（应用数学专业论文）时变网络最大流问题的新算法.pdf

摘要 在我们的日常生活中，网络无处不在，它们以各种各样应用为背景的形式出现。 通常，当网络中所有的参数，如点的容量和弧的容量都是常数，也不考虑流在运输过 程中所需的时间，这样的网络就被看作静态的。但是这些假设在现实生活中未必成 立。例如，一支舰队，从一个港口出发到达另一个港口，途中所需时间是需要考虑 的，还有航道的容量和泊位的数量也都可能随着时间的变化。若一个网络的参数会随 着时间而变化，则称这样的网络为时变网络。与静态网络相反，目前只有少数几种解 决时变网络最优化问题的方法。 在这篇文章中，我们考虑时变网络的最大流问题。g ( ，a 6 ，z ) 表示一个时变网 络，是点集，a 是弧集，6 ( t ，j ，t ) 是流经弧( ，歹) ( ( i ，j ) a ) 所需的传输时间，z ( ，互t ) 是弧( t ，歹) 的容量。6 ( t ，歹，亡) 和2 ( t ，j ，t ) 都是弧( 1 ，j ) 第一个点上流的出发时间亡的函 数，亡= 0 ，1 ，2 ，t ，t 口 0 ) 是一个给定的数。时变网络最优化问题就是在时间限 制t 内，从发点送尽可能多的流到达收点，这个问题已被证明是p 完备问题。 本文的文章结构如下：首先，基于伪流我们提出一个解决时变最大流问题的算 法，剩余容量收缩算法。然后我们给出时间标号算法使得所求最大流的每个子流到达 终点的时间都是最早( 或最晚) 的。我们用同样的算法解决了最短间隔路问题，即所 求解中每个子流出发时间和到达时间之间的间隔是最短的。在这篇文章中，我们考虑 两种等待条件，它们分别是零等待时间和任意等待时间，我们证明算法正确性的同时 也列举算例阐明算法如何进行运算，每一种算法都能在伪多项式时间内找到最优解。 关键词：最大流，时变网络，剩余容量收缩算法，时间标号算法，最优化，伪流 a b s tr a c t n e t w d r l 【se ) d s te v e r y w h e r ei no l l rd a i l yu v 鹤 t h e r ea r eal i 巩o f 印p l i c a t i o 璐 w b j c bc a nb em o d e l e da san e t w o r ko p t i n l i z a t i o np r o b l e m u s u a l l y an e t w o r k i st r e a t e d 嬲as t a t i cm o d e lw h e r ea ua t t r i b u t 鹤，s u c h 嬲t h en o d ec a p a u c i t ya i l d t h e 盯cc 印a c i t y a r ec o n 8 t a n t 8 ，趿dt h ef l o wt r a n s s h i p p e di ni tt a k e 8z e r ot i n l e h 帆r e v e r ，t h 鹪ea 黯啪p t i o 璐m a yn o th o l di no u rr e 越w o r l d af l e e t ，f o r 饮a m p l e ， s h o u l dt 出【et 洫e 矗o mo n eh a r b o rt o 龇1 0 t h e r ，踟1 dd us i t u a t i o 璐，s u i 出t h ec a p a d t y o ft h e 黼r 啪ya n dt h en u i 】曲e ro fb e r t h 8 ，m a y 、，a 巧0 v e rt i m e an e t w o r k 而t h t i m 争v a 巧i n ga t t r i b u t 鹤i sc a u e dt h et 蛔睁v a 吲n gn e t w o r k i nc o n t r 8 s tw i t ht h e s t a t i cn e t w o r k ，t h e r ea r eaf b wa p p r o 诎l 馏f o r8 0 l v i n gt h et h e - v 踟了i n gn e 拥砷r k o p t i l n i z a t i o np r o b l e m i nt l l i st h 鹤i s ，陀c o 璐i d e rt h em 踊加【u l nn o wp r o b l e mi i lat i m e - 、，a 巧i n g n e t w o r k at i m 争v a 】啊n gn e t w d r ki sd e n o t e db yg ( ，a ，6 ，1 ) ，w h e r e i st h en o d e s e t ，ai st h ea r es e t ，6 ( t ，歹，亡) i 8t h et r a 瑚i tt i m en e e d e dt ot r a ：v e r 跎龃c ( i ，j ) a a d l dz ( i ，歹，亡) i 8t h ec 印a c i t y0 fa r c ( i ，歹) b 0 t h6 ( i ，j ，亡) a d l dz ( i ，歹，亡) a f u n c t i o 璐 o ft h ed e p a r t u r et i m eta tt h eb e g i n i l i n gn o d eo fa r c ( i ，j ) ，w h e r et = o ，1 ，2 ，t a n dt0 i 8ag i v e nn 姗曲e r t h ep r o b l e mi st 0 n dt h en o w 鹪m u c h 嬲 p 嘲i b l e 缸i mt h es o u r c en o d et ot h es i i l l 【n o d en ol a t e rt h a nt h et i m el i 血tt t h ep r o b l e mi 8k n o w nt ob en p c o m p l e t e f i r s t ，w ep r o p o s ea na ：i g o r i t l l i i lt o8 0 l v et h et i m 争v a r y i n gm a 函m _ 眦丑0 w p r o b l e mw i l i l ea d o p t i n gp r e n 0 w p u s hs t r a t e 醪 t h e n ，w ep r e s e n ta nm 9 0 r i t h m t o 丘n d8 u c ham 嬲i n m ma o ws o l u t i o nt h a th 嬲t h ee 射l i 鹤t ( o rt h