（理论物理专业论文）激光作用下半导体电子的缀饰带.pdf

摘要 摘要 在本文中，首先，简单介绍了经典光场作用下原子的光学s t a r k 效 应。其次，概述了半导体电子能带的基本理论及方法。最后，主要采用 石卢微扰方法，并利用缀饰带近似、重整化有效质量近似、以及f l o q u e t ， 矩阵方法研究了激光缀饰下半导体三能带模型。结果表明，在激光场较 专 弱时，在k = 0 附近，由缀饰带近似和重整化有效质量近似所得的准能量 值几乎相等，进一步通过缀饰带近似与f l o q u e t 矩阵方法相比较，说明 在某些特征点处符合的较好。并且，与两带模型比较，在三带模型中还 出现一些新的现象，亦即：翘曲和避免交叉点等。 关键词：_ j i 五微扰方法；缀饰带近似；重整化有效质量近似；f l o q u e t 矩阵方法。 中图分类号：0 4 1 1 些! 堡竺! t h ed r e s s e db a n d so fe l e c t r o ni ns e m i c o n d u c t o rd r i v e nb yl a s e rf i e l d f e n gz h i f a n g ，t h e o r e t i c a lp h y s i c s d i r e c t e d b yp r o f e s s o rl ix i u p i n g a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ef i r s ti n t r o d u c et h ea t o m i co p t i c a ls t a r ke f f e c ti n a c l a s s i c a ll i g h tf i e l d ，a n dt h e nd e s c r i b es o m eb a s i ct h e o r i e sa n dm e t h o d so f e l e c t r o n i cb a n d si ns e m i c o n d u c t o r s i nt h ef r a m e w o r ko ft h r e e b a n dm o d e l a n di p p e r t u r b a t i o nm e t h o d ，t h ed r e s s e db a n d so fs e m i c o n d u c t o r s h a v e b e e n i n v e s t i g a t e du s i n gt h e r e n o r m a l i z e de f f e c t i v em a s sa p p r o x i m a t i o n ， d r e s s e d b a n d a p p r o x i m a t i o n a n de x a c t f l o q u e t m a t r i xm e t h o d i ti s d e m o n s t r a t e d t h a t q u a s i e n e r g y c a l c u l a t e df r o mt h ed r e s s e d b a n d a p p r o x i m a t i o n a r e e s s e n t i a l l y c o n s i s t e n tw i t ht h a tf r o mr e n o r m a l i z e d e f f e c t i v em a s s a p p r o x i m a t i o n u n d e rl o wf i e l di n t e n s i t y w h i l et h e q u a s i e n e r g i e sf r o md r e s s e d b a n da p p r o x i m a t i o na n df l o q u e tm a t r i xm e t h o d s h o wg o o da g r e e m e n ti nt h ep r e d i c t i o no fc h a r a c t e r i s t i cp o i n t s m o r e o v e r , c o m p a r i n gt w o b a n dm o d e l ，s o m en e wp h e n o m e n a a r ef o u n di no u r t h r e e - b a n dm o d e l ，i e ，w a r p i n g ，a v o i d e dc r o s s i n ge t c k e y w o r d s ：i pp e r t u r b a t i o nm e t h o d ；d r e s s e d b a n da p p r o x i m a t i o n r e n o r m a l i z e de f f e c t i v em a s sa p p r o x i m a t i o n ；f l o q u e tm a t r i x m e t h o d i i 弓l 言 引言 半导体具有许多独特的物理性质，这与半导体中电子的状态及其运动特点有密 切关系。