（应用数学专业论文）非线性发展方程和孤波解的研究.pdf

北京邮电大学硕士研究生论文 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处， 本人签名：巡 本人承担一切相关责任。 日期：2 盟! 生5 叠主鸯 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借 阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。非保密论 文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名：蟊逸坚日期：2 ：堑! 釜墨虱9 导师签名：j 露毒霉一 日期：j 芝乙_ 王l 北京邮电大学硕士研究生论文 非线性发展方程和孤波解的研究 摘要 随着非线性科学的发展，出现了大量的非线性发展方程，在不同 的物理背景下起着重要的作用。为了探索这些方程在应用中的价值， 求解出各种非线性演化方程或方程组的精确解是非线性科学中一个 很重要的课题。虽然这一个比较热门的课题，科学家们已经做了大量 的工作，给出了很多方程的精确解，也得到一些很有效的解法，但都 是针对某个方程或一类方程，目前还没有系统的，统一的解法。正因为 如此，使得非线性发展方程仍有很大的研究价值，很多科学家一直活 跃于这一领域。而孤波解就是非线性发展方程很有意义的一类解，这 是因为它在很多学科都有着重要的应用。本文正是以非线性微分方程 的孤波理论为基础，探讨几种重要的求解精确解的方法，并求出一些 新的非线性发展方程的单孤波解以及多孤波解。 本文章节及内容安排如下： 第一章介绍了非线性发展方程的理论背景发展现状，以及孤子概 念的产生，孤子理论在各先进学科的重要应用。在此基础上介绍了非 线性发展方程的孤波解理论基础及孤子性质。 第二章研究了相似变换求解非线性发展方程的理论思想，通过相 似变换可使高阶或高维的非线性发展方程降阶或降维，变为低阶的或 低维的偏微分或常微分方程，便于求解。经典李群法，非经典李群法 以及c k 法，都属于相似变换，重点介绍了c k 法并对这几种方法 进行了比较。最后用c k 法约化五阶色散方程为常微分方程。 第三章研究了变系数均衡作用法求解非线性发展方程的理论思 想，以及这种方法的重要作用。通过均衡作用法能得到很多具有物理 背景的非线性演化方程的精确解，还可以获得b 苴e k l u n d 变换，而且 已经可以用它来寻找非线性发展方程的相似约化，以及多孤子解等。 最后用变系数均衡作用法求得变系数h u x l e y 方程的新的精确解。 第四章是本文研究的重点。双线性变换法是7 0 年代由h i r o t a 发 北京邮电大学硕士研究生论文 展起来的又一种求解非线性发展方程的精确求解法，通过把非线性方 程化为算子形式的双线性形式来求解方程，它把复杂的微分方程用简 洁的双线性算子形式来表示，用这种方法可以求出非线性发展方程的 孤子解也可用来寻找b i i c k l u n d 变换，l a x 对等等。本章研究了h i r o t a 方法的理论背景介绍了双线性算子的定义，最后用h i r o t a 方法求出了 c a d r e y - - d l d d - - g i b b o nk a e a d a 方程的单孤子及多孤子解。 第五章研究了对非线性发展方程可积性检验方法即p a i n l e v 6 假 设。介绍了奇点和p a i n l e v 6 性质以及p a i n l e v 6o d e , p d e 检测。并对 第二章用c k 法将五阶色散方程约化出来的常微分方程的性质进行 了p a i n l e v 6o d e 检测。 关键词： 非线性发展方程，孤波解，相似约化，h i r o t a 方法，p a i n l e v 6 检测。 北京邮电大学硕士研究生论文 t h es t u d yo fn o n l i n e a ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n ds o l i t o n s a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h en o n l i n e a rs c i e n c e ，l o t so fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s ( n l e e s ) a r ef o u n d , a n dt h e ya r ep l a y i n gi