（运筹学与控制论专业论文）微生物发酵非线性系统的稳定性与最优控制.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本文以微生物连续和间歇发酵生产1 ，3 - 丙二醇为实际背景，研究了非线性动力系 统的稳定性与最优控制。本课题是国家自然科学基金项目“非线性分段光滑动力系统 的优化理论与算法”( 编号1 0 4 7 1 0 1 4 ) 国家十五科技攻关项目。发酵法生产1 , 3 一丙二 醇”f 编号2 0 0 1 b a t 0 8 8 0 1 0 4 ) 和大连理工大学生命十x 交叉学科建设项目“微生物法 生产1 , 3 一丙二醇过程的最优控制研究”工作的一部分。本文主要内容包括非线性动力 系统平衡点的存在性与稳定性条件，并以渐近稳定的平衡点为主要约束，建立了具有等 式与不等式约束的非线性优化模型。同时又分别以连续和间歇发酵非线性动力系统为 状态方程，建立了两个非线性最优控制模型。对所建立的非线性优化模型和最优控翎模 型，分别讨论了最优解的存在性，最优性条件，最优性函数，及优化算法 本文取得的主要结果可概括如下： 1 、对微生物连续发酵非线性动力系统进行稳定性分析。证明了平衡点的存在性， 且指出在一定范围内平衡点是稀释速率与注入甘油浓度的连续函数，给出了平衡点的 稳定性条件，从理论上解释了实验室中出现的多稳态现象说明了在生产实践中，可以 选择适当的稀释速率与注入甘油浓度，使系统达到稳定的平衡态时，1 , 3 一丙二醇的浓 度达到较为理想的水平。 2 、研究了微生物连续发酵与间歇发酵过程的最优控制问题以产物1 , 3 一丙二醇 的生产强度最大为目标泛函，分别以连续与闯歇发酵过程的非线性动力系统为主要约 束，建立最优控制模型，并分析了系统及其解的性质，证明了模型最优解的存在性，用 不可微函数优化理论与方法得到了模型的一阶最优性必要条件定义了最优控制问题 的最优性函数，并证明了最优性必要条件与最优性函数的零点等价的结论。从理论上说 明可以通过最优控制模型，找到使1 , 3 一丙二醇生产强度最大的操作条件。 3 、微生物连续发酵过程中，在系统平衡的条件下，如何使产物1 , 3 一丙二醇的浓度 最高，这是生产者最关心的问题。把这个实际问题，归结为含有等式与不等式约束的非 线性优化问题分析了最优解的存在性与最优性条件定义了该非线性优化问题的最优 性函数，并利用无限维优化理论，证明了最优性函数的零点与最优性必要条件的等价 性。 4 、针对前面提出的非线性最优控制问题与非线性优化问题，分别构造了相应的算 法。首先对连续发酵渐近稳定条件下的非线性优化问题，以其最优性函数为结束准则， 构造了优化算法，证明了该算法的收敛性。其次，对连续发酵最优控制问题，袄非线性 动力系统的离散化模型，得到相应的离散时间最优控制问题，给出最优性必要条件定 义了离散时间最优控制问题的最优性函数，并证明了该最优性函数逼近连续发酵最优 微生物发酵非线性系统的稳定性与最优控制 控制问题的最优| 陛函数。以最优性函数为终止准则，构造了离散时阊最优控制问题的优 化算法，并对连续发酵最优控制问题构造了概念性算法，证明了算法的收敛性。最后对 间歇发酵最优控制问题，用类似的方法处理，得到相应结论。 关键词：最优控制；稳定性；非线性动力系统；最优性函数；微生物发酵 大连理工大学博士学位论文 a b s t r a c t b a s e do nt h ep r a c t i c a lb a c k g r o u n do fp r o d u c i n g1 ，3 - p r o p a n c d i o l ( 1 ，3 - p d ) b ym i c r o - b i a lc o n t i n u o u sa n db a t c hf e r m e n t a t i o n ，t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e ss t a b i l i t ya n do p t i m a l c o n t r o lo fn o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e m t h ed i s s e r t a t i o ni sp a r to ft h en a t i o n a ln a t u r a l s c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a “o p t i m a l i t yt h e o r ya n da l g o r i t h mi nn o n l i n e a rp i e c e w i s e s m o o t hd y n a m i cs y s t e m ”( g r a n tn o 1 0 4 7 1 0 1 4 ) ，t h et e n t hf i v e - y e a rp l a no fs c i e n c e a n dt e c h n o l o g yo fc h i n a “m i c r o b i a lp r o d u c t i o no f1 , 3 一p r o p a n e d i o