（理论物理专业论文）超稳定fabryperot腔的稳定性研究.pdf

j e 塞套适盔堂亟监兰僮i 坌塞圭塞缝墨 中文摘要 摘要：超稳定f a b r y p e r o t 腔广泛应用在激光频率稳定实验中。在这些实验中，激 光器的频率稳定性依靠于f a b r y p e r o t 腔腔长的稳定性。振动弓i 起的谐振腔形变是 影响超稳定光学谐振腔稳定性的主要因素。文章中，我们利用有限元分析的方法 定量地分析了各种形状以及在不同支撑方式下，超稳定f a b r y p e r o t 腔在振动环境 中的弹性形变情况。我们的数值计算结果为设计制造超稳腔，使其对振动影响不 敏感提供了一种全新的方法。这种方法可以应用在许多激光稳频实验、高精度激 光光谱学和光学频率标准测量中。在取得了谐振腔抗振动方面研究的一些成果之 后，我们将目光集中于另一个影响超稳腔稳定性的因素上一一热噪声。热噪声的 分析计算方法由波动损耗原理推导得出。我们对一个常用的谐振腔热噪声进行了 数值分析，并通过计算机得到验证。通过分析我们了解到谐振腔产生热噪声的主 要因素，为进一步研究减小谐振腔热噪声提供了依据。 关键词：光学谐振腔；激光频率稳定技术；光学频率标准；精密测量；热噪声； 波动损耗原理；直接法。 分类号：4 2 6 0 d ，0 7 6 5 ，4 2 6 2 e ，4 2 6 0 j 基至道盔茎亟圭鳢堂焦迨室 昼sib ! a b s t r a c t a b s n 认c t u l t r a - s t a b i ec a v i t i e sa r ew i d e i yu s e df o ri a s e r 雠q u e n c ys t a b i i i z a t i o n ，i n t l l e s ce x p 耐m e n t st 1 1 el 够e rp e r f | o 肿a n c er c l i e so nt l l el e n 垂hs t a b i l i t yo fm ef a b r y p 亡r o t c a v i t i e s v i b m t i o n i n d u c e dd e f o n n a t i o ni so n eo ft h ed o m i n a c ef b c t o r st h a ta f f b c t st h e s t a b i l i t y o fl l l n 甚一s t a b l e o p t i c a lc a v i t i e s w eq i l a m i 钯t i v e l y 觚a l y z e d t l l ee l t i c d e f o 咖a t i o no ff a b r y - p c r o tc a v i t i e sw i t hv a r i o u ss h a p e sa n dm o u n t i n gc f i g t l r a t i o l l s o l l rn 啪e r i c a lr c s u l tf 砬i l i 饿e san o v e la p p r o a c hf o rt h ed e s i g i lo fu l 订a - s 诅b l ec a v i t i e s m a ta 托i n s e n s i t i v et ov i b m t i o np e n i i r b a t i o 舾t l l i sa p p r o a c hc 锄b ea p p l i e dt om a n y e x p e r i i n e n t ss t | c h 够l 鹪c r 伽q u c n c ys t a b i l i z a t i o n ，h i g l l p r e c i s i o nl a s c rs p e c t r o s c o p y ，a l l d o p t i c a lf 论q u e n c ys t a l l d a r d a f k rt i l e s er e s u l 魄w e 南c u so na n o t h e rf k t o r ，t h e 咖a ln o i s e w bn 啪嘶c a l i y 锄a l y z c dt 量l et l l e 咖a ln o i s eo faw i d e l y l l s e du l n 静s t a b l ec a v i t yi n e x p 谢m e m ，b a s e do nt h m e c h 锄i c a l1 0 5 so f c a v i t ym a t e f i a l sa n dt h en u m e r i c a l 黝l y s i s o f t l l em i r r o r - s p a c e rm c c h a f l i c s 、v i t l lt h ed i r e c ta p p l i c a t i o no fm en u c m a t i o nd i s s i p a t i o n t h e o r e m