（计算数学专业论文）分数阶对流扩散方程的基本解和数值方法.pdf

摘要 摘要 分数阶微分方程的特点是含有非整数阶导数，能非常有效的描述各种各样 的物质的记忆和遗传性质，在物理，数学，机械工程，生物，电子工程，控制理 论和金融等领域发挥越来越重要的作用。各种分数阶模型与无秩序的动力系统 有着紧密的联系。物理学中的反常扩散最初是从随机游走模型中发展得来的。 分数阶对流扩散方程是模拟各种反常扩散现象的有力工具。分数阶对流扩散方 程是分数阶动力方程的一部分，方程中可以含有空间和时间的分数阶导数算子。 本文分别讨论时间、空间、空间时间的分数阶对流扩散方程。文中所涉及的空 间分数阶导数均为慰e s z 空间分数阶导数，它含有双侧的鼬e m 锄n l i o u v i l l e 分数 阶导数。硒e s z 空间分数阶导数的一个显著优点是适用于高维空间。 本文主要由下面几个部分组成。 首先，引言部分介绍了分数阶微积分的发展历史和已有的一些重要成果。然 后介绍分数阶微积分的一些预备知识，给出了分数阶微积分一些基本定义和性 质。 其次，第二章从时间分数阶扩散方程出发，提出一显式守恒差分近似，进行 稳定性与收敛性分析。将得到的结果推广到时间分数阶对流扩散方程，对时间 分数阶对流扩散方程的显式守恒差分近似，用数学归纳法进行稳定性与收敛性 分析，并用质点的随机游走来解释。实践证明，随机游走是解释许多自然科学学 科中随机过程的强有力的模型。 第三章考虑黜e s z 空间分数阶对流扩散方程。这一章包含三部分内容。首 先考虑初值闯题。利用l a p l a c e 和f 0 u r i e r 变换得到慰髓z 空间分数阶对流扩散方 程初值问题的基本解。用格林函数表示基本解，并对其进行概率解释。再利 用鼬e m 柚n l i o u v i l l e 分数阶导数与g r i i n w a l d l e t i l i k o v 分数阶导数之间的等价关 系，构造一显式有限差分近似，这一离散格式可以解释为一个随机游走模型，并 且收敛于稳定的概率分布。第二部分考虑初边值问题，基于m e s z 空间分数阶导 数可以表示为拉普拉斯算子幂次方这一特点，借助于矩阵转换技巧与分数阶行 方法求此方程的数值解，利用特征函数的性质与l a p l a c e 变换相结合求出其新的 摘要 解析解，再对这两种解进行比较。最后，进一步讨论了初边值问题的有限差分近 似，构造显式和隐式两种差分近似，并进行了误差分析。 第四章中考虑鼬e s z 空间时间分数阶对流一扩散方程。首先考虑初值问题。利 用l a p l a c e 和f o u r i e r 变换得到融e s z 空间时间分数阶对流扩散方程初值问题的基 本解。用格林函数表示此基本解，对其进行概率解释。利用戤e m 觚n l i 叫v i l l e 分 数阶导数与g m n w a l d l e t i l i k o v 分数阶导数之问的等价关系，构造一显式有限差 分近似，这一离散格式可以解释为一个随机游走模型。然后讨论初边值问题。构 造显式和隐式两种有限差分近似，进行了误差分析。由于分数阶导数的非局部性 结构，使得计算分数阶微分方程的数值方法需要比整数阶花费更多的计算时间 和存储要求。因此，在文中最后部分，我们提出了提高计算精度的硒c h 砌s o n 外 推法和减少计算量的”s h o n m e m o 叮”原则，以此来改进我们的数值方法。 在每一章中，均给出数值例子说明所用数值方法的有效性。 关键词：分数阶对流扩散方程；基本解；数值解；随机游走模型；稳定性； 收敛性 a b s n a c t a b s t r a c t m c h 嬲l c t e r i s t i co ff r a c t i o n a lo r d e rd i 能r e n t i a le q u 撕o ni sc o n t a i n i n gt h cn o n i n c e g e ro r d c rd e v a t i v e i tc a ne 髋c t i v e l yd c s c r i b et h em e m o 巧锄d 昀n s l n i s s i b i i i 秒 o fm a n y 虹n d so fm a t e r i a l ，a n dp l a y sa ni n c r e a s i n g l yi m p o r t a n tm i ei np h y s i c s ，m a m e m a t i c s ，m e c h a n i c a le n g i n e e r i n 吕b i o l o g y e l e c 啊c a le n g i n e 鲥n g ，玎t r o lt h e 0 五n a n c e a n do t h e rf i e l d s a l l 虹n d s0 ff h c t i o n a lm o d e l sh a v ec 1 0 s er e l a t i o nw i t hc h a o t i cd y n 锄一 i c s a n o m a l o u sd i f ! f i u s i