（计算数学专业论文）基于小波的图像重建扇束卷积反投影算法.pdf

j e 立銮道厶堂亟= ! i 兰位迨塞旦si 廷i a b s t r a c t a b s t r a c i ：i t1 sw e uk n o w nt h a tt h er a d o nt r a n s f o n n a t l o nl st h ec 1 i t e c h n o l o g y m a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o n 。 h 1 1 a g er e c o n s t n i c t i o ni sr e c o n s 缸r i l c t i n g ( o ri n v e r s i o n ) t h e i m a g ef u n c t i o n 疗o mt h er a d o n t r a n s f o n no ft h ei m a g ef u n c t i o n ( a l s oc a l l e dp r o j e c t i o n d a t a ) t h ec o n v o l u t i o nb a c k p r o j e c t i o nr e c o n s t m c t i o ni su s e di nc tw i d e l yb e c a u s eo f t h ea d v a l l t a g e so fs i m p l ea l g o r i t h m ，b i g h e ri m a g er e s o l u i i o n ，c o m f o r t a b l ea c c u r a c ya n d l e s st i m ec o n s u m i n g a sau s e m lt 0 0 1 ，t h ew a v e l e tt r a n s f o 珊h a sw i d e l ya p p l i e di nt h e i m a g ep r o c e s s i n g h 1t h i sp 印w ec a i lo b t a i nt h ef 缸- b e a mc o n v 0 1 u t i o n - b a c k p r o j e c t i o na l g o r i t h l nf o r i i l l a g er e c o n s t m c t i o nb a s e do nt l l ew a v e l e ti n v e r s i o nf o r m u l ao f t h er a d o nt r a n s f o r n lb y 0 n e d i m e n s i o n a lw a v e l e tt r 锄s f b mo nr a d o nt r a i l s f b 锄0 u ra l g o r i t 1 1 i li st h es a m e s i m p l e a st h ec l a s s i c a l c o n v o l u t i o n - b a c l 卿q e c t i o na l g o r i t l l i l l w h a t s m o r e ， t h e a l g o r i i h i nc a nb eu s e dt or e c o n s t n l c tg l o b a li m a g e a sw e ua sl o c a li m a g e ，a 1 1 di se a s i e r t oi m p l e m e i l tu t i l i z i n gl e s sm a r g md a t a ho u ra l g o r i t l l i nw el i s em es p e c i a ls e l e c t i o n l e m a r i c - m e y e rw a v e l e tt oi i l l p r o v et l l e l o c a lr e c o n s 打u c t i o np r e c i s i o n f u n h e r l y w e s t u d yt l l er c l a t i o nb e 觚e e nt h ep a r a m c t e r ss e l e c t i o na i l dt h er e c o n s t n l c t i o nt oo p t i m i z e t l l ew i n d o wf h n c t i o n ，t l l u so b t a i nt h eb e s t1 0 c a lr e c o n s t m c t i o nw i t hl e s sm a r g i nd a t a a l s o ，w em a k et h ee 玎o ra n a l y s