（概率论与数理统计专业论文）马氏骨架过程理论在两个数学模型中的应用.pdf

摘要 马尔可夫骨架过程是一类较为综合的随机过程，它包含了许多 随机过程，如马尔可夫过程、半马尔可夫过程、逐段决定马尔可夫 过程等一系列经典的随机过程，有着重要而广泛的理论和应用价值。 马尔可夫骨架过程是侯振挺等人于1 9 9 7 年首次提出，并在后来 的研究工作中得到进一步的补充完善，广泛应用于分支过程、存储 论、排队论等领域，成功地解决了排队论等问题的瞬时分布、极限 分布、遍历性等经典难题，同时也提出了许多新问题和新设想。 本文采用马氏骨架过程理论，特别是d o o b 骨架过程理论，研究 再生分支过程和多类型分支过程。在模型中各个随机变量均服从一 般分布的条件下，得到如下结果： 一、以粒子分裂为例将经典的分支过程进行推广到再生分支过 程，进而得出再生分支过程的瞬时分布和极限分布； 二、以粒子分裂为例将经典的两性分支过程推广到有限维多类 型分支过程，进而得出有限维多类型分支过程的瞬时分布。 关键词分支过程，马尔可夫骨架过程，d o o b 骨架过程，瞬时分布， 极限分布，多类型分支过程 a bs t r a c t m a r k o vs k e l e t o np r o c e s si sak i n do fc o m p a r a t i v e l yc o m p r e h e n s i v e s t o c h a s t i cp r o c e s s i tc o n t a i n sal o to fc l a s s i c a ls t o c h a s t i cm o d e l s ，s u c h a st h em a r k o vp r o c e s s ，s e m i m a r k o vp r o c e s sa n dm a r k o vd e c i s i o n p r o c e s s i th a saw i d er a n g eo fi m p o r t a n t t h e o r i e sa n dp r a c t i c a lv a l u e s m a r k o vs k e l e t o np r o c e s si sp r o p o s e db yp r o f e s s o rh o uz h e n t i n gf o r t h ef i r s tt i m ei n19 9 7a n dh a sb e e np e r f e c t e di ns u b s e q u e n tr e s e a r c h i ti s w i d e l yu s e di nm a n yf i e l d s ，s u c ha sb r a n c h i n gp r o c e s s e s ，s t o r e dt h e o r y , q u e u i n gt h e o r ya n ds o o n i th a ss u c c e s s f u ll yr e s o l v e dm a n yc l a s s i c a l p r o b l e m s s u c ha si n s t a n t a n e o u sd i s t r i b u t i o n ，l i m i t i n gd i s t r i b u t i o n ， e r g o d i c i t yi nq u e u i n gt h e o r y a n u m b e ro fn e wi s s u e sa r ep r o p o s e da tt h e s a m et i m e i nt h i sp a p e r , w em a i n l ys t u d yt h er e g e n e r a t i o nb r a n c h i n gp r o c e s s e s a n df i n i t e d i m e n s i o n a lb r a n c h i n gp r o c e s s e