（概率论与数理统计专业论文）纵向项目反应数据的成对拟合模型.pdf

囊a，0号j， 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指 导下独立进行研究工作所取得的成果。据我所知，除了 特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明 的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 瑶堡 日期： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：腱 日 期：独2 q ：盅。乡p 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 一一 【o 。_ ， 一 ，噜hj噜 t 摘要 我们通常运用多维项目反应理论( m i l 玎) 模型研究纵向教育调查数据，也 称为纵向项目反应数据，即研究学生在不同的时间点进行多次同类测量的情况。 然而，当潜变量维数增加时，计算机的操作难度也在增加，对于二值i r t 模型， 有时，潜变量的分布是积不出来的。本文基于拟似然理论，利用成对模型，估计 纵向项目反应的项目参数和总体参数，最后，利用模拟验证这种方法的优越性。 关键字：m i r t ；联合模型；成对模型；e m 算法 a b s t r a c t w e u s u a l l y u s em u l t i d i m e n s i o n a li t e mr e s p o n s et h e o r y ( m i r t ) m o d e lt or e s e a r c h t h ee d u c a t i o n a ll o n g i t u d i n a ls u r v e yd a t a ，a l s ok n o w na sl o n g i t u d i n a li t e mr e s p o n s e d a t a t h a ti s ，s o m e t i m e ss t u d e n t sn e e dt ot a k et h et e s ti ns e v e r a ld i f f e r e n tt i m es p o t s h o w e v e r , w h e nt h ed i m e n s i o n so ft h el a t e n tv a r i a b l ei n c r e a s e s ，d i f f i c u l t i e si nt h e o p e r a t i o no ft h ec o m p u t e ri sa l s oi n c r e a s i n g s o m e t i m e sl a t e n tv a r i a b l ed i s t r i b u t i o n c a n n o tb ei n t e g r a t e do u t s u c ha st h ei r tm o d e l sf o rb i n a r yd a t a t h i sa r t i c l eb a s e do n t h e p s e u d o l i k e l i h o o dt h e o r y ，u s i n gp a i r w i s em o d e l i n g t oe s t i m a t ei t e ma n d p o p u l a t i o np a r a m e t e r si nl o n g i t u d i n a li t e mr e s p o n s es t u d y f i n a l l y , w eu s es i m u l a t i o nt ov e r i f yt h ea d v a n t a g e so ft h i sm e t h o d k e yw o r d s ：m i r t ；j o i n tm o d e l i n g ；p a i r w i s em o d e l i n g ；e ma l g o r i t h m 1 1 i i i 1 4 6 7 4 模拟1 2 4 1 成对模型1 2 4 2 模拟结果分析1 4 结论1 8 参考文献1 9 附录2 1 致谢2 3 ， ，。 