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东北大学硕士学位论文 摘要 网格对称点处导数小片插值恢复的强超收敛性 摘要 有限元方法是科学和工程计算中最主要的方法之一。在实际应用中，人们 发现对某些问题，有限元解或其导数在一些特殊点有异乎寻常的收敛率，这种 现象称之为“超收敛”。由于它对有限元计算的重要意义，超收敛已经成为有 限元理论研究的一个热点，并且也可以通过后处理技术获得超收敛。 1 9 9 2 年，z i e n k i e w i c z z h u t l 8 2 0 1 提出了s p r 后处理技术并给出了一些强超 收敛( 比最优的全局收敛阶高出二阶) 数值结果，从此强超收敛。f 、引起了数值 分析学者的浓厚兴趣。张智民 1 5 , 1 6 已经给出了z z 技术强超收敛性的相关理 论分析。张铁【1 3 垮 对二阶椭圆边值问题，采用插值恢复技术在单元节点处也得 到了强超收敛的结果。本文对二阶椭圆边值问题，采用了小片插值恢复技术在 单元对称点( 单元内边中点及单元中心点) 处进行了强超收敛性分析。本文的恢 复方法更简单实用，并且具有显式表达式。本文的结构安排如下： 第一章，首先简单介绍了一下有限元方法以及它的超收敛性质。 第二章，针对一类两点边值问题分析了导数小片插值恢复技术的超收敛 性质以及强超收敛性质。 第三章，针对二维椭圆边值问题研究了导数小片插值恢复技术的超收敛 性质和强超收敛性质。其中，采用矩形网格剖分，考虑超收敛性质时，采用拟 一致网格剖分，而在分析单元节点和单元对称点处的强超收敛性质时，采用局 部致网格剖分。 第四章，针对一个具体的二阶椭圆边值问题，给出了恢复导数误差估计的 数值结果。 第五章，总结了本文所做的工作并给出了进一步研究的建议。 关键词；有限元投影型插值导数恢复强超收敛性 查苎垄兰壁主兰垒垒查一垒! 皇堕 u l t r a c o n v e r g e n c eo f t h ed e r i v a t i v ep a t c hi n t e r p o l a t i n g r e c o v e r ya tm e s hs y m m e t r yp o i n t s a b s t r a c t f i n i t ee l e m e n tm e t h o dh a sb e e no n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm e t h o d sf o r c o m p u t i n gi ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n g i np r a c t i c e ，p e o p l eh a v ef i n d t h a tf i n i t e e l e m e n ts o l u t i o no ri t sd e r i v a t i v eh a sa ne g r e g i o u sc o n v e r g e n c er a t e a ts o m e s p e c i a lp o i n t sf o rs o m ep r o b l e m s t h i sp h e n o m e n o n i s c a l l e d s u p e r c o n v e r g e n c e w h i c hh a sb e e nt h ef o c u so ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dt h e r o yb e c a u s eo fi t s d i r e c t i v es i g n i f i c a n c ef o rc o m p u t i n g w ec a ng e tt h es u p e r c o n v e r g e n tp r o p e r t yv i a t h ep o s t p r o c e s s i n gt e c h n i q u e s i n19 9 2 z i e n k i e w i c z z h u 【18 2 0 】p r o p o s e dt h es p rp o s t p r o c e s s i n gt e c h n i q u e w i t hs o m eu l t r a c o n v e r g e n c e ( i e ，t w oo r d e rh i g