半个世纪以来，半导体的研究在当代物理学和高技术的发展中都占有突出 的地位。这是因为半导体不仅具有极其丰富的物理内涵，而且其性能可置于不断发 展的精密工艺控制之下。传统的晶体管、集成电路以及很多其他半导体电子元件都 是明显的例证。半导体超晶格和微结构则是近年来开拓的新领域，它在新的水平上 体现了半导体的上述特点，这个领域的开拓正有力地推进半导体研究和新一代高技 术的发展。 、我们都知道，强的外场对固体有很强的扰动，这便导致固体的一些基本物理性 质会改变，所以研究辐射场与物质的非线性相互作用便有着非常重要意义。对半导 体材料在电场下的行为研究，f r a n z 和k e l d y s h 早在1 9 5 8 年就分别提出了在均匀外 电场下半导体直接光跃迁的理论。但进步研究表明，电场对体材料的效应不如对 超晶格或量子阱的效应明显，与此相反，磁场对体材料的效应是比较明显的。电子 在垂直于磁场的平面内作回旋运动，形成量子化的朗道能级。在低温下，可利用微 波测量电子在电子朗道能级或空穴朗道能级内部的跃迁，这就是回旋共振实验 ”。 通过测量回旋频率h o ) c = 毛一e 一，与外加磁场的关系，就可确定电子和空穴的有效 质量。 近几年，对电磁场与超晶格相互作用的研究己相当多郾】。随着半导体超晶格的 发展，人们对稳定电场和含时电场作用下新的量子结构开展了广泛的研究h 9 】。如固 体物理中的半经典预测现象b l o c h 振荡就是由d c 场诱导的，这在超晶格的实验中已 观察到。除了b l o c h 振荡，许多其它新的有趣的现象也从理论和实验中发现，动力 学局域化就是由a c 场所产生的一个突出效应 4 1 。由于复合场有许多内在的有趣现 象，所以人们最近对d c a c 复合场产生的效应进行了广泛的关注，像多光子吸收”， 在b l o c h 振荡频率处出现强的t h z 光子流共振，即逆转b l o c h 振荡 6 1 ，绝对负传导 ”1 以及两微带间的拉比跃迁就是由复合场所导致的一些特例。 由于激光场的非线性效应，人们对原子、分子中电子结构的变化的认识已取得 很大进步，这也为激光场作用下固体的电子性质的改变的研究奠定了基础。特别是 半导体超晶格，在强的额外a c 场作用下，由于光耦合态的重整化和缀饰，呈现出 动力学s t a r k 效应，这已在多量子阱结构带与带间跃迁和激子跃迁中观察到 1 0 】。理 论上，k h u r g i n 等对半导体超晶格经过一个光诱导有效质量变化的动力学s t a r k 效 激光作用下半导体电子的缀饰带 应已进行了研究【1 1 。 在固体中，光学特性和传输性质与电子态的局域化程度有密切的关系。尤其在 半导体超晶格中，电子局域化对额外场特别敏感，所以常用于光电子器件。为了设 计新的更有效的装置，对额外场半导体相互作用等一些基础物理知识的理解是特别 重要的。现在人们对在半导体超晶格中电子结构的外场效应的理解已经很成熟了。 在几年前，人们就提出了许多光电子器件都可在激光半导体相互作用下通过改变超 晶格电子带态的理论基础上制成【l l 】。最近，由b r a n d i 等又提出了一种简单的方案， 即激光与半导体相互作用的效应是通过电子有效质量的重整化和缀饰来体现【1 2 。这 个方案在处理有效质量近似的应用方面是非常有用的。重整化有效质量近似的一个 具体应用就是对激光场下g a a s g a a l a s 量子阱的浅杂质能级的研究 ” ，其中假定了 一个简单的两抛物线直接带隙k 芦模型。结果表明，在实验可观察强度下，激光场 效应与额外应用磁场的效应是可比拟的。随后，b r a n d i 等又讨论了激光场半导体相 互作用下两抛物线能带重整化有效质量近似的有效性1 3 】，结果表明，当激光场强度 调节至共振之下时，利用重整化有效质量近似方案来研究直接能隙半导体与激光场 相互作用的一些问题是有效的。 本文主要是在t 芦近似下，通过重整化有效质量近似与缀饰带近似获得的准能 谱和f l o q u e t 矩阵对角化得到的精确结果相比较来研究激光场半导体相互作用下三 能带重整化有效质量近似的有效性，并对此三能带在激光缀饰下所出现的一些新的 特性进行进一步的讨论。本文结构如下：第一章，简单介绍原子与光场相互作用下 原子的光学s t a r k 效应。第二章，概述了半导体电子能带的基本理论及方法。第三 章，对激光场半导体相互作用下= - - z 日n h 带有效质量近似的有效性进行研究。第四章， 给出结论与展望。 2 第一章经典光场作用下原子的光学s t a r k 偏移 第一章经典光场作用下原子的光学s t a r k 偏移 为了更好的理解激光场作用f 半导体的光学s t a r k 行为，我们首先介绍一个二 能级系统原子在经典光场作用下的光学s t a r k 偏移和劈裂。 