m p o r t a n t r o l e si nm a n yd i f f e r e n tp h y s i c sf i e l d s s e e k i n gt h es o l u t i o n so fn l e e si s n o wav e r yi m p o r t a n ts u b j e c ti nn o n l i n e a rs c i e n c e t h e r ei sn o ta s y s t e m i ca n du n i f o r m m e t h o df o ra l ln l e e s ，t h o u g hs o m ee x a c ts o l u t i o n s h a v eb e e nf o u n d ，w h i c hj u s tf o raf e wk i n d so fe q u a t i o n s i nt h i sc a s e ，i t b e c a m e si m p o r t a n d l yt os t u d yt h en l e e s t h es o l i t o ns o l u t i o n sa r eo n e k i n do fs i g n i f i c a t i v es o l u t i o n sb e c a u s eo fi t si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n s i n t h i sp a p e r ，s e v e r a lk i n d so fs i g n i f i c a n tm e t h o d sa r es t u d i e dt os o l v et h e n l e e s ，a n da tt h es a m et i m e ，s o m en e wo n e s o l i t o ns o l u t i o n s a n d m u l t i s o l i t o ns o l u t i o n so f n l e e sa r eg i v e n t h eb a s i cc o n t e n to f t h i sp a p e ra r eg i v e na sf o l l o w i n g ： c h a p t e ro n ei sd e v o t e dt or e v i e w i n gt h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n t o f t h en l e e s ，t h ea p p e a r a n c ea n dt h ea p p l i c a t i o n so ft h es o l i t o nt h e o r y b y 北京邮电大学硕士研究生论文 t h ew a y ，t h ep r o p e r t i e so ft h es o l i t o ns o l u t i o n sa l ei n t r o d u c e di nt h i s c h a p t e r i nc h a p t e rt w o ，t h es i m i l a r i t yr e d u c t i o ni ss t u d i e d ，w h i c hr e d u c t st h e h 碘o r d e ro rh i 【曲d i m e n s i o nn l e e s t h es i m i l a r i t yr e d u c t i o nm a k e si t e a s yt os o v l et h en l e e s t h ed i f f e r e n c e sa m o n gt h ec l a s s i c a ll i eg r o u p m e t h o d ，n o n c l a s s i c a ll i eg r o u pm e t h o da n dt h ed e r e c tc km e t h o d , w h i c h b e l o n gt os i m i l a r i t yr e d u c t i o na r es h o w n a tt h ee n do f t h i sc h a p t e r , t h ef i v e o r d e rd i s p e r s i v ee q u a