（应用数学专业论文）金融时间序列分析中的小波方法.pdf

摘要 小波分析理论是目前科学界和工程界讨论和研究最多的课题之一，它包含了 丰富的数学内容，又具有巨大的应用潜力。小波分析是在f o u r i e r 分析的基础上 发展起来的，是调和分析近半个世纪以来的结晶。其基本思想是将一般函数( 信 号) 表示为规范正交小波基的线性叠加，核心内容是小波变换。由于小波变换在 时域和频域领域具有良好的局部化性质，能自动调整时一频窗，以适应实际分析 需要，因而已成为许多工程学科应用的有力工具。 本文首先系统地讨论了小波分析和金融时间序列的一般理论，并根据小波在 信号消噪方面的应用，结合时间序列的预测模型，提出了一种基于小波分解的消 噪预测模型，并将其与原预测模型进行比较。比较试验结果发现，应用消噪后的 数据进行模型预测比原始数据进行直接预测相对误差更小，从而精度更高。其 次根据小波变换及多分辨分析理论，对金融时间序列进行奇异点检测，结合1 0 0 个实际数据进行奇异点检测，并结合实际背景给出了此奇异点的合理解释。 最后本文利用小波可以识别含噪信号中有用信号( 低频信号) 的发展趋势的 原理，提出了应用小波变换对金融时间序列的发展做出短期预测的方法，并利用 股市数据做实证分析。结果表明，此方法是有效的。 关键词：金融时间序列：小波分析；奇异性；消噪；预测 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i st h e o r yi so n eo ft h et o p i c sw i d e l yd i s c u s s e da n ds t u d i e di nt h e c o m m u n i t i e so fs c i e n c ea n de n g i n e e r i n gc u r r e n t l y i tn o to n l yi n c l u d e sr i c hk n o w l e d g e i nm a t h e m a t i c s ，b u ta l s oh a sw i d el a t e n ta p p l i c a t i o n s b a s e do nt h ef o u r i e ra n a l y s i s ， w a v e l e ta n a l y s i si st h eg r e a ta c h i e v e m e n to fh a r m o n i ca n a l y s i si nt h ep a s th a l fc e n t u r y i t sb a s i si d e ai st o e x p r e s s ag e n e r a lf u n c t i o nb yt h el i n e a rc o m b i n a t i o no fa n o r t h o n o r m a lw a v e l e tb a s e w a v e l e ta n a l y s i sw i t ht h ec o r eo fw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n h a sb e c o m ea ni m p o r t a n tt o o li nm a n ye n g i n e e r i n gs u b j e c t sb e c a u s et h ef a v o r a b l e l o c a lp r o p e r t i e so fw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o ni nt i m e - d o m a i na n df r e q u e n c y 。d o m a i nc a n a d j u s tt h et i m e f r e q u e n c yw i n d o wa u t o m a t i c a l l yt os a t i s f yt h en e e d so fa n a l y s i s i n p r a c t i c e i nt h i st h e s i s ，t h eb a s i ct h e o r yi nw a v e l e ta n a l y s i sa n df i n a n c i a lt i m es e r i e si s s y s t e m i c a l l y d i s c u s s e df i r s t l y t h e nb a s e do nw a v e l e td e c o m p o s i t i o na n dt h e a p p l i c a t i o no fw