（应用数学专业论文）风险资产的违约概率和违约相关.pdf

摘要 违约风险是现代经济生活中极其重要的一种金融风险形式，违约概率是其中的核心 内容但是近年来，随着信用衍生工具的产生和信用衍生品市场的迅猛发展，只知道单 个资产的违约概率已经不能满足人们的需要违约相关和联合违约概率在信誉风险管理 中扮演着越来越重要的角色本文首先针对单个资产的情形，介绍了信用风险中传统的 结构模型计算违约概率的方法之后对该模型进行改进，假设资产价值服从一个自西衄 模型代替原来的几何布朗运动假设，并推导了在这种情况下的违约概率然后介绍了违 约相关的概念和如何通过c o p l l l a 函数的方法计算联合违约概率，其后说明如何通过蒙 特卡洛模拟来拟和损失分布本文的最后一部分选取了十家上市公司做实证分析，分别 计算了它们的违约概率、联合违约概率、违约相关系数，并模拟了损失分布 关键字：违约概率，自回归模型，违约相关，c o p l l l a 函数，损失分布 a b s t r a c t d 出u l tr i s k i sa n 贰r e m e l yi m p o r t a n tf o 嗽o f 丘n a n c i a lr 斌w h i i ed e f a u i tp r o b a b i l i t yi s t h ec o r ec o n t e n t b u to v e rr e c e n ty e r s ，w i t ht h ec r e a t i o no fc r e d i td e r i v i n gt 0 0 l sa n dt h e e x p l o s i v ei c r e a s eo fc r e d i td e r i v a t i v em a r k e t ，o n l yk n o 叫n gt h ed e f a u l tp r o b a b i l i t yo fa s i n g l ea s s e tc a nn o 七8 a t i s f yt h ed e m a 丑d sn o w d e f a u l tc o r r e l a t i o na n dj o i n td e f a u l tp r o b _ 8 b i l i t ya r ep i a 卵n gm 。r e 毫工1 dm o r ei m p o r t a n tr o l e si n 世电口e d i tr i s km 8 n a g e m e n f i r s t l y a c c o r d i n gt ot h es i t u 8 t i o nf o ra8 i n g l ea 8 s e t ，t h et h e s i si n t r o d u c e st h em e t h o du s e di nt h e t f a d 谢o n 8 ls t f u c t u r em o d e l 幻c a l c u 】a t et h ed e 如u l tp r o b a b j m 弘t h e nt h e 拙e s j sj m p r o v e s t h em e t h o db yl l s i n gt h ea u t o r e g r 嚣s i v em o d e l i n s t e a do ft h eg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n a s s u m p t i o n ， i nt h en e x tp a r t ，t h et h e s i si n t m d u c e st h ec o n c e p to fd e f a u l tc o r r e l a t i o a n dh o wt oc a l c u l a t et h ej o i n tp r o b a b i u t yt h r o u g ht h ec o p u l af u n c t i o l l s t h e nt h et h e s i s s h o w st h ep r o c e d u r e st os i m u l a t e1 0 s sd i s t r i b u t i o nb ym o n 乞ec a r l om e t h o df i n a l l 弘t h e t h e s i sc h o o s e st e nc o r d o r a t et od on u i n e r i c 出i l l u s t r a t i o n 陀h a v ec a l c u l a t e dt h e i rd e f h u l t p r o b a b l l i t i e sr e s p e c t l v e l y ，t h e l rj o i n