（数学专业论文）代数群表示中的一些结果.pdf

摘要 本文根据l i t t e l m a n n 的构造，对a 型的有限维复半单l i e 代数g 的有限维不可约 模y ( a ) ，给出了它的一个具有递推性质的单项式基由这一性质导出了分支原理，并得 到了一个计算权空间重数的新的重数公式 同时，由于这个基是定义在z 上的，所以通过基变换，过渡到正特征就得到相应的 w e y l 模y ( 入) 通过具体构造权为p 的非零向量，我们证明了a 是支配权时，v ( x ) 和 不可约模v ( x ) 有相同的权集 利用构造的，一极大向量，我们给出了判断不可约模在模的分支中是否出现的一个充 分条件 最后证明了如果一个分次顶点代数的z h u 代数是有限维的，那么这个顶点代数是有 限生成的 关键词：单项式基，权集，模分支原理，z h u 代数 a b s t r a c t f o l l o w i n gl i t t e l m a n n ，w ei n t r o d u c eam o n o m i a lb a s i sr e c u r s i v e l yf o ri r r e d u c i b l em o d u l ey ( a ) o ff i n i t ed i m e n s i o n a lc o m p l e xs e m i s i m p l el i ea l g e b r a sgo ft y p ea 1 t h e nw e o b t a i nt h eb r a n c h i n gr u l ea n dan e w m u l t i p l i c i t yf o r m u l a b e c a u s et h i sb a s i si sd e f i n e do v e rz ，w ec a no b t a i nw e y lm o d u l ey ( a ) d e f i n e do v e r af i e l do fp o s i t i v ec h a r a c t e r i s t i cb yb a s ec h a n g e b y c o n s t r u c t i n gs o m en o n z e r ov e c t o r so f w e i g h tpd i r e c t l y , w ep r o v et h a tt h ew e i g h ts e to fi r r e d u c i b l em o d u l e 厶( a ) i st h es a m ea s t h a to fv ( 入) a p p l y i n ga - m a x i m a lv e c t o ro b t a i n e ds t e pb ys t e p ，w eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o n w h e na ni r r e d u c i b l em o d u l eo c u r r s5 8ac o m p o s i t i o nf a c t o ro fl ( 入) i fl ( a ) i sr e s t r i c t e dt o as u b a l g e b r ao fg a tl a s t ，w ep r o v et h a tag r a d e dv e r t e xa l g e b r ai s f i n i t e l yg e n e r a t e dw h e ni t sz h u s a l g e b r ai sf i n i t ed i m e n s i o n a l k e y w o r d s ：m o n o m i a lb a s i s ，w e i g h ts e t ，m o d u l a rb r a n c h i n gr u l e ，z h u sa l g e b r a n l 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：f 目岳j 司 口z 年f 月形e l 