a r e rc a l c u i a t i o n s ，w e 白u n dt i 】l ed o m i n a t ef 犯t o 稻t h a tp r o d u c et t 忙t h e m l a l n o i s e ，a i l dt l l e f a c t o 稻w i l lb ea p p l i e dt or e d u c e dt l l et h e 衄a ln o i s e 1 ( e v w o r d s ：o p t i c a lc a v n y ；l a s e r 仔e q u e n c ys t a b i l i z a t i o n ；o p t i c a l 丘它q u e n c ys t a i l d a r d ； p r e c i s i o nm e 邪u r c m e m ；t h e 锄a ln o i s e ；t l l e f l u c t i l a t i o n d i s s i p a t i o n 也e o r e m ；t l l e d i r c c t i o na p p r o a c h 。 c l a s s n o ：4 2 6 0 d ，0 7 6 5 ，4 2 6 2 e ，4 2 6 0 致谢 本论文的工作是在我的导师李文博教授的悉心指导下完成的，李文搏教授严 谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢三年来 李文博老师对我的关心和指导 王波波老师在我最近的学习生活中，给了我极大的帮助和支持，在此对王波 波老师表示感谢。 陈李生研究员悉心指导我们完成了研究生期间的研究科研工作，在学习上和 生活上都给予了我很大的关心和帮助，论文从选题、撰写、修改到最终定稿，无 不凝聚着他们的心血与智慧。老师们的教诲会令我终生受益无论在学问还是在 做人方面都是我学习的楷模。在此向陈李生老师表示衷心的谢意。 臧二军研究员对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示 衷心的感谢。 在研究工作及撰写论文期间，张弛、袁广军、李宓善、李烨、乔卓凡、赵阳 等同学曾给予我的在学习和生活上的帮助，对我论文中的谐振腔稳定性研究工作 给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。 我还要感谢我的家人，他们一直在身边默默地给予我支持、鼓励和关心，以 及在我论文撰写过程中给予我的帮助，没有他们，我不可能完成我的学业。 j e塞窑垣 友 堂亟 堂 僮绝塞 i l 宣 1 引言 在高精密光谱测量中，f a b r y p e r o t ( f p ) 腔作为频率参考广泛的应用于多种 激光器的频率锁定上雌i 。这些激光器广泛的应用于光学频率标准、基本物理学常 量的测量、高精密光谱和基础物理研究中9 “，f p 腔的稳定性对于高精密光谱测 量非常重要。通常影响f p 腔稳定性的因素主要是谐振腔腔长的变化。引起谐振 腔腔长变化的因素有很多，我们主要研究的是环境振动和热噪声对腔长变化的影 响。 显而易见，环境振动引起谐振腔腔体形变，而腔体形变带来腔长的变化。在实 验中，一般对于振动隔离的处理方法是将谐振腔放在主动或者被动的隔震装置上。 这种系统通常都可以将大部分的振动频率隔离。但是无论何种隔震装置都不能过 滤所有频率的振动，隔震装置本身都其固有的谐振频率，低于谐振频率的振动将 直接传递到谐振腔上。更糟的是，如果阻尼不够，处于谐振频率之上的振动将会 加强。 本文中，我们尝试通过分析计算谐振腔对振动环境的响应情况，寻找减小谐振 腔对低频振动敏感度的方法。目前还没有对超稳腔几何形变进彳亍过定量的分析和 研究，我们利用有限元分析方法计算出超稳腔在振动环境下形变的具体数值。通 过调整谐振腔的相关参数，使谐振腔在振动环境下的腔长变化接近于零，这将为 设计超稳定谐振腔提供一种全新的方法。 在解决了振动对谐振腔腔长影响的问题之后，我们发现对谐振腔稳定性有影响 的其它因素将体现出来。其中热噪声就是一个比较显著的腔长噪声源。任何物体 本身内部都存在布朗运动现象，而谐振腔内部的布朗运动就会引起腔长的变化， 导致超稳腔的稳定性受到影响。目前实验中减小热噪声的方法主要是降低腔体温 度，但这会导致实验成本增高。我们可以通过波动损耗原理推导出相应的物体固 有的热噪声计算公式，对于热噪声的理论分析研究，主要集中在理论推导上，缺 乏定量的计算。我们将利用由波动损耗原理推导而得的直接法，使用有限元分析 方法，定量的计算出实验中比较常用的超稳腔模型的热噪声谱，寻找减小热噪声 的方法。通过定量计算谐振腔的热噪声，我们希望找到影响谐振腔热噪声的条件。 1 1 f a b 哆p e r o t 腔基本结构 稳定的双镜谐振腔在许多研究领域都扮演着非常重要的角色。作为激光器的 重要组成部分，光学谐振腔的主要作用是为系统提供光学反馈。另外，由于谐振 6 j e基銮道左堂堡堂僮迨塞 i ! 主 腔可以选择激光器模式的频率，它也被用作光谱分析。此外，谐振腔特别是超稳 定谐振腔，还是窄线宽激光器试验中的重要组成部分。