任何一种测验理论都是着眼于被试与测验之间的相互关系，都试图从可观测 到的被试的测试分数去推测其潜在特质。经典测验理论通常通过线性模型分析测 验数据，而近些年来，测量学家已将注意力转向了非线性模型，于是产生了项目 反应理论【1 1 。 项目反应理论认为，个体的某种潜在特质与测量该特质的项目反应之间存在 着这样的关系：假设随着潜在特质目的提高，正确反应该项目的概率尸( 口) 也随 着提高【2 】o 通常我们通过一次测验中，被试对项目的反应，运用项目反应理论 ( 承t ) 模型分析项目参数( 即项目区分度a ，项目难度b ，项目猜测度c 等) 以 及能力参数( 即潜在特质口) 之间的关系。然而，有时我们不止对一次考试感兴 趣，我们更加关心在不同时间进行的多次考试中，各量之间的关系。例如，我们 想要研究某校初一年级一班学生的数学成绩随着时间的发展情况，以便预测和控 制，于是，为了达到研究目的，学生需要在一些时间点上进行一次或多次测验。 又如，某数学研究小组想要建立一个考试题库，于是需要根据学生在不同时间进 行的多次考试中对项目的反应进行分析，估计出项目参数，从而塞选试题。这些 情况下都会产生一组随时间变化的纵向项目反应数据，这时便需要运用多维项目 反应理论( m i i 玎) 模型对纵向数据进行分析。 纵向数据是指对每一组个体在不同的时间进行观测，从而得到的一组由截面 和时间序列融合在一起的数据。其特点是将截面数据和时间序列数据结合在一 东北师范大学硕士学位论文 起，既能分析出个体随时间变化的趋势，又能分析出总体的变化趋势。 在纵向设计案例中，我们通常假设被试潜在能力的程度是随时间变化的，而 且被试在不同时间点上的反应不是彼此独立的。若测试中涉及多个潜变量，则在 多维项目测试中对其标号，亚当斯( 1 9 9 7 ) 3 1 提出了另一种m i r t 模型两两多 维项目模型。这个模型将一个测验分成多个子测试或分成等级。在每个等级中的 项目反应都可以通过一维1 r t 模型进行研究，并假设在不同等级中被测出的潜变 量是相关的。安徒生( 1 9 8 5 ) t 4 1 ，安德拉德和塔瓦雷斯( 2 0 0 5 ) t 5 1 利用两两多维i r t 模型分析纵向数据，在他们的文章中提出了边缘最大似然( 舭) 估计，适用 于描述不同时间点上反应的独立性，并用于估计项目参数和总体参数。然而m m l 的一个缺陷在于，多重积分限制了时间点数以及潜变量的个数【6 1 。 潜变量的多重积分可用高斯埃尔米特积分进行估计。运用高斯埃尔米特积分 的关键在于潜变量空间的维数，也就是可同时进行分析的潜变量的个数。运用自 适应积分最多可积1 0 重，用非自适应积分最多可积5 重，用蒙特卡罗积分最多 可积1 5 重。对于更多的等级或时间点，这种过程是不可行的。为了回避这种限 制，我们可采取成对似然方法，它是广义拟似然理论中的一个特殊情况，叫做复 合似然( 林赛，1 9 8 8 ) t r l 。对于其优点的讨论见考克斯和里德( 2 0 0 4 ) 【8 】的论述。 费尤伍斯和韦贝克( 2 0 0 5 t 9 1 ，2 0 0 6 t l o 】) 提出了成对模型拟合过程，大大简化了维 数问题带来的困难。他们将此理论应用于联合线性混合模型，通过模拟得出，成 对理论产生的是无偏估计和有效标准误差。而且，当一些参数同时属于几个测量 集时，可减少效率损失。 在近期研究中，根据成对模型的思想，可以对纵向数据用两两多维i r t 模型 进行拟合，从而解决维数问题。我们假设每个个体都是从总体中随机选择的，例 东北师范大学硕士学位论文 如，选择初一年级的一组学生，在预先指定的第t 个时间点上，t - - - 1 ，2 t ，对该 组个体进行测验，该次测验有圮个项目，以对或错计分，其中总项目数刀一定小 于或等于= 啊，因为在不同次测验中可能有重复出现的题。 本文将介绍纵向数据的联合模型和成对拟合模型，并用成对拟合模型去解决 联合模型中纵向反应的维数问题。然后我们讨论用e m 算法解决成对似然问题， 并说明成对模型的优越性。 