a v e l e tt ot h ee l i m i n a t i o no fs i g n a ln o i s e ，c o m b i n e dw i t ht i m es e r i e s m o d e lf o rp r e d i c t i o n ，o n ep r e d i c t i o nm o d e lw i t ht h er e d u c e ds i g n a ln o i s ei sp r e s e n t e d ， a n dc o m p a r e d 、析吐lt h eo r i g i n a lp r e d i c t i o nm o d e l t h er e s u l t ss a yt h a tp r e d i c t i o nw i t h t h ed a t aw h i c hh a sb e e nr e d u c e dn o i s ef r o ml e a d st oas m a l l e rr e l a t i v ee r r o ra n da h i g h e rp r e c i s i o nt h a n t h a td o e sd i r e c t l yw i t ht h eo r i g i n a ld a t a t h e nw a v e l e t t r a n s f o r m sa n dm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sa r ee m p l o y e dt od e t e c tt h es i n g u l a rp o i n ti n f i n a n c i a lt i m es e r i e sw i t ht h er e a ld a t ao f10 0s t o c k s a n dt h er e a s o n a b l ee x p l a n a t i o n o ft h a ts i n g u l a rp o i n ti sg i v e nw i t ht h ei n c o r p o r a t i o no fb a c k g r o u n di np r a c t i c e f i n a l l yt h et h e o r yt h a tw a v e l e tc a nr e c o g n i z et h eu s e f u ls i g n a lf r o mt h a t w i t h n o i s ei sa p p l i e dt of o r e c a s tt h ed e v e l o p m e n to ff i n a n c i a lt i m es e r i e si nas h o r tt i m e a n dt h er e a ls t o c kd a t ai su s e dt od os i m u l a t i o n s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h i sm e t h o di s e f t c i e n t k e y w o r d s ：f i n a n c i a lt i m es e r i e s ；w a v e l e ta n a l y s i s ；s i n g u l a r ；r e d u c t i o no fs i g n a l n o i s e ；p r e d i c t i o n 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ：塾丝2 0 0 6 年6 月7 日论文作者( 签名) ：i 丝翌竺：年6 月7 日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术 期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或 电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外， 允许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权 河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ： 绺丝 2 0 0 6 年石月7 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 金融市场是国家经济生活的核心，寻找其中的变化规律，进行有效合理的 管理和完善各种金融组织体系是各国政府及相关研究机构孜孜以求的目标之 一。