（应用数学专业论文）层次分析法的改进.pdf

摘要 对比较矩阵的修改 在原有的层次分析法中，如果决策者作出的判断不能通过一致性检验，在这种情况 下，由于层次分析法多用于研究多准则或无结构特性的复杂决策问题，决策者必须重新 构造比较判断阵，不得不花费更多的时间甚至金钱，或者改变原有影响因素对准则层的 影响，直至通过一致性检验为止为了通过一致性检验，决策者有时要违心地修改原来 的判断，这会影响决策的客观性有时，这种重新决策的过程甚至是不可能的比如决 策者已经因故失去决策能力( 例如已经去世) ，但决策者留下了他的一些判断，这些判 断又不能通过一致性检验，那么什么样的决策是最符合决策者原来的意思呢? 况且决 策者做出的判断一般总不会完全满足一致性的，通过一致性检验的标准也是人为所加 的如果按照更严格的标准，可能就通不过我们假设决策者是理性的，不改变原有影 响因素对准则层的影响，给出了一种新的合理的决策方法 定义1 设a = ( 即) 。，a i j 0 a j i = 击是成对比较阵，若a 满足a i j = c t i k a k j ，i ，j ，k = 1 ， 则a 称为一致阵 定义2 设a = ( a i j ) ，b = ( b i i ) 都是n xy t 阶成对比较阵，记爿，b 的h a r d m a r d 乘 积为c = a o b = ( c j - ) ，其中c i j = a q b q ， 我们知道，成对比较矩阵a 不一定是一致的如果n 阶成对比较矩阵a 不一致， 根据决策者给出的成对比较矩阵a 的第k 行，在决策者的成对比较都一致的假设条件 下，由一致阵的定义，我们可以得到一个新的矩阵，记为彳即 ，a i l i 虬 ) ：i 虬a 1 2 一 l4 1 3 卜 旦l l 4 l “ 口1 2 口1 3 1 1 2 业 a 1 2a 1 2 业盟 口l3a 1 ) 组坐 口1 月印n 盟盟 a 2 la 2 l a 2 2a 2 3 a _ 2 2 盟 a 2 3a 2 3 1 强盟 a 2 na 2 n 剽 剽虬蚴蚴盟蚴组 ，。一 一一 2 4 剽 爿。哪：f 茎蓄蓦a n 3 _ 雾a n l1 ：o 一 p q = 口8 口g ，a g a 咐= 投，壤舔 = d a 墨口a 2 ：p 膻 p i j p j k 。p i k 由定义1 可知p 是一致阵证毕 定理2 设q = ( q i j ) 。其中q 玎= ( p i j ) j ，则q 是一致阵如果a 是一致阵，则有 q = a 证明：由已知条件，可得 于是 q 。= ( 肋) ；，q 业= ( p i 女) ； q i j q j k q 激= q l j 。q i k = i p l i ) ；( p j k ) ；= 0 玎p j ) ；= m ) ； i i q i k 纽明盟喜! 纽 鲰纽喜| 纽 组嘲虬毗盟 ，。，。一 | | 0 4 即 从而 由定义l 知q 是一致阵 如果a 是一致阵，则有 爿( 1 ) ：4 ( 2 ) ：4 ( 3 ) ：，：4 ( n ) ：a 口 ；1 = 叼，( i ，尼= l ，2 ，n ) q u = ( p u ) ；= ( ( 叼) ”) k 叼 即q = a 证毕 应用举例 考虑逸择旅游地决策问题，假设成对比较阵为 我们可以计算出 a ( 0 ： “( 2 ) a 0 ) i i i 、， 3 o22 中其 a b s t r a c t t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ( a h p ) c l u et ot h o m a sl s a a t y 1 1i sav e r yu s e f u l m e t h o df o rm u l t i c r i t e r i ad e c i s i o n i ti sa p p l i e dt om a n y p r a c t i c a lm u l t i c r i t e r i ad e c i s i o np r o b l e mi nm a n y ：f i e l d s ，s u c ha s t h ee c o n o m i ca n a l y s i s ，e n v i r o n m e n t ，m a i n t e n a n c es t r a t e g y , m a n a g e m e n t ，e t c 4 | c o m p l e x p r o b l e m i sd e c o m p o s e di n t oc r i t e r i a ，s u b - c r i t e r i aa n da l t e r n a t i v e sf r o mw h i c ht h ec h o i c ei s m a d ef 5 】t h e np e o p l e e x p r e s s t h e i rp r e f e r e n c eb y s e t t i n ga m a t r i x ao f p a l r w i s ec o m p a r i s o n s f o rt h es e t 。o fc r i t e r i ao ra l t e r n a t i v e sw i t hr e s p e c t t 。oas i n g l ec r i t e r i o nf o rma l t e r n a t i v e sw e h a v ea s q u a r e m a t r i xo f o r d e r h o n t h es c a l e o f l 一9 ， 一1 w h i c h i s c a l l e da c o m p a r i s o n m a t r i x o r j u d g e m e n tm a t r i 。