（概率论与数理统计专业论文）推广增长曲线模型中协差阵的最小模估计.pdf

内容提要 m 本文考虑推广增长曲线模型y = ，b z ：+ u8 ，其中，y = ( y m ，y ( ：) ， = l m 。) ) 为n p 阶观测资料矩阵，x ，、z ，和u ( o ) 分别是已知的n 。阶、 p f ，阶和 j 阶矩阵，b 。是未知的k ，f ，阶回归系数阵( i = 1 , 2 ，m ) ，8 = ( t 1 ) ，5 ( 2 ) ，占( 。) ) 为s x p 阶随机误差矩阵，s ( 1 ) ，占( 2 ) ，占( ，) 独立且 e c ( ，) = o ，e c ( 。) 。) = ，e ( 8 ，) o 占m s ；，) ) = v ( 存在，有限) ，i = 1 ，s ( ，甲) 人2 = ( ，甲) ：有维随机向量撒e 蹿= o ，e r r = ，e ( r r r r ) = 、壬，) 。同 时还假定( z 1 ) 2 ( z 2 ) 2 ( x 。) 。本文在此情形下对于给定的矩阵 c = c 0 ，给出了f ，( c _ ) 可估时的最小模估计( m i n q e ( u ，i ) ) 以及m i n q e ( u ，i ) 成为一致最小方差不变二次无偏估计( u m v i q u e ) 的充要条件，同时探讨了 t r ( c e ) 的u m v i q u e 存在的充要条件，并在存在时具体给出了t r ( c ) 的 u m v i q u e 。得出以下主要结论： ( 1 ) t r ( c x ) 可估的充分必要条件是c = m 乏一。c m z 。 ( 2 ) 少m a 岣，是驴( c 芑) 的唯一的( 在a s 相等的意义下) m i n q e ( u ，i ) ， 其中m a 。m = 妻( l ，g l f ) + 。导， 其中 。= f ) + o 争， l o l c b = r f c r ，s = 七，k + 1 ，r tf r f = r k ( m 以g ) ，c ，= e c “+ c 。 s = lj = + l ( 3 ) 在独立同分布情形下，t r ( c _ ) 的m i n q e ( u ，i ) 少m a m y 是t r ( 6 x ) 的u m v i q u e 的充要条件为：c = m 乏一，叫；。且对于f = ，k + l ，f ，存在某 i 硕士学位论文 m a s t e r st i i e s i s 实数 及，使得 l l g ( l ，g l ，) + g l ，= ，l 。g l l , u d i a g u it l | g lz ) 1u j u jl t = “t l , g l , 同时成立。 ( 4 ) t r ( c z ) 的u m v i q u e 存在的充要条件也就是t r ( c z ) 的m i n q e ( u ，i ) 成为t r ( c e ) 的u m v i q u e 的充要条件。 关键词：推广增长曲线模型：最小模估计；一致最小方差不变二次无偏估计。 a b s t r a c t t h i s p a p e r c o n s i d e r sa l le x t e n d e dg r o w t hc u r v e m o d e l ：y = x ，b ，z + ，器 泞1 w h e r e y = ( y ( 1 ) ，y ( 2 1 ，一，y ( 。) ) i s n p o b s e r v a b l er a n d o m m a t r i x ，x ，、z ，a n d u ( s o ) a r ek n o w n 盯七 、p 1 i a n dn sm a t r i c e s r e s p e c t i v e l y , e i sa n u n k n o w n k 。，。m a t r i x o f r e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t s ( i = 1 , 2 ，m ) ，昂 = ( 占( 1 ) ，( 2 ) ，s ( j ) ) i sa n s p r a n d o me r r o r m a t r i x ， g ( 1 ) ，占( 2 ) ，占d ) a r e i n d e p e n d e n t a n d e 气) = 0 ，e e ( 。) 占( ，) = ，e ( e ( ，) s ( 。) 