h e rt h a nt h eo p t i m a lg l o b a l c o n v e r g e n c er a t e ) n u m e r i c a lr e s u l t s t h a ta t t r a c t e dm o r ea n d m o r en u m e r i c a l a n a l y s t sa f t e r w a r d s t h eu l t r a c o n v e r g e n c eo fz zt e c h n i q u eh a sb e e na n a l y z e db y z h a n gz h i m i n 【1 5 ，1 们z h a n gt i et 1 3 】g o tt h eu l t r a e o n v e r g e n c eo ft h ei n t e r p o l a t i n g r e c o v e r yt e c h n i q u ea ta ni n t e r i o rn o d a lp o i n t t ot h es e c o n do r d e re l l i p t i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m 。i nt h i sp a p e lt h e u l t r a c o n v e r g e n c e o ft h ed e r i v a t i v e p a t c h i n t e r p o l a t i n gr e c o v e r yt e c h n i q u ea tm e s hs y m m e t r yp o i n t s ( i n t e r i o re d g ec e n t e r s a n de l e m e n tc e n t e r ) i sa n a l y z e dt ot h es e c o n do r d e re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo n ar e c t a n g u l a rd o m a i n c o m p a r i n g w i t ht h ez z t e c h n i q u e t h i s r e c o v e r ym e t h o di s m o r es i m p l ea n de a s i e rt oi m p l e m e n t ，a n dp o s s e s s e st h e e x p l i c i te x p r e s s i o n t h eo r g a n i z a t i o no ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w ： i n c h a p t e r1 ，w es h a l ls i m p l yi n t r o d u c e f i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n di t s s u p e r c o n v e r g e n c e i nc h a p t e r2 ，t h es u p e r c o n v e r g e n c ea n du l t r a c o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so ft h e d e r i v a t i v ep a t c hi n t e r p o l a t i n gr e c o v e r yt e c h n i q u ei s a n a l y z e df o r at w o - p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i 东北大学硕士学位论文 i nc h a p t e r3 ，i ti sd e v o t e dt ot h es u p e r c o n v e r g e n c ea n du l t r a c o n v e r g e n c e p r o p e r t i e so ft h ed e r i v a t ei n t e r p o l a t i n gr e c o v e r yt e c h n i q u ef o rf