o ni np h y s i c sw e r eo r i g i n a l l yd e v e i o p e df 而ms 雠h 弱t i cr a n d o m w a l km o d e l s f r a c t i o n a la d v e c t i o n - d i s p e r s i o ne q u a t i o n si sp o w e r f u lt 0 0 l t os i m u l a t ea l l l 【i n d so fa i l o m a l o u sd i f m s i o n p h e n o r r l e n a 1 m e ya r eas u b to ff r t i o n a ll 【i n e t i ce q u a t i o n sm a ta i i o wf r a c t i o n a id e r i v a t i v e si nb o m l es p a c e 卸dt i m eo p c r a t o r s w 已d i s c u s s t h et i r 鹏，s p a c e ，s p a c e t i m ef r a c t i o n a la d v e c t i o n d i s p e r s i o ne q u a t i o n sr e s p e c t i v e l yi n t l l i sp a p 既t h es p a d a ld 嘶v a i v e sd i s c u s s e dm 她p a p e r 撒a l l 黜e s zs p a c ef r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ，w h i c hi n c l u d em el e f ta n dr i g h t 鼬e m a i l n l i o u v i l l cf r a c t i o n a ld e r i v a t i v e s ，i - l l en o t a b l em e r i to fr i e s zs p a c ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v cl i e si ni t sa p p i i c a b i l i 哆t 0h i g h e r d i m e n s i o n a ls p a c e t i l i sm e s i sc o l l s i s t so fm ef o u rc h a p t e r s i i l n o d u c t i o np r e s e n t s l ed e v e l o p m e n t a ll l i s t 0 巧o ff a c t i o n a lc a l c u i u s 粕ds o m e i m p o r t a n tp r e v i o 璐w o r k sa tf i r s t t h e n ，g i v e ss o m ec o n c e m i n g 劬c t i o n a lc a l c u l u st 0 p r e p a r e 出ek n o w i e d g ea n dp r e s e n tb a s i cd e 矗n i t i o n sa n dp r o p e i e so ff f a c 垃o n a lc a l c n - l u s i l la b 夸p e r2 ，s t 娥i n gf 吣mm e i m cf b c t i o n 村d i f m s i o ne q u a t i o n ，w ep r e s e n t 觚e x p l i c i tc o n s e r v a t i v ed i 脏r e n c ea p p r o x i m a t i o n ，觚dg i v em es t a b i l 姆锄dc o n v e r - g e n c ya n a l y s i s ，t i 圮n ，w ee x t e n dm e0 b t a i n e dr e s u l t st 0m et i m ef a c t i o n a la d v e c t i o n - d i s p e r s i o ne q u a t i o n f 0 rm ee x p l i c i tc o n s e r v a t i v ed i 触n c ea p p m x i m a t i o no ft i l et i m e f h c t i o n a la d v e c t i o n d i s p e r s i o ne q u a t i o n ，w e 觚a l y g et h cs 协b i i 时柚dc o n v e 唱e n c yb y u s i n gm a t t l e m a t i c 硝i n d u c t i o n ，a n di n t e 币r e ti t 越ap 硎c l ef 胡d o mw a r 勰d o m w a i l ( sh a v ep r o v e nt 0b eau s e f u lm o d e li nu n d e r s t a i l d i n gp r o c c s sa c r o s saw i d es p e c n i a b s t r a c t t n l mo fs c i e n t l f i cd i s c i p i i n e s i nc h a p t e r3 ，、ec o n s i d e rt t l e 鼬e s zs p a c ef t a c t i o n a la d v e c t i o n d i s p e r s i o ne q u a - t i o n i th a l st h r c ec o m p o n e n t s a tf i r s t ，w ec o n s i d e rt h ec 硒eo fi n i t i a lv a l u ep r o b l e m u s i n gm em c t t l o do ft i l el a p l a c e 锄df b 嘶e r 妇n s f o 咖s ，w eo b t a i nm ef h n d 锄e n t a l s o l u t i o no ft h ee q u a t i o nw i t hi n i t i a lc o n d i t i o n t h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o ni sd e p 【e s e n t e d b yg r e e nf u n c t i o n ，锄dc a l lb ei n t e 唱r e t e dm ep r o b a b i l i t yi n t e 印r e t a t i o n w ec o n s t n l c t a ne x p l i c i tf i n i t ed i 骶r e n c e 印p r o x i m a t i o nf o rt h ee q u a t i o nb yu s i n gt h ee q u i v a l e n c e r _ e l a t i o nb e c w e e nr i e m a n n l i o u v i l l ef i a c t i o n a ld e r i v a t i v ea n dg 订i n w a l d l t n i k o v m 矗k e f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e t h ed i s c r e t es c h e i n ec a nb e m t e 印r e t e da sad i s c r e t er a n d o mw a l k m o d e l ，觚dt t l er a n d o mw a l km o d e lc o n v e r g e st 0as t a b l ep r o b a b i l i t ) rd i s t r i b u t i o n s e c 0 n d l y w ec o n s i d e rm ec 嬲eo fi n i t i a l b o u n d a 巧p r o b l e m f 0 rt i l e 黜e s zs p a c ef 】限c t i o n a l d e m a t i v ec a i lb ee x p r e s s e db yaf r a c t i o n a lp o w e fo ft l l e 却i a c i 觚o p e r a t o r ，t l 硷n u m e r i c a ls o l u t i o n0 f0 u re q u a t i o nc a nb e0 b t a i n e db yr e c l l rt 0m a t d x 吮n s f e rt e c h n i q u e 锄df r a c t i o n a lm e m o do fl i n e s w r ea l s od e r i v et l l en e w 觚a l 妒cs o l u t i o nb yu t i l i z i n g t h ep r o p e r 哆o fe i g e n f u n c t i o na r 通l a p l a c e 垃a n s f o 舰。