东北师范大学硕士学位论文 丁次测验的联合模型 令t 为测验总次数，则对于每一次测验r ( 户1 ，2 d ，我们运用三参数逻辑斯 蒂克模型( 3 p l m ) 得到二次可微项目反应函数 = q + ( 1 - c ，) e 。， 乞，表示在第t ( t = l ，2 7 ) 次测验中，第，( 产1 ，2 加个个体答对第i ( i - 1 ，2 行) 个项目的条件概率。其中。为二值反应，即 啥第掣计射酱艨价硼 q ，为第f 次测试中第个个体的能力( 潜在特质) ，专为项目参数向量，即 专= ( 口，6 i ，c ，) ，口，表示项目区分度参数，匆表示项目难度参数，e 表示项目猜测 度参数，p f l t $ i ；石f 五1 灭砑。假设在第，次测验中，项目的反应是条件 独立的，给定e ，有 q 尸( ，l9 ，孝) = 兀p ( ，lp ，专) ( 2 ) 其中，q ，= ( 。，u 脚，) 是第，次测试中第j 个个体反应的( 一1 ) 维向 量，孝= ( 磊t 受t ，磊t ) t ( 在此处及之后的文章中，罗马体的上角标t 均表示矩 阵和向量的转置) 是项目参数向量。值得注意的是，为了方便，在不失一般性的 、 )ci 专二a ，1 l 一 - e 一+ l x = 一馕 ， 一1 l + p q = = 弓 东北师范大学硕士学位论文 情况下，我们不考虑q ，中的指标，因为我们在这里关心的是每次考试的能力e 的分布，而不是每个人在f 次测试中的能力已，所以我们将q ，记为谚， g ，= 1 一巴，。假设丁次测试的项目反应是纵向条件独立的，有 7 尸( 。l 乡，善) = 兀尸( u ，i 包，孝) = 兀兀尸( j p ，毒) ( 3 ) 7 啊 = 兀兀弓t u j , 卜， ，= 】l = l 其中。= ( 1 t ：t ，u t t ) 是第j 个个体在所有测试中的( 以1 ) 维反应 向量。= 珥，8 = ( q ，0 2 ，b ) t ，在这篇文章中，我们假设潜在能力参数p 服 从多元正态分布，并拥有t 维均值向量= ( “，：，所) t ，和f x t 阶协方差矩 阵1 2 = ( q ，) r 。r ，假设个体，产1 ，2 ，之间是相互独立的，可得到边缘似然 t ( 旯；= 兀p ( q 1 旯) 1 ( 4 ) = 兀i v p ( u s i o ，4 ) g ( o l # ，x ) d o ， 其中旯= ( 善，) 为项目参数与总体参数向量，g ( oi ，) 为0 的密度函数， g ( 口l ，) = ( 2 万) l i e x p 一圭( 目一) _ l ( 口一) t ，其中i i 为的行列式。 令似然函数l ( z ；u ) 最大，便可得到各参数的极大似然估计，安德拉德和塔 瓦雷斯( 2 0 0 5 ) 【5 】详细论证了纵向数据的这种估计方法，在此不再加以讨论。我们 可以用一些数值积分的方法，例如高斯积分，来进行计算，但0 的维数越高，积 分的困难越大。 东北师范大学硕士学位论文 2 丁次测验的成对模型 在用计算机分析纵向i r t 时，由于潜变量维数的增加( 也就是时间点的增 加) ，使其实现变得复杂、困难，为了减轻计算的复杂程度，我们运用成对似然 ( 林赛，1 9 8 8 ) 1 7 也就是二变量似然， 兕( 旯；u ) = 兀p ( 4 。；u 卅纱，) ( 5 ) 其中，= 1 ，2 ，t 一1 ，s = ，+ 1 ，+ 2 ，t ，f 为在二值i r t 模型中由所有涉及到 全部参数的可能的数对( ，s ) 组成的下标集， 尸( 乃，；v ，v 。) ：兀n 上：p ( q ，1 只，孝炉( q ，1 只，善) g ( e ，幺l 以) d 只d 敏 ：孬上：v 川l p j l r u h r o j i r l - u r n l = 1 e 船u 妒卜u 加g c p ，俄i 以，d 9 d 幺，( 6 ) 这里毋。为二元正态密度函数，其中能力向量为( 只，见) t ，均值为以。= ( 竺 ， 协方差阵概= 眨甜同帆，吣以 j ，于是，删鳓对所有时 间点一起分析，只需先对每一对两个时间点进行拟合，使维数问题的复杂性大大 降低。然后我们分别使每一个对数似然l o g p ( 2 , ，；v ，v 。) 最大化，求其参数估计。 