i sa n dm en 啪e r i c a ls i m u l a t i o n ，a n de s t 曲1 i s h t l l e c o r r e s p o n d i n gf o 珊u l a 1 ( e y w o r d s ： f a n - b e 锄p r o j e c t i o nr e c o n s t m c t i o n ；l o c “i m a g er e c o n s t r u c t i o n ； w i n d o w 如l c t i o n ；w a v e l e ti n v e r s i o n ；r a d o nt m n s f o 肌；n l ec o n v 0 1 u t i o n - b a c k p r o j e c t i o n a l g o 打胁 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 导师签名： 签字日期：年 月日签字日期： 年月日 致谢 在论文完成之际，首先要对我的导师渠刚荣老师表示衷心的感谢。本论文的 工作是在我的导师渠刚荣副教授的悉心指导下完成的。两年多束，无论是在学习 还是在生活中，渠老师都给了我极大的帮助和鼓励，他渊博的知识，严谨的治学 态度使我在学术上受益非浅，所以在此由衷地感谢两年多来渠老师对我的关心和 指导。 黄哓明副教授在学习上和生活上也给予了我很大的关心和帮助，在此也向黄 老师表示衷心的谢意。同时也感谢所有给我授课的老师们。 感谢父母对我一如既往的支持和鼓励，是他们使我一直保持积极上进的乐观 态度和克服困难的勇气；感谢师兄弟，师姐妹，室友以及同学曾经给予的勉励和 帮助；与他们的朝夕相处，使我的研究生生活充满了温暖和快乐。 数载寒窗，承沐恩泽，感激之情，无以言表，惟有勤奋向上，早日成才，才 不负师恩，以及家人和好友的期待。 最后真诚的感谢专家在百忙中审阅我的论文，我愿意认真听取专家的宝贵意 见，在今后的学习及研究工作中不断改进和提高。 引言 图像重建问题，它的数学理论基础是r a d o n 变换及其逆变换，它已经独立的 出现在医学，工程等很多科学领域。在医学领域，问题的一种重要方式是从多个x 射线投影值获得人体内部的密度分布，这个过程被成为计算机断层扫描( c t ) 。 在图像重建中，比较常见的重建算法有卷积反投影算法和f o u r i e r 重建法等。 卷积反投影算法又称为滤波反投影算法，该算法简单，易于实现，精度高，因而 在重建领域得到广泛应用。小波变换在图像重建中得到广泛的关注，借助于小波 理论的应用，一些经典的重建理论有了新的发展。r i d g e l e t ( 脊波) 变换是当前图 像重建领域中发展起来的一种较新的算法，该变换是r a d o n 变换的一维小波变换， 目前已经广泛的应该用图像和信号处理中。 在c t 图像重建中，采集数据一般有两种途径：平行束扫描和扇束扫描。前者 采集数据的时间较长，而后者在采集数据方面高效，快捷，从而在大型医用c t 中 得到广泛使用。除此以外，基于扇束投影的重建算法也广泛使用于许多工业c t 和 科学研究中，如无损检测，地球物理等等。这也是本文关注的一个方面。 局部重建是图像处理中常遇到的问题在许多实际问题中，我们只对目标对象 的某部分特定区域( r o i ) 感兴趣，如果只使用局部数据而不是全局数据就可以重 建目标区域，这意味着投影数据量和计算时间大大减少，同时也意味着重建精度 比基于完全数据重建的精度大大降低，因而对算法提出更高的要求。在实际局部 重建中，我们一般用局部区域的数据加上局部区域外少量额外的数据来实现重建， 我们要做的工作是使用尽可能少的额外部分的数据来得到更高的重建精度。除此 以外，图像误差分析是图像重建的另一个方面，如何的有效的减小误差，以较少 的数据取得更好的图像质量也是另一个值得关注的课题。 这篇论文对图像重建的上述方面进行了研究。我们首先用r a d o n 变换的小波 反演公式，导出了相应的图像重建的卷积反投影算法。该方法在卷积函数积分下 限趋于无穷时，在图像函数的连续点，重建图像逐点收敛到原图像函数，而全局 重建的图像函数在三2 范数下收敛到原图像 1 。我们的方法同经典的卷积反投影 方法一样简单，易于实现，既可以用于整体图像重建，也可以用于局部图像重建， 而且只用到非常少的额外数据。通过特定选取的小波窗，来改善局部重建图像的 质量，也是本文研究的一个很重要的方面。我们用l e m a r i e m e y e r 小波构造窗函 数的同时也对影响重建图像精度的几个参数进行了比较详细的分析，并进一步研 究用更少的局部区域的额外投影数据，使其达到最佳的局部重建效果。 在第二章，我们介绍了c t 图像重建的原理及其相关数学理论基础，为后面的 几章做相应的准备工作。它分四节内容，第一节介绍了投影数据的采集和图像重 建理论。在第二节，我们分别介绍了r a d o n 变换和经典的卷积反投影方法。第三 节，我们介绍了几个常用的图像质量评价参数。 