i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o nt ot h ee l l i p t i ce q u a t i o no nar e c t a n g u l a rd o m a i n h e r e ，w ew i l l a s s u m et h a tt h e r e c t a n g u l a rp a r t i t i o n m e s hi s r e g u l a rf o rg e n e r a l c a s eo r q u a s i - r e g u l a rw h e ns u p e r c o n v e r g e n c ei sc o n s i d e r e d m o r e o v e r ，w h e nw ea n a l y s i s t h eu l t r a c o n v e r g e n c ea tt h ei n t e r i o rn o d a lp o i n ta n dt h em e s hs y m m e t r yp o i n t s ，w e w i l la l s oa s s u m et h a tt h em e s hi sl o c a lu n i f o r m i nc h a p t e r4 ，f o rad e t a i l e ds e c o n do r d e re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，w e g e tt h ee r r o re s t i m a t e so ft h ed e r i v a t i v er e c o v e r yn u m e r i c a l l y i nc h a p t e r5 ，w eg i v et h et a go ft h i sp a p e ls u m m a r i z et h er e s u l t sa n dg i v e s o m ea d v i c eo ff u r t h e rs t u d y k e yw o r d s ：f i n i t ee l e m e n t ；i n t e r p o l a t i o no fp r o j e c t i o nt y p e ；d e r i v a t i v er e c o v e r y ； u l t r a c o n v e r g e n c e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究成果 除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果，也不包 括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：、| 戈哦瞬 日期：i 、夕 u 学位论文版权使用授权书 卒学位论文作看丰口于旨导教帅元全jj 8 年豕北大学有关保茸、便用学位论文的规定： 即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索、交流。 学位论文作者签名：妇嘞 日飙，陟 j 另外，如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。 导师签名乏缈 婵醐。矿，j 乞1 ”，di ： 溯协 凄几 名趴 隘 硝 姗肌 沧日 位字 学签 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 有限元方法的概述 1 1 1 有限元方法的产生背景 有限元方法，实质上是r i t z g a l e r k i n 方法的革新与发展。在实际使用 r - g 方法时，需要选择合适的基函数，对不规则区域和一般的边界条件选 择合适的基函数是困难的，特别地，有时选择基函数的前几项效果很好， 但当项数增加时，数值结果产生波动，出现稳定性问题。具有光荣历史的 r - g 方法面临衰落的危险，因此需要研究如何更好的选择基函数，使r o 方法获得新的生命力。有限元方法应运而生，它与传统的r g 方法主要区 别在于采用“分片多项式基函数”代替原来的代数或三角多项式基函数， 从而很大程度上克服了r g 方法的固有困难。 