5 9 7 6 3 5 2 2 2 4 5 2 7 4 4 5 7 9 7 4 5 2 6 9 4 5 7 3 6 9 6 1 3 5 2 5 9 6 6 l 5 1 0 5 4 32 6 0 8 93 9 4 6 2 1 7 8 8 9 4 6 7 4 7 3 1 6 7 8 6 2 9 l 2 8 8 3 4 5 0 9 5 8 1 7 2 9 7 8 6 6 0 l 6 0 5 8 4 6 7 8 2 4 5 9 7 6 3 6 9 8 5 3 6 1 3 0 l 6 0 4 3 2 5 7 1 6 8 5 0 4 5 0 5 0 2 5 8 6 9 6 l o 6 2 1 6 2 6 8 8 3 6 3 8 7 3 7 4 3 7 4 l & 8 1 0 2 4 3 4 9 6 1 6 6 3 2 2 7 9 8 5 1 4 4 5 4 6 1 0 0 4 2 0 9 7 3 5 ，6 9 9 0 2 0 5 3 5 5 3 8 3 7 5 2 2 2 4 6 1 3 0 i 6 9 3 8 3 6 7 9 0 4 5 5 7 0 6 5 5 2 “ 6 7 7 8 4 6 5 8 3 7 5 3 5 2 0 5 2 9 9 9 7 9 2 9 3 4 3 7 5 5 8 4 1 0 5 1 4 1 9 7 6 3 8 1 2 9 5 4 2 4 3 5 9 9 2 8 9 9 9 5 1 9 1 4 3 1 5 8 7 8 3 1 0 8 7 9 3 9 7 9 1 5 6 8 2 3 3 7 8 0 9 9 9 5 8 2 9 0 7 9 5 4 8 5 7 3 6 1 4 4 7 0 5 4 8 9 6 2 1 9 7 8 9 9 0 6 9 9 5 l 2 1 7 8 5 1 8 5 8 7 1 1 3 3 8 3 5 9 3 7 8 3 5 0 6 9 8 6 9 4 1 1 5 6 3 8 3 7 4 5 6 5 9 0 2 6 0 4 2 0 3 1 9 6 3 8 3 9 8 1 33 6 8 9 7 7 8 2 7 6 9 3 6 8 2 9 2 6 6 6 4 1 9 l 6 4 事4 4 6 9 3 5 5 2 6 5 0 3 6 7 2 8 9 2 5 3 2 8 5 8 5 6 4 6 6 1 0 5 7 1 7 3 0 7 0 9 6 l 8 8 9 1 5 1 1 1 6 0 3 7 9 3 6 8 o l l 7 3 7 6 5 7 9 3 4 0 1 7 1 0 8 5 6 8 6 7 76 4 5 1 66 3 3 1 65 5 5 2 16 7 2 7 3 5 2 7 4 45 7 9 7 45 2 6 9 45 7 3 6 96 13 5 2 6 0 4 3 25 7 1 6 85 0 4 5 05 0 2 5 86 9 6 1 0 6 7 9 0 45 5 7 0 65 5 2 4 46 7 7 8 46 5 8 3 7 6 8 8 4 86 7 3 7 35 2 3 3 06 7 3 2 05 3 0 5 2 6 7 3 7 36 2 5 2 85 1 3 8 65 5 0 8 56 6 6 6 l 5 2 3 3 05 13 8 66 7 0 5 96 13 9 05 3 8 3 7 6 7 3 2 05 5 0 8 56 13 9 05 3l8 56 2 7 8 0 5 3 0 5 26 6 6 6l5 3 8 3 76 2 7 8 06 3 3 8 0 5 0 0 4 l6 5 8 0 46 0 2 7 25 4 2 6 55 2 0 6 9 5 7 6 8 75 6 2 2l5 3 3 7l6 7 9 3 35 6 4 5 4 其中a 一= 3 8 7 7 ，= 0 2 ，求x s r ，使彳7 x a = b 取k = o ，= i 0 万0 ，z 。