实际上，光学谐振腔在不 同的安装和使用方式下，几乎可以在激光光学和精密光谱的任何应用中被使用。 一薯字 囱 图l l 常见的应用f - p 腔的实验原理图。图中箭头实线表示光路走向，虚线表示电 路连接。激光器输出之后进入f - p 腔，反馈控制器接收f - p 腔的输出光，对激光器进行 控制，将激光器的频率锁在f p 腔的崮有频率之上。 图l - 1 表示了一个常见的应用f p 腔实验的例子。一般f p 腔作为实验中的频 率参考，激光器输出激光经调制器之后进入f p 腔，f p 腔输出由反馈控制器获得， 反馈控制器根据f - p 腔的输出信号调整激光器和调制器使激光器锁在f 。p 腔的固有 频率上。这样，激光器的输出频率就是f p 的固有频率。f p 的固有频率的稳定性 直接影响到实验的精确程度。因此，提高f p 腔的稳定性对激光光学和精密光谱 等实验十分重要，这也是目前精密测量实验中的重点环节。下面我们将对超稳定 f p 腔稳定性进行详细的研究，通过定量计算寻找提高谐振腔稳定性的方法。 1 2 线性双镜f a b r y p e r o t 腔基本原理 最简单的光学谐振腔是由两个反射镜相对放置实现的，由一套完整的支持系 统控制这两个反射镜使谐振腔可以正常工作，例如腔镜安装在固体腔体上或者腔 镜被安装在两个独立的控制器上，如图i ，2 所示。 i n 图l - 2 光学谐振腔的基本构造。m ： 曲率半径足：透镜肘。的曲率半径。l ： 输入腔镜。坞：输出腔镜。r ：透镜m 的 谐振腔的光学长度，即腔长。光线在谐振腔 韭塞 塞 道 本 堂亟 堂僮坌塞i 直 中被多次反射。如果谐振腔靛长是入射光线波长的整数倍的话，光线将披加强，在两腔 镜之间形成驻波。结果谐振腔内发生非常有效的谐振。 图1 2 所示是一种线性光学谐振腔，两个腔镜沿同一光轴排列，反射镜的曲 率半径与高斯光束在反射点的波前面曲率相吻合，这样使光线可以严格反射入射 光线。光线在一个闭合的路径中反射，在一个运行周期之后，光线和入射光线完 美的发生干涉产生驻波。光线在腔中反射很多次之后，由于腔体内部损耗而渐渐 消散，每一个周期产生一个驻波，所有驻波干涉使光强得到增强。 ( a ) c o n f o c a i 簇、 口l ；l 一厶 ：o n c e n t r i f ( b ) 吼吼= l 一， i 图l - 3 双镜谐振腔的稳定曲线。( a ) 谐振腔的构造方式( b ) 稳定条件曲线。图中 定义曲线岛岛= l 和两轴之间的阴影区域对于谐振腔来说是稳定区域。 如果线性谐振腔的光学长度是光波长的整数倍，谐振腔中的光强由于干涉叠 加而增强。两个腔镜之间产生了驻波，如果忽略腔镜边缘的衍射和溢出损耗，两 个腔镜就组成了光学谐振腔。谐振腔的频率满足： = m 矗， ( 1 - 1 ) 其中l 是两个腔镜的物理间距，m 是整数，如图1 2 所示。如果腔镜的横截 面积远大于高斯光束点尺寸，那么每一个腔镜可以将高斯光束反转波前面曲率和 反向的完全反射回去。同时，两个腔镜足够大而且边缘效应可以忽略的时候，这 两个腔镜可以组成稳定的谐振腔。 光学谐振腔的稳定条件可以从商斯光束的相关理论中获得。首先，在腔镜处， 高斯光束的波前面曲率尉z ) 必须与腔镜的曲率吻合：其次，腔体长度必须由精确计 算得到。由这两个条件，我们可以推导出一系列公式用于描述光束波前面和反射 镜曲率之间的关系。公式如下： 韭夏銮疆左堂亟 堂焦 垃噩 i 直 怒篡鬏：震和吨弓 ( 1 - z ) r ( ) = 2 2 + 。；乞：+ r 21、。 早期的激光理论中，参数9 被用于描述谐振腔的稳定性，并且这些参数被广泛 的应用于激光光学。如图i 3 所示，我们定义两个腔镜的g 参数分别为： 吼5 1 一专和吼5 1 一去， ( 1 - 3 ) 我们得到谐振腔稳定性条件： o g l 纺1( 1 4 ) 对应于图l 3 中的谐振腔稳定性曲线。如果点魄，吼) 落在图1 3 的阴影稳定区 中，两腔镜形成了一个稳定周期调焦系统。根据高斯光束的参数，谐振腔将锁定 一系列从最低一级逐级增加的高斯模式。与此相对应，如果点吼，仍) 落在阴影区以 外，两腔镜表现为一个不稳定周期聚焦系统，也不能在他们之间看到高斯模。 1 3 几种重要的稳定谐振腔 ( c ) 图1 4 对称型谐振腔。( a ) 对称的稳定谐振腔( b ) 近平面谐振腔。( c ) 近中心谐振 腔。曲率半径比较大或者近平面谐振腔可以得到很大的模体积，但是他们对两腔镜的不 共面问题也是非常敏感的。而近中心谐振腔在腔镜末端有很大的溅射尺寸，但他们对腔 镜不共面问题一样非常敏感。 9 j e塞塞堂盘 堂亟堂丝迨 塞 i i 直 接下来，我们将根据稳定性曲线，介绍一些具有不同特征的谐振腔。图i 4 展示了三种对称型谐振腔。如图1 4 ( a ) 所示，对称型谐振腔的两腔镜曲率关系为： r = 马= r ：而参数g 关系为：g i = 岛= g = 1 一纠r 。图l 一4 ( b ) 中，谐振腔的两个腔 镜的曲率半径接近最大值：r * r * 。o 而岛。乳* 1 。在最早的激光设备中，这些谐 振腔得到了广泛的应用。由于腔体长度的误差l ，近同心谐振腔的腔长略比两腔 镜的曲率半径和r + 是相差l 。