t i o ni sr u d u c t e dt oo r d i n a r yd i f f e r e n c i a l e q u a t i o n m l w a n g sh o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o di ss t u d i e d t 1 1 r o u e g a w h i c hc a l lg e tl o t so fs i g n i f i c a t i v ee x a c ts o l u t i o n si nm a n y p h y s i c a lf i e l d s ， m e a nw h i l et h eb i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n , a n dc a l ls e r c hf o rs i m l i l a r i t y r e d u c t i o na n dm u l t i s o l i t o ns o l u t i o n s ，e t c a tt h ee n do ft h i sc h a p t e r , a n e we x a c ts o l u t i o n so fv a r i a b l e c o e f f i c i e n t h u x l e ye q u a t i o n i s i n v e s t i g a t e d c h a p t e rf o u ri nw h i c hh i r o t am e t h o di ss t u d i e di sa l li m p o r t a n tp a r t o ft h i sp a p e r t h eh i r o t am e t h o d ，d e v e l o p e di n7 0 s ，b r i n g sn l e e st o a r i t h m e t i co p e r a t o r s ，w h i c hc a np r e d i g e s tt h ec o m p l e xn l e e s t h r o u g h t h i sm e t h o d ，w ec a ng e tb i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，l a xp a i r , e t c t h i sp a p e r s t u d i e st h ed e v e l o p m e n to fh i r o t am e t h o d ，a n dan e wo n e s o l i t o ns o l u t i o n a n dm u l t i s o l i t o ns o l u t i o na r ei n v e s t i g a t e d t h ep a i n l e v 6a n a l y s i si sd i s c u s s e d ，w h i c ht e s t st h eg e n e t a t i n go ft h e 北京邮电大学硕士研究生论文 n l e e s ，t h es i n g u l a r i t ya n dp a i n l e v dp r o p e r t y p a i n l e v ao d e a n dp d e t e s ta r ei n t r o d u c e da l s o t h eo d ef r o mf i v eo r d e rd i s p e r s i v ee q u a t i o ni s t e s t e db yp a i n l e v 6o d et e s th e r e k e y w o r d s ： 。 n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ；s o l i t o ns o l u t i o n ；s i m i l a r i t yr e d u c t i o n ； h i r o t am e t h o d ；p a i n l e v 6t e s t 7 ，6 6 北京邮电大学硕士研究生论文 绪论 非线性问题是由线性问题发展过来的。真实的系统都是复杂的非线性，人们 经过抽象和近似将其化简为线性作用，这样便于分析和求解。线性科学发展很早， 到目前线性理论已经发展的比较完整。