x ，w h o s ee l e m e n ta ue s t i m a t e s t h ed o m i n a n c e ( w e i g h t ) o f a l t e r n a t i v eio v e r j o b v i o u s l y t h em a t r i xai sa p o s i t i v er e c i p r o c a lm a t r i x m a n y a u t h o r sp r o p o s e dv a r i o g s lm e t h o d st os t u d yt h ec o n s i s t e n c yo ft h em a t r i xa a i m o s t a l l k n o w n m e t h o d sr e q u i r e t h e u s e o f c o n s i s t e n c y t e s t a n d m o d u l a r c o n s i s t e n c y t e s t ( 6 ；7 8 】 w h i c hi sh a r da n dc o m p l i c a t e dt od e a lw i t h ，a r i dd o e s n tn e c e s s a r i l yg i v et h eb e s tj u d g m e m o f c o n s i s t e n c y 7 , 9 1 d u r i n gt h ed e c i s i o np r o c e s sb ya h p , i f t h ed e c i s i o n m a k e ri sn o tc o i l s i s t e n t ，t h e np a i r w t s ec o m p a r i s o nj u d g m e n t s o ft h er e l a t i v ei m p o r t a n c eo ft h ee l e m e n t sh a v e t ob ed o n ea g a i n ，a te a c hl e v e lo ft h eh i e r a r c h y u n d e rt h i ss i t u a t i o n ，s i n c ea h pi sa p p l i e d p o p u l a r l yi nm u l t i - c r i t e r i ad e c i s i o np r o b l e m s ，t h ed e c i s i o n m a k e rw i l ls p e n dal o t o fu m e a n dm o n e y m o r e o v e lt h ed e c i s i o n m a k e rp e r h a p sa d ds o m es u b j e c t i v ef a c t o r st ot h ep a i r - w i s ec o m p a r i s o n j u d g m e n t st om a k et h em a t r i xc o n s i s t e n te n o u g h o b v i o u s l y ，t h ed e c i s i o ni s n om o r eo p t i r e a li ft h ed e c i s i o n - m a k e rs u d d e n l yb e c o m e si n c a p a c i t a t e do re v e n 。p a s sa w a y b e f o r em a k i n gh i sj u d g e m e m ，t h i sw i l ld i s r u p tt h ew h o l ep r o c e s ss i n c eo t h e r sm a y 1 1 0 1 b e a b l et oc o n t i n u ef r o mw h e r eh es t o p p e d h o ww i l lt h e yd e d u c et h eo p t i m a ld e c i s i o nf r o m t ，h e d e c i s i o n m a k e r s p r e v i o u s j u d g m e n t s ? w e k n o w t h a t t h er e l a t i v e j u d g m e n t s c a l e i sr e s t r i c t e d ， i na h p ，f r o m1 9 ，1 8 ，1 ，2 ，9 n o ti ne v e r ys i t u a t i o nc a ni tp r o d u c eap e r f e c t l yc o n s i s t e n t c o m p a r i 。s o nm a t r i x i nt h i st h e s i s ，s u p p o s i n gt h a tt h ed e c i s i o n - m a k e ri sr a t i o n a l ，w eo f f e ran e w ，v a l i da n d r e a s o n a b l ed e c i s i o nm e 也o d t h 一 一to d e a lw i t ht h es i t u a t i o nw h e r eed e c i s i o nm a k e ri sn o tc o n s i s t e n te n o u g h ，a n dw ed on o tc h a n g eh i sm i n d ，t h em e t h o d , d o e s n tr e q u i r et h ec o n s i s t e n c y 。t e s t 。 ，i n c l u d e sa l lt h ej u d g e m e mp r e f e r e n c e so f t h ed e c i s i o n m a k e r , 。i se a s i e rt od e a lw i t ha n dt h e d e c i s i o np r o c e s sc a nb e ：c a r r i e do u ts u c c e s s f u l l yi na n y c a s e t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ：f i r s t ，t h ea h p i sd e s c r i b e di ns u f f i c i e n td e t a i l ss ot h a t t h er e a d e rc a nu n d e r s t a n dt h em o t i v a t i o no ft h i st e c h n i q u e ，s e c o n dw ep r e s e n to u rm e t h o d ， t h i r dw e g i v ea ne x a m p l e t os h o wt h eu s eo f t h i sm e t h o da n df i n a l l yw e g i v ea c o n c l u s i o n v i i k e y w o r d s ：m u l t ic r i t e r i aa n a l y s i s ；h i e r a r c h yp r o c e s s ；j u d g e m e n tm a t r i x p a i r w i s ec o m p a r i s o n ；c o n s i s t e n c y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获 得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名：笙竺竺教 日期： 鼯：盘! ；口学位论文作者签名：钮幽t h ；，：正五 日期： 岛：盘l ；口 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的 规定，即；东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：型丝墨：i 鼯导教师签名：熏乳学位论文作者签名：盔o i 。