（概率论与数理统计专业论文）基于bootstrap方法序约束下正态总体均值和方差区间估计.pdf

中文摘要 序约束下的统计推断是当前统计分析中一个重要的研究领域，本文讨论了 k 个独立正态总体的均值和方差同时在简单半序约束下的区间估计的问题， 设有k 个独立的正态总体n o t ；，一；) ，i = 1 ，k ，其中均值m ，方差砰均未知， 假定满足某种约束关系卢。p 。挑和o o ；一l 0 ，给出了基 于b o o t s t r a p 方法序约束下正态总体均值和方差区间估计的算法，并且给出了 模拟结果。 关键词：b o o t s t r a p 方法；区间估计；序约束；交错迭代方法 a b s t r a c t t h es t a t i t i c ei n f e r e n c eu n d e ro r d e rr e s t r i c t i o ni sa nc r u c i a lr e s e a r c hf i e l di nt h ep r e s e n t s t a t i s t i c ea n a l y s i s f o rkn o r n m lp o p u l a t i o n sw i t hi l l l k n o w i l i l e a 4 1 s g ta n du n k n o w nv a r i - a r l c e s 砰，a s s u m et h a tt h e r ea r es i m p l eo r d e rr e s t r i e t i o n s ：# l 曼肚! 曼# t a n d o 2 疃以 0 ，a n da na l g o r i t h mo ft h ei n t e r v a le s t i m a t i o no fm e a n sa n dv a r i a n c e s f r o mn o r n l a lp o p u l a t i o n su n d e rs i m u l a n e o u so r d e rr e s t r i c t i o n sh a 剃o nb o o t s t r a p k e yw o r d s ：b o o t s t r a pm e t h o d ；i n t e r v a le s t i m a t i o n ；o r d e rr e s t r i c t i o n ；a l t e r n a t i n g i t e r a t i v em e t h o d i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意 学位论文作者签名。! 薹】丞日期，2 乙圭丝 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了_ 解东北师范大学有关保留使用学位论文的规定，即东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 学位论文作者签名。 ! 訇建 指导教师签名；名墨玺至 e l 期。里z 兰：塑日 期；堡z ：兰：兰里 学位论文作者毕业后去向， 工作单位， 通讯地址； 电话 邮编 第一章引言 在目前，约束条件下的统计推断已成为统计分析中的一个重要领域，而保 序回归的研究又是其中的关键在我国，对约束条件下的统计推断和保序回 归的研究也是刚刚起步 史宁中教授在研究序约束下统计推断的问题方面做出了非常大的贡献 s h in - z ( 1 9 9 4 ) 给出求在正态总体均值和方差均未知的情况下序约束下正态总 体均值和方差极大似然估计的算法，s h in z ( 1 9 9 8 ) 又给出求在总体均值未知 和方差已知的情况下序约束下正态总体均值和方差极大似然估计的算法，请 参看【1 】 2 】【3 l 【4 】【1 0 】f 1 1 】 但为了更好的利用现有样本的信息，这时我们就想到用b o o t s t r a p 方法，因 为在现有样本代表性好的条件下可以通过b o o t s t r a p 再抽样方法扩大样本量， 再想办法和之前的交错迭代算法结合在一起应用，这样就可以更好的利用现 有样本的信息了 本文第一章是引言部分，第二章分别介绍了序约束下正态总体均值和方 差极大似然估计的算法和b o o t s t r a p 方法，第三章给出了基于b o o t s t r a p 方法序 约束下正态总体均值和方差区间估计的算法，给出了模拟结果，并且在附录 中给出相应的程序第四章是结语部分 第二章相关知识的介绍 在这一章中我们主要介绍相关的几种算法，在2 1 中介绍了序约束下正 态总体均值和方差极大似然估计的算法和相关的p a v a 算法和保序回归的定 义在2 2 中介绍了b o o t s t r a p 算法。 