。 一个原子的单电子定态s c h d s d i n g e r 方程 h o ( i ) = a 矗( i ) ， ( 1 1 ) 为方便，我们讨论只有一个单电子的氢原子，所以风可写为 ； 风一等号 z ， 考德原子的偶极矩与一个光场的耦台，并引入波函数的含时变化 疏型业：【+ q ( f ) 晰，r ) (13)ot ”1 、。 、。 其中 q ( f ) = - e x s ( t ) = - d s ( t ) ( 1 4 ) d 为电子的偶极矩算符，假定均匀电磁场在z 方向极化。把含时波函数在定态本征 函数( 1 1 ) 下展开 ( i ，f ) = 口。( 啪1 ( i ) ， ( 1 5 ) 代入( 1 3 ) 式，然后左乘以( i ) 并对全空间积分得 访盟= 一( r ) e - i “( n i d l m ) ， (16)dt= ” 其中s 。= g m 一矗是频率差，( ”i d i m ) = p 3 i 以( i ) d ( i ) 是电子的偶极矩阵元。假定 f = 一o o 时电子处于初始态l ，) ，即a ，( t - - 一m ) = 瓯， 位一个一能缴原于与尤功利且作用，令乞 q ， 由( 1 6 ) 可得到两耦合微分方程 访粤= 一s ( f ) p 1 ： a t 沈孕= 一s ( f ) e - t t d 2 ， a t 假定一个简单的单色场 s ( f ) = 丢s ( ) ( e “+ “) ， 则 腩孕= 一d 1 2 三乳e 叫* h 和刚 口2 d f2 ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 激光作用下半导体电子的缀饰带 疏鲁：i 喝掣旷咖一掣t + e i ( o “一。 ( 1 1 z ) 我们只考虑共振附近的光诱导变化，即= 岛一q 。由此可知，e x p i ( 0 2 一乞。) 印几乎 是时间独立的，而e x p f ( 珊+ 毛。) q 振荡很快。若两项都保留，贝l je x p i ( 0 2 一毛。) 胡导致 共振项正比于 i 毛乌p 上一i j r s ( c o - e ：, ) ，( 1 1 3 ) ( 。一乞1 ) + i y 0 2 一1 9 2 l 7 i i 百e x p i ( 0 2 + c 2 1 ) 1 导致非共振项正比于 瓦_ 生i 马p 士一i 7 r 8 ( 0 2 + 9 2 , ) ( 1 1 4 ) ( 0 2 + 1 9 2 1 ) + i y + s 2 1 、7 当光频率满足= , 9 2 一时，又由于岛 毛，( 11 4 ) 式的占函数斗o 。，且主值仅给 实部一个弱贡献，因此常忽略非共振部分。 于是( 1 i 1 ) 和( 1 1 2 ) 简化为 访堕= 一d r 2 三堕e 岫训口2 ， (115)dt 2 。 、 疏拿：一畋，三譬e 叫一， ( 1 1 6 ) m一2 这个近似就叫旋波近似( r w a ) ，起源于上式的周期时间演化可以由布洛赫矢量旋转 来表示。 解( 1 1 5 ) 矛n ( 11 6 ) 式，首先看精确共振情况，即= 乞一q = 1 9 2 。 对( 11 6 ) 求导并代a ( 1 1 5 ) 式得 由此引入了r a b i 频率 耐：。盟2 h 堕d t = 一k ，型2 hk lz ：掣， n 解( 1 1 7 ) 得 a 2 ( r ) = a 2 ( 0 ) 矿。“2 同理，可解a ，( ，) ，然后代入( 1 5 ) 式得 ( 11 8 ) ( 11 9 ) y ( 芦，f ) = a i ( o ) e 一q + 嘶7 2 y 【i f ) + 吒( o ) 口一1 2 7 2 弘，2 ( f ) ( 1 2 0 ) 此式表明，初始频率s ，和s ：在光场作用下变为1 9 1 2 和乞2 。从图1 也可 第一章经典光场作用下原子的光学s t a r k 偏移 看出，由原来的单光子跃迁变为三光子跃迁，频率分别为：s ：。和：。：- o r 。也就是 说，在光场的影响下，一个二能级原子的单跃迁劈裂成三重跃迁，主跃迁在乞；， r a b i 带边跃迁在岛。4 - ( 0 r 。由( 1 1 8 ) 式可知，劈裂正比于场强度和偶磐矩的积。因此 仅在强场共振时才可观察到r a b i 带边。而且在实系统中，r a b i 频率往往大于线宽。 5 2 + 2 5 2 0 9 r 2 s 1 + r f 2 8 】一曲月2 图1 一个二能级系统的频率跃迁示意图：左边部分为没有光场作用； 右边部分为光场诱导能级劈裂，且光场为共振场。竖直线表示能 级间的所有可能光跃迁。 另外，二能级原子也可在有限失谐下求解，即v = e 2 ，一国。类似于上面的求解过 程，最后可得劈裂和偏移的能级为 s 2j q 25 岛+ q = 岛一v ， 1 7 5 + c o ；。， ( 1 2 1 ) q 啼q 1 弘一q = ”要去厢 ( 1 2 2 ) 在一个经典光场作用下原子波谱的相干修改类似于在稳定电场作用下s t a r k 劈裂 和偏移，因此叫光学s t a r k 效应。