根据拟似然理论，这就相当于使函数 p l ( 2 _ ) = z ( a 2u 1 ，u 2 ) + ，( 丑。3u ，乩) + + ，( 0 - 1 7 1u n ，u 7 1 ) ， 进行了最大化，其中墨表示所有成对参数向量乃，的集合。这里a 中部分参 数单独对应于五的一部分，五中的其他元素则以多元结构对应于a 的其他部分。 所以我们只需对所有成对估计出的参数取均值，便可估计出五中的参数。 东北师范大学硕士学位论文 3 成对似然的e m 算法 e m 算法是不完全数据问题中用于m l 估计的很通常的选代算法，在i r t 中 也广泛应用于似然推断，本文将用e m 算法解决成对似然问题。 算法：选择一个初始值五们，使p l ( 2 o ；u ) 0 ，并令d = o ，成对e m ( p e m ) 算法是令下列步骤重复进行，直到收敛为止： q ( ai ) = n ：i 。g 尸( v ，矿神9 ，最；4 ；) ) 尸( p ，见iv ，矿。；乃，。) d p d 幺； ( 2 ) 最大化：得到使q ( al 五) 最大的旯的值旯“”，即 a 。+ 1 = a r g m a x o ( xi 五) ； 是非降的，故在p e m 算法中也有同样性质，即p l ( i ；u ) 儿( a “1 ；u ) 。如果 用积分求近似期望。下面我们讨论积分成对e m ( q p e m ) 算法。 对于任意的数对( ，芦) ，_ = 1 ，2 ，t 一1 ，s = ，+ l ，+ 2 ，t ，我们有 q ( 2i 旯) = 且：1 0 9 p ( v ，v 只，幺；4 。) ) 尸( g ，鼠iv ，v 。；以，) a a , a a 。 ：芝1 ( 叫j ) ， 东北师范大学硕士学位论文 q ：) ( 旯ia ) = n ：1 。g e ( u ，v o r ，幺；4 ，) ) 尸( g ，位iv ，矽。；4 ，。) d b d 包 = ，虬，u l o gp ( u ，v 只，幺；4 ，。) ) u l o g 虬蚂，1 ) p ( 嬲慨腭媳) = & 一列“ l o g e ( u , ，ip ，孝) 尸( q ；la , ，善) + l o g g ( p ，皖lu r ) = 批。u1 。g 尸( u ，ip ，善) 尸( 。10 , ，孝) ) + 一“，u 1 。ge g ( o , ，只lu r ) ) ( 9 ) 为了使q ( ) ( 五l 五) 达到最大，我们只需将( 9 ) 式对乃。求偏导，并令其等 于0 ，即 z 以，) = 等= 姜( 讯) u s 。4 。叩 ， 解这个方程，便可求出项目参数和总体参数的估计值，又注意到( 9 ) 式中， 前半部分只与项目参数善有关，后半部分只与总体参数一有关，故求偏导 的过程得到了大大简化。我们可分别对善和以e 求偏导。 在( 1 0 ) 式中令 哆( 4 ，s ) 2 彘 1 0 9 尸( u ，1 以q 一) + l o g g ( o r 删鼽a ) ( 1 1 ) 首先，我们考虑( 1 1 ) 式中善，i = 1 ，2 ，7 部分： ， ：堕生+ 坐l 堡 p l l l 8 芎|1 一p j l l 8 芎1 ) u i n p ma p i n = 气气x - ， e ，( 1 一弓，) 其中，= f ，于是有 哆( 班彘l o g 蚂一以孝) 竺学二互竖+ 氅二笔堡， e ，( 1 一e ，) a 专乞。( 1 一) a 每 u 。一p 。a p 。 乞，( 1 一，) 粥 u 。一p 。8 p | l i 厶( 1 一弓。) a 毒7 9 当i i r 广、i 蹿 当i ir a 圣j 黜 当i is a i 薯i 鼬 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 东北师范大学硕士学位论文 这里，我们取己，为3 p l m ( 具体形式见式( 1 ) ) ，则弓，对三个项目参数求 偏导的结果分别为( 具体求导过程见模拟部分) ： _0_1一,：d(1一c，)(只一匆)乞，qj，oa 。 。 