- - 1 1 万1 i ( j = 彳彳7 ) ，计算结果见下表： 1 6 6 8 9 1 6 3 6 0 1 1 0 7 4 3 0 4 4 4 5 6 4 6 3 5 1 2 3 8 7 3 2 8 8 6 2 4 2 4 55 8 2 9 1 6 6 8 6 2 7 3 9 l 5 8 8 3 2 5 9 6 6 l 6 2 1 6 2 5 3 5 2 0 5 0 0 4 l 6 5 8 0 4 6 0 2 7 2 5 4 2 6 5 5 2 0 6 9 5 3 1 4 7 6 4 6 8 0 4 4 1 6 4 3 4 8 7 9 7 9 3 7 9 3 8 2 5 4 6 7 4 3 7 9 8 7 9 l 5 5 2 5 9 9 5 2 9 3 8 4 5 2 2 9 2 5 8 0 2 0 1 7 7 5 8 l5 5 5 1 0 5 4 6 8 8 3 6 5 2 9 9 9 5 7 6 8 7 5 6 2 2 l 5 3 3 7 l 6 7 9 3 3 5 6 4 5 4 6 4 6 8 0 5 8 2 1 8 表4 3 1 各次迭代预条件矩阵的奇异值 五次八次十次十三次十八次 预条件预条件预条件预条件预条件 1 0 0 0 11 0 0 0 01 0 0 0 1 1 0 0 0 21 0 0 0 0 o 6 8 5 20 9 9 9 91 0 0 0 01 0 0 0 11 0 0 0 0 0 6 2 3 00 9 9 9 51 0 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0 0 0 办( 九舣) o 5 1 8 50 9 9 7 01 0 0 0 01 0 0 0 01 0 0 0 0 0 4 2 4 6o 9 8 8 00 9 9 9 91 0 0 0 01 0 0 0 0 山0 2 6 4 60 9 1 4 50 9 9 9 9 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 7 00 8 4 3 70 9 9 9 40 9 9 9 91 0 0 0 0 办( 九i n ) o 1 3 9 50 6 9 9 40 9 9 1 90 9 9 9 91 0 0 0 0 0 0 6 9 7 0 4 3 8 9 0 9 0 0 90 9 9 9 91 0 0 0 0 0 0 2 3 3o 1 7 2 9o 5 3 2 10 9 9 7 71 0 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 9 8o 0 3 9 00 2 7 2 91 0 0 0 0 注：上表中j 1 2 ( k ) ，办( k ) 表示做多次预处理后h 的最小与最大非零奇异值， 表示奇异值的比= 面h ( 2 m i n ) ，我们的目的是使一1 ，即矗( 九t 。) 办( k ) 表4 3 2 矩阵方程经过多项式预条件处理后的相关数据 五次八次十次十三次十八次 预条件预条件预条件预条件预条件 预条件后的值 o 0 0 1 l0 0 0 9 80 0 3 9 00 2 7 2 91 0 0 0 0 本次数值实验通过算法4 2 1 求x ，并在迭代过程中取g = 1 0 p 一8 ，运行时间 f = 0 0 1 0 0 同等条件下，利用文献 3 2 的迭代法，由于误差的影响，对于本例其 迭代过程不收敛 从上述两个表中可知，矩阵方程a 7 x a = b 经过多项式预条件处理之后，的 值随着预条件次数的增多，逐渐趋向于1 ，特别是五次预条件处理后，值增长比 较快，十八次预处理之后值为l ( 原始值为5 1 6 x1 0 _ 5 ) 在本例中，等于1 ，说 明在a 7 捌= b 中，经过十八次预条件处理之后，等式的左边只剩下x 了，而彳r 和 彳在迭代过程中已变为单位矩阵，当迭代终止后，等式的右边就是我们需要的实 