第三章，我们介绍了基于小波变换的图像重建的卷积反投影方法，通过r a d o n 变换的小波反演公式，导出了相应的图像重建的卷积反投影算法。在此基础上我 们把该公式推广到扇束投影重建中，并建立了相应的重建公式，对该公式也给出 了数值实验。 第四章，我们首先介绍了局部重建的理论基础和相关概念，借助于已经研究 过的平行束投影的误差分析，我们把这个工作也相应的实现在扇束投影重建中， 给出了我们自己的局部截断误差估计式。我们还对l e m 撕e m e y e r 小波构造的窗函 数进行了比较细致的研究。在数字实现部分，我们还用我们的窗函数和其他的一 些窗函数做了一些对比实验，并取得了一些相应的结论。 通过以上内容，我们把基于r a d o n 变换的小波反演公式的卷积反投影算法推 广，得到了扇束投影重建的卷积反投影算法。并利用l e m a r i e m e y e r 小波构造该 算法的窗函数，并与一些特殊的窗函数分别就全局重建和局部重建进行了对比。 数值模拟结果显示本文所给出的算法结合窗函数，较传统的重建算法，在全局重 建特别是局部重建上都能取得一些较好的结果。 2 第二章c t 图像重建的原理及其相关数学理论基础 在第一章我们首先对图像重建问题进行简单介绍。给出其数学理论基础 r a d o n 变换的概念，并且简要的说明它的性质，为后面的研究做准备工作。 第一节投影数据的采集和图像重建理论 图像重建问题，在过去的四十年中反复的出现在很多科学，医学和技术领域 中，其应用范围之广令人吃惊。一方面，用电子显微镜得来的数据重建噬菌体的 分子结构：另一方面，利用送往地球大气层的火箭所采集的数据重建出超新残星 的x 射线结构。这些应用看起来似乎是各不相同，但是他们有着相同的数学和计 算基础。 在所有这些应用中，世界上影响最大的应用是在诊断医学方面：计算机断层 扫描( c t ) 的出现，已经引起了放射医学上的革命，穿过人体横截面沿着许多直线 由测量到的x 射线衰减到的数据重建出人体横截面上的图像来。总的来说，图像 重建所研究的问题是：怎样在不损研究“对象”的前提下去探知“对象”内部的 情况，即通过对携带有对象内部信息的物理参数的测量，并用一定的重建方法去 处理测的数据，以把对象内部的情况用无重叠，清晰的二维或三维图像的形式再 现出来。 二维c t 的数据采集方式主要有两种：平行束和扇形束数据采集。由x 射线源 发射出极细的笔束x 射线，强度为厶，穿过被测物体后由检测器接受到的x 射线 强度为f ，将x 射线与检测器在被测物体观察平面内同步平移步长，记总平移步 数为。，经过。步后，检测器检测到的数据为在该角度下覆盖被测物体的投影 数据。再旋转角度色，以同样的方法获得另一个角度下的投影数据，如此下去， 直至旋转过1 8 0 。度，当然扇形束数据采集须旋转3 6 0 。度。记总旋转次数为圯，实 验结果得到虬组测量值，每组有。个投影数据，这氓x j 个数据即为平行束的 完全投影数据( 参看下图2 1 ) 艟? li 辩壤# 控t l i 毫 22t 女# # i m # 自* j t $ 蕾23 蕞* # t 女女8 i i 日 记被测物体对x 射线的线形衰减系数为，它能够刻画被测物体的内部结构，一 般地，物体在x o y 平面内不是均匀分布的，即衰减系数= ( j ，y ) ，根据b e e r 定 理应有 ，：厶p 一胁“ 式中l 是x 射线经过的某一路径。写成更简洁的形式 j l ( ) 以= l l l ( 厶，) ( 2 1 ) 称以为射线投影，c t 图像重建就是根据这些射线投影来确定物体的内部结构， 根据前述的数据采集方式，若测得l 和，即可以得到一系列的投影数据，从而可 以利用( 2 1 ) 式，确定( x ，y ) 的分布情况( 见文献 6 ) 。 第二节c t 图像重建的理论基础 r a d o n 变换及其逆变换 考虑到n 维空间的超平面 ：p = 工 其中石= ( ，t ) r ”，s ”1 ，是n 维空间的单位向量，p 尺1 是原点到超平 面的距离。p ，为超平面的位置参数。 定义2 2 1 设厂( x ) = ，( ，) 巾( 彤) ，则函数( j ) 的月口如n 变换可是厂( ) 的在超平面三上的积分 可( 口，) = f 。( x ) 出 4 ( 2 2 ) 在二维空间中，若用极坐标( r ，妒) 代替直角坐标( x ，y ) ，如图2 4 所示 翁丫， 这时有x = ，c o s 妒) ，= r s i n 妒，妒= d 阳喀( y 肛) 。在x 0 y 平面内，厂( r ，妒) 沿直线s 的 积分为 p ( ，口) = e 厂( 瓜研a 怫( 训出 ( 2 3 ) 记为矽( ，曰) ，它是厂( ，妒) 在p 方向上的投影，称为函数厂( ，妒) 的r 口如n 变换， 则其月口如n 逆变换lr 。厂l ( ，妒) 为 亦唧) = 嘉i re 黔口 4 ， 即 竹卅= 专r e 豁口 ( 2 s ) 式( 2 5 ) 给出了r 如n 逆变换公式。由于积分在，= r c o s ( 口一抑= 时发散，所以 我们把它理解为柯西主值意义下的积分。