誓= 一卿训弛， _ c o p j , , ：q j l ， 出 ( 1 5 ) 其中，q ，+ = l - b , ，= ，s ，将( 1 5 ) 式代入( 1 4 ) 式，便可得到 c o j ( a ，) ，c o j ( b , ) ，q ( q ) ，再代入( 1 0 ) 式，便可得到项目参数口，匆，q 估计方程，解 这个方程便可得到这三个参数的估计值。解方程可采用牛顿法，相应的n r 迭 代公式可表示为 叫蚓一篇 ， 这样，每一个专都会被估计g 次，我们将其均值作为专的估计值。 其次，我们考虑( 1 1 ) 式中一，。，= 1 ，2 ，t - 1 ，s = r + l ，r + 2 ，t 部 分 我们取g ( p ，幺l 以。) 为二元正态分布密度函数，具体形式为 g ( 印蚓) ：( 2 万) 一协，卜1 一写1 0 ，一肌t x p一- ( p 厂) ，( 1 7 ) g ( 印，bl 以) = ( 2 万) - 1l l - je l 一写、一以，。1 ( p ，。一所，) i ， ( 1 7 ) 于是l o g 【g ( q ，幺l ”) 分别对以一求偏导，很容易得到 q ( = 札- 1 ( p 厂 ， c z ，j ( ，) = ：i ! i ( 9 。、。“，) t ( o r ，。c ，) r s - 22 ，- 1 ( 1 8 ) ， 东北师范大学硕士学位论文 4 模拟 这一部分，我们将对成对模型进行模拟。本节主要通过模拟手段对3 p l m 中 的项目难度参数匆，i = 1 ，2 ，门进行估计，令项目区分度参数q = 1 ，项目猜测度 参数e = 0 2 ，i = 1 ，2 ，胛，d = 1 7 0 2 ，取测试人数n = 1 0 0 0 ，模拟重复5 0 0 次， 计算m s e ，测试次数t = 3 ，每次考试均有1 5 个项目，并且每次考试均没有重 复的题出现，于是 = 4 5 ，= 1 2 = n 3 = 1 5 。下面我们主要运用成对模型对项目难 度参数匆，i = l ，2 ，刀进行模拟估计。 4 1 成对模型 首先给出q ( 6 ) 的具体形式。 在模拟假设下，3 p l m 的具体形式为 e ，= p ( u = 1 i e ，专) ：0 2 + 堡1 ， 1 + e x p 一1 7 0 2 ( 0 j ，一匆) = 0 2 + 0 8 e ，+ ， 其螺2 而再丽1 万丽， 令尸，对匆求偏导得 其中 f = ，s ，= 1 ，2 ，s = ，+ 1 ，- + 2 ，3 ， 鲁- ( 1 吲) 百c a p i l i * - o 8 等 东北师范大学硕士学位论文 罾= 一 l + e x p 咄( q ，一匆) 弘e 坤 一以( q ，一6 ，) 砚 = 一d a , p j , , * q j ，+ = 一1 7 0 2 p j , , * q j ， 所以笠a b , = - 0 8 x 1 7 0 2 匕，：q j , , = - 1 3 6 2 6 b ，o f f ，于是得到 吡) _ - 髻删h 懈q j i , = - 1 3 6 2 6 x u 惴, , , - p ，j , , q f i ， 再令q ( 6 j ) 对6 ，求二阶偏导，得到 。 娟) = 掣 ， 叫舶2 6 旦o h , 髻嗽，+ ：_ 1 3 6 2 6 旦悻二垒毗r 鳙 c ， 一一一。i 叫舶2 6 2 磐卜厂厶，一掰 ， c ，q 、一 一叫i乞，+ q 加尸，q 于是得到 e ( c o j ( b , ) u j ，q o 匆似，) f 【：q ( 匆) g ( b ，只lu r ) d o f l o , ， 其中g ( t z ，t z ，i ，z ，。，) = = ( 2 z r ) 一1l ，i j 1 e ，c p 1 1 2 、0 ，。- ，。，) t ，一1 ( p ，) ， 饥。邓，0 ) t ，广( 0 1 2 抖 ， 进而得到 1 0 0 07 z ，( 6 ，) = e q7 ( 6 ，) iu j ，u j 。b ，t k ) ，以，1 = 薯且：q ，( 6 ，) 鹏引鼽a ) 织m 这样，我们就可以求出6 ，的n r 迭代公式为 1 3 姗州舢一 i i = 、i， - ，l ，“ 东北师范大学硕士学位论文 矿卅纠虬篇 匆的估计值及m s e 值见表1 ，匆的m s e 图见图1 一图3 。 