从j c m a x w e l l 于1 8 7 3 年提出电磁理论， 线性理论就开始迅速发展。随着线性理论的成熟，人们对于线性系统的处理已经 形成较为统一的方法，如著名的m a x w e l l 方程和s c h r o d i n g e r 方程，h i l b e r t 线性 空间和f o u r i e r 变换和l a p l a c e 变换等，都是重要的线性方程或者线性方法。这些 成果对自然科学和工程技术领域的发展起到了举足轻重的作用。 随着科学技术的发展，面对越来越复杂的问题，对问题的解的精确程度也提 出越来越高的要求，原来的线性问题不足以满足需求。这样，很多学科从线性问 题逐渐深入到非线性问题，尤其是从二十世纪六十年代以来，对非线性现象的研 究发生了根本性的变化。科学家们发现许多不同的非线性微分方程有某些共同的 性质，有共同的求解方法和性质相似的解，这样就逐步形成了一个独立的新学科， 称为非线性科学。换一个角度来解释非线性问题，就是对于一个系统，当输入与 输出不成正比时，系统被称为是非线性的。非线性系统之所以复杂，重要的一点 在于在非线性问题中有关线性问题的解所具有的唯一性，单调性，有界性，叠加 原理等对非线性方程都有可能没有，这样就大大加大了对非线性问题统一处理的 难度。 但是非线性问题出现时，随之而来的是很多复杂的非线性问题单靠手工的推 算很难完成，影响了非线性学科的发展速度。计算机的发展和使用给非线性科学 的发展提供了相当大的帮助，使得这三四十年来非线性科学有了迅猛的发展。2 0 世纪初p o i n c a r e 就发现了混沌现象，但是对混沌的深入研究，则起始于2 0 世纪 六七十年代。1 9 6 3 年，美国气象学家l o r e n t z 在计算具有耗散性的自然对流系统 的方程时，得到了一个所谓的l o r e n t z 吸引子【l ”。费根鲍姆也是通过计算机得到 所谓的“费根鲍姆”常数。再如孤波的发现早于1 8 3 4 年，但是长时间里人们无 法理解这种奇特现象，虽然1 8 9 5 年荷兰科学家d j k o r t w e g 与qd ev r i e s 在研 究长波近似下浅水波的运动方程时，得到一个非线性方程，即k d v 方程，并且用 解析的方法给出了孤子解，但是孤子的研究并没有得到深入的发展，直到1 9 6 5 年美国科学家z a b u s k y 和k r u s k a l 在计算机上模拟了孤波，并且在试验中证实了 孤波的存在，使孤波成为了非线性科学研究的热点1 3 , 4 , 5 。对于求解出现在很多领 北京邮电大学硕：b 研究生论文 域中非线性演化方程( 组) 的精确解是非线性科学中一个很重要的课题。虽然这一 个比较热门的课题，科学家们已经做了大量的工作，给出了很多方程的精确解，也 得到一些很有效的解法，但都是针对某个方程或一类方程，对于非线性演化方程 还没有系统的，统一的解法。正因为如此，使得非线性发展方程有大的研究价值 和空间，很多科学家一直活跃于这一领域。 至今，己经有几种能求得非线性发展方程解析解的系统的方法，有行波法， 散射反演法，b 宣c k l u n d 变换法，相似约化法，h i r o t a 方法和均衡作用法【6 ，刀等等。 这些方法各有不同的理论依据，有着不同的技巧并可能针对不同的非线性方程， 而且对同一个方程也能得到不同形式的解。而孤波解就是其中很有意义的一类 解。 此外还可以通过变换把一个较为复杂的方程转化为一个可解的方程，或化为 常微分方程来讨论它的p a i n l e v 6 性质 非线性方程根据色散性质可分为两类，一类是完全可积的，一类是非完全可 积的。一个方程如果能够用反演散射法进行求解，那么它就是完全可积的方程。 完全可积的系统有很多好的性质【6 5 】： 1 ) 反散射方法可解； 2 ) 孤波之间的相互作用为弹性碰撞，即存在多孤子解； 3 ) 具有b a e e u n d 变换； 4 ) 拥有无穷多对称与守恒律； 5 ) 具有l a x 对表示； 6 ) 可以约化为完全可积的h a m i l t o n 系统。 这些性质中，l a x 对和b t l e k l u n d 变换都可以被用来寻找非线性发展方程的孤 子解。用反演散射法可以求解的方程都具有完全可积性，但这种方法很繁琐，也 很困难，所以用其来判断方程是否完全可积是不常用的。而应用p a i n l e v 6o d e t e s t 和p a i l l l e v 6p d et e s t ，可以用来做判断方程完全可积的必要条件。本文将 围绕非线性发展方程的孤波解以及方程本身具有的性质系统的介绍相似变换法， 均衡作用法，h k o m 方法以及p a i r d e v 6 分析。 