l ”( p r o j e c tn o 2 0 0 1 b a 7 0 8 8 0 1 0 4 ) ，a n dl i f e + xc r o s s - s u b j e c tp l a ni nd a l i a nu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y “s t u d y o n o p t i m a lc o n t r o l i n t h e p r o c e s s o f m i c r o b i a l p r o d u c t i o n o f l , 3 一p r o p a n c d i o l ” t h ec o n t e n t so ft h ed i s s e r t a t i o ni n c l u d et h ee x i s t e n c eo fe q u i l i b r i u ma n dt h es t a b i l i t yc r i t c r i o n ，a n dt h a tan o n l i n e a ro p t i m a lp r o b l e mw i t hc q u a l i t ya n di n e q u a l i t yc o n s t r a i n ti s c o n c l u d e dt a k i n ga s t m p t o t i cs t a b l ee q u i l i b r i u mi nc o n t i n u o u ss y s t e ma sm a i nc o n s t r a i n t c o n d i t i o n ，a tt h es a m et i m e ，t w oo t h e ro p t i m a lc o n t r o lm o d e l sa r cf o r m e dt a k i n gn o n l i n c a rd y n a m i cs y s t e mi nc o n t i n u o u sa n db a t c hc u l t u r ea ss t a t ee q u a t i o n ss e p a r a t c l y t h e e x i s t e n c eo fo p t i m a ls o l u t i o n ，o p t i m a l i t yc o n d i t i o n s ，o p t i m a l i t yf u n c t i o n s ，a n do p t i m a l a l g o r i t h m s & r es t u d i e di ne v e r ym o d e l t h em a i nc o n t r i b u t i o n sa r ea sf o l l o w s ： 1 t h es t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u mo fn o n - l i n e a rd y n a m i cs y s t e mf o rm i c r o o r g a n i s mi n c o n t i n u o u sc u l t u r ei sc o n s i d e r e df i r s tt h ee x i s t e n c eo fe q u i l i b r i u mi sp r o v e d ，t h ec o n - c l u s i o nt h a tt h ee q u i l i b r i u mi st h ec o n t i n u o u sf u n c t i o no ft h ed i l u t i o nr a t ea n ds u b s t r a t e c o n c e n t r a t i o ni nm e d i u mi nac e r t a i nr a n g ei sc o n c l u d e d ，a n dt h es t a b i l i t yc r i t e r i o no f e q u i l i b r i u mi so b t a i n e d i nt h e o r y , i te x p l a i n st h ep h e n o m e n ao fm u l t i p l i c i t ys h o w ni n l a b o r a t o r y i tm e a n s ，i no r d e rt h a tt h ec o n c c n t r a t i o no f1 , 3 - p da t t a i n st h ee x p e c t e d v a l u ew h e nt h es y s t e ma p p r o a c ht ot h es t a b l ee q u i l i b r i u ms t a t e ，w ec a nc h o o s et h e p r o p e rd i l u t i o nr a t