（运筹学与控制论专业论文）金融保险中的若干模型与分析.pdf

金融保险中的若干随机模型 摘要 随着人类社会的不断进步与发展，金融保险产品逐渐成为人们日常生活的必须 品金融保险中的数学建模、定量分析尤显重要了本文研究了金融保险中的若干 随机模型，主要研究工作包括： 1 考虑到保险公司经营规模的不断扩大，建立了完全离散的两险种风险模型； 给出了破产概率满足的瑕疵离散更新方程；讨论了该模型的调节系数，在调节系数 存在的条件下得到了破产概率的估计；利用离散更新不等式估计了破产概率，这种 方法适用于调节系数不存在的情形 2 建立了两险种马氏风险模型，得到了破产概率满足的积分方程；利用推广后 的更新技巧估计了破产概率收敛速度的界，在此基础上进一步将模型拓广到一般情 形的两险种马氏风险模型并给出其破产概率的估计 3 通过分析带有随机收益的风险模型，建立了带有马氏随机收益的马氏风险 模型，给出其破产概率满足的积分方程，并讨论其在随机收益和索赔额满足指数分 布、混合指数分布情形下的破产概率 4 基于金融市场存在摩擦的现状，研究了借款利率大于存款利率且投资者拥 有或借入某种股票需交纳比例费用的摩擦金融市场中的欧式未定权益的套期保值问 题，得到了欧式未定权益的上、下套期保值价格，并证明了最优上、下套期保值策 略的存在性，进而得到了欧式未定权益无套利价格区间 5 研究了标的资产价格由几何l e v y 过程定义的几何平均亚式期权的定价问 题，通过选择股票作为标准单位资产，使用鞅方法，得到了一个简单有效的定价方 法，同时得到了价格过程所满足的一个积分微分方程 关键词：风险模型，破产概率，欧式未定权益，亚式期权，定价 i i 2 0 0 9 年上海大学博士学位论文 a b s t r a c t t h ef i n a n c ea n di n s u r a n c eb e c o m em o r e a n d m o r ei m p o r t a n tw i t ht h es o c i e t yf o r w a r d ， t h e r e f o r et h e i rm a t h e m a t i c a lm o d e l sa n dq u a n t i t a t i v ea n a l y s i sa r ee s p e c i a l l yi m p o r t a n t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，s o m es t o c h a s t i cm o d e l sa r es t u d i e da n dt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n sa r e s t u d i e dm a i n l y 1 i nv i e wo ft h ee x p a n do ft h ei n s u r a n c ec o m p a n y , t h ed i s c r e t er i s km o d e lw i t h t w o - t y p e - i n s u r a n c ei se s t a b l i s h e d t h ed e f e c t i v ed i s c r e t er e n e w a le q u a t i o ni sg i v e n t h e a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n ti ss t u d i e da n dt h er u i np r o b a b i l i t i e sa r ee s t i m a t e dw h e nt h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n te x i s t s t h er u i np r o b a b i l i t i e sa r ee s t i m a t e db yt h ed i s c r e t er e n e w a l i n e q u a l i t ya n dt h i sm e t h o di sa p p l i c a b l et ot h es i t u a t i o nw h i c ht h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t d