td e f a u l cp r o b a b i l i t i e s ，妇e l rd e f a u l tc o r r e l a t l o n sa n d t h e i rl o s sd i s t r i b u t i o n s k e y w d r d s ：d e f a u l tp r o b a b i u t y ia u t o r e g r 皤s i v em o d e i ，d e f a u 王tc o r r e l a t i o ，c o p u i a f u n c i o n 1 0 s sd i s t r i b u t i o 1 单个资产的违约概率 信用风险就是在一项金融协定中由于对方的信誉等级发生不可预期的变化而导致的 损失情况在现代经济生活中，它是及其重要的一种金融风险形式信用风险分析的关 键是违约风险无力偿还到期债务、破产、拒付债务及延期偿付债务，统称为违约我们 通常使用违约概率来量化违约，它反映了一个公司或者债务人能够到期偿还它所有债务 的可能性的大小目前，除了实证的方法，主要有三种数量模型来计算违约概率，就是 所谓的结构模型简约模型和不完全信息模型 结构模型从经济意义上很有吸引力，因而目前应用也最为广泛它对公司资产的动 态结构、资本结构、债务和股票持有量均有明确的假设，并且设定当公司资产不足以支 付到期债务时公司违约由于公司是可以在债券到期前发生违约的，因此我们可相应的 假设当公司资产的全部价值下降到某一个水平时公司破产它的缺点是假设投资者可以 预期违约的发生，因此某些性质不符合实际观察 在简约模型中，违约不再由公司的资产和负债来建模而完全是外在给定的不可料 的随机变量违约过程的随机结构一般由一个风险过程来直接刻画由于违约的不可预 料性，它的性质就与实际观察比较吻合了 不完全信息模型则是上面两种模型的有机结合，它既有结构模型在经济意义上的直 观性。又具有简约模型与实际观察较为接近的优点 由于简约模型和不完全信息模型需要利用大量的历史数据，而在我国这方面的数据 还很少，所以本文将介绍和使用结构模型的方法来计算违约概率，并用非几何布朗运动 的假设对传统方法进行改进 1 1传统的m e r t o n 结构模型 结构模型最基本的思想是由m e r t o n 在1 9 7 4 年提出的它将公司债务看作公司资产 的未定权益 该模型在连续时间b l a c k - s c h o k s 型无摩擦市场上加上了许多限制性条件，主要有： 交易连续发生； 所有可交易资产均无限可分； 可以相同的利率无限制的借贷资金； 可无限制的卖空可交易证券； 不考虑交易费用和税； 忽略违约时破产或重组的费用 对于这样的市场，我们用概率空闯( n ，p ) 来表示它具有过滤f = ( 五) c ，o ，对 于每个t 三0 ，五表示直到时问的全部市场信息 并且记： ：公司资产的当前价值； k ：t 时刻公司资产的全部价值； t ：债务到期日； r ：无风险利率； 设公司资产的价值过程y 服从几何布朗运动： d k = k ( 肛d t + 口d l 仉) 其中，灿、是常数弘称为价值过程y 的漂移参数 关于过滤f 下的一维标准布朗运动 求解上面的随机微分方程，容易得到： ( 1 ) 口称为波动系数过程w 是 k = e ( p 一 a 2 ) f + a 眦( 2 ) 1 1 1 m e r t o n 期权方法 在m e r t o n 期权方法中约定违约仅可能发生在债务到期日丁如果在r 时刻公司价 值低于某个事先给定的值f ，我们就称公司违约通常f 的取值为公司的债务总值， 本文使用k m v 的方法，f 取违约点的值定义违约点( d p t ) 等于公司短期债务总 值( s t d ) 加上长期债务总值( 工r d ) 的一半，即； d p t = s t d + 05 l t df 3 1 因此，随机违约时问r 由下式表示： r2 二苌i 篇 即： r = t 1 d p 丁) + l 三d p t ) 那么违约概率q 为： q = p ( 丁r ) = p ( 嵋 d p 丁) = p ( e p 一；矿1 7 + ，。叶 d p 丁) ：j p ( 盼 一坐坐竽蛙塑) = a 7 ( 一d 2 ( k t ) ) 2 其中 d 2 ( ，t ) ：蜓型2 些二圭塑) ( + ) 是一元标准正态分布函数 1 1 2 首触时模型 在这种模型中，我们假定违约可能发生在到期日t 之前的任何时刻为此，首先要 定义一个边界过程( d c ，t o ，且o d o o ：k d t 通常我们假定边界过程 d t ，t o ) 在同个概率空间中也是服从一个几何布朗运动，这 里为了简化讨论，假定边界过程为常数d ，d 也可以取违约点d p r 此时的违约 概率为； q 2 p s t ) = p ( 票净k d ) = p ( 啤e “一4 2 。”肌 d ) = p ( a 红s l n ( 芳) ) 其中坼= i n i n 。