ea n ds u b s t r a t ec o n c e n t r a t i o ni nm e d i u mi np r a c t i c e 2t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sf o rp r o d u c t i v i t yo f1 ，3 - p df r o mc o n t i n u o a sa n d b a t c hf e r m e n t a t i o no fm i c r o o r g a n i s ma r ec o n s i d c r c d t a k i n gt h em a x i m u mp r o d u c t i o n s t r e n g t ho fl ，3 一p da st h eo b j e c t i v eh m c t i o n ，t h en o n l i n e a rd y n a m i e a ls y s t e mo fe o n t i n u o u sa n db a t c hc u l t u r ea sm a i nc o n s t r a i n tc o n d i t i o nr e s p e c t i v e l y , t w oo p t i m a lc o n t r o l m o d e l sa r cg i v e ni ne v e r ym o d e l ，t h es y s t e ma n di t ss o l u t i o n sp r o p e r t ya r ca n a l y z e d ： t h ee x i s t e n c eo fo p t i m a ls o l u t i o na n do n e - o r d e rn e c e s s a r yo p t i m a l i t yc o n d i t i o na icd i s c u s s e da c c o r d i n gt h eo p t i m a lt h e o r ya n dm e t h o d so fn o n d i f f e r c n t i a b l ef u n c t i o n t w o o p t i m a l i t yf u n c t i o n sf o ra b o v eo p t i m a lc o n t r o lm o d e l sa r ei n t r o d u c e d ，a n dt h ee q u i v a 微生物发酵非线性系统的稳定性与最优控制 i c n e eb e t w e e nt h eo p t i m a l i t yf u n c t i o na n dt h eo n ( o r d e rn e e e s s a r yo p t k n a i i t yc o n d i t i o l _ l i sc o n c l u d e di ts h o w s ，i nt h e o r y , b yt h eo p t i m mc o n t r o lm o d e l ，w ec a nf i n dt h eo p t i r e a lo p e r a t i n gc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h ep r o d u c t i o ns t r e u g * ho f1 , 3 p dw i l la r t a i nt h e m a x i m u m 3 i nt h ep r o c e s so fc o n t i n u o u sc u l t u r e 、h o wt og e tt h eh i g h e s te o n c e n t la ，t i o no f l ，3 一p dw h e nt h es y s t e ma t t a i n st h ee q u i l i b r i u ms t a t ei st h ea i mo fp r o d u c e r s t h i s a c t u a lp r o b l e mi sc o n s i d e r e da san o n h n e a ro p t i m a lp r o b l e mw i t he q u a l i t ya n d i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t ，t h ee x i s t e n c eo f o p t i m a ls o l u t i o na n dt h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o na r ea n a l y z c d t h eo p t i m a l i t yf u n c t i o no ft h en o n l i n e a ro p t i m a lp r o b l e mi sd e