o e s n te x i s t 2 t h em a r k o vr i s km o d e lw i t ht w o - t y p e - i n s u r a n c ei sc o n s t r u c t e d ，t h ei n t e g r a le q u a - t i o no ft h er u i np r o b a b i l i t yi sg i v e n ；t h er u i np r o b a b i l i t i e sa r ee s t i m a t e db yt h eg e n e r a l r e n e w a lt e c h n i q u e ；t h em o d e li se x t e n d e dt oag e n e r a lc a s e 3 f r o mt h ea n a l y s i so ft h er i s km o d e lw i t hr a n d o mi n c o m e s ，t h em a r k o vr i s km o d e l w i t hm a r k o vr a n d o mi n c o m e si ss t u d i e d ，t h ei n t e g r a le q u a t i o no ft h er u i np r o b a b i l i t yi s g i v e na n dt h ep r o b a b i l i t i e sw h i c ht h ei n c o m e sa n dt h ec l a i m sa r es u b m i t t e dt oe x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o na n dm i x e de x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nr e s p e c t i v e l y 4 o nt h eb a s i so ft h ee x i s t e n c eo ff r i c t i o n si nt h ef i n a n c i a lm a r k e t ，t h ep r o b l e m o fh e d g i n ge u r o p e a nc o n t i n g e n tc l a i m si nt h em a r k e tt h a th a sf r i c t i o n si nt h ef o r mo f ah i g h e ri n t e r e s tr a t ef o rb o r r o w i n gt h a nf o rl e n d i n ga n dp e r c e n t a g em a n a g e m e n tc o s t s f o rh o l d i n go rb o r r o w i n gr i s ka s s e t si ss t u d i e d t h eu p p e r - h e d g i n gp r i c ea n dt h el o w e r - h e d g i n gp r i c eo fae u r o p e a nc o n t i n g e n tc l a i ma r eg i v e n ，t h ee x i s t e n c eo ft h eo p t i m a l u p p e r - h e d g i n gp o r t f o l i of o rh e d g i n ga n dt h eo p t i m a ll o w e r - h e d g i n gp o r t f o l i of o rh e d g i n g a r es h o w e da n dt h ea r b i t r a g e - f r e ei n t e r v a li so b t a i n e d 5 t h ep r i c i n gp r o b l e mo fg e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o nw i t hf i x e ds t r i k ep r i c et h e p r i c ep r o c e s so fu n d e r