el a t e 8 t ) 删v a l t i m ea tt h es i n l 【n o d e t h r o u g h o u tt h i st h e s i s ，t w ok i n d 8o fw a i t i n gc o 瑚t r 8 i n t s a r ec o 瑚i d e r e d ，t h e ya r ez e r 0w a i t i n ga n da r b i t r a 巧w a l i t i n gr e s p e c t i v e l y e a c h a l g o r i t h mc a n6 n dt h eo p t i m a ls o l u t i o ni l lp s e u d o p o b m o m i a lt i m e k 佩帕r d s ：m a 函m 眦n o w ，t i m e - v a r y i n gn e 你r k ，e x c e 鹃s c a l i n ga l l g o r i t h m ，t i m e l a b e n n ga k o r i t h m ，0 p t i m i z a t i o n ，p r e 丑o w n 6 ( 主，歹，亡) l ( 茁，歹，亡) z ( ，j ，t ) 入 ，( 入，t ) p ( 8 ，z ) 丁( 兢) q ( 甄) u ( 戤) ( p ) 口( z ) d ( 叠，t ) e ( 主，亡) m ( ，亡) m a i nn o t a t i o n s n e t _ o r k t h es e to f n o d e 8 t h es e t0 fa r c s t r a 瑚i tt i m eo fa r c ( t ，歹) a tt i m e 亡 c a p a u c i t y0 fa r c ( i ，j ) a tt i m e 亡 t h ef l o wt r a n s s h i p e do na r c ( i ，j ) s t a r t i n ga tt i m et s p e c i 勾w l l e n 舭l dh o wt o n da o w 8 矗o mt h es o u r c e8t o t h es i n kp t h et o t a l lv a l u eo f 丑o w 憾u n d e rt h es o h l t i o naw i t ht h e d e a d u i l et am r e c tp a t h 行o mst oz t h ed e p a r t l l r et i m eo ft h en o wa 土i l o d e 戤 t h e 盯r i v 蛆t i m eo ft h e 丑o wa tn o d e 玩 t h ew 撕t i n gt i m eo ft l l ea o wa tn o d e 戤 t h ec a p a c i t yo f p a t hp t h es e t0 fa r c se m a n a t i n gt on o d ei t h ed i s t a n c el a 由e lo fn o d eza tt i m et t h ee = 翻：船8o f n o d eia tt i m et t h et i m e1 a b e 】o fn o d eta tt i m e 亡 n 1 g a 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究 成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表 示了谢意。 作者签名：咯浮辞日期：砂8 岁哆 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 储样：嘲翩獬涉丹醐：洲。哆 a c k n o w l e d g e m e n t s t h e 猢m p l i s l u n e n t0 ft h i st h e s i sb e n e 6 t 8f r o mt h ee n u g h t e i l m e n t0 fm ys u p e r _ v i 8 0 r ，a 蹈o c i a t ep r 幽e s 8 0 rs h ae a n ，谢h o s ei 瑚p i r i n gi 璐i g h t s ，g e n e r o u 8e n c o i l r a g p m e n t s ，a r l de n t h l l s i a s t i ci n s t r u c t i o n sh a 她f a c i l i t a t e dm e m c ht h r o u g h o u tm y w r i t i n gp r o c e 豁h i sp e n e t r a t i n g 秕1 di n s i g h t f mc o m m e n t s 赶6 r dm e 丽t hi n s p i r i n gs o u r c e h eh 硝b e e ni nc o n s t a n tc o n c e ma b o u tm yp a p e r ，s p a r e dn op a i 璐 t oe n t e r t a i ni n yt h e 8 i sd r a r s om yd e e p 鹤tg r a t i t u d eg o 鹤矗r 8 t 舭mf b r e m o s tt o h i m n e 吼，1w o u l dl i k et oe x p r e s s l yh e 盯t f e l tg r a t i t u d et o 吞nt e a c h e r si n m a t h e m a t 油a n ds c i e n c e sc o l l e g e ，s h a n g h 越r m a lu n i v e r s i t y w i t h o u tt h e i r c 0 瑚i s t e n t8 n di u u m i n a t i n gi 瑚t r u c t i o n s ，ic 趿n o t 最n i s hi n ye d u c a t i o nf o rm 船t e r d e g r e es u c c e 鹃i v e l y ia ma l s o 伊e a t l yi n d e b t e dt ot h ep r o 瓶s o r 8a n dt e a c h e r sa t t h ed e p a r t m e n to fa p