在强光场作用下，原子的重整化态的修改就是一 个缀饰原子态。正如在原子中的光学s t a r k 效应一样，在半导体中也可观察到光学 s t a r k 劈裂和偏移。 激光作用下半导体电子的缀饰带 第二章半导体电子能带的基本理论及方法 21 半导体能带结构的基本理论 半导体中除了导带上电子导电外，价带中还有空穴的导电作用。正是由于这两 种载流子的作用，使半导体表现出许多奇异的特性，可用来制造形形色色的器件。 不同的半导体材料，其能带结构不同，而且往往是各向异性的，即沿不同的波矢k 方向，e 云关系不同。由于问题复杂，虽然理论上发展了多种计算方法，但还不 能完全确定出电子的全部能态，所以需借助于实验的帮助，采用理论和实验相结合 的方法来确定半导体中电子的能态，如回旋共振实验【l j 。 回旋共振是半导体导带和价带边附近等能面的最佳测量方法之一，确定等能面 相当于确定有效质量张量。在主轴坐标下，带边等能面一般是一个椭球 e o ( f ) 吲o ) + 等等篆， ( 2 1 1 ) 舯咖掣川( o r = x , y , z 黼黼颟量 在恒定磁场下，载流子的回旋有效质量为 1 f m o t 2 + m y f l 2 + m ：，2 r m c l，m z _ 一i 一i ， 式中口，口，y 是外磁场画相对于有效质量主轴的方向余弦。 取向下的m ：便司推知m ：、m ：、m ：。 回旋共振实验还可以测定带边等能面的形状。 ( 21 2 ) 因此，测量三个不同磁场 在下面我们主要讨论的是砷化镓( g a a s ) 半导体能带，所以简单介绍g a a s 的能 带结构。g a a s 导带极小值位于布里渊区中心k = 0 的r 处，等能面是球面，导带底 电子的有效质量为o 0 6 7 m 。在 11 1 和 100 方向布里渊区边界l 和x 处还各有一 个极小值，电子的有效质量分别为o 5 5 m o 和o 8 5 m o 。室温下1 1 ，厶三个极小值与价 带顶的能量差分别为1 4 2 4 e v ，1 7 0 8 e v 和1 9 0 0 e v 。l 极小值的能量比布里渊区中 一f l , 极小值的能量约高o 2 9 e v 。 g a a s 价带也具有一个重空穴带k ，一个轻空穴带k 和自旋一轨道耦合分裂出来 的第三个能带圮，重空穴带极大值也稍许偏离布里渊区中心。重空穴有效质量为 第二覃半导体电子能带的基本理论及方法 0 a 5 m 。，轻空穴有效质量为0 0 8 2 m 。，第三个能带的裂距为0 3 4 e v 。室温下禁带宽 带为14 2 4 e v 。禁带宽度随温度按乓( ，) = t ( o ) 一f a t 万2 的规律变化，g a a s 的e 。( o ) 为1 1 5 9 e v ，日为5 4 0 5 x 1 0 。e v k ，6 为2 0 4 k 。图2 画出了砷化镓沿 】1l 】和 100 方向的能带结构图。 东 赫 璐 一、 2 ，2 ，f l o q u e t 理论 誊垂溅l 。囊一 舞”_ a ，哮 图2 g a a s 能带结构 早在一个世纪前，f l o q u e l 和p o i n c a 怡首先处理的是具有周期系数的线性微分方 程的解。后来，a u t l e r 和t o w n e s 1 4 1 利用f l o q u e t 理论，根据无限连分式获得了二能 级系统的波函数。直到6 0 年代中期，f l o q u e t 理论应用于量子系统才逐渐增多。最 典型的是s h i r l e y ( 1 5 】建立了二能级量子系统与强的振荡经典场相互作用的含时问题 与无限维含时f i o q u e t 矩阵是等价的。但这些都是半经典理论，没有明确的把场量 子化。后来s h i r l e y 表明：在物理上f l o q u e t 态可以用作量子场态。c e h e n t a r m o u d j i 和s h a r o c h e 指出f l o q u e t 准能量图与完全量子化的缀饰原子图是相同的。c h u 和 r e i n h a r d t b 6 i 首先利用普遍的f l o q u e t 非微扰理论处理了包括束缚态和连续态的无限 能级系统问题。 当激光场足够强时，引入准能量的概念是非常有用的，准能量可以被看作原子、 分子系统和电磁场耦合在一起的特征能量。利用f l o q u e t 理论处理单色激光场下的 原子、分子响应也是非常方便的。随着高强度，短脉冲激光场的发展，人们对强的 或超强激光场下的原子、分子系统的多光子和高阶非线性光过程的研究产生了极大 7 激光作用下半导体电子的缀饰带 的* 趣。这也导致许多奇特的强场现象的出现无法用普通的微扰理论来理解，而 f l o q u e t 理论为研究周期含时场驱动下的束缚态与束缚态问的多光子跃迁提供了强 有力的理论方法。 