h e iz 指导教师签名： 童扎 日 期：。i 刍z ! 1 3 。日期：! ! 盘亚! 盘互! 如 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 电话 邮编 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ( a h p ) i sa p o w e r f u la n d f l e x i b l ed e c i s i o nm a k i n g p r o c e s st oh e l pp e o p l es e tp r i o r i t i e sa n dm a k et h eb e s td e c i s i o nw h e nb o t h q u a l i t a t i v ea n dq u a n t i t a n v ea s p e c t so fad e c i s i o nn e e dt ob ec o n s i d e r e d b y r e d u c i n gc o m p l e xd e c i s i o nt os e r i e so f o n e o n - o n ec o m p a r i 。s o n ，t h e ns y n t h e s i z i n gt h er e s u l t s a h pn o to n l yh e l p sd e c i s i o nm a k e r s a r r i v ea tt h eb e s td e c i s i o n ，b u ta l s op r o v i d e sac l e a rr a t i o n a lt h a ti ti st h eb e s t d e s i g n e dt o r e f l e c tt h ew a yp e o p l ea c t u a l l yt h i n k ，a h pw a s d e v e l o p e d i nt h e19 7 0 sb yd rt h o m a s s a a t y ，w h i l eh ew a sap r o f e s s o ra tt h ew h a r t o ns c h o o lo fb u s i n e s s ，a n dc o n t i n u e st ob et h em o s t h i 曲l yr e g a r d e d a n d w i d e l y u s e dd e c i s i o n m a k i n g t h e o r y t h et e c h n i q u ei se s p e c i a l l ys u i t e df o ra p p l i c a t i o nt op r o j e c te v a l u a t i o ni nw h i c hq u a l i t a t i v ef a c t o r sd o m i n a t e i tc a nb ec h a r a c t e r i z e da sam u l t i c r i t e r i ad e c i s i o nt e c h n i q u et h a t c o m b i n eq u a l i t a t i v ea n dq u a n t i t a t i v ef a c t o r si nt h eo v e r a l lo fa l t e r n a t i v e s a h pi sa ni n t u i t i v em e t h o df o rf o r m u l a t i n ga n da n a l y z i n gd e c i s i o n a h ph a sb e e na p p l i e dt on u m e r o u s p r a c t i c a lp r o b l e m si nt h el a s tf e w d e c a d e s 1 b e c a u s eo fi t si n t u i t i v ea p p e a la n d f l e x i b i l i t y m a n yc o r p o r a t i o n sa n dg o v e r n m e n t sr o u t i n e l y u s ea h pf o rm a k i n g m a j o rp o l i c yd e c i s i o n s 【1 2 1 a p p l i c a t i o n o fa h pt oad e c i s i o np r o b l e mi n v o l v e sf o u rs t e p s ： 1 3 】 s t e p1 ：s t r u c t u r i n go f t h e d e c i s i o np r o b l e mi n t oah i e r a r c h i c a lm o d e l i ti n c l u d e sd e c o m p o s i t i o no ft h ed e c i s i o np r o b l e mi n t oe l e m e n t s a c c o r d i n g t ot h e i rc o m m o nc h a r a c t e r i s t i c sa n dt h e f o r m a t i o no fah i e r a r c h i c a lm o d e lh a v i n gd i f f e r e n