f h r d 恁m 的r ew ec o m p a r e 她 a n a i y t i cs o l u t i o na n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o n f i n a l l y w ed i s c u s st i l ef i n i t ed i f 琵r e n c e a p p r 0 i m a t i o n si nm ec 淞eo fi n i t i a l b o u n d a r yp r o b l e m 司1 ee x p l i c i t 锄di i n p l i c “d i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o n sa r ep r e s e n t e da n dt t l ee r r o r 粕a l y s i si sa i s og i v e n i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d c rm e 黜e s zs p a c e t i m ef r a c t i o n 甜a d v e c t i o n d i s p e r s i o n e q u a t i o n a ti i r s t ，w ec o n s i d e rt h ec 硒eo fi n i t i a lv a l u ep r o b l e m w eo b t a i nt i l ef u n d a m e n t a ls o i u t i o nb yu s i n gm em e d0 ft l l el a p l a c ea i l df 0 戚e rt r a n s f o r r i l s t h em n - d a m e n t a ls o l u t i o na l s ob e 咒p r e s e n t e db yg r e e nf u n c t i o n ，硒da l s oc a nb ep r o p o s e dt l e p r o b a b i l 时i n t e r p r e t a t i o n u s i n g 出ee q u i v a l e n c er c l a t i o nb e t w e c nm e m 姐n l i o u v i n e f r 习l c t i o n a id e r i v a t i v e 觚dg m n w a l d k t n i k 0 v m a k cf h c t i o n a ld e r i v a t i v e ，锄e x p l i c i tt i - n i t ed i f j f ；e r e n c ea p p r o x i m a t i o nf o rt l l ee q u a t i o ni sp r e s e n t e d t h ed i s c r e t es c h e m ec 锄 b ei n t e 巾r e t e d 勰ad i s c r c t er 锄d o mw a l km o d e l t h e n ，t l l ec 硒eo fi n i t i a l b o u n d a 巧 p r o b l e ma r ed i s c u s s e d t h ee x p l i c i t 种di m p l i c i t 矗n i t ed i 仟e r e n c ea p p r o x i m a t i o n sa r e p r o p o s e d 柚dt t l ee 瑚o r 觚a l y s i sa r ea l s og i v e n t h en o n i o c a ls t r u c m r eo ff a c t i o n a l d e r i v a t i v e si so n er e a s o n ，w h yn u m e r i c a li n e m o d sf o rf t a c t i o n a ld i f f e r e n t i a ie q 嘲l i o n s a r em u c hm o r ec o s yi nc o m p u t a t i o n a lt i n l e 如ds t o r a g er e q u i r e m e n t sm a tt h e i ri n 一 a b s t r a c t t e g e ro r d e rc o u n t e 叩a i t s 1 1 l u s ，w ep r o p o s et t l er i c h 砌s o ne x 乜a p o l a t i o nw 置l i c hc 锄 p r o m o t em ea c c l l r y 柚d s h o n i n e m o 巧p r i n c i p l ew l l i c hr c d u c et t l ec o m p u t a t i o n a l c o s tf j n a l l y t h e s et w om e t h o d sa r eu s e dt 0i m p r o v eo u rn u m e r i c a lm e t h o d s s o m en u m e r i c a le x 