（理论物理专业论文）球型量子点中极化子及量子比特的性质.pdf

摘要 本文以球型量子点为研究对象，设计了一种量子计算机的基本信息存储单元一 量子比特( q u b i t ) 模型，对这种量子比特的性质做了深入的研究；并研究了球型 量子点中极化子的温度效应。 首先通过精确求解能量本征方程、幺正变换及变分方法，得到球型量子点中电 子一声子相互作用体系的基态和激发态能量，以这样一个两能级体系构成一个量子 比特。研究了量子比特内电子的概率密度分布情况及声子对量子比特性质的影响。 数值计算表明，电子或极化子的基态与激发态能量均随量子点尺寸的增大而减小， 说明球型量子点具有明显的量子尺寸效应，且激发态能量减小的程度相对较大，导 致量子比特的振荡周期随量子点尺寸的增大而增大。考虑声子效应时，基态与激发 态的能量均减少，与无声子效应相比，能级差增大，振荡周期减小，说明声子效应 使量子比特的相干性减弱，且量子点尺寸越大声子效应越强，量子比特的相干性越 差。量子比特内各个空间点的概率密度均随时间和坐标的变化而变化，当空间点给 定时，概率密度随时间做周期性振荡，声子效应导致振荡周期缩短，振荡频率增大， 但声子效应不改变概率密度的幅值：当时间和方位角给定时，概率密度随径向坐标 的变化而变化，在球心处概率密度不变，在球半径一半附近概率密度幅值最大，在 球边缘处概率密度为零；当时间和径向坐标给定时，概率密度随角坐标的变化而变 化，不同方位的概率密度幅值不同。 其次，采用精确求解能量本征方程、幺正变换、变分以及元激发理论方法研究 了球型量子点中极化子的温度效应。数值计算表明，当岔日t 壳缈，仃时，极化子的基态能量随温度的升高而增大，这是因为温度升高，电 子热运动能量增大，更多的声子被激发，导致极化子能量增大。此外，数值计算还 表明，极化子的基态能量随电子一声子相互作用耦合强度的增大而降低，这是因为 电子一声子相互作用越强，电子一声子相互作用能的绝对值就越大，极化子基态能 量就越小。 关键词：球型量子点；量子信息；量子比特：极化子 t h e p r o p e r t i e so f p o l a r o na n dq u b i ti ns p h e r i c a lq u a n t u md o t b s tr a c t ak i n do fq u b i tw a sd e s i g n e di ns p h e r i c a lq u a n t u md o t ，w h i c hi st h eu n i to fs t o r i n g i n f o r m a t i o no fq u a n t u mc o m p u t e r ，a n dt h ep r o p e r t i e so f q u b i t w e r es t u d i e dd e e p l y t h e t e m p e r a t u r ee f f e c to fp o l a r o n i nt h es p h e r i c a lq u a n t u md o tw a sd i s c u s s e da l s o f i r s t , t h ee i g e n f i m c t i o na n dt h ee i g e n e n e r g yo ft h eg r o u n ds t a t ea n dt h ee x i t e ds t a t e o fe l e c t r o n - p h o n o ns y s t e mi nas p h e r i c a lq u a n t u md o tw e r eo b t a i n e db ys o l v i n gp r e c i s e l y t h ee i g e n e n e r g y e q u a t i o n , u n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n sa n dv a r i a t i o nm e t h o d s aq u b i tw a s f o r m e db yo v e r l a p p i n gb o t l lt h eg r o u n ds t a t ea n dt h ee x c i t e ds t a t eo fs p h e r i c a lq u a n t u m d o t ，t h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yd i s t r i b u t i o no fe l e c t r o na n dt h ep h o n o ne f f e c t i nq u b i t w e r es t u d i e d t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o w e dt h a tt h ee n e r g yo ft h eg r o u n ds t a t ea n dt h e e x i t e ds t a t eo fe l