l y i n ga s s e tf o l l o w sag e o m e t r i cl e v ym o d e l ，t h ep r i c i n gf o r m u l ao f t h ep a y o f fo fg e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o ni sd e r i v e da n dt h es i m p l e ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw h i c ht h ep r i c ep r o c e s ss a t i s f i e si ss h o w e d k e yw o r d s ：r i s km o d e l s ，r u i np r o b a b i l i t i e s ，e u r o p e a nc o n t i n g e n tc l a i m s ，a s i a no p - t i o n s ，p r i c i n g 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：z 墨此导师签名： 日期：型：，丝 第一章绪论 1 1风险和风险模型 目前，学术界对风险的内涵还没有统一的定义由于对风险的理解和认识程度 不同，或对风险的研究的角度不同，不同的学者对风险的概念有着不同的解释，主 要包括以下几种代表性观点： 1 风险是事件未来可能结果发生的不确定性这种不确定的结果可能是有利的 好结果，也可能是不利的坏结果 2 风险是损失发生的不确定性这种不确定性又可分为客观的不确定性和主观 的不确定性并用这种观点又分为主观学说和客观学说两类主观学说认为不确定 性是主观的、个人的和心理上的一种观念，是个人对客观事物的主观估计，它同个 人的知识、经验、精神和心理状态等有关，不能以客观的尺度予以衡量，不确定性 的范围包括发生与否的不确定性、发生时间的不确定性、发生状况的不确定性以及 发生结果严重程度的不确定性客观学说则是以风险客观存在为前提，以风险事故 观察为基础，它可以用数学和统计学观点加以定义，认为风险可用客观的尺度来度 量 3 风险是指可能发生损失的损害程度的大小风险可以引申定义为预期损失的 不利偏差，这里的所谓不利是指对保险公司或被保险企业而言的例如，若实际损 失率大于预期损失率，则此正偏差对保险公司而言即为不利偏差，也就是保险公司 所面临的风险 4 风险是指损失发生的可能性和损失的大小风险是指在一定条件下和一定时 期内，由于各种结果发生的不确定性而导致行为主体遭受损失的大小以及这种损失 发生可能性的大小，风险是一个二位概念，风险以损失发生的大小与损失发生的概 率两个指标进行衡量 虽然对“风险”一词的解释众说纷纭，尚无统一定义，但这并不影响对风险及其 相关问题进行研究风险理论是经营者或决策者对风险进行定量分析和预测的一般 理论 1 - 8 1 风险理论广泛应用于投资分析、资产管理、经营风险分析等风险分析和 决策的领域这里主要考虑保险经营中的风险理论模型风险理论的主要内容有： 损失分布理论及损失分布的修正理论；破产理论和效用理论及其应用；总体风险模 型( 也称为集合风险模型) 理论；信度理论和保费计算原理等 二十世纪初，h a r a l dc r a m 白【8 - - 1 0 和f i l i pl u n d b e r g 7 建立了风险理论研究与一 2 2 0 0 9 年上海大学博士学位论文 般随机过程研究之间的关系，把风险理论的研究工作提高到了一个新的高度随着 概率论、随机过程、经济学的发展，风险理论日新月异特别是鞅论和随机分析的 发展极大刺激了风险理论的发展 风险理论的一个非常重要的内容是破产论破产论的研究溯源于瑞典精算师 f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文m ，至今已有一百多年的历史一类最重要 的随机过程p o i s s i o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在这篇论文中提出的不过l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准而它的严格化是以h a r a l dc r a m 6 r 为首的瑞典学 派完成的与此同时，c r a m 6 r 也发展了严格的随机过程理论现已公认，l u n d b e r g 和c r a m 6 r 是经典破产理论的奠基人 经典风险模型f i - 5 , 1 0 l 设保险公司的初始资本是仳，c 是保险公司单位时间征收的保险费，则在时刻t 的盈余由下式给出 n ( 0 u t ) = 乱+ c t 一虬， k = l r 幻 s ( t ) = 。