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年月日 第一章引言 根据w e y l 的完全可约性定理，有限维复半单l i e 代数g 的所有有限维模都可以归结 为有限维不可约模的研究每一个有限维不可约g 模y ( 入) 都是最高权模，在理论上，由 w e y l 特征标公式，k o s t a n t 或f r e u d e n t h a l 重数公式，我们可以完全决定y ( 入) 的权空间 的重数，但是这些公式并没有给出y ( a ) 的具体实现直到1 9 5 0 年g e l f a n d 和t s e t l i n ( 1 2 ， f 1 3 】) 才分别对a n ，既，d 几型l i e 代数构造出了它们的有限维不可约模的基对于l i e 代 数g 的任意一个l i e 子代数a ，不可约模y ( 入) 自然的成为一个子代数a 的模，它作为。 的分解模式称为分支原理1 9 6 2 年z h e l o b e n k o 4 5 】对所有的典型l i e 代数得出了分支 原理 后来人们用不同的办法构造了l i e 代数的不可约模的基这些不同的基分别具有不 同的特点，在某一方面表现出比较好的性质比如m o l e v 利用l o w e r i n g 算子构造的不可 约模的基，这个基关于反变型( 内积) 是正交的，而且他利用这些算子的性质，详细地给 出了任意基向量关于内积的矩阵元 对于a 型复半单l i e 代数，本文根据l i t t e l m a n n 的构造，给出了y ( 入) 的一个具有 递推性质的单项式基这个递推过程是在l i e 代数的一个子代数的滤链上进行的( 实际 上是在普遍包络代数上讨论的) y ( 入) 自然地分解成g 的子代数的不可约模的直和从这 个过程我们导出了分支原理；把y ( a ) 的某个特定的权空间的一个基组合起来，这样得 到了一个计算权空间重数的新的重数公式 定理2 4 7 设p ( 入) 是y ( a ) 的权则肛在y ( a ) 中的重数m a ( p ) 等于 仇a ( 肛) = d i m y ( 入) p 2 d i m v ( ( 入一尸口) g 。一，) ，、 p e n ，p q a p 。k l 叼l _ 17 弋一、，、 。2 一 m ( 入一p a ) o f _ 1i p g i - l 厂 尸又，p a 0 的所有的不可约模放在一起看 作一个整体来研究这样原来各自独立的对象之间有了密切的联系而且，在这个对象 上面可以赋予新的结构这种思考方法在顶点算子代数的研究之中也有所体现另一方 面，由于我们构造的y ( a ) 的基在【z 作用下不变，即它是y ( 入) 的一个容许格y ( a ) z ，做 张量积y ( a ) zo zk ，仍记为y ( a ) 在y ( a ) 上可以自然地定义一个代数群g 的作用，使 得y ( a ) 成为一个g 一模，即w e y l 模从而可以由复数域或者说特征0 的表示过渡到特 2第一章引言 征p 的表示一般地，v ( x ) 不再是不可约模，但是根据我们构造的基，通过细致的分析 y ( 入) 的中的某些特殊向量，我们可以得到不可约模l ( a ) 的某些信息特别地，能得到 l ( a ) 的权集的情况； 定理3 4 3 设入x 1 ( t ) 是一个限制支配权，y ( 入) 是首权为入的w e y l 模，l ( a ) 是 首权为入的不可约g 模如果( a ) 是y ( 入) 的权集，那么它也是l ( 入) 的权集，即 v 入x i ( t ) ，p x ( 丁) ，d i my ( 入) p 1 = 争d i ml ( 入) p 1 在正特征时，模的分支原理和决定w e y l 模的分解模式是等价的所以确定模分支 原理变得非常重要了但是完全决定l ( a ) i u k “。的合成因子及其重数是很困难的我们 可以先决定特殊的合成因子，比如它的基座在l ( a ) 中，我们构造了权为成的，极大 向量碍，得到了三( a ) i 坛扣。