sb yt h et h e o r yo fm a r k o v s k e l e t o np r o c e s s ，e s p e c i a l l yt h et h e o r yo fd o o bs k e l e t o np r o c e s s a st h e m o d e l sa r ea l ls a t i s f i e dt h en o r m a ld i s t r i b u t i o n ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n g r e s u l t s ： f i r s t ，w eju s tt a k et h ep a r t i c l es p l i ta sa ne x a m p l et op r o m o t et h e c l a s s i c a lb r a n c hp r o c e s st ot h er e g e n e r a t i o nb r a n c hp r o c e s s t h e nw eg e t t h ei n s t a n t a n e o u sd i s t r i b u t i o n a n dt h el i m i td i s t r i b u t i o no ft h e r e g e n e r a t i o nb r a n c hp r o c e s s i i s e c o n d ，w ej u s tt a k et h ep a r t i c l es p l i ta sa ne x a m p l et op r o m o t et h e c l a s s i c a la m p h o t e r i cb r a n c hp r o c e s st ot h ef i n i t e d i m e n s i o n a m u l t i - t y p e b r a n c hp r o c e s s t h e nw e g e tt h e i n s t a n t a n e o u sd i s t r i b u t i o no ft h e f i n i t e d i m e n s i o n a lb r a n c h i n gp r o c e s s k e yw o r d sb r a n c hp r o c e s s ，m a r k o vs k e l e t o np r o c e s s ，d o o b s k e l e t o n p r o c e s s ， i n s t a n t a n e o u s d i s t r i b u t i o n ，l i m i t d i s t r i b u t i o n ， m u l t i p l e t y p eb r a n c hp r o c e s s i i i 硕十学位论文 第一章绪论 1 1 选题背景及意义 第一章绪论 马尔可夫骨架过程是侯振挺教授等于1 9 9 7 年首次提出的一类较为综合的 随机过程，它包含了许多随机过程模型，如马尔可夫过程、半马尔可夫过程、 逐断决定马尔可夫过程等一系列经典的随机过程，具有重要的理论和应用价值。 之后，马尔可夫骨架过程理论的研究得到进一步的补充完善，广泛应用于分支 过程、存储论、排队论等领域，成功地解决了排队论等问题的瞬时分布、极限 分布、遍历性等经典难题，同时也提出了许多新问题和新设想。 从经典分支过程的提出到今天，分支过程已经发展了一个多世纪，经历了 从简单到复杂的发展历程，逐渐从单一性走向多样性。可以说，经典分支过程 是其它分支过程的基础。在对分支过程性态的研究中，前人的研究工作多是借 助矩母函数和密度演化法来实现的。分支过程作为应用随机过程中一个重要的 分支，其应用领域相当广泛。 