相应的谐振腔参数可以从图1 4 ( c ) 中得到： r mr 2 “r = 弓+ l 玩。乳州+ 嚷。 1 巧 图1 5 显示了另一种谐振腔类型，即半对称谐振腔。半对称谐振腔的一个腔镜 是平面镜，另一个是曲面镜，因此谐振腔参数为： 吼= 1 和吼2 9 2 l 一巳， ( 1 6 ) 如图l - 5 ( a ) 所示。图1 5 ( b ) 中显示的半球型谐振腔的参数为：曷= m ，马= 工+ 缸， g l = 1 ，和9 2 = 纠l * o 。凹凸谐振腔的光束光腰在谐振腔之外，如图i - 5 ( c ) ，而且 模体积相对比较大。 罔l _ 5 半对称谐振腔。( a ) 半对称谐振腔。( b ) 近半球谐振腔。( c ) 凹凸谐振腔。 近半球谐振腔现在广泛地应用于实际的激光振荡器中。而稳定的凹凸谐振腔可以得到非 常大的模体积，但是很少使用在实际应用。 稳定的共焦谐振腔的两个腔镜的焦点分别在对方中心，这种谐振腔也被称作 o 地基銮地盘堂 亟堂焦迨塞 i i 盍 对称共焦谐振腔，其参数为暑= 是= 工和绣= 吼= o ( 如图 铽a ) 所示) 。不稳定的 共焦谐振腔，如图l - 6 ( b ) 所示，共焦但不对称，其参数为：r 2 + 是2 = l 和 g l + 玩= 2 岛9 2 - 图i 6 共焦谐振腔。( a ) 对称共焦的谐振腔。r b ) 非对称共焦的谐振腔。对称的 共焦谐振腔是一个非常特殊的例子，其g 参数正好落在稳定性曲线的中心位置。所有非 对称共焦腔都在图1 3 的稳定曲线范围之外。 1 4稳定谐振腔的频率模式 根据双镜腔的几何特征和光学特性的不同，谐振腔的频率特征也是不同的。 由于h e 硼i t e - g a u s s j a n 模式数和由其产生的g u o y 相位漂移两因素的影响，在稳定 的高斯谐振腔中，不同的横模有不同的响应频率和横模频率漂移。图1 7 展示了三 种不同谐振腔的横模频率。从腔体一侧到另一侧的总相位漂移应该包括 后( 乞一毛) i 托和g u o y 相位漂移两部分。我们可以得到胂阶h e r n l i t e g a u s s i a n 模 式的矩阵解为： 烈z 2 一刁) = 地一伽+ m + 1 ) x 【y ( z 2 ) 一( 刁) 】 ( 1 7 ) 其中，g u o y 相位漂移相关的高斯光束参数为： ( 弓) = t a n _ i ( 磊) ( 1 8 ) j e塞窑 塑 太堂 亟堂丝迨塞i l主 i 一。f r 3 日r iil l l - 一 唰9 i 1 一_ 刊一浦| l | 图l - 7 各种高斯谐振腔的横模频率分布， 1 5 稳定腔的不共线效应 由于腔镜焦点不共线或者调整不合适，任意一个腔镜旋转使谐振腔的光轴发生 变化，腔镜焦点不共线对稳定的双镜腔的影响非常复杂。这里我们介绍一种简单 的处理由于双镜腔中腔镜焦点不共线产生的光轴偏移的方法。 图l 一8 稳定光学谐攘腔焦点不共线和光轴偏移的几何分析。 双镜腔的光轴可以定义为如图1 8 所示的两个腔镜焦点q 和c ：的连线。两腔 镜的二次相位曲率在中心或者在中心轴上。在腔体空间允许的情况下，腔体两端 的腔镜旋转将引起腔体光轴在腔体空间允许的范围内发生偏移。偏移后的谐振腔 j e 塞塞 适 友 堂 塑堂僮迨塞型奁 仍然可以产生谐振，谐振腔的本征模式是原来共线谐振腔本征模式的奇数或偶数 倍的混合。这需要通过复杂的计算来解决这些多余的模式或者由这一情况带来的 额外的损耗。 图1 8 所示的简单的几何模型可以帮助我们分析不共线谐振腔光轴的偏移情况。 如图卜8 ，设q 和睦是腔体两端腔镜旋转角度；缸。和蝇是新光轴和旧光轴在两 侧腔镜处的偏移距离。根据图1 8 ，我们可以得到如下几何关系： 她2 惫嘲+ 去一 ( 1 9 ) 峨：j 一础+ l 。碱 l g t 9 2、一9 1 9 2 其中有一个判断不共线效应严重性的原则是对于同一腔镜在不同光束尺寸乱 和时，比较光轴的位移和毛。谐振腔的角度偏移可以通过以下公式进行估 算： a 口；堕二些：! ! 二鱼堕二! ! 二鱼堕 ( 1 1 0 1 l l 一研9 2 请注意这里所有这些测量对于角度偏移敏感度都是以吼吼一1 为条件，如谐振 腔的设计接近平面镜腔的稳定域或者近中心腔的稳定域。 1 6 总结 本章中，我们主要介绍了双镜腔的基本构造。根据在谐振腔两端腔镜反射高斯 光束的特性不同，可以定义g 参数和9 参数取值的稳定性范围得到谐振腔稳定的条 件。基于这种稳定谐振腔的条件，可以得到很多种谐振腔，其中包括：对称性谐 振腔、半对称谐振腔和共焦谐振腔。此外，还介绍了各种高斯谐振腔的横模频率 特征。这种谐振腔类型目前已经成为许多敦科书上的主要内容了，同时在激光光 学和精密光谱的领域也得到广泛的应用。然而，在制造超稳腔上，有很多技术困 难还没有攻克。我们将通过理论计算，对这些影响稳定性的因素进行分析，试图 寻找解决这些困难的方法。 通过上面的介绍，我们可以了解到假设腔镜在横模方向上无限宽，或者任何边 缘效应都被忽略掉条件下的高斯稳定谐振腔技术，以及在宏观理论基础上，高斯 稳定谐振腔技术的原理。然而，为建造超稳定谐振腔，许多微小的不稳定因素都 应该被重视，这其中包括：热噪声、腔镜的微小位移和腔镜之间的细微的不共线 现象。