5 t ( 似一 盯2 ) 占+ 矿h ) ，服从i n v e r s eg a l l s s i a n 分布，因此， q = p ( r r ) = ( 垫生字) + ( 嚣) 孝( 垫生字) 其中m = p 一；矿，( + ) 是一元标准正态分布函数 1 2非几何布朗运动假设一自回归模型 在前面的m e r t o n 模型中假设公司的资产是服从几何布朗运动，做这个假设有一个 重要前提，就是该公司未来的资产价值与历史价值变动情况无关许多投资者都承认这 个前提，认为这是有效市场假说的推论该假说断言，一个公司当前的资产价值情况包 含了现在所有可能得到的信息，而这些信息中也就包括了历史价值然而。反对者则认 为不同的投资者对新信息的接纳速度是不一样的，因此过去的变动情况反映了那些尚未 被普遍知晓但还会影响未来的信息通过考察实际数据已经证实，资产的价值过程与几 何布朗运动的假设是不一致的下面我们将给出一种在直观上可行的新模型 在几何布朗运动的假设下， d k = h ( 川赶+ 口d i k )( 4 ) 有k = e ( p 一；一) 一m 下面考虑考虑离散时问下的情形假设时问的单位是一年，到期日为t 个单位时问 后每一个小时闯段的长度为f ，可以是一天，一周，一个月，一年等等通常f 取一天， 一年大概有2 5 2 个交易日。那么此时c = l 2 5 2 令= r c ，y ( n ) 表示第n 个小时 间段结束时的资产价值，n = o ，l ，2 ，则 定义随机变量 x - 讪( 器) 屁= l n ( 器) x = ，n c 高等， 那么= ( 一 盯2 ) f + 口( w 一l k 。一i ) f ) 所以x 一，x 是期望为( 肛一 口2 ) 2 、方差为一l 的独立正态随机变量如果我们 令 协) = l n ( 1 ( n ) ) 那么几何布朗运动模型就意味着 ( n ) = 。+ l ( n 一1 ) + e ( n ) 其中e ( n ) ，n 兰l ，是一个独立同分布的随机变量序列，它们服从均值为0 ，方差为 盯2 f 的正态分布，且o = 一 口2 ) f 很自然地，我们会考虑为( n ) 配置一个更一般的 方程，即下面的线性回归方程 l m ) = n + 6 上( n 一1 ) + e ( n ) 其中6 是另一个常数，它的值有待估计亦即，代替取6 = l ，而利用历史数据决定6 。 从而获得一个改进模型式( 5 ) 是一个经典的自回归模型，参数n 和b 可以用历史数据 由统计软件计算得到 1 3 非几何布朗运动假设下的违约概率 假设每天的资产价值服从式( 5 ) ，而且已经估计出来参数a ，6 和口要计算公可的 违约概率，必须首先确定l ( 1 ) ，l ( 2 ) ，l ( ) 的概率分布现在，连续利用等式( 5 ) ， 我们得到 l ( n ) = e ( n ) + 口+ 6 工( n 1 ) = e ( n ) + 口+ 6 e ( n 1 ) + n 十b l ( n 一2 ) 】 = e ( n ) + 6 e ( 托一1 ) 十n + 0 6 + 6 2 l ( n 一2 ) = e ( n ) + 6 e ( n 1 ) + n + 6 + 6 2 e ( n 一2 ) + o + 6 l ( n 一3 ) 】 = e ( n ) + 6 e 一1 ) + 6 2 e ( n 一2 ) + n + 曲+ a 6 2 + 5 3 l ( n 一3 ) 如此继续下去，对于任意的k n ，有 在上面的等式中取= n 一1 得到 三伽) ) + 芈半 坤) 注意到6 e 一f ) 是均值为o ，方差为铲口2 的正态随机变量 由于相互独立的正态随机变量的和仍然是一个正态随机变量，所以留6 e ( n f ) 也是一个正态随机变量，它的期望是 如果在0 时刻的对数价值是l ( o ) = g ，那么工( n ) 是一个正态随机变量，它的均值记为 m ( n ) ，等于 e 陋( n ) 】= m ( n ) = ! 等_ 三三_ 等2 + 6 “9 5 一 七 一 0 己 +b 6 +6 。!l 口+ 磅 一 n e6 。 | | n己 de n 6+6 “：i d+ 订 一地e矗 “：l = ne“u 州 i = o | | o n 陋 g酣 ：i = 0 一 盯 e酣v ：i g 任意两个变量( m ) 和工( n ) ( 不妨设m n ) 的协方差是 e d u ( ( r n ) ，( n ) ) = 1 一ln i e o ”( 扩e ( n i ) ，扩e z ；o2 = 0 v n r 【6 e ( n i ) 】 n l ：口2 f f 铲 二 t = 0 仃2c f l 一6 2 “1 l 一护 记二( n ) 的方差为y ( n ) ，则矿m ) = 苎 ! 芦 1 3 1 违约只可能发生在到期日 和m e r t o n 的期权方法类似，假设违约只可能发生在到期日丁这种情形比较简单 由前面的讨论知道，e ( ) 是均值为m ( ) 方差为”( ) 的正态随机变量，这里 m ( v ) = 亟 三学+ 。”