理论上式( 2 5 ) 也给出了图像投影重建 的重建公式，但由于公式中微分项的存在，使得该公式对p ( ，口) 的微小误差极为 敏感。可是在实际应用中p ( ，口) 是一个测量值，只能用来估算线积分值。这些估 算中的不准确，是由于x 射线束的宽度、射束硬化、光子统计及检测器的不准确 等造成的。由于以匕原因只如n 逆变换公式目前在商用c t 中并未得到使用。 二平行束卷积反投影重建算法 针对r d 如n 逆变换公式不宜作数值计算的困难，我们对肋面”逆变换进行变 换，从而产生了卷积反投影算法。具体来说就是在r “如月逆变换的头两步中，即 求导运算和求希尔伯特变换时，使用一个固定的卷积函数与投影数掘的简单卷积 来逼近。卷积反投影算法计算简单，其运算速度快、所需存储量小，而且重建质量 高。 如下，卷积重建算法可用两步来逼近尺a 如n 逆变换： ( 1 ) 关于第一个变量卷积： 记岛( z ) = p ( ，护) ，设卷积函数为力) = 一轫r 2 “只( “) c o s ( 2 丌“) 以，则关于 第一个变量卷积为： 肪一 ( p ) = e p ( ，口弛( p 一p ) 勿 ( 2 6 ) ( 2 ) 反投影，计算图像近似值： 厂( r ，妒) = 昙r d 口e p ( ，曰弘j ( ，c 。s ( 曰一妒) 一p ) 印 ( 2 7 ) 上述过程给出了卷积反投影算法的实现过程，其中只被称为具有带宽为爿的 窗。它满足如下三个正则化条件： 1 ) o 只( 【，) 1 ，如果【，一2 ，那么e ( u ) = o ； 2 ) 只) 是u 的单调不增函数； 3 烛乃( u ) = 1 。 卷积反投影算法的核心是窗函数e ) 的选取，适当的窗函数可以有效的提高 算法的精度，抑制噪声，获得更好的图像分辨率。本文要给出的窗是一种基于 l e m a r i e m e y e r 小波选取的窗( 见第四章) ，表2 1 也给出了一些常用窗的定义 表2 ，l 慕些常用窗的定义 窗名 c ( “) 有限带宽 余弦窗 正弦窗 l c o s ( 2 万“) s i n ( 月弘爿) ( 刀彳) 带有参数n 的广义汉明窗 口+ ( 1 一口) c o s ( 2 石“卢) o 5 口1 第三节图像质量评价 图像重建算法的研究常常借助于模型作为原始图像。模型可以是由若干个椭 圆组成的，赋予一定密度值的图形，也可以是其他基本图像( 如矩形) 构成。对 该原始图像进行“扫描”，求出投影值，再根据这些投影，以待研究的算法进行重 建，得到重建后的图像评价。重建后图像与原始图像差异的客观标准是采用下面 的三个评价参数( 见文献 6 ) ： ( 1 ) 归一化均方根距离测量值d ，即 j = 黼r ( 2 7 ) 上式中，石，乃分别表示测试模型和重建后图像中第f 行，_ ，列的像素密度。7 为 测试模型密度的平均值；d = o 表示重建后图像忠实地再现测试模型图像。d 值愈 大表示两者偏差愈大。 ( 2 ) 归一化平均绝对距离测量值r ，即 ，= o ，说明没有误差。，增大，说明误差增大。 ( 3 ) 最坏情况距离测量值e ，即 其中： e = m a x i 乙一r 口 o i ，j s ni 2 弓= f ，+ 。厶1 。，+ 厶。2 ，+ 】+ 疋“l 2 p i ) 4 弓= 魄，巧+ 厶1 乃+ 厶洲+ 厶训) 4 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 除此以外还引入了平均误差。需要指出的是上述三个参数对不同类型的图像 误差，其敏感程度是不同的。表面看来，d 和r 两个参数意义相仿，且都有平均意 义。实际上d 较敏感地放映某几点产生较大误差的情况，而则较敏感地反映许多 点均有一些小误差的情况。e 则用来衡量重建后的最大偏差。 一厶一l 一一厶拷鞋 第三章基于小波变换的图像重建的卷积反投影算法 在前一章中，我们介绍了图像重建的基本数学理论，在这一章我们将介绍小 波的基本概念和性质，以及基于小波的卷积反投影算法的理论基础：基于一维小 波变换的r a d o n 变换。同时我们还将推导基于小波变换的图像重建的卷积反投影 算法，并且我们把平行束的投影重建算法推广到扇束投影重建中，得到相应的基 于小波的扇束投影重建的卷积反投影算法。最后，我们还对l c m 撕e m e y e r 小波构 造的窗函数进行了比较细致的研究。 第一节基于小波变换的图像重建理论 小波变换及其性质 定义3 1 1 设( f ) r ( r ) ，称( ) 为一个小波母函数，如果它的f o u r i e r 变换妒( f ) 满足允许性条件： q = 学 佃 其中将母函数经伸缩和平移后得 ( 3 1 ) 虬6 ( f ) ：每矿( 三兰) ( a ，b 为实数，且6 o ) ( 3 2 ) 、l 圳 口 称其为一个小波序列。其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 定义3 3 1 函数厂( f ) r ( 矗) 的连续小波变换定义为 哆( 口肋= 厂，# 志e 厂( 。