f i n e d ，a n dt h ee q u i v a l e n c e b e t w e e nt h ez e r oo fo p t i m a l i 锣f u n c t i o na n dn e c e s s a r yo p t i m a l i t yc o n d i t i o ni sp r o v e db y i n f i n i t e - d i m e n s i o n a lo p t i m i z a t i o nt h e o r y 4 f o ra b o v en o n l i n c a ro p t i m a lc o n t r o lm o d e l sa n dn o n l i n e a ro p t i m a lp r o b l e m c o r r e s p o n d i n ga l g o r i t h m sa r ef o r m e df i r s t ，t a k i n gt h eo p t i m a l i t yf u n c t i o n t i mt a r m i n a c r i t e r i a ，a na l g o r i t h mi sg i v e nf o rt h en o n l i n e a ro p t i m a lp r o b l e mt h a tt a k e st h e a z y m p t o t i cs t a b l ee q u i l i b r i u m m a i nc o n s t r a i n tc o n d i t i o ni nc o n t i n u o l i sc u l t u r e t h e c o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h mi sp r o v e d n e x t ，f o rt h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi nc o n t i n u o u sc u l t u r e ，ad i s c r e t eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi sf o l l o w e db yt h ed i s c r e t ed y n a m i c s ， t h en e c e s s a r yo p t i m a l i t yc o n d i t i o ni sc o n c l u d e d t h eo p t i m a l i t yf l m c t i o nt h a ti sc o n s i t e n ta p p r o x i m a t i o nt ot h eo p t i m a l i t yf u n c t i o no ft h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi sd e f i n e d i nd i s c r e t eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mt a k i n gi t so p t i m a l i t yf u n c t i o na st e r m i n a lc r i t e r i a ， a no p t i m a la l g o r i t h mf o rt h ed i s c r e t eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi sf o r m e d ，a n dar e e a p i t u l a t i v ca l g o r i t h mf o rt h eo p t i m a c o n t r o lp r o b l e mi nc o n t i n u o u sc u l t u r ei sc o n s t r u c t e d t o o i t sc o n v e r g e n c ei sp r o v e d a tl a s tt h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi nb a t c hc u l t u r ei s a n a l y z e db ys i m i l a rm e t h o da n dt h er e s u l ti sf o l l o w e d k e yw o r d s ：o p t i m a lc o n t r o l ；s t a b i l i t y ； n o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e m o p t i m a l i t yf u n c t i o n ；m i c r o o r g a n i s mf e r m e n t a t i o n 大连理工大学博士学位论文 本文中用到的主要记号 r “一一r l 维实欧式空间 r + 一一所有正实数的集合 一一自然数集合 x ( t ) 一一函数o ( t ) 对t 的导数 2 胪一一j p 所有子集的集合 0 一一空集 一一实h i l b e r t 空间的内积 b ( x ，p ) 一一以x 为心，p 为半径的开球形邻域 q 一一 1 ，2 ，口 ，q 盈一一 0 ，1 ，口) ，qe 卫v 一一 2 盔 e ：一一 ( ，a 1 ，”) r q “i ；：o = 1 ，o ) 。