e c t r o ni nq u a n t u md o td e c r e a s e d 、析t l lt h ei n c r e a s i n go ft h er a d i u so f q u a n t u md o t , w h i c hs h o w e dt h a tt h eq u a n t u ms i z ee f f e c ti ns p h e r i c a lq u a n t u md o tw a s v e r yo b v i o u s w h e nt o o kt h ep h o n o ne f f e c ti n t oa c c o u n t , t h ee n e r g yo ft h eg r o u n ds t a t e a n dt h ee x i t e ds t a t ea l ld e c r e a s e da n de n e r g yd i f f e r e n c eb e t w e e nt h e mi n c r e a s e d c o m p a r e dt ot h ec a s eo fn op h o n o ne f f e c t , w h i c hl e dt oo s c i l l a t i o np e r i o ds h o r t i n g t h e n u m e r i c a lr e s u l t sa l s oi n d i c a t e dt h a tt h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yi n a l ls p a t i a ll o c a t i o n si n q u b i td i dp e r i o d i c a l l yo s c i l l a t ew i t ht h et i m e ，p h o n o ne f f e c tl e dt oo s c i l l a t i o np e r i o d s h o r t i n gb u tt h ea m p l i t u d eo ft h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yu n c h a n g i n g f o r ac e r t a i nq u a n t u m d o t ，w h e nt i m ea n da n g l ec o o r d i n a t ew e r eg i v e n , p r o b a b i l i t yd e n s i t yv a r i e d 丽t ht h e v a r i a t i o no fr a d i a lc o o r d i n a t e ，t h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yi sc o n s t i nt h ec e n t r eo fs p h e r e ， i sz e r oi ne d g eo fs p h e r e ，a n di st h em a x i m u ma m p l i t u d ei nn e a rh a l fo fr a d i u s ；w h e n t i m ea n dr a d i a lc o o r d i n a t ew e r eg i v e n , p r o b a b i l i t yd e n s i t yv a r i e d 、) i ，i mt h ev a r i a t i o no f a n g l ec o o r d i n a t e s e c o n d ，t h ei n f l u e n c eo ft e m p e r a t u r eo np r o p e r t yo fp o l a r ni ns p h e r i c a lq u a n t u md o t w a ss t u d i e db ys o l v i n gp r e c i s e l yt h ee i g e n e n r g y - e q u a t i o n , u n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n s ， v a r i a t i o na n dt h ee l e m e n t a r ye x c i t a t i o nt h e o r ym e t h o d t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o w e dt h a t t h eg r o u n de n e r g yu n c h a r g e dw h e nk b t h r o w ，t h eg r o u n de n e r g yi n c r e a s e dw i t ht h ei n c r e a s i