本文将使用有限元方法对这些因素进行分析，首先，对振动引起的谐振腔 腔长变化进行有限元分析，发现引起腔长变化的因素，找到解决谐振腔长度不稳 定的办法。接着，我们将同样使用有限元的方法对谐振腔本身固有的热噪声进行 毡塞塞夔盍堂亟堂丝坦塞i i矗 分析，获得噪声谱线。通过一系列分析，我们希望发现引起谐振腔腔长变化的主 要因素，并得到了很多非常乐观的计算结果，这些结果将为将来的谐振腔设计提 供帮助。 1 7论文主要内容介绍 论文分为六章： 第一章简述了超稳定f p 腔在实验中的重要作用，介绍了超稳定f p 腔的基本 结构和高斯谐振腔的稳定特性。同时还介绍了获得高斯稳定谐振腔的方法。 第二章描述了实验中常用的超稳定f p 腔的制造工艺、使用方法和目前超稳 定f _ p 腔的研究情况。接着我们对本文中所使用的数值模型进行了简要介绍，明 确了f p 腔形变的特性和我们所使用的分析方法。 第三章通过对几种超稳定谐振腔在震动环境中的应变特性进行有限元分析， 调整其结构和支撑方式，我们发现了影响谐振腔在震动环境下形变的规律，找到 了克服振动引起腔长变化的方法。 第四章对上述分析结果进行了讨论，提出进一步降低谐振腔对振动敏感程度， 提高计算精度的可能。 第五章介绍了热噪声对谐振腔稳定性的影响。首先介绍了谐振腔热噪声的起 源。接着，推导出热噪声的计算公式。最后，我们对谐振腔的热噪声进行定量的 分析，并找到影响谐振腔热噪声的因素。 第六章对全文进行总结。 韭夏窑迤盔堂塑堂僮淦塞罄缒膣丝丝变挂丝 2 超稳腔的形变特性 2 1介绍 从字面意思上讲。一个经过高精细加工与外界环境隔离良好的f a b r y p e m t ( f p ) 腔，我们通常称之为超稳腔。图2 1 描述了一个典型的f p 腔。通常一个高稳腔包 含两个高反射率低损耗的反射镜，这两面反射镜被相对成一条线的放置在光轴上 1 1 0 m l 。两个腔镜中间夹着一个低热膨胀系数材料( 如u l e 或z e m d u r ) 制成的空间 间隔，我们称之为腔体。腔镜基片通常采用与腔体相同的材料制成，然后用光学 的方法将其牯在腔体两端。腔镜之间的反射指数通常由空气温度、压强和湿度决 定，而这些条件又是不断变化的。这就意味着腔镜之间的空气反射指数会影响腔 体长度，为了解决这一问题，腔体必须被放置在真空腔中。另外，为了杜绝外界 环境温度和振动对腔体的影响，真空腔的温度被控制在只有十几m k 的温度漂移， 而且被放置在带有振动隔离措施的平台上。 l n c i d e n t b e a m l o o t i c a i a ) g 一一 m 2 图2 i 超稳定f a b r y - p e r o t 基本构造。谐振腔由两个高反射镜相对夹在腔体两侧， 腔体中心有一个通孔穿过。腔体侧壁上有一个同期孔，用于放出中心通孔的空气。振动 引起的腔体形变导致腔长的变化，l 。腔长的变化产生锁在这个谐振腔上的激光器的频 率漂移。m ：入射腔镜。 如：输出腔镜。l ：谐振腔的光学长度。 在实验中，激光器以f a b r y h r o t 腔为参考，光学频率漂移由两腔镜之间的光 学长度的变化引起1 1 2 l 。环境振动引起腔体的弹性形变，相应地也引起腔体的光学 长度的变化。由于光学平台的振动摇摆，谐振腔体不仅发生形变而且会发生弯曲 使腔镜发生倾斜，同时腔镜也在振动条件下发生形变。因此，腔体形变对作为频 率参考的谐振腔的稳定性影响很大。实际上，由于振动对腔体稳定性影响非常重 要，科研人员已经在振动隔离上付出了很多努力。 然而，据我们所了解，目前还没有对超稳腔的弹性形变有过定量的计算。目 前实验中通常有两种方式用来减少振动对谐振腔的影响，即主动减震和被动减震。一 被动减震谐振腔通常将腔体放置在弹簧或者柔软的缓冲垫上，也有采用将谐振腔 韭裹窑垣丕堂亟生焦迨塞超建膣盟丝銮挂丝 用金属绳竖直悬挂的方式。而主动减震方式相对应用比较少，其主要方法就是利 用主动响应器件【如压电陶瓷( p z t ) 】来控制平台的移动去抵消外界振动，使平台 上谐振腔受到振动影响减小。传统的隔震方式可以将振动的大部分高频信号过滤 掉，但是在低频领域，减小振动( 2 0d b ) 是非常困难的。大部分阻尼设备都有自 己的谐振频率，即使通过精密地设计其结构以及选择隔震材料可以将阻尼设备的 谐振频率减小到赫兹级，即目前最好的隔震设备，其谐振频率可以减小到1 2 h z ， 也不能使谐振频率消失，而为建造这样的高精度被动或者主动控制系统都要花费 高额的建造费用。而谐振频率对腔体影响还是非常大的，低于谐振频率的振动可 以直接通过隔震设备被传递到谐振腔上。更加严重的是，如果振动频率和谐振频 率吻合，传递到谐振腔上的振动将被加强而不是减弱。 在随后的两章中，我们将介绍一种不同于传统隔震方式的新颖方法1 2 l ，来减 小振动对谐振腔的影响。使用特殊的方法修改超稳腔的形状和支挎方式，我们可 以获得一个关键点，在这一点上谐振腔对低于l oh z 的振动不敏感( 注意：不论什 么振动，腔体形变总是存在的) 。我们将给出数值计算结果来证明这种方法对控制 振动影响是有效的，并且可以为腔体设计提供帮助。我们分别给出了不同的腔体 几何形状和相关支撑方式下的数值分析结果，这些结果可以应用于高精度时间频 率标准的测量和物理学基本定律的检测当中。 