1 1 2 有限元方法的发展历史 以哥廷根学派为代表的数学家和以s o b o l e v 与m i k h l i n 为代表的苏联数 学家已为有限元的数学理论做好了准备工作，而且以n e u m a n n 为代表的数 学家参加了电子计算机的设计和制造，尽管发展有限元方法的条件已经完 全具备，但有限元方法下一阶段的发展不是由数学家完成的，而是由工程 师们完成的。5 0 年代初，在英国和德国，a r g y r i s 和他的合作者发表了一系 列关于有限元的文章 m a r t i n 和c l o u g h 在德国和美国也做了不少工作， 结构工程师们做了大量的工作，当时并未意识到它和r g 方法的关系， 方法也不叫有限元，而是叫直接刚度法。直到6 0 年代初，才把这种方法叫 做有限元方法，并且认识到，它实际上就是把基函数取为分片多项式的r g 方法。从6 0 年代开始，国内外数学家开始从数学方面研究有限元方法 的理论，从此有限元方法得到迅速发展，并成功应用于科学与工程计算问 题。 1 1 3 有限元方法的基本问题 现在有限元方法已成为求解偏微分方程的一种有效数值方法。有限元 现在有限元方法己成为求解偏微分方程的一种有效数值方法。有限元 - 1 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 法的基本问题可归纳为： ( 1 ) 把问题化成变分形式 ( 2 ) 选定单元的形状，对求解域作剖分 ( 3 构造基函数或单元形状函数 ( 4 ) 形成有限元方程 ( 5 ) 提供有限元方程的有效求解 ( 6 ) 收敛性与误差估计 有限元方法的理论研究主要围绕着有限元解的收敛性及误差估计。超 收敛性对于有限元实际计算精度的提高，后验误差估计和自适应计算都起 着非常重要的作用。 1 2 超收敛的概述 1 2 1 超收敛的定义 众所周知，有限元空间中分片k 次插值多项式在剖分区域上的逼近阶 为o ( h 1 5 ) 其中j = o ，1 分别对应函数和导数逼近情形，这个阶是最优的，不 可改进的。但这并不排除插值多项式逼近在剖分单元的一些特殊点上具有 逼近阶o ( h 七+ 卜什“) ，口 0 。如果一个问题的有限元解在这些点的收敛阶也能 达到o ( h “1 抖8 ) ，则这样的点称为超收敛点，这种现象称为超收敛性 ( s u p e r e o n v e r g e n c e ) 。 下面举个简单的例子来说明： 在小区间k ，恐】上作函数”( x ) 的线性插值函数 封，( = i 沁一妇瓴) + x 一毛i k 彬矗，积= x ：一t ) 它的l a g r a n g e 插值余项为 ( x ) 一z ( x ) = o 5 ( 工一屯) ( x 一西) “( ) 其中量( ，如) 且与x 有关。 将矿( 磊) 在中点x = ( x l + x 2 ) 2 处泰勒展开得到 材。( 磊) = d ( i ) + ( 六一i ) 群1 ( i ) + d ( 免2 ) 带入到插值余项中得到 2 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 “( x ) - - h i ( x ) = o 5 ( x 一而) ( x 一墨) p ( i ) + ( 量一i ) “”( ) + o ( h 2 ) 对此式求导得到 = 0 5 ( x 一屯) ( x x 1 ) u w ( i ) + o 5 ( x 一屯) ( x 一而) ( 鼻一i ) u m ( i ) + d ( 4 ) ( x ) 一坼( x ) = ( x - x ) “。( ；) + d ( 厅2 ) 可见导数误差一般仅仅是一阶小量o ( h ) ，但在区间中点x = z 处它却是二阶 小量。( 磊2 ) 。函数逼近在某些点上特别准确，这就是超收敛的含义。然而富 有深刻意义的是，有限元逼近在一定条件下也保持着这种优美的性质。上 述的超收敛性( 点) 称为天然超收敛性( 点) ，获得超收敛的另一个途径是 利用各种后处理技术，如外推技术，平均技术，插值有限元，导数恢复技 术等。 1 2 2 超收敛的发展历史及研究成果 旱在六十年代，冯康教授在一般情况下已独立研究过有限元解的收敛 性及误差估计。对直角三角形网络上的线性有限元u 。与线性插值“，1 9 6 9 年o g a n e s y a n r u k h o v e t z 证明了一个超收敛估计帆一群川1 n = d ( 磊2 ) ，但他们 没有导出实用的超收敛结果。19 7 7 年z l a m a l 研究了h = 1 ，2 次矩形元，在所 有单元的疗疗阶g a u s s 点上得到了梯度d u 。的超收敛结果。在中国，陈传淼 ( 1 9 7 8 ) 首次研究了三角形线性元梯度的超收敛性，陈传淼、朱起定( 1 9 7 8 ) 研究了一般二阶方程1 ，2 次矩形元梯度的超收敛性。