的一些合成因子 定理4 1 3 设入x 1 ( t ) ，则 【l ( a ) i u k j - ，：l ( 厦) 】1 ，层j 顶点算子代数是一个分次的无限维向量空间，它和l i e 代数的结构与表示理论有密 切的联系用顶点算子代数的表示理论可以给出仿射l i e 代数的一些表示的实现从有 限维单l i e 代数g 出发，构造顶点算子代数l a ( f ，o ) 它的每个齐次空间都是l i e 代数的 模，正如前面指出的，把某些模组合起来作为一个整体考虑，它上面会有顶点算子代数 的结构，使得我们能从另外的角度看待原来的问题或许数学的不同分支之间的意想不 到的联系给数学的研究增添了新的活力有可能从全新的角度更深入的了解研究对象 z h u 代数在研究顶点算子代数的表示理论中扮演着十分重要的角色我们研究了z h u 代数是有限维的情况下，顶点算子代数有什么相应的结果证明了： 定理5 2 9 设v = o 毳o k ，y o = c 1 是分次顶点代数，d i m a ( v ) o o ，y ( 一o o ) = o ) ， 则v 是有限生成的，特别地，它由a ( v ) 的代表元生成，且每一个齐次空间都是有限维 的，即d i mk o o 第二章y ( 入) 的一个新重数公式 在这一章，我们构造了| i g ( g z ) 的一个子代数的滤链，给出y ( a ) 的一个具有递推性质 的整基，从而得到了分支原理和y ( a ) 的权空间的新重数公式 2 1 基本概念与性质 本章中我们只在复数域上讨论，由于此时代数群g 和同型的l i e 代数的表示是一致 的，所以为简单计，我们只讨论l i e 代数的表示 设g z 是a 型的复半单l i e 代数，u = a ( 9 1 ) 是它的普遍包络代数设u 1 ，u 2 ，坝 是基本支配权权集x ( t ) 与支配权集x ( t ) + 分别定义为： x ( t ) = 川a = 九咄= ( 入1 ，k 一，枷 i = l 和 x + ( t ) = a = ( 入1 ，入2 ，入1 ) x ( t ) i 入i o ) 设y ( 入) 是首权为入的不可约g l - 模它的权空间的集合( a ) 是一个饱和集 设a = q 1 ，q 2 ，q d 是单根集，令 锄j = o l i + a 件1 + + 哟，1si j 2 ， 1 则正根集圣+ 有去f ( z + 1 ) 个元素按下述方式固定正根的一个序： q 1 ，口2 ，o l l2 ，口 ，a 一1i ，o l lt ，铆，口f 一1z ，o l ll 相应地定义g f 的c h e v a l l e y 基 e i = e a t ，e i 歹= e q j ， = 厶i ，五j = ，a tj ，h i ， 1 i f ，1 i j 2 设n 是非负整数集g t 的普遍包络代数h 的k o s t a n tz - 形式【z 是u 的压子代 数，它由元素e 乎) ：= e 苎七! ，拶) ：- - 砖七! 生成，其中o z 圣+ ，k n ，则u = u z zc 设 u + ，u 一，i i o 分别是u 的正部分，负部分和零部分，它们分别由e 乎，拶和( h 惫i ) 生成，其 中k n ，q 圣+ ，1 i f 代数u 是一个h o p f 代数它有三角分解u = u a o + 的p b w - 型的基有如下形式； 3 0 似q 一 、j 胁阮 ；汹 0 磐 一 4 第二章y ( a ) 的一个新重数公式 其中a a ，b i ，c a n 特别地，如果对 ，：( t 1 ，i 2 ，t 业) n 华， 定义 ， ，j ：矗蠢哟矗掣0 。产， 则 f 1 i n 掣) 形成扩的一个p b w - 型的基特别地，当，= ( o ，0 ，o ) = 0 时， 厂o = 1 根据l i t t e l m a n n 2 8 ，下面定义l l ( g , ) 的一个单项式基和它的一个子代数的滤链 首先在n 掣上定义一个序：任给，n 掣， ，= ( i 呐i ，掣) 和，= ( i l ，幻一，i 如2 ) ， 如果存在k ，l k 业2 业使得i k k 时巧= 弓，则定义， ，7 ；否则就定义 ，：j ，容易得到任给，n 华，只要，一定有j _ ，或者， ，用同样的方 法可以在“一上定义一个序一 关系在基向量上如果， ，就说， ，这样不 同的基向量是不相等的h - 里的向量都可以唯一地写成 ，= 。