一一“a 1 ，a 。) r qj 甚，= 1 ，o ) w 一一状态变量取值范围 u 一一控制变量取值范围 h 一一初值取值范围 a r g m a x “uf ( u ) 一一( u o u l i ( u o ) ，( t ) ，v u u c 1 ( i o ，1 】，舻) 一一从 o ，1 】到印的所有一阶连续可微函数 c q e 。 一( z ) 一一函数集合 ，j ( z ) b e 。的凸包 h 一一h a m f l t o n i a a 函数 2 叫( ) 一一p 【0 ，1 1 ( ，t ) = ( ) 审( ) 一一d q l ，j ( - ) = 妒( - ) ) a 妒( z ) 一一函数妒( 。) 在点。的次梯度 v 。f ( x ，u ) 一一函数f ( x ，u ) 对u 的梯度 岛一尼。的单位向量 f l m x t 一一序列 墨) 蔷的上极限 l i m x l 一一序列 甄t + ：o o o 下极限 甄三z 一一 甄) 讵耳( c 如) 蔷) 收敛到z d ，( z ；h ) 一一函数f ( x ) 在点z 沿方向h 的方向导数 d 2 m ， ；危) 垒l i m t t o 丝型望型 一一函数，( 让，”) 在点( u ，口) 沿方向h 对第二个变量的方向导数 兰一一被定义为 微生物发酵非线性系统的稳定性与最优控制 1 1 2 1 i 一一r “中z 的范数 d e t a 一一矩阵a 的行列式 a = ( 吼，) 。一一以吼，为元素的m n 矩阵 v f ( x ) 一一函数f ( x ) 的梯度 d f 一一函数，( ) 的g a t c a u x ( f r c c h c t ) 微分 “一一生物量的比生长速率( 小时) d 一一稀释速率，输出速率( 小时) z - 一一生物量的浓度( 克升) z z 一一底物甘油的浓度( 毫摩尔升) 蜘一一产物1 , 3 一丙二醇的浓度( 毫摩尔升) 札一一产物乙酸的浓度( 毫摩尔升) 如一一产物乙醇的浓度( 毫摩尔升) z 。o 一一注入甘油的浓度( 毫摩尔升) 啦一一甘油的比消耗速率( 毫摩尔( 克小时) ) q 3 一一产物1 , 3 一丙二醇的比生成速率( 毫摩尔( 克小时) ) q 4 一一产物乙酸的比生成速率( 毫摩尔( 克小时) ) 酶一一产物乙醇的比生成速率( 毫摩尔( 克小时) ) 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大 学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期： 微生物发酵非线性系统的稳定性与最优控制 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解。大连理工大学硕士、博士学位论文 版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构迭交学位论文 的复印件和电子版，允许论文被套阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编学位论文 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口 ( 请在以上方框内打”，) 作者签名，垄垂垒 指导教师签名墨璺鸯 1 0 6 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 本课题是国家自然科学基金项目“非线性分段光滑动力系统的优化理论与算法”( 编 号1 0 4 7 1 0 1 4 ) 、国家十五科技攻关项目“发酵法生产1 , 3 一丙二醇”( 编号2 0 0 1 b a 7 0 8 8 0 1 一 0 4 ) 和大连理工大学生命+ x 交叉学科建设项目“微生物法生产1 ，3 一丙二醇过程的最 优控制研究”工作的一部分。 本章以微生物发酵生产1 , 3 一丙二醇为背景，介绍了非线性动力系统最优控制问题 研究的意义。包括非线性动力系统与最优控制问题研究的发展历程及现状，微生物发酵 法生产1 , 3 一丙二醇的研究进展最后给出本文所研究的问题及取得的主要结果。 1 1 非线性动力系统最优控制问题研究的意义 最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的科学。主要研 究的问题包括以下几方面：( 1 ) 最优控制规律的寻求。如何根据给定的目标函数和约 束条件，寻找最优控制规律。( 2 ) 系统数学模型的确定。即如何根据系统输入输出确定 系统的数学模型。( 3 ) 状态向量的求得。