n go ft h et e m p e r a t u r e ， b e c a u s et h eh i g h e rt e m p e r a t u r ei s ，t h em o r ee x c i t e dp h o n o n si s t h en u m e r i c a lr e s u l t s a l s os h o w e dt h a tt h eg r o u n de n e r g yd e c r e a s e dw i t ht h ei n c r e a s i n go fc o u p l i n gs t r e n g t h b e t w e e ne l e c t r o na n dp h o n o n ，b e c a u s et h es t r a n g e re l e c t r o n - p h o n o ni n t e r a c t i o ni s ，t h e l a r g e ra b s o l u t ev a l u eo ft h ei n t e r a c t i o ne n e r g yo fe l e c t r o n - p h o n o ni s ，a n d t h es m a l l e r k e yw o r d s ：s p h e r i c a lq u a n t u md o t ；q u a n t u mi n f o r m a t i o n ：q u b i t ；p o l a r n d ir e c t e db y ：p r o f z h a oc u ii a n a p pi ic a n tf o rm a s t e rd e g r e e ：l ius h a s h a ( t h e o r e t i c a l p h y s i c s ) ( c o l l e g eo fp h y s i c sa n de l e c t r o n i ci n f o r m a t i o n , i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t yf o rn a t i o n a l i t i e s ，t o n g l i a o 0 2 8 0 0 0 ，c h i n a ) 2 4 球型量子点中极化子及量子比特的性质 内蒙古民族大学硕士学位论文作者声明 本人声明：本人呈交的学位论文是本人在导师指导下取得的研究成 果。对前人及其他人员对本论文的启发和贡献已在论文中做出了明确的声 明，并表示了感谢。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其 他人已经发表或撰写的研究成果。 本人同意内蒙古民族大学保留并向国家有关部门或资料库送交学位 论文或电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权内蒙古民族大学可以将 本人学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：刘赵塾日期：逝! 曼年上月上日 内蒙古民族大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 国内外研究状况 在计算机技术迅猛发展的今天，计算机的运行能力已经越来越强，根据著名的摩 尔定律，计算机的计算速度每隔1 8 个月就增加一倍，随之而来的是计算机的元件尺寸 越来越小。当集成电路尺寸变得非常小时，量子力学规律就会显现出来，经典的基本 规律不再适用，经典计算机的运算速度也将达到极限。因而，一种依据量子力学原理设 计的新型计算机量子计算机随之被提了出来。 量子计算机是以量子力学基本规律为原理实现量子计算的机器。它是一类遵循物 理系统的量子力学性质、规律进行高速数学和逻辑计算、存储及处理量子信息的物理 设备。与经典计算机不同，量子计算机运行的是量子算法，处理和计算的是量子信息， 以量子位或量子比特表示信息单元。自2 0 世纪8 0 年代初期，f e y n m a n 霸提出了按照量 子力学规律工作的计算机的概念后，对于量子计算机的研究便进入了迅猛发展的阶段 阳钉。随着对量子计算机理论和实验研究的不断深入，人们提出了多种量子算法和实现 量子计算机的方案，如离子阱方案c 圳、腔量子电动力学方案o ”、核磁共振方案“帕等。 最近，人们又提出了一种新的量子计算机方案一量子点方案“- 2 0 1 ，国内外对半导体量子 点作为可拓展量子计算器件的理论和实验研究取得一系列重大进展，实验中已经成功 的实现了半导体量子点量子比特的制备、量子测量和量子相干性控制及量子逻辑门操 作c z t 侧。量子点计算机方案以其可以集成的优点以及可以借助半导体制造技术和经典电 子技术等已经成为实现量子计算机的最可行方案。利用半导体量子点实现量子比特成 为固态量子信息领域最热门的研究方向之一。因此，对于半导体量子点量子比特性质 的研究成为热点。d l o s s 等提出用耦合的单电子量子点的自旋态构造量子比特，其优 点是与外界环境隔离，有较长的相干时间。