陈传淼研究了任意次 一维有限元( 1 9 7 9 ) 及任意矩形元( 1 9 8 1 ) 的函数及梯度的超收敛性。朱起定 ( 1 9 8 1 ) 还研究了三角形二次元。此后，许多中国学者投入了这种研究，如 林群、黄云清、杨一都、张铁等等。这样，在中国逐渐形成了超收敛分析 方法，经过长达2 0 多年的不懈研究，已积累了较丰富的成果( 包括许多外 国学者的工作) 。 最初由陈传淼提出投影型插值概念，林群，朱起定对这一插值进行了 系统的研究，张铁详细研究了投影型插值函数和导数逼近的超收敛点及其 超收敛性基本估计。导数恢复技术近年的研究成果中，z z 技术是比较有 效的一种，它是利用最小二乘法在g a u s s 点上对有限元导数进行多项式拟 1 东北大擘硕士学位论交 第一章绪论 合。张铁提出的导数小片插值恢复技术是这个研究方向上的新成果，它比 z z 技术更简单实用，并且也适用于二维矩形有限元。此外，利用导数小 片插值恢复技术或z z 技术，还可获得有限元导数逼近在剖分节点处高 出二阶的超收敛性，也称之为强超收敛性( u l t r a c o n v e r g e n c e ) 。 有限元是科学和工程计算最主要的方法之一，其超收敛性是提高精度 和解算高维问题的有效途径，有重要的理论和实用意义。国际上研究超收 敛已3 0 多年。我国学者1 9 7 8 年己独立于国外证明了超收敛性，随后在长 达2 0 多年的时间里做了深入系统的研究，建成了具有中国特色的超收敛理 论方法体系。在芬兰( 1 9 9 6 ，主席k r t i z e k ，n e i t t a a m a k i ) 和美国( 2 0 0 0 ， 主席b a b u s k a ，w a h l b i n ) 曾分别召开过两次有限元超收敛国际会议，特邀 中国学者林群、陈传淼和黄云清做报告。这两次会议都充分肯定了中国学 者的开创性工作，并公认中国超收敛学派是国际三大学派之一，另外两个 学派是美国i t h a c a 学派和t e x a s 学派。 2 0 0 4 年5 月3 1 日至6 月2 日在湖南师范大学成功召开了“有限元超 收敛和后估计”第三次国际会议，主席是石钟慈院士，陈传淼教授和张智 民教授。国际超收敛研究三大学派主要代表及后估计的国际专家汇聚长沙， 到会代表4 0 多人，其中1 6 人来自美、英、德、加、瑞典、捷克、荷兰等 国。第四次会议已计划2 0 0 5 年在德国举办，并计划在美国接着举办。由此 可见有限元超收敛的理论研究和实用意义已经倍受各国学者重视。 1 3 本文主要工作 本文首先分别在一维、二维情况下讨论了导数小片插值恢复技术及其 超收敛性。然后研究了二阶椭圆边值问题的有限元解在矩形剖分单元对称 点( 单元内边中点，单元中心) 处的超收敛性，利用导数小片插值恢复技 术建立了有限元解的强超收敛性，并进行了数值实验检验。本文工作是在 已有结果上的改进。 4 东北大学硕士学位论文 第二章一堆导数恢复技术及其超收婚l 生 第二章一维导数恢复技术及其超收敛性 本章将介绍一种导数小片插值恢复技术，它可用于计算有限元节点处 导数的近似值，并且在小片恢复区域上具有整体超收敛性质。在一定条件 下，它还可以在节点处获得强超收敛性。与z z 技术( 参见文献 15 】) 相 比，该导数恢复公式更简单易行，且具有明确的解析表达式。 2 1 一维投影型插值算子及其逼近性 设单元e = x 。一h e , x e ) ， o g 凝。是工z o ) 上规范完备的l e g e n d r e 正交 多项式函数系。设 = l ，彩川g ) = 一k o g ) 出，工p ，j - o ( 2 1 ) 熟知，多项式c o m 0 ) 和厶g ) 1 ) 分别在虿和e 上有k + 1 和k 个零点，并且这 些零点关于点对称分布。分别记这两种零点：l k = d z ；。为l o b a t t 。点， g = g j e - l 为g a u s s 点。当七为奇数时为一高斯点。此外，厶g ) 具有如下 对称与反对称性质： 2 j g 。+ x ) = 岛j ( 】一x l 工巧一l g 。+ x ) - - - l 2 j 1 0 。一x x 工e ( 2 2 ) 现设函数“h 1 g ) ，那么“岛( 8 ) ，于是可有f o u r ie r 展开( 参见文献【2 】) 其中 7 ( x ) = 吩( x ) ；u ( x ) = 岛q ( 膏) ，工e ( 2 3 ) j - oj - o 吩= i ( x ) ( x ) 出，属= ( t 一吃) ，岛+ 。