而其中对于金融资产风险的防范与规避一直是金融研究的核心课题。经过 2 0 多年的改革开放，中国金融市场已深深地融合到全球金融体系之中。特别是 加入w t o 之后，我国的金融业已面临着更多的发展机遇和更大的挑战，但同 时也意味着将在更大程度上受到全球金融市场的影响和冲击。因而研究如何防 范金融风险，确保金融安全，把金融市场的开放和金融自由化对中国经济发展 的不利影响降至最小具有非常重要的理论意义和实际价值。目前，我国的金融 业经过几十年的高速发展已经具有相当规模的市场，在许多投资活动中已累积 了一定的历史数据，而对历史数据的有效分析，从中寻找有利的潜在信息对于 预测经济收益和防范风险都具有重要的作用。 金融市场的数据绝大多数都是“时间序列”数据，即指这些数据是按照时 间顺序取得的一系列观测值【l l ，如股票或期货价格、货币利率、外汇汇率等。 这些数据具有非常复杂的变化规律，而利用一定的数学方法对其进行分析和研 究将有助于制定更为精确的定价和预测决策，当然对于金融投资与风险管理活 动具有十分重要的意义。金融时间序列分析主要是以数理统计的理论和方法为 基础，通过模型假设、参数估计、回归分析等技术来描述其内在的规律。坚实 有力的数学工具和翔实的数据使金融时间序列分析成为金融经济研究中独具魅 力的一块领域，例如美国经济学家e n g l e 和英国经济学家g r a n g e r 就因其提出的 a r c h 模型和协整理论而荣获2 0 0 3 年度诺贝尔经济学奖。 一般的，时间序列的分析可以通过时域和频域两个途径进行。但是很多金 融、经济时间序列表现出较强的非平稳性和长记忆性，这使得许多传统的单独 集中于时域或频域研究的分析方法已经不再适用了。而小波分析作为一种新型 的信号分析方法，因其在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，被誉为“数 学显微镜”，因而它非常适用于分析非平稳信号【2 j 。小波分析是近2 0 年发展起 河海大学硕士学位论文 来的新兴的数学分支，也是目前数学界和工程界讨论最多的话题之一，并且已 经在信号和图像处理、模式识别、语音识别、地震勘探等众多学科中得到了广 泛应用，但在金融时间序列分析和建模中的应用却相对较少。但是近年来，小 波分析方法在金融时间序列分析中的重要地位已经越来越受到人们普遍关注， 如国家自然科学基金委“九五”重大项目金融数学、金融工程、金融管理 的项目研究人员已经开始采用小波分析方法对诸多金融问题进行深入的定量研 究，这将为我国今后制定合理有效的资金运作策略，规避一定的金融风险起到 更为积极的作用。因而可见小波分析方法在金融时间序列方面的应用，是一个 值得深入研究的课题。 1 2 文献综述 1 2 1 金融时间序列分析发展综述 传统的时间序列分析起源于对经济活动中的价格变动的研究，如物价指数、 产品的销售量、股票的价格指数及广告支出与销售收人等。这些数据大都表现 为随时间的变化而变化的一系列观测值，对这些随时间变化而不确定的数据进 行有效的定量分析，无疑可以对未来的经济活动进行更为深刻的指导。时间序 列分析最基本的理论基础是上世纪4 0 年代分别由n o r b o r tv i e n e r 和a n d e i k o l m o g o n o r 独立给出的，他们对发展时间序列的参数模型拟合和推断过程做出 了贡献，促进了时间序列分析方法在工程领域上的应用。1 9 6 8 年，美国著名的 统计学家博克斯( b o x ) 和英国的詹金斯( j e n k i n s ) 在理论上提出了一整套的随机时 间序列的模型识别、参数估计和诊断检验的建模方法，并于1 9 7 0 年出版了专著 时间序列分析一预测与控制，使时间序列分析广泛的应用成为可能，自此时 间序列模型得到了飞速的发展。1 9 7 6 年，针对具有明显趋势项的非平稳时间序 列，b o x 和j e n k i n s 提出自回归求和滑动平均模型- - a r i m a ( a u t o r e g r e s s i v e i n t e g r a t e dm o v i n ga v e r a g e ) 。 随着时间序列分析从传统理论到现代研究的一步步拓展，对于时间序列均 值和方差( 甚至是更高阶矩) 的研究也不断深入【3 】。大量的实证分析告诉我们， 金融市场的数据是不稳定的随机序列，其分布未必是正态分布，而且具有非线 2 第一章绪论 性、自相关性和异方差性。1 9 8 2 年e n g l e 针对这种时变方差性，提出了自回归 条件异方差模型- - a r c h ( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c ) 引。19 8 6 年b o l l e r s l e v 将a r c h 模型延伸至一般a r c h 模型- - - - - - - - g a r c h ( g e n e r a l i z e d a r c h 模型) 【5 。