tl e v e l s e a c hl e v e li nt h eh i e r a r c h yc o r r e s p o n d st ot h ec o m m o n c h a r a c t e r i s t i c si o ft h ee l e m e n t si nt h a tl e v e l ，t h et o p m o s tl e v e li st h e f o c u s ”o ft h ep r o b l e m t h ei n t e r m e d i a t el e v e l sc o r r e s p o n dt oc r i t e r i aa n ds u b c r i t e r i a w h i l e t h el o w e s tl e v e lc o n t a i n st h e ”d e c i s i o na l t e m a t i v e s ” s t e p2 ：m a k i n gp a i r - w i s ec o m p a r i s o n s a n d o b t a i n i n g t h e j u d g e m e n t m a t r i x ：i nt h i ss t e p t h ee l e m e n t so fap a r t i c u l a rl e v e la r ec o m p a r e dp a i r w i s e ，w i t hr e s p e c tt oas p e c i f i ce l e m e n t i nt h ei m m e d i a t eu p p e rl e v e l aj u d g e m e n tm a t r i xi sf o r m e da n du s e df o rc o m p u t i n gt h e p r i o r i t i e so f t h ec o r r e s p o n d i n ge l e m e n t s f i r s tc r i t e r i aa r ec o m p a r e dp a i r - w i s ew i t ht h eg o a l a j u d g e m e n tm a t r i x ，d e n o t e da sa ，w i l lb ef o r m e du s i n g t h ec o m p a r i s o n s e a c he n t r ya i j o f t h e j u d g e m e n t m a t r i xi sf o r m e d c o m p a r i n g t h er o we l e m e n ta iw i t ht h ec o l u m ne l e m e n t a j t h e c o m p a r i s o n o f a n yt w o c r i t e r i ac ia n d 0 w i t h r e s p e c tt ot h eg o a li sm a d eu s i n gt h e q u e s t i o n so f t h et y p e ：”o ft h et w oc r i t e r i ac ia n d 0 w h i c h i sm o r ei m p o r t a n ta n dh o wm u c h m o r e ? s a a t y 【1 4 ls u g g e s t st h eu s eo f9 - p o i n ts c a l et ot r a n s f o r mt h ev e r b a lj u d g e m e n t si n t o n u m e r i c a lq u a n t i t i e sr e p r e s e n t i n gt h ev a l u e so f a q s t e p 3 ：l o c a lp f i o f i h e sa n dc o n s i s t e n c yo fc o m p a r i s o n s ：o n c et h ej u d g e m c n tm a t r i xo f c o m p a r i s o n so f c r i t e r i aw i t h r e s p e c tt ot h eg o a li sa v a i l a b l e ，t h el o c a lp r i o r i t i e so fc r i t e r i ao b t a i n e da n dt h ec o n s i s t e n c y o f j u d g e m e n t si sd e t e r m i n e d i th a sb e e ng e n e r a l l ya g r e e d 1 , 1 4 1t h a t p r i o r i t i e so f c r i t e r i ac a nb ee s t i m a t e d b yf i n d i n gt h ep r i n c i p a le i g e n v e c t o rw o ft h em a t r i xa t h a ti sa w = 九w w h e nt h ev e c t o rw i sn o r m a l i z e d i tb e c o m e st h ev e c t o ro f p r i o r i t i e so ft h e c r i t e r i a w i t h r e s p e c t t o t h e g o a l 丸i s t h e l a r g e s t e i g e n v a l u e o f t h e m a t r i x aa n d t h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n v e c t o rw c o n t a i n so n l yp o s i t i v ee n t r i e s t h ec o n s i s t e n c yo ft h ej u d g e m e n tm a t r i xc a n b ed e t e r m i n e d b y am e a s u r ec a l l e dt h e c o n s i s t e n c yr a t i o ( c r 、o n c e t h el o c a lp r i o r i t i e so ft h e e