= 吁，j 0 ( 2 4 ) 定义单元。上尼阶投影型插值算子i h ：日1 0 ) _ 最g ) 5 东北大学硕士学位论文第二章一维导数恢复技术及其超收敛性 k “g ) = 岛q g ) ，x e ，“h 1e ) ( 2 5 ) 这里最0 ) 是单元8 上k 次多项式集合。根据文献 2 】，对于k 1 ，i h 具有性质： ( i ) i h u 最0 ) ，i h p = p ，印最q ) ( i i ) i h u ( x 。九) = “k 以) l i i u l l 岫。 - c l l u l l ，。，1 p o o ( i v ) l l u - 屯i i 。嘶“”p l l ，则单元e 上的高斯点譬， 是插值算子i h u 的应 力佳点，即 叭g 小f “( 毋i 叫制。，t l ( 2 8 ) 6 东北大学硕士学位论文 第二章一堆导数恢复技术及其超收鳋 生 证明：引进线性变换：x = e o ) = x e + 魄，t = ( - 1 ，1 ) ，则c ：a 斗e 。以下规定 ( ) = “眈= g 。+ t h e ) ，t 现对e 上任一取定的高新点g = x 。+ 7 h e ，定义线性泛函 e ( 舀) = ( d 一“) ( o ) = 吃( “一枷) ( 岛) 由i h 的性质( i i i ) 可知e q ) 是孵+ 2 0 ) 上的线性有界泛函，且从引理2 1 知 e 0 ) = 0 ，v u 最+ 1 p ) 则根据b r a m b l e h i l b e r t 引理( 参见文献【2 】) 得到 i e l - c l 舀l m “= c 砧“l u l m 。 由此，引理2 2 得证。( 证毕) 2 2 导数小片插值恢复技术 考虑与节点t 相邻的两个单元q = g i - l ，t ) ，p = g ，x 州) ，h 。= 一一x “ h j + l = x f + l x ，。令小片恢复区域j i = qu 缸， ub f + l = g ，一h l , x f + h i + 1 ) 。设k 阶投影 型插值算子如在单元e ，和e 。1 上如( 2 5 ) 式定义，则得到如在以上的定义。 对“h 1 ) ，由i h 的性质( i ) 一( i i ) 可知如材c ( j f j 为山上的分片k 次多项式a 将q 和e i + l 上的高斯点分别记为k “j 和k 州，j ，在山上依次排序为 工f 一1 9 1 ，i g f ，1 t g i + l ，i g i + l ，七 x l + l 设七1 ，取，使_ j + 1 2 ( 2 17 ) 9 东北大学硕士学位论文第二章一维导数恢复技术及其超收敛性 证明：只须证明( 2 1 6 ) 式成立。首先考虑七+ 2 次多项式 直接计算可知 删= 口降 “2 一。 瓦+ ：( ) = o ，瑶+ ：( 而一f ) = 一玩+ 2 ( 蕾+ f ) ，o f 吩 ( 2 1 8 ) 记也o ) 为标准单元a = ( _ 1 ，1 ) 上规范完备的l e g e n d r e 正交多项式函数系。那 么单元e i = b h ，毛) ，e = 0 ，x m ) 上的l e g e n d r e 多项式可分别写为 毋g ) = o ( f ) ，x = 竽+ 争 妒o ) = o ( f ) ，x = 孚+ 知 由于当歹为奇( 偶) 时，0 ( f ) 为奇( 偶) 函数，直接验证可有 彩g ，一r ) = 。l o ：j + 1 0 。+ r ) ，瑚一，g ，一r ) = 一透捣g 。+ r ) ，0 - r - h i ( 2 1 9 ) 根据i 的定义有 其中 瓦：( x ) ：k - 1 矽矽( 工) ，工岛 j - o k - 1 玩+ ：( x ) = 秽“孝1 ( x ) ，z e i + 。 ( 2 2 0 ) j l o 霹2 磁+ ：( x ) 巧( x ) 出，秽“= t 磁+ ：( 工) 巧“( x ) 出 ( 2 2 1 ) 利用积分变量替换可得 兰毒群鬻捌= 争取：( 挚+ 等小( 归 1 0 东北大学硕士学住论文 第二章一维导数恢茇技术及其超收敛牲 注意 丑导一粤，：矿了h i ( f + 1 ) ， 22 1 2 、 。 啦+虹，：一十堕(r+1)222 i、， 则利用( 2 18 ) 式和l j o ) 的奇偶性，从( 2 2 2 ) 式得到 口夥= 一口夥”，口臻，= 口剔 再利用( 2 1 9 ) 式和( 2 2 3 ) 式，从( 2 2 0 ) 可得( 记k = 2 s ) 瓦+ ：( 毛一f ) + 瓦+ ：( x i + r ) 取f = x 。