， 口，c ，n 掣 如果a ，0 并且对其它的a ，0 我们都有，7 i ，则定义m a x = f ，如果m a x f l _ m a x 如则定义 如这样可以这样可得下面的命题： 命题2 1 1 任给 ，2 ，厶”一，如果 厶 厶那么 ，厶，厶是线 性无关的 2 2 换位子公式和t l ( g , ) 的子代数 在u 中，1 t ，j f 时，有如下的换位子公式( 见h u m p h r e y s 1 5 ) e i 办= f j 6 i ，i 歹； e m ：m 妻矿个一k k6 + 2 淞卅；= o e m 叻= 矿d ( 几r 一叶珧) e ：口“； 、 乃七= 乃蚋h i 一后( 饥) 乃； ( 玩b + 砂= 乃助( 风“札) ； ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 2 3u ( 9 1 ) 一的单项式基 e i 矗m 蠢划矗口1 ) = 矗铆) 一a t ) 矗。) 白+ + 矗n 矗啦一1 ( 勉一啦+ 1 ) 矗等矗n 1 ) = 矗口- ) 矗叫一口- ) e 。+ 啦一叫州一霎啪鼬t ) ) 并且 ， j ，( 1 i j z ) 满足下面的换位关系( 见【3 9 】或 4 1 】) ： a + i a = 五五+ 1 + 五+ 1 ； 乃= 乃 ， i i j i 1 ； f i + lj f t = f i f i + l + i t 或4 + i 1 , = l t l 札七| t j + l ； 五j = f k 五歹，i k 1 或k j 1 ； f j + lk l t = | tj f j + lk + f tk ； 歹 = 五歹，k j 1 或i h 1 ； m i n ( a ，6 ) 辟l 矗= 矗譬。矗扛辟了肼，1 i l 一1 k = o 下面构造u 的子代数u ( g t ) ，1 i 1 设 u ( g t ) = ，e j ( 町) ，乃b ) ，( 吻亍c ) i ，, c , k en , i 歹z ) 则有 0 u ( 9 1 ) h ( 9 2 ) u ( g z ) = 1 1 u ( g t ) 的正根集西产就是圣+ 中前面三i ( z + 1 ) 个正根 2 3 i l ( m ) 一的单项式基 5 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 令k = ( 磷，忌争1 ，后卜1 ，1 k l - i + l ，k 。l 一- i + 1 ，后f 件1 ，矸，磕1 ，忌i ) n 掣 定义指标集 ：= k n 坐产i 磋一件1 1 k t 一- i 1 + 1 七卜件1 ，1 1 ) 任给k i i ，可以定义单项式 ，f 七i 蠢知 1 “七i 。1 ) 蠢七+ 1 硭 r 1 、矗南：。+ 1 ) ) 唇) e l l - l i t t e l m a n n 2 8 】首先证明了下面的定理这里，我们给出一个新的证明 6 定理2 3 1 口k lk ) 是u - 的z 一形式蛎的一个基 第二章v ( a ) 的一个新重数公式 证明；首先证明 一k ik ) 是线性无关的 因为 f i ii n 掣) 组成1 - 6 0 - - + p b 、- 型的基，所以任给k ，p k 1 - 都 可以写成 俨= 。，。，z ，n 掣 j r 对k ，定义i ( k ) 为； ( 后i ，后纩1 一后f 1 ，尼 - 1 ，程一+ 1 一k 。l 一- i + 1 ，k 。t 一- + 1 一。k 扣t - 2 i + 1 ，克 件1 一后卜件1 ， 七 件1 ，k 一碓。，硪。一七 - 2 ，k ! 一七 ，后i ) 根据i i 的定义知道，1 i ，歹1 且i + 歹sf + 1 时，留硪1 所以，( k ) n 华这 样就有 m a x o k = f i ( 刖 它的系数为1 因此有 俨= ，职+ n ，j ， 是线性无关的 定义 下面证明咙可以由 lk ) 生成任给 ，= ( t ；，t 纩1 ，t 卜1 ， l - - i + 1i 。