本文在前人研究成果的基础上，以粒子分裂为例将经典的分支过程进一步 推广到再生分支过程：初始为一个粒子系统中，一个粒子分裂后不一定死去， 该粒子和新生粒子一样作为新生粒子重新参与分裂；各粒子分裂过程相互独立 的；分裂过程具有时问齐次性；若粒子系统以概率1 灭绝后，又以某一非负随 机变量恢复为一个新的粒子；各粒子分裂与该粒子的历史有关，即过程中个体 的分裂时间不是服从负指数分布而是服从一般分布。 本文探讨的第二个问题是多类型分支过程的概率分布。上世纪七八十年代， d a l e y 5 5 在他的文章中最先引入了两性分支过程模型( 主要是考虑到自然界中 许多物种的繁殖必须由两种不同性别的个体构成的配对来完成) 。我们探讨多类 型分支过程是两性分支过程的深化和推广。以会融领域银行承担的风险为例， 随着经济全球化、金融自由化、市场多元化的深入发展，单一的信贷风险可能 产生诸如信用风险、利率风险、市场风险、流动性风险、操作风险、声誉风险、 策略风险、法律风险等等，而在规避某一或某些风险时，将面临其它风险的改 变，这种互动效应就是我们研究多类型分支过程的现实基础。 硕十学位论文第一章绪论 从粒子分裂上讲，同一粒子的不同属性在研究中存在价值。从研究粒子属 性多样性的角度，得出多类型分支过程的概率分布有其现实意义。在这里我们 假设每一类型粒子分裂过程中，分裂时间均服从一般分布，相互独立且具有时 齐性。 本文中所做的工作是采用马氏骨架过程理论，特别是d o o b 骨架过程理论， 在上述模型的基础上得出：一、将经典的分支过程推广到再生分支过程，进而 得到它的瞬时分布和极限分布；二、将两性分支过程推广到有限维多类型分支 过程，并对满足一般分布的多类型分支过程给出了它的瞬时分布。 1 2 论文主要内容和结构 本文主要是对再生分支过程和多类型分支过程的模型进行描述，并对其瞬 时分布和极限分布进行研究。 第一章是绪论，主要介绍论文的选题背景及意义，以及论文的主要内容和 结构。 第二章是基础知识，就分支过程中的经典的分支过程、两性分支过程、马 尔科夫骨架过程、向前与向后方程、正则性、极限理论等，在前人研究成果的 基础上，简单介绍了再生分支过程和多类型分支过程相关的理论发展、研究动 态、及其主要结果。 第三章是再生分支过程，主要再生分支过程的模型进行描述，研究粒子分 裂过程服从一般分布的情况下，利用马尔可夫骨架过程的理论给出了过程的瞬 时分布所满足的方程组及其极限分布。 第四是多类型分支过程，主要对多类型分支过程的模型进行描述，研究粒 子分裂服从一般分布的情况下，该过程的瞬时分布。 第五章是结论与展望，总结了论文的主要结论，以及下二步可能研究的问 题。 硕十学位论文 第：章预备知识 2 1 分支过程 2 1 1 经典分支过程 第二章预备知识 1 8 7 4 年g a l t o n 和w a t s o n 为探究英国贵族姓氏继承及谱系消亡问题建立了 一种新的随机过程模型，此随机过程模型即为经典分支过程。此期问h a r r i s 1 、 a t h r e y a 和n e g 3 等人又将此模型进行了推广，提出了多重分支过程模型和移 民分支过程模型，对这些模型进行了深入探究并得出了一系列研究成果，这类 模型在近代物理、生物、医学、化学、运筹、人口统计、工程、经济等领域有 广泛的应用。 从经典分支过程的提出到今天，已经发展了一个多世纪，经历了从简单到 复杂，从单一性走向多样性的发展历程。 g a l t o n w a t s o n 分支过程模型是：假设过程发展中不同个体相互独立，遵 循同样的分布规律乃( = o ，1 ，2 ，) ( p j 表示一个新生者繁衍出j 个后代的概 率) 。这种时齐性假设给数学处理及许多实际模型的简化带来了极大的方便，在 当时能解决很多诸如姓氏继承及谱系消亡问题。令乙表示“第聆代家族成员数” m 尼) j = p 。s = 厂( s ) k = ok = o 是个体繁衍后代数的概率母函数。 令 g = l i mp ( 乙= o ) 表示( z 。，力= 0 ，1 ，2 ，) 的灭绝概率。则有： 引理2 1 ig a l t o n w a t s o n 分支过程 乙，疗= 0 ，1 ，2 ，) 的灭绝概率g 是方程 s = f ( s ) 的最小非负根。且当m = f 7 ( 1 ) l 时，g = 1 ； 当聊= f ( 1 ) 1 时，垡 1 。 