一g ，= g i + u 一一，= 1 ，2 ，r ，由上式可以得到 ( 2 2 3 ) 玩+ ：( 蜀，) + 瓦+ ：( g 。) = o ，j = l ，2 ， ( 2 2 4 ) 这样，从( 2 15 ) 和( 2 1 8 ) 式可得到 r 玩+ 2 ( 玉) = o = 磁+ ：( 气) 现在，对任一“t + 2 最+ 2 ) ，可将甜表示为 ”七+ 2 = 一u k + 2 + t + l ，球i + l 最+ l ) 利用( 2 2 5 ) 和( 2 1 1 ) 式得 r 。+ ：( t ) = 昱菇瓦+ ：( 薯) + 只u k + t ( 五) = l f ：+ ：( ) 则( 2 1 6 ) 得证，从而定理2 2 也得证。( 证毕) 2 3 超收敛及强超收敛性 ( 2 2 5 ) 本节将利用导数恢复技术导出两点边值问题有限元解的超收敛性质及 其强超收敛性质。 1 1 矗v i r 一 0 0 | j 0 + 0o t蚴 争 盯一 垆 ，p ，月 + 以 + g + ，地v 口 玎 ，p 脚 | | 东北大学硕士学位论文 第二章一维导数恢复技术及其超收敛性 设区域q = ( o ，1 ) ，以7 0 = x 0 而 l ( 2 , 3 2 ) 进一步设“眩+ 3 ( ) ，k 2 ，h j = 啊+ l ，t 2 2 = l ，a 1 = 0 ，则成立如下节点强超 收敛估计 纵t ) 一叫( 圳 ”( 。+ 。- ) ，】| 2 ( 2 3 3 ) 证明：由引理2 3 知足为线性有界算子，则利用定理2 1 和引理2 4 锝到 纵x ) 一州( 刮叭x ) 一硝“( x ) i + | 川i ( z ) 一m ( x ) l l o 。 0 熟知，多项式敛+ 1 g ) 和k g ) ( 七1 ) 分别在瓦和e l 上有七+ l 和k 个零点，并且 这些零点关于点对称分布。分别记这两种零点：厶= 以境。为l o b a t t 。点， q = g j z ：。为g a u s s 点a 还知道上面的多项式具有如下对称和反对称性质： 缈2 j g o + x ) = 0 ) 2 i ( j 一x ) ，0 ) 2 i _ b 。+ x ) = 一0 ) 2 一l o i 万) ( 3 1 ) 如，k + 工) = 三2 ，阮一x ) ，l 2 j - 1 k + x ) = 一三2 h g 。一x ) ( 3 2 ) 同样，在单元e ：= 也一瓦，y 。+ 瓦) 上磁+ 。( y ) 和丘( y ) 也有跟上面完全类似的结 果。并且将单元和e ；g l x 。2 上的l o b a t t o 点和g a u s s 点分别记为： 幻= 轨，弓) j 和= b ，西) j 。 现在，假设h 2 k ) ，那么有f o u r i e r 展开式( 参见文献 2 】) ： 1 4 东北大学硕士学位论文第三章二维导数恢复及其超收敛性 “g ，y ) = 岛q g ) 西( y ) ，x ，y ) e 岛。= “g 。一h e , 儿一瓦) ，岛= p 叫三h ( x ) z j 一。( y 陋a y 孱。= u x 0 ，儿一甏e h g 炳，风，= “，b 。一吃，y 冯一t ) 砂， 介绍k 次和双k 次多项式空间最和绕，即 ( 3 3 ) ( 3 4 ) f ，1 ( 3 5 ) kkt p ( x ，y ) = 嘞x y 7 ，坳最；g g ，y ) = 口口x 7 y ，v q 绞 j + j = o i = oj = o 接着定义k 次投影型插值算子以：h 2 0 ) 寸绕g ) 使其满足， ik 以甜g ，y ) - - 岛国，g ) 哆) ，g ，) e ( 3 6 ) i = 0j = 0 那么关于幺0 ) 是难一可解的，并且当k 1 时，拥有性质( 参见文献【2 】) 石。“c r 。土也，虬瓦) = ”k + h e ，儿瓦) p 一万k ”l 。口。 c h k + 1 - l u i + l p 。，l p o 。，0 棚七十l 这里， = 撕丽。根据( 3 3 ) 和( 3 6 ) 式，得到 f 击 “一万f 。i 己 l 户o ( 3 7 ) ( 3 8 ) + 防q 0 e c y ) ( 3 9 i = k + ll = k + l ， 引理3 l 若材绕g ) u 长k + l , y k + l ，d l = 昙，伤= 号，那么 “一甜= 屏“o + l b ) + 风瓯+ 。c y ) d 。u 一巩“) = 尾+ 1 。“g ) ，d 2 0 一y k ) = 岛“。丘( y ) 证明：因为绞0 ) u 。“，y 十1 ，所以“叫绕一，( p ) ，虬最0 1 ) ，b 最如：) 。 