l - 一i + 1 ，i 件1 ，z ，i - 1 ，t ；) n 掣， k ( i ) = j ( i ：，z ；- 1 + i l - 1 ，z - 1 ，旁歹+ 1 ，z j + 1 + 歹+ 1 ，t f 歹+ 1 ， p = l 明显地，k ( i ) ，而且 - 1 ，z ，碹+ i i ，z ；) p = lp = l o k ( i ) = ，j + 口j ，r i t l 在n 掣上根据定义的序关系可以归纳地得到 ，j = 0 即+ c k ，p k n c k ，z 2 4y q ) 的新重数公式 7 综上可知 ik ) 组成了l e 的一个基 定义z 一1 ：= k h i 磅= 0 ，1 歹1 ) 由上面的讨论 口k ik l 一1 ) 组成 了u ( g f - 1 ) 一的压形式的一个基 令，：= k i 磁= 0 ，1 i f ) 在上定义通常的向量加法，则有； 1 = 一1o ； 2 如果k 2 h f 一1 ，k 1 7 ，则o k 2 0 k 1 = 目晒+ k 1 ； 3 如果k 1 ，k ；7 ，k 1 一 k i ，k 2 f 一1 ，则鲍+ 坼 研 2 4v ( a ) 的新重数公式 设e 是由o t l ，o t 2 ，鳓生成的实向量空间q y ，q ￥，口 ，也构成e 的一个基， c d l7u 。，妣是a ￥，a ￥，q ，关于e 上的内积w i ) 哼) = 罨等岩= & j 的对偶 基考虑e 的由口l ，o t 2 ，q f _ 1 生成的( 1 1 ) 一维子空间e 7 ，这时q y ，a ￥，q 匕l 和 u 1 ，u 2 ，0 3 1 1 仍然是的关于e 上的内积的对偶基这样就可以考虑h ( g z ) 到i t ( o r 一1 ) 的限制，g l 的权入= ( 入1 ，入2 ，入1 ) 限制下去看做g z 一1 的权a g f - ，= ( 入l ，a 2 ，a l 1 ) 设入= ( a 1 ，a 2 ，丸) x ( t ) + y ( a ) 自然地可以限制成为i 工( g f 一1 ) 一模，把它记作 y ( 入) 1 u ( g ，1 ) 下面应用基 1 ，歹 1 时， ( 詹l ，艘桦) =- 1 ，一桦) = 卜+ 圭硪。+ 釜磷。一2 萎留) ( 惟f i ( k l - v ，一日) 钉) = h + 硪。+ 磷。一2 留) ( 惟。l ，矗矸钉) q = lq = l q = l 、7 注意这里的定义和l i t t e l m a n n 2 8 】7 中的定义不完全一样 下面定义两个和入相关的指标集( 类似l i t t e l m a n n 2 8 】7 中定义的致入) ) a = z ，a ：= 【k 10 碍n ，1 i z ，1 j f i + 1 ) 由定义知入是有限集我们将在定理4 8 中证明 训k a ) 组成了y ( 入) 的压形 式的一个基 p 7 可以写成p = ( 0 ，0 ，p l ，p t 一1 ，p 1 ) 的形式，假设p o = 0 ，定义 i ：= 尸1 1 7 ip i 一鼽一1 九，1 z 丸0 则有 出 辟1 ) t ，= o 2 4v ( x ) 的新重数公式 证明：根据2 2 的换位子公式， ( 产船 1 ) 艘争纠斧1 ) 移 ：窆稚l 。让 r 七矗驴七) 挫争刎辟- ) 口 ：董雄j ；维f r 七詹引斧r 七) t ， k - - - - 0 因为惫 p i 一1 ，0 九 p i p i 一1 p i k ，由引理2 4 2 ，上面的和为0 9 设a = ( a 1 ，入2 ，入f ) x ( t ) + ，有限维不可约j l l ( g f ) 一模y ( 入) 可以看做i l ( g t 1 ) 一 模这时它就不再是不可约的了，可以分解成不可约u ( g l 一1 ) 模的直和，这就是所谓的 分支原理下面的定理告诉我们，y ( 入) 是如何分解的 定理2 4 5 设入= ( 入1 ，a 2 ，丸) x ( t ) + ，作为王i ( g l 一1 ) 一模，不可约u ( g z ) 一模y ( 入) 有直和分解 y ( 入) 一= 0v ( ( 入一p a ) g ) 证明：由定义，又是有限的设l l = z 根据在2 1 中定义的序关系从小到大排列 i 的元素： i = o = p 1 p 2 最) 设 m r , = 伽k 秒，1 s 亡一1 ， k e i i ，k 只+ 1 这里秽是y ( a ) 的权为a 的极大向量，m p t = y ( 入) 因此有 0 垦m p l m r 2 m r , = y ( 入) 首先证明m r , ，1 8 t ，是y ( 入) 的u ( g f - 