y ( 等矽 ( 3 3 ) 定理3 3 2 令o = e i 矿( ) 1 2 i i d ，g r ( r ) ，则在的连续点有反演公式 厂( f ) = o 一1e e 野( 口，6 知么( f ) 口2 出肋 ( 3 4 ) 及p 8 r s 州8 l 等式 e e ( a ，6 ) 丽a 2 比如= g g 1 e e l ( n ，6 ) 1 2 ，n 2 幽动= e i 厂( f ) 1 2 出刊l 川： 定理3 3 3 若小波母函数5 c ，( f ) 在实轴绝对可积，且满足条件 e f 矿( ) l 如 帆 ( 3 5 ) 则矿( o ) = o ，即e 矿( f ) 西= o ；反之若e 矿( f ) 西= o ，且f 矿f o 则 e i 护( 胁l d m 佃 二r a d o n 变换的小波反演公式 ( 3 6 ) 这一节我们主要研究基于r a d o n 变换的小波反演公式的卷积反投影算法。我 们首先给出了r a d o n 变换的小波反演公式，接着从该公式我们得出相应的卷积反 投影算法。 我们首先定义关于的小波变换：设重建目标函数，( z ) 在上具有紧支 集，工= ( 玉，t ) 如果s ”1 是彤中的单位球面，m ，则，的r a d o n 变换为 彤( p ，) 。上。，( 石) 西r = l 厂( ，珊+ y ) 砂 ( 3 7 ) 是在正交于的超平面一上的积分。设妒( n ) 是一维小波母函数，且满足允许性条 件式( 3 1 ) ，则彤( p ，) 关于p 的一维小波变换表示为 ( ) 黟( q d ，6 ) 爿口严f 矽( f ，功矿( 三二旦矽 定义算子t 如下 中r i ，2l 弛) y ( 量竽胁 ( 3 8 ) ( 则螂，6 ) 中r ”l 川咖( 掣胁 ( 39 ) 则t 被称为脊波变换，其反演公式是脊波变换的理论基础，分别由c a n d e s 4 m u r a t a 5 和渠刚荣独自建立。 定理3 1 设厂( z ) r ( r “) 且有紧支集且g s ( r “) ，则 lll 玳 i m k l o ，口，6 ) 7 奢( ，疗，6 ) d 且在厂( x ) 的连续点有反演公式 南挑q ( 加) ( 31 0 ) 9 一吖0 砸，再生掣，斋如慨 弛) = 1 d j 蜘，咖( 掣脚( 堕掣) 熹如 ( 3 1 1 ) = l m “ l “i 证明：令= ( ，国脚) 7 ，那么 t 夥) t p ，= ，。，( w i 订d y z d y h 其中y = ( 咒，致，只) = 耽。经过变换y = 腑有 舢咖( 生警) 出= 肌矿咖( 学坳 用石( 专) 表示厂( 。力关于咒的f o u r i e r 变换，其中歹= ( 乃，儿， 厂( 。y ) 做关于一的f o u r i e r 变换，并且，我们可以得到： ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ，虬) a 我们对 k 织砂。e 矿嘞6 ，( 矽1 y ) 嘲 = l ；元鸲) 毗砂。= 。严“娟o ) 出= 夕( 缶国) ( 3 1 4 ) 由于y ( 争关于f 的f 。u r i e r 变换是j 口j 一一矿( 咖，这样由胁日阳等式和式 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 我们可以得到： 因为 和 拟捌三罢= e 于( 轰妫。蝎石雨嘴 ( 3 1 5 ) 阿( ， 如悻l ” 口，6 ) 强( ，n ，6 ) d 国粤d 6 f 口r 2 上d 吖普净! 如f a 严2 j 矿“瓣( 舌妫幽， 胁；- l ，2 两( 掣玉 2l 蕊l 。d 缈e 矿哟叶( 盏州毒e 蝴r 如 e 。2 m 6 矿( l 三二亨型) 如= 矿印“川矿( 硝， e 肜磊川甜。e 愀口l 。出 o l 。d e e 2 确”，( 舌) j 卣m 轰= 驴蛳。抛) 嘴 我们可以得到 厂( z ) = g 1 l 。，d e e e ( 矿) ( 牡以驯盯少( 1 兰二警型) 若净幽 = 5 1 l ，。d ee e 彤( f ，奶i c ，( 掣渺i f ，( 堕罢型) 若譬如 得证。 我们称式( 3 1 0 ) 为基于一维小波变换的r a d o n 变换逆公式 定理3 1 2 设厂( z ) r ( 月”) 且有紧支集，厂( x ) 在x 连续，则 。生孙。删一留豳珏靴职娼岛6 ) 黔谌竺掣蚴i k = 。( 。z ，) 证明见参考文献 2 。 引理3 1 3 设i f ，( x ) 满足允许性条件式( 3 1 ) ，当o 时，有 l 如必呶e y 出掣脚( 壁罢型) 青净如 制2 硼e 汐，啪渺。最一孝 ( 3 1 8 ) 证明见参考文献 1 。 定理3 1 4 设设( x ) ( r ”) 且有紧支集，记( 可) ( f ，功是( j ) 的r a d o n 变换，那 么可以得到r a d o n 变换的反演公式： 当。为偶数时， m ) = 筹o 亡竿掣出 ( 3 1 9 ) 当。