l e m e n t so f d i f f e r e n tl e v e l sa r ea v a i l a b l ea so u t l i n e da b o v e ，t h e ya r ea g g r e g a t e dt oo b t m n f i n a l p r i o r i t i e so f a l t e r n a t i v e s ， 2 c h a p t e r 2 t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s i ti sn o ta l w a y se a s yt oc h o o s eo n ea m o n gs e v e r a la l t e r n a t i v e st h a ta r eo f f e r e dw h e n c o n s i d e r i n gv a r i o u sd e c i s i o nc r i t e r i a t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s sp r o v i d e sam e a no f m a k i n gd e c i s i o n so rc h o i c e sa m o n ga l t e r n a t i v e s ，p a r t i c u l a r l yw h e r ean u m b e ro fo b j e c t i v e s h a v et ob es a t i s f i e d ( m u l t i - c r i t e r i ao rm u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g ) 【1 5 】 f o u r s t e p sa r eu s e d t os o l v et h ep r o b l e mw i t ha na h p m e t h o d o l o g y 1 。b u i l da d e c i s i o n h i e r a r c h y b yb r e a k i n g t h eg e n e r a l p r o b l e mi n t oi n d i v i d u a lc r i t e r i a 2 g a t h e rr e l a t i o n a ld a t af o rt h ed e c i s i o nc r i t e r i aa n da l t e r n a t i v e sa n de n c o d eu s i n gr e l a t i o n a l s c a l e 3 e s t i m a t et h er e l a t i v ep r i o r i t i e s ( w e i g h t s ) o f t h ed e c i s i o nc r i t e r i aa n da l t e r n a t i v e s 4 p e r f o r ma c o m p o s i t i o no f p r i o r i t i e sf o r c r i t e r i aw h i c hg i v e st h er a n ko f t h ea l t e m a t i y e s ( u s u a l l y l o w e s tl e v e lo f h i e r a r c h y ) r e l a t i v et ot h et o p m o s to b j e c t i v e i nt h ef i r s ts t e p ，t h ea n a l y s td e v e l o pah i e r a r c h i c a ld e c o m p o s i t i o no ft h ep r o b l e m a t t h et o po ft h eh i e r a r c h yi so v e r a l lg o a lo rp r i m eo b j e c t i v eo n ei ss e e k i n gt of u l f i l l ，w h i l ea t l o w e rl e v e l sc o n s i s to fc r i t e r i au s e dt oa r r i v ea tt h i sd e c i s i o n t h eb o t t o ml e v e lo fh i e r a r c h y c o n s i s t so f t h ea l t e m a t i v e s f r o m w h i c h t h ec h o i c e i s t o b e m a d e 6 , 1 5 jt h e n u m b e r o f l e v e l s i n t h eh i e r a r c h yd e p e n d so nt h ec o m p l e x i t yo ft h ep r o b l e ma n dt h ea n a l y s t s ( d e c i s i o nm a k e r s ) m o d e lo ft h ep r o b l e mh i e r a r c h y t h eb a s i cs t r u c t u r eo f t h eh i e r a r c h yi s ： g o a l 彳弋孓 l c r i t e r i a lc r i t e r i a2c r i t e r i a3c r i t e r i a4 l p r o j e c t1 l p r o j e c t 2 p r o j e c t3 t h es e c o n d s t e pr e q u i r e sp a i r - w i s ec o m p a r i s o n s t ob em a d eb e t w e e ne a c ht w oi t e m s ( o f ag i v e nl e v e lo fh i e r a r c h y ) ，w i t hr e s p e c tt ot h e i rc o n t r i b u t i o n ( i m p o r t a n c e ) t o w a r d st h ef a c t o r f r o mt h el e v e li m m e d i a t e l ya b o v et h e mi nt h eh i e r