证明：见文 1 硕十学位论文第二章预备知识 2 1 2 随机环境分支过程 近年来，对分支过程的研究转向了随机环境中的分支过程( b p r e ) 。这一概 念最早是由s m i t h 7 和w i l k i n s o n 8 提出，他们在一般g a l t o n - w a t s o n 分支过 程的基础上增加了环境随机变量，于1 9 6 9 年建立了独立同分布随机环境中的分 支过程 9 ，并在1 9 7 1 年提出了m a r k o v 环境中的随机环境分支过程 6 ，同年， a t h r e y a 和k a r l i n 又建立了平稳遍历环境中的随机环境分支过程 4 。随机环 境中的分支过程的建立在某种意义上弥补了g a l t o n w a t s o n 分支过程因时齐性 假设而造成的应用上的局限性，用随机环境中的分支过程可以得到更精确更深 刻更符合实际的结果，随机环境分支过程在这种背景下应运而生。 s m i t h 7 和w i l k i n s o n 8 证明了在独立同分布随机环境中的分支过程与 g - w 分支过程一样，当刀一时，过程或者灭绝或者无限大，而不会稳定在一 定的规模上。 有关随机环境分支过程的定义归纳如下： 定义2 1 1 设 乙 为定义在某概率空间( q ，f ，p ) 上的取非否整数值的随 机变量序列且 z o = k ， ( 刀= 0 ，1 ，2 ) ；g e ek 为某指定的常数，刀= 0 , 1 ，2 为随机环境。 若对每个n ，当给定所有厶，乙及 旁 ( o 所胛) 时，酚：歹= 0 ，1 ，2 为 相互独立且服从同一概率分布律切，( 氕) ：= 0 , 1 ，2 或具有相同概率母函数 靠( s ) 的随机变量序列，则称 z 。) 是初值为k 的伴有随机环境的随机环境分支 过程 4 。 显然如此定义的随机环境分支过程，其第刀代的个体独立繁殖第疗+ l 代新 个体时，不再像g w 分支过程一样依赖于一个不变的概率分布律 切：= o ，1 ，2 j 或概率母函数( s ) ，而是随刀的不同，依赖于由环境台。) 的状 态所决定的概率分布律如( 厶) ：j = o ，1 ，2 ；或概率母函数“( s ) 。 主要结论有： 4 影 乙闰 i | +糟 z 硕+ 学位论文第二：章预备知识 ( i ) 独立同分布环境，即随机环境舌。，疗= o ，1 ，2 为一列独立同分布随机 环境变量。s m i t h 与w i l k i n s o n 于1 9 6 9 年利用 z 。) 在独立同分布环境中取个 任何有限正整数均为瞬时状态的马尔可夫链的性质，使用更新过程的分析技巧 结合关于独立随机变量和波动理论的方法，得到以下结论 4 ： ( 1 ) 在独立同分布环境中，当刀趋于无穷时， z 。) 或灭绝或无限大，而不 会停留在一定的规模上。即： p 乙一。或乙寸o o ) = l o 寸) ； ( 2 ) 对于s m i t h w i l k i n s o n 随机环境分支过程 z 。) ， e 1 0 9 囝矗( 1 ) i 0 且el l o g ( 1 一m 厶( o ) ) i o 且e i l o g ( 1 一“( o ) ) i o 。时，q i 。 自s t e v e n0 r e y l 9 9 1 年在概率年刊( t h ea n n a l so fp r o b a b i l i t y ) 发表特 邀论文“随机平稳转移概率的m a r k o v 链”以来，在国外一直很时髦的随机环境 过程研究自然也引起了国内许多学者的关注和参与。如钱敏平等 1 6 的随机树 匕随机游动研究：武汉大学胡迪鹤f 3 8 f 6 8 等的随机环境中线性控制分支链研 硕十学位论文 第二章预备知识 究以及随机环境中生灭过程研究：中山大学戴永隆等的随机环境中随机游动研 究；上海大学王汉兴的随机环境中依人口数分支过程等方面的研究等，其中有 很多很好的结果。但是随机环境过程研究，溯其根源，首开先河的是对随机环 境分支过程的研究。作为经典分支过程的推广和发展，随机环境中分支过程可 以更加精确更加合理地模拟自然界中各种现象的发展规律，从而其研究结果可 以更如实地解释人们在现实世界中观察到的种种现象，也更加具有说服力。