s r 等闯提出利用量子霍尔区域内双层量子 点多电子体系的二能级态构造量子比特。a e n d e r l i n 等m 1 通过两个相位锁定的皮秒激光 脉冲实现了对强耦合区域内半导体量子比特的相干性控制。a w e i c h s e l 等印1 提出用a b 相位实现双电子量子比特的逻辑门操作。m j s t o r c z 等研究了侧耦合双量子点内电荷 量子比特的内禀声子退相干，指出由电子一声子耦合导致的退相干是耦合量子点体系 的主要退相干因素。t h a y a s h i 等c 棚研究了在一个半导体双量子点中利用高速脉冲电压 来控制系统的能级，得到了一个完全可以调控的量子比特。j 1 lp e t t t a 等用双量子点 中两电子自旋的二能级体系构造了一个量子比特，并实现了对该量子比特的相干性操 作，使得其相干时间超过了一微秒。王等“删研究了抛物线性限制势及库仑束缚势对量 子点量子比特消相干的影响。刘等，研究了激子量子比特的纯退相干。陈等谰研究了抛 物量子点量子比特的温度效应l i 等m 用有效质量包络函数理论计算了单电子 i n a s g a a s 量子点量子比特的时间演化，计算结果表明量子点中叠加态电子的密度随时 2 球型量子点中极化子及量子比特的性质 问做周期性振荡，振荡周期的数量级是飞秒数量级。高宽云等删研究了量子环中量子 比特的性质。姜福仕等帆州研究了柱型量子点中量子比特的性质及量子环中量子比特的 声子效应。 国内外很多学者对球型量子点的相关性质做了大量研究。m f l i y o u 等嘲研究了声 子效应对球型量子点中杂质基态结合能的影响，结果表明l o 声子效应强于s o 声子效 应，且量子点半径越小它们对杂质态能量的影响越显著。e c a s a d 等旧，研究了球型量子 点中的光电系数，从理论上解释了实验中出现的电子空穴对衰变的现象。t r i c h a r d 等嘲 研究了自旋轨道劈裂对球型半导体量子点光学性质的影响。b s z a f r a n 等嘲研究了球型量 子点中多电子体系的基态与第一激发态，得到了两电子体系和三电子体系的能谱，证 明了偶极跃迁能量与量子点内的电子数目无关。r s d b e l l a 等洲研究了球型量子点中施 主束缚能和自旋轨道耦合，结果表明含氢施主的半导体量子点在低阈值波长范围内会 表现出光电导性。c y c h e n 等删用变分法研究了球型量子点中的束缚极化子的性质，同 时考虑了体声子和面声子的影响，结果表明声子对极化子束缚能的影响取决于量子点 的尺寸和量子点内杂质的位置。c e d e s t e f a n i 等研究了磁场、空间对称性、电子一声 子相互作用、量子点半径以及温度对球型量子点输运性质的影响。a m a l c a l d e 等啪，研 究了外磁场下球型量子点中电子一光学声子的色散率，讨论了磁场对c d s e 球型量子点 中电子与表面光学声子相互作用的影响，计算结果表明通过调节磁场可以提高色散率。 d v m e l n i k o v 等汩，采用f r o h l i c h 哈密顿量来描述在有限限制势限制下的球型量子点中电 子一声子相互作用，该哈密顿量适用于描述量子点植于其它材料中的情形。i e 1 m i k h a i l 等运用变分法研究了在有限限制势和无限限制势两种情况下球型量子点内非中心类 氢杂质的基态束缚能。r r o s a s 等嘲采用有效质量近似和变分的方法计算了均匀磁场下 球型量子点中类氢杂质的束缚能。吴等旧，研究了有效质量差异和电场对球型量子点电子 结构的影响，结果表明电子有效质量差异对杂质态能级和结合能的修正不能忽略，并 计算了杂质结合能随量子点半径和杂质位置以及电场的变化规律。a s m o s k a l e n k o 等咖 用多带有效质量近似的方法计算了植于s i 0 2 材料的球型s i 量子点中电子和空穴的基态 和激发态能量，用l u t t i n g e 哈密顿量描述空穴并在计算过程中考虑了s i 中传导电子有 效质量的各向异性，这种计算方法的优点是无需复杂计算而得到量子点中电子和空穴 的基态和激发态能量。s s a h o o 等嘲研究了外电场对球型量子点中杂质态的影响和杂质 态的斯塔克效应。w e x i e 嘲采用矩阵对角化方法和有效质量近似法得到球型抛物量子 点的能量和波函数，研究了球型抛物量子点内氢施主的线性和非线性光学性质，计算 结果表明量子点的光学性质受量子点受限强度、库仑相互作用以及入射光强度的影响。 1 2 本文的研究内容 量子点中量子比特的研究是当今固态量子信息领域的热点，利用不同的生长方法、 内蒙古民族大学硕士学位论文 3 生长条件及材料可以制备出不同形状的量子点一。目前，对于球型量子点相关性质的 研究较为成熟，但对于球型量子点中量子比特性质的研究还甚少。 本文以球型量子点这一理想模型为研究对象，利用球型量子点的二能级态作为一 个量子计算机的基本信息存储单元一量子比特，对这种量子比特的性质做了深入研究， 还研究了球型量子点中极化子的温度效应。 本文首先在第一章中介绍了量子计算机的发展背景和研究现状，以及球型量子点 的研究情况。 第二章研究了球型量子点中量子比特的性质。