固e ( o e ( ，) ) = 甲( i t i se x i s t e n t a n df i n i t e ) ，i = 1 ，s ，w h e r e ( ，甲) 人2 = ( ( ，、壬，) ：t h e r ee x i s t sap - d i m e n s i o n a l r a n d o mv e c t o r 叩s u c ht h a t e q = 0 ，e q r l = ，e ( q q o r l r l ) = 甲) a t t h es r m et i m e w es u p p o s e ( x 1 ) 2 a ( x 2 ) 2 3 4 x ，) f o ra n yg i v e nm a t r i xc = c 0 ，w e g i v et h em i n q e ( u ，i ) o ft r ( c x ) w h e n i ti se s t i m a b l e ，a n do b t a i nt h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h em i n q e ( u ，i ) t ob et h eu m v i q u e a tl a s t ，w e d i s c u s st h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eu m v i q u eo ft r ( c ) t o e x i s t t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) t h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t r ( c z ) t o b ee s t i m a b l ei sg i v e n b yc = 肘毛c 吖毛 ( 2 ) t h eu n i q u e ( a 。s ) m 1 n q e ( u ，i ) o ff ，( c ) i s y m a 。m y ，w h e r e 硕士学位论文 m a sr e r s1 j i e s i s 删m = 萎t ( ，g + 。导，_ = 似m x , g ) ，= 女， c b = r ，c r 。，z ，s = k ，k + 1 ，f c ，= c 一c 。 ( 3 ) i nt h ec a s eo fi i d ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o ni so b t a i n e df o r m 1 n q e ( u ，i ) y m a m y t ob et h e u m v i q u eo ft r ( c - t ) b y c = m ；。c m i 。 a n df o r l = k ，k + 1 ，一t ， 上，g ( l ，g l f ) + g l f = a f l f g l ，f o rs o m e ， a n d 上。u d i a g u ( 三，g l ，) + u u 上，= ，z , g l ，f o rs o m e “ ( 4 ) t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h eu m v i q u eo ft r ( c e ) t o e x i s ti st h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h em i n q e ( u ，i ) o ft r ( c z ) t ob e t h eu m v i q u eo ft r ( c ”z ) k e y w o r d s ：e x t e n d e d g r o w t h c u r v em o d e l ；m i n q e ( u ，i ) ；u m v i q u e 符号说明表 a +矩阵a 的m o o r e - p e n r o s e 广义逆 r k ( a ) 矩阵a 的秩 t r ( a 、 矩阵a 的迹 4 a ) 矩阵a 的列向量张成的线性子空间 只州+ ，向( 彳) 的正交投影变换阵 v e c ( a 1将4 的列向量依次排成的列向量 f 适当维数的单位列向量( 第i 个分量为1 、其余分量为0 ) 。诹c 4 ， ( 三二 = 喜c q e ：。4 ，4 为p 阶方阵，= 墟，” 幽曙c ( ：1 二 = 善n c e ；一啪叩：，爿= c ，为丹阶方阵 ( g ) x x g f ，这里g = ( g 。) 