a r c h y t h ew e i g h t ( s t r e n g t h ) o fp r e f e r e n c e i se x p r e s s e do nar a t i o no f1 - 9 t h e s ea r ea p p a r e n ts c a l ew h e nw et a k eq u a l i t a t i v ep a i r w i s e c o m p a r i s o n p s y c h o l o g i s t t h i n kt h a ti ft h ep a i r w i s ec o m p a r i s o na r et o om u c h ，t h e yw i l le x c e e do u rj u d g e m e n t ，s ot h e ys h o u l db ec o n f i n e di nt h er a n g eo f7 + 21 4 ，8 】w h e nc o m p a r i n g t w oa t c r i b u t e s ( o ra l t e m a t i v e s ) a ia n da 2w i t hr e s p e c tt oa na t t r i b u t ebo fah i g h e rl e v e l ，t h e 3 f o l l o w i n g n u m e r i c a lr e l a t i o n a ls c a l ei su s e d i7 1 1 卅1h a st h es a m ei m p o r t a n c ea sa 2 w i t hr e s p e c tt ob 3 卅li ss i t g h t l ym o r ei m p o r t a n tt h a na 2 w i t h r e s p e c tt ob 5 卅li sm o r ei m p o r t a n tt h a na 2w i t hr e s p e c tt ob 7 卅li sal o tm o r ei m p o r t a n tt h a na 2w i t hr e s p e c tt ob 9 - a t i st o t a l l y ( a b s o l u t e 【y ) i m p o r t a n tt h a n a 2w i t hr e s p e c tt ob j 1 一a 2i ss l i g h t l y m o r e i m p o r t a n t t h a n a i w i t hr e s p e c t t o b 一a 2 i sm o r ei m p o r t a n tt h a na 1 w i t h r e s p e c t t ob - a 2 i sal o tm o r e i m p o r t a n tt h a n a lw i t hr e s p e c tt ob i - a 2 i st o t a l l y ( a b s o l u t e l y ) i m p o r t a n tt h a na 1w i t hr e s p e c tt ob i n t e r m e d i a t en u m b e r sa r eu s e df o rf i n e rr e s o l u t i o n s a a t yu s e d1 3 ，l 一5 ，1 1 7 ，( d + o 1 ) 一( d + 0 9 ) ( d = l ，2 3 ，4 ) 1 p 一9 p ( p = l ，2 ，3 ，4 ，5 ) a n d s oo n ，w i t h 2 7s o r t so f c o m p a r i s o n s c a l e st oe s t a b l i s hp a i l - w i s ec o m p a r i s o nm a t r i x i nt h et h i r ds t e p ，u s i n gt h ep a i r w i s ec o m p a r i s o no ft h el a s ts t e p ，a d e i g e n v a l u em e t h o d ( m a t h e m a t i c a la p p r o a c h u s e d b ya h p ) 同i s u s e dt od e t e r m i n et h er e l a t i v ep r i o r i t y ( w e i g h t ) o f e a c ha t t r i b u t ew i t hr e s p e c tt oe a c ha t t r i b u t eo ft h el e v e la b o v ei nt h eh i e r a r c h y i na d d i t i o n a ”c o n s i s t e n c yr a t i o ”i sc a l c u l a t e d a c c o r d i n gt os a a t ys m a l lc o n s i s t e n c yr a t i o ( 0 1 ) d on o t d r a s t i c a l l ya f f e c tt h er a t i n g s i n t h ef o u r t hs t e p ，t h ep r i o r i t i e s ( w e i g h t s ) o ft h el o w e s tl e v e l a l t e r n a t i v et ot h et o pm o s t o b j e c t i v ea r ed e t e r m i n e d a t t h ee n do f c o m p a r i s o nw eh a v ef i l l e d am a t r i xao ft h ef o l l o w i n gf o r m ： 拈a l l a 1 2a13aln 1 4 2 1 t h ec o n s i s t e n c yt e s t i no r d e rt ot a k et h ee i g e n v e c t o rc o r r e s p o n d i n gt oe i g e n v a l u ea st h ew e i g h t e dv e c t o ro f t h ec o m p a r e df a c t o r s ( a t t r i b u t e s ) ，t h ei n c