2 2 数值计算模型 图2 2 描绘了发生形变时弹性固体的位移和形变的情况。点a 和b 表示了固 体中的两个点。形变发生前，a 和b 的距离为d ，描述点a 的位置是向量r 。图 2 2 描述了形变发生时，a 和b 的位移变化情况。点a 的位移变化定义为。当物 体发生形变后d 变成d ，d 的变化描述了固体局部形变。系统的形变可以用系统 中所有点的位移差来描述出来。 在数值计算模型中，每个腔镜的位移情况由设置在腔镜内表面上的探测点来 确定，如图2 3 ( c ) 所示，这些点覆盖在整个通孔直径的宽度上。腔长变化a l 由两 个腔镜的微分间距确定。由于腔长l 对以f p 腔为参考的激光器频率噪声的影响 非常大，因此我们在分析计算中主要关注的是腔长变化l 。 6 韭塞奎垣盔兰亟堂遮迨毫整建膣鳆丝变挂焦 图2 2 固体内部的位移和应变。a 和b 表示了固体内部在没有形变时的两个点。 形变发生之后，点a 移动剑a i b 剑b 。l 和l 是a 、b 两点相应的位移。因为形变， a 和b 之间的距离也发生变化。应变可以根据形变发生后的固体内部若干小块分量之间 的距离变化得到。 ll r l 图2 3 圆柱体腔放在u 型橹中。这种模型是激光稳频实验中比较常用的一种。( a ) 谐振腔的三维视图( b ) 谐振腔的沿轴切面视图( c ) 腔镜内表面的探测点的分布情况- 探 测点被放在腔镜内表面覆盖整个通孔面积的区域上。 随时间变化的振动为数值计算腔体形变带来很大的困难，因为振动谱通常覆 盖一个很宽的范围而且振动特征是随机的。但非常幸运的是，传统的振动隔离装 置己经可以过滤掉大部分的高频振动。这样的结果就是在无衰减的振动谱中的傅 立叶频率远低于腔体的本征频率。我们在分析计算中针对这一情况，对振动分析 进行了近似。即假设支撑被固定，振动引起的加速度可以用一个应用于腔体上的 重力加速度代替，重力加速度方向于振动引起的加速度方向相反。这样使本来动 m 工 o p z j e 夏套垣盘堂亟堂焦熊塞趋毽膣笪垄变挂丝 态的分析被简化为静态分析，使计算过程大大简化，提高了计算速度。并且这样 的简化是合理的，在物理学大部分理论分析中，当外加振动频率远低于物体本身 的本征频率时，部可以假设一个静力施加在物体上，这也是静力分析可以广泛应 用于工程力学分析中的原因。我们使用c o s m o s w o r i s 和a n s y s 两个有限元分析 软件对模拟重力作用下的腔体形变进行分析。 韭夏套夔本堂亟堂鱼迨塞! 直透蕉丝变錾僮盆短绪墨 3 谐振腔形变数值分析结果 这一章我们将对在激光频率稳定实验中经常使用的几种谐振腔逐个进行分析。 我们会对这些谐振腔的形状和支撑方式进行调整，并进行计算得到关键位置( t h c c r i t i c a lp o i n t ) 。在这个关键位置上，我们能发现谐振腔的光学腔长受振动影响最小 并且两腔镜相互平行。根据我们的计算，这个关键位置可以通过修改很多谐振腔 几何形状和支撑方式得到。以下是我们对各种谐振腔的具体分析。 3 1水平放置的圆柱体腔 图2 3 f b ) 展示了一个圆柱体腔放置在u 型槽中，我们将在每个腔镜内表面放 置7 个探测点，如图2 3 ( c ) 所示。对其施加重力方向向下，定义为：g c o ；这样 我们得到了如图3 ，l ( a ) 的在轴向上截面的放大1 0 s 倍的腔体形变分布图。从图中， 我们可以看出腔体在重力作用下，沿v 轴方向被压缩，而在z 轴方向上被伸长。 对于我们所关心的腔体光学长度的变化，图3 1 ( c ) 向我们展示了两腔镜上的探测点 的位移情况，位移差就是腔长的变化情况。我们可以从图3 1 ( a ) 再次得到腔镜的位 移情况：左侧腔镜沿z 轴正方向移动，而右侧腔镜沿反方向移动。腔体被伸长可 以定义为；a l 0 ，图3 1 化) 给出了腔长工的数值为1 6 1 0 4 0 m 。 韭基塞照太堂亟堂缝缝塞造拯膣丝銮塾值筮蚯绪星 图3 l 圆柱体腔放置在u 型槽上。f a ) 和( b ) 是分别应用重力方向向上( y ) 或者向 下( y ) 的作用下，腔体应变相对应的横截面图。图中表示的是放大1 0 5 倍的腔体形变图。 ( c ) 和( d ) 是相应的在重力方向分别向上和向下作用下的腔镜位移图。 改变施加在腔体上的重力方向，重复刚才的计算。我们观察到腔体沿y 轴方向 被拉伸而在z 轴方向上被缩短，如图3 1 ( b ) 所示。相比重力方向向下，腔长变化， l ，大小不变而符号相反。从图3 1 ( d ) 可以看出，左侧腔镜沿z 轴方向移动而右 侧腔镜反方向移动，谐振腔被拉长，而腔镜在形变发生的时候仍然近似平行。 我们刚才计算的u 型槽的支撑方式作为传统隔振方式的一部分，广泛的应用 于各种实验中。然而，当有瞬间的振动加速度的时候，根据我们的计算这种支撑 方式下的腔体长度将发生变化。如第二章所讨论到的一样，振动的低频部分不能 被u 型槽和光学平台之问的阻尼材料完全过滤。因此，低频范围里的振动将直接 传递到腔体上，引起谐振腔的不稳定。简言之，就是当谐振腔放置在u 型槽上时， 传统的振动隔离系统不能有效隔离低频振动。 3 2双梁结构支撑的长方体腔 图3 _ 2 双粱结构支撑的一个长方体腔。