当 然可以应用于粒子裂变、核连锁反应、细胞分裂、人口理论及流行病学等领域。 由于分支过程具有马尔可夫性，而且可以视其为以“0 ”为吸收壁的一种随机游 动，故其研究结果与方法对研究随机环境马尔可夫过程和随机环境中的随机游 动，以及更一般的随机环境随机过程都有一定的启发性和指导意义。 2 1 3m a r k o v 分支过程模型及主要结论 上面所列出的分支过程都是离散时间离散状态的分支过程，现将 g a l t o n w a t s o n 分支过程推广到一维m a r k o v 分支过程即将其时间参数连续化。 当然将一维m a r k o v 分支过程多维化就得到多类型连续时间g - w 分支过程。现就 一维m a r k o v 分支过程模型及其主要结论进行概述。 m a r k o v 分支过程是在假定个体分裂时问服从指数分布的前提下进行研究 的，即假定 ( 1 ) 各粒子的分裂情况是相互独立的； ( 2 ) 各粒子的分裂情况与该质点的历史无关，即分裂情况无后效性； ( 3 ) 时齐性，即各粒子在区间 s ，s + t 内的分裂个数与时刻s 无关； 具体模型如下： 假设零时刻系统中有一个粒子，经过服从参数为a 的指数分布时间后，该 r1 粒子按照分布律 马o ，j = o ，2 ，3 ，；p = l 分裂。即分裂成歹个后代的 l j = 0 “2 j 概率为p ，( = o ，2 ，3 ，) ，然后，此个后代相互独立地仍然按服从参数彳的指 f1 数分布时间且按照相同的分布律 乃o ，j = o ，2 ，3 , oo - o ；乃= 1 分裂，且其 lj = o “2 ”j 分裂过程是相互独立的，并且与总的粒子数量无关，随着时间的演化，系统中 6 硕十学位论文 第二- ：章预备知识 个体重复上述分裂过程，分支过程就是研究有此规律的模型。本文中我们仅讨 论分布律满足鸩 - 静川，且= f 志出 硎灭绝概率g 0 ( m 中的每个元素为 正) ，p 为m 的最大特征根。如果p 1 ，那么q = ( 1 ，1 ) ；如果p l ，那么q ( 1 ，1 ) 。 且g 是s = ( j ) ( s 1 ) 的最小非负解 6 7 。 证明：见文1 2 3 马尔可夫骨架过程 设 e ，占) 是一- 1 n 卒- f a j ，j = x ( ，缈) ，o t o o ) 是定义在完备的概率空间 ( q ，f ，户) 上取值于 e ，s 上的随机过程， f 工，f 芝o 是x 的自然仃一代数流，q 为 推移算子：( 谚彩) ，= 缈，( 缈，) ，加q 。 定义2 3 1 称随机过程x = x ( ，c o ) ，o t o o ) 为马尔科夫骨架过程，如果存 在一停时列 乙 脚，满足 ( 1 ) = o r r 。个r ，并对任意的n o ，乙 o oj 0 + l ； ( 2 ) 对于一切珂= 0 , 1 ，2 ，有r = r 。+ 吒f l 硕十学位论文第一二章预备知识 ( 3 ) 对每个乙和任意定义在e ) 上的有界0 曲) 一可测函数，有 e i f ( x ( r + ”i ，? l = e t f ( x ( r + ) ) lx ( l ) 1 ，p a a r 其中q h = ( 彩：l ( 缈) 0 ，彳n ( 缈：l f ) 仨f ) 是q 上的仃 代数。我们把 厶) 脚叫做马尔科夫骨架过程x = x ( ，缈) ，o ， o o 的骨架时序 列。进而，如果在q 如上有 e 厂( x ( 乙+ ) ) if h x 】= e 【厂( x ( 吒+ ) ) lj ( l ) 】= 。，i f ( x ( ”】，p 一口j 成立，则称x 是时齐的马尔科夫骨架过程，记为m s p 。这里t ( ) 表示对应于 尸( i x ( 0 ) = x ) 的期望。 注2 3 1 在本文中，设e 为p o l i s h 空间，是b o r e l 仃代数，q 是定义在 职+ = 【o ，o o ) 上取值于e 的右连续函数空间。我们考虑取值于e 的右连续随机过 程x = x ( ，c o ) ，0 ， o o 。 