通过求解球型量子点中电子的能量 本征方程，幺正变换及变分的方法，得到了量子点中电子的基态和激发态的波函数及 相应的本征能量，以基态和激发态构成一个量子比特，研究了量子比特内电子的概率 密度分布以及声子对球型量子点中量子比特性质的影响。 第三章采用与第二章相同的模型，方法以及元激发理论，研究了球型量子点中极 化子的温度效应。 第四章总结了球型量子点中量子比特及极化子的性质。 4球型量子点中极化子及量子比特的性质 第二章声子对球型量子点量子比特性质的影响 通过精确求解能量本征方程、幺正变换及变分的方法，得到球型量子点中极化子 的基态和激发态能量，以这样一个两能级体系构成一个量子比特。研究了声子效应对 球型量子点中极化子能量、量子比特性质的影响。 在半径为r 的球型量子点中，电子一声子系统的哈密顿量为 日= 一鲁v 2 + 荟壳加口；：，( 七) ( d + 丢 ( 动( 七) j t ( k r ) y t m ( 只咖+ c 】+ y ( ，) 其中 f 0 r r 朋是电子的有效质量，畦( 七) 和( 七) 分别是体纵光学声子的产生算符和湮灭算符， 波矢j i = 等，五是，阶球贝塞尔函数，是 ( 肷) 的第甩个零点，( 七) 是电子一声 子相互作用耦合强度 h 篙a 寺一 汜3 ， 求解能量本征方程凰= 一i v 2 矽= 尉，得电子的能量本征值和本征波函数分别为 z 厅l e = 筹2 2 缇4 ， = g ( 打) ( p ，咖 ( 2 5 ) 其中c 时，吮是归一化常数，c o = 【一1 r s j t _ t ( k 9 ) l + , ( k a r ) i - 1 j i + 1 2 ”c 端岩# 眩6 ， 内蒙古民族大学硕士学位论文 5 u = e x p 【口j ：i ( 七) 乙( 七) 一口加( 七) 二( 七) 】 ( 2 7 ) 其中厶( 七) 是变分参量，得 日。= u 一1 月u 电子一声子系统的尝试波函数选为 ( 2 8 ) j b c n m ( r ，0 ，9 ) = c 耐m 加工( 打) ( 秒，缈) l o ) ( 2 9 ) 其中l o ) 为无微扰零声子态。则电子一声子系统的能量为 = ( 5 f ，砌1 日i y 砌) = 嘉磊+ 篆壳缈( 后) 1 2 + 篆 ( j | ) 厶( 七) ( 砌i 力( 扫) ( 只p ) f 沙砌) + 办名】 ( 2 1 0 ) 对尤( 七) 取变分，得 厶( 咖一去吃( j | ) ( f ，砌( 圪( 酬) ( 2 11 ) 将( 2 1 1 ) 式代入( 2 1 0 ) 式，可得体系的基态能量为 激发态能量为 = 嘉靠一；( 七) 1 2 昂= 嘉磊一；壳l 纵七) 1 2 相应的基态波函数和激发态波函数分别为 0 1 0 )，力= 了暑_ 1 0 ) 、t 7 “ 0 ( ，矗加岳型业铲蝴 取和沙0 2 。构成一个l - t - 比特 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 掣l o ) 4 1 。 ( 2 1 5 ) 6 球型量子点中极化子及量子比特的性质 妒= 击o y 咖) + l 缈啪) 】 量子比特随时间演化的规律为 如) = 扣曲a 0 ，) e x p ( 一竿脚嘲( r , o , q o ) 州一竿) 】 量子比特内电子的概率密度分布为 q ( ，矽，力= 眵) 1 2 = 吾8 y 湖1 2 + 2 f ，湖沙0 2 0c o $ ( t r 0 2 t ) + 陟锄1 2 】 其中= 毕：振荡周期为 丁= 堡：垫一 仃。e 。一e ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 2 2 数值计算结果与讨论 为了研究声子对球型量子点量子比特性质的影响，本文选取极化子单位， 7 = 2 m = c o l d = l ，即以耳= h o w 为能量单位，r p = 、h 2 m 功为长度单位， t o = 缈d 一为时间单位。取电子一声子耦合常数为口( 口= e 2 ( 1 e 。一1 e o ) 2 r 尸h c o w ) 。 选取g a a s 材料进行数值计算，其相关参数为：晶格常数a = o 5 6 5 n m ，口= o 0 7 ， r 。= 4 0 1n l i l ，h o o t , o = 3 5 3 3m e v 。数值计算结果列于图2 1 至2 5 中。 圈2 - 1 能量随量子点半径变化的曲线 f i & 2 一ll k i n t i o n n la 眦o f n a r d w i t hr a d i u s 内鼙古民族大学硕士学位论文 7 图2 - 1 表示电子或极化子的基态能量及激发态能量随量子点半径的变化关系。 由图可知，电子的基态及激发态能量尉“，尉”或极化子的基态及激发态能量 e ：_ ，匕均随量子点半径的增大而减小，说明球型量子点具有明显的量子尺寸效 应。从图中还可以看到，当考虑声子效应时，电子的基态与激发态能量均有所下降， 且声子对电子基态能量的影响要比对激发态能量的影响显著，导致基态与激发态的 能量差比不考虑声子效应时的能量差大。 图2 - 2 振薪周期随半径的变化关系 f i g2 - 2 r c l u j o m d a j m o f o i l l = i o np e , i o d w l t hr a d i u s 图2 2 表示量子比特的振荡周期与量子点半径的变化关系。