凰为索赔总额过程 经典风险模型基于以下几条基本假设。 ( 1 ) 索赔额【凰：k ) 是独立同分布的非负随机变量序列且都服从分布f ， 期望p = e x l 有限且方差矿2 = v a r ( x 1 ) 。o ( 2 ) 索赔发生的随机时刻满足： 0 t 1 t 2 0 ，称为相对安全负载 由前面的条件知道 c t s ( ) ：t o ) 为齐次独立增量过程，这样由强大数定律 知道 1 i mv ( t ) = + o o ，a s o o 但这并不排除在某一瞬时，盈余有可能取负值，这时称保险公司“破产”以下 恒记t 为公司首次破产的时刻，简称为破产时刻，即令 t = i n f t ：u ( t ) o 是独立的且分别是两个马氏链在时间区间( 0 ，t 】的跳跃次数；两个险 种的索赔额分别由两个独立同分布非负随机序列来描述且保费率是一个正的常数 显而易见当每个马氏链的密度矩阵的对角线元素分别是同一常数时，该模型便是两 险种p o i s s o n 风险模型 4 1 】在该模型下，得到了破产概率满足的积分方程，利用推 广的更新技巧 2 6 , 1 0 6 】给出了破产概率收敛速度的界的估计然后把模型推广到索赔 到达的点过程是独立的且分别是两个一般马氏跳过程在时间区间( 0 ，t 】的跳跃次数 并研究了其破产概率，这种方法对与调节系数不存在的大额索赔的情形是适合的 经典风险模型是不考虑收益的带有随机收益的风险模型更具有客观背景，也 越来越多的受到了研究人员的关注在第四章，建立了带有马氏随机收益的马氏风 险模型，该模型的随机收益和索赔到达的点过程分别是两个独立的马氏链在时间区 间( 0 ，t 】的跳跃次数在该模型下，给出了破产概率满足的积分方程，并讨论其在随 机收益额和索赔额满足指数分布及混合指数分布情形下的破产概率 现实的金融市场总是有摩擦的，从而对有摩擦金融市场的研究也变得非常重 要在第五章研究了有摩擦金融市场中的欧式未定权益的套期保值问题本文研究 的金融市场的摩擦性同时表现在两个方面：一是借款利率大于存款利率；二是投资 者拥有或借入某种股票需交纳比例费用通过适当引入反映上述两种市场摩擦的辅 助的无摩擦金融市场类 帆，p i ( ，p ) 口) ，使用一致d o o b - m e y e r 分解和鞅表示定理 证明了最优上套期保值策略的存在性得到了欧式未定权益的上套期保值价格，并证 明了最优下套期保值策略的存在性得到了欧式未定权益的下套期保值价格，进而得 到了欧式未定权益的无套利价格区间 亚式期权是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一亚式期权与 标准期权的区别在于：在到期日确定期权收益时，不是采用标的资产当时的市场价 格，而是用期权合同期内某段时间标的资产价格的平均值在第六章，主要研究标 的资产的价格是用几何l e v y 过程来定义的具有固定敲定价格的几何平均亚式期权 定价的问题在这个模型下，通过选择股票作为标准单位资产，使用鞅方法，利用 f s l l m e r 和sc 1 1 w e i z e r 【9 7 引入的技巧得到了一个简单有效的几何平均亚式期权的定价 方法，并且得到了几何平均亚式期权价格过程所满足的一个简单的积分微分方程 第二章完全离散的两险种风险模型 经典风险模型大部分的研究是关于连续时间的，近期不断有作者对完全离散的 风险模型展开了研究 1 s - 2 4 本章考虑到随着新险种的不断开发和保险公司经营规 模的不断扩大必然会导致多元化经营，建立完全离散的两险种风险模型，研究其破 产概率本章还通过离散更新不等式来估计破产概率，这种方法对调节系数不存在 的大额索赔的情形是适用的 2 1完全离散的两险种风险模型 在完全离散的两险种风险模型中，不妨取定时间单位a = 1 则在时间区间 ( ( n 一1 ) ，叫中仅可能以下情况：第一个险种的索赔或者不发生( 用毋) = 0 表示) ，或 者仅有一个发生( 用鳄) = l 表示) ；第二个险种的索赔或者不发生( 用拶) = 0 表示) ， 或者仅有一个发生( 用鲆) = 1 表示) 假定 毋) ：n 1 ) 和 拶) ：佗1 为独立同 分布的随机变量序列，且9 1 和f i 2 也相互独立假设： 若进一步记 p ( 鳄) = 