注2 3 2 由于p o l i s h 空间可度量化，可视x 是定义在度量空间上的右连续 随机过程，所以x 关于 f ，f o ) 是循序可测的。故x ( 乙) 和厂( x ( l + ) ) 是可 测的，这罩厂是( e i o ，g 【o ) ) 上的可测函数。 设x = x ( t ，c o ) ，0 ， o o ) 是一马尔可夫骨架过程，令巩= ( 吒，x ( 吒) ) ，行0 ， 这里c r o = o ，吒= 毛一乙- l ，刀1( 约定：o o o o = 0 ) ，则巩，聆0 是取值于可测空 问( 瓞+ e ，b ( 瓞+ ) s ) 的随机变量序列。 命题2 3 1 如果x = 彳( ，国) ，0st ) 是以 f 。) 二为骨架时序列的马尔可 夫骨架过程，则f 川一f 。是o - ( x ( r 。+ ，) ；，0 ) 一可测的。 证明： 由f 。是一停时可知它是只一可测的，从而存在一可测函数和一 序列 1 1r , f 2 ，) 使得 丁l ( 彩) = f ( x ( t l ，功) ，x ( t 2 ，缈) ，) 从而由 r 。+ l f 。= 先f l = f ( x ( r 。+ ) ，x ( r 。+ f 2 ) ，) 1 硕十学位论文第二章预备知识 可得f 川一f 。是a ( x ( r 。+ ，) ；，0 ) 一可测的 注2 3 3 在本文中，设e 为p o l i s h 空问，s 是b o r e l 口代数，q 是定义在 r + = 【o ，c o ) 上取值于e 的右连续函数窄间。我们考虑取值于e 的右连续随机过 程x = x ( f ，缈) ，0 t o 。 。 注2 3 4 由于p o l i s h 空问可度量化，可视x 是定义在度量空问上的右连续 随机过程，所以x 关于 f x ，f o 是循序可测的。故( l ) 和八x ( 毛+ ) ) 是可 测的，这里厂是( 一呐) ，g 吣) 上的可测函数。 设z = x ( ，c o ) ，0 ， o o ) 是一马尔可夫骨架过程，令巩= ( 吒，j ( o ”，刀0 ， 这罩= 0 ，o - = 乙- r - l 刀1( 约定：0 0 - - 0 0 = o ) ，贝| j 仉，刀o 是取值于可测空 间( 乏+ e ，b ( r + ) 占) 的随机变量序列。 2 4 正则性准则 为了讨论方便，我们假定马尔可夫骨架过程x = x ( ，) ，0 f 是不中断的( 或 称正则的) 。实际上，上面定理2 4 1 2 4 3 对于中断的马尔可夫骨架过程 x = x ( ，) ，o t 0 x ( o ) = x ) 0 ， 则彳正则。 硕十学位论文 第二章预备知识 2 5 向前和向后方程 定义2 5 1 称时齐的马尔可夫骨架过程x = x ( t ，缈) ，0 ， 砟x ( f 。淤 尸一日譬 p ( x ，彳) = 尸 彳( ，) 4 x ( o ) = x ) g ( 工，d s ，d y ) = - e ( r 。d s ，x “咖l x ( o ) = x ) 定理2 5 1 设x = x ( ，) ，0 ) 是以( r 。) 二为骨架时序列的正规的马尔可夫 骨架过程，则对于任意的x e ，f 0 ，a 占有 尸( 五厶彳) = 办( 五f ，彳) + f ( 喜g 扣) ( x ，凼，咖) ) 办( y , t - s , a ) ( 2 - 5 - 1 ) 从而 尸( x ，么) ) 是如下非负方程的最小非负解： p ( x ，彳) = 办( x ，f ，么) + i q ( x , d s ，d y ) p ( y 。，一s ，么) ，z e ，t 0 ，彳占( 2 - 5 2 ) 方程组( 2 - 5 2 ) 称为正规马尔可夫骨架过程x = x ( ，) ，0 ) 的向后方程组。 h ( x ，彳) ) 记作h ， g ( x ，a r t ，a y ) ) 记作q 由定理2 6 可知x ( t ) 的一维分布由( h ， q ) 唯一决定。 