，t ( v ) = 警 此时违约概率q 为 口= 尸( fs 丁) = p ( p d 尸r ) = p ( 1 n 硌 h d p t ) = p 【( - v ) o ：l ： d ) 6 则在到期日丁之前违约的概率为t 0 = p ( r t ) = p ( 畏争 d ) 2 p ( 。罢狲三( n ) l n d ) 2 l p ( 1 热工( n ) 1 n d ) = l p ( l ( 1 ) l n d ，工( 2 ) l n d ，一，工( ) l n d ) = - 一p c 帮垫群，墨鬻镨， 、 矿( 1 ) 一、y ( 1 ) y ( )一、何i 丽7 = 1 一p ( l 士l ，f 2 z 2 ，知z ) 其中靠= 等赭，。n2 号舅警，n = l ，2 ，1 ，则f z ，已，白是一组均值为 0 、方差为l 的标准正态随机变量，任意两个变量 。和矗( 不妨设m n ) 的协方差为 ( 泓) = 粼 ：! ! ( ! 二! ：2 也二塑 f 2 z ( 1 一b “) ( 1 6 2 ) f 2 f ( 1 6 2 ”) ( 1 6 2 ) 晤= 而 2 v 而 记 = ( ，如，铀) 的协方差矩阵为n 由于q 芷定，故可分解假设q = m 7 m ， 令+ = m _ 1 f ，则 y r ( f ) = y r ( m 1 ) = ( ( m 一f ) ：) 一( m 一- f ) 2 = m 一1 k f ) m _ 。一m 叫( f ) 2 m 一1 = m 一1 t m f m m 一1 = 因此 = ( 酊，g ，岛) 是一组相互独立的标准正态随机变量其中( ) 表示期望 若记x = ( 。l ，z 2 ，。) ，x = ( z ：，z ；，。；，) = m _ 1 x ，则违约概率q 为 q = 1 一p ( 1 $ l ， 2 现，一，知z ) = l p ( 甜2 。：，s z ；，- 一，昏2z 知) = 1 一p ( g z ：) p ( g z ；) p ( o 知) = l 一( 1 一( 。：) ) ( 1 一( z ；) ) ( 1 一( z 知) ) 其中( + ) 是一元标准正态分布函数 7 2 多个资产的情形 虽然我们可以通过分散化的方法减小违约风险。但是最终违约风险不能完全被对冲 掉，这也是违约风险与市场风险的不同之处所以，对于银行或者投资者来说，研究和 控制多个资产的投资组合的违约风险情况比单个资产的情形要重要的多 2 1投资组合的期望损失和非期望损失 假设一个投资组合有个风险资产。记 a 邑：在第f 个风险资产的投资金额在到期日丁的值； 坑：第i 个风险资产发生违约时的回复率，i = l ，2 、i g d ；：第z 个风险资产发生违约时的损失率，等于l 一文，i = 1 ，2 ，： q ：第 个风险资产的违约概率，f = l ，2 ，： e 厶：第i 个风险资产的期望损失，f = l 、2 ，； 矿厶：第 个风险资产的非期望损失，i = l 、2 ，、； e k ：投资组合的期望损失； u 。：投资组合的非期望损失； 对每一个风险资产i ，定义期望损失为 e l 。= a 最e g d ；q 。 投资组台的期望损失只是每个资产期望损失的简单加和，即 nn e ，= e 厶= ( a e l g d ；q ：) 仁= 1z # l 显然，期望损失衡量的是能够预期的的平均损失然而，由于违约的发生或者不可预期 的信誊等级的变化，会导致一些不可预期的损失发生，我们就用非期望损失来衡量这部 分损失也就是说，非期望损失是资产潜在损失围绕它的期望损失的波动通常我们用 标准差来衡量这种风险因此，资产在丁的非期望损失就定义为该时刻资产的标准差， 即 矿上；= i _ n r 一：】 与期望损失不同，投资组合的非期望损失不再是每一个的简单相加，由定义投资组合的 非期望损失为 _ 、 ，= y 。r ( k ) j = 匹p 。矿。矿岛j 5 = l 2 j 其中肋表示资产z 和资产j 的违约相关系数 8 2 2违约相关 由前面的讨论可知，两个资产的违约相关系数是计算投资组合的非期望损失的关键 而非期望损失又衡量了投资组合的风险情况，所以违约相关系数对于投资组合的风险管 理有着重要意义 尽管违约相关在信誉风险管理中扮演着非常重要的角色，遗憾的是由于对它的理解 各不相同，到目前为止还没有统一的定义，这里我们介绍在各种文献中最常用的皮尔逊 相关系数两种风险资产i 和j 。它们的到期日均为丁，下面介绍一些记号： t ：风险资产 的随机违约时间； q ：风险资产j 的随机违约时闻； q 。：风险资产 的违约概率； q ：风险资产j 的违约概率； q u ：风险资产f 和j 同时违约的概率； 令 日。