1 ) = p l ，p ( 鲆) = 0 ) = q l = 1 一p 1 ( o p l 1 ) p ( 鲆) = 1 ) = 耽，p ( 鲆) = o ) = q 2 = 1 一p 2 ( 0 p 2 0 ， 船) = ax 2 + 趟2 + + x 是( n ) ， 0 1 2 金融保险中的若干随机模型 1 3 再进一步假定 硝) ：n 1 ) 和 砖) ：7 , 1 ) 为独立同分布随机变量序列， 且x f ，x 扪，g ，抨相互独立，则索赔总额序列 鳄) 和【鳄) 均是复合二项序 列 为了维护保险公司业务的正常运作，保险公司在每一单位时间区间的始端收取 一个钱币单位的保险费这样，保险公司在时刻n 的盈余可表示为 = 札+ n 一船) 一孵) = “+ 佗一又，7 , = 0 ，l ， 其中，u o = 让为初始盈余，不妨假定u 仅取非负整数值，& ：鳄+ 鳄) 假设a 与各毋独立同分布，已与各拶独立同分布；x 1 与各对独立同 分布，x 2 与各睹) 独立同分布，且记x = x 1 + 恐，叉= 1 x 14 - 已托 再记 p l ( 0 ) = 0 ，p l ( n ) = p ( x i = 他) ，v n 1 拜 p 1 ( o ) = 0 ，p 1 ( 佗) = p 1 ( 七) ，v n 1 k = l p 1 ( n ) = l p 1 ( n ) ，v n 0 0 0 p 1 = e x d = 叩1 ( 礼) = - p l ( o o o 耽( o ) = 0 ，p 2 ( n ) = p ( x 2 = 他) ，v n 1 n 岛( o ) = 0 ，p 2 ( , 0 = 耽( 七) ，v n21 k = l 2 ( n ) = l 一恳( 他) ， o n 0 0 0o o p 2 = e 阢】- 印2 ( n ) = - 2 ( 佗) 0 这表明在收取保费时，考虑了安全负荷 若用p 表示相对安全负荷，则有 p ：a 1 - p 1 # 1 - p 2 比2 0 p 1 1 卫1 + p 2 # 2 易见( p 1 p 1 + p 2 比2 ) ( 1 + p ) = 1 令： 皿( 仳) = p ( 皿( o ) = 业f 面f 磊i 磊一( 2 1 4 ) 分别将肛1 = 鬲( 仡) 、p , 2 = 瓦( n ) 和p 3 = 瓦( n ) = p 1 + p 2 代入上式化简可 n = 0 n = 0n = 0 得 皿( o ) ：丝业生 生型坐生生生旦丛幽：型尘竺丝二地 l 一口2 p 1 一q l p 2 一p l p 29 1 q 2 又将( 2 1 3 ) 式变形可得 t lu - - 1 虫( u ) = ( o ) - - q 2 p l ( - - l i ( 0 ) p 1 ( “) + z 皿( u 一七) 1 一尸1 ( 七) 卜皿( o ) 【1 一p 1 ( u ) 】一【1 一p 1 ( 七十1 ) 】 k = 0k = 0 t |u - 1 = 皿( o ) ( 1 一q 2 p l q l p 2 一p i p 2 ) + q 2 p l 皿( 乱一知) 【l p 1 ( 忌) 】一【1 一p 1 ( 七+ 1 ) 】- k = o k = o u 一1 uu - 1 + q l p 2 , 卫( u - k ) 1 - p 2 ( k ) l - 1 - p 2 ( k + 1 ) l + p l p 2 皿( u - k ) 1 - p 3 ( k ) 一【l p 3 ( 忌+ 1 ) 】) k = 0k = 0k = 0 k = 0 将( 2 1 4 ) 式代入上式化简可得 t 0 0 t 正 皿( u ) = q 2 p 1 【皿( u 一七) 【1 一尸1 ( 七) 】+ 1 一p 1 ( k + 1 ) 1 ) + q l p 2 皿( u 一七) 1 一p 2 ( k ) l k = 0k = uk = 0 即 即得 o o1 1 , o o + 1 一岛( 七十1 ) 】) + p l p 2 皿( 让一七) 【l p 3 ( 后) l + 【1 一p 3 ( k + 1 ) 】) k = uk - - - 0k = u 皿( 乱) = 皿( u k ) q 2 p l 1 一p 1 ( 七) 】+ q l p 2 1 1 一p 2 ( 七) 】+ p l p 2 【1 一p s ( k ) l k = 0 + q 2 p 1 1 1 一p l ( k + 1 ) 1 + q l p 2 1 一岛( 七+ 1 ) 1 + p l p 2 1 一p 3 ( k + 1 ) 】) k = u 再注意到p ( k ) = p ( 贾 k ) = q 2 p l 1 一p 1 ( k ) l n u q l p 2 1 一p 2 ( k ) l + p ：p 2 1 - p a ( k ) ，k21 u0 0 皿( 缸) = 尘( 乱一七) 歹( 南) + p ( k + 1 ) k = 0k = u + + 七 七 忍 b 一 一 n 卜 n “脚“脚 一 一 u u 恳 忍 一 一 l 1 r 。 