( a ) 谐振腔的三维视图( ”谐振腔右侧视图 j e 盛塞迪叁堂殛堂僮迨塞遁运膣堑銮麴值坌蚯缝墨 ( c ) ，( d ) ，d ( c ) 分别是当d 为3 0 、2 6 7 、2 0m m 时，谐振腔在z 轴方向上的应变能量分 布图，其中d 为支撑点到谐振腔一侧的距离。注意；此时支撵鬃的宽度为5 2 8m m 。本 例中使用长为2 7 0n 的长腔，这样当重力施加疔j 向向下时，腔镜绕支撑点旋转，整个 腔体在重力作用下在- y 方向上压缩，而在z 轴方向上伸长。 为了进一步了解腔体对振动的形变响应情况，我们设计了一种新的腔体和支撑 方式。在这种支撑方式中，一个很长的横截面是矩形的长方体腔被放在一对细梁 上，如图3 2 ( a 所示。刚才所介绍的的u 型槽支撑方式，对腔体支撵强度没有任何 自由度可以修改。相比之下，这种支撵方式有三个参数可以进行修改，分别是梁 的宽度w 、高度h 和梁的位置距腔体一端的距离d ，如图3 2 ( b ) 所示。图3 - 2 ( c ) 、 3 2 ( d ) 和3 2 ( e ) 分别显示了腔体形变的形变分布。总体上说，腔体内部的形变分布 是随着d 的变化而变化的，即随着双梁对腔体支撑位置的变化而变化。支撑接触 面积也会对腔体长度有影响，而梁的高度对腔体长度的变化影响不大。这些细微 的影响将会体现在我们接下来的数值计算中，在我们随后的讨论中将详细说明。 罢o 是o 呈一o 一0 一0 l o c a t j o n b e a m w d t h w ( m m ) 图3 - 3 长方体腔的腔镜位移情况。( a ) 、( b ) 和( c ) 是固定h 为2 m m ，调整w 和d 时， 分别得到的腔镜位移图。图表下面是大范围改变w 而调整d 寻找近似点( t h ea r i yp o i n t ) 后，腔长变化a l 的变化曲线。当h 固定为2m m ，通过调整d 和w ，我们得到了关键点。 调整h 的值，我们同样可以通过调整w 和d ，得到关键点。 为了定量的研究支撑结构如何影响长方体腔的腔长稳定性，我们在数值计算中 j e 豆褒适太堂亟堂焦迨塞道拯膣垄鸾塑值坌捱绪墨 依次调整三个参数d 、w 和h 。图3 6 给出了我们的分析结果。当w 和h 被固定而 调整d ，两个腔镜以相同的角度向相反的方向倾斜。从图3 3 ( a ) 、3 3 ( b ) 和3 3 ( c ) ， 我们可以清楚地看出两个腔镜倾斜是随着支撑粱的位置而变化的。当d = 2 0m m 时， 两个腔镜朝内倾斜形成希腊字母“a ”，如图3 2 ( e ) 和3 3 ( c ) 所示。当两个支撑梁向 腔体中心移动，在d = 3 0m m ，腔镜相对应的方向可以用字母“v ”来描述，如图 3 2 ( c ) 和3 3 ( c ) 所示。由此我们可以推断，在这两个数值之间两个腔镜可以出现相 互平行的现象。我们找到当d = 2 6 7m m 时，两个腔镜出现这种情况【图3 2 ( e ) 】， 这种对于两个支撑梁来说是特殊位置的点，我们称之为近似点( a n a 时p o n t ) 。 接下来，我们调整第二个自由度，即粱宽度w 。为了去掉腔镜的倾斜，我们在 每一个w 取值之后，调整d 达到近似点。在这些调整之后，我们发现腔长发生了 变化。从图3 3 ( e ) 我们可以看出，当梁高h 固定在2m m 时，w 在很广的范围里取 值，然后调整d 到近似点处。最终我们得到了腔长变化l 的变化趋势。当w = 5 2 8 m m 时，我们发现腔长的变化量到了最小点，这意味着此处腔体对振动的敏感度减 小到最小。高于或者低于这个点，腔体将被拉长或者缩短。 最后我们对粱高h 设定两个不同值，从图3 3 ( d ) 和3 3 ( d 分别显示了在调整其 他两个参数w 和d 之后相似的变化趋势。当h 变化，腔长仍然可以通过调整w 和 d 得到变化最小的那一个点。例如，当h = lm m 时，调整其他两个参数：d = 2 8 6 m m 和w = 5 2 5m m ，得到的腔长变化为上= - 2 x l o - ”m 。 为了将谐振腔对振动的敏感度降低到最小，我们从上述讨论中总结出如下结论。 首先，调整梁的支撑位置可以得到近似点。当腔体处在近似点的时候，两个腔镜 确定是平行的。接着，调整梁宽度可以对腔长变化进行补偿。当然这两个参数的 调节结果是相互祸合的。我们可以通过反复调节w 和d 寻找关键点( t h ec r i t i c a l p o i n ) ，最佳化谐振腔的设计。 这里我们第一次提到了一个关键位置( t h ec r i t i c a ip o s i t i o n ) ，在这个位置处，谐 振腔的长度对外界振动不敏感，同时两个腔镜相互平行，这标志着谐振腔对振动 的不敏感度得到了很大的提高。在接下来的讨论中，我们称这个特殊位置为关键 支撑位置，或者关键点( t h ec r j t i c a lp o i n t ) 。 3 3由四个支柱支撑的长方体腔 虽然我们在刚才的讨论中为一个很长( 2 7 0m m ) 的长方体谐振腔找到了关键支 撑位置，长的谐振腔在形变时会发生比较明显的弯曲，从而减小了腔体由于重力 作用下压缩而造成的腔体伸长，结果是腔长对外界振动不敏感。