在已建的系统数学模型的基础上，如何根据受 随机干扰的输出来求状态向量即最优估计问题。( 4 ) 最优控制和自适应控制的实现 最优控制理论应用领域十分广泛，已超越了自动控制的传统界限，它在系统工程、 经济管理与决策、石油工程、生物化工、材料科学、空间技术等许多领域都有着广泛的 应用。正是由于上述原因，人们对最优控制的研究日趋深入，如今已成为学术界非常活 跃的一门学科。它处于数学、工程学、经济学及计算机科学交叉发展的前沿。 最优控制理论中最基本、最成熟的部分是线性控制理论部分，特别是线性二次( l q ) 控制理论。但随着科学技术的发展，人们认识的不断深入，许多实际领域中非线性部分 逐渐涌现出来。因此近年来非线性最优控制问题已成为一热门方向1 1 。由于非线性最 优控制系统的极端复杂性，目前人们都是对某一类型的非线性最优控制问题进行研究。 本文研究的非线性动力系统，是从微生物发酵法生产1 , 3 丙二醇( 1 , 3 一p d ) 的物料 反应平衡方程中抽象出来的这是一个带有参数的、高度非线性常微分方程组，以操作 条件为参数。而寻求最佳的操作条件就是一个以非线性动力系统为主要约束的最优控 制问题。本文研究了该系统的稳定性与最优控制。这是控制论与生物化工交叉发展的前 沿课题，不仅推动了非线性动力系统最优控制问题的发展，而且为1 , 3 一丙二醇的产业 化设计提供理论指导，具有一定的理论与现实意义 1 2 非线性动力系统的研究概况 1 9 世纪末，p o i n c a r c 等从经典力学和常微分定性理论的研究中，提出了动力系统 微生物发酵非线性系统的稳定性与最优控制 的概念矧。而微分动力系统的研究，始于本世纪末6 0 年代初p e i x o t c 等人的工作。由 于微分几何和微分拓扑的发展，在s m a l c 3 等人的倡导和推动下，这一学科基本理论 的研究取得了巨大的进展。自2 0 世纪7 0 年代，动力系统中的混沌现象发现以来，突 变、混沌、分叉、分形、图斑等非线性科学成为各国科学家研究的中心问题之一。人们 从各个角度研究了非线性动力系统。8 0 年代中期，我国数学家广泛应用d u l a c 函数法 和旋转向量场理论证明了二元动力系统极限环的存在性，对某些简单的二次系统得出 分支曲线或曲面的全局图形，发现了方程的奇点、细焦点和细鞍点之间的异同，这些工 作极大地推动了动力系统定性理论的发展l “。近几年来，王其如、冯兆生、费树岷等 5 1 1 6 1 分别研究了二阶非线性微分方程的一些振动准则，和用b r o u w e r 不动点定理研究 了一类一阶非线性微分方程解的振动性及渐近性。陈秀等 7 1 研究了一类二阶非线性微 分方程初值问题的奇摄动，得到了解的存在性与具有不同量级校正项的渐近展开式。 任艳霞等9 】研究了一类非线性微分方程非负解的存在性、封闭性、最大最小问题及 d i r i c h l e t 问题与随机d i r i c h l e t 问题非负有界解的精确表达式国夕卜也有很多文献，如 s m o i c n ”】、c h e e r y 、a d l e r “i 、w o l f 和e e c k m a n 等 1 2 1 分别研究了调节系统的动态 行为与反馈环之间的关系。t h o m a s 等 1 3 - 1 5 1 又注意到生化反应中自身动态平衡与变异 的生态现象与系统的反馈结构之间的关系，特别地指出负反馈环的稳定周期可用动态 平衡来解释2 0 0 0 年以来，a h m e d 1 6 - i s ，r o d r i g u e s ”1 ，c u z z a l a 2 0 l ，e 1 一f a r r a l “j ， f c r n a n d o 等研究了b a n a e h 空间中脉冲系统与分段仿射系统中测度解、适度解的存 在性、正则性与可控性，并用l y a p u n o v 函数论述了在有界噪声影响下的r o b u s t 性， 以及r o b u s t 混杂预测控制结构为克服系统的非线性性，一种常用的方法是把方程线 性化，由h a r t m a n - g r o b m a n 定理和稳定流形定理 2 a l ，它们将保证非线性系统在平衡 点附近的性态与相应的一阶线性近似系统在原点附近的性态是拓扑等价的。这方面与 舍入误差的研究也有很多文献【“6 1 。当非线性动力系统方程可用不连续的阶梯函数 来逼近时，就可以把非线性微分方程化为逐段线性微分方程来解。诸多文献研究过这种 逐段线性化过程 2 7 - a o l 。还有一种克服非线性的方法是数值模拟。对此， c a r r i e r 、苏 志霄等人做了大量的工作1 3 1 - 3 6 ，一些计算机工具也用来模拟和分析一些生态反应系 统1 3 7 - 3 9 1 但是，生态反应方程中一些动态参数的确定限制了数值方法的使用。因为只 有我们已熟知的一些系统，参数是已知的，很多待研究系统的参数都是未知或待定，对 方程个数较多的系统来说，选择合适的参数是非常困难的虽然有些系统参数可以通过 参数辨识估计出来，但有文献表明 4 0 i 4 1 1 ，有些基因调节系统的重要性质较强的依赖于 系统的参数，这是应用数值模拟方法的巨大障碍。 1 3 非线性最优控制问题的研究概况 维纳在仰年代提出了相对于某个性能指标进行最优设计的概念。