0 巫 i i 一 一 七 七 恳 b 一 一 忌 七 一 一 u u i i i “脚u脚 + + 0 0 吃 r 0 0 i i 皿 一 一 ，t r l 阮 阮 g p + + 1 8 2 0 0 9 年上海大学博士学位论文 2 2 调节系数和破产概率的估计 可以算出在第一个单位时间区间内保险公司所支付的索赔总额研的母函数 为： 咖( r ) ：砷1 + s f 2 ) 】 根据两个相互独立的随机变量之和的母函数的性质知， ( r ) ：e p 9 1 】e p 9 2 】：b 1 g x , ( r ) + q 1 】囟2 g x 2 ( 7 ) + 眈】( 2 2 1 ) 其中g x 。( r ) 和g x 2 ( r ) 分别为个体索赔额噩和恐的母函数，即有 0 0o o g x 。( r ) = e r x l 】_ p l ( 佗) 7 j l ；g x 2 ( r ) = e r x 2 = 船( n ) r n n = ln - - - - 1 若记r o 为( r ) 的收敛半径，则显然r o 1 ( 有可能取值为+ o o ) 同时不难看出( r ) 是( 0 ，r o ) 上的递增凸函数，故知方程 咖( 7 ) = 7 ( 2 2 2 ) 在( 0 ，o 。) 上至多有两个解，而咖( 1 ) = 1 ，即r = 1 是其中的一个解且 ( r ) = p 1 g 父。p ) 加2 g 拖( 7 ) + q 2 】+ 囟1 g x ，r ) + q 1 p 2 g i x 2 ( r ) ，故有 ( 1 ) = q 2 p l g i x l ( 1 ) + q l p 2 g x 2 ( 1 ) + p l p 2 g 父。( 1 ) g x 2 ( 1 ) + p l p 2 g x l ( 1 ) a k - , ( 1 ) = q 2 p l p l + q l p 2 # 2 + p l p 2 # i + p l p 2 # 2 = p 1 # 1 + p 2 # 2 1 定义2 2 1 若方程( r ) = r 存在惟一的大于l 的正解r ，则称为调节系数 由x = x 1 + x 2 及x 1 和恐的相互独立性可知g x ( r ) = g x 。( 7 ) g x 2 ( r ) ，故由 ( 2 2 1 ) 式和( 2 2 2 ) 式可得 q 2 p l g x 。( r ) 一1 j + q l p 2 g x 2 ( r ) 一1 】+ p l p 2 g x ( r ) 一l 】= r 一1 ( 2 2 3 ) 此外，若分别记q l ( r ) 、q 2 ( r ) 和q ( r ) 是以x 1 、恐和x 的尾概率为系数的幂函 数，即令 0 00 0 q i ( r ) = 瓦( n ) ，i = 1 ，2 ，q ( r ) = _ 3 ( n ) p ( 2 2 4 ) n = on - - - - o 不难验证以下等式成立 g x , ( r ) 一1 = ( r 一1 ) q i ( r ) ，i = 1 ，2 ，g x ( r ) 一1 = ( r 一1 ) q ( r ) 金融保险中的若干随机模型 1 9 从而由上式和( 2 2 3 ) 式( 2 2 4 ) 式可得 o o o oo o q 2 p l 7 - 叩1 ( n ) + q l p 2 7 n - 2 ( 他) + p a p 2 r p 3 ( n ) = 1 n = 0n = 0n = 0 引理2 2 1 咖( r ) = r 与下列各式等价 e r n 】1 ， e r s 1 + 奄2 】：e p 岛】：n o oo o o o q 2 p l r p l ( n ) + q l p 2 r p 2 ( n ) + p i p 2 7 n - 3 ( n ) = 1 n = o n = 0n = 0 证明：将= s i l + 9 2 1 1 代入，即可得到上述结论 为了研究最终破产概率皿( 乱) 的渐近解，先介绍离散更新方程及相关的极限定 理 1 1 , 1 5 ，2 3 】。 