其中和t + 。分别 表示不考虑声子效应和考虑声子效应时的振荡周期。从图中可以看到，c 和i + 。均 随着量子点半径的增大而增大。这是因为髓着半径的增大，虽然基态与激发态的能 量均减小，但激发态能量减小的速度比基态能量减小的速度快，导致基态与激发态 的能量差减小，振荡周期增大。从图中还可以看到考虑声子效应时振荡周期减小， 其原因是考虑声子效应时基态与激发态的能量差比不考虑声子效应时的能量差大， 导致考虑声子效应时振荡周期减小。这说明声子效应使量子比特的相干性减弱，且 量子点尺寸越大时声子效应越强，相干性越差。 8 球型量子点中极化子及量子比特的性质 a 图2 - 3 概率密度随角度9 的变化关系 f i g 2 3r e l a t i o n a la l r 、，eo f p r o b a b i l i t yd e n s i t yw i t h0 图2 3 表示量子点半径r = 1 6 r ，不同时刻概率密度随角度口的变化关系。图 中四条曲线分别表示径向坐标，= 1 5 r ，的空间点，在t = 0 2 t 和f = 0 6 t 时刻电子或 极化子的概率密度随角度的变化关系。( a ) 、( b ) 表示f = 0 2 t 时刻电子或极化子的 概率密度随角坐标0 的变化关系，( c ) 、( d ) 表示t = o 6 t 时刻电子或极化子的概率 密度随角坐标目的变化关系。从图中可以看出，对于给定球面上的空间点，量子比 特内电子或极化子的概率密度随时间和方位角秒的变化而变化，给定方位角目时，概 率密度随时间做周期性振荡；给定时间时，概率密度随方位角秒变化。 图2 4 表示不同尺寸量子点中量子比特的概率密度随时间的变化关系。图中四 条曲线分别表示半径r = 0 8 r p 的量子点中径向坐标，= 0 4 r e ，角坐标0 = 万2 的空 间点及半径r = j 5 c 。的量子点中径向坐标，= 0 5 尺p ，角坐标0 = 万2 的空间点的概率密 度随时间的变化关系。比较图中( a ) 、( b ) 或( c ) 、( d ) 可以看出，对于半径r 给 定的量子点，其量子比特内给定空间点的概率密度随时间做周期性振荡，声子效应 导致振荡周期缩短，振荡频率增大，但声子效应不改变概率密度的幅值。比较( a ) 、 ( b ) 和( c ) 、( d ) 可知，( c ) 、( d ) 随时间变化的规律与( a ) 、( b ) 相同，但不同 的是振荡周期较大，原因与图2 2 一致；概率密度幅值较小，原因是电子在空间各 点的概率之和为1 ，所以量子点愈大，各点的概率密度幅值愈小。则虽然( a ) 、( b ) 和( c ) 、( d ) 对应的都是秒= # 2 ，= r 2 的空间点，但它们随时间演化的规律不 尽相同。 a o 内蒙古民族大学硕士学位论文 9 图2 4 概率密度q 随时间的变化关系 f i g 2 4r e l a t i o n a lg u i w co f p r o b a b i l i t yd e n s i t yw i t ht i m e 图2 _ 5 概率密度o 随半径的变化 f i g 2 5r e l a t i o n a lc u r v co f p r o b a b i l i t yd e n s i t yw i t hr a d i u s 1 0 球型量子点中极化子及量子比特的性质 图2 5 表示r = 1 6 r p ，不同时刻护= 万2 方向上概率密度随半径的变化关系。( a ) 、 ( b ) 表示f = 0 5 5 t 时刻电子或极化子的概率密度随半径的变化关系；( c ) 、( d ) 表 示r = 0 7 5 t 时刻电子或极化子的概率密度随半径的变化关系；( e ) 、( f ) 表示r = 丁时 刻电子或极化子的概率密度随半径的变化关系。从图中可以看出概率密度随径向坐 标和时间的变化而变化。在给定时刻，概率密度随径向坐标的变化而变化，在球中 心处概率密度不变，这是因为当半径，趋于零时，五( 鼢) 趋于零，而o ( k r ) 趋于一个 常数，因此在球中心处概率密度不变；在球边缘处概率密度为零，这是因为电子被 限制在无限深的球型势阱中运动；在球半径一半处概率密度幅值最大。由图还可以 看出所有球面上的点均随时间做周期性振荡。 2 3 结论 本文以球型量子点中电子一声子相互作用系统为模型，通过精确求解能量本征 方程、幺正变换和变分等方法，研究了球型量子点中量子比特的声子效应。数值计 算结果表明，电子或极化子的基态与激发态能量均随量子点尺寸的增大而减小，说 明球型量子点具有明显的量子尺寸效应，且基态能量减小的程度相对较大，导致量 子比特的振荡周期随量子点尺寸的增大而增大。考虑声子效应时，基态与激发态的 能量均减少，与无声子效应相比，能级差增大，振荡周期减小，说明声子效应使量 子比特的相干性减弱，且量子点尺寸越大声子效应越强，量子比特的相干性越差。 