在最近的2 0 年中，许多学者在a r c h 模型的基础上，针对不 同的问题提出了相应的模型扩展，形成了a r c h 模型族。如：1 9 8 6 年，e n g l e 和b o l l e r s l e v 提出了积分g a r c h 模型- - i g a r c h ( i n t e g r a t e dg a r c h ) 引。19 8 7 年，e n g l e ，l i l i e n 和r o b i n s 提出了a r c h m 模型f 丌。1 9 9 1 年n e l a o n 提出指数 g a r c h 模型- - e g a r c h ( e x p o n e n t i a lg a r c h ) 。19 9 2 年h i g g i n s 和b e r a 提出 非线性a r c h 模型_ n a r c h ( n o n - l i n e a ra r c h ) t 引。19 9 4 年，z a k o i a n 提出了 门限g a r c h 模型一一t g a r c h ( t i l r e s h o l dg a r c h ) o 引。19 9 4 年b a i l l i e ， b o l l e r s l e v 和m i k k e l s o n 提出非整数次积分g a r c h 模型一一 f i g a r c h ( f r a c t i o n a l l yi g a r c h ) t 1 0 1 。 纵上所述，a r c h 模型族直接引自于经济金融问题，它认为随机序列的方 差是时变的，而传统的a r m a 模型一般假定方差是常数。因而，a r c h 模型族 在金融市场，尤其是股票指数、汇率、利率、期货等证券风险大小的度量、风 险收益的计算与市场效率的检验中得到了广泛的应用。 1 2 2 小波分析理论简介 小波这一名称首先是由法国地质学家j m o r l e t 与a g r o s s m a n n 在分析地 质数据时引进的，y m e y e r ，s m a l l a t 及i d a u b e c h i e s 等人对小波理论的发展 都做了非常重要的贡献j 。至上世纪9 0 年代初期经典的小波理论已经基本成 熟，目前国际上的重点已转向小波的推广和应用。 1 8 8 2 年，法国数学家f o u r i e r 从热力学的角度提出一种新的理论即“热的 解析理论”，即被后人广泛应用和称誉的f o u r i e r 分析方法。小波分析是在傅里 叶分析的基础上发展起来的，一方面它包含了丰富的数学内容，可以看成调和 分析近半个世纪来的工作结晶；另一方面由于小波变换在时域和频域同时具有 良好的局部化性质，能自动调整时频窗以适应实际分析的需要，从而可以聚焦 到分析对象的任意细节，因而具有简单、随意、灵活的特点。 小波变换虽然是在傅里叶变换的基础上发展起来的，但是与传统的傅里叶 河海大学硕士学位论文 变换相比，它是一种时间尺度的局域变换，能够同时在时域和频域进行局域化 分析的方法。小波分析的思想来源于伸缩和平移。1 9 1 0 年，a l f r e dh a a r 给出了 h a a r 小波的构造，但由于不光滑，理论上没有引起重视和发展。1 9 3 6 年， l i t t l e w o o d p a l e y 建立了l p 理论，即提出对频率进行2 分划并证明其本质上不 影响函数的形状和大小。1 9 8 1 年，法国地质物理学家m o r l e t 首先提出平移伸缩 的小波公式，用于地质勘探。1 9 8 6 年，m e y e r 证明了一维小波基的存在，构造 了第一个真正的小波基，国际上从此开始形成研究小波的热潮。1 9 8 8 年，m a l l a t 和m e y e r 合作提出了多分辨分析的框架。同年，年轻的女数学家i d a u b e c h i e s 在其发表在美国c o m m p u r e & a p p l m a t h 的一篇论文中构造了具有紧支集的有 限光滑小波函数，被视为小波分析的经典性纲领文献【12 。后来，信号分析专家 m a l l a t 提出了多分辨分析的理论，给出了构造正交小波基一般的方法，并以此 为基础提出了著名的快速小波算法m a l l a t 算法，这是小波理论突破性的成 就。从此，小波分析就从理论研究走向宽广的应用研究。1 9 9 0 年，崔锦泰和王 建忠构造了基于样条函数的单正交小波【1 3 1 。19 9 1 年，a l p e a 和r o k h l i n 通过构 造r ( r 2 ) 个尺度函数，形成了多小波理论的思想。1 9 9 4 年g o o d m a n 等人基于r 重多分辨分析，建立了多小波的基本理论框架。