1 ) 一子模 8 = 亡时结论是成立的下面考虑1 8 t 的情形任给o k v m r , ，k 只+ 1 ，仍 是一个权向量，任给，1 i 2 ，由公式( 2 2 3 ) 得 h i 0 钉= a i k 口k m r ，o t k n 由2 3 在i i 上定义的加法得，k = k 1 + 2 ， 1 7 且1 1 1 1 因此任给 1 0 u ( g f 一1 ) ，1 i l 一1 ， 第二章y ( 入) 的一个新重数公式 五p k z ，= 五占k 1 十k s y = 五( 汐硒秒k 1 ) z ， = c 胪矿忙( k 蠹，卜口 k i i l 一1 o ，0 k + 耳1 口， a k ，n 因为k = k 1 - 4 - k 2 只+ 1 ，所以k 7 y i t 一1 时，硒 只+ 1 ，k 7 十k 1 只+ 1 这样 这里 六p k 秒= a k , 0 帕秒m r , k e i i l 一1 对任意的e ，1 i l ， e 。目k 口：e 。矗七i 蠢七纩1 矗知：。1 ) 蠢知：一+ 1 拦 p 1 、矗如f 件1 、 矗詹 ) 硭 u 一七 ) 口 l - i 1 = o k e i v + d - - f j f l k i 以知 1 矗惫卜1 、蠢鸳一1 ( 一露+ 1 ) 拦 u 一”) 0 知 ) 硭 一凫；) 钉 由公式( 2 2 5 ) l - i + 1 ：矗七i 以七 1 一知卜1 、一 1 硭 “矗坷) 矗七 硭 一七；) 。n 口 l - - i + 1 = o n o k - k 秽， n - - - - 1 n - - 1 = 九一婶+ 1 2 d = 1 = ( 0 ，0 ，1 ，0 ， k 只+ 1 ，所以 由公式( 2 2 3 ) 几 f l 一1 彰+ 硪。+ k 州d n ， d = ld = 1 ，o ) n 掣，1 和研在k 中的出现的位置一样因为k 一 _ a n 0 k 一秽m p , j ；- n = l 这就证明了m r 在e i ，h i ，1 i z 和 ，1 i z 一1 的作用下稳定，因而m p 是 t ( g t 一1 ) 一模 其次证明y ( 入) 被限制为g ( g s 一1 ) 一模时，所有的o e v ，1 8 t 都是本原向量 2 4y q ) 的新重数公式 设只= ( 0 ，o ，p t ，p l 一1 ，p 1 ) 又则 e p e 辫1 e ；p ) o p o v = e 2 p e 衙1 ) e 5 p 产肥 u 俨1 ) 口 钳e 州曲k = o 叫( 弦叫净u e p e 毁1 ) 船l f 辟1 ) 秽 e p e 辫1 船f 1 ( 危l 一功善) 肥刎辟1 ) 口 = e 2 p e 辫1 艘l f 序1 ) = e p e 暨f 1 艘f ”俨1 ( 锄 ( 一l 七- = 1 p 1 t p 知q 凫( 乜) 秽 由公式( 2 2 4 ) 由公式( 2 2 4 ) + p t 鼽一1 ) 秽= = ：。( 入詹+ p k p 七一1 ) 口，7) j 1 1 这里p o = 0 ，第二个等号是根据公式( 2 2 2 ) ，最后一个等号是因为( ) 0 当且仅 当i i j i 1 ，和( 如士1 ) = - 1 ，a j ( h j ) = 2 由于p k m 一1 入知，所以 。 - - p k _ a k + m 一，( 入知：? 知一1 ) 。，1 z ， 也就是 e p e 暨f 1 ) e p ) o p v 0 所以o p v 0 由构造过程知道o p v m r , ，但0 p , 口圣地一。因此只需证明e i o p * v 地_ ”1 i l 一1 ，这样就得o p , v 是v ( a ) 中的本原向量实际上l i l 时， e i o p v =e 。俨肥l f 辟1 ) 钉 o p , e t 口+ 胪- 1 ( 勉一p i + 1 ) f 墨- 1 j 辟，) 口 ( 凡一p i + 1 + 鼽一1 ) 俨一艘f 辟1 ) 秽 由公式( 2 2 5 ) 由公式( 2 2 3 ) 因为( 0 ，0 ，p t ，p i + l ，p i 一1 ，p i 一1 ，p 1 ) 只，所以e i o p v 地一。满足要求 再次证明地= m p , 一。