量子比特内各个空间点的概率密度随时间和坐标的变化而变化，当空间点给定时， 概率密度随时间做周期性振荡，声子效应导致振荡周期缩短，振荡频率增大，但声 子效应不改变概率密度的幅值；当时间和方位角给定时，概率密度随径向坐标的变 化而变化，在球心处概率密度不变，在球半径一半附近概率密度幅值最大，在球边 缘处概率密度趋于零；当时间和径向坐标给定时，概率密度随角坐标的变化而变化， 不同方位的概率密度幅值不同。 内蒙古民族大学硕士学位论文11 第三章球型量子点中极化子的温度效应 通过精确求解能量本征方程、幺正变换、变分以及元激发理论方法，研究了球型 量子点中极化子的温度效应。 3 1 理论模型 在半径为r 的球型量子点中，电子一声子系统的哈密顿量为 日= 一等v 2 + 荟壳国加口二( 七) 口f 舯( 动+ 丢【坛( 七) ( 七m ( b ) ( 幺咖+ k 】+ 矿( 厂) 其中 ( 3 1 ) 10 r r r e ( r ) = ( 3 2 ) io or r m 是电子的有效质量，口二( 七) 和( 七) 分别是体纵光学声子的产生算符和湮灭算符， 波矢七芦等，力是7 阶球贝塞尔函数，是五( 欣) 的第甩个零点，( 七) 是电子一声 子相互作用耦合强度 ，= 锚，；亡一 c s 3 ， 求解能量本征方程皿妒= 一? ；v 2 矽= e ，得电子的能量本征值和本征波函数分别为 e = 磐 ( 3 4 ) 纯抽= e ，虮力( 扫) 圪( 9 ，力( 3 5 ) 其中，帆是归一化常数，c 。= 一i i j 瓦万2 历而一 = c 错一 陬6 ) 对哈密顿量进行幺正变换 1 2球型量子点中极化子及量子比特的性质 u = e x p 【口二( 七) 乙( 七) 一9 i j ，l ( 七) 二( 七) 】 ( 3 7 ) 其中厶( 七) 是变分参量，得 日= u 一1 月u 电子一声子系统的尝试波函数选为 ( 3 8 ) y 椭( ，0 ，力= q ( 知) k ( 口，们h 七) ( 3 9 ) 其中i ) 为声子态。则电子一声子系统的能量为 = ( 例) = 嘉磊+ y 舭7 l 阮( 七) 1 2 + ；壳仇 + ( 七) 厶( 七) ( l 乃( 鼢) ( 秒，矽) l ) + r 】 n m ( 3 1 0 ) 对丘( 七) 取变分，得 厶( 七) = 一h ：- o l l o 吃( 七) ( 少砌( 妇) 圪( p ，咖i 少砌) ( 3 - 1 1 ) 将式( 3 1 1 ) 代入式( 3 1 0 ) ，可得体系的基态能量为 相应的基态波函数为 ( 3 1 2 ) 杪咖( 厂，幺力= 了c 4 0 万os i n k ( k o ，o r ) 心) ( 3 1 3 ) 在有限温度下，极化子并不完全处于基态，晶格振动激发实声子，根据量子统计 力学可知 瓦= 【e x p 一l 】- l ( 3 1 5 ) 其中厂寺，= i h e o o ，7 为温度参数，_ 啪波尔兹曼常数。 3 2 数值计算结果与讨论 为了研究球型量子点中极化子的温度效应，本文选取极化子单位，壳= 2 m = 缈 内蒙古民族大学硕士学位论文1 3 = l ，即以廓= h c o 加为能量单位，r p = 、h 2 m c o m 。为长度单位，选取q a s 材料进 行数值计算，其相关参数：晶格常数口= 0 5 6 5 n m ，r p = 4 0 1n m ，j l 缈加= 3 5 3 3m e v 。 数值计算结果列于图3 - 1 至3 3 中。 1 r 图3 - 1 极化子基态能量随温度的变化关系 f i g 3 - lr e l a t i o n a lc 1 1 v co f e n e r g yw i t ht e m p e r a m r e 图3 - 1 表示量子点半径r = 1 6 r p 时极化子基态能量随温度参数y 的变化关系。从 图中可以看出，当y 1 时，即0 t 耳时，极化子的基态能量不变。此时，七疗t j l 缈，疗， 说明电子热运动能量很小，不足以激发声子，则极化子基态能量保持不变。当0 壳彩：d ，电子的热运动能大于声子能量，声子可以被激发，温度越 高，七r r 越大，激发的声子数越多，极化子能量愈高。 图3 - 2 表示在温度参数分别为y = 0 3 ，y = 0 5 ，厂= 0 8 ，厂= l 时，极化子基态能量随 量子点半径的变化关系。从图中可以看出，在不同的温度下，基态能量随着量子点半 径的增大而减小，说明球型量子点具有明显的量子尺寸效应。此外，从图中还可以看 出，当量子点半径一定时，极化子基态能量随温度的升高而增大，且温度越高，极化 子的温度效应越显著。这是因为，温度越高，声子越容易被激发，则极化子基态能量 越大，与图3 - 1 的结论一致。 1 4 球型量子点中极化子及量子比特的性质 图3 - 2 在不同的温度下极化子基态能量随量子点尺寸的变化 f i g 3 - 2r e l a t i o n a lc u i v co f e n e r g yw i t hr a d i u sa td i f f e r e n tt e m p e r a t u r e 图3 1 3 极化子基态能量随耦合常数口的变化关系 f i g 3 3r e l a t i o n a lc u r v eo f e n e r g yw i t h 口 磐分 内蒙古民族大学硕士学位论文 15 图3 - 3 表示极化子基态能量随电子一声子耦合常数口的变化关系。