为奇数时， m ) = 丢筹o e ( 删1 确曲出 ( 3 2 0 ) 第二节基于小波变换的图像重建算法 一基于r a d o n 交换小波反演的平行束投影数据重建的卷积反投影算法 援r 采我们将得剑n 维至i 可中的r a d o n 变珙的苍积及投影算法，出( 3 10 ) 式 可以得到： ，( z ) = 吒1 l 。d 缈e l a r 幽e ( 影) ( ，劝出e e 2 徘“埘j y ( # ) f 2 d 善 ( 3 2 1 ) 令矿( 手) 是一个偶函数，那么有 e a r 幽e ( 可) ( f ，叻出e e 2 嘶“埘l 妒( 孝) 1 2 蟛 = 4 f l nr 一1 幽e ( r 厂) ( f ，叻威f c o s ( 2 州( x 一) n 掌) 1 妒( g ) 1 2d # = 4 舰f ”口“妇e ( 彤) ( f ，) 出f c 。s ( 2 石积一f ) 。善) i 驴( 毋1 2 蟛 = 4 舰e ( 可) ( f ，功疵f l 妒( 驯2 西f ”n “c 。s ( 2 石私一咖亭) 出 其中 f l 驴( 洲孵r ”d “c 。s ( 2 石f ( m f ) n ) 出 = f 业学西r c o s ( 2 砷俨加善) 比 = r 矿l c o s ( 2 坝m 川嘲出e 。韭譬蟛 令 只( n ) = 2 g 1e 。监乒必， ( 3 2 2 ) 和 g ( f ) = f _ 只( 口) 口”1c o s ( 2 石d f ) 出 ( 3 2 3 ) 则有( 3 1 0 ) 式可以表示为 厂( 功= 熙l ；，d e ( 矽) ( f ，功g ( 石一f ) 出 ( 3 2 4 ) 其中e ( 口) 满足： 烛只( 口) = 1 ( 3 2 5 ) 上式就是n 维空间中r a d o n 变换的卷积反投影公式，特别的，当n = 2 时，就是我 们所熟悉的著名的卷积反投影方法。 定理3 2 1 设，( x ) r ( 掣) 且有紧支集，厂( j ) 在石连续，则当n = 2 时有 扭翌l i ，( x ) 一jd j 可( f ，m ) g 一 。r ) 班“f 2o ( 3 2 6 ) i 州= lr 并且在厂( x ) 的连续点有 ，( z ) = j mid m i 矽( f ，曲吼o 一f ) 衍 ( 3 2 7 ) “一i 正l； 式中 吼( f ) = 2 p ( d ) c o s ( 2 删胁 ( 3 2 8 ) o 只( a ) = c ；le ，。知善，少( f ) 是偶函数，且满足( 3 1 ) 式的一维小波，烛只( a ) = l 。 定理3 2 1 给出了基于r a d o n 变换的小波反演公式的卷积反投影算法，也是 平行束投影数据重建的公式。该定理说明了在图像函数的连续点，当窗函数中的 积分下限a 趋于无穷时，重建图像逐点收敛到原图像函数，而在重建区域，重建 图像函数在工2 范数下收敛到原图像函数。 二基于r a d o n 变换小波反演的扇形束投影重建的卷积反投影方法 我们首先等角射线形成的扇束投影和平行束投影之间的关系。如图( 3 一1 ) ， s 为x 射线源所在点，d 表示扇束投影中光源到目标图像中心的距离，s b 为射线中 心，瓦瓦为检测器阵所在弧线，最大投影角y 。保证投影能覆盖整个目标图像。扇 形位置由射线中心和y 轴交角卢( ( o ，2 石】) 决定，同一扇形中任一射线s e 由盯决定， 仃( 1 盯i 爿 我们将在后面的数字实验中对该窗函数做具体的说明，在这里我们来构造本文 e ( a ) = 2 g 1 警蟛 4 ， 具体可分为三步： 第一步：选取适当的小波母函数矿( 力三2 ( ) ，满足甄矽l 矿g ) 卜1 ，1 ； 第二步：选取适当的正整数爿，对l 矿( f ) 1 2 毒”在( 2 d 爿，旧) 进行积分： 第三步：计算g 1 ，由( 4 4 ) 式得到巴( 口) 注：条件仰i 妒( 亭) 障卜1 ，1 ，使得在口2 爿2 时，e ( 口) = o 。 借助平移和伸缩变换，我们可以找到很多满足条件妒p i 妒( 孝) 障 一1 ，1 的小波 母函数。在这罩我们给出一种基于l e m a r i e m e y e r 小波选取的窗，进一步的研究 中我们还发现小波可以达到最佳。 设 ri 叩) ：p 一h 。l 1 ( 4 5 ) 【o i t i 1 令 强( ) = c 1 口( ) ，a ：8 ) = c 2 口( 古) 其中c l ，c 2 分别使得 设 令 弘肛弘l ，2 ) a 辞o ) = 口( y ) d y ，i ( f ) = s i n 9 0 ) ，i = 1 ，2 。 6 i ( f ) = ( f a ) s ：( f + 卢) ，且蟊( 孝) = 6 l ( ) 一“， 显然有螽c 。，令( 孝) = 蟊( 孝) ，这样仰i 矿( 善) 障 一1 ，1 ，我们可以得到： 厅( a ) = c ? e ，。旦挚善 在上述构造只( d ) 的过程中，参数s ，口，卢存在一定的数量关系。我们令 占= o 0 5 ，口= o 7 日，口= 0 9 0 ，所得到的窗如下图( 4 一1 ) 所示。