+ g ( g t 一1 ) o e o v “2 ”由地的定义和立即可得下面证明“ 任给k ，k _ 只+ 1 ，则k 有唯 一的分解k = + k 1 ，鲍爻，k 1 l 一1 如果k 只，那么护k 秽m r , 一。否则， 只5k 只+ 1 时，就有恐= 只因此 满足要求 o k , u = p k l + 鲍口= o k l 0 b 秽u ( g z 1 ) o p , v 1 2 第二章v ( a ) 的一个新重数公式 最后证明m p m p , 一! v ( ( 入一只q ) g l - - i ) 设w 是p b 秽在m f j m p o 一，中的像则m p , , m p , , 一。竺t t ( m 一1 ) 叫因为o e v 是y ( 入) 中的本原向量，所以w 是权为( a 一只q ) 。，的极大向量又因为y ( 入) 是有限维的， m p , m p , 一。也是有限维的，它由极大向量w 生成，所以由引理2 4 3 得m v m p o 一，竺 y ( ( 入一只q ) g ) 再根据完全可约性，命题得证 l i t t e l m a n n ( 2 8 】中定理2 5 ) 首先证明了下面的定理我们在这里给出一个新的证明 定理2 4 6 v y ( 入) 是极大向量则 p k lk a ) 组成v ( a ) 的z - 形式的一个基 证明：对f 做归纳法 z = 1 时，任给非负整数m ，由引理2 4 2 ， 一”移l0 i m ) 组成y ( m ) 的压形式 的一个基 假设f 一1 时定理成立，下面证明2 时定理也成立用定理2 4 5 中的概念和和记号， 构造m r , ，l 8 t 的基 s = 1 时，作为u ( g z 1 ) 一模，m p i 竺y ( 入g ) ，由归纳假设 o k 秒ik z 一1 ，a 。) 是 m p i 的基 s = 2 时，因为： i ) 由3 4 ( 3 ) k z 一1 ，( a p 2 q ) g l 一1 时， o k + p 2 u m p 2 ； i i ) 由归纳假设 俨i g e 巩 ( a p 2 a ) g * - 1 ) 的个数等于d i mv ( ( 入一p 2 q ) g ) ； i i i ) m p 2 m p , 竺v 【( 入一岛a ) g l - 1 ) 因此 目k u ik z 一1 ，h l 一。) u o k p p 2 u = o k + v = v ik f 一1 ，( a p 2 口) 。l 一1 ) 组成m r 2 的一个基 重复做下去，集合 日k 训k l l ，a 。l 一1 ) u o k + p 2 钉ik f 一1 ，( a 一尼。) 。一1 ) u u e k + p t , u k i i t 一1 ，( 入一r n ) g l - 1 ) 组成m r , = v ( a ) 的一个基 因为上面的集合和集合 p k 秒ik a ) 的元素个数相同，所以定理得证 回忆( a ) 是不可约模y ( a ) 的权集p = ( 0 ，o ，p t ，p t 一1 ，p 1 ) 1 则称 p a = 名1p i o q ：1o t q l 当且仅当对任意的i = 1 ，2 ，2 1 ，鼽= 口l ，p isa i 2 5 两个例子 定理2 4 7 p ( a ) 是y ( 入) 的权则p 在v ( a ) 中的重数m a ( 肛) 等于 m a ( 弘) = d i mv ( a ) p = p 又，p a a p 哪一k 一。 p 又，p a a p 妇y ( ( a p 嚏，) ， ( k ，) 1 3 证明： 根据定理2 4 5 ，设入一肛= a l o q + a 2 c e 2 + - - a l a l ，a i 0 ，i = 1 ，2 ，1 则y ( 入) 中 权p 空间的基为m = o k u ik = ( 尼i ，砖1 ，砖一1 ，磋一十1 ，k 。