第一章非线性发展方程与孤波解 孤波是1 8 3 4 年英国科学家j s r u s s e l l 首先发现的一种特殊的波5 射，经过了 一个多世纪，在1 9 6 5 年z a b u s k y 和k d - u s k a l 求k d v 方程的数值解时，发现两个 k d v 波在相互作用后保持各自波形波速不变，仅仅是相位发生了改变，于是他们 把这种具有波粒二象性的波命名为孤子( s o l i t o n ) 。之后，孤子和孤波( s o l i t a r y w a v e ) 等概念广泛应用于物理学的各个领域。目前，从流体力学、等离子体、凝 聚态物理、基本粒子理论乃至天体物理，到处都发现有孤子存在的实验事实或物 理机制，尤其是因为光孤子不改变其波形、速度，光纤孤子通信具有失真小，保 密性好等优点，对它的研究吸引了人们越来越多的注意，并正在成为现代通信技 术的热门课题和重要发展方向1 3 】。1 8 9 5 年建立的流体中单向波的传播的数学模型 k d v 方程例是非常典型的非线性色散波动方程，它首次从理论上阐明j s r u s s e l l 的孤波现象，并且包含着非常丰富的数学内容，因此人们对它进行了很多的研究， 其孤波解和守恒律也引起了人们广泛的关注。 k d v 方程最初出现于水波的研究，1 9 8 5 年k o r t e w e g 和g d ev r i e s 在讨论无 粘滞液体表面波动力学时引出此方程。在2 0 世纪6 0 年代，在物理学与工程科学 的许多问题中，相继引出k d v 方程，如等离子体中的磁流体波，离子声波，弹性 棒中的纵色散波都可引出此方程。一股说，一大批描述弱非线性作用下的波动方 程和方程组被证明可化为k d v 方程p 】。 k d v 方程的标准形式为例： 塑6 u 垒+ 堡：0 一士o u 一+ = a叙叙 ( 1 1 ) 从偏微分的角度来看，它是非古典的三阶非线性偏微分方程，含有最少的独 立变量( 工和f ) ；含有最简单的奇阶导数( 如关于f 的一阶导数，关于石的三阶导 t 一 数) ；附加有最简单的非线性项( 6 u ：o u 是二次非线性) 。k d v 方程是最典型的非线 o x 性色散波动方程的代表。 原始的色散波动的定义是针对线性微分方程的，将“= e “州脚。代入线性微 分方程得到与七的关系： m = o j ( k ) ( 1 2 ) 北京邮电大学研究生论文 上式被称为色散关系。或者直接用对应式： 昙h 一泐；拿付i k( 1 3 ) 瓦h 一肋5瓦付 l 1 3 ) 可以直接得到线性微分方程的色散关系。下面由线性微分方程的色散关系 = ( 七) 的性质对方程分类： 1 ) 当= 缈( _ | ) 为实数时，该方程描述的是非扩散波动。 a ) 当国( 后) 为非线性实函数时，该波动为色散波动。 b ) 当( 七) 为线性实函数时，该波动为非色散波动。 2 ) 当国= ( 七) 为纯虚数时，波的形式是驻波，并且该方程描述的是扩散波动。 当时间t 为无穷大时，“也无界。 3 ) 当彩= 出( | j ) 为复数时，波的形式是具有指数衰减振幅的谐波，并且该方程描 述的是扩散波动。 对于非线性色散波动的理解是将非线性方程的相应的线性化方程的色散性 质用在非线性方程上。如k d v 方程： 坼+ 绷，一朋。= 0 ( 1 4 ) 是非线性色散方程，是因为其线性化的方程 辑一蹦。= 0 ( 1 5 ) 是色散方程。 对线性微分方程和非线性微分方程从色散性质来分类如下： 1 ) 线性非色散方程，波动在运动中保持波形不变。 2 ) 线性色散方程，波动在运动中不能保持初始波形。 3 ) 非线性非色散方程，波顶速度大于波底速度，波动能出现坍塌现象， 不能保持初始波形。 4 ) 非线性色散方程，波动在传播过程中能够保持波形不变，能够存在 孤波解。 习惯上，我们称由非线性发展方程所描述的波动是非线性色散波动。非线性 作用使波变窄变陡，而色散作用使波变平变缓，所以正是由于非线性作用和色散 北京邮电大学研究生论文 作用的平衡才产生了波形不变的孤波。 i i 孤子概念的产生及应用 孤波概念的产生可以说是一个传奇，它是由一个偶然被发现的自然现象开始 的。1 8 4 4 年英国科学家，造船工程师j s r u s s e l l 在对英国科学促进协会的论 波动的报告中，描述了她1 8 3 4 年偶然观察到的一种奇特的水波现象，并把这 种始终保持在水面上，向前平移的孤波峰称为“孤波”【5 剐。但从当时己知的流体 运动方程并不能得到这种波的解，因而有关孤波的问题在当时的许多物理学家中 引起广泛的争论。