= l 吒s r e p = l f 吩r ， 我们定义资产i 和j 的违约相关为随机变量皿和玛的皮尔逊相关系数，即 酽嚣 其中是凰和奶的协方差，以和q 则是各自的标准差，且 e 甄】= p ( ts r ) = 0 i e 【】= p 勺r ) = 岛 e f 且易j = p 兀s 正巧s r ) = q d 所以，协方差和标准差分别为 = e 慨马】一e 【髓】e 马】_ 一q i 仍 吼= 铜趸丽。= 、厄f 丽 因此，违约相关系数为 酽而爵寂 下面的问题就是如何计算两个资产的联合违约概率 9 2 3 联合违约概率 无论通过实证的方法，还是通过前面介绍的数量模型，单个资产的违约概率都可以 很好地佑计出来如果假设投资组合中各个风险资产稳互独立，那么违约的联合分布可 以由单个资产的边际分布直接获得然而，独立性的假设显然是不现实的在实际中， 当经济衰退时违约概率较高，而经济繁荣时则较低这说明由于同处于一个相同的经济 大环境中，各个风险资产之间总存在某些相关一般来说，已知联合分布我们可以推导 出唯一的边际分布，但是反之并不成立当已知单个资产的边际违约概率。如何决定多 个风险资产投资组合的联合违约概率，方法并不唯一在统计中有很多不同的方法来解 决这个问题这里我们使用c o p u l a 函数的方法由于违约相关系数，只需要两个资产的 联合违约概率因此，为了简便，我们这里都以两个资产为例，对于多个资产的联合违 约概率可以由两个的情形推广得到 2 3 1c o p u l a 函数的定义和性质 定义m 个均匀分布随机变量，矾，0 ，它们的联合分布函数g 定义为 e ( u 1 ，t 土2 ，- 一，u m ，p ) = p 旺，1 u 1 u 2 ，t - ，c u m ( 6 ) c r 也称为“k 函数 下面的命题表明c o p u l a 函数可以把边际分布和联合分布联系起来 命题 r ( 。2 ) ， 函数。则 证明 x 1 x o ，- ，x 。是m 个取实值的随机变量，它们的边际分布函数为f i ( 0 1 ) f _ ( z 。) ，f ( z l ，乩一，z 。) 为它们的联合分布函数，e 是一个e o p u k c ( f l ( z 1 ) ，f 2 ( 。2 ) ，。f 1 m ( z 。) ) = f ( 0 1 t 2 ，z 。) d k 墨e 。( z 。) i ，1 ( ) o 。 = p x lsz t x 2 曼z 2 - 工msz m = f ( 1 z 2 。一，o m ) l o 证毕 一 现 n 一 以呸店 i r q 一 一、仉耳 p p = | | 一现足一 s k i a r 在1 9 5 9 年证明了反向的结论，表明任何一个联合分布函数f 可以表示成一个 c o p u l a 函数的形式 定理x l ，置，x 。是m 个取实值的随机变量，日( 。1 ) ，f 2 ( z 2 ) ，矗( z 。) 分别是各自的边际分布函数，f ( z l ，。2 ，一，o 。) 为它们的联合分布函数，则至少存在一 个m 维的c b p z 函数c ，使得对于任意的( x l ，也，x 。) 彤“ f ( z l ，。2 ，o 。) = e ( f i ( z 1 ) ，f 2 ( z 2 ) ，- ，f m ( z 。) ) 如果f l ( z 1 ) ，f 2 ( 轨) ，一，f m ( z 。) 都是连续函敷，则e 是唯一的 下面为了简便。我们只讨论关于均匀随机变量矿和矿的二元c o p u l a 函数e ( u ，t ，p ) ， 定义域为 ( u ， ) 1 0 “sl ，o ! 1 ) ，其中p 为相关参数注意这里的p 并不一定等 于我们一般定义的皮尔逊相关系数，所以只是称它为相关参数二元c o p u i a 函数有下面 的一些性质t ( 1 ) 因为u 和v 都是取值为正的随机变量，所以g ( o ，口，力= g ( u ，。，p ) = o ； ( 2 ) 矿和y 都是以1 为上界，边际分布可以由e ( 1 ，口，p ) = 口和e ( “，1 ，p ) = “得到； ( 3 ) 对于独立的随机变量矿和y ，g ( u ，u ，p ) = u 口； ( 4 ) n e c h e t 在1 9 5 1 年证明了c o p u l a 函数有上界和下界 m 8 x ( o ，u + 甜一1 ) g ( t 正，口) m i n ( 札，u ) 2 3 2 一些常见的c o p u l a 函数 下面我们给出几种比较常用的c o p u l a 函数 ( 1 ) f r a n kc o p l l l a 函数 c 加扣1 + 丝掣 一m 0 c ( u ，u ) = ( 1 + p ) u ”一p ( u l + ) e ( u i + ) p so 其中 e = ：茗 2 3 3用c o p u l a 函数计算联合违约概率 首先我们介绍c r e d i t m e t r i c s 计算两个风险资产联合违约概率的方法，假设有两个风 险资产f 和j ，它们各自的违约概率已知，分别记为q t 和q 计算分为两步z 第一步，取适当的实数五和z j ，使得 q ：= p 陋s z 】q = p 陋s 弓 其中z 是个标准正态分布函数 第二步，若p 表示资产相关系数，i 和j 的联合违约概率可由下式计算得到 r 4 4， p 【z 0 3 2 蘩特卡洛模拟损失分布 假设一个投资组合由个风险资产( 可以为公司债券或者银行的贷款) 构成，投资 在每一个风险资产的金额为a 最，t = 1 ，2 ，产生这样一个投资组合的损失分布 主要有以下几个步骤 第一步，估计每一个风险资产的违约概率和其损失率工g 皿的均值m l g d 。