2 1序约束下正态总体均值和方差极大似然估计的算法 我们先来介绍一下p a v a 算法，以及有关保序回归的知识p a v a 算法是 a y e re ta 1 ( 1 9 5 5 ) 提出的，到六十年代，约束条件下的统计推断得到广泛的重 视，成为热门课题，其原因在于这个研究领域的应用背景十分深刻史宁中 ( 1 9 9 3 ) 对p a v a 算法以及有关保序回归的知识作了非常详细的论述，有兴趣的 读者可以查阅 1 】 我们先给出保序回归的相关知识令o = ( 口一，巩) 为一个有限集合，其 上定义了一个半序关系”! ”，最常见的有下面几种形式： 简单半序：口l5 如! ! 以； 伞形半序：口11 ! 靠兰三以； 简单树半序；口t ! 如，j 一2 ，k ； 简单环半序：口11p ，5o k , j = 2 ，k 一1 ； 其中简单半序实际上是全序，是伞形半序的特例 定义2 1定义于o 上的函数y = ( y 。，弧) ，其中y i _ y ( o i ) ，被称为 对于”5 ”的保序函数，如果对巩，口，0 ，巩5 如则有y i 玑 令g 为保序函数的全体，则g 是一个多面体凸锥，称其为半序凸锥 令u = ( u 。，u 。) ，o ) i o 是给定的权函数 定义2 2令z = ( 钆，x k ) 7 是一个给定函数则矿= ( z i ，z ；) 被称 为x 的保序回归，如果矿g ， 萋( 矿) 2 咄= 泗萎( x - - y 1 ) l = i# 1 p a v a 算法 考虑简单半序的情况，令x 和u 是给定函数和权函数，g 为保序函数的 全体p a v a 算法分以下几个步骤： 2 步骤1 ：如果z g ，则矿= z 步骤2 ：如果存在j 使得巧 + l ，令b = “j + 1 ) ，$ b = a v ( b ) ，咖= 屿+ 屿+ 1 令牙= ( z l ，巧一1 ，z 口，q + l ，x k ) ，西= ( u l ，屿一1 ，( d b ，w j + l ，咄) ， 其中a v ( b t ) = 巧+ + l 巧+ 1 ) ( + + 1 ) 步骤3 ：重复步骤2 ，直到把下标集b 分解成1 个块b 1 】一，岛，满足 a v ( b 1 ) o ) 分别为r 中的凸集根据s h in z ( 1 9 9 4 ) 中的讨论，问题( 4 ) 的解一定存在 令t , i = 1 砰，i = 1 ，七，p = ( p l i 一，p k ) 7 代入l ( p ，0 - 2 ) ，记为 r ( p ，v ) = 等l n 地一等( 一地) 2 ) + e 3 易见，求( p ，0 2 ) 的极大似然估计( 旷，a 2 ) 当且仅当求出问题 s u p l ( p ，) ；p d ，g ) 的解( 旷，矿) ，其中嵋= 1 砖4 ，i = 1 ，k ，g + = r ；0 o ) 也可以用p a v a 算法来计算( s ，n ) 的保序回归 下面就给出这种交替迭代算法； 第0 步：令p = 孟，口0 = 庐其中孟= 慨，瓯) 7 ，磊= 击羔1 ，l = 1 ，0 2 = ( 口 ，) ，醇= 击銎。( 一磊) 2 ，i = 1 ，k ， 第( n ，1 ) 步：计算( i ，u ( “一1 ) 的保序回归p ，其中u ( n 一1 ) = 蠢”“，i = 1 ，k ， 第( n ，2 ) 步：计算( s ( ，) 的保序回归盯( ，其中g ”= 击墨。( 一p ：“) 2 ，i = 1 ，k 如此迭代下去，我们将得到序列 p ( ” cd ， 口( “) cg ，且任意n 1 ， 工( p ( n ) ，口( n 一1 ) l ( p 伽) ，盯加) 工( p ( ”+ ，盯( “) 4 关于由算法得到序列 ( p ，口( ”) ) 的收敛性，s h in - z ( 1 9 9 4 ) 给出求在正态 总体均值和方差均未知的情况下序约束下正态总体均值和方差极大似然估计 的算法收敛性证明，但是在证明中需要样本均值和样本方差之间要满足一定 的条件s i f tn z 0 9 9 s ) 又给出求在总体均值未知和方差已知的情况下序约束 下正态总体均值和方差极大似然估计的算法收敛性证明，崔青，史宁中( 2 0 0 0 ) 重新讨论了s h in - z ( 1 9 9 4 ) 的问题，并且可以证明s i f tn - z ( 1 9 9 4 ) 中的条件是可以 去掉的详细的证明方法可以参看 2 j 1 1 0 1 1 】 后来，s h in - z 又把这个问题扩展为非凸规划问题，给出一种两步迭代算 法：交错迭代方法，下面来简单的介绍一下； 在统计推断中，许多约束估计问题可以表示为凸规划问题，但是在许多实 际问题中，目标函数并不是凸的，s h in z ( 1 9 9 4 ) 就是提出了这类约束估计问 题的一个例子 很多约束估计问题可以表示成下面这种形式 ? n i n f ( x ；o ) ( 5 ) 其中，( z ；口) 是目标函数，x 是从数据中获得的已知向量，口是k 维向量参数， c 是r t 的一个凸子集当目标函数，( z ；口) 关于口是凸函数时，已经有大量的 方法来解决问题( 5 ) ，而在这里，讨论的是目标函数是半凸函数的一类非凸规 划问题 下面先给出半凸函数的定义； 定义2 3令c 是钟，的凸子集，d 是舻。