但是这种支撑方 式是有限制的，这种支撑方式对于腔跃较短的谐振腔效果不明显。长的谐振腔的 j e 瘟奎烫太堂亟堂焦途塞造返膣碰銮塑值坌堑结墨 自由光谱范围比较窄，获得纵模特性比较复杂，在精密光谱、光学精密测量等实 验中应用较少。这里我们修改了这种支撑方式，使其可以得到相同的振动不敏感 性而且对更多尺寸的谐振腔都是有效的。 图3 - 4 ( a ) 是一个由四个圆柱支撑的长方体谐振腔。从图3 4 ( b ) 可以看出，这种 支撑方式有很多参数可以调整。当然我们的主要目的是获得谐振腔的关键位置， 因此我们选取其中的两个参数h 和d 。参数d 可以调整两个腔镜的倾斜程度，而 孔深h 将会影响到谐振腔的腔体长度变化，由上一个模型的计算经验，我们可以 推断这两个过程将会互相影响、相互耦合，面计算结果也印迁了我们的这一推断。 为了得到最佳的支撑效果，我们在计算中反复调整h 和d 的值，来寻找关键的支 撑位置，使腔体长度对振动不敏感而且两个腔镜保持平行。 图3 - 4 四圆柱支撑的长方体腔。( a ) 谐振腔的三维视图( b ) 谐振腔的右侧视图。谮 振腔的腔长为1 0 0m m ，h 为支撑孔的深度，d 是支撑圆柱中心到腔体一端距离。支撑孔 的直径固定为6 m m 。 为了验证在关键位置处谐振腔的形变趋势，我们改变支柱的位置( d ) 而固定支 撑孔深。随着d 的变化，两个腔镜的旋转方式和我们在上一个例子中谐振腔放 置在双梁结构上腔镜旋转的方式相同，我们可以从图3 5 的上半部分图表所示的结 果看出。当支撑位置接近腔体边缘删如：图3 5 ( a ) 中d = i om m 】，两腔镜向内旋 转，形成希腊字母“a ”。当支撑位置向腔体中心移动时【例如：图3 - 5 ( c ) 中d = 4 0m m 】， 两腔镜相对旋转成字母“v ”的形状。在这两个数值之间，我们找到了使两个腔镜 平行的位置，即d = 1 7 6 m m ，此处谐振腔被拉伸( * 4 1 0 - “m ) 。 接下来我们将反复尝试h 和d 的值以获得最优化的腔体设计。我们改变h 来 补偿当调整d 使两个腔镜相互平行后引起的腔长变化。当h = 1 7 1m m 而d = 1 7 6 m m 时，我们找到了关键点，如图3 5 中间部分所示。在这一点上，腔长变化量可 以调整到最小，即l j 扩”m 。 不同于之前我们所讨论过的两种水平放置的谐振腔支撑方式，这里我们介绍 韭塞褒道塞堂亟堂僮迨塞造垂膣受变熬值佥堑绪星 的谐振腔支撑方式的支撑点在腔体底部之上。这样谐振腔的形变情况将被分成两 部分，低于腔体支撑高度的部分在形变发生时，将沿y 轴方向被拉伸而在z 轴方 向上腔体是缩短的。相应的，高于支撑高度的部分将沿y 轴方向上被压缩而在z 轴方向上被拉长。当然，腔体也会在重力作用下发生弯曲，这种形变会影响到腔 镜的倾斜和腔体的长度变化。然而，调整谐振腔的支撑位置可以消除腔镜的倾斜， 从而找到近似点。因此，根据调整支撑孑l 的深度和支撑孔的位置，谐振腔将会伸 长或者缩短。这一点在之前的讨论中就曾提到，通过复合的调整d 和h ，我们总是 可以为谐振腔找到关键位置。 + l e f tm i 盯o l o c a t i o n 一-r i g h tm i r n o r 图3 5 四圆柱支撑的长方体腔的腔镜位移。腔镜位移变化可以通过修改h 和d 来 获得。关键支撑位置可以在h = 1 7 1m m ，d = 1 7 6 m m 处找到。 作为我们研究的一个重要模型，我们也对这个模型在设计上潜在的系统误差 进行了分析。关键支撑位置的稳定性通常是通过引入一系列调整参数来获得的。 在关键支撑位置处，通孔的直径做一个0 0 5m m 的调整之后进行计算，我们发现 腔长变化，在数值上没有明显的变化( lzl 1 0 1 2 m ) 。通气孔的尺寸调整5 产 生的腔长变化量仍然近似为1xl o 。2 m 。然后我们进一步研究机械公差对计算模型 的影响，分别给d 和h 施加o 1m m 的系统公差进行计算，这样给谐振腔带来腔长 2 4 j e 塞至壅盔堂亟堂缝地塞造送膣形塞麴值筮堑结墨 变化量l 在2 l o “2 m 以内。这样的结果仍然小于我们在这章开始的时候介绍的 谐振腔水平放置在u 型槽上的计算结果。 此外，我们也考虑到了第三个自由度，即支撑孔的直径。对刚才我们发现的 关键支撑位置，给支撑圆柱的直径( 6m m ) 旎加1m m 的变化量，不调整d 和h 参 数，我们发现工的数值是调制之前的5 倍左右，但腔镜仍保持平行。通过重新调 节d 和h ，l 的这个变化可以得到补偿。 3 4 竖直支撑的锥形腔 前面我们己经分析了水平支撑的谐振腔发生弹性形变时的振动响应情况。接 下来，我们将对竖直支撑的谐振腔进行分析，并尝试找到关键支撑位置。图3 - 6 描述了一个1 0 0m m 长竖直支撑的谐振腔，腔体中间部分边框半径为6 0m m ，边框 厚度为l om m 。如图3 6 所示，谐振腔由腔体中间部分的厚边上的三个孔受约束碍 到支撑。从图中我们可以看到，这种谐振腔有两个参数可供调整，分别是支撑孔 的深度h 和支撑孔中心距光轴的距离r 。 图3 - 6 竖直支撵的锥形腔。( a ) 谐振腔的三维视图( b ) 谐振腔的侧视图( c ) 谐振腔 的项视图。r