至此经典小波分析理论已基本 成熟，近年来高维小波理论已逐步被人们所关注i l4 。 1 2 3 存在的主要问题 由于众多经济、金融时间序列表现为较强的非平稳性和长记忆性，小波分 析方法在时频两域都具有表现局部特征的能力可以广泛地应用于金融时间序列 的建模和波动分析。 目前，利用小波变换在时间序列方面的分析主要集中在以下几个方面：( 1 ) 利用小波变换研究时间序列的长记忆过程，并可估计长记忆参数；( 2 ) 根据小 波分析的分解与重构原理对时间序列季节、趋势、周期等因素的分解、然后根 据不同尺度进行分析预测，从而使非平稳时间序列的处理变得简单化；( 3 ) 利 用小波变换的消噪原理去除时间序列中的细微波动，只考虑大体趋势，从而对 时间序列进行平滑处理；( 4 ) 小波分析还可以检测信号的异常点，对时间序列 的奇异点进行较为准确的检测和定位。以上是小波分析在时间序列分析中的主 4 第一章绪论 要研究范围，但主要集中于理论研究，但实际的应用研究较少。 针对这些问题，本文将从应用的角度出发，以理论介绍为基础，结合对以 股票数据为代表的金融时间序列的实证分析，着重研究了小波方法在金融时间 序列分析中的可操作性，给出了相应的算法，进一步拓宽了小波分析在金融时 间序列方面的应用领域。 1 3 本文主要研究内容和结论 本文主要讨论了金融时间序列分析中的小波方法，主要以金融市场数据 的代表股指数据为研究对象，涉及非平稳时间序列的分解消噪及变点检测等问 题。全文的具体内容共分为五章，概括如下： 第一章阐述了小波理论，金融时间序列理论的研究背景、现状及存在 的问题，本文研究的背景、意义、内容及创新点； 第二章详细介绍了小波分析的基本理论，内容包括小波分析与f o u r i e r 分析的关系、连续小波变换、离散小波变换、常见正交小波、 多分辨分析等理论； 第三章详细介绍了时间序列的基本理论、金融时间序列的发展过程和 主要模型以及介绍了小波变换在金融时间序列应用中的优越 性； 第四章利用小波分析和金融时间序列的理论对金融时间序列中的建模 预测提出消噪预测模型，并对奇异点进行检测，结合实际予以 说明其直观意义，最后利用小波变换分解出短期波动趋势。 第五章对本文工作的总结及对未来研究工作的展望。 本文研究的主要创新点如下： 1 、对小波分析理论进行了较为完整的研究，并结合金融时间序列的一 般理论，对以股票数据为代表的金融时间序列中提出了消噪预测模 型，并比较了消噪建模与直接建模的差异； 2 、对金融时间序列的奇异点进行检测，并结合实际背景说明了奇异点 河海大学硕士学位论文 的直观意义； 3 、根据小波分析理论，提出应用小波分解提取低频信号，对金融时序 中的短期趋势做出预测，完善了小波分析在金融时间序列领域的应 用。 6 第二章小波分析摹本理论 第二章小波分析基本理论 经过最近二十年的探索和研究，小波分析已经发展成为一门多学科交叉综 合的理论，含有极其丰富的数学内容，是泛函分析、f o u r i e r 分析、调和分析、 数值分析的完美结晶。从数值分析的角度看，小波变换是f o u r i e r 变换的基础上 发展起来的，但与传统的f o u r i e r 变换相比，小波变换又能同时表现时、频两域 的局部特征，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高 频部分具有较低的频率分辨率和较高的时间分辨率，因而它比f o u r i e r 分析更适 宜处理非平稳问题。 2 1f o u r i e r 分析基本理论 f o u r i e r 分析是小波分析的基础，是数学分析最古老的学科之一。自从1 8 0 7 年法国数学家f o u r i e r 从热传导理论提出f o u r i e r 分析以来，以f o u r i e r 级数和 f o u r i e r 积分为主要研究内容的调和分析理论对数学、物理及工程技术领域的发 展起了很大的影响和推动作用，特别是为工程技术学科提供了强有力的数学工 具。f o u r i e r 分析的基本思想是通过f o u r i e r 变换引入频率的概念，将一个函数 分解为各种频率的谐波的线性叠加，从而更为清晰地描绘出函数的性态和特征。 对于三2 ( r ) f f j 数的f o u r i e r 变换( f t ) 的定义如下： 定义2 1 1 设函数厂( f ) l 2 似) ，贝j 扩( f ) 的凡w 招，变换为： f ( c o ) = f ( c o ) = ip 1 驯f ( t ) d t( 2 1 1 ) 相应的逆变换定义为：厂( f ) = 圭f | 。夕( 缈) p d c o z 7 r 产田 尽管从理论上来讲，f o u r i e r 变换可以将复杂的时域信号转换到频域中，从 而把很多时域中无法看清的问题放到频域中解决。但是实际应用中，由于f o u r i e r 变换定义在整个实轴上，因而它不能对信号做时一频局部化处理，即分析短时 段时域信号所对应的局部频域特性。