定义2 5 1 如果存在测度簇垂= 盆( x ，d t ，方) ) 御，使得对于任意的 x e ，0 ，a g f 办( y ，h ，彳) g ( x ，d s ，砂) = f 办( 喵d y ) z l ( y ，d s ，爿) ( 2 - 5 - 2 ) 1 4 硕十学位论文 第二章预备知识 则杯如卜万槿组； 尸( f ，彳) = j l i ( 五，彳) + 互f 只墨，一j ，砂琦( 弗凼，么) x e ，o ，a 占( 2 - 5 - 3 ) 为马尔可夫骨架过程彳= 彳( ，) ，o ) 的向前方程组。 令 香( 1 ) ( x ，d s ，d y ) = 蚕( x ，d s ，砂) 西2 ( x ，d s ，砂) = f ( x ，d s ，沈) 香( z ，一j ，方) 毒( x ，凼，砂) = f 西p 1 ( x ，出，比) 牙( z ，- s ，咖) 定理2 5 2 如果存在满足等式( 3 2 3 ) 的q = 盆( x ，d t ，咖) ) 脚，则马尔可夫 骨架过程x = x ( f ) ，f o ) 的转移概率尸( x ，爿) = p x ( f ) 爿l x ( o ) = x 也是向前 方程组( 2 - 5 - 3 ) 的最小非负解 证明利用数学归纳法可得。 令 ( x ，彳) = f p 劫厶( x ，f ，4 ) 协 吼( x ，彳) = f p g ( 列，彳) 衍 只( x ，彳) = p 办尸( x a ) c l t g ? ( x ，彳) = j c o e - u q 月( x ，a ) a t 于是由定理2 5 2 得： 定理2 5 3 设x = x ( f ) ，t o ) 是以 f 。) 二为骨架时序列的正规的马尔可 夫骨架过程，则对于任意的x e ，彳 0 ，a s ，有 驰埘圳州) + 喜g ( 功蹦y 5 _ 4 ) 从而 只( x ，彳) l 是如下方程的最小非负解。 硕十学侮论文第二章预各知识 只( x ，彳) = ( x ，么) + i e q ( x ，d y ) p _ ( y ，彳) 方程( 2 5 5 ) 也称为x 的向后方程。 同样，我们也把与( 2 - 4 - 6 ) 等价的方程 只( x ，a ) = ( x ，彳) + l 只( x ，砂) 毒a ( 夕，彳) 叱 称为x 的向前方程，其中毒量( x ，彳) = 弘一刀毒( x ，a ) d t 0 ( 2 5 5 ) ( 2 5 - 6 ) 由定理2 5 1 知正规马尔可夫骨架过程应是我们进一步研究的对象。这罩我 们给出马尔可夫骨架过程成为正规马尔可夫骨架过程的一个充分条件，这个条件 就是过程轨道以概率1 处处有左极限。在实际应用中，到目前为止，我们所遇到 的马尔可夫骨架过程都具有这个性质。 2 6 极限理论 定义2 6 1 设 x ( ，) ；t 0 ) 是( p ，f ，q ) 上的取值于( e ，s ) 的随机过程， p ( x ，t ，a ) = p ( x ( t ) ax ( 0 ) = x ) 。若对于任意的x e ，a s ， l i m p ( x ，t ，a ) 存在且与x 无关，并且p ( a ) 兰l i m p ( x ，t ，a ) ( 彳占) 是( e ， 上的概率分布，则称 x ( f ) ；t 0 ) 的极限( 概率) 分布存在，称p ( ) 为 x ( ，) ；t 0 ) 的极限( 概率) 分布。 定义2 6 2 设 x ( ，) ；t o ) 是一个以 7 。) 为骨架时序列的马尔可夫骨架过 程。如果存在( e ，e ) 上的概率测度7 r ( ) ，使得对于任意的a 窟 p ( x ( r 1 ) ax ( o ) = x ，y l = s ) = p ( x ( y 1 ) a ) = x ( a ) 则称 x ( f ) ；t 0 ) 为d o o b 骨架过程，称刀( ) 为 彳( ，) ；t o 的特征测度， r n l 。o 称 为 x ( f ) ；t 0 ) 的再生点。 注：d o o b 骨架过程是齐次可列马尔可夫过程中的d o o b 过程的推广。在应 用中，我们会常常遇到d o o b 骨架过程，或者通过骨架时序列的再选择而得到 d o o b 骨架过程。 