对称矩阵 结论 约束矩阵方程问题应用广泛，图象识别、工程力学、医学、电学、有限元、生 物学等诸多领域都有涉及，因此约束矩阵方程问题是数值代数研究的重点课题之 虽然约束矩阵方程问题的研究已获得了很多好的成果，但还有许多问题需要 进一步的探讨文献【3 2 】郭孔华通过正交投影的方法给出了一种迭代法，得到了 几类约束矩阵方程的一般解、对称解、自反解等多种迭代解，但从给出的收敛速率 估计式可看出，算法的收敛速率并不是很理想 关于预处理技术，多数文献通过它来处理解线性方程组，收到了很好的收敛 效果，本文通过一种多项式预处理矩阵提出了一种新的正交投影迭代法来求解三 类约束矩阵方程 本文中迭代法的优点是它不仅能提高方程的求解速度，而且能自动在求解的 过程中判定方程是否有解，并且算法的收敛速度比j 下交投影法更快此外，对于 三类矩阵方程都分别给出了算法收敛速率估计式 本文的研究成果是首次系统的利用多项式预处理技术构造了求解三类矩阵方 程a x = b 、a x b = c 和ar x a = b 的迭代算法当然，有关这方面的内容还有很 多地方需要进一步研究，如这种迭代算法的误差分析及用这种算法去求其它类型 的矩阵方程如a x a7 1 + b y b r = c 、a x b + c x d = f 的约束矩阵解及给出迭代法的 敛速分析等 2 4 参考文献 【1 】b j e r h a m m e r ar e c t a n g u l a rr e c i p r o c a lm a t r i c e sw i t hs p e c i a lr e f e r e n c et og e o d e t i cc a l c u l a t i o n s k u n g lt e k nh o g s k ，s t o c k h o l m ， 19 51 ，4 5 ：l - 8 6 【2 】d o nfjh o nt h es y m m e t r i cs o l u t i o no fal i n e a rm a t r i xe q u a t i o n l i n e a ra l g e b r aa n di t s a p p l i c a t i o n s ， l9 8 7 ，9 3 ：l - 7 【3 】孟纯军求解几类特殊的约束矩阵方程的理论与算法研究：【湖南人学博十学位论文】长 沙：湖南大学数学与计量经济学院，2 0 0 4 ，1 1 3 5 【4 】龚丽莎关于子矩阵约束下矩阵方程问题的研究：【湖南大学博士学位论文】湖南：湖南 大学，2 0 0 6 ，6 6 8 l 【5 】刘晓芬，周小燕关于矩阵方程允珊= c 沈阿l 航空工业学院学报，2 0 0 3 ，2 0 ( 4 ) ：6 7 - 6 8 【6 】尤兴华，严涛矩阵方程a x b = c 的反对称解问题南京师大学报( 自然科学版) ， 2 0 0 3 ，2 6 ( 1 ) ：6 - 1 0 【7 】姚国柱线性流形上a x b = c 的反中心对称解长沙理工大学学报( 自然科学版) ， 2 0 0 4 ，4 ：7 8 8 3 【8 】孙劫约束矩阵方程求解的一种迭代方法上海应用技术学院学报( 自然科学版) ，2 0 0 7 ， 7 ( 1 ) ：4 - 9 9 】周富照，朱丹子矩阵约束下a x b = c 的双对称迭代解长沙交通学院学报，2 0 0 8 ， 2 4 ：7 2 - 7 6 ，8 4 【1 0 】屠文伟矩阵方程a r x a = b 的双对称解南京师人学报( 自然科学版) ， 2 0 0 0 ， 2 3 ( 4 ) ：1 4 - 1 7 【l l 】彭亚新，胡锡炎，张磊矩阵方程a7 x a = b 的对称正交对称解及其最佳逼近高等学 校计算数学学报，2 0 0 3 ，2 5 ( 4 ) ：3 7 2 - 3 7 7 1 2 】钱爱林，吴又胜矩阵方