是n 阶方阵，是p 阶方阵 硕士学位论文 m a s r e r st h e s i s 品( ，甲)甲( c ) s t r ( c s ) 一2 c ，其中，甲，c 为矩阵 g c m 增长曲线模型( g r o w t h c u r v em o d e l ) e g c m 推广增长曲线模型( e x t e n s i o no f g r o w t hc u r v em o d e l 1 l s e 最小二乘估计( l e a s ts q u a r ee s t i m a t e ) b l u e 最佳线性无偏估计( b e s tl i n e a ru n b i a s e de s t i m a t e ) m i n q e ( u ，i )无偏不变最小模二次估计( u n b i a s e di n v a r i a n tm i n i m u mn o r i l q u a d r a t i ce s t i m a t e ) u m v i q u e一致最小方差不变二次无偏估计( u n i f o r m l ym i n i m u mv a r i a n c e i n v a r i a n tq u a d r a t i cu n b i a s e d e s t i m a t e ) 硕士学位论文 m a 5 t e r st h e s i s 第一章引言 1 1 模型及其研究现状 1 9 3 8 年，w i s h a r t 在研究不同组间动、植物的生长情况时，曾引入了增长 曲线模型( g r o w t h c u r v em o d e l ，简记为g c m ) 的概念： y = x l b x 2 + 吕 ( i ) 其中y 为月q 阶随机矩阵，z 。和z ：分别为t 7 p 和q k 阶已知矩阵，b 为 p k 阶未知参数阵，8 为一q 阶随机误差阵，其行向量互不相关、均值为零、 协差阵为v 。 比模型( ，) 更为一般的g c m 为： y = x l b x 2 + u 毛 ( 其中的随机误差项增添了u ( o ) 就包括了一些非独立观测的情形。 在模型( i ) 或( i ) 中对8 分别有准正态情形、独立同分布情形和椭球 等高分布情形下的三种假设，参见文献【1 1 】。 由于g c m 是比一般线性模型更为广泛的模型，几十年来许多学者从理论 和应用方面对它进行了一些讨论。1 9 6 4 年p o h o f f & r a y 【1 】对这种广义线性 模型的背景作了详细研究，d i e t r i c k v o n r o s e n 【2 】通过矩阵方程组求解法获 得了未知参数的极大似然估计( m l e ) ，在正态假设下进一步讨论了m l e 的矩 及其渐进分布。 4 1 给出了回归系数阵线性函数t r ( c b ) 的优良估计，【5 】讨论 了在“t r a c e ”意义下回归系数阵b 的最小二乘估计( l s e ) ，1 6 1 一【1 0 1 分 别在准正态情形、独立同分布情形和椭球等高分布情形下讨论了护( c 巴) 的最小 二乘估计( l s e ) 、最小模估计( m i n q e ( u ，i ) ) 及其最优化问题，而【l l 】对 3 硕士学位论文 m a s t e r st t l e s i s 上述这些问题做了较为详尽的阐述。另外，【1 2 】和【1 3 】分别在独立同分布 情形和椭球等高分布情形下讨论了t r ( d b ) + t r ( c z ) 的联立估计问题。 1 9 8 8 年，a ev e r b y l a & wn v e n b l e s 将g c m 进行推广，得到了推广 增长曲线模型( e x t e n s i o no f t h eg r o w t hc u r v em o d e l ，简记为e g c m ) ： y = x 。b ，z + u g ( h ) i = l 其中，y = ( y ( 1 ) ，y ( 2 ) ，y ( 。) ) 和鲁= ( 6 ( 1 ) ，占( 2 ) ，5 ( ，) ) 。分别为n 。p 阶观测资料矩 阵和s p 阶随机误差矩阵，、z ，和u ( o ) 分别是已知的 k 。阶、p ，。 阶和n 5 阶矩阵，b 。是未知的k ，阶回归系数阵( i = 1 , 2 ，m ) ，8 的行向量 互不相关、均值为零、有相同的协差阵。这种模型在生物统计学中有着非常广 泛的应用，可用于描述平行轮廓中轮廓结构形式有多种的情况，另外非线性模 型通过某种线性化后也可得到e g c m 【3 】。对于这种模型，目前也有了不少研 究成果： 在m = 2 时，【1 4 1 讨论了参数矩阵线性组合的可估性，得到了其l s e 与 g m e 相等的充要条件；【1 5 】、【1 6 】分别在一定的条件下讨论了f ，( 晓) 的 m 1 n q e ，i ) 和不变l s e ，【1 7 1 一【1 9 在一些特殊情形下考虑了t r ( c z ) 的l s e 及其优良性。 另外，1 2 1 】在u ( z 1 ) 2 u ( z 2 ) i ( z 。) ( ( 一) 表示由矩阵a 的列向量 所张成的空间) 的假定下给出了椭球等高分布情形中t r ( c z 1 可估时的 m r n q e ( u ，i ) ；在4 x ) 3 4 x 2 ) 三a ( x 。) 