1 6 硕+ 学位论文第一二章预备知识 令 f ( x ，t ) cp ( 7 is ，ix ( 0 ) = x ) ，v x e ，t 0 ； f ( t ) = r 万( 出o ，o ，) ，v t _ 0 引理2 6 1 若 x ( ，) ；l 0 ) 为d o o b 骨架过程，则 q ( x ，d s ，d y ) = f ( x ，d s ) x ( d y ) 引理2 6 2 若 x ( ，) t 0 ) 为d o o b 骨架过程，则 p ( x ( y 。) a ) = p ( x ( y 1 ) a ) = 万( 么) ( n 1 ) 引理2 6 3 若 x ( f ) ；t o ) 为d o o b 骨架过程，则 尸( 以+ l 一7 t ) = p ( r 2 7 i t ) = f ( t )( n 1 ) 令 e ( x ) = - a t f ( x ，d r ) 冗= 【只( x ) x ( d x ) 七 ( 彳) = i 以( x ，a ) x ( d x ) c 定理2 6 1 设 x ( ，) ；t 0 ) 为d o o b 骨架过程，则 p ，( a ) ：丛垒 4 1 一只 只c x ，彳，= h 盖c x ，彳，+ ! 生譬呈笔尘 定义2 6 3 设 x ( ，) ；t 之o ) 为d o 。b 骨架过程，若ft f ( t ) 0 0 且对于任意的 x e ，f ( x ，0 ) = 0 ，f ( x ，0 0 ) 兰1 ，则称 z ( f ) ；t 0 为j 下常返的d o o b 骨架过程。 定理2 6 2 设 x ( f ) ；t o ) 为d o o b 骨架过程且r t f ( t ) ，若对于一切的 x e ，ae 6 ，丰及限l i m p ( x ，t ，彳) 存在，则 d 、兰 一，( 驴) j c o 向( y ，t ，a ) 万( d y ) d t p (x ，4 ) = l i np ( x ，彳) = 卫 一 ， h ” 厂t 妒( t ) m 1 7 硕十学位论文 第：二章预备知识 这一定理中，p ( x ，a ) 与x 无关，当且仅当f ( x ，o o ) = c o n s t 这时令 以伪= p ( x ，么)( w ef ) p ( ) 是( e ，c ) 上的概率测度当且仅当f ( x ，) = 1 ，v x e 1 8 硕十学何论文 第二章再生分支过程 3 1 模型描述 其中 第三章再生分支过程 经典的分支过程( 以物种繁殖为例) 的q 一矩阵 玑：p ，沦1 ，“_ 1 ；( 3 - 1 - 1 ) q 21o ，其它 ， b j o ( j 1 ) , 0 0 ；x ( t ) = 0 ) 当i 1 ，记灭绝概率a m 则 1 9 硕+ 学位论文第二章再生分支过程 口。2 p cr 。 十。o l x c 。，= ，2 芝三k 耄 肌6 s + o o ； 其中o q l 是b ( s ) = 0 在【0 ，l 】上的最小正根。 现实生活中存在这样的( 以物种的延续和病毒的繁殖为例) 分支过程，以概 率1 灭绝后，通过一段时间又会再生，假设再生是有0 个再生成1 个，按0 状态 逗留时问服从参数为允的负指数分布，这种分支过程我们称之为再生分支过程， 其对应的q 矩阵为 q 。 一a ，i = j = 0 五，i = o ，= 1 i b i - i + l ，i 1 ，f 一1 0 ，其它 由文献【2 5 】知，当6 0 聊。，且j = + o o 时，它以概率1 灭绝，这里j _ ：上三号咖， 这时，对任意i 1 ，当且仅当上言寺砂 时，灭绝时间巨h 】 ，且 e t r o 】- ll - y 严 当b o m 6 ，且j + o o 时，它以a i o 1 ( i 1 ) 灭绝，这时，对任意i 1 ，当且 仅当 f 赤，c f 静 佃 时灭绐时间er f ir 。 + 1 o ，圪( r ) = 0 ) ，k = 1 , 2 ，它表示e ( f ) 首次 回到状态0 的时刻，显然，y k ( k = 1 , 2o ) 独立同分布； ( 4 ) g r o 暑0 ， 吒，k 1 ) 为一族独立同分布的非负随机变量，其分布函 数为g ( t ) ，且 吒，k 1 ) 与 k o ) ，f 0 ，k 1 ) 独立； ( 5 ) 令 定义： 玑= (