（计算数学专业论文）线性最小二乘问题的结构扰动及其在样条曲线拟合中的应用.pdf

摘要 本文主要针对线性最小二乘问题中的结构扰动进行分析，利用分块矩阵、广 义逆矩阵的性质，得到了比一般扰动理论更为精确的界。作为应用，本文对曲 线拟合中常用的三次样条法节点扰动情况进行分析，得出了该问题下的结构扰 动结果，同时本文还对债券市场利率期限结构曲线拟合中的三次样条法进行了 扰动分析。在本文最后分别对最4 , - 乘法结构扰动、曲线三次样条拟合、国债 市场利率期限结构估计做了数值例子，验证了本文所述的线性最d , - 乘问题结 构扰动分析相对一般扰动分析所进行的改善。 关键坷：线性最小二乘问厨、扰动分析、广义逆，三次拌条曲线拟台、利率期艉结 构。 a b s t r a c t t h i sp a p e rs h o w sa w a y t os o l v es t r u c t u r e dp e r t u r b a t i o np r o b l e mi nt h el e a s ts q u a r e s p r o b l e m t h eo p t r e a lb o u n d i nt h i sp a p e ri sp r o v e dt ob es h a r p e rt h a nt h et h eg e n e r a l p e r t u r b a t i o nt h e o r y c h a n g i n gt h ek n o c kp o i n t si nc u b i cs p l i n ec u r v ef i t t i n gm e t h o di s s e tt ob ea ne x a m p l eo ft b es t r u c t u r e dp e r t u r b a t i o np r o b l e mi nt h i sp a p e r i ta l s ob ea p - # l e di nt h ei n t e r e s tr a t et e r ms t t a l c t u r ec o l - r ef i t t i n gi nf i n a n c e n u m e r i c a le x p e r i m e n t s a r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h es h a r p n e s so ft h i sb o u n di nt h el a s ts e c t i o n k e yw o r d s ：l i n e a rl e a s ts q u a r e sp m b l e r 璃p e r t u r b a r i o mm o o r e - p e n r o s eb w e r s t c u b i cs p l i n e c u r v e f i r t i n g , b l t e r e s tr a t et e r mj n w 删，o 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：嫠熬日期：逝6 。上盟 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名： 盘超 导师签名 南谰 同期：砂吒! ：护 第一节前言 最小二乘问题早在十八世纪由g a u s s 提出【1 0 1 ，并且应用于天文观测和大地 测量工作中。此后它被广泛应用于科学试验与工程技术中。在曲线拟合、函 数逼近、数据处理、方差分析与回归分析中，经常都会碰到最小二乘问题。 解线性最b - - - - 乘问题最经典的方法是构造法方程组【2 ，1 5 ，2 9 。之后也提出了 一些新的算法，例如q r 分解法【l ，2 7 】、迭代法等【1 2 】。此外，非线性最小二 乘问题也随之迅速发展起来，并且随着在应用数学、物理、统计、经济、金 融、控制论以及社会科学中的广泛应用提出了各种形式的带约束条件的最小 二乘问题，例如解带等式约束条件的最b - - 乘问题f 5 ，8 。1 4 ，3 5 ，带加权的最小 二乘问题等 3 1 】。与此同时，对一般的最小二乘问题扰动问题的研究也十分广 泛 2 6 ，2 8 。也有针对不同的算法不同约束条件的最小二乘问题提出具体情况下 的扰动分析结论【3 ，4 ，6 ，9 】。 但是如果考虑在最小二乘问题中出现的结构扰动情况，由于在现有的扰动 理论中都是针对整体扰动情况进行的分析的，所以本文主要考察了利用法方程 组法解线性最小二乘问题中出现的结构扰动问题，利用分块矩阵的广义逆的性 质，得到了比一般扰动理论更为精确的界。作为应用，本文对曲线拟合中常用 的三次样条法节点扰动情况进行分析，针对节点扰动的特点，得出了该问题的 结构扰动结果，同时，本文还介绍了债券市场利率期限结构曲线拟合中常用的 三次样条法，以此作为在金融领域中的应用，并根据该曲线拟合的特点进行扰 动分析。