从图中可以看 出极化子基态能量随电子一声子耦合强度的增强而减小。这是因为耦合强度愈大时， 电子一声子相互作用愈强，电子一声子相互作用能的绝对值愈大，导致极化子基态能 量减小。 3 3 结论 通过精确求解球型量子点的能量本征方程、幺正变换、变分及元激发理论方法， 得到量子点中极化子的基态能量，讨论了温度对球型量子点中极化子性质的影响。数 值计算表明，当七日t 毳缈，时，极化子的基态能量随温度的升高而增 大，这是因为温度升高，电子热运动能量增大，更多的声子被激发，导致极化子能量 增大。当温度一定时，极化子的基态能量随量子点半径的增大而减小，这说明了球型 量子点有明显的尺寸效应。此外，数值计算还表明，极化子的基态能量随电子一声子 耦合强度的增大而降低，这是因为电子一声子相互作用越强，电子一声子相互作用能 的绝对值就越大，极化子基态能量就越小。 1 6 球型量子点中极化子及量子比特的性质 第四章总论 本文采用求解能量本征方程、l l p 幺正变换、变分及元激发理论等方法，得到了 电子一声子体系的基态和激发态能量及相应的基态波函数和激发态波函数，以基态和 激发态为基础构造一个量子比特。研究了球型量子点中量子比特的性质及声子效应对 量子比特性质的影响。还研究了球型量子点内极化子的温度效应，其体得到以下结论： ( 1 ) 量子点中电子或极化子的基态与激发态能量均随量子点尺寸的增大而减小， 说明球型量子点具有明显的量子尺寸效应，且激发态能量减小的程度相对较大，导致 量子比特的振荡周期随量子点尺寸的增大而增大。 ( 2 ) 考虑声子效应时，量子点中基态与激发态的能量均减少，与无声子效应相 比，两能态的能级差增大，量子比特的振荡周期减小，说明声子效应使量子比特的相 干性减弱，且量子点尺寸越大声子效应越强，量子比特的相干性越差。 ( 3 ) 量子点中量子比特内各个空间点的概率密度均随时间和空间坐标的变化而 变化。当空间点给定时，概率密度随时间做周期性振荡，声子效应导致振荡周期缩短， 振荡频率增大，但声子效应不改变概率密度的幅值；当时间和方位角给定时，概率密 度随径向坐标的变化而变化，在球心处概率密度不变，在球半径一半附近概率密度幅 值最大，在球边缘处概率密度趋于零；当时间和径向坐标给定时，概率密度随角坐标 的变化而变化，不同方位的概率密度幅值不同。 ( 4 ) 球型量子点中极化子的基态能量与温度有关，当后。t h a r m 时，极化子的基态能量随温度的升高而增大，这是因为温度升高，电子 热运动能量增大，更多的声子被激发，导致极化子能量增大。 ( 5 ) 球型量子点中极化子的基态能量随电子一声子相互作用耦合强度的增大而 降低，这是因为电子一声子相互作用越强，电子一声子相互作用能的绝对值就越大， 极化子基态能量就越小。 内蒙吉民族大学硕士学位论文1 7 参考文献 lf e y n m a nr ps i m u l a t i n gp h y s i c s 州廿lc o m p u t e r s 【j 】i n tjt h e o rp h y s i c s ，1 9 8 22 1 ( 6 7 ) ：4 6 7 - 4 8 8 2f e y n m a nreq u a n t u mm e c h a n i c a lc o m p u t e r 【j 】o p t i c a ln e w s ，1 9 8 6 ，1 6 ( 6 ) ：5 0 7 - 5 31 3d d e u t s c h q u a n t u mt h e o r y , t h ec h u r c h - t u r i n gp r i n c i p l ea n dt h eu n i v e r s a lq u a n t u mc o m p u t e r 阴 p r o c e e d i n g so f t h er o y a ls o c i e t yo f l o n d o na ，1 9 8 5 ，4 0 0 ：9 7 - 11 7 4d j ) e u t s c h , r j o z s a r a p i ds o l u t i o no fp r o b l e m sb yq u a n t u mc o m p u t a t i o n 叨i np r o c e e d i n g so ft h e r o y a ls o c i e t yo fl o n d o n , 19 9 2 ，a4 3 9 ：5 5 3 5 5 8 5e w s h o r a l g o r i t h m sf o rq u a n t u mc o m p u t a t i o n ：d i s c r e t el o ga n df a c t o r i i l g 阴i np r o c e e d i n g so ft h e 3 5 t ha n n u a ls y m p o s i u mo ff o u n d a t i o no fc o m p u t e rs c i e n c e m i e e ec o m p u t e rs o c i e t y p r e s s ，1 9 9 4 ，1 2 4 -