该窗光滑连续，在 无穷远处快速衰减至o ，这个特性对局部重建至关重要，我们后面的实验结果也证 实了这一点。我们适当的改变参数，口，的值，窗函数的图形也相应的发生变 化，在实验中我们发现这也对图像重建效果产生一些影响。因此在实际重建中我 们可以通过适当的选取参数来进一步优化我们的算法，相应的数值实验我们已在 第四节给出。下面给出了口分别取0 5 0 ，0 7 0 ，0 8 5 时的相应窗函数图形以及( r ) ( 如图4 4 ) ，相应的实验结果可以参考第四章。 图4 ：窗函数图形 陶( 4 i ) 口= 0 j斟( 4 2 ) 口= o 7 0 图( 4 3 ) 口= o 8 5 第三节局部重建的误差分析 一平行束投影的误差分析 图( 4 4 j ( r ) 关于基于r a d o n 变换的小波反演公式的卷积反投影算法作局部重建的时候，用 局部的投影数据加上少部分的额外部分的投影数据与用整体投影数据重建的图像 在局部区域的误差分析。该误差的大小依赖于窗，即小波的选取，相关的结论我 们可以见文献 2 】。设厂( 工，y ) 在上具有紧致集，令r o i 为口( ，f ) = 协忙一i f ) ， 在这里我们使用穿过鼠( ，r + f ) 的投影数据来重建鼠。 令a = 1 ，员u 有 1 7 ； g ( j ) = 2i 口巧( 口) c o s ( 2 删s x 如。 ( 4 6 ) 占 当j o 时，由分部积分得 m 、一 2 c b ) “o 一裔+ 嵩。 删刊2 和，一一南+ 喾等c h o 。， 其中l c ( s ) l c ：= 1 掰f “( n ) + 口f ( d ) 】出( m 为正整数) 。 令 六( 力= l ：，d 甜e ( 影) ( ，卯叮( 石一，) 廓 厶o ) = l ：，d f ：二( 可) ( f ，p ) g b 一f ) 出 这样我们可以得到 1 9 ( 4 7 ) 4 8 ) 兀( 一) = 无( 力一厶( x ) = l ；。d 酬。，( 可) ( f ，口) g 一f ) 出 ( 4 9 ) 我们令五( 工) 为截断误差，且兀( z ) 一五( ) = 墨+ 马，其中 r = 一壶。d _ 啦，矽( r + 噶妨石：石i ：! 了万一吉渺驯z l日+ f r、o ，w ， 驴南卫，沙训篙等铲一竽渺 由勋脚拓5 不等式，r c l ( r ，五+ r ) 矽i k ，其中 铘m 加嘉( 点d 气，两南丽一吉胁矿 是一个较小的数 3 ，如果边界数据有k 个像素，则 是器专s 哄高 式中d 是采样间隔角度，4 = l d ，r 依赖于巳，从而处决于小波的选取。 二扇束投影的误差分析 在理论上，我们已经研究了基于r a d o n 变换的小波反演公式的卷积反投影算 法用局部的投影数据加上少部分的额外部分的投影数据与用整体投影数据重建的 图像在局部区域的误差分析。该误差的大小依赖于窗，即小波的选取，相关的结 论我们可以见 2 。类似的误差分析也可以在扇束投影重建中研究。设厂( z ) 在r 2 上 具有紧支集，令曰( 而，胄) = 瓴忙一而i r ) 。对于b ( ，r ) ，当固定时，由而决 定，而且a - o = a r c s i n 生! ! ￥型，对于一个给定的r ，我们也可以得到一个仃。，盯。 由a r c s i n 给出。当i 盯l 时，投影p ( 仃，) 可以覆盖到整个重建区域b ( ，r ) 。同 样的方式我们可以得到，现在我们使用过b ( ，月+ f ) 的投影数据来重建b ( ，r ) 的图像。由( 3 3 1 ) 式我们有 砸，咖覆叫点，扣( 咖) d c o s 伊鞴蚧( 咿州州0 一一4 0 i ( 4 r + 口f 山 1 、uou ， 我们作变量替换： 由此可以得到 盯= a r c s i n f y d ，= 矿一a r c s i n f f d l 仆志蠢吾 如图( 3 2 ) 所示，我们也可以得到 则 一仃：础掣，吣一d ，：竿， 町2 黜t ，叫一d 2 t ， ( 4 1 2 ) 鞲；u 扣悯啪厮。雩x ( 眦s i n 三) i ，埘 氡上姒彩芋孙c 蛐争影 o 卜b m + f ( 二二- r 。 由于吼。，4 ( s ) = 吼。( 4 j ) ，我们可以的得到 c 争吨c = 印卅， ( 兰) z 2 高吼o 。 ( a r c s i n 二) 2 f f 。 4 ：_ ! 竺! 工：一亟二1 4 = 土一= 一二尘_ 二= 一 f f 工s i n ( 盯。一盯) 我们将( 4 1 5 ) 式代入( 4 1 3 ) 中可以得到 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) _ 2 f a ( ，口) = fj p ( f ：) 玑( f f | ，；rc o s 【州) 出。彤 ( 4 1 6 ) 。op l b i + 7 利用 1 中的结论，我们令正( z ) 为截断误差，则丘( x ) 一五( ) = 置+ 足，其中 2 l 墨：錾气驴噶训而蠢一如 。