1 9 5 1 年，m c d o n a l 2 大连理工大学博士学位论文 首次将这个概念用于研究继电器系统在单位阶跃作用下的过度过程时间最短的最优控 制问题。到了5 0 年代末6 0 年代初，在空间技术和数字计算机实用化的推动下，动态 系统的优化理论得到了迅速发展，逐步形成了一个重要分支一最优控制。 非线性最优控制理论主要研究变分理论及最优性条件。首先叙述变分理论发展过 程。c a l i c o 在1 6 3 8 年提出两个典型问题：一个是重链悬挂在两点之间的问题，即悬链 线问题；另一个是在重力作用下，沿两点间一条线滑动小球移动时间最短问题，即最速 降线问题。在1 6 9 7 年，b c r n o u l l i 把他的同时代的数学家们研究的结果以及他本人的 研究结果编成一本书出版后来，e u l c r 把这个问题表达成一般形式：就是在区间a , b 1 上，找到具有端点值的曲线( 亡) 使得 一 j = 工 ， ) ，2 ( t ) ) d t j o 最小，其中l ( t ，z ( ) ，未( ) ) 是已知函数。并且他又给出关于曲线x ( t ) 的最优性必要条 件： 面d 谠。| c 9l , 。( t ) ，圣( t ) ) ) = 罴工( ，。( ) ，( t ) ) 1 7 5 5 年，l a g r a n g e 在给e u l c r 的信中，提出基于最优衄线的扰动或变分利用未确 定的乘子描述了一个解析逼近，并且能够直接导出e u l c r 的必要条件，这就是我们知道 的“e u l c r l a g r a n g e 方程”。后来称这个逼近为“变分法”。 e u l c r - l a g r a n g c 方程只是基于一次变分推导得到的。1 7 8 6 年l e g c n d r e 研究t - - - 次变分，并针对数量情况提出了一个二阶最优性必要条件后来，c l o b s c h 把这个结果 推广到向量情况，这就是我们知道的l c g c n d r c 、c l c b s c h 条件：l 。( ，。( t ) ，i ( t ) ) 2o 。 但是经典变分理论只能解决一类简单最优控制问题，它对无约束或开集性约束是 有效的。而实际问题中碰到的多是容许控制集属于闭集情形。这类问题可描述如下： ，6 m i nj ( u ) = l ( t ，。( t ) ，u ( t ) ) d t j o s t 童( t ) = f t ，z ( t ) ，u ( ) ) x ( a ) = x 0 ，x ( b ) = x l( 1 3 1 ) u ( t 1 q r ” a t b 这个问题的最优性必要条件是由p o n t r y a g i n 4 q 给出的，即著名的“极大值原理”。被表 示成如下形式： 州) = 罴即，州咄“w ) ，州啪，矾t ) = 一是即，州巩“w ) ，州啪 3 微生物发酵非线性系统的稳定性与最优控制 h ( ，。+ ( 帅+ ( + ( t ) ) = r a u f i n 2h ( 。，矿( t ) ，u ( + ( ) ) 其中h ( t ，。( f ) ，u 0 ) ，a ( ) ) = l ( t ，z ( t ) ，u ( ) ) + a t ) ， ，z ) ，“( ) ) 一宝( ) 。 极大值原理最有意义的贡献是，在6 0 年代初，推动了最优轨道数值方法的大规模 的研究工作但基于极大值原理的算法，其每一步迭代中包含解极大值原理中的状态方 程与协态方程，还需用直接微分法求泛函的梯度，造成数值计算难以实现。因而极大值 原理的主要贡献还在于理论。最优控制理论的研究和p o n t r y a g i n 极大值原理的出现， 从控制理论的科学思想。方法和内容，以及后来达到的成功的应用。都是控制理论划时 代的进步，标志着控制理论发展的一个新阶段与里程碑。1 9 6 2 年，m i n 【4 3 1 对类似 ( 1 3 1 ) 最优控制问题推广了t o n e i l l 存在性定理。 2 0 世纪5 0 年代，r b e l l m a n 的动态规划法( d y n a m i cp r o g r a m m i n ga p p r o a c h ) “l 的出现，为系统最优控制的研究提供了新的思路和方法。从概念上讲，动态规划方法把 原来的动态系统的最优控制问题，考虑成按动态系统的初始状态参数化的一旅控制系统 的最优控制问题它的数学内容是：这一族动态系统最优控制问题的性能指标的最优值 函数，满足一个称为h a m i l t o n j a c o b i b e l i m a n ( h j b ) 偏微分方程。一旦求得这个h j b 偏微分方程的解，则可求得最优反馈控制律、最优控制和性能指标的最优值。2 0 世纪 8 0 年代初，对于h j b 偏微分方程粘性解概念的引入，给出了一个不可微的甚至不连续 的函数作为h j b 方程解的精确定义。粘性解的概念提供了一个简单的准则来确定解的 唯一陛，以及在摄动情况下的稳定性。h j b 偏微分方程粘性解概念的引入和粘性解存 在唯一性的解决，使得动态规划方法出现了有意义的进展和严格的数学理论基础。动态 规划方法的重要性，在于h j b 偏微分方程理论提供了开环和反馈之间的一种联系。