的假定下，【2 0 1 对准正态情形 和独立同分布情形给出了t r ( c z ) 可估时的l s e 及其优良性；【2 2 】、1 2 3 】对椭 球等高分布情形分别得到了协差阵和回归系数阵的同时估计以及t r ( c z ) 的 4 硕士学位论文 m a s t e r st i e s i s m i n q e ( u ，i ) ，并讨论了其最优性。 1 2等价模型及主要问题 本文考虑模型( 口) ，并假定( j 。) 三o ￥：) ( z 。) ，对占作如下 假设：s ，s ( 2 ) i 一，占独立且e 6 m ：o ，e e 反。) = ，e ( 气) s ，) o 占s 0 = 甲( 存 在，有限) ，其中( ，甲) 人：= ( ，、壬，) ：郁维随机向量即使e ，7 = o ，e r l r l 。= e ( r l r l 圆，7 ，7 ) = 甲 ，i = i ，s 。此即为独立同分布情形。在此情形下，将模型( ) y = ( j fo z ii x 20 2 21 ! j 。圆z 。) + ( u o d 占皇五矽+ 享( 1 i ) 其中_ y = v e c ( y ) ，卢= v e c ( b 1 i b 2 ：；b 。) ，s = v e c ( s ) ，苔= ( 【，圆，) s ，”o ”为矩阵 由模型( ) 或模型( 口) 还可引出其导出线性模型： 其中e ( m y y m ) = m ( u o 1 ) e e e ( 0 ，) m = m ( u u o ) m 兰m ( g 0 z ) m 这里，d f = v ( e ) 一2 e h , e x t r ( h , e ) 皇s h , ( ，y ) 只= ( 8 ：圆，) ( u 固i ) m a m ( uo 州p ，o ，) = ( p ，u 圆) m a m ( u e 。o ，) 户卜三 硕士学位论文 m s 珏r st f i e s i s 本文在独立同分布情形下对于给定的矩阵c = c 0 ，给出了t r ( c z ) 可估 时的m i n q e ( u ，i ) 以及m i n q e ( u ，i ) 成为一致最小方差不变二次无偏估计 ( u m v i q u e ) 的充要条件，同时探讨了t r ( c 2 ) 的u m v i q u e 存在的充要条件， 并在存在时具体给出了t r ( c z 1 的u m v i q u e 。 6 硕士学住论文 m a s r e r st h e s i s 第二章相关引理 记只= a a + ，m = ，一只= i 一彳爿+ ，其中一+ 为矩阵的m o o r e p e n r o s e 广义逆 本文的讨论中需要下面的几个引理： 引理2 1 ： a ( x 1 ) 2a ( x 2 ) ( 以) ，x = ( x jo z j ! 2 圆z 2 ；工，o z m ) m = i 一匕。当f - 1 ，2 ，m 时，记三= m 置，r ，= m ( z 。! 毛i ；z 。) 一m ( z i ：z ：j i z ，) 皇m ； 肘；当i 2 m + 1 时，记三= ，r = m ( z ，；z ：z ) 龛m ；。在以上记号下，我m 有下面的结果： ( 1 ) l 2 - 厶，l ，l j = l ，其中i _ ，= m i n i ，小 ( 2 ) r ? = r ，r ，r = o ( i ，) ，且r l + 月2 + + r ，+ l = i ； ( 3 ) ( ，o r ，) 2 = l 。o r t , ( 工。o r 。) ( 上，p r j ) = o ( i ，) ； * + ! ( 4 ) 肘= l ，o r ，从而对于f _ 1 , 2 ，m + l ，有 i = l 三。o r 。= m ( l ，o r 。) = ( l 。o r 。) m = m ( l ，o r 。) m 证明参见1 2 0 | 。 引理2 2 ：设a 、b 、c 分别是k ，m xn ，k x n 矩阵，则方程a x b = c 有解的充 要条件是朋+ c b + b = c 。在这个条件成立时，方程a x b = c 的通解是 x = a + c b + + d ，其中d 是满足条件a d b = 0 的任何，x m 矩阵。 证明参见【l l 】。 引理2 3 ：设p 维随机向量艿- - ( 8 i ，一，以) n ，( o ，1 ，) ，为p 阶非负定阵， 硕士学位论文 m a s7 f e r st i e s i s 叩= z2 万，则对任何p 阶对称阵c ，有s 。，( ，甲) 皇、王，( c ) z t r ( c ) 一2 z c z = 0 。 证明参见【1 1 】。 引理2 4 ：设c 为对称阵，r 为非零对称幂等阵，则对一切0 ，有r z c z r = 0 成立的充要条件是c = 0 。 证明参见【1 l 】。 