对于一个周期为t 的含时系统 日( i ，t ) = h ( 7 ，f + r ) ，( 2 2 1 ) 利用f l o q u e t 定理求解，可保证薛定谔方程 h ( i ，f ) j ，( i ，r ) = 0 ， ( 2 2 2 ) 的解构成一套完备集 ( i ，r ) = “。( i ，t ) e x p ( 一魄f ) ，( 2 2 3 ) 这里“。( i ，f ) 函数具有时间周期性，称为f l o q u e t 函数。( i ，f ) 满足本征方程： h ( i ，r ) 一7 k ( i ，r ) 2 屹( i ，f ) ( 2 2 4 ) s 。称为准能量。我们看到，f l o q u e t 定理和布洛赫定理非常相似。布洛赫定理是由 于空间周期性可对波函数引入一个指数因子e x p ( 一i g - i ) ，而f l o q u e t 定理是由于时 间周期性使波函数也可分解出一个指数因子e x p ( 一f 扪。 对具有准能量。的f l o q u e t 函数“。( r ) 和任意整数n ，乘积“。( t ) e x p ( i n c o t ) ，( 其 中国= ! 孚) 也是一个f l o q u e t 函数，对应的准能量是：毛+ n 珊，根据薛定谔方程的 完备解，这些本征函数都是等价的。这意味着与空间周期性导致动量空间存在布里 渊区一样，由于时间周期性，在准能带空间也存在一个布里渊区，长度为。我们 取一罢cs ( ) = 0 9 为准能量空间的第一布里渊区，其他布里渊区可以通过整数倍的 c o 而获得。f i o q u e t 理论在原则上适用于多个能带情形。 23 云声微扰方法 半导体的物理性质主要取决于导带和价带边的能带结构。能带计算的e 矛方法 是求解布里渊区中高对称点附近能带结构最简便的方法。它可以得到带边附近的能 带色散关系和有效质量的解析表达式。云p 微扰方法的中心思想就是：已知晶体电 子在k = o 的全部状态。( i ) 和能量e ( o ) 的条件下，如何用微扰法求k = o 附近的 e 。( f ) 的表达式。 我们从周期场中单电子波函数是布洛赫波 第二章半导体电子能带的基本理论及方法 所满足的波动方程出发 干0 用面= 一i h v ，有 = e i k - i “m ( i )( 23 1 ) 睁盯，p “沪瓣舢岍 b ，固 西。= e 47 ( 卢+ h k ) u 。 ，( 2 3 3 ) 芦2 y “= 87 j ( 芦2 + 2 h i p + 2 k 2 ) “m ，( 23 4 ) 代入波动方程得 i r。 一 j 1 丢+ i p t 2 k 2 + v + 竿k 沪嘶y 胁( - ) ，( 2 3 5 ) 经整理得 防p 2 嵋一m 砩卜班( 州等 “”s 甸 这是布洛赫函数的周期部分“。( i ) 满足的普遍方程。i i t i ( 2 3 6 ) 的解必须是晶格的周 期函数，由这个方程加上周期性函数解的条件，就可求得全部e 。( ) ，( 2 3 6 ) 式也是 k j 微扰方法的出发点。 为了简单起见，假定带边位于布里渊区中心r 点，即k = 0 。显然，b n 0 ( i ) 满足 的方程为 睁p 2 盯- 删咖一n s 刀 此式的解构成一个正交完备集，虬。( i ) 就是r 点的波函数虬。( i ) ，e 。( 0 ) 就是。( i ) 对应的能量本征值，这些通常是己知的。在k = 0 附近，“。i f ) 的解可以把u n o ( i ) 做 为零级近似，把旦云面项作为微扰，应用简并或非简并微扰理论去求解方程( 2 3 6 ) 。 这种计算能带色散关系的方法就称为云西方法。因为微扰项正比于云芦，所以这种 方法最适合计算小k 值的能谱。原则上讲，只要知道在k o 点的波函数和能量，这种 方法可以用来求解任意k o 附近的能谱。 激光作用下半导体电子的缀饰带 设能带是非简并的简单情况，非简并的一级微扰有 e m ) = ( 加夸多= m ( ”o 胁o ) ， ( 2 丑8 ) 其中j 加) 为”。( i ) 的简写。级微扰是云的一次项，根据有效质量的定义( 2 i 2 ) 式在 极值点k o 点附近，e ( k ) 的函数可以做泰勒展开 e ( t ) = e ( ) + 掣m + 掣m + 掣m ，( 2 3 9 ) z 。 z ， z ， e ( k o ) 为极值处的能量，因为是在极值1 3 f f 近z ，一次幂系数为零，只保留到二次幂。 此式表明有效质量是由极值附近能量函数e ( k ) 的二次项决定的。所以k 的线性项为 零，即( 加例h o ) = 0 。 非简并的二级微扰 蛸耻等等莩唑拦器峨一， b 。呐 计算至二级微扰，并适当选择主轴的方向，则 驰卜耶，+ 丛2 m 辱莩莩唑著l b s 与( 2 3 9 ) 式比较，可得有效质量 占m 寺嘉莩唑群e 亿s 仍 + 聊m 2 争 e 。( o ) 一。，( o ) 。 可见，由于不同能带电子态之间借助于石卢项的耦合导致晶体中电子的有效质量不 同于自由电子的质量。带间耦合效应对有效质量的影响取决于两个方面：首先，要 求带间矩阵元( n o l p ，| l n o ) 0 ，以保证不同带电子态之间有耦合。