定义2 2 2 1 1 , 1 5 , 2 3 】设 n ( n ) ，死0 ) 是一个非负序列，若存在最大的正整数d ，使 当n k d 时，k 1 ，a ( n ) = 0 ， 则称 o ( 佗) ) 的周期为d 当d = 1 时，特别称 n ( n ) 为非周期的 一般形式的离散更新方程为； n t ，( 死) = v ( n 一七) ，( 忌) + 6 ( 亿) ，7 , 0 ( 2 2 5 ) k = o 其中 ，( 佗) ) ，_ 【6 ( 佗) ) 为非负序列，且 o o ，= ，( 他) 1 ，b = 6 ( n ) 。 ( 2 2 6 ) n = on - - - - o 由( 2 2 5 ) 式可知，v ( n ) o ( 孔o ) 此外，当f = 1 时，( 2 2 5 ) 式称为正则离散更 新方程，当f 1 时，( 2 2 5 ) 式称为瑕疵离散更新方程，下面的定理给出了u ( n ) 的 极限| 生状 引理2 2 2 1 1 , 1 5 , 2 3 1 设 ，( 仡) ，佗0 ) 为非周期序列，满足更新方程( 2 2 5 ) ，记 入= n f ( , o ，则有： ( 1 ) f 1 ，则 熙咖) - 0 ，”= 薹咖) = 南； ( 2 ) f = 1 ，则 溉”( n ) 2 妥 n ，o 。a ( 若入= 。，上述极限理解为o ) 2 0 0 9 年上海大学博士学位论文 证明：上述结论可自【1 1 1 ，c h a p 3 的更具一般性的定理1 1 导出，有关的证明细 节可参见【11 ，p 8 7 - 8 9 定理2 2 1 在完全离散的两险种风险模型中，最终破产概率满足下列近似 皿( 似) 一c r 一，( 牡一o 。)( 2 2 7 ) 即 溉桨_ l ， 其中 c = j 二毪茅盟( 2 2 8 2 ) ( r 1 ) k r 七( 免) 证明：令 6 ( u ) = ( 七+ 1 ) ， 则根据定理2 1 1 ，有 皿( u ) = m ( 一后) ( 七) + 6 ( 乱) ( 2 2 9 ) 由于p ( 后) = p i p l + p 2 # 2 1 ，即知此式为一瑕疵离散更新方程 为了研究最终破产概率皿( 仳) 的渐近解，先把此瑕疵离散更新方程变为正则离 散更新方程，为此，只需在( 2 2 9 ) 式两端同时乘以舻，再令 里( “) = r u 皿( 乱) ， z ( 七) = r 七，( 七) ， 查( u ) = r u 6 ( 乱) 则( 2 2 9 ) 式可记为 里( u ) = 里( 让一七) ( 七) + 查( u ) ( 2 2 1 0 ) 且由于r 为调节系数，由调节系数的定义和性质知 ( 七) = q 2 p l r 凳p 1c k ) + q l p 2 r 老p 2 ( k ) + p i p 2 r p 3 ( k ) = 1 这表明方程( 2 2 1 0 ) 即为正则离散更新方程这样，为了利用引理2 2 2 导出皿( “) 的渐近解，仅需验证( 2 2 6 ) 式中的第二个关键性条件 b = 查( 让) = r u p ( k + 1 ) ：主圭r 七芦( 七+ 1 ) ：量p ( k + ，) 笔兰 = r 七芦( 七“) = + 1 ) 竺 e k = 0 u = 0k=0。 n l p ( t ni = 乱) r u = e r 一听i = 乱，t n p ( t 几iu o = u ) - t - e r 一iu o = 乱，t n l p ( t ni = 1 5 ) 在上式右端令n _ 。，再对第一项运用单调收敛定理，对第二项运用控制收敛定理 可得 r 一= e r 一嘶iv o = 札，t 亿】霍( “) - t - e r 一iv o = 乱，t = o o ( 1 一皿( 让) ) 注意到r 一= 0 ，a 8 ，便有：r u = e r u ti = u ，t l ，且在【t 0 使得v ( n ) m 又因为，( n ) 是一个分布 列，所以1 i mi * k ( 扎) = 0 从而有； ，l i m ，+ ( 七十1 ) 木u ( n ) ，l i mm ，+ ( 七+ 1 ) ( n ) = 0 ， 尤o 。尤 所以： ，木u ，“，i cb = m y 幸b ， i = 1 秒( 几) 6 ( n ) + m y 宰6 ( n ) 至此引理证毕 以c ( 【l ，。o ) ) 表示值域为 1 ，o 。) 