的凸子集，函数，( 口，妒) 被 称为关于( p ，| p ) 的一个半凸函数，如果满足： i ) ，( z ；口，妒) 定义在c d 上； i i ) 对任一给定的口c ，( z ；0 ，) 在d 上是严凸的，对任一给定的p d ， ，( ，妒) 在c 上是严凸的 现在来看一种半凸约束估计问题： 口m c ：p i n d ，( 。；日，l p ) ( 6 ) 其中f ( z ；o ，妒) 是cx d 上的半凸函数，c 是硭，的一个凸子集，d 是j 咖的 一个凸子集 5 下面来介绍交错迭代算法( a i m ) 用( 0 ，矿) 表示问题( 6 ) 的解根据半凸函数的定义，如果0 或妒被固定， 问题( 5 ) 就可以简化成问题( 6 ) ，于是给出下面的迭代算法： 第0 步，对任一给定口( o c ，找到妒( ”，使，( z ；删，妒) 在d 上达到最小点 第( n ，1 ) 步，固定妒( ”，找到口( w ，使，( 。；0 ，妒( n 一1 ) 在c 上达到最小点 第( n ，2 ) 步，固定p ( n ，找到妒( n ，使，( z ；口( ，妒) 在d 上达到最小点 通过上面的算法，可以得到两组点序列 p ( ” cc 和 妒( “ cd 对于n 1 ，( z ；口( ”) ，妒( ”) ，( z ；口( ”+ ，妒( ”) ，( z ；目( “+ ，妒( “+ 1 ) 序列 口( “) 和 妒( n ) 是交错出现的，这种算法就称为交错迭代算法 2 2b o o t s t r a p 方法 b o o t s t r a p 方法又称为自助法，最初是由美国s t a n f o r d 大学统计系教授e f r o n 于1 9 7 9 年提出的一种新的统计推断方法，b o o t s t r a p 方法是用现有的样本资料 去模拟未知的分布，直接利用验前样本试验数据确定验前分布。该方法能充 分利用子样本身信息，是一种只依赖于给定的观测信息，而不需要其它假设 和增加新的观测的统计推断方法，在科学研究中，它可以大大增强常用的估 计、推断等方法的效能近年来，国内外在b o o t s t r a p 方法用于小子样试验评 估方面开展了许多工作，参看1 2 】【1 3 】【1 4 】 1 5 】 1 6 】 17 】【1 9 】b o o t s t r a p 方法经常 用于求： 1 ) 估计的标准误， 2 ) 未知参数的区间估计， 3 ) 零假设下，检验统计量的p 值 其基本思想是：在原始数据的范围内作有放回的抽样，样本含量仍为n ， 原始数据中每个观察对象每次被抽到的概率相等，均为1 n ，所得到的样本 称为b o o t s t r a p 样本于是可得到参数0 的一个估计值5 御这样重复b 次， 就可以得到该参数的b 个估计值此时参数0 标准误的b o o t s t r a p 估计值为： 且 岛= 芝二( ( 砷一伊) ( b 一1 ) ) b = l 其中伊= 墨。( 归根据其分布可获得的参数0 的一些性质，如删的分布 6 是否为正态，鲫的均数及标准误，口的可信区间等当a ( 的频数分布近似 正态时，可用均数伊作为点估计值，采用正态分布原理估计口的9 5 可信区 间；当鲫的频数分布为偏态时，可用中位数作为点估计值，用上下2 5 分 位数作为口的9 5 可信区间 b o o t s t r a p 方法分为参数法和非参数法一般认为参数法的效率高于非参数 法，但当原始资料分布不明确时，非参数法优于参数法 1 标准误的b o o t s t r a p 估计 现要由观测样本x = ( 轧2 7 2 ，) 估计贾的标准误，b o o t s t r a p 方法的实 质就是一个再抽样过程，计算贾的标准误的基本步骤归纳如下t i ) 在原始数据x = ( 钆，z 。) 内作有放回的抽样，样本含量仍为1 1 ，原 始数据中每个观察对象每次被抽到的概率均为1 ，计算牙 i i ) 重复i ) 步b 次，b 应适当的大，得到b o o t s t r a p 估计孟t ，牙2 ，钿 i i i ) 用i i ) 步b 估计的标准差来估计标准误 2 未知参数的b o o t s t r a p 区间估计 由观测样本x = ( x 2 ，z n ) 估计均值p 的区间估计 i ) 在原始数据x = ( 钆2 7 2 ，) 内作有放回的抽样，样本含量仍为n ，原 始数据中每个观察对象每次被抽到的概率均为1 n ，计算牙 i i ) 重复i ) 步b 次，b 应适当的大，得到b o o t s t r a p 估计孟l ，雪2 ， i i i ) 用样本的百分位数来估计想要的总体的百分位数 7 第三章算法及模拟 在本章我们将讨论一种序约束下正态总体均值和方差区间估计的算法， 在3 1 提出算法，3 2 给出模拟结果相关的程序可在附录中查找。 