锄p l e sa r cp r c s e n t e di ne a c hc h a p t e r ，w h i c hs h o wm ee 衔- c i e n c y0 f0 u r n u m e r i c a lm e m o d s k e yw o r d s ：触c t i o n a la d v e c t i o n d i s p e r s i o ne q u a t i o n ；f u n d a m e n t a ls o l u t i o n ；n u - m e r i c a ls o l u t i o n ；r 粕d o mw a 王km o d e l ；s 油i l i t ) r ；c o n v e 唱e n c e v 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以 明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人( 签名) ：两尚谭 抄驴年6 月7 日 i 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入 学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密 后适用本规定。 本学位论文属于 l 、保密 ( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) 作者签名：沈青谣 日期：2 即年 导师签名：乙知缈玛日期： 石月7 日 ， 矽叼年石月7 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1引言 分数微积分是传统的整数阶微积分概念的推广。分数微积分从它的诞生 之日起到如今的迅猛发展和广泛应用已有很长的历史。这段发展历史可以分 为三个阶段。第一阶段是1 6 9 5 1 8 2 2 年的初期阶段。最早关于非整数阶导数的 记载是在1 6 9 5 年k i b n i z 给h o s p i t a l 的一封信，在这封信中，l e i b n i z 描述了一些非 整数阶导数的意义，特别涉及l 2 阶导数的情形。并且l e i b n i z 预测说”就这个似 非而是的论点，有一天将会是一个非常有用的成果”。关于非整数阶导数的问 题，l e i b n i z 在1 6 9 5 年、1 6 9 7 年还分别与b e m 叫l l i 和删l i s 以书信的方式探讨过。 在k i b n i z 逝世后的半个多世纪，l a g r 锄g e 在分数微积分研究方面做了很大的贡 献。在1 7 7 2 年，l a 莎锄g e 把整数阶微分算子的指数定律，即 杀杀：筹m 以叫 一一= 一m ，i 卜，y d x md 妒d 妒+ 1 一l 推广到m ，n c 。有关分数阶导数的最初的详细定义是1 8 1 2 年l a p l a c e 在他的 书，t h o r i ea i l a i y t i q u ed e sp r o b a b i l i 晤s ”f l 中的论述。l a p i a c e 在书中花了几页的篇 幅用积分，丁( ，) ，叫出定义分数阶导数。早期的另一种应用较广的分数阶算子的定 义出现在1 8 2 2 年f 0 u f i e r 著的书f 2 j 中 嘉刷= 去仁他m 仁p f c o s ( 加卅萼) 却， 这里的f 是可正可负的数。这种定义第次适用于任何充分光滑的函数，对函 数的要求没有特定的局限性。分数阶微积分的早期发展阶段以f 0 u r i e r 所傲的 贡献为标志。第二阶段是指1 8 2 3 1 9 1 6 年。在这阶段中，分数阶微积分首次 第一章绪论 在解决应用问题中体现它的有用性。1 8 2 3 年a b e l 用这种新的数学工具一分数 阶微积分去解决一个特定的物理问题- t a u t o c h r o n ep r o b l e m 【3 4 】中出现的一个积 分方程。a b e i 用分数阶算子去解决实际问题对分数阶微积分的发展产生了重 大的影响，它掀起了一些著名学者研究分数阶微积分的热潮。较为突出的是 数学家l i o u v i l l e ，他在这阶段写了一系列关于分数阶微积分的文章，并且给出 了两种不同的分数阶算子的定义。1 8 4 7 年r i e m a i l n 在他的一篇文章中归纳出了 另一种分数阶算子的定义。1 8 6 9 年s o n i n 在他的文章【5 1 中以柯西积分公式为出 发点得出了任意指数阶的微积分定义。在不久之后的1 8 7 2 年l e t n i k o v 【6 】又拓展 了s o n i n 的这一思想。此后，l a u r e n t 在他的文章f 7 】中以标准的围道积分方法代 替s o n i n 和l e t n i k o v 定义中的闭回路，形成了如今广泛应用的鼬e m a n n l i o u v i l l e 分 数阶微积分的定义。