引理2 5 ：设c 为对称阵，尺为非零对称幂等阵，则对v ( z ，甲) 人：，有 r s c ( ，w ) r = 0 成立的充要条件是c = 0 。 证明参见【1 1 】。 引理2 6 ：设爿，e ( x ) 分别为 n 阶方阵和p 。p 阶矩阵值函数，x s ( s 非 空) ， i = o ，1 ，2 ，k ，g 为n 阶方阵。若a 。b ，( x ) = o 蕴涵2 , b ，( x ) = 0 ， l = 0 k i = o ，1 ，2 ，k ，则存在v ( x ) 使得a 。o 占，( z ) = g o 矿( z ) ，v x e s 成立的充要条 i = 0 件是e ( 了) = 0 或者爿。= 五，g ，对某个实数五，i = 0 ，l ，2 ，k 。 证明参见 2 3 】。 引理2 7 ：设4 ，b ，分别为h n 阶方阵和p p 阶方阵( i = o ，1 ，2 ，k ) ，r 为p p 阶非零投影阵，g 为”n 阶方阵。若五，b 。= o 蕴涵a ，b 。= o ，i = o ，1 ，2 ，k ， j 0 t 则存在y ( ) 使得a ， r z b z r = g o 矿( ) ，v 0 成立的充要条件是b 。= o t t 0 或者a ，= a ，g ，对某个实数a ，i = o ，1 ，2 ，k 。 证明：根据引理2 4 及引理2 6 可证。 硕士学位论文 m a s t e r st i e s i s 引理2 8 ：设a ，c 分别为n 7 1 阶方阵和p 。p 阶方阵( i = 0 , 1 ，2 ，k ) ，r 为p x p 阶非零投影阵，g 为i , l n 阶方阵。记s c 。( ，甲) 皇甲( c 。) - z t r ( c 。) 一2 e c 。， v ( z ，甲) a 2 若丑，c 。= 0 蕴涵旯。c ，= o ，i = 0 , 1 ，2 ，k ，则存在矿( ) 使得 a ，圆r s c ( ， - p ) g = g 圆矿( ) ，v ( z ，甲) a2 成立的充要条件是c ，= o 或者 a = a ，g ，对某个实数a ，i = 0 , 1 ，2 ，k 证明：利用萎昆( ，= s 圭。( ，根据引理2 5 及引理2 6 可证。 硕士学位论文 m a s t e r st t 止s i s 第三章t r ( c z ) 的m i n q e ( u ，i ) 3 1 d r y g a s 的一般射影定理 定义3 1 ：设镟是一个向量空间，矿( ，) 是微翟到实数集r 的一个映射，若 ( 1 ) w ( a ，a ) o ，v a ( 非负性) ( 2 ) v ( a ，b ) = v ( b ，4 ) ，w ，b 铤，( 对称性) ( 3 ) 对任何指定的a 弛v ( a ，b ) 一v ( a ，o ) 是b 的线性函数( 准线性性) 即v a ，r 有 v ( a ，a 曰+ ，c ) 一v ( a ，0 ) = a v ( a ，口) 一v ( a ，0 ) 】+ y 矿( 爿，c ) 一v ( a ，0 ) 】 则称矿( ，) 是钝上的一个准内积。 定义3 2 ：称非空子集石逢e 是一个线性流形，若对某个c 0 牡及线性子空阳j 饿o 能有缸c o + 硬o = c 。+ b ：b 徼o ) 。 定理3 1 ( d r y g a s 的一般射影定理) 【1 1 】：设v ( a ，b ) 是向量空间”上的个准 内积，c - 受钝，若召是一个线性流形，n v ( c ，g ) 2 r a 。e 6 i n v ( c ，c ) 的充要条 件是 矿( c ，c c ) 一v ( c 。，o ) = o ，v c 强 与之等价的条件是 v ( c ，b ) 一v ( c 。，o ) 三o ，v b 舀一眵 其中b g = ( c l c 2 ：c l ，c 2 6 ) 。 证明参见【1 1 】。 d r y g a s 的一般射影定理是关于准内积的最优化的主要定理，下面利用该 定理来寻求t r ( c z ) 的m i n q e ( u ，i ) 。 3 2 t r ( c z ) 的不变二次估计类 对于模型( ) 或等价的模型( h ) ，我们希望用少砂兰尹( y ) 去作为 t r ( c ) 皇y 的二次估计。注意到y 服从线性模型 y = 爿芦+ f ，f = ( u 0 1 ) c ( 0 ，g o ) ，0 g = u u 0 且平移变换群1 7 i = g 。：) ，5 q y + x a ，a r 篙) 在参数空间 ( 卢，甲) ：卢 ， r 善，o ，甲为占m 的四阶矩 上诱导出一个变换群丽： 爵：( ，甲) 与 ( 卢+ 口，甲) ) 。于是当希望用尹( _ y ) 去估计y 时，有理由要求它具有o n t 的；6 变 性：尹( g 。y ) ：尹( y ) ，v 口尺苫及y r ”，即 ( y + 爿a ) 一( _ y + 爿a ) = y 4 y ，v 口月善勇砂r 叩 亦即2 d t t 4 y + 口x 做= o ，v 口r 舌及y 矗印 这等价于倒= 0 亦等价于a = m a m 其中m = 1 一剧+ 。 