最后，作为验证，本文给出了随机与实践的例子，分别对最小二乘法 结构扰动、曲线三次样条拟合、国债市场利率期限结构做了数值检验，以说明 本文所述的线性最小二乘问题结构扰动分析相对一般扰动分析所进行的改善。 全文组织如下：第二节介绍最小二乘问题、三次样条函数以及债券市场利 率期限结构的概念；第三节是本文的核心内容，分析线性最b - - 乘问题中出现 的结构扰动问题，并给出了比一般扰动理论更为精确的界；第四节讨论了三次 样条拟合的函数形式，针对节点变化带来的扰动问题进行分析，给出其扰动结 论；第五节在国债市场利率期限结构曲线拟合中的应用三次样条法并且根据其 特点进行分析；第六节是数值例子。 第一节前言 r r “ r m o ” r ( a ) a a t a 2 ( a l ，a 2 ， a t a 一1 a + ， o i i x l h l i x l l 2 l i x l l 。 0 f f 2 0 a 怙 f ( 0 ( x ) p ( i ) v e c ( a ) o 符号表 实数集合 实 i t 维列向量的全体 m 礼阶实矩阵的全体 由矩阵a 的所有列向量所张成的子空间 所有黑体小写英文字母都表示列向量 向量a 的转置 ，g 1 ) r 分量为啦的列向量“= 1 ，2 ，馆) 矩阵a 的转置 矩阵a 的逆 矩阵a 的广义逆 单位矩阵 零矩阵 向量x 的1 范数 向量x 的2 一范数 向量x 的0 0 范数 矩阵a 的谱范数 矩阵a 的f r o b e n i u s 范数 表示连续函数，( z ) 的第i 阶导数 表示在第i 次试验或观察中得到的p 值 表示将矩阵a 进行向量运算，把其元素按列顺序写成一个列向量 元素属于 k r o n e 虻k e r 乘积 2 第二节准备知识 本节简单介绍一些准备知识，关于三次样条曲线拟合主要参考【l l ，1 6 ，3 7 ， 关于最小二乘闯题主要参考【7 ，2 2 ，3 0 ，关于债券市场利率期限结构估计主要参 考 2 1 。2 3 。 2 1 三次样条曲线拟合问题 在曲线拟合、函数逼近、数据处理、方差分析与回归分析中，常会遇到下列 类型的问题：设t 和口都是被观测的量，且p 是t 的函数： f = ，( t ；a ) ( 2 1 ) 其中a 为含有n 个未知参数d l ，a 2 ，的参数向量。为了确定这n 个参数，我们 通过某种试验或观测得到f t 2 组数据： ( t l ，1 ) ，( t 2 ，抛) ，( t 。，) ， 根据这组数据来寻求参数a 的最佳估计值，这就是通常所说观测数据的曲线拟合 问题。 在曲线拟合中【1 l 】，样条曲线( s p l i n ec u r v e ) 指由多项式曲线段连接而成 的曲线，在每段的边界处满足特定的连续条件。给定一组称为控制点( c o n t r o l p o i n t s ) 的坐标点可得到一条样条曲线，这些点给出了曲线的大致形状，这条曲 线是对这些点最好的逼近。其中，三次样条( c u b i cs p l i n e ) 曲线是用分段的三 次多项式函数来表示每个曲线线段，并且保证每个曲线线段在连接点处达到二 阶导数连续。三次样条的数学表达比较简单，计算方便，且性能稳定，便于分 析，是使用最广泛的一种样条曲线。 当曲线函数( 2 1 ) 为三次样条曲线时，不妨设己知数据中ost l t 2 t , nst ，即控制点都在1 0 ，明中。如果用k 段三次样条曲线拟合忙= l ，2 ) ， 即用节点“l ，u , 2 ，“ 一1 将区间【0 ，7 1 分成k 段，并设节点满足0 t 1 3 第二节准备知识 u k 一1 n 时，上式称为超定线性 方程组( o v e r d e t e r m i n e ds y s t e mo f l i n e a re q u a t i o n s ) ? 下面介绍一些关于最小二乘问题解的定理与定义【3 6 】： 5 第_ = 节准备知识 定理2 1 ：【3 6 设z 是方程组( 2 6 ) 的一个最d , - 乘解，则残向量r 满足 或等价地 a 7 r = 0 a t a x = 碍b ( 2 7 ) ( 2 8 ) 其中( 2 8 ) 是系数矩阵为a 郧“的线性方程组，称为最小二乘问题的法 方程组( n o r m a le q u a t i o n s ) 如果a r m “是列满秩的，则法方程组( 2 8 ) e e 的a 对称正定。若令 a + = ( a 丁a ) 。1 ，( 2 9 ) 则方程组( 2 6 ) 的唯一的最小二乘解x 可表示为 容易验证，a + 具有下面的性质： x = a + b 佗1 0 ) ( 1 ) a a + a = ；( 2 ) a + a a + = a + ；( 3 ) ( a a + ) t = a a + ；( 4 ) ( + a ) r = a + a 事实上，满足这四条性质的矩阵还是唯一的。 