几乎是与此同时，g 蹦n w a l d 【8 】和l e t n i k o v 【9 】分别提出另一种 分数阶导数的定义，即现在被广泛采用的g r 豇n w a l ( h 七m i k o v 分数阶导数的定 义。在【9 】中，l e t n i k o v 给出了一个重要的结论，那就是在特定条件下g 蹦n w a l d l e m i k o v 定义与鼬e m 卸n l i o u v i l l e 定义是等价的。由于可以用一个有限和的公 式逼近分数阶导数，g 埘n w a i d l e t n i k o v 定义常用于数值计算方面。自从应用 于a b e l st a u t o c h r o n ep r o b l e m 开始，在这段近一个世纪的时期里，分数阶微积分 已越来越多地应用于纯数学科学以外的其他科学领域中。第三阶段是从1 9 1 7 年 到现在的现代分数阶计算的发展阶段。w e y l 在他1 9 1 7 年出版的文章【l o 】中 将磁e m 卸n l i o u v i i l e 分数阶积分定义中的积分下限改为c = 一，这也就是我们通 常所指的w 色y 1 分数阶积分。1 9 2 7 年m a r c h a u d 【ll 】把g 嘲1 w a l d l e t n i k o v 定义加以发 展，形成现在的m a r c h 绷d 分数阶导数的定义，并且说明了这个定义在特定条件 下与r i e m 姐n u o u v i i i e 定义及g r 髓n w a l d l e t l l i k o v 定义是等价的。关于分数阶微积 分的映射性质，必须提h a r d y 和l i t t l e w o o d 两人所做的贡献，详见文献【1 2 l3 1 。在文 献【1 3 1 中，他们把这些映射性质拓展到l i p s c h i t z i 锄空间中，这不仅对分数阶微积 分而且也对泛函分析和函数理论都产生了重大的影响。1 9 3 1 年w _ a t 觚a b e 【1 4 】提出 了r i e m a i l n “o u v i l l e 分数阶导数的l e i b n i z s 公式。自从1 9 3 8 年起，慰e s z 发表了一 2 第一章绪论 系列的文章，主要涉及如下形式的积分 叩缈= 丽志丽仁等出，恐口 。，口l 3 5 ， 这也就是我们现在所说的耻e s z 位势算子。它实际上是左右m e m 锄n l i o u v i l l e 分 数阶积分之和。二十世纪，有很多数学家投身于分数阶微积分方面的研究工作， 因而这时期出现了很多相关的文章。其中影响力较大的是数学家c a p u t 0 ，他在文 章【1 5 】中首先次使用c a p u t o 定义的分数阶导数： 掰舻南小叫。1 ( 丢) 邢m c a p u 的分数阶导数与r i e m 锄n l i o u v i l l e 分数阶导数有着紧密的联系，但它 比r i e m a i l n l i o u v i l l e 分数阶导数应用得更频繁。原因是用c a p u t o 分数阶导数 时的分数阶微分方程可以指定整数阶的初值条件，如 ) ，( 七j ( o ) = 巩，七= o ，l ，万一l ， 而这点比r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数优越。到了2 0 世纪中叶以后，分数阶微 积分在各个领域已经得到广泛的应用和快速的发展。1 9 7 4 年r o s s 在美国组织 召开了分数阶计算与应用的首届国际会议，并以k t u r en o t e si nm a t h e m a t i c s 系 列丛书形式发表了第一部关于分数阶算子理论与应用的会议文集【1 6 1 。同年第 一本关于分数阶微积分的书【1 7 】也在此时问世了。此后，涌现出一大批研究分 数阶徼积分理论及应用的著作，其中最为突出的是m i l i e 痢r 0 s s f l 8 】，s a r n k 0 等 人【1 9 】及p o d l u b n y 【2 0 1 。1 9 9 8 年，f r a c t i o n a lc a l c u l u s a p p l i e da m a l y s i s 首期学术杂 志正式发行，主要发表基于分数阶计算的数学方法，及分数阶方程在应 用科学( 物理、化学、金融、生物化学、水文、生态环境等) 方面的模拟过 程。2 0 0 4 年，一场题为f r a c t i o n a ld i f j 陪f e n t i a t i o n 柚di t sa p p l i c a t i o n s 的大型国际会议 在b o r d e 绷x 召开，至少1 0 4 位学者、专家在会上做了报告。目前分数阶微积分或 微分方程的研究已成为当前国际上的一个热点研究课题。近三百年以来，分数 阶微积分或分数阶演算这一重要的纯数学分支已渐成体系。 3 第一章绪论 由于分数阶积分和导数是拟微分算子，具有非局部性，从而为描述具有记忆 与遗传性质的材料，及由反常扩散控制的复杂系统的动力传送过程提供了极有 价值的方法。