又根据( 3 4 ) ，( 3 5 ) 以及l e g e n d r e 多项式系的正交性，得到 岛= 0 ，i k + l ，1 或f 1 ，k + 1 ， - 1 5 。脚 。小。 东北大学硕士学位论文 第三章二维导数恢复及其超收敛性 屈o = 风= 0 ，i k + 2 ，k + 2 再根据( 3 9 ) ，得证第一个公式，再对其求偏导，整个引理得证。( 证毕) 推论：若“畦十2 0 ) ，那么插值算子z l 。有下面的超逼近性质： 陋一掣虹f ) 国“2 乩m 。，七1 d ，0 一万女“) ( p j 】蔓c 五“i 1 “：。，七1 ，= 1 ，2 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 证明：只证明( 3 1 1 ) 式，( 3 1 0 ) 式的证明跟( 3 1 1 ) 类似。首先介绍一 个双线性变换f ：a _ p 记 g ，y ) = f 船，7 ) = k + 以，虬+ 祝) ， ，7 ) a ：( - 1 ，1 ) ( - 1 ，1 ) 毋皓，叩) = “p 皓，玎) ) ，d = d f 慨) 为固定点g = f 慨，乃) 和光滑函数“定义线性泛函 e g ) = 踯一丸五煽，乃) = 吃d 1 0 一“概) ( 3 1 2 ) 从( 3 8 ) 知道占是w 2 + 2 0 ) 上的一个线性有界泛函，根据引理3 1 可以得到 e g ) = 0 ，v 番只+ 。p ) 那么根据b r a m b l e h i l b e r t 引理( 参见文献 2 】) 得 旧黛】c 蚓。幢。 。 图3 t g o ，蜘) 为内部节点 f i g u r e3 1g o ，y o ) i si n t e r i o rn o d a lp o i n t 对应点，y o ) ，定义导数小片插值恢复区域： d 。；u 4 。o ) ：g 。一魂，+ 穗卅) 。一茸，y 。+ 弓+ ，) 设g f = ( g 。，西) ，f ，= 1 ，七是小片d o 上的4 七2 个高斯点，即 x 0 一吩 g 一七 g l x 0 g l g t z o + h i + l y o 一瓦 季t - - 基1 y 0 蟊 磊 y o + 蓐，+ 。 因为4 k 2 = ( 2 老) 2 ，所以根据这4 2 个商斯点 皤 上的函数值，在q 女- l 上唯一确 定一个双2 k 一1 次多项式。 对应点g ，) ，引入2 k 一1 次l a g r a n g e 插值基函数： 一1 7 东北大学硕士学位论文第三章二维导数恢复及其超收敛挂 结g ) b h 0 。一噍，+ h i + 1 ) 钙( y ) 岛ny o h j , y 。+ 弓+ 。 鬲，、一手鲁( y 一萄) 乃( y ) 5 i - - 骢+ l ，糊1 j ，悸，5 ， 由此，移b ，y ) = 仍g 旃) 组成空间q 2 h p 。) 的基函数系。 现在，定义导数小片插值恢复算子r ：吃( d o ) 斗0 2 ( d 。) 使满足 #f ，、 腿m ，y ) = q 巾f h g ，y ) ，z = 1 ，2 ，0 ，) ，) d o ( 3 1 3 ) 注意：当是小片区域d 0 上的分段多项式时，d t u g ，y ) 在单元边上可 能不连续；但是导数恢复r d l u 0 ，y ) 在小片区域d o i x 是连续多项式。 引理3 2 导数恢复算子月具有下列性质： r v u k + t b y ) = v k , l ( x ，j ，) ，v u m 么( d 0 ) u c h l ，y “1 j ( 3 1 4 ) r v n 。k l d k + l g ，) ，) = v u k + l g ，y ) ，v “m 绕( d 0 ) u ，y ( 3 1 5 ) i i r v “u 呱d dc l l v “i i 。岛，v “贬( d 0 ) ( 3 1 6 ) 证明：当k + le 级( d 0 ) u k m ，y + 1 时，有d ，“me o g d o ) c q 2 h 慨) ，根据插值 多项式的唯一性，可以证得( 3 1 4 ) 式。由引理3 1 知道，当 u k + l “7 “o 1 t x - “, y m 时， d l u k + 1 0 昂) = d l 万k l l k + 1 0 劫) ，f ，= l ，七，= 1 ，2 带入( 3 1 3 ) 式中，得到r v n 州0 ，y ) = r v u 州g ，j ，) ，再跟据( 3 1 4 ) ，就证 得( 3 1 5 ) 式a ( 3