l 一- , + 1 ，七f 件1 ，研，硅1 ， ，后 ) a ，矸= 伽，硪14 - 维1 = a l l ，k + k j + + k = 口1 ) ，a 4 的维数等于 m 入( 肛) 把m 分成不相交的m t 的并，这里m t = 口k 移lk 朋，只 k 只+ 1 ) 由 定理2 4 6 ，知a 4 t 冬m p , ，a 4 i 的维数等于m ( a 一只口) g ) 由定理2 4 5 ，命题得证 2 5两个例子 z = 2 ，g f 是a 2 型的l i e 代数对a = a o ) l + 2 = ( a ，b ) x ( t ) + 有下面的指标集： h = ( 忌 ，忌i ，忌 ) ik 七；) n 3 ， i i = ( o ，磁，后i ) fk 砭) n 3 ， a = ( 七；，砬，七；) i 忌 a ，k a + 庇3 2 七；，k ；b + 七i ) ， i = ( o ，p 2 ，p 1 ) lp l o ，p 2 一p l 6 ) 7 特别地，如果入= 2 u 1 + 3 w 2 = ( 2 ，3 ) ，则 入= ( 忌；，k l ，克i ) i 庇；s2 ，k ；s2 + k ；一2 危i ，k ；3 + 七 ) ， i = 尸l = ( 0 ，0 ，0 ) 局= ( 0 ，1 ，0 ) 忍= ( 0 ，2 ，0 ) 只= ( 0 ，3 ，0 ) p 5 = ( 0 ，1 ，1 ) p 6 = ( 0 ，2 ，1 ) p 7 = ( 0 ，3 ，1 ) 最= ( 0 ，4 ，1 ) 一 局= ( 0 ，2 ，2 ) - 4 片o = ( 0 ，3 ，2 ) 一 b 1 = ( 0 ，4 ，2 ) b 2 = ( 0 ，5 ，2 ) 并且， 有一个基 ， 口，一2 ) 口) ，作为u ( g 。) 模和y ( 2 ) 同构； m - p 2 地有一个基 厶口， 如秽，矗2 如钉，一3 止t ，) ，作为h ( 9 1 ) 模和y ( 3 ) 同构； 慨有一个基 以2 口， 以2 口，矗2 以2 ) 钉，矗3 以2 ) 口，一4 蠢2 ，作为u ( g 。) 一模和 构； v ( 4 ) 同 锄m 蠢有一个基 矗3 钉， 矗3 秽，f 2 以3 秒，0 3 矗3 口，矗4 矗3 1 ，矗5 蠢3 ) 秒) ，作为i 工( g ，) 一模 和v ( 6 ) 同构； m p n m p 4 有一个基 厶 口， 厶 秽) ，作为i i ( 9 1 ) 一模和v ( 1 ) 同构； 1 4 第二章y ( 入) 的一个新重数公式 g p 6 g p 5 有一个基 蠢2 u ， 以2 口，f 2 矗2 口 ，作为h ( 9 1 ) 模和v ( 2 ) 同构； m p ，g p , 有一个基 蠢3 ， 以3 秒，一2 蠢3 口，一3 以3 钉) ，作为u ( 9 1 ) 一模和v ( 3 ) 同 构； m e s m p ，有一个基【以4 ) f l y ， 以4 ) f x v ，矗2 以4 钞，矗3 ) 以4 钉，f 4 矗4 ) ，作为l l ( g ，) 一模 和y ( 4 ) 同构； m p g m p 8 有一个基 以2 0 2 ) 秽) ，作为h ( 9 1 ) 一模和y ( o ) 同构； 慨。i m p 9 有一个基 以3 一2 ) ， 以3 一2 1 v t ，作为u ( 9 1 ) 模和y ( 1 ) 同构； m p l 。m p , 。有一个基 以4 矗2 ) 口， 允4 矗2 ) u ，一2 以4 一2 ) 口) ，作为u ( 9 1 ) 一模和y ( 2 ) 同构； m p l 。m p , 。有一个基 以5 一2 ) 钉， 以5 一2 u ，矗2 允5 矗2 ) ，一3 以5 ，f 2 钉) ，作为h ( 9 1 ) 一模和 v ( 3 ) 同构 把这些基向量都放在一起就得到v ( 2 w 】+ 3 w 2 ) 的一个基还有 1 2 y ( 2 u 1 + a 0 2 ) l 孤g 。) 竺日y ( 入一只q ) i u ( g 。) 我们知道p = u 2 ，入一p = 2 0 q + 2 口2 时m a ( p ) = 3 用定理2 4 7 ，可得 m a ( p ) =m ( 入一p 3 q ) 口1 ( p 9 1 ) + m ( x p 6 q ) 。1 ( p 9 1 ) + m ( a p 9 n ) 。l ( 肛9 1 ) = m 4 ( 0 ) + m 2 ( 0 ) + t o o ( 0 ) = 1 + 1 + 1 = 3 f = 4 时，g z 是a 4 型的l i e 代数对入= 叫1 + 鼬2 + c i , 0 3 + 砒= ( o ，b ，c ，d ) x ( t ) + 有下述指标集：