因此，t r ( c z l 的不变二次估计类为 硕士学位论文 m a s t e r si t i e s i s p = y 砂：爿= a = 删m ) = y t 心坶：a = a ) 。 由于y 心蜘= t r ( m a m m y y m ) ，m y 的二次型也是m y y m 的线性型，所 以耻 t r ( m a m m y y 。m ) ：a = 彳) 也是m y y m 的一个线性估计类。 3 3可估参数函数t r ( c x ) 的m i n q e ( u ，i ) 基于t r ( c e ) 的不变二次估计类，我们给出如下的定义 定义3 3 ：对给定的矩阵c = c 0 来说，参数函数押( c ) 称为二次不变无偏可 估的( 以下简称为可估的) ，如果存在n p 印阶对称阵a ，使得 e y m m y ) = t r ( c - t , ) v x 20 或者等价地t r m a m ( g0 ) ：t r ( c z ) ，v z 0 ( 3 1 ) ( 3 2 ) + l 由前面的引理2 1 中m = l 。o r ，知，t r ( c z ) 可估的情况下，一定存在 f - l 正整数t ，使r k 圭m i n ( f ：l ，g 0 。因此，我们只需考虑，k 的扩展增长曲 l m 线模型。于是不妨设f = m a ) ( i ：r ，0 ，本文以下内容所涉及的k 、t 的含义 * s ，5 t ? t + l 与此相同。 定理3 2 ：参数函数f ，( c ) 可估的充分必要条件是c = 彳毛c m 乏一，。 证明参见【2 3 】。 下面我们来给出可估参数函数f ，( c l ) 的m i n q e ( u ，i ) 。 由于y 服从线性模型： i ， 硕士学位论文 m a s r f e r st t l e s i s y = 爿+ f ，- g = ( u 1 ) 6 ( 0 ，g o ) 注意到 y m a m y = ( 爿声+ 享) m a m ( x p + f ) = 孑m a m y = f ( u 0 i ) m a m ( u 0 1 ) e 若s = ( 占知f 岛，s ，) ) 是知道的，则= e g s 小f - 1 ，2 ，j ) 的自然估计为 宝= e o ) e ( 。， o j ；l 从t r ( c z ) 的自然估计为 驴( 瞳) = ；私鹣j ) - “l 。；c 胪抛占o = l o 其中：j 。! c ，i s 是s 阶单位矩阵。 但是占( - ) ，s ( ：) ，占( ，) 是不可观测的，因而是不能知道的。而我们希望用 少删哟一去估计t r ( c x ) ，因此，依c r r a o 的最小模原理，自然要求 y 别岣，一s a 6 = 一【( u 0 i ) m a m ( u0 ，) 一】s = 护 【( u 圆i ) m a m ( uo ，) 一a e e ) 兰 在一定意义下达到最小。由于事实上占为不可观测的随机误差向量，故一个合 适的选择是在约束条件( 3 2 ) ：t r m a m ( g o ) 】- r ，( c 互) ，v 0 之下去极小化 欧氏模 炉o i ) m a m ( u o i ) 一0 2 = t r ( u i ) m a m ( uo ，) 一 2 ：护 m a m ( g 圆i ) m a m ( g 。i ) 一2t r m a m ( g 。c ) + ! f r ( c 2 ) ：r ， m a m ( g 。i ) m a m ( g 。i ) 一l t r ( c 21 注意到，对任何给定的p x p 阶矩阵c ：c 0 来说，l t r ( c z ) 是已知的， j 故寻求可估函数t r ( c z ) 的m i n q e ( u ，i ) ，m a m y 就是在约束条件( 3 2 ) 之下去极 小化 t r m a m ( g o i ) m a m ( go 川兰v ( m a m ，m a m )( 3 3 ) 由于v ( m a m ，m b m ) 皇t r m a m ( g o 1 ) m b m ( go 纠 是向量空间呲= m r v m ：w = w 上的一个准内积， b = m a m ：a = 爿，t r m a m ( g ) = t r ( c z ) ，v 0 ) = m a m ：a = a ，t r m a m ( g o 矿) = t r ( c v ) ，v v = v 是一个线性流形，根据定理3 1 ， 矿( 舶m ，m a m ) 2 。2 曼影( 纠m ，m a m ) ( 3 4 ) v ( m a m ，m a m m a 。m ) = o ，v m a m 6 v ( m a 。m ，m b m ) = o ，v m b m 移一参8 0 t r m a 。