定理2 2 ：【3 6 】设a r ”，则矩阵方程组 a x a = a ；x a x = x ；( a x ) r = a x ；( x a ) t = x a ( 2 1 1 ) 的解x g “m 存在且唯一 定义2 1 ：【3 6 】设a r “，则矩阵方程组( 2 1 1 ) 的解x r r , 。”称为a 的m o o r e p c n r o s e 逆，或简称为广义逆，记为a + 方程组( 2 1 1 ) 称为m o o r e p e t 们辩方程 组。 定义2 2 ：【3 8 】记 p 鼍= l a a 表示到冗) 的正交补子空间兄( a ) 上上的投影。 6 第节准备知识 在做扰动分析前，先介绍一个向后误差分析的结论，以用来判断计算得到的 解是否向后稳定。也就是说，如果文是最小二乘问题： r a i n0 瓜一b 的计算解，是否存在一个范数很小的扰动d a ，满足 i i ( a + 6 a ) i b 0 2 = m i l l l i ( a + 6 a ) x b 0 一般情况下，6 a 并不是唯一的，下面定理提供了一个用于计算最小 的 l j a 怙的公式 1 9 ，3 2 】。 定理2 3 ：记r = b 一做，则在f 范数下的最优的向后误差为： e c i ) = m i n1 1 6 a i i f 瓢0 训，墨 其中町= 柽怄，c = ，一再r r t ，并且m ( 【a 刀c 】) 表示【a t 7 c1 的最小奇异 值。 通过这个定理，如果( 文) 的值足够小，则计算解囊是向后稳定的。 特别说明：在本文中考虑的最小二乘问题都是系数矩阵a 为列满秩的情况。 2 3 债券市场利率期限结构 利率期限结构( i n t e r e s tr a t et e r ms t m c t x n - e ) ，从字面上解释，是指在某个时 点上不同期限与其对应的利率所组成的一条利率曲线，或者说是理论上的零息 债券收益率曲线利率期限结构是资产定价、金融产品设计、保值和风险管 理，套利以及投资等的基础。因此，对利率期限结构的估计是金融工程领域一 个十分基础的工作。随着我国加入世界贸易组织和利率市场化进程的加快，中 国债券市场面临着大好的发展机遇，由于债券是对利率非常敏感的金融品种， 利率期限结构对债券的价格起着决定的作用，因此有必要对建立我国的利率期 限结构作深入的研究。 7 第二节准备知识 如果市场上存在大量的零息票债券，我们则可以通过直接求出某个时点 这些零息票债券的到期收益率就可以估计出该时点的利率期限结构并进行分 析。但是目前中国债券市场上的零息债券数量很少，国内市场上所能观察到 的债券多为附息债券，因此欲以附息债券数据拟合利率期限结构。必须先调 整。息票效果”( c o u p o ne f f e c t ) 。最先提出从附息国债中估算利率期限结构的 是m c c u l l o c h 2 4 ，并且提出了贴现函数( d i s c o u n t f u n c t i o n ) 的概念。它表示未 来某时刻的单位货币在现在时刻的价值。 根据债券的定价方法 2 3 1 。对于某只固定利率的付息债券，我们可以先把它 拆分成若干付息和还本的现金流( c a s hf l o w ) ，再用贴现函数或者即期利率对 这一系列的现金流进行贴现得到该债券的理论价格。当然理论价格和市场价格 是有差别的一般不会相等。用公式表示就是； p o ) = 邑硝d ( 白；a ) r 2 1 2 ) 上式中，户f ) 表示第 个债券的理论价格，谨表示第价债券在未来时间如发生 的现金流，d ( 岛；a ) 表示与时间白对应的贴现函数，a 表示贴现函数的参数向量 ( 或矩阵) ，它是到期期限t 的连续函数，并且与即期利率之间存在关系式： 邢；a ) = 南 f 2 1 3 ) 其中r ( o ，f ) 是即期利率函数，表示现在时刻起到期期限为t 的利率。 这样。就可以根据在债券市场中直接观测到的不同债券的价格、付息日 期、付息率、本金、剩余到期期限等数据，得到贴现函数中的参数向量( 或矩 阵) a ，再利用( 2 1 3 ) 得到即期利率，从而描绘出所需要的债券市场利率期限结 构。 8 第三节最小二乘问题结构扰动分析 3 1 最小二乘问题的扰动结果 研究最小二乘问题的扰动离不开研究矩阵的扰动，矩阵扰动分析主要参 考 3 3 ，3 8 ，3 9 ，最小二乘问题扰动分析主要参考【6 ，1 8 ，2 0 ，3 4 。 本节介绍用法方程组解最小二乘问题的方法及其扰动分析。 假设a r t n 一，z 黔，r r ”，可以把最小二乘问题 1 i ni i r l l 2 = t u b ai i b 一瓜0 2 ( 3 1 ) 的解x 以及残向量r 表示为增广方程组( a u g u m e n t e de q u a t i o n s ) ： a 】 ： = o b 的解这实际上是( 2 8 ) 的另一种表示形式。 假设a 是列满秩的，则( 3 2 ) 左端是一个非奇异矩阵，其逆矩阵为： 譬一鬣一。 