与标准 差c 工g d t 违约概率可以由前面的方法得到，损失率的均值和方差可以由历史数据估 计得到 第二步，估计不同资产闻的资产相关系数，资产相关系数矩阵记为 第三步，产生违约事件，这又分为以下几个小步骤 首先，产生一组相互独立的标准正态随机变量x l ，局，j ，用来模拟投资组合中 的资产价值； 然后，把资产的相关矩阵e 分解，再与已经产生的标准正态随机向量相乘，从而把 这组相互独立的随机变量转化为一组相关变量；记 x = 1 3 置 托 ： 托 若相关系数矩阵可以分解为 其中表示矩阵m 的转置，令 则 e = 、r m x = i x y 8 r ( x ) = ( ( m x ) 2 ) 一( m x ) = t m l x x l 、i 、一i m x ? = m 1 t x x l 、m m n x 1 m = m t i l = i i 其中，表示单位矩阵，又由于x 是一组独立同分布的标准正态随机变量，所以( x x ) = ， 并且( x ) = 0 这样我们就可以把随机产生的独立的随机变量转化为一组相关变量 其次，根据已知的每个资产的违约概率计算各自的违约点； 最后，把产生的资产价值与违约点作比较若某个资产的价值小于它的违约点，则 称发生一个违约事件 第三步，当违约发生时，产生随机损失率当第t 个资产发生违约事件时，产生一个 【- 1 ，1 区间上的均匀随机变量五，令它的损失率g d ；= 儿g d 。+ ，f e 工gd 2 ，这 样产生的损失率工g d i 均值为且，g d ；、方差为e g 口：，与第一步中估计所得的损失 率的均值和方差一致 第四步，计算损失某个公司发生违约的资产损失为在其上的投资金额乘上它的损 失率，即 o s s ：= a e g d 。 未违约的资产损失为o ，整个投资组合的损失只是各个资产损失的简单加和 第五步，重复上面的步骤1 5 0 0 0 0 次，得到的损失的直方图就是损失分布的模拟 在我国金融市场的实证分析 由于在违约概率和损失分布的计算中，需要大量公司的财务数据，对于一般的中小 企业，要得到这些数据比较困难，而上市公司财务比较透明，可用的数据比较多所以， 在本节中，我们选取十家上市公司为研究对象，它们是： + s t 光明t 家具制造业； 成都建设：食品、饮料、烟草和家庭用品批发业； + s t 联华；化学纤维制造业； 4 s t 戈德：电力生产业； + s t 天海：远洋运输业； 爱建股份t 房地产开发与经营业； 方正科技，计算机相关设备制造业； 福耀玻璃：玻璃制造业； 东风汽车：汽车制造业； 邯郸钢铁t 炼钢业 它们来自不同的行业，财务状况也不相同有的实力雄厚，是股市中的蓝筹股，而 有的则资金状况堪忧因此，它们具有了一定的代表性 本文使用的资产和负债数据来自2 0 0 3 年年底各公司的年报，以2 0 0 3 年1 2 月3 1 日 公司的资产作为初始资产价值，目的是要计算一年以后即到2 0 0 4 年1 2 月3 1 日这些 公司的违约概率公司的资产和负债情况如下表所示t 表1 ：用来计算违约概率的l o 支股票在2 0 0 3 年1 2 月3 1 日的财务数据( 单位：万元) 股票代码公司名称长期负债工r d流动负债s r d总资产k违约点d p t 0 0 0 5 8 7 + s t 光明 3 3 4 06 3 9 0 7 9 69 4 6 4 0 5 16 5 5 7 7 9 6 6 0 0 1 0 9成都建设 0 1 4 4 1 5 5 63 4 3 4 3 2 71 4 4 1 55 6 6 0 0 6 1 7 + s t 联华 03 0 7 6 4 9 23 7 1 8 9 1 53 0 7 6 4 9 2 0 0 0 5 3 7 + s t 戈德 3 4 0 0 01 3 4 2 2 9 52 2 3 9 8 8 11 5 1 2 2 95 6 0 0 7 5 l + s t 天海 o 9 1 0 8 5 8 l9 8 7 8 6 9 49 1 0 8 5 8 1 6 0 0 6 4 3 爱建股份 3 3 0 3 7 71 8 2 3 5 4 33 4 1 7 5 6 81 8 4 0 0 6 2 6 0 0 6 0 l 方正科技 1 7 3 8 1 21 5 6 1 1 8 63 0 5 9 3 4 41 5 6 9 8 7 6 6 0 0 6 6 0 福耀玻璃 9 8 3 0 0 9 6 