而时一频局域性质恰恰是非平稳信号最根 本和最关键的性质。为此，人们对f o u r i e r 变换做了一系列的推广，其中引人关 注的是d e n n i sg a b o r 于1 9 4 6 年引入的窗口f o u r i e r 变换( 也称短时f o u r i e r 变换) 河海大学硕士学位论文 的概念【1 6 】，其基本思想是：首先引进一个光滑的函数g ( f ) ( 称之为窗e l 函数) ， 并假定非平稳信号在窗口函数g ( t ) 的一个短时间间隔内是平稳的，然后移动分 析窗函数，用f ( t ) g ( t 一6 ) 的f o u r i e r 变换分析每个时间间隔，从而灵活反映厂( f ) 的局部性质。 定义2 1 2 若函数g ( ，) r ( r ) ，亮en _ t g ( t ) r ( r ) ，i l g l l = l ，则称g ( ，) 为一个 窗口函数。其时间中心，+ 和频率中一c ；c o + ，时宽a ( g ) 和频宽4 ( 雪) 分别定义为： t + = f t g ( t ) 1 2 d t r 缈= j 缈l 雪( 缈) 1 2 d c o r 么c g ，：( ( f r + ，2 l g ( r ，1 2 出) c 2 ，2 ， 4 c 季，：( c 国一国，2 l 季c 缈，1 2d 国) c 2 ，3 ， 定义2 1 3 【1 7 1 对于厂( f ) l 2 ( r ) ，定义其窗口f o u r i e r 变换为： g f ( c o ，6 ) = f f ( t ) g ( t - b ) e 一酬d t ( 2 1 4 ) j r 其中g ( t - b ) 表示g ( t 一6 ) 的复共轭。 由定义可知，窗口f o u r i e r 变换( w l r r ) 不但给出了函数在时间窗口 旷+ b 一么( g ) ，+ + b + 4 ( g ) 】内的局部信息，同样也给出了厂在频率窗口 【缈+ + c o 一么( 季) ，缈+ + 缈+ 么( 雪) 】内的局部信息，从而在面积为4 a ( g ) a ( 各o ) ，中心坐 标为( ，+ 6 ，c o + 国) 的时一频窗口可以分析信号的局部性质。因此，窗口f o u r i e r 变换也被称为时一频分析方法。当然，窗口面积越小，时一频局部化分析能力 就越强；反之，时一频局部化能力越弱。但是，根据下面的h e i s e n b e r g 测不准 原理，a ( g ) f f t l a ( 喜, ) 不可能同时都任意小，因而对信号的分析不可能达到很精确 的程度。 定理2 1 【1 5 1h e i s e n b e r g 测不准原理 对任侗- i g ( t ) l 2 ( r ) ，若t g ( t ) 及嵫( 国) 都属于三2 ( r ) ，则 l 4 ( g ) 4 ( 季) 去 ( 2 1 5 ) 二 由此，虽然w f t 对f o u r i e r 分析的局部性有所增强，但是并不能达到实际需求， 第二章小波分析基本理论 尤其是对非平稳信号。而且根据信号理论，频率与单位时间内的周期数成正比， 一般非平稳信号的分析需要选取一个较短的时间窗来更精确地反映高频现象， 选取较宽的时间窗来更好反映信号的低频特征。这就需要在一个可调的时一频 窗内对信号的局部性质进行观察，而w f t 是固定窗口面积的分析方法，它在 时一频局部化的精细方面和灵活方面都表现欠佳。因而人们构造出小波函数来 克服上述缺点。 2 2 连续小波变换和离散小波变换 2 2 1 连续小波变换 小波，顾名思义就是“小区域的波”，是在一个有限的时窗内振荡的波形， 并且其均值为零。小波变换提供了一个可调的时一频窗口，当观察高频现象时， 它自动变窄；当研究低频现象时，又自动变宽。具体定义如下： 定义2 2 1 设函数沙( f ) i f ( r ) ，若其f o u r i e r 变换满足容许条件： c 缈= 肾 悃 仁2 m 则称( r ) 为基本小波或母小波。将基本小波y ( f ) 进行平移和伸缩，得到函数族 y 咖( f ) ) ，其中“f ) = j 口i j 1y ( 等) , b e r , a r - 。) 。称儿“f ) 为依赖于参数 口，b 的小波基函数，同时称口为伸缩因子或尺度因子，称b 为平移因子。 定义2 2 2 19 1 谢( f ) l 2 ( r ) ，y ( ，) 为基本小波，a r 一 0 ) ，b r ，则定义厂( f ) 的连续小波为f ( t ) 与小波基函数的内积： w f 垆 计；r 杪( 等户 ( 2 2 2 ) 由于小波基函数阢。( f ) 具有尺度a 和平移6 两个参数因子，是由同一函数y ( f ) 经过放缩和平移得到的，因此虬。( ，) 在时域和频域内都具有较强的局部化功能， 9 河海大学硕士学位论文 从而小波变换是一种变分辨军的时一频联合分析方法。