m ( g o i ) m b m ( g o i ) 1 = o ，v m b m t r m ( g o i ) m a 。m ( g 固i ) m b m = o ，v m b m 晚 注意到 o = ( m b m ：b = b ，t r m b m ( g o v ) = 0 ，v v = v ) ( 3 4 ) 成立的充要条件就是 1 4 m ( 6 0 i ) m a 。m ( g o i ) m = m ( g 圆v ) m ，对某一个y = v 成立 ( 3 5 ) 又m ( g v ) m = m ( g 2 圆，) ( ，固矿) ( g 2 0 1 ) m = m ( g o i ) m m ( g 0 ，) m 】+ m ( g 2 o 项o y ) ( g 2 o i ) m m ( g o ，) m 】+ m ( g o 根据引理2 2 ，方程( 3 5 ) 有解，其通解是 m a 。m = m ( go ，) 吖】+ m ( g o v ) m m ( g o o m + + m d m( 3 6 ) 其中m d m 满足条件m ( g 圆i ) m d m ( g o i ) m = 0 ( 3 7 ) 或者等价的条件( g2 圆i ) m d m ( g2 圆i ) = 0( 3 8 ) 为了确定v 使得a 。最即对任何0 有 t r ( c z ) = t r m a m ( g0 ) = t r m ( g o i ) m i + m ( g o v ) m m ( g o ，) m 1 + ( g 圆) + t r m d m ( g j = t r m ( g ，) m 】+ m ( g v ) m m ( g 圆f ) m 】+ ( g o ) ff = f ， ，g l ，o 马】+ ( g o 矿) 【上，g l ，o r s 】+ ( g o ) k is = k f = f r 【( l i g l g ( l 。g l 。) + g 圆r y r 。】 ，s = k l = t r ( l t g l i ) + g ( l ，g l ，) + g t r ( r ，v r ，) j = 记k = t r ( l ，g l ，) + g ( l 。g l 。) + g 】( o ，否则h ，g = 0 ) ，f ，s = 女，+ 1 , - - - f 则( 3 9 ) 即为 1 5 ( 3 9 ) 硕士学位论文 m a s f e r st h e s i s 1 f ，( c ) = r j r ( r ，v r ，) t ，( r ，v r 。) ，v z 0 ，s = k，s = k 只需c = r l , r ，v r 。 ( 3 1 0 ) 左乘r f ，右乘r ，得月，c r 。= r t , v 记c h ：r t c r ，5 ：| | ，七+ 1 ，f ，贝1 有矿：兰蔓 此时 ( 3 1 0 ) f m ( g o ，) m 】+ m ( g o v ) m m ( g 圆，) m + = ( ，g l ，) + g ( l ；g l 。) + o l 。t j _ s f ，1 is = k 根据引理2 1 ，有上三。= 工。工，= l 不妨设f s = ，则有 u ( l t g l ，) + u u ( ，g l ，) + u u f 三f ( l i u u l f ) + l ，l ，u u l ，( l 。u u l ，) + 上，u u l ，( l 1 u u l ，) + l ，u ( 利用只= a a ( 州) + ) = u 三f ( l ，u u 三f ) + 三，u = 昂- b = 昂h ， = t r t ( l f g l ，) + g ( t ，g l 。) + g = t r u ( 三，g l f ) + u u ( 三。g l ，) + u 】 = r ，( p u “) 2 肚( 乃，l i ，) 皇，f ， 1 6 硕士学位论文 从而可记 m ( g ，) m 】+ m ( g o 矿) m m ( g o ) m 】+ = e ( l f g l tf ) + o ，1 f = i， tt 其中，o = 护( 巳，- ) = r k ( m ，g ) ，c ，= c 。+ c h 定理3 3 若“c z ) n 估，令心m = 骞( g l ，) + 。导，其中，_ = 以( m x , g ) tt c ，= c 。f + c b ，c h = r t c r ，s = ，k + l ，叫删，m a 坳就是护( c ) 的 j = ，j = “1 唯一的( 在a s 相等的意义下) m i n q e ( u ，i ) 证明：由上述过程可知， 翻岣，为t r ( c e ) 的m i n q e ( u ，i ) 。 其唯一性的证明可参见【1 1 】第五章中t r ( c z ) 的m i n q e ( u ，i ) 唯一性的证明。 