基 于h j b 方程导出的一个特殊方法是微分动态规划( d i f f e r e n t i a ld y n a m i cp r o g r a m m i n g 简记为d d p ) ，它是应用性能指标关于控制与状态轨道的t a y l o r 一、二阶展开式逐次 逼近其解。对于线性动力系统二次性能指标的最优控制问题( l q p ) ，可证明d d p 法 一步收敛。一般说d d p 法比常规的线性化法好得多。 最近，s a r g e n t i 州关于一般微分一代数方程与混合不等式约束的最优控制问题提 出了最蚀 生必要条件。b e l l 等人 4 6 】对( 1 3 1 ) 式在b 一+ 。时积分值有限情况下，用 “强最优性准则”推广了r o x i n 的结果。可是在许多情况下，这积分值是无限的，于是 不断减弱的最优性条件被相继提出来i 一。 r o e k a f c l l a i ，c l a r k e ，l o c w c n ，m o r d u k h o , a c h 和z e i d c n 等人研究了两个更 般形式的最优控制问题： 大连理工大学博士学位论文 ( 1 ) 微分包含问题： 一 r a i nj = j ( z ( o ) ，。( 6 ) ) + 工( t ，。( t ) ，窑( t ) ) d j o 5 ，t 圣( f ) f ( t ，z ) ) ，t ( a ，砷8 e ( z ( a ) ，z ( 6 ) ) c r 2 “ 其中z ( 0 在( 。，b ) 上是绝对连续函数，f ： 8 ，纠卵一2 ”是多值映射。 ( 2 ) 广义b o l z a 问题： m i nj = f 扛( 咄z ( 6 ) ) + z 6 l ( t ，z ( 氓峦( 啪出 其中z ( t ) 在b 锄上是绝对连续函数。 c l a r k e 在文 4 8 中对下面 r a i nj = f ( 。( 6 ) ) s t 士( t ) f ( z 0 ) ) ，t ( a ，b ) o8 。( o ) = z o 及带有终端约束z ( 6 ) s 。其中s 是闭集，两个微分包含问题给出了最优性必要条 件。在文4 9 1 中l o e w e n 等人对包含状态约束的微分包含问题给出了最优性必要条件。 最近，l o e w e n 和r o c k a f c l l a r 发表两篇文章对广义b o l z a 问题给出了最新最优性 必要条件 5 0 1 1 ”】。在第一篇文章中他们对a ，b 固定情况进行了讨论，在第二篇文章中 对a ，b 是变量情况进行分析。z e i d a n 5 2 】对于带有混合状态一控制不等式约束的( 1 3 1 ) 问题提出了二阶必要和充分条件。 近年来，我国学者对最优控制理论进行了一系列的研究，并取得了不少令人瞩目的 结果。我国科学家钱学森、宋健、张嗣赢等人较早开始了最优控制研究。李训经和雍炯 敏等人研究了约束最优控制的最大值原理，满足r i c c a t i 方程充要条件以及无限维 空间中的控制理论。刘康生等人删研究了非均匀各向异性问题的辨识性及应用。汪更 生i “_ 5 w ，楼红卫【5 9 】例，高夯i o t 】等人对各种类型的抛物线方程和退化拟线性、半线 性椭圆方程等动力系统的最优控制问题，论述了极大值原理。姚鹏飞1 6 2 1 等人研究了薄 壳等各种模型的能观陉不等式。陈任昭等人对各种非线牲种群系统的控制论论述了 其最优性条件。王康宁阻】对最优控制理论的数学基础作了详细地论述喻文焕i ”j 就参数带有逐点约束的识别问题作了详细的讨论，将原问题抽象为一个约束最优化同 题 5 微生物发酵非线性系统的稳定性与最优控制 近十几年来，r o b c r t s 0 7 t 6 s 对非线性最优控制系统提出一种动态系统优化与参数 估计集成( d i s o p e ) 方法，李俊民、万百五等【7 0 1 提出了基于双线性模型的d 1 s o p e 方法和基于时变线性二次型问题的动态优化和参数估计集成的算法，这两种办法都能 逼近实际问题的最优解。宫锡芳对最优控制问题的计算方法作过系统的研究，陈祖浩研 究了约束最优控制问题的罚函数。钟万勰、邓子辰 7 1 1 利用精细积分方法计算非线性动 力系统。最优控制理论在工业过程控制和航天、武器控制等方面应用上取得了很多成 果。s m o l c n 【1 0 l 、江胜宗、冯恩民等i n - 刊对基因网络中转录作用控制、侧钻水平井轨 道控制等非线性系统研究了解的存在性、可控性及优化算法。 1 4 微生物发酵法生产1 ，3 一丙二醇的研究现状 1 ，3 一丙二醇和其他二醇( 如乙二醇、1 , 2 一丙二醇等) 都是重要的化工原料，主要用 作聚酯和聚氨酯的单体以及溶剂、抗冻剂和保护剂等 7 5 1 。早在1 8 8 1 年，就有关于将 甘油转化为1 ，3 _ 丙二醇的描述，但没有引起人们太多的关注，直到一个世纪后，逐渐发 现由1 , 3 一丙二醇和另一种化工原料合成的聚酯较之其他原料合成的聚酯具有许多更优 良的特性，因而成为人们研究的一个热点。目前， 1 , 3 丙二醇的工业生产方法主要是 化学合成法，需要在高温和贵重催化剂下进行：产品除1 , 3 丙二醇外还有其他性质相 近的副产品，致使产品分离、纯化较困难，生产成本相应较高，操作条件恶劣，也就