当a 产生扰动a 时，最小二乘问题( 3 1 ) 为： u f i u l i r + a r l l 2 = m i n l i b 一( a + a a ) ( x + 】【) 1 1 2 记i = x + a x ； = r + a r ，相应地，其解文以及残向量 也满足增广方程组： j 【( a + a ) t ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 第三节最4 , - 乘问题结构扰动分析 f l j ( 3 2 ) 和( 3 5 ) 可以得到： 左乘( 3 3 ) 得到： a 。雌 _ 篇 ， ， = 滢一嬲一，忙- - a a 做t ， ， 设“为满足：l l a 怯“ 怯的最小值，并且将i ，f 做在“的一阶展开， 由( 3 7 ) 得到： x = 一a 十a x + 【a 1a ) 叫a 1r + o ( e j ) ， ( 3 8 ) a r = 一p k a a x 一( a + ) 7 a a t r + o ( e 刍) ( 3 9 ) 等式两端分别取2 范数，则得到一般的最小二乘问题扰动结论【8 ，s e e 4 】： 丽i i x 1 1 2 “( 舭) 州卵耐) + d ( c 轨 ( 3 1 。) 锴“( 舭) + m i n 1 m + 1 - n l l a i i f 而i l x l l 2 ) + 0 ( 国( 3 1 1 ) 其中k ( a ) = u a + 2 l i a o f 。 3 2 最d , - 乘问题结构扰动分析 在实际问题中，有时最小二乘问题中系数矩阵a 的扰动并不是作用在整个矩 阵而是作用在a 的某块上，我们称其为最4 , - 乘问题的结构扰动。 本节讨论最小二乘问题结构扰动的情况。不失一般性，假设a 具有分 块形式【a la 2 】，其中a l p ，a 2 r ”。”，1 l n l + n 2 = n 。结构扰动 形式为a = 1 0a a 2 。相应地，将最小二乘解x 写成分块形式( x 霹) r ，其 中x 1 r 1 ，x 2 r t l 2 。 1 0 第三节最小_ 乘问题结构扰动分析 应用分块矩阵的性质，a 7 a 的逆可以写成： 其中 矿- = 院矧= p 珊b 升。舵， g = ( 髯硗a 2 ) ， f = a 1 + a 2 g 代x o 8 ) 和( 3 9 ) ，设也为满足i i a a 2 i f 也l i a 2 怯的最小值，并且f l j a a = 【o a 如 得到： x = 一a + 也x 。+ 二芗 蟹r + 。c e 乞， r = 一p a a 2 x 2 - a 1 芗 鬈r + 。c e 乞， 等式两端分别取2 范数，则得到最小二乘问题结构扰动结论： l i a x l h i i x l l 2 l i a r l l 2 i i r l l 2 a 2 l i a 2 1 1 f 2 i i a 2 1 1 j , ( 3 1 3 ) f 3 1 4 ) ( 悄。而l l x 2 1 1 2 + 牌l l x l l 2 、i j 删朋， ( 一n ，丽i i x 2 1 1 2 + “删们 | | 2 ) 圳 ( 3 1 6 ) 注意到( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) q b 都存在a a 2 和& a t 两项，如果可以在取范数之前先 将这两项合并，显然可以得到更为精确的界。这个想法可以通过结合向量运 算, t f l k r o n e c k e r 乘积的方法来实现【8 1 7 。由于aob = ( a t j b ) ，v e e ( a x b ) = ( b toa ) v e c ( x ) ，以及口e c ( a 7 ) = r i v e t ( a ) ，其中是向量置换阵，则： x = 一c 霹。a + ，v e c ( h a 2 ) + r t 。 i ) ”e c c 霹，+ 。c 矗。， = ( 一c 霹固a + ，+ ( ，。 二芗 ) ) u e c c a ：，+ 。c 矗。， 第三节最小一乘问题结构扰动分析 r = 一c x 善。砖，v e c ( a a 2 ，+ ( ，。( 1 ) ) ”e c c 魑，+ 。c e 乞， = ( 堪。聃( ，。( a ) ) ) 唧c 喇毗卜 两端取2 范数，并且利用等式f l 眦( a 。) 1 1 2 = i i a 2 1 1 f ，则： 臀辄哗铲+ d ( ， 忉 鼽一c 棚卅( ，。) 蚴且 糕组哔舻+ d ( 弘 嘞 其中，雪= 一c ，巧 黠，+ ( r t 。