p l i e dm a t h e m a t i c s ：p r 础e s s o rz h a n gj i z h o u ，p r o f e 鹃o rz h u d e t o n g ，p r o f e 觥s my o n g b i n g ，p r o 妇s 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i t l 皿，c a p a u c i t ys c a h n ga l g o r i t h m ， g e n e r i cp r e n o wp u s ha l g o r i t h m ，f i f op r e 丑o w - p l l 8 h 出o r i t h ma n ds oo n a l - t h o u g hm o s to ft h ea l g o r i t h i 璐p r e s e n t e di nh t e r a t u r e 8t os o l v et h es t a t i cm a 撕一 姗皿丑o wp r o b l e m1 0 0 kr a t h e rd i 艉r e n tf 如mo n ea n o t h e r ，q l l i t eo 危e nt h e y8 h a u r e ac o m m o ns t r u c t u r e al a r g ed a 鹄o fm g o r i t l 1 si s6 h a 黝虻t e r i z e db yt h ef a c tt h a t t h ev a l u e0 ft h ec u r r e n tn o wi 8i n c r e a s e da te a c hi t e r a t i o nb ya d d i n ga d d i t i o n a l 丑0 w 茂l o n ga u g ：i n e n t i n gp a t h s ，嘣i ln oa u g m e n t i n gp a t hi 8f b u n d ，s 0o b t 砒旺i n g am a 妇m u m 丑o w i tc o m ，e r t st h ef e a s i b l e 丑o w si i l t ot h eo p t i n l a l a n o t h e ri m - p o r t a n tc l a 跚o fa l g o r i t h m si sp r e f l o w p u s ha l g o r i t h m i tf 1 0 0 dt h ei l e 弧r o r ks 0 t h a ts o m en o d e sh a l v ee x c e s 8 e 8 t h e 8 ea l g o r i t l l i n 8i n c r e m e n t a 坶r e l i e v e 丑o w 行o m n o d 韶w i t he x c e s s e sb ys e n i i n g 丑o w 矗o mt h en o d ef o r w a r dt o w a r dt h es i n kn o d e 0 rb a c 妇dt 伽吼r dt h es o u r c en o d e 龇1 d 铲a d u 砒l yc o n v e r t i n gt h e s ep r e a 伽喝i n t o af e 硝i b l ea o w i ta 丑s om a k 髑s e n s ef o rt h et i m 争v 龃舛n gn e t w o r k f 0 r da n df l l l k e r 8 0 n ( 1 9 6 2 ) h a v ed e v e l o p e da ne 伍c i e n tp r o c e d u r et o 丘n d t h eo p t i m a l ls o l u t i o nf o rt h e i rm o d e lt h a tt h et r 锄i tt 洫et ot r a v e r s e 觚盯ci s t d k e ni n t oc o 瑚i d e r a t i o n 。w h i c h 矗r 8 t n l st h es t a t i cn o wf o mt h e8 0 u r c et ot h e s 谊k ，a n dt h e nd e v e l o p sas e to ft e m p o r a u yr 印e a t e d 丑o w 8 ，c a u e dc h 撕nn o w s ，t o f o r mt h eo p t i m a ln o w i ts i m i l 盯t o 丑n d i n ga u g m e n t i n gp a t h 8w i t h i nt i nt h i st h e s i s ，w e 而up r o p o s et w oa l g o r i t h m st os o l v et h et i m e - v a 哪i n g m a 菇i n u mn o wp r o b l e m ，o n ei sa ne ) c c e 鹋8 c 出i n ga l l g o r i t h ma n dt h eo t h e ri sa c h 印t e r1l n t r o d u c t i o n l a b e l i n ga l g o r i t h m b o t ho ft h e ma r eb a s e du p o nt h ec o n c e p tp r e n o w 1 2 a p p l i c a t i o n s 5 t h ec e n t r a lt h e o r e mi nt h es t u d y0 fn e t w o r ka o w sn o to n l yp r 硎d e su s 丽t h 姐 i 璐t r u m e n tf o ra n a l y z i n ga j g o r i t h i 凹，b u ta l s op e m i t su st om o d e la 血e t y0 f a p p l i c a t i o n s e x 锄p l 铭0 ft h em d 玎眦ma o wp r o b l e mi n c l u d ed e t e 加血l i n gt h e m a 越珊瑚n o wo f ( 1 ) p e t r o l e i 皿p r o d u c t 8i nap i p e h n en e t w o r k ，( 2 ) c a r si