其次，带间两个电 子态的能量差对有效质量有重要的影响，能量差越大影响越小。因此在众多的电子 态中往往只需考虑相邻的导带和价带之间的耦合，能量差即为半导体材料的带隙宽 度。因而有带隙宽度越小，有效质量越小。 对于极值点k o 0 的。i 觏( k o 总是沿对称轴的方向) ，做类似的讨论有 去m 寺之m 莩蛐e 躲咧e ( k 铲o ，+ 坍 2 。( ) 一。 ) 、。 这时有效质量往往是各向异性的，沿对称轴方向的有效质量称为纵向有效质量m ， 垂直对称轴方向的称为横向有效质量聊，。这是由于能带的对称性，导致不同方向、 能带问不同电子态能量差是不相等的。 第二章半导体电子能带的基本理论及方法 当极值点能带是简并的情况，k 声微扰计算应当采用简并微扰计算带边的能带 结构和有效质量。轻、重空穴带带顶附近的e ( k ) 函数为 町) = e v ( o ) _ 篆 b 2 k 4 + ( k , + k ”2 k 2k 2 k 2 ) “2 ) ， ( 2 31 4 ) 其中+ 号和一号分别对应轻空穴和重空穴，这个结果形式不同于极值附近泰勒级数 展开式，不是简单地出现k 的二次项，而是在根式下出现四次项。这反映了在简并 能带情况不再有简单意义的有效质量，这时等能面是扭曲的球面。式中a 、b 、c 为无量纲的量，可以由实验测量它们的值。由( 23 1 4 ) 式还可以估计某个方向的有效 质掌。如：沿 1 0 0 方向， ：= 一而m ，沿 1 1 1 方向， 脚：= 一i i 赢。 激光作用下半导体电子的缀饰带 第三章激光缀饰下的半导体电子能带 3 1 理论模型 我们知道，激光半导体相互作用需要一个多体计算，但在实际的物理过程中， 在有限失谐下，可采用单体近似【”1 ，这里所讨论的重整化有效质量近似的有效性也 是在单体近似下进行的。另外，需要提及的是我们的计算是在稳态模中进行的，而 在实际的半导体系统电子结构的实验当中处理的都是变化模，所采用的都是超快激 光脉冲强度为g w i c mz ，但通过广泛的理论和实验研究陋2 2 墙b 表明：在激光脉冲范 围所得的结果与稳态结果基本上是一致的。 考虑半导体中的一个电子与频率为、线性极化为二的单色激光场的相互作用。 为了准确地描述布洛赫态之间的多光子跃迁，要求电磁场用二次量子化处理，假定 激光场可以用一个波长为五= c 国( 这里 口。，为晶格常数) 的单模场很好的描 述，则激光场可以被看作空间均匀场。在此近似下，系统的哈密顿可写为 = 风+ h ，+ 。 ( 3 1 1 ) n 2 其中 风= + v ( i ) ， ( 3 1 2 ) h ，= a 蜘+ ，( 3 1 3 ) ，2 豪c 曩芦+ 嘉c ， ( 3 1 4 ) m z 州 式中v ( i ) 是晶格周期势，j = 爿。( + d + ) 二以及也= 2 口船锄是体积为q 的真空场 振幅。口( a + ) 是激光场模的湮灭( 产生) 算隋：若假定激光场为半经典近似2 9 1 ，则矢量 势振幅4 = 2 x n t a 。，场中的光子数“。i 。 为了说明重整化有效质量近似的有效性，可以通过与量子化f l o q u e t 方法 2 3 】比 较。f l o q u e t 方法精确地包含了激光场的所有阶，与两带抛物线t 声近似相比较， 在零场极限下，两种方案获得了相同的结果。并且在两带模型中，调节激光场强度 在实验可观察范围内，重整化有效质量近似所得到的结果与无限大f l o q u e t 矩阵对 角化所获得结果也是一致的。早在二十多年前，t z o a r 和g e r s t e n 2 4 就用b l o c h - - f l o q u e t 绘景来处理激光与晶体结构的相互作用，其中激光场采用半经典近似。在本 章中我们主要处理量子化场与半导体单电子相互作用，并将缀饰带近似、重整化有 第三章激光缀饰下的半导体电子能带 效质量近似以及f l o q u e t 矩阵方法用于三带模型中，讨论在此三带模型中重整化有 效质量近似是否仍然有效。 32 缀饰带近似和重整化有效质量近似 为了把激光场吸收到有效质量的表达式中，即重整化有效质量近似( t h e r e n o r m a l i z e de f f e c t i v em a s sa p p r o x i m a t i o n 简称m ! m a ) ，首先是在文献【2 2 1 中提出的， 这种方法来源于缀饰原子近似应用于两带模型中，叫缀饰带近似( t h ed r e s s e d b a n d a p p r o x i m a t i o n 简称d b a ) ，其中动量矩阵元p 。可看作是各向同性。在三带模型中， 我们作同样的考虑，对于一个固定的k 值，非微扰哈密顿风可以被对角化有效半 导体哈密顿鼠代替 豆。= 磁( 七) 1 v 。) ( v ，。1 + 磺( k ) lv 2 。) ( v ：。1 + e ：( ) 1 ) ( 吒l ， ( 3 21 ) 其中h 。) i v ：。) 分别代表一个电子的轻空穴带态和重空穴带态，相应的能量 昧垆筹，战= 筹；r c k ) 代表电子的导带态，能量珊) = 筹+ 乓。 