( a 二f ) ) x , l - l 土关于解x 的扰动结论( 3 1 0 ) 和结构扰动结论( 3 1 5 ) ： 丽l l , x x l l 2 e i i a ij ，( 圳糯) + d ( a 面i l a x f l 2 f ，i i a 2 1 1 小刈：黜+ 卜，gm 黼) + 0 ( ，) 由于在结构扰动中0 aj | f 和0 a z 0 f 相等，也就是e o a 怯和训 ：f 实际都是 同一量级的，不难发现，( 3 1 5 ) 比一般扰动结论( 3 1 0 ) g 了两个修正，分别为 l 一丽i i x 2 1 1 2 i i a + ；一”矿g 砘 也就是说，如果忸。2 明显小于忸2 ，以及 一，g t 0 明显小于o a + ”；， 则本文中的结构扰动结论将对一般扰动结论做出很大的改善。同样，残向量结 构扰动结论( 3 1 6 ) 对一般扰动结论( 3 1 1 ) 也做了两个修正： l i x l l 2 f i x 2 1 1 2 i i r l l 2l i r l l 2 1 一一矿 lg 孔 第四节三次样条曲线拟合扰动分析 4 1 两段三次样条曲线 考虑两段三次样条函数，给定一组控制z ( t i ，玑) ，i = l ，m ，并且满 足o t l t 2 t ，拟合区间为【o ，卅，中间节点设在u l ，贝j j ( 2 2 ) 的具 体形式为： 他= f l ( t ；a ) = a o + a l t + o a t 2 + a a t a , ：耋墨：；j ， i ，1 ( t l ；a ) = ，2 ( 让1 ；a ) ，f ”( t 1 ；a ) = ，”“1 ；a ) i ，f 2 ( u ，；a ) = ，2 托1 ；a ) ：a4-三a：o+：a；：3u篓la-二a；-u：2： 邢= f l ( t ；a ) = a o + a l t + a 2 t 2 + a a t a , 。邮训。川。，：耋= ：葛 1 3 第四节三次样条曲线拟台扰动分析 将上式写成矩阵形式，并假设t i 让l 如+ 1 ，则 f ( t l ；a ) f ( t 2 ；a ) ，( t m ；a ) 1 t l 1 屯 1 t i + 1 1k 碍 碍 壤l 一( t i + l u 1 ) 3 磊一( k l t l ) 3 o 0 ( t 件l u 1 ) 3 ( t 。一t 1 ) 3 如果将上式中待估参数a o ，a l ，a 2 ，a 3 ，a 7 的系数矩阵右乘初等矩阵 10 0 0 0 o10 0 0 0 01o0 0 0 0l0 o 0 o11 8 0 0 1 n 2 口a a 7 也就是相当于将其第五列上的元素加到第四列上，从而得到一个新的并且 与口1 相关的矩阵记为a ，即： a = t 1 t ；碍 “it 备l 壤l 磊靠 相应的将( n o ，n l ，口2 ，a 3 ，口7 ) ? 左乘初等矩阵 o ( “1 一u 1 ) 3 ( t m 一让1 ) 3 10 000 0l0oo o 01 o0 o 0 0l0 0 00 11 1 4 碍；碍鼻；靠 第四节三次样条曲线拟合扰动分析 并记为x ，即： x = ( a o ，n 1 ，0 , 2 ，0 3 ，0 7 一d 3 ) t 记 b = ( ! ，l ，) r ， 则解两段三次样条曲线拟合问题即为解最t | 、- - 乘问题： m i l li i r l l 2 = m i ni i b a x l l 2 其中a r m 。5 ，霉r 5 ，r r m 。 显然a 列满秩，根据( 2 1 0 ) 可以得到该最小二乘问题的解为： x = a + b 实际上，当讨论两段三次样条曲线拟合节点u ，变化所引起的扰动时，只有系数 矩阵a 最后一列发生扰动，而并不是在所有元素上产生变化 4 2 多段三次样条曲线 类似的考虑三段三次样条函数，给定一组控制点( 岛，玑) ( i = 1 ，m ) ，并且 满足o t 1 t 2 kst ，拟合区间为【o ，刁，中间节点设在t l 和地，则 三段三次样条函数( 2 2 ) 的具体表示为： if k t ；a ) = a o + a l t + a 2 t 2 + a 3 t s ，t 【0 ，1 1 y c t ；a ) = ，2 ( ；a ) = n 4 + 口5 t + a e t 2 + a r t 3 ，t ( 1 ，坳】， ( 4 2 ) i 厶( t ；a ) = 1 8 + 0 。t + a t o t 2 + a n t 3 ，t ( 抛，刀 约束条件( 2 3 ) 为： ，1 ( 缸l ；a ) = ，2 ( l ；a ) ，2 ( 地；a ) = ，3 ( 坳；a ) 一1 ( 让1 ；a ) = 矗1 ( t 1 ；a ) 矗1 ( 地；a ) = ，1 ( 坳；a ) 矗2 ( 1 1 ；a ) = ( t 1 ；a ) ( 锄；a ) = ，2 ( t 2 ；a ) 第四节三次样条曲线拟台扰动分析 即得到约束方程组： n 4 = a o - f0 3 前一研i 0 , 5 = 0 , 1 3 铂嵋- t - 0 7 嵋 0 62 啦4 - 3 a a u l 一3 a r u l 0 8 = a oq - a a u l a + n 7 ( 遁一嵋) 一a l l 通 知= d 1 3 a a u + 3 幻( t ；一遁) + 3 a u u i n l o = d 2 - i - u l + 3 a 7 ( 1 t , 2 一u 1 ) 一3 a l l u , 2 由此，( 4 2 ) 中实际上只有6 个待估系数n 0 ，0 1 ，口2 ，幻，研，o l l ，并且可以化简为： i f l ( t ；a ) = a o + a l t + n 2 护+ n 3 垆， f o ，“1 j ，c t ；a ，= 羔譬：三：= ：菡二茬二：；：j + 卿。