在积分过程中，本文运用高斯埃尔米特积分对口- - ( o , ，岛，绣) 进行积分( 具体 理论部分见附录1 ) ，其中，为了使q ，岛，岛相关，我们取中间变量妒，使得伊 x ( o ，0 2 ) ，并取随机变量占= ( 蜀，乞，岛) n ( 0 ，0 8 ) ，缈与占相互独立，岛， 七= l ，2 ，3 之间相互独立，令幺= 驴+ & ，七= 1 ，2 ，3 ，于是有皖n ( 0 ，1 ) ，七= 1 ，2 ，3 ， 且皖之间相关系数为0 2 。 4 2 模拟结果分析 通过以上模拟研究，我们运用m a t l a b 软件对6 j 进行的模拟研究结果如下： ， 东北师范大学硕士学位论文 表一 运用成对模型对项目参数模拟估计 项目测试匆真值6 ，估计值 m s e项目测试 匆真值 6 ，估计值 m s e o 1 3 4 8 0 5 1 0 1 0 5 6 4 3 0 2 3 7 7 3 2 8 l 0 4 0 9 2 0 1 5 4 3 0 0 9 0 3 0 3 0 5 6 o 1 5 6 0 0 2 6 3 2 0 2 9 6 9 0 7 2 0 5 - o 1 6 3 4 o 5 2 5 8 0 2 4 7 1 0 2 2 3 5 - 0 1 4 4 9 0 5 8 7 0 加7 4 0 7 0 1 4 6 2 - 0 5 4 8 3 0 2 1 2 4 - o 4 2 0 6 0 2 0 7 6 0 1 0 6 4 0 6 4 4 0 0 4 8 4 9 0 0 3 5 8 - o 1 6 3 4 0 9 8 3 3 0 3 5 4 3 o 1 1 9 0 o 1 8 3 2 - 0 3 3 3 7 0 3 1 3 7 - o 1 8 2 0 0 4 7 1 4 0 0 8 2 4 - 0 3 0 8 6 0 7 6 0 9 旬7 6 5 4 0 1 2 8 1 0 4 2 6 6 0 1 4 5 02 4 0 1 9 2 52 5 0 3 7 4 l2 6 0 2 4 5 2 2 7 0 2 9 2 72 8 0 3 7 6 52 9 0 3 1 1 23 0 0 1 5 7 9 3 l 0 2 5 0 13 2 0 2 4 1 0 3 3 0 1 6 9 53 4 0 2 5 5 5 3 5 0 2 2 7 23 6 0 4 2 5 83 7 0 2 2 9 43 8 o 1 6 5 43 9 0 1 7 1 74 0 o 1 7 5 84 1 0 3 9 5 74 2 0 3 0 7 24 3 0 4 7 1 14 4 o 2 5 1 84 5 0 0 5 4 7 0 9 0 2 2 - o 1 3 0 1 1 0 9 3 0 0 2 0 0 9 0 4 0 6 2 0 1 9 8 7 - 0 7 4 1 6 0 0 5 4 8 0 6 3 0 8 0 0 6 3 5 0 0 7 7 7 0 2 7 0 4 0 2 4 6 5 - 0 0 3 1 9 0 9 0 7 0 o 3 6 1 6 0 3 0 0 l - o 6 6 3 5 0 7 3 5 1 0 2 7 2 8 - 0 3 7 5 9 0 4 2 5 0 1 4 0 7 0 - 0 0 5 4 8 1 1 2 9 9 0 3 7 9 3 0 7 0 2 2 o 1 9 2 6 0 6 6 9 2 o 1 0 9 l 0 8 8 2 3 0 2 3 0 l 0 1 8 7 4 0 0 0 2 2 - 0 2 3 5 1 o 1 5 7 l 1 3 1 1 5 0 6 5 6 l 0 2 6 8 3 1 1 5 8 4 1 0 1 6 7 0 4 5 7 0 _ o 5 0 8 3 0 2 4 5 3 o 3 1 7 8 0 1 4 8 8 0 2 6 7 3 0 2 1 7 6 o 2 0 1 2 0 2 2 3 2 0 4 5 4 0 o 1 0 7 9 0 4 6 3 5 0 2 0 0 3 0 2 0 7 9 0 4 7 9 7 0 2 1 0 6 0 1 1 6 0 0 2 6 6 4 0 2 7 1 5 o 1 8 0 7 0 3 2 3 9 0 3 6 7 7 0 4 7 3 6 0 1 1 9 l 2 320 0 2 2 9 o 5 5 8 9 0 4 2 2 6 1 5 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 l 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ，2 3 4 5 6 7 8 9 m n 他b hm墙侈加扒挖 t l j 王 山 们 芝 东北师范大学硕士学位论文 第一次考试项目难度参数匆估计的m s e 变化曲线 项目难度参数b 图一 第二次考试项目难度参数匆估计的m s e 变化曲线 项目难庋参数b 图二 第三次考试项目难度参数秒估计的m s e 变化曲线 项目难度参数b 图三 一1 6 山： - 。 