的单调不减的所有非负数列，且令： m 1 = 【夕c 7 ( 1 ，o 。) ) ：v n 1 ，1 k 佗，9 ( n ) 9 ( n 一后) 夕( 忌) ) a j 2 = 夕c 7 ( 【1 ，。) ) ：v n l ，1 ksn ，夕( n ) 9 ( 佗一七) 夕( 尼) ) 引理2 3 3 数列类m 1 具有如下简单性质： 1 ) 若a l 是任意实数，则a 朋1 ； 2 0 0 9 年上海大学博士学位论文 其中 2 ) 若0 ，g ( n ) = e 卢n ，佗n ，贝09 ( n ) m 1 ； 3 ) 若g l ，9 2 m i ，则g l4 - 9 2 3 , 1 1 ，以及g l 9 2 m i 引理2 3 4 数列类3 , 4 2 具有如下简单性质： 1 ) 若a 1 是任意实数，则a m 2 ； 2 ) 若卢0 ，g ( - ) = e 卢n ，佗n ，贝09 ( 佗) m 2 ； 3 ) 若g l ，9 2 m 2 ，则g l 9 2 m 2 定理2 3 1 如果存在数列9 ( ) 朋1 ，使得g ( 克) f ( 七) = 1 ，则有 甄l i mg ( u ) 皿( u ) n 2 a l ， a l = 9 ( u ) ( 七十1 ) ， u = o k = u a 2 = k g ( k ) - p ( k ) 证明：由于皿( 札) = f ( 尼4 - 1 ) + 皿( u 一七) f ( 七) ，等式两端乘以夕( 乱) 得 k = uk = o 9 ( 乱) 皿( u ) = g ( u ) - p ( k + 1 ) + 夕( 乱) 皿( u 一忌) f ( 七) k = u k = o o ot g ( u ) - f ( k + 1 ) + 9 ( 乱一七) 皿( 乱一七) 9 ( 七) f ( 后) o o 由假设条件夕( 七) ( 七) = 1 知g ( 七) = 夕( 南) p ( 七) 是一分布列，于是由引理2 3 2 知 k = o 0 0t 夕( 钆) 皿( 让) 夕( u ) ( 七+ 1 ) + g ( u j ) - p ( k + 1 ) t o o ( j ) k = u j = ok = u - j 由假设知o 一l i m o 。夕( “) f ( 七+ 1 ) 规夕( 七+ 1 ) ( 后+ 1 ) = o ，从而根据引理2 3 1 可知 戛l i mg ( “州让) 熙姜七量0 0 咖刊矾+ 1 ) 州沪暑， 其中 a l = 9 ( 乱) 芦( 七+ 1 ) ， u = o k = u a 2 = 蛔( 七) ( k ) 金融保险中的若干随机模型 2 5 o o1 注： 由于歹( 七) = 府2p l p l + 仡p 2 2r l _ 1 满足题设条件 推论2 3 1 若叉的任意阶矩都存在，则对任意的n 1 ， l i r a 矿皿( u ) = 0 t 证明：记m ( k ) = 1 + r k ，k n ，其中常数r 0 易知m ( k ) m 1 由引理2 3 3 知，对v n 1 ，9 n ( 后) = ( 1 + 7 _ 七) n m 1 由假设条件知，v n 1 ， p l p l + p 2 # 2 ( 1 + r 七) n f ( 七) 0 ，0 丁 0 使得 证明：设r 0 ，令数列 一l i m 。e a c u 皿( u ) 。a 1 2 ， t 。 ，l 口 a l = e 硝( 七+ 1 ) ， u = o k = u a 2 = k e 础- p ( k ) 夕( 佗) = e r c n 7 ，佗1 ， 由于0 丁 1 ，易知对任意的z 0 ，y 0 都有 ( z + 秒) 下z r + y 下 从而 佗r = ( n k + 七) 下( n 一七) 下+ k 下，v n 1 ，1 k 仃， 再注意到c ，r 0 ，有 e r 饥7 e r c ( n - k ) 7 e r c 扩，v n 1 ，1 k n ， 所以夕( 他) 朋i 记k ( r ) = e r c k 7 ( 后) ，易知k ( r ) 是【o ，o o ) 上单调增加的连续函数，且! 觋k ( r ) = p l j a l + p 2 肛2 0 三咖) = 弘【击一南】n = l 扎9 9 p ( n ) = 礼9 9 【高一瓦者丽1 n = 0 、一一7 三，1 n 9 9 ， =研】n- - - 1 。 、一， 所以鲰佗2 睦一瓦 ；而】：溉幽等等铲= 1 0 0 根据数学分析里的 正项级数敛散性的比较判别法可知叉有9 9 阶矩，从而根据推论2 3 2 就得到 l i mu o s 皿( u 1 = 0 t + o 。 仿照定理2 3 1 同理可