直到1 8 9 5 年，k o r t z w e g 和g d e c r i e s 研究了浅水波的运动， 在长波近似和小振幅的假设，建立了著名的k d v 方程，并从方程求出了与r u s s e l l 描述一致的，具有形状不变的脉冲状的孤波解，从而在理论上证实了孤波的存在。 二十世纪五十年代的f p u 问题 6 0 ，6 i 】表明了在流体力学以外的物理领域里也 存在孤波现象。a f e r m i ，j p a s t a 和s u l a m 将6 4 个质点用非线性弹簧连接成一 条非线性振动弦，初始时这些谐振子的所有能量都集中在其一，其他6 3 个的初 始能量均为零。按照经典理论，只要非线性效应存在，就会有能量均分，各态历 经等现象，即任何微弱的非线性相互作用，都可导致系统由非平衡态向平衡状态 转变。但实际计算结果却不是这样，经过很长时间以后，几乎全部能量又回到了 初始分布，f p u 问题就这样产生。后来人们把晶体看成具有质量的弹簧拉成的链 条，并近似模拟这种情况，t o d a 研究了这种模式的非线性振动，得到了孤波解， 从而f p u 问题得到了解答。随后，1 9 6 2 年p c m - i n g 和s k y r m e 将s i n e - g o r d o n 方程 用于研究基粒子时【6 2 i ，数值计算表明：这样的孤波并不散开，即使两个孤波碰撞 后也仍保持原有的形状和速度，从而开始了孤波碰撞性质的研究。 1 9 6 5 年美国科学家n j z a b u s k y 和m d k r u s k a l 6 3 j 用数值模拟方法详细考 察了等离子体中孤子碰撞的非线性相互作用过程，得到了比较完整和丰富的结 果，进一步证实了孤子相互作用后不改变波形的论断。在七十年代，i k e z i ，t a y l o r 和b a k e r 等人在水箱实验中观察到浅水波的k d v 型孤子的传播。在激光打靶实验 中，人们也观察到由于出现的涡旋性孤波的传播，以及激光光束在非线性介质中 自聚焦时产生的孤子。另外，在超导问题中，在构成l o s c p h s o n 结的两块超导材 料中，超导电子对波函数的位相差v 满足s i n e g o r d o n 方程，采用带有j o s e p h s o n 隧道结分路的超导传输线证实了孤子解的存在性。现在从数值计算、理论分析和 物理实验等方面都己经证实，一大批非线性进化方程都存在孤波解，而且证明了 孤子互作用后不改变波形的事实，从而使许多物理学家和数学家对此产生了极大 北京邮电大学研究生论文 的兴趣。在物理中，孤子被用来解释物理中出现的一些新问题；在数学中，也出 现了散射反演、b g t c k l u n d 变换等一些精确求解非线性进化方程特解的新方法，并 己逐步形成了较为系统的有关孤子问题的数学理论。 由于孤波现象广泛的存在于物理现象之中，孤子理论成立之后就得到了迅猛 的发展。从天上涡旋星系的密度波，海上冲击波，等离子体，分子系统，生物系 统，光纤中光的传输，激光传播，非线性传输线，超流氦一3 ，超导j o s e p h s o n 结， 磁学，结构相变，液晶，流体动力学以及基本粒子等，都与孤子有关【s 】，可见其 理论应用的重要性。 在处处向着高科技化发展的今天，孤子最具代表性的高科技应用当属光纤中 的光孤子通信。光孤子在长距离传输中损耗小，不需要中继站，比特率( 单位时 间传输的信息量) 高，因此在通信理论的领域内很受重视。随着社会信息化步伐 的加快，相信光孤子通信一定会有更大的作用。 1 2 非线性发展方程的孤波解 通常我们把非线性发展方程的局部行波解，称为“孤波”，这里是指微分方 程的解在空间的无穷远处趋于零或者确定常数的情况。并把这些稳定的孤波，即 通过相互碰撞后的、不会消失而且波形也不会改变或者只有微弱改变的孤波称为 “孤子”。 数学上，孤波解是具有下列性质的解： 1 ) 向单方向传播的行波。形式妒o a t ) 为右行波，妒0 + a t ) 为左行波。 若工= c ，当t = 0 时，波形为矿( c ) ，当波以速度a 运动，在r = 时刻， 工= c + 矾，波形矿0 + a t 一a t i ) = 矿( c ) ，在运动过程中波形保持不变。 2 ) 分布在空间的一个小区域里。 3 )波形不随时间演化 具有以上三个性质的解叫孤波解。 若孤波相互作用后有类似于粒子一样的弹性性质，即波行和速度不变，满足 这个性质的孤波又叫孤子。 但以上对孤子的理解，仍不适合物理领域的需要。在物理上，孤子被理解为： 经作用后，波形与速度有微小变化的孤波，或者被理解为：经典方程的稳定解， 其能量集中在空间的有限区域上，并不随时间的推移而扩散到无限的区域中去。 