， 妒石嘉i 托f ，驷叻c 警吾杀铲一竽肌 由舶w r f z s 不等式，r l c l ( r ，尺+ r ) l i 彤i b ( 引，其中 郴m ) - 嘉( ，d 气l ，。而三丽一争2 缈， c 4 是个较小的数 3 。如果边界数据有k 个像素，则 式中d 矽i l 。 “( 2 z ) ”1 d 同样处决于小波的选取。 第四节数字实验和结果 ( 4 2 0 ) 我们的实验均为局部重建，模拟数据使用s h e p p l o g a n 头像模型，重建算法 为我们在第三章推导的基于r a d o n 变换小波反演的扇形束投影重建的卷积反投影 方法。正如前面所提到的，在局部重建中往往产生一个常数偏移，为了消除偏移， 我们在边界区域进行如下延拓： i 多b ( 盯，)i 盯峰盯 多k 。，( 仃，卢) = 卢m 。( 一盯r ，)仃 盯 实验一该实验中窗函数使用本文给出的只( 口) ，图( a ) ，( b ) ，( c ) 分别为不同参数 下的局部重建图，模拟数据为s h e e p l o g a n 头像模型，目标图像尺寸为5 1 2 5 1 2 ，重 建区域为一个半径r = 2 5 的圆形区域，均使用额外3 个像素，采集的投影数据量为 1 2 l 木7 2 0 。 图( 4 5 ) ：不同参数下的局部重建图 ( a ) 口= 0 5 0 ( b ) 口= o 7 0 ( c ) 口= o 8 5 表一：不同参数下的局部重建误差分析 蝴裁 。；dr e 平均误差 额办痂趴 ” a = 0 5 0o 0 3 1 2o 0 7 0 90 0 5 5 9o 0 1 2 9 口= 0 7 00 0 2 9 2o 0 6 7 6 o 0 5 3 90 0 1 2 3 d = o 8 5o 0 2 8 3o 0 6 6 4o 0 5 2 2o ，0 1 2 l 上述实验结果表明，在同等实验情况下，当a = 0 8 5 时取得的实验结果较其余 实验结果要好，相应的图像分辨率在提高，当然这并不意味着的值越大越好，实 际上，我们发现在a = o 9 0 时，有两项指标反而减弱。由此可以发现适当选取口的 值是提升窗函数重建效果的一个有效途径，相对于其他的窗函数而言，这个特性 是其他窗函数所没有的。 实验二该实验使用只( d ) 和俾) 做局部重建，不使用额外像素，其中只( a ) 中参 数口的值为o 8 5 。模拟数据为s h e e p l o g a n 头像模型，目标图像尺寸为5 1 2 术5 1 2 ，重建 区域为一个半径r = 2 5 的圆形区域。 图( 4 6 ) ：使用e ( 口) 和矿饵) 的局部重建图 ( d ) 只0 ) ( e ) 似)( f ) 目标区域 表二：使用e ( 口) 和矿俾) 作局部重建的误差数据 ， 、黝西辫 drt 、e x“ 平均误差 2 掰 女 ； “ ( r ) o 1 5 1 30 3 0 8 5o 1 8 9 lo 0 5 6 1 只( 口) o 1 4 9 9o 3 0 6 5o 1 8 5 1o 0 5 5 7 上面实验结果显示，借助于窗的特性，我们的窗和w ( r ) 均能够直接实现局部重 建，并且可以清晰的重建区域的基本信息，表二的各项数掘表明本文的窗函数其重 建结果要稍优于w ( r ) 所得到的实验结果。 接下来我们选取额外数据来进行重建，既使用穿过b ( 矗，r + r ) 的数据来重建 曰( ，r ) ，我们只需增加每个角度的投影射线的条数，从而可以覆盖额外的2 个，3 个，7 个像素。实验结果如下图所示： 实验三该实验使用只0 ) 和矿( r ) 做局部重建，各分别使用额外2 ，3 ，7 个像素。 模拟数据为s h e e p 一1 0 9 a n 头像模型，目标图像尺寸为5 1 2 $ 5 1 2 ，重建区域为一个 半径r = 2 5 的圆形区域。其中图( 4 6 ) ( 4 7 ) 为使用e ( 口) 和俾) 局部重建实验 图，表三和表四为相应的误差分析数据 图( 4 7 ) ：使用只( 口) 局部重建实验图 ( g ) 2 个像素( h ) 3 个像素( i ) 7 个像素 表三：使用e ( n ) 作局部重建的误差分析 i 溜价函数一d 、， 一一一r 一- 一e 一 ，。平均误差 额矫磊趴 ”r”。，。 2o 0 3 5 4o 0 7 4 8o 0 6 8 5o 0 1 3 6 3 o 0 2 8 3o 0 6 6 40 0 5 2 2 o 0 1 2 1 7o 0 1 7 2o 0 5 0 00 0 4 0 90 0 0 9 1 ( j ) 2 个像素 图( 4 8 ) ：使用形( r ) 局部重建实验图 ( k ) 3 个像素( m ) 7 个像素 2 4 表四：使用矿( r ) 作局部重建的误差分析 q 渺 dr 。 e平均误差 黝缉入 20 0 3 5 7o 0 7 5 2o 0 6 7 lo 0 1 3 7 3 o 0 2 8 8o 0 6 7 00 0 5 2 3o 0 1 2 2 70 ，0 1 7 6 o 0 5 0 40 0 4 2 7 o 0 0 9 2 上面的