一撕户 。l 坳1 l- i - a t ( t 一让1 ) 3 一( t 一地) 3 】+ 口1 l o 一地) 3 ，t ( 地，刀 将上式写成矩阵形式并做与4 1 节类似的矩阵变换，设t 。t l t i 。+ 。 坳s 如+ 1 ，则系数矩阵a 表示为： 记 a = 1 t l 1 岛1 4 - 1 1 t n + 1 1 t 仇 0 ( t i l + l m ) 3 ( 屯+ l 一缸1 ) 3 ( t 丌l u 1 ) 3 0 o ( t 2 + l 一抛) 3 ( t 。一也) 3 x = ( a o ，0 , 1 ，n 2 ，幻，a q 一0 3 ，a l l a 7 ) r b = ，枷) ， 则解三段三次样条曲线拟合问题即为解最小二乘问题： m i l ll i r l l 2 = r a i nf i b a x l l 2 ， 牙；缸；臻碍；昏；壤 第四节三次样条曲线拟台扰动分析 其中a r m 。o ，z r e ，r r m 。 类似地，当讨论三段三次样条曲线拟合节点让， u 2 变化所引起的扰动时，显 然只有系数矩阵a 的最后两列发生扰动，而并不是在所有元素上产生变化。 同样，当，( ，a ) 表示为段三次样条函数时似= 1 ，2 ，) ，记节点向量 u = ( u 1 ) 锄，毗一1 ) t ， 并且每个节点嘶，j = 1 ，七一1 满足嘶t i j - i - i 则( 2 2 ) 表示为： 小峰f ( t ；扯a ) = a o + a 甜 t + 订a 2 t 2 + 矿a s t a ，,：船一， 【 ( t ；a ) = 。让一4 + 嘶一3 t + a 4 一2 t 2 + a 4 k - l 庐，t ( 撕- l 卅 共有4 七个待估系数，并且m ( 2 3 ) 得多j 3 ( k 一1 ) 个约束条件。由两段 和三段的三次样条函数的分析，不难得出可以将待估系数减少 为0 0 ，a 1 ，叻，a 3 ，n 7 ，0 1 l ，a , l k l 共k + 3 4 。 记 其中 a = a 1 a 2 】， x = ( a o ，n l ，a 2 ，0 3 ，0 7 一a 3 ，d 1 1 一0 7 ，d 让一1 一。拙一5 ) t b = ，) ? ， a l = 1 t lt i 牙 1 t 2 碍堙 1 t 。壤磊 哟2 o ( 岛+ 1 一嘶) 3 ( t m 一嘶) 3 也= 。- 。 1 7 j = 1 ，2 ，k 一1 第四节三次样条曲线拟合扰动分析 则解段三次样条曲线拟合问题即为解最小二乘问题： m i n 1 2 = r a i n i i b a l l , 其中，a r m 。( + ，z r k + 3r r m 。 当改变节点向量u 时，实际上只有系数矩阵a 在a 2 块上发生扰动。应用第三 节最d - - 乘问题结构扰动的结论( 3 1 5 ) 和( 3 ，1 6 ) 即可以得到三次样条曲线拟合问 题中节点变化带来的扰动分析 1 8 第五节债券市场利率期限结构曲线拟合 5 1 三次样条法 在拟合国债市场利率期限结构的研究中，由m c c u l l o c h 2 4 ，2 5 首次提了三次 样条法，他用分段三次多项式表示贴现函数来拟合债券价格户。 假设选取市场上流通的m 只不同到期期限的固定付息债券，每个付息日 为岛u = 1 ，2 ，c ) ，并且假设0 t 1 t 2 t i t 。第 只债券的实际 价格为p 0 ) ，在时间t j 的付息额为研九如果将区间1 0 ，刀分成女段拟合，节点满 足0 = 蛳s 铆s 讯= t ，则贴现函数d ( 岛；a ) 可由( 2 2 ) 和约束条件( 2 3 ) 给 出并且由贴现函数的定义，现在时刻的货币价值的贴现等于现在时刻的货币 价值也就是在拟合区间的0 点处，d ( o ；a ) = 1 ，即待估参数a o = 1 。 如果用七段三次样条曲线来拟合贴现函数，并且记： 其中 a = h aa 2 】耐。( + 2 1 ， e = ( 1 ，1 ，1 ) 7 r t ， x = ( 1 ，o 2 ，岫，嘶一n 3 ，凸l l n 7 ，口让一l 一口让一5 ) t r 2 蝴 a l = t l t ；埒 如t i 醒 自好圩 q 2 ，a 2 = 【a 。