在最近几十年，许多研究者指出并证实了分数阶模型比整数阶模 型更适合于模拟具有这些性质的材料和反常动力传送过程，故如何求解分数阶 方程必然成为一个紧迫而重要的研究课题，吸引了大量研究者的兴趣【2 l - 2 6 】。 目前，求解分数阶微分方程的基本解的主要方法有积分变换法，分离变量法 和算子方法。1 9 8 6 年，w y s s 【明讨论了时间分数阶扩散方程，给出了含有f 0 x 函数 形式的解析解。随后s c h n e i d e r 和w y s s 【2 8 j 在1 9 8 9 年将这一结果推广到时间分数阶 扩散一波动方程，同样利用f 0 x 函数得到相应的g r e e n 函数。m a i n a r d “2 9 1 在1 9 9 6 年 考虑了一维空间变量的情形，采用l a p l a c e 变换以w r i 曲t 函数形式给出无穷区 域上的c a u c h y 问题和s i g n a l l i n g 问题的基本解。1 9 9 7 年，杨光俊【3 0 】利用l a p l a c e 变 换和m e l l i n 变换给出了与分数阶常微分方程初值问题对应的分数阶积分方 程的解析解。2 0 0 1 年m a i n 矾i 等【3 1 1 讨论了时间空间都是分数阶的扩散波 动方程，借助于l a p l a c e 、f 0 u r i e r 、m e l l j n 变换，在复平面上按m e i l i n b a r i l e s 积 分得到g r e e n 函数的一般表达式，并指出此基本解是包含时间变量f 的空间 概率密度函数，并给出了物理学上的解释。h u a n g 和l i u 在2 0 0 5 年把时间空 间分数阶扩散方程推广到时间、时间空间分数阶对流扩散方程，利用积 分变换得到方程的基本解【3 2 t 3 3 1 。g 吲i 和j a f 撕【蚓在2 0 0 5 年利用分离变量法考 虑了一维非齐次和二维齐次时间分数阶扩散波动方程在齐次混合边值问 题下的解析解。陈景华在其文章【3 5 l 中也用分离变量法求解了时间分数阶 电报方程分别在d i r i c h l e t ，n e u m a j l n 和r o b i n 等三种非齐次边界条件下的解析 解。2 0 0 0 年，e l i z a r r a 均z 和s t a r 【3 6 】提出用分数阶差商算子和有理函数法求解 含黜e m 锄n l i o u v i l l e 分数阶导数的齐次常微分方程c a u c h y 问题。 上面所述的求解析解的方法虽然可行，但是通常含有形式复杂且难以计 算的特殊函数。另外，解析解还难以推广到一般的问题。于是，寻求有效的 数值方法成为越来越多研究者关注的课题。1 9 8 6 年，l u b i c h 【3 7 】提出了一些高 4 第一章绪论 阶逼近格式来求解分数阶常微分方程，但由于格式中的系数难于计算，且其 方法在理论上没得到证明，故没能得到很好的利用。1 9 9 9 年，p o d l u b q 【2 0 】介 绍了一些有效的数值方法求解分数阶常微分方程，但是没有给出这些数 值解法的理论分析与误差估计。1 9 9 7 年，d i e l e l m 提出了用外推法【3 8 】解分数 阶常微分方程。接着，d i e t i l e l m 等人提出了解分数阶常微分方程的预估一校 正方法【3 9 1 。2 0 0 6 年，y a n g 和l i u 在文献【删中也用预估一校正方法求解了分数 阶r e l a x a t i o n o s c i l l a t i o n 方程。d i e t l e l m 教授等人在2 0 0 4 年时又针对解分数阶常 微分方程提出了分数阶a d a m s 方法【4 1 1 。2 0 0 5 年，m e s 岫等人【4 2 】考虑了含多项 分数阶导数的非线性常微分方程的数值解，分别用梯形求积公式与矩形法 则比较了近似分数阶积分的误差。2 0 0 7 年，l i n 和l i u 在文献【4 3 】中对非线性分 数阶常微分方程提出了高阶方法，并给出了该数值方法的稳定性和收敛性证 明。此外，m o m 卸i 和a 1 k h a l e d 【4 4 】用a d o m i a n 分解法求解非线性的分数阶常微分 方程组和含多项分数阶导数的线性常微分方程。r a y 和b e r a 【4 5 1 也用a d o m i 觚分 解法求解分数阶b a g l e y t o r v i k 方程。以上列举的是有关分数阶常微分方程数 值解法方面的工作。而分数阶偏微分方程数值解法的研究工作起步相对较 晚。从上世纪末开始，g o r e n f l o 教授等人发表了一系列文章i 删o 】，借助于一 定条件下黜e m 锄n l i o u v i l l e 分数阶导数与g 哺n w a l d k t i l i k o y 分数阶导数的等价 性，用移位的g 哺n w a l d k t i l i k o v 技巧逼近尉e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数( 即用移 位的g 蹦n w a l d k t i l i k o v 分数阶导数级数表达式中有限项级数和来近似斑e m 柚n l i o u v i l l e 分数阶导数) ，得到时间，空间，时间空间分数阶扩散方程的有限差分 离散近似格式，进而把相应的离散格式解释成时间、空间、时间空间上的离散 随机游走模型。