类似于f o u r i e r 变换，连 续小波变换亦有相应的逆变换或重构公式： 巾) = 百1 肛慨a 等 ( 2 2 3 ) 连续小波是线性变换，具有以下性质： ( 1 ) 线性叠加性： 设( f ) ，厶( f ) r ( r ) ，k l ，七2 r ，m 1 - - r - a 也常数，则厂( f ) = k l f l ( t ) + k 2 ：f 2 ( t ) 的连续小波变换为：0 ，6 ) = 尼1 ( 口，6 ) + k 2 既( 口，6 ) ； ( 2 ) 时移不变性： 设办o ) = f ( t t o ) ，贝4 有( 口，b ) = 矿，( 口，b t o ) ； ( 3 ) 伸缩共变性： 若办( f ) = f ( c t ) ，则( 口，6 ) = | c | - 三( a c ，b c ) ； ( 4 ) 等内积性：( 口，6 ) = = ( 5 ) 巴塞伐尔( p a r s e v a l ) 等式( 能量守恒) 【2 0 】： 谢( ，) ，酏) 玖蛾贼，礁) 2 p ( ，) 而勋2 毒眵 6 ) 丽砉姗 ( 2 2 4 ) 其中c 妒如( 2 2 1 ) 定义，( 口，6 ) 是( 口，6 ) 的共轭。 2 2 2 离散小波变换 伸缩因子a 和平移因子b 在实轴上连续取值的小波变换是连续小波变换， 但在实际应用中，常常需要对两个参数进行离散化处理，即选取一个适当的放 大倍数口孑，并且在由刀6 0 确定的一个特定的位置上研究信号的局部特征，其中 m ，疗都是整数。因此，信号放大倍数可以通过m 来调节，信号的位置则可以通 过n 来变动。这就是离散小波变换的基本思想，定义如下： 定义2 2 3 1 2 1 】：称。( f ) = a g u ( a 7 一n b o ) ，m ，胛z 为离散小波，其中( f ) 是个小波母函数，则相应的小波变换为： l o 第二章小波分析基本理论 ( m ，门) = = 少( f ) 丽，们) 三2 ( r ) ( 2 2 5 ) r 在离散小波中，最常用的是口o = 2 ，b o = l ，即y 。( f ) = 22 ( 2 ”- n ) ，聊，门z 从上述定义可知，离散小波变换是连续小波变换离散化的结果，虽然信息量 相对减少，但这样更方便信号处理的计算机实现，更利于实际操作。 2 2 3 二进小波变换 二进小波是介于连续小波和离散小波之间的小波变换，它仍具有连续小波 变换的时移不变性，这在奇异性检测和图像处理方面非常有用。 定义2 2 4 设小波函数少( f ) l 2 ( r ) ，其f o u r i e r 变换为汐( 缈) ，如果存在两 个正常数4 与b ，有0 a b + o o ，使 彳i 汐( 2 一j 国) l b ( 2 2 5 ) ，= 一 几乎处处成立，则称由杪( ，) = 2 2g ( 2 - j ，一七) 定义的函数族沙j ( ，) 为二进小波， 即在连续小波变换中取口= 2 j , b = k 2 ，。上述( 2 2 5 ) 式称为加于y ( f ) 上的“稳定 性”条件，此条件也隐含着任一二进小波必是一个基小波。特别的，4 = b 时， 称为最稳定条件。任一函数f ( t ) 二进小波变换系数为： = 2 一；少( 咖( 2 - j t - k ) ： i ，饨) l 2 ( r ) ( 2 2 6 ) 二进小波只对尺度参数进行了离散化，而对时域上的平移参量保持连续变化， 因而二进小波可以保持时域上的平移不变性。 2 3 正交小波变换和多分辨分析 2 3 1 正交小波变换 从数学上看，小波分析与其他分析( 如f o u r i e r 分析，有限元分析) 一样， 都是为了用特殊的基函数来研究和展开任意一个函数。因而长期以来关于小波 河海大学硕士学位论文 定义2 3 1 伫2 1 若连续小波虬，6 ( f ) 离散化后得到的一族函数缈删( f ) ，m ，以z ) ( 嘣吐吲f ) ) 咖 ( f ) 一g p , q ( t ) d t r= 1 ，邓鬓盂i g ( 2 3 1 ) iu ，弋巴 ，n s i n 万。一三) 一s i n 2 万p 一三) 叭。= 矿 图2 1s h a n n o n 小波 ( 2 ) 墨西哥帽状( m e x i c a n h a t ) d x 波，见图( 2 2 ) ： 第二章小波分析基本理论 2 万2 万叫4 ( 1 一f 2 止汐( 彩) 2 万2 万2 9 硼3 3 m e x i c a n h a t 小波是高斯函数的二阶导数，由于其波形与墨西哥草帽的抛面 轮廓线相似而得名。墨西哥草帽小波是典型的应用于检测信号奇异性的母小波， 具有无限光滑性、对称性和指数衰减，在时频两域均有很好的局部分析能力。 但由y ( ，) 生成的小波基y ( f ) 只是近似正交的。 