东北师范大学硕士学位论文 结论 本文中我们运用成对模型，解决了拟合纵向项目反应数据的维数问题，分析 结果表明，成对拟合模型具有一定的优势。 首先，联合模型的随机效应优势得以保留。例如，我们可以通过分析丁次考 试的潜变量空间得到被试的认知能力，而且，能力的发展趋势和r 次考试的依赖 关系得以研究。 其次，避免了高维积分带来的麻烦。成对模型可将联合模型中的高维积分转 化为二维积分，大大减轻了计算机处理高微积分的麻烦，所以，成对模型为解决 多维项目反应理论( m i r t ) 研究中的维数问题提供了新的思路。因此，成对模 型可以作为现阶段处理m i r t 模型所用的贝叶斯马尔科夫链蒙特卡罗理论的更 有价值的替代理论( b o l t & l a l l ，2 0 0 3 1 1 2 】；b d g u i n & g l a s ，2 0 0 1 t 1 3 1 ) 。事实上，在运用 马尔科夫链蒙特卡罗理论时，当被试人数和项目数增加时，计算机的负担也将会 逐渐增加。 此外，成对模型并不仅限于在二值积分模型中使用，它还可以广泛应用于多 维多级评分i r t 模型中，例如广义部分信任模型( g p c m ；m u r a k i ，1 9 9 2 t 1 4 】) ，分 级反应模型( g r m ；s a m e j i m a ，1 9 6 9 t 1 5 】) 等等。潜变量的维数问题已经不再是障 碍，所有可用的信息都将用于更加准确地估计项目和总体参数。 t ， ， 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 1 】余嘉元项目反应理论及其应用 m 】江苏：江苏教育出版社，1 9 9 2 5 2 】顾海根心理与教育测量 m 】北京：北京大学出版社，2 0 0 8 1 1 7 ，1 4 2 3 】a d a m sja ，w i l s o nm ，w a n gw c t h em u l t i d i m e n s i o n a lr a n d o mc o e f f i c i e n t s m u l t i n o m i a ll o g i tm o d e l j 】a p p l i e dp s y c h o l o g i c a lm e a s u r e m e n t ，19 9 7 ，21 ：1 - 2 3 【4 】a n d e r s e neb e s t i m a t i n gl a t e n tc o r r e l a t i o n sb e t w e e nr e p e m e dt e s t i n g s j p s y - c h o m e t r i k a ，1 9 8 5 ，5 0 ：3 1 6 【5 a n d r a d ed f ，t a v a r e shr i t e mr e s p o n s et h e o r yf o rl o n g i t u d i n a ld a m ：p o p u l m i o n p a r a m e t e re s t i m a t i o n j j o u r n a lo fm u l t i v a r i a t ea n a l y s i s ，2 0 0 5 ，9 5 ：1 2 2 【6 6d i g g l epj ，h e a g e r t yp ，l i a n gk y ，e ta 1 a n a l y s i so fl o n g i t u d i n a ld a t a m 】 o x f o r d ：c l a r e n d o n ，2 0 0 