硕士学位论文 m a sr e r st i t e s i s 第四章t r ( c z ) 的m i n q e ( u ，i ) 的优良性 4 1 z y s k i n d 定理 假设孝是可测空间( q ，幻到实的、维数有限的内积空间( 似， ) 的随机 元， b ：0 0 ) 是( q ，毒) 上的一族概率测度，0 是参数空间，记 啦 毛亭：0 0 ) ，表示让在啦中张成的空间。 研究 是g ( 口) 的致最小方差线性无偏估计量的条件时，z y s k i n d 定 理是一个有力的工具。 定理4 1 ( z y s k i n d 定理) ： 是g ( 口) = 的无偏估计量，在0 0 0 处， 是 的最小方差线性无偏估计的充要条件是 ( c o v e o a 2 ( 证明参见“1 】。 4 2 t r ( c z ) 的m i n q e ( u ，i ) 的优良性 这里主要研究可估函数f r ( c ) 的m i n q e ( u ，i ) 成为t r ( c z ) 的u m v l q u e 的 充要条件。 定义4 1 ：如果t r ( c z ) 是t r ( c z ) 的无偏估计量，而且和不变二次估计类 9 = ：一是印阶对称方阵) 中任何一个t r ( c e ) 的无偏估计 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s ，m a m y = 比较都有 v a r z t r ( c e ) v a r e y m a m y ，v 0 则称t r ( c y ) 就t r ( c e ) 的一致最小方差( 对0 一致) 不变二次无偏估计，简 记为u m v i q u e ( u n i f o r m l ym i n i m u mv a r i a n c e i n v a r i a n t q u a d r a t i c u n b i a s e d e s t i m a t e ) 。 令善= m y y m ， 锹= ( m r v m ： 哟印阶对称阵) ， a a = e m y y m ：0 ) - m ( g o e ) m ：0 ) ， 似) = m ( g o v ) m ：v = v 。 独立同分布情形下，在模型( h ) 或等价的模型( h ) 中，t r ( c z ) 兰 的u m v i q u ey 心o m y = t r ( a o m y y m ) 兰 重合于导出线性( 关于 m y y 。m ) 模型( h ”) 下 的最佳( 一致最小方差) 线性( 关于坳m ) 无偏 估计( b l u e ) 因此，根据定理4 1 ， f ，1 y m a 。m y = y t z ( l ，g l o y ( 4 1 ) l = k ， 是护( c ) 的u m v i q u e 的充要条件，亦即 是导出线性模垂d ( t t ”、 下 的b l u e 的充要条件为；存在v = v 使得 2 m ( g p z ) m a 。m ( g ) m + 吖固o o i a g ( 联) ( u o ，) m = m ( g o v ) m ，v 2 0( 4 2 ) 其中，d j = v ( h j ) 一2 h j 一e t r ( h ；e ) 皇s 旷( ，甲) 胤肚褰( 印+ 。，= t， h ? = ( e 。u o i ) m a 。m ( u e 。固，) 叫州褰( 上删g l c 一 i ( u e ，。，) 【，( 上，g l ，) + u e ，c 。 从而d ? = e ，u ( 工，g l ，) + u e 。s c ( ，甲) f = k ， 嘲，= 卜三历吲研卜卜。：j ：壹硪昭【u t ( 上，g l ，) 十u j 圆l ，s c ( ，甲) i = k 1 2 m 【骞g ( ，g l f ) + g 。z c i e m i l = o + m 妻( 脚昭眇( 工，g l f ) + u 。i 1 ( ，甲) ) m = m ( g 圆v ) m ，v y 0 ( 4 3 ) 由引理2 3 知，v 0 ，对应于正态，mq 1 1 = 2 占( 这里占= ( 8 1 ，6 p ) n ，( 0 ，) ) 的s 。( ，甲) 必为零。故充要条件等价于：存在k = _ ，f = 1 , 2 ，使得 2 0 p 一_ 。 = 下面两式成立： 2 m 【g ( l ，g l ，) + g o 土。z c ，z m = m ( g o k ) 肘，v 0 ( 4 4 ) i = k ， m 艺u d i a g u ( 工，g l ，) + u u o 昆( ，v ) ) m = m ( g 圆v 2 ) m ，v e 0 ( 4 5 ) i = k ， 对( 4 4 ) 、( 4 5 ) 的左右两端同乘，圆r ，得 ，g ( l ，g