图2 2m e x i c a n 帽小波 ( 3 ) d a u b e c h i e s ( d b n ) d x 波 d a u b e c h i e s 函数由著名小波分析专家i n r i dd a u b e c h i e s 构造的小波函数，它 是具有紧支撑的标准正交小波。除了d b l ( 即h a a r 小波) 外，其他小波没有明 确的表达式，但提供了比h a a r 小波更有效的分析和组合，在离散小波分析中应 用比较广泛。作为特例，哈尔( h a a r ) 4 , 波的表达式为： y ( ，) = h ( f ) = 吲o ，争 一甲1 ) 0 其他 汐( 缈) ：i 4 s i n 2 ( ! ) p - i 詈 国09 h a a r 小波在时域中支集很短，在时域中的局部能力很强，但在频域中畛( ) i 的 衰减速度慢，在频域中的局部分析能力比较差。另外用h a a r 小波级数来表述近 似函数，其光滑程度太低，表现力差。 下面给出d b l ( h a a r 小波) 和d b 4 小波图像( 图2 3 和图2 4 ) ： 河海大学硕士学位论文 图2 - 3h a a r 小波 图2 4d b 4 小波 2 3 2 多分辨分析与m a l l a t 算法 1 9 8 8 年，m a l l a t 与m e y e r 提出了多分辨分析 2 4 1 ，又称多尺度分析，其主要 思想是将r ( r ) 分解为一串具有不同分辨率的子空间序列，然后将f ( r ) 内的 函数厂( x ) 描述为一系列近似函数的极限。每一个近似函数都是函数厂( x ) 在不 同分辨率上的投影，通过对这些投影可以分析( x ) 在不同分辨率下的特征。因 而原始信号可以按一定的尺度被分解成几个具有不同分辨率的分量，而且由这 些分量能够不失真地重构原始信号【2 5 】。 定义2 3 2 1 2 6 ) 空间c ( r ) 的多分辨分析是指f ( 尺) 中满足如下条件的一个闭子 1 4 第二章小波分析基奉理论 序列 ) 二与v o 中的一个函数缈的联合体： ( 1 ) 单调性：c 小w z ； ( 2 ) 逼近性：n = o ) ，u _ = r ( r ) ； ，e z j e z ( 3 ) 伸缩性：厂( f ) 一铮f ( 2 t ) + l 伸缩性体现了尺度的变化，逼近正 交小波的变化和空间的变化具有一致性； ( 4 ) 平移不变性：f ( t ) v ojf ( t k ) v o ，v k z ； ( 5 ) 正交基存在性：存在一个函数缈，使得 c p ( t 一尼) ，k z ) 构成的一组标 准正交基。函数c p ( t ) 称为尺度函数。 对于条件( 5 ) ，可以证明存在缈( f ) v o ，使它的整数平移系 f p ( 2 一胆t - k ，k z 构成一组标准正交基，记 缈，( f ) = c p ( 2 一7 2 f 一尼) ，k z ，则函数系 纺，女( f ) ) 是规范正交的。 为了更清楚地理解小波变换的多分辨分析原理，现以一个三层的分解图 t 2 7 1 ( 图2 5 1 进行说明： 图2 5 小波三层分解树 从图中可以明显地看出，小波的多分辨分析只是对低频部分进行进一步的 分解，而高频则不予考虑。分解的关系为：s = d l + d 2 + d 3 + a 3 。如果要进行 进一步的分解，则可以把低频部分彳，分解成低频部分彳。和高频部分d 。，以下 再分解依次类推。从多分辨分析树型结构看出，多分辨分析只对低频空间进行 逐步的分解，使频率的分辨率变得越来越高。 河海人学硕j 卜学位论文 多分辨分析的理论为人们讨论信号的局部信息提供了一个相当直观的框 架，即认为任何一个信号都可以分解为两部分：低频( 主体信息) 和高频( 细 节纹理) 。为了将信号的低频与高频部分分开处理，m a l l a t 提出了信号的塔式多 分辨分解与重构的著名算法，称为m a l l a t 算法，其地位在小波分析中相当于快 速f o u r i e r 算法在经典傅里叶分析中的地位。其算法的主要思想是将有限能量信 号厂l 2 ( r ) 在分辨率2 下的近似q 厂分解为分辨率2 川下的近似c j 一f ，以及 位于分辨率2 5 f t l 2 之间的细节纹理d ，_ l f 之和。其分解过程如下图所示2 8 1 ( 图 2 6 ) ： 低频分解 c j c j i 、l d h l c i z ch 1 d t 。 图2 - 6 信号不同频率分解图 根据上述分解原理，下面给出m a l l a t 塔式分解算法递推公式的矩阵表达形 式： c 一l = h c jd j i = g c j ( 2 3 2 ) 其中c j ，d ，分别是小波系数的列向量形式，h ，g 被称为尺度滤波器和小波滤波 器的算子矩阵。若已知分解后的系数，要重构原来的系数，则有相应的重构公 式： q = h q 一。+ g + q 一。 ( 2 3 3 ) 其中h + ，g + 分别