8 2 6 3 3 5 0 6 6 9 2 1 4 5 9 7 6 3 6 0 0 0 0 6 东风汽车 1 4 5 0 8 2 4 1 4 9 5 66 5 1 7 7 2 92 4 1 5 6 8 1 6 0 0 0 0 1 邯郸钢铁 4 9 9 1 5 0 24 3 3 4 6 41 6 5 8 7 2 1 86 8 3 0 3 9 4 5 1 5 在本章中，首先，使用传统的结构模型计算违约概率，为此要先佑计每个公司的漂 移参数“和口；然后，用改进后的自回归模型研究它们的违约概率；之后，和j 用前面得 到的单个公司的违约概率计算联合违约概率和违约相关，最后，用蒙特卡洛模拟损失分 布的情况 4 1 结构模型计算违约概率 在结构模型中，本文只考虑违约只可能发生在到期日的的情形，因此使用的是、【e r t o n 期权方法在这种方法中，找们除了要知道资产的初始价值和违约点d p 丁外，还要 估计m = “一；口2 和波动率口的值 由于公司的资产价值的数据比较少，而上市公司的交易数据则比较丰富而且我们 假设公司的资本结构仅由权益和负债，那么我们可以简单地认为公司资本的波动主要是 由于其权益，即公司股票价格的波动引起的所以，我们就用股票价格代替资产价值来 估计漂移参数肛和波动率口记股票的价格过程为s ，假设它服从漂移参数肛、波动率 盯的几何布朗运动，即 d s t = 岛( 芦出+ 口d ) 设时闻单位仍为一年( 交易日为2 5 2 天，即= 2 5 2 ) ，每一个时间段的长度为一天( 即 f = l = l 2 5 2 ) 令s ( f ) 表示第i 天的股票价格，记x ( i ) = l n ( s ( i ) s 0 一1 ) ) ，与 前面资产价值的讨论类似，可以知道x ( i ) 相互独立。且都服从均值( p 一；d 2 ) l 、方差为 叮2 z 的正态分布因为典型的( p 一 矿) 的值接近于o 。而口的典型值大于o 2 ，所以 x ( i ) 的期望相对于它的标准差可以忽略不计，从而我们可以用。来近似( _ f j 一5 。二) 而 由概率统计的知识，f 2 f 的值可以用：，( 五一贾) 2 m 1 ) 来估计，于是可以用 未：! 至! ( 墨二墨z 来佑计口2 而且该估计量的方差为 胁c 确：壶磐：篙 为使用这个模型估计口，我们选用十家上市公司在2 0 0 3 年1 月1 日至1 2 月3 1 日 这一年的数据，用每天的收盘价代表股票价格估计一下表给出了口的估计值和由此用 传统结构模型计算得到的违约概率 1 6 表2t1 0 支股票标准差a 的估计值和结构模型下的违约概率 股票代码 公司名称口的估计位( ) d 2 违约概率( ) 0 0 0 5 8 7 + s t 光明 3 7 3 30 ，9 8 31 6 2 9 6 0 0 1 0 9 成都建设 3 2 0 92 7 l0 3 4 6 0 0 6 1 7 + s t 联华 3 7 2 7 0 5 l 3 05 4 0 0 0 5 3 74 s t 戈德3 1 9 81 2 31 0 9 7 6 0 0 7 5 1 + s t 天海3 5 4 l 0 2 3 4 0 9 3 6 0 0 6 4 3 爱建股份 3 4 2 31 8 13 5 2 6 0 0 6 0 l 方正科技 3 3 5 51 9 92 3 3 6 0 0 6 6 0 福耀玻璃 3 1 3 82 7 90 2 6 6 0 0 0 0 6 东风汽车 2 2 1 44 4 8o0 0 0 4 6 0 0 0 0 l 邯郸钢铁 2 2 1 84 o oo 0 0 3 2 在实际中，东风汽车和邯郸钢铁均为股市中的蓝筹股，经营和资产状况良好在上 表中。我们得到的它们的违约概率也非常小，与实际是吻合的而另外四支s t 板块的 股票，到目前为止，已经连续两年亏损。也就是说它们在2 0 0 4 年是亏损的，那么预测的 它们在2 0 0 4 年底的违约概率高也是合理的由此可见，用此种方法得到的违约概率还是 与实际基本相符的 4 2非几何布朗运动下的违约概率 在非几何布朗运动下，我们是假设资产价值的对数( t ) 服从一个自犀归模型 l o ) = 口+ 6 l ( t 1 ) + e a ) 所以首先我们要先用统计软件做自回归，求出口和6 ，然后再计算违约概率即使是上 市公司。我们最多也只能通过季报、半年报，年报，得知它的资产总值这样相当于取每 一个小时间段的长度为一个季度，显然这样的时间间隔太长了，不能充分反映资产的变 化情况而且由于我国的证券市场属于刚刚起步，相应的数据也就比较少，因此用这些 仅有的数据去拟合自回归模型，无法得到一个好的结果 这时，很自然的，我们会想到用股票数据来拟合自回归，求得参数。和6 ，然后把 求得的。