3 1 算法 下面，我们回到2 1 中序约束下正态总体均值和方差极大似然估计的问 题，设有k 个独立的正态总体n ( u ，砰) ，i = 1 ，k ，其中均值方差以均未 知，但根据以往的经验，可以假定肛= ( p 一- p ) 7 或a 2 = ( 一 ，磋) z 满足某 种约束关系，例如 p 1 p 2 p k 和 盯 砖以 0 令z “j = 1 ，表示来自第i 个正态总体的观察值，i = 1 ，k ，则对 数似然函数为 砌，固= 砉卜i n 砰一去姜( 一砧2 ) + e 其中，c 是与参变量( 肛，一2 ) 无关的常数则( 矿，一。) 是( p ，盯：) 在约束条件下的 极大似然估计的充分必要条件是( 旷，一。+ ) 是问题 s u p l ( # ，盯2 ) ；肛d ，盯2 g 的解，其中，d = a r ；p l 助m ) ，g = 口2 r k ；a 砖 o ) 分别为舻中的凸集 在2 1 中我们已经介绍了，用一种交错迭代算法来求“和一。的极大似然估 计，但是，有时为了可以更好的利用现有样本的信息，我们就想到用b o o t s t r a p 方法，因为在现有样本代表性好的条件下可以通过b o o t s t r a p 再抽样方法扩大 样本量，再想办法和之前的交错迭代算法结合在一起应用，这样就可以更好 的利用现有样本的信息了以上就是这种基于b o o t s t r a p 方法的交错迭代算法 的基本想法 8 下面给出这种基于b o o t s t r a p 方法求序约束下正态总体均值和方差区间估 计的算法的基本步骤： i ) ( a ) 分别在原始数据( ，z 但，x i 。) ，i = 1 ，内作有放回的抽样，其样 本容量为n i ，原始数据中每个观察对象每次被抽到的概率均为1 n i ，得到新 的一组b o o t s t r a p 样本( x ( t ) i l ，。( 1 ) i 2 ，。( 1 h n 。) ，i = 1 ，k ( b ) 第0 步，令p 器= 童( 1 ) ，口譬= 强) 其中$ - 1 ) = ( 氟1 ) 1 ，牙( 1 ) i ) 7 ，牙( m = i ie j - l x o ) | j ，i = 1 ，k ，厅& ) = ( 厅a ) 1 ，亏a 冲) ，葡h = 赢1 饕l ( 。( 1 聊一霉( 1 ) i ) 2 ，i = 1 ，一，七， 第n ，1 ) 步：计算( 牙( 1 ) 叫( 1 n ) - - 1 ) ) 的保序回归p 搿，其中u 扣叫= 吲j u ( ( n 1 ) - ”，i = 1 ，女， 第n ，2 ) 步；计算( 践若，) 的保序回归等，其中拳= 去凳。( 。( 1 ) “一 p 潞) 2 ，i = 1 ， 如此迭代，我们得到均值胁和方差砰的一个b o o t s t r a p 估计丘( t m 和子，i = 1 ，一，七 i i ) 重复i ) 步b 次，令b = 1 0 0 0 ，得到均值肫和方差砰的一组b o o t s t r a p 估 计丘( 1 ) i ，豇( 2 ) 一，丘( 口h 和镱) i ，唯) 一，毋 b ) i ，i = 1 ，女 i i i ) 用样本的百分位数来估计想要的总体的百分位数，求得m 和砰的区 间估计即，将豇( 1 ) t ，丘( 2 ) ，口( b m 和占a ) ；，方己) ，) ，i = 1 ，七从小到大排 序用( 声( 2 5 ) t ，口( 9 7 趼) 和( 跏，曝铆) 作为胁和砰的区间估计 3 2 模拟 首先，我们分别从n ( 0 9 ，1 1 2 ) ，n ( 0 9 5 ，1 0 5 2 ) ，n ( 1 ，1 0 5 2 ) ，n ( i ，1 2 ) ，n ( i ，1 ，0 9 5 2 ) 中各打m 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 个随机数来作为观测的样本，则有5 个独立的正态总体 ( 他，砖) ，i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ，然后我们假设均值m ，方差砰均未知，且p = ( 卢l ，船) r 或口2 = ( 口 ，砖) 7 ，满足约束条件m 舰p 3smsp 5 和口 砖碚 暖以 0 下面我们来进行模拟，我们分别用三种方案来估计均值和方差， 并且来比较它们估计的结果 方法1 应用2 1 的交错迭代算法对均值和方差进行估计 方法2 用方法1 得到的极大似然估计来求均值和方差的区间估计 