这里m 。、聊，：m 。是轻空穴、重空穴带和导带的裸有效质量，e 。是能隙。 现将缀饰原子的方法应用到三带模型中。假定在r 点( k - o ) 处是近共振的，即 e 。z h o ) ，在哈密顿风+ q 下，非相互作用态l v 。，+ 1 ) ，l v ：，+ 1 ) 和l c ，n ) 是近简 并的，相互作用哈密顿e 。使它们强烈耦合。同时，相互作用哈密顿也使态l q ，n + 1 ) 和 c ，n + 2 ) ，l c ，) 和 u 。，一1 ) ；l i ) 2 ，n + i ) 和l c ，n + 2 ) ，l c ，n ) 和i 呸，n 一1 ) 以及 1 0 1n + i ) 和l 吐，n + 2 ) ，i v 2 ，n + i ) 和iu l ，) 耦合，相应的非共振导带与重空穴、 轻空穴带的耦合态之间的间隔为+ 2 h c o ，而轻空穴带与重空穴带耦合态的间隔为 壳国。 在这些假定下，系统的哈密顿可写为 r q ，q ：啊， 日= l 马l 皿2h z 3 ( 3 2 2 ) lh 3 。玛zh ，j 对角哈密顿在二阶微扰近似下求解 堂垄堡旦! 兰兰竺皇王塑丝塑堕 啊1 = 目( ) + 日 i 叫：1 2 1 垡! e f o ( 尼) 一垦。( t ) 目o ( ) 一毯o ( 尼) = ( q ，+ 1 i 风+ q h n - 1 ) - - ( l ) 1 ，n + i h i 。i v - ，n + i ) 1 垡! ；l 堡! l 目o ( _ j ) 一霹o ( t ) e f 0 1 ( _ ) 一毯。( 七) e ：( ) + ( + 1 ) h c o a e ? 一霹， 同理：= 砖( 女) + ( + 1 ) 壳+ 群一霹 h ”= f ( k ) + n h c o + 霹+ a e ： ( 3 2 3 ) ( 3 24 ) ( 3 2 5 ) 耻耻( v 1 ，+ 1 i v 2 , n + 2 ) = 絮。，= 旧t s o ) me k j 刮3 _ 2 6 ) 艘h 2 1 = ( v 2 , n + l m ，) 一e 2 a m o p 。，= ts o j me 。 j 。 耻即絮卟l i o ) m 小j 卟a ， 等 ：= tz oj mf。i02=j a 2 ， 其中0 ，0 ，是与能量e ke & 相关的本征函数的归一化因子 。22 万丽1 雨 3 ( 3 2 7 ) ( 3 28 ) ( 3 t 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) 图3 相互作用能a 2 ，a ，( 以e g 为单位) 随布洛赫矢量k ( 以( m 乓h 2 ) “2 为单位) 的变化关系图，激光场强度为1 0 _ 4 i o 。 1 4 第三章激光缀饰下的半导体电子能带 由式( 3 2 8 ) 和( 3 2 9 ) 可知，重空穴带与导带以及轻空穴带与导带间的相互作用能 a ：，a ，正比于激光场相对强度( i i o ) ”2 ，而轻空穴带与重空穴带间的耦合相对较弱， 所以a 应小于a ：，a ，。再从图3 纵坐标的变化范围来看，我们便可在实验中调节此 模型的0 ，值，使人= 3 ( s i l o ) “2 二阶微扰项 蚪= 斋l ， ( 3 2 1 1 ) + 1 ：l 2 “ 趟2 窭，2 t 2 8 ( 321 2 ) ( 3 21 3 ) 这里令一11 一一1 ，一11 一一1 ，一1 1 1 ( 3 2 1 4 ) “ m “1 鸬 ”c ”v ： 鸬”c m ”， 由以上计算可知系统的哈密顿可写为 e ：( 七) + ( + 1 ) 壳一e ? 一a 酵a 】a 3 a 硅( ) + ( + 1 ) a 酗+ 砰一霹a 2 人3a 2e o ( 七) + n h c o + 曰+ e ； ( j 2 1 5 ) 定义临界激光场强度i o = y m ( 0 2 c t l e e 2 ( n 是材料的折射指数) ，临界强度可以由 p 2 鬈8 m c 2 = e 。得到。对g a a s 来说，p = 2 6 5m 厄是各向同性矩阵元，由 h c o z e ，= 1 5 e v 可以得到i oz5 1 0 ”c m 2 ，另外定义激光失谐参数占= e g h c o 。 正如文献，我们可以通过式( 3 21 5 ) 对角化得到d b a 的表达式，然后在k = 0 处 展开就可以获得r e m a 的表达式。为了更加直观，在这里写出两能带模型中由d b a 和r e m a 所得的准能量的表达式 笮= 半+ 面f i 2 k 2 牡+ ( 而羔而m 爿，b ：a ， 一 甜一椭壁旧 匝( 荨 堂堂堡旦! 兰量堡皇王塑竺堕翌 五? ：e g + ( 2 n + 1 ) h c o 三 2 22、i 2 ( 2 a 0 2 + 5 a i ) 2 h 2 k 2 2 m + 其中为激光缀饰重整化导带和价带有效质量，表达式为 1 1 m 2 彳 这里 1 + 丝 i d 111 111 m 。