和6 当作是资产自回归模型的参数，带入计算求得违约概率得到的口、6 和 违约概率如下表所示： 1 7 表3 ：l o 支股票o 、6 估计值和违约概率 股票代码公司名称 n6 违约概率( ) 0 0 0 5 8 7+ s t 光明 1 9 l0 9 1o 6 0 0 1 0 9 成都建设 2 6 80 9 4o 6 0 0 6 1 7 + s t 联华 2 7 7l - 0 5o 0 0 0 5 3 7 + s t 戈德 2 4 4o 9 2 0 6 0 0 7 5 l + s t 天海 2 o oo 9 lo 6 0 0 6 4 3 爱建股份 2 4 1o 9 7o 6 0 0 6 0 1 方正科技 2 3 60 9 60 6 0 0 6 6 0 福耀玻璃 2 3 l0 9 4o 6 0 0 0 0 6 东风汽车 2 6 7 0 9 30 6 0 0 0 0 1 邯郸钢铁 1 6 8o 9 3o 从上表可以看出，我们的确可以用股票数据来拟合自回归，求得参数口和6 ，但最 后求得的违约概率不显著也就是。对于每一家公司，无论它来自哪个行业，经营资本状 况如何，它的违约概率总是为0 这显然与实际是不相符的所以我们有理由认为，用 股票的自回归参数代替资产的自回归参数来计算违约概率是不可取的所以在目前的条 件下，由于没有足够多的资产数据，所以无法对这种模型最实证分析来评价它的优劣 在后面计算联合违约概率、违约相关系数和模拟损失分布用的都是前面由结构模型得到 的单个公司的违约概率 4 3 联合违约概率 前面我们已经通过结构模型的方法得到了每个公司的违约概率，下面我们将借助二 元c o p u l a 函数的方法计算任意两个公司的联合违约概率，可是公司之问的资产相关系 数仍然未知所以，首先我们估计股票价格的皮尔逊相关系数，把它作为资产相关系数 的近似值进行下面的计算 1 8 表4 ：1 0 支股票的资产相关系数( ) 名称+ s t 光明成都建设+ s t 联华s t 戈德+ s t 天海 4 s t 光明 1 0 0 8 5 4 8 9 3 7 2 8 9 5 28 8 1 8 成都建设 8 5 4 81 0 08 7 2 77 9 8 48 60 8 t s t 联华 9 3 7 28 7 2 71 0 0 8 9 9 5 9 3 0 8 4 s t 戈德 8 9 5 27 9 8 48 9 9 51 0 08 8 7 6 s t 天海 8 8 1 88 6 0 89 3 0 88 87 61 0 0 爱建股份 2 8 7 26 2 9 72 7 7 82 9 2 23 9 4 5 方正科技 3 2 8 25 9 0 72 6 9 83 0 0 52 1 9 3 福耀玻璃 一8 1 7 25 6 0 17 8 5 78 2 5 7 6 2 9 5 东风汽车 7 7 3 6 8 5 4 5 7 99 67 4 7 7 8 6 9 0 邯郸钢铁 1 9 2 25 6 1 1 7 4 8 1 5 9 43 2 7 2 续表4t1 0 支股票的资产相关系数( ) 名称 爱建股份方正科技福耀玻璃东风汽车邯郸钢铁 + s t 光明2 8 7 2 3 2 8 28 1 7 2 7 73 6 1 9 2 2 成都建设 6 2 9 75 9 0 75 6 0 28 5 4 55 6 1 + s t 联华 2 7 7 82 6 9 87 8 5 77 9 9 61 7 4 8 + s t 戈德 2 9 2 23 0 0 58 2 5 77 4 7 7 1 5 9 4 + s t 天海3 9 4 52 1 9 3 6 2 9 5 8 6 9 03 2 7 2 爱建股份 1 0 07 7 ，6 04 0 35 3 3 25 1 9 8 方正科技 7 7 6 01 0 03 2 84 9 5 33 8 6 0 福耀玻璃 4 0 33 2 81 0 0 5 0 o o 5 0 9 4 东风汽车 5 3 3 24 9 5 35 0 0 01 0 02 46 4 邯郸钢铁 5 1 9 83 8 6 05 0 9 42 46 41 0 0 表5 ：1 0 支股票的联合违约概率( ) 名称 + s t 光明 成都建设+ s t 联华+ s t 戈德+ s t 天海 + s t 光明 1 6 2 9q 3 41 5 0 3g 1 91 5 9 0 成都建设 o 3 403 4o 3 40 3 30 3 4 + s t 联华1 5 9 3 03 4 3 0 ，5 4 l o 6 6 2 89 6 + s t 戈德 9 1 90 3 31 06 61 0 9 7l o 8 5 + s t 天海1 5 9 0 03 4 2 8 9 6 l o 8 5 4 0 9 3 爱建股份 1 2 70 1 81 9 1 09 5 2 6 4 方正科技 o0 7o 1 31 2 6o 右71 4 1 福耀玻璃 o 0 00 0 000 00 0 0 0 0 0 0 8 东风汽车 o 0 0 0 40 0 0 0 400 0 0 400 0 0 40 0 0 0 4 邯郸钢铁0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 8 0 0 0 2 8 续表5 ：1 0 支股票的联合违约