方法3 用本章提到的方法来求均值和方差的区间估计 9 表1 均值“的估计 p 1“2肛3“4坞 0 8 5 10 8 8 9 0 9 7 90 9 7 91 0 3 6 ( 0 6 3 9 ，1 0 6 3 ) ( 0 6 8 6 ，1 0 9 1 ) ( 0 7 7 7 ，1 1 8 1 )( 0 7 9 0 ，l1 6 8 )( 08 4 8 ，1 2 2 5 ) ( o 6 3 1 ，1 0 0 1 )( 0 7 3 1 ，1 0 5 0 )( 0 8 4 4 ，1 1 0 3 )( 0 8 6 6 ，1 1 0 1 )( 0 9 0 8 ，1 2 5 8 ) 0 8 4 50 8 4 10 8 5 8 0 8 5 81 1 2 9 ( 0 6 1 5 ，1 0 6 7 ) ( 0 6 2 0 ，1 0 6 2 )( 0 6 4 6 ，1 0 7 0 ) ( 0 6 6 4 ，1 0 5 1 )( 09 5 8 ，1 3 0 0 ) ( 0 6 5 0 ，0 9 8 6 )( 06 9 8 ，09 9 5 )( o 7 4 5 ，09 9 7 )( o 7 4 6 ，1 0 1 3 )( 09 6 3 ，1 2 9 6 ) 08 1 70 8 1 70 9 7 00 9 7 0 1 2 1 6 ( 0 6 1 4 ，1 0 2 0 ) ( o 6 1 7 ，1 0 1 6 )( 0 7 7 1 ，1 1 6 9 )( 0 7 7 6 ，1 1 6 4 )( 1 0 2 4 ，1 4 0 8 ) ( o 6 4 7 ，0 9 5 5 )( o 6 6 9 ，0 9 5 8 )( 08 1 7 ，1 1 1 3 )( 0 8 3 6 ，1 1 3 6 )( 1 0 3 2 ，1 3 9 4 ) 0 8 5 50 8 5 50 9 6 80 9 6 80 9 9 2 ( o 6 2 9 ，1 0 8 2 )( 0 6 4 6 ，1 0 6 5 )( o 7 6 1 ，1 1 7 5 )( 0 7 7 0 ，1 1 6 5 ) ( 0 8 1 1 ，1 1 7 3 ) ( 0 6 5 1 ，1 0 0 4 )( 0 7 0 7 ，1 0 2 4 )( 0 8 1 0 ，1 0 9 1 )( 0 ，8 3 2 ，1 0 8 4 )( 0 8 8 4 ，1 1 7 0 ) 0 8 9 70 8 9 70 9 5 41 0 1 21 0 4 1 ( 1 0 4 4 ，1 7 4 3 )( 0 8 5 4 ，1 4 2 5 )( 0 ，8 3 1 ，1 3 8 7 )( 0 8 3 1 ，1 3 8 7 ) ( o 5 9 9 ，0 ，9 9 9 ) ( 1 0 4 6 ，1 7 3 9 )( 0 8 0 7 ，1 3 9 6 )( 0 6 3 7 ，1 1 8 5 ) ( 0 4 5 3 ，1 1 7 3 )( 0 ，4 5 1 ，0 9 5 1 ) 0 8 9 70 8 9 71 0 0 61 0 0 61 1 6 8 ( o 6 7 1 ，1 1 2 3 )( 0 6 8 9 ，1 ，1 0 5 )( 0 7 9 8 ，1 2 1 4 )( o 8 1 8 ，1 1 9 4 )( o 9 8 0 ，1 3 5 6 ) ( o 6 7 3 ，1 0 4 8 )( 0 7 5 5 ，1 0 8 9 ) ( o 8 7 8 ，1 1 4 7 )( o 8 7 8 ，1 1 3 5 )( 0 9 9 6 ，1 3 5 5 ) 0 8 9 9 0 9 3 81 0 1 71 0 1 71 1 7 9 ( o 6 7 2 ，1 1 2 7 )( 0 7 3 6 ，1 1 4 1 )( 0 8 1 5 ，1 2 1 8 )( 0 8 3 3 ，1 2 0 0 )( 1 0 0 6 ，1 ，3 5 3 ) ( 0 6 9 4 ，1 0 4 4 )( o 7 9 2 ，1 0 9 9 )( 0 8 6 3 ，1 1 3 9 ) ( 0 9 0 7 ，1 1 7 6 )( 1 0 3 7 ，1 3 5 1 ) 0 7 6 40 9 1 8 0 9 9 90 9 9 91 0 5 3 ( o 5 3 6 ，0 9 9 2 ) ( o 6 9 0 ，1 1 4 6 )( 0 7 9 4 ，1 2 0 4 )( o 8 1 2 ，1 1 8 6 )( o 8 6 9 ，1 2 3 7 ) ( o 5 3 4 ，0 9 6 3 )( 0 7 0 8 ，1 1 0 1 )( 0 8 5 6 ，1 1 3 3 ) ( o 8 7 3 ，1 1 2 2 ) ( 0 9 3 0 ，1 2 3 7 ) 0 8 8 50 ，8 8 50 8 8 51 1 0 51 1 0 5 ( 0 6 8 4 ，1 0 8 7 ) ( o 6 8 4 ，1 0 8 7 )( o 7 1 0 ，1 0 6 0 )( 0 9 5 5 ，1 ，2 5 5 ) ( 0 9 5 5 ，1 2 5 5 ) ( 0 ，6 8 9 ，10 5 8 )( o 7 5 8 ，1 0 3 7 )( o 7 5 9 ，1 0 3 5 ) ( o 9 1 8 ，1 2 4 4 ) ( o 9 6 7 ，1 2 9 3 ) n i = l o o ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 时计算机模拟结果如表1 ，表2 ，分别是方法1 ，2 ， 3 模拟的结果 表2 方差口2 的估计 盯面西西以 1 1 6 91 0 7 01 0 6 10 9 2 50 9 2 5 ( 0 8 9 9 ，1 5 0 1 )( 0 8 2 3 ，1 3 7 4 )( o 8 1 6 ，1 3 6 2 )( o 7 1 2 ，1 1 8 8 )( 0 7 1 2 ，1 1 8 8 ) ( 0 9 2 1 ，1 4 7 7 )( o 6 8 3 ，1 2 7 1 )( o 4 5 6 ，1 1 9 0 )( 0 3 3 8 ，1 0 0 9 )( 0 3 3 8 ，1 0 0 8 ) 1 3 2 6 1 2 7 01 1 6 90 9 7 10 7 6 1 ( 1 ，0 2 ，1 7 0 2 )( 0 9 7 6 ，1 6 3 0 )( 0 8 9 9 ，1 5 0 0 )( o 7 4 7 ，1 2 4 6 )( o 5 8 6 ，0 9 7 8 ) ( 1 0 6 5 ，1 6 7 2 )( o 7 8 6 ，1 4 4 8 )( o 5 3 9 ，1 3 4 8 )( o 3 2 5 ，1 1 6 6 )( o 3 2 5 ，0 9 0 0 ) 1 0 7 41 0 3 31 0 3 30 9 8 10 9 6 2 ( 0 8 2 6 ，1 3 7 9 )( 0 7 9 5 ，1 3 2 6 ) ( 0 7 9 5 ，1 3 2 6 ) ( 0 7 5 4 ，1 2 5 9 )( o 7 4 0 ，1 2 3 5 ) ( 0 8 4 1 ，1 4 0 5 )( o 6 5 4 ，1 2 0 4 )( 0 4 7 8 ，1 1 4 5 )( o 3 4 0 ，1 0 4 7 )( 0 3 4 0 ，1 0 0 2 ) 1 3 3 11 1 4 41 1 1 51 0 1 40 8 5 1 ( 1 0 2 4 ，1 7 0 9 )( 0 8 8 0 ，1 4 6 9 )( o 8 5 8 ，1 4 3 2 )( o 7 8 0 ，1 3 0 2 )( 0 6 5 5 ，1 0 9 3 ) ( 1 0 2 9 ，1 7 0 3 )( o 7 4 8 ，1 3 7 7 )( 0 5 3 2 ，1 2 6 8 )( o 3 4 7 ，1 1 4 8 )( o 3 4 7 ，0 9 9 1 ) 1 3 5 81 1 1 01 0 8 11 0 8 10 7 7 8 ( 1 0 4 4 ，1 7 4 3 )( o 8 5 4 ，1 4 2 5 )( 0 8 3 1 ，1 3 8 7 )( o 8 3 1 5 ，1 3 8 7 )( 0 5 9 9 ，0 9 9 9 ) ( 1 0 4 6 ，1 7 3 9 ) ( 0 ，8 0 7 ，1 3 9 6 )( o ，6 3 7 ，1 1 8 5 )( o 4 5 3 ，1 1 7 3 )( o 4 5 1 ，0 9 5 1 ) 1 3 2 9 1 1 2 61 1 2 60 9 1 9 0 9 1 9 ( 1 0 2 2 ，1 7 0 6 )( 0 8 6 6 ，1 4 4 6 )( 0 8 6 6 ，1 4 4 6 )( o 7 0 7 ，1 1 8 0 )( o 7 0 7 ，1 1 8 0 ) ( o 9 9 8 ，1 6 4 6 )( o 7 5 2 ，1 3 1 4 )( o 5 2 4 ，1 2 8 6 )( o 3 5 1 ，1 0 7 1 )( 0 3 5 1 ，1 0 3 4 ) 1 | 3 4 41 0 6 31 0 5 5o 8 7 30 7 8 2 ( 1 0 3 4 ，1 7 2 5 )( 0 8 1 8 ，1 3 6 5 )( 0 8 1 2 ，1 3 5 5 )( 0 6 7 2 ，1 1 2 1 )( 0 6 0 1 ，1 0 0 4 ) ( 1 0 1 8 ，1 ，7 0 1 ) ( 0 7 7 2 ，1 3 7 2 )( 0 5 3 7 ，1 1 7 0 )( 0 3 6 5 ，1 0 1 9 )( 0 3 6 5 ，0 9 0 7 ) 1 3 5 21 3 5 21 0 9 20 9 1 10 8 8 1 ( 1 0 4 0 ，1 7 3 6 )( 1 ，0 4 0 ，1 7 3 6 )( 0 8 4 0 ，1 4 0 2 )( 0 7 0 0 ，1 1 6 9 )( o 6 7 8 ，1 1 3 1 ) ( 1 0 7 1 ，1 8 1 3 )( 0 7 9 7 ，1 5 7 9 )( 0 5 3 0 ，1 3 1 4 )( 0 3 5 5 ，1 1 0 7 )( o 3 5 5 ，0 9 9 1 ) 1 0 5 9 1 0 5 90 7 9 50 5 8 50 5 8 5 ( o 8 1 4 ，1 ，3 5 9 )( o 8 1 4 ，1 3 5 9 )( o 6 1 2 ，1 0 2 1 )( 0 4 5 0 ，0 7 5 2 )( o 4 5 0 ，0 7 5 2 ) ( o 8 3 3 ，1 4 3 1 )( o 6 4 1 ，1 2 6 2 )( 0 5 2 2 ，1 1 7 7 )( o 3 9 3 ，1 1 5 7 )( 0 3 9 3 ，1 0 2 9 ) 通过表1 ，表2 的对比可以看出，基于b o o t s t r a p 方法序约束下正态总体均 值和方差区间估计的算法的结果还是不错的 1 1 接下来我们用计算机来模拟一下基于b o o t s t r a p 方法序约束下正态总体均 值和方差区间估计的覆盖率，我们运行5 0 0 次得到模拟结果如表3 ，表4 表3 均值p 区间估计的覆盖率 p 1 “2 肚3p 4灿5 方法29 0 6 9 2 6 9 3 4 9 3 4 9 4 2 方法3 8 8 4 9 24 9 0 4 9 3 6 9 3 8 表4 方差口2 区间估计的覆盖率 盯碹 西靠 方法29 1 0 9 1 6 9 14 9 40 9 4 4 方法38 98 9 1 2 9 0 6 9 20 9 3 0 我们可以看到，均值芦和方差一。区间估计的覆盖率基本在9 0 左右，这 说明，我们得到的区间估计还是很好的 1 2 第四章结语 序约束下的统计推断问题在当今统计推断研究中已经成为了非常热门的 问题，在许多实际问题中都有非常广泛的应用在第二章中我们就介绍了s h i n z 0 9 9 4 ) 给出求在正态总体均值和方差均未知的情况下序约束下正态总体均 值和方差极大似然估计的算法来求p 和矿的极大似然估计 但是，我们发现观测样本的所给出的信息我们并没有很好的利用于是我们 就想到用b o o t s t r a p 方法，因为在现有样本代表性好的条件下可以通过b o o t s t r a p 再抽样方法扩大样本量，再想办法和之前介绍的的交错迭代算法结合在一起 应用，就可以更好的利用现有样本的信息了 本文我们给出了这种基于b o o t s t r a p 方法序约束下正态总体均值和方差区 间估计的算法通过计算机模拟我们可以看到实际的计算结果还是不错的 参考文献 1 史宁中保序回归与最大似然估计 j 】应用概率统计，1 9 9 3 ，9 2 崔青，史宁中序约束下正态总体均值和方差极大似然估计的数值解法【j 】应用 数学，2 0 0 0 3 李树有，史宁中，张宝学半序约束下多维正态总体均值和协方差阵的最大似然估 计( j 1 应用数学，2 0 0 5 4 李树有，史宁中正态总体均值与标准差比在树序约束下的最大似然估计【j 1 吉林 大学学报，2 0 0 6 5 茆诗松，王静龙高等数理统计 m 】施普林格出版社，1 9 9 8 6 卢玉贞，董普多维保序回归和最大似然估计 j 】大连海事大学学报，2 0 0 4 7 赵选民，邢务强凸规划下的保序回归【j 】数理统计与管理，2 0 0 3 8 董普多维正态分布均值在序约束下的假设检验m 数学进展，2 0 0 3 9 旃锡铨关于b o o t s t r a p 的回顾【j 1 应用概率统计，1 9 8 7 ， 1 0s h in z m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o no fm e a n sa n dv a r i a n c ef r o mn o r m a lp o p u l a t i o n s u n d e rs i m u l t a n e o u so r d e rr e s t r i c ti o n s j m u l t i v a r i a t ea n a l ， 1 9 9 4 1 1s h in z ，j i a n gh m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o no f i s o t o n i cn o r m a lm e a n sw i t hu n k n o w n v a r i a n c e j 1 m n i t i v a x i a t ea n a l ， 1 9 9 8 1 2r o g e rw j o h n s o n a ni n t r o d u c t i o nt ot h eb o o t s t r a p j t e a c h i n gs t a t i s t i c s ，2 0 0 1 1 