2 2 1 4 【7 l i n d s a yb c o m p o s i t el i k e l i h o o dm e t h o d s c i n ：n u p r a b h u ( e d ) ，s t a t i s t i c a l i n f e r e n c ef r o ms t o c h a s t i cp r o c e s s e s p r o v i d e n c er i ：a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y ，1 9 9 8 2 2 1 2 3 9 【8 】c o xdr ，r e i dn an o t eo np s e u d o l i k e l i h o o dc o n s t r u c t e df r o mm a r g i n a ld e n s i t y 一 一 e s j b i o m e t r i k a ，2 0 0 4 ，9 1 ：2 11 - 2 2 1 9 1f i e u w ss ，v e r b e k eg e v a l u a t i o no f t h ep a i r w i s ea p p r o a c hf o rf i t t i n gj o i n tm i x e d m o d e l s ：as i m u l a t i o ns t u d y j b i o s t a t i s t i c a lc e n t r e ，k a t h o l i e k eu n i v e r s i t e i tl e u v e n , l e u v e n t e c h n i c a lr e p o r tt r 0 5 5 8 ，2 0 0 5 1 9 东北师范大学硕士学位论文 【10 】f i e u w ss ，v e r b e k eg p a i r w i s ef i t t i n go fm i x e dm o d e l sf o r t h ej o i n tm o d e l i n go f m u l t i v a r i a t el o n g i t u d i n a lp r o f i l e s j b i o m e t r i c s ，2 0 0 6 ，6 2 4 2 4 4 31 【11 h a m b l e t o nr k ，s w a m i n a t h a nh i t e mr e s p o n s et h e o r y ：p r i n c i p l e sa n da p p l i c a - t i o n s j k l u w e r - n i j h o f fp u b l i s h i n g ，1 9 8 5 【12 】b o l tdm ，l a l lv f e s t i m a t i o no fc o m p e n s a t o r ya n dn o n c o m p e n s a t o r ym u l t i d i - m e n s i o n a li t e mr e s p o n s em o d e l su s i n gm a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o j a p p l i e dp s y c h o l o g i c a lm e a s u r e m e n t ，2 0 0 3 ，2 7 ：3 9 5 - 4 1 4 【1 3 】b d g u i na a ，g l a scaw m c m ce s t i m a t i o na n ds o m em o d e l - f i ta n a l y s i so f m u l t i d i m e n s i o n a li r t m o d e l s j p s y c h o m e t r i k a ，2 0 0 1 ，6 6 ：5 4 1 - 5 6 2 【1 4 m u r a k ie a g e n e r a l i z