m ，4mm 。m 。一一一 忙甜 占= e g a ，a 1 = 2 e g j ( 3 2 1 7 ) ( 32 1 8 ) ( 3 21 9 ) 而在三带模型中，对角化( 32 1 5 ) 式较为复杂，可采用数值计算得到d b a 和 r e m a 的能谱。 图4 准能带( 以e g 为单位) 随布洛赫矢量k ( 以( m e 。h 2 ) “2 为单位) 的变化关系图 激光场强度为1 0 i o ，5 = 0 0 1 e 。( a ) 导带；( b ) 重空穴带；( c ) 轻空穴带。 6 h 9 c u 第三章激光缀饰下的半导体电子能带 图4 表不由d b a 和r e m a 得到的能带在k = 0 附近的比较。正如在第一章所描 述的原子在光场作用下会发生s t a r k 劈裂和偏移一样，如图1 所示。半导体在激光 场作用下同样也会发生s t a r k 效应，这在两带模型( 3 2 1 6 ) 干d ( 3 2 1 7 ) 式中也是显而易 见的。同样，由图4 可知，在k = 0 处，三个能带值的不同，也可得到此系统光学s t a r k 偏移的行为。 与文献 1 3 】的两带模型相比，在此三带模型中，缀饰带近似的重空穴带和轻空穴 带出现了翘曲( 即w a r p i n g ) 。翘曲是多带问相互作用的一个结果，在物理实质上是由 于相互作用引起了粒子有效质量的改变，从而在原本光滑的能带毛。婺导上出现了 i ： 口” i一个突起。事实上通过调节参数，翘曲也可在两带模型中出现。 i 显然，在k = o 附近，每个能带由d b a 和r e m a 得到的能量值还是符合的比较 好的。但要说明在j = 0 0 l e g ，激光强度，= 1 0 - 4 厶时，d b a 和r e m a 是有效的， 还需和精确计算比较。对于给定的物理模型，f l o q u e t 方法就是很大的哈密顿矩阵对 角化，这种方法可当作是精确计算。 3 3 f l o q u e t 矩阵方法 在无芦近似下，推导f l o q u e t 矩阵。东多方法是基于在布里渊区内参考点艺处的 能量和波函数，它经常用于计算后点附近的波谱。为方便引入函数： 屁= 8 啦吲7 ( 毛，f ) = 8 “7 “。( 毛，f ) ，( 3 3 1 ) 其中虬( 石f ) 是。带的电子波函数，具有晶格周期势，未知函数( 岳f ) 可 由z 函数展开： 虬( 正i ) = 肋( 后，f ) ， ( 3 3 2 ) 或 i ( 后) ) = e c 印旧卢) ( 3 3 3 ) 激光场可以由具有很大值n = n o + ”的光子态的叠加来描述，在n o 1 附近有 强烈的峰值，( n o ) ah ，l ”) = ( n o + n ) h ) 。式( 3 11 ) 的矩阵元可以在基 i i 叫) = | e ，口) 。i 竹) 下写出 ( 石，卢，n 恻胁，n ) = p 矗讪7 嵋( 毛，i ) i ( - 2 i h m v ) 2 + v ( i ) 卜吼。( 1 e o , f ) d 3 i + h c o ( n o 删 1 7 激光作用下半导体电子的缀饰带 小e 叫“圹嵋( 叫 ：用e 训4 - - 。- ( a酬e 2 2 ( + ) 2 g 一驴( 毛，f ) d 3 i 协 。 ( 3 3 4 ) 上式右边第一项= 一篆卜“旺戈7 嵋( 毛，i ) 一( 女一) 2 e “正鼬7 ( 毛，i ) + 2 i ( k 一) 8 。( 一圹v 。( 磊，i ) + 8 i 一毛f v 2 ( 毛，i ) 】d 3 i + p 庇叫嘲7 ( 毛，i ) v ( f ) p 喊( 毛，n = 羔俨3 ) 5 j 。一+ 皇m ( 五函函r + p 晰嵋( p 砸如【一互h 。2v 2 + v ( i ) d ” = 嘉( 肚砖) 瓯，鱼m ( 云一弧瓯地( 毛) ( 3 3 5 ) 右边第三项：粤f p 叫一珏7 ；( 毛，i ) a ( i 一毛) + ( 一i h v ) ) 舡一矗f ( 毛，i ) d 3 i z m c 。 ( 瓯，。+ 皖一+ 1 ) + 熹鲁( ”妒+ “+ 2 + a ) i n ) 瓯t = 熹( f 一毛) + p o a 5 一瓯+ 。 + 条o r 兰g t c - 2 + 瓯，z ( 3 3 6 )z m c 把( 3 3 5 ) 和( 3 3 6 ) 式代入( 3 3 4 ) 式得 ( 石以。，旧刚) 啪功( n o 删+ 乜( 毛) + 羔( _ j ；2 一君) 瓯一+ 塑西瓯一 + 熹m 协( 正一毛) + 瓯一瓯+ 。 十磐o f f l u 【吒一_ 2 + 乞+ ： 嚷p ( 3 3 7 ) zc 动量矩阵元 卢叩= 卜；( 毛，) ( 一沈审) ( 毛，尹) 方 ( 3 3 8 ) 撕i 石近似由而代替，忽略正比于詹的小的能量重整化项。为了比较重 整化有效质量和缀饰带方案的有效性，必须进行f l o q u e t 矩阵计算。假定在此三带 模型中，在极点毛= 0 处，p 。= 0 ，；p ，e c ( o )