3e f f r o n b b o o t s t r a pm e t h o d s ：a n o t h e rl o o ka tt h ej a c k k n i f e j a n n a l so fs t a t i s t i c s ，1 9 7 9 1 4t j d i c i c c o ，b e f r o m b o o t s t r a pc o n f i d e n c ei n e 州s 【j 】s t a t i s t i c a ls c i e n c e ，1 9 9 6 1 5e f r o n b ，r ti b s hi r a n i a ni n t r o d u c t i o nt ot h eb o o t s t r a p m c h a p m a na n dh a l l n e w y 0 r k 1 9 9 3 1 6b i c k e lpj ，f r e e d m a na s o m ea s y m p t o t i ct h e o r yf o rb o o t s t r a p j1 a n n s t a t i s t ，1 9 8 1 1 7e f r o nb b e t t e rb o o t s t r a pc o n f i d e n c ei n t e r v a l s j j a m e r s t a t i s t a s s o c ，1 9 8 7 1 8h e c k e l e it ，m i t t e l h a m m e rrc b a y e s i a nb o o t s t r a pm u l t i v a r i a t er e g r e s s i o n j j o u r n alo f e c o n o m e t ri c s ，2 0 0 3 1 9d e n n i sd b o o s i n t r o d u c t i o nt ot h eb o o t s t r a pw o r l d j s t a t i s t i c a ls c i e n c e ，2 0 0 3 1 4 附录 程序1 。 d e a r b l = r a n d n ( 1 ，1 0 0 ) ；a l = b l 3 + l ；b 2 = r a n d n ( 1 ，1 0 0 ) ；a 2 = b 2 3 + 1 ； 6 3 = r a n d n ( 1 ，1 0 0 ) ；a 3 = b 3 2 + 3 ；b 4 = r a n d n ( 1 ，1 0 0 ) ；o , 4 = 1 4 1 + 6 ； b 5 = r a n d n ( 1 ，x 0 0 ) ；a 5 = b 5 0 9 + 6 ，5 ： n = i a l ；a 2 ；a 3 ；o a ；a 5 】 f o r i = 1 ：5 y ( i ) = m n ( n ( t ，：) ) ； 。( t ) = v a r ( a ( i ，：) ) ； e n d y ；2 ； q = l ： w h i l eq y ( i + 1 ) ) ( i ) = ( u ( i ) w ( i ) + y ( i + 1 ) w ( i + 1 ) ) ( t t ，( t ) + w ( i + 1 ) ) ； ( i ) = w ( i ) + w ( i + 1 ) ； u ( i + 1 ) = ”( 1 ) ； t j a + 1 ) = t t ，( 1 ) ； i = 1 ： e n d e n d 暑，； f o r i = 1 ：5 d ( i ) = o ； n ( i ) = 1 0 0 ； f o r j = 1 ：1 0 0 m ( i ) = ( o ( t ，j ) 一( ) ) 2 ； d ( i ) = d ( i ) + m ( ) ； e n d e n d f o r i = 1 ：4 l ，( z ( i ) 4 i + 1 ) ) z ( i ) = ( d ( i ) + d ( i + 1 ) ) ( n ( ) + n ( i + 1 ) ) n ( i ) = n ( t ) + n ( i + 1 ) ； z 0 + 1 ) = z ( t ) ； n ( i + 1 ) = n ( 1 ) ； i = 1 ： e n d e n d z ；g = q + l ； e n d y ，z 程序2 ： z = 1 ： w h i l e f 2 0 1 c l = b o o t r s p ( a ( 1 ，：) ，1 ) ；c 2 = b o o t r s p ( a ( 2 ，：) ，1 ) c 3 = b o o t r s p ( a ( 3 ，：) ，1 ) ；c 4 = b o