毗 o ( 屯+ l q ) 3 ( 一- j ) 3 1 9 j = 1 ，2 ，k 一1 第五节债券市场利牢期限结构曲线拟合 则各付息日的贴现函数用矩阵的形式表示为： d ( t l ；a ) d ( t 2 ；a ) d ( 岛；a ) = e 如果将( 2 1 2 ) 写成矩阵的形式，则有 记： 户( 1 ) 户( 2 ) i 爿m ) a 瓜 - ， 馏暖篮 。c t l t ( z ) 谚谨 一1 ”掣印 c = 鼹孽 并由( 5 1 ) ，得到债券价格理论公式( 2 1 2 ) 为： 记 p = 6 e + g a x b = p 一( t e d ( t l ；a ) d ( t 2 ；a ) d ( 圮a ) ( 5 2 ) 则在用三次样条法求解国债利率期限结构问题时，也就是要求解最小二乘问 题： m i n i i r l l 2 = m i n 【i b c a x l l 2 ， 其中b r m ，c r mx ，a r 。( + ，x r + 2 ，i t r m 。 2 0 第五节债券市场利率期限结构曲线拟合 5 2 扰动分析 当改变节点u 时，由于c m = e i a la 2 】= c a lc a 2 】，记 = c a ，a i = c a x ，以= c a 2 ， 同样，这是一个最小二乘结构扰动问题。类似于( 3 1 3 ) t f l l ( 3 1 4 ) n j 得到在用三 次样条曲线拟合国债利率期限结构问题中： 缸一”脚z + 苫卜c m 一辟峨一 吾卜r + o c 龟， 其中 g ，= ( 必7 助。a 2 ) ， f = a ：a ， 并且码为满足| i 码怯s6 码0 码i i f l 拘最d 、值。则扰动界为： j j 刈。 l z 1 i a r l l 2 i i r l l ： | | 羁怯 0 码怯 ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( z 丽i i x 2 1 1 2 + 雌) 删勃， ( 毗叫糌+ u 圳z 峪 1 1 2 ) 删 再来讨论贴现函数d ( ；a ) ，记 d = ( d ( t l ；a ) ，d ( t 2 ；a ) ，d ( t 。；a ) ) t 由( 5 1 ) 得到： a d = a a x + a a 2 x 2 + o ( 4 ，) 2 1 第五节债券市场利率期限结构曲线拟合 其中e ：为满足i i 如怯m i i a 2 怯的最小值。将( 5 3 ) 代入上式，并且由 于码= c a a 2 ，得到： 旷删切a a 2 x 2 + a 莒卜m 。c 等式两端取2 范数，得到关于贴现函数向量的扰动界： 1 i l a 刚d 。l h e a , l l a 2 l l r ( 叭i - a ( c a ) + 刚。雠+ i础臀) 倒 ( 5 7 ) 第六节数值例子 6 1 随机模拟最 b - - - 乘结构扰动 作为对本文中最d , - - 乘结构扰动结论的检验，产生随机矩阵a 以及向量b ， 并且在块a 2 上产生扰动也。其中m = 2 5 ，n 1 = 1 0 ，耽= 5 。 记r e l _ e r r 为x 与r 的扰动真实值，d 讲- e r r 为( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 所表示的扰动 理论值，口e c e r r 为( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 ) 所表示的向量化处理后的扰动理论 值，l s z r r 为( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) 所表示的一般最t j 、- - 乘扰动理论值。 表( 6 1 ) 列出了结构扰动结论与一般扰动结论在四组数值例子下的对比并且 由定理2 3 ，计算解的向后误差e ( x ) ，以验证其向后稳定性。 可以从这张表上看出： 这四组例子的计算解都是稳定的； o p t _ e r r 都是对r e l _ e r r 很好的定界； e c e r r 与d 钟。e r r 相比并没有达到理想中的显著的改善； 由第一组例子可以看出， 由于l i x z ”2 与i l x t l 2 ， 以 及 一f tg 】r 2 与o a 刈；基本上处于同一量级，所以。讲盯r 并没 有明显的优于8 _ e t r ；然而在后面三组例子中，随着i i x 2 1 1 2 与i l x l l 2 ，以 及8 一，g t 0 2 与o a 刈；逐渐在不同量级上的差异。讲蜊的改善效果 逐渐明显。 6 2 三次样条结构扰动 给定一组控制点( 厶，玑) 如表( 6 2 ) 所示“= 1 ，2 0 ) 假设在区间i o ，6 】上用两段三次样条拟合曲线，并设节点在t - = 3 处，如 果改变节点嵋= 3 0 1 ，嵋= 3 1 以及砰= 3 5 ，扰动分析结果和拟合曲线图如 表( 6 3 ) 和图( 6 1 ) 。 