2 0 0 5 年，m o m a i l i 【5 i 】用a d o m i 锄分解法求解空间时问分数阶电报 方程。同年，k a 1 1 ( 1 l a l e d 和m o m a u l i 【5 2 1 还是利用a d o m i 卸分解法数值求解分数阶 扩散波动方程。2 0 0 2 年，l i u 等人在海水浸入地下水层的研究项目中，首次提出 分数阶行方法f 5 ”5 1 ，这是一项开创性的工作。他们提出了分数阶行方法( m e t l l o d o f l i n e s ) ，将分数阶偏微分方程转换为常微分方程系统来求解，他们的主要思想 5 第一章绪论 是采用自动边阶( 1 5 阶) 变步长的向后差分公式。这个方法已得到普遍认可和 广泛应用与解空间分数阶偏微分方程。 2 0 0 4 年，m e e r s c h a e n 和t a d j e r 觚f 5 6 】给出了变系数的空间分数阶对流扩散方 程的有限差分格式，并给出了误差分析。2 0 0 6 年，t a d i e 啪等人【5 7 】考虑了变系数 空间分数阶扩散方程借助于移位g 哺n w a l d l e m i k o v 技巧和c r a r i l ( 。n i c h 0 1 s o n 方 法得到关于空间步长一阶、时间步长二阶收敛的无条件稳定的数值离散格式， 进一步对空间变量采用外推技巧使得关于空间步长的收敛阶也达到二阶。同 年，r a w a s h d e h 【5 8 】借助于多项式样条函数，利用配置法给出了一类分数阶积微 分方程的数值解，但没有给出数值分析。z h u a n g 和l i u 【5 9 】考虑了时间分数阶扩 散方程的隐式差分近似，采用数学归纳法对差分格式进行稳定性与收敛性分 析。对于高维的情况，m e e r s c h a e r t 等人在2 0 0 6 年考虑了二维变系数分数阶扩散 方程的有限差分逼近【删，提出了交替方向法，给出了详细的稳定性和收敛性 分析。2 0 0 8 年，c h e n 和l i u 【6 l 】讨论了二维的分数阶对流扩散方程，提出交替方 向e u l e r 格式，采用矩阵特征值的方法讨论了格式的稳定性，并用慰c h a r d s o n 外推 法得到二阶精度。“u 在她的博士论文【6 2 】中讨论了二维和三维的分数阶对流扩 散方程，提出了几种修正的交替方向法，也用r i c h 删s o n 外推法提高收敛阶。除 了以上所提的数值方法外，2 0 0 4 年，r o o p f 6 3 】和f i x 等人【“】采用有限元方法求解 分数阶微分方程。2 0 0 7 年，z l l a n g 【6 5 】在其博士论文中也利用有限元方法解分数阶 偏微分方程从而得到高阶逼近精度。同年，l i n 和x u 在文章f 鲫中提出了用谱方法 求解时间分数阶扩散方程。 然而，对于分数阶微分方程，数值算法研究起步不久，理论分析和对算法 的改进方面目前还比较有限。分数阶算子本身的非局部性这一特殊结构，使 得分数阶微分方程比整数阶需要花费更多的计算时间和存储要求。目前关 于对算法的改进主要有以下三种。第一种是由p 0 d l u b n y 在【2 0 】中首先提出的所 谓f i x e dm e m o r yp r i n c i p i e ( 也称”s h o f t m e m o 巧砸n c i p l e ”) 。其基本思想是用一 个长度为l 的f i x e dm e m o r y 防一厶卅来代替对厂0 ) 的分数阶导数定义中的整个区 6 第一章绪论 间f o ，卅的积分。文献【6 7 】指出只有当积分区间很大时，f i x e dm e m o 叮州n c i p l e 在计 算上才能显出它的优势，否则6 x e dm e m o r y 长度几乎得取得与整个积分区间一 样大。第二种是由f o r d 和s i m p s o n 在f 6 7 】中提出的n e s t e dm e s h e s ”。其基本思想是 先固定一个f i x e dm e m o r yl e n g t hl o ，把给定的积分区间 o ，吲分成非等距的子 区间 0 ，x 】= 【0 ，x 一q u 一c 吧，x 一俨。1 脚u u 陋一吐，x 一脚u 一厶别 这里c ，留是只要满肘 o ，定义 1参 口覃比( x ) = 口昕a “2 高o 一 ) 弘1 “( 考) 硝 口 为口阶的左侧r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶积分。 9 第一章绪论 定义1 2 ：( 右侧m e m a i l n “o u v i l l e ( r l ) 分数阶积分) 设“是定义在( 口，6 ) ( 矗，6 有 限或) 上的可积函数，口 o ，定义 群州巧叫垆高( 专叫a 一蚶) 西 为a 阶的右侧r i e m a i l n - l i o u v i l