第六节数值例子 e ( x )l i x l l ：| | x 2 0 2i i a + 帕 _ ，g t l 2 8 4 e 1 51 2 3 e o8 0 1 e - l 4 8 6 e - l3 3 6 e 1 2 3 3 2 e 1 51 0 3 e 01 0 4 e - l5 8 9 e - 1 1 9 5 e 一2 37 2 l e - 1 48 4 9 e 17 6 4 e - 32 9 2 e 11 5 3 e 一3 43 7 6 e 1 39 7 7 e i7 8 5 e - 42 5 0 e 1i 7 9 e - 4 ir e l _ j e r r o p t _ e r r e c e r rf 8 _ e r r 忙 1 0 5 e 2l 5 8 e l1 1 7 e - l 2 3 2 e 1 1 2 4 e - 28 6 6 e 26 5 0 9 e - 21 1 8 e - i 2r e l e r r o p t _ e r rv e c _ e r r l s _ e r r i ： 1 1 4 e 一3l - 3 2 e 29 3 5 e 一32 2 9 e l 1 1 2 e 一31 i o e - 27 7 8 e 31 3 0 e 一1 3r e l _ e r ro p t _ e r r 口e c e f tl s _ e r r 睦 1 3 6 e - 4l _ 1 4 e 一38 0 7 e 41 7 5 e l l 2 9 e 47 1 7 e 44 7 5 e - 49 o o e 2 【4 r e l _ e r ro p t - e r rv e c - e r r i s _ e r r 忙 1 5 5 e - 5 8 3 6 e 5 5 7 2 e 一51 1 0 e 一1 1 3 4 e 59 2 7 e 56 5 3 e 59 0 8 e 一2 表6 ，1随机模拟最小二乘结构扰动结果 屯 0 0 1 0 00 3 2 5 20 6 4 0 5 30 9 5 5 71 2 7 l l1 5 8 6 31 9 0 1 6 玑 5 5 4 2 45 7 8 7 46 1 9 1 04 7 3 3 l4 5 0 1 62 5 3 3 71 7 8 2 0 南 2 2 1 6 82 5 3 2 l2 8 4 7 43 1 6 2 63 4 7 7 93 7 9 3 24 1 0 8 4 们 0 2 3 0 10 2 5 0 51 7 9 9 6 2 4 8 3 9 3 3 1 2 6 - 4 4 3 1 4 - 4 4 6 5 7 屯 4 ，4 2 3 74 7 3 8 95 0 5 4 25 3 6 9 55 6 8 4 76 虮 3 9 9 6 4 - 4 8 0 1 7- 4 6 0 5 33 2 5 0 3 2 3 0 8 5 0 9 9 1 7 表6 2拟台曲线控制点 如果在区间f o 6 】上用三段三次样条拟合曲线r 并设节点在钍1 = 2 ，坳= 4 处， 如果改变节点嵋= 2 0 1 ，啦= 4 0 5 ，硝= 2 1 ，嵋= 4 1 以及吖= 1 5 ，蟛= 4 5 ， 扰动分析结果和拟合曲线图如表( 6 4 ) 和图( 6 2 ) 。 第六节数值例子 e ( x )i l x l l zi i x 2 1 1 ：0 a + 幅一f 7g 4 7 2 e 1 56 2 8 e 0 2 5 0 e l4 9 8 e 05 6 4 e l r e l _ e t r o p t p r r p c r t f s r t 。 x1 5 0 e 39 2 8 e 26 6 8 e 21 4 3 e 0 1 0 ，3 叭，6 r 2 3 5 e 3 2 0 2 e 一11 4 9 e 12 7 3 e 0 x1 4 5 e 28 9 5 e 16 4 4 e 11 3 8 e l f 0 。3 1 6 r2 3 3 e 21 9 5 e 0l 。4 3 e 02 ，6 3 e 1 x6 3 0 e 23 8 0 e 02 7 4 e 05 8 5 e l 【0 ，3 5 ，6 】 r1 1 2 e l8 2 6 e 06 0 01 1 2 e 2 表6 3两段三次样条拟台曲线扰功结果 图6 ，l 两段次样条拟台曲线 里奎芏塾堕型王 e ( x ) l i x l l 2i i x z i i zi i + 肥m 一，g 5 4 0 e 一1 57 0 2 e 05 6 9 e 11 4 3 e l2 8 6 e 0 r p | f r o p t - e f 7 1 l * r j r r l s _ e r r 。 x4 2 4 e 39 8 7 e 17 2 4 e 17 5 2 e 0 【0 2 0 1 4 0 5 ，6 r5 5 4 e 3 1 5 8 e 1 )1 1 8 e 01 0 3 e l x3 1 4 e 27 1 3 e 05 2 3 e 1 )5 4 3 e l 【0 ，2 1 ，4 1 6 r3 2