所以孤子也定义为经典场方程的一个稳定的有限能量的不弥散的解，这就是说， 孤子可看成场能不弥散，一个有限的稳定的“团块”，即使在运动或碰撞中，它 也不受破坏。 北京邮电大学研究生论文 孤子中最常见的是钟形和扭结形孤波解，如下图： 孤子除钟形和扭结形以外还有包络孤子、拓扑性孤子、呼吸子、亮孤子和暗 孤子、正孤子和反孤子，以及它们的叠加而形成的形形色色的孤子。 而从拓扑的角度，孤波可分为拓扑性孤子和j 拓扑性孤子。拓扑性孤子存在 的必要条件是在无穷远处存在不同的真空态，或者说有不同的边界条件；有孤子 解时，无穷远处的边界条件就与没有孤子解时的不同。非拓扑孤子不需要简并真 空态，无论有无孤子，在无穷远处都有同样的边界条件嘲。 非线性发展方程的非线性作用使波变得尖而陡，色散作用使波变得平而缓， 正是非线性作用和色散作用的平衡，产生了孤波。 行波法是发展较早的求解偏微分方程的一种有效途径，特别对求解非线性偏 微分方程，在求解孤波解方面起到了很重要的作用。许多简单的但是很重要的非 线性波方程的解析解，主要是孤波解就是通过这种做法获得的，并且通过求解获 得了许多非线性波的重要性质。而在数学中，也将孤波理解为一种非线性演化方 程局部化的行波解。 在本文后面的相似约化一章也提到行波法属于一种简单形式的相似约化，通 过变换 = ( 孝) ，善= 工一c ， ( 1 2 1 ) 将方程化为关于f 的常微分方程，再利用椭圆函数求解。例如描述浅水波的k d v 北京邮电大学研究生论文 方程 吩+ u u ，+ “。= 0 ( 1 2 2 ) 它是很重要的在许多领域有所应用的孤波现象模型，如在长波小振幅近似下，可 描写冷等离子体的磁流体波的运动：非谐振晶格的震动；等离子体离子声波；弹 性杆中纵向色散波；液，气两种混合态的压力波；管底下部流体的转动；低温下 非线性晶格的声子波包的热激发等。k d v 方程通过行波法可以求得孤波解： 厂 非3 邙c c 小j 专( x - - c t - - 鼽 ( 1 2 3 ) 其中p o ，磊是积分常数【9 】。 此孤波的波速为c ，波高为3 c ，可见波的高度与速度成正比。在双孤波解中， 如果两个波同向，波形较尖锐的孤波前进速度较快，能够会追上和超过波形较平 缓，前进速度较慢的孤波，发生波的碰撞。 在众多己经推广的方法中，最灵活的求解偏微分方程解析解的方法之一是直 接代数法或a n s g t z 方法这种方法没有固定的准则，一般是对所考虑方程做一个 非线性变换，然后代入方程平衡最高阶导数项和最高阶非线性项系数确定非线性 变换的形式，进而化为代数方程求得方程的解。这种问题有时可借助于计算机代 数如m a t h e m a t i c a ，m a t l a b ，等软件。有时这种方法也包含上述各方法中某些技巧。 如c o f e y 1 0 l 。h e r e m a n 等 1 1 , 1 2 1 。 在2 0 世纪8 0 年代中期提出了构造非线性发展方程孤波解的混合指数方法， 随后又对该方法不断改进，使之成为有效计算非线性发展方程孤波解的重要方法 之一。混合指数法的实质是将非线性发展方程孤波解的求解问题化为递推方程的 求解的间接方法非线性发展方程的解析研究概论法的基本原理是将非线性发展 方程孤波解表达为该方程中线性部分的实指数的级数形式，从而将非线性发展方 程孤波解的求解问题化为组合计算问题，尽管手工解复杂递推方程并不容易，然 而人们可以借助计算机代数系统有效地处理烦琐的代数运算，从而归纳出递推方 程的解并加以验证，由此获得非线性发展方程的精确孤波解后人还对此方法给 予了改进。 又如s e c h , t a n h 等特殊函数的组合多项式方法也被广泛应用于非线性发展方 程的精确求解【1 4 1 北京雌电大学研究生论文 第二章相似变换 一个非线性偏微分方程可以通过相似变换化为一个常微分方程去求解。相似 变换的目的是求非线性偏微分方程的解析解。通过相似变换可使高阶或高维的非 线性发展方程降阶或降维，变为低阶的或低维的偏微分或常微分方程，便于求解。 在不易求解时，可以研究解的性质，如存在性，唯一性，渐进性，p a i n l e v a 性质。 相似变换是一种不变变换，它满足不变变换的条件。即若u ( x ，t ) 是偏微分方程 p 0 ) = o 的解，用新变量一，九代替z ，t ，“要求“( x ，t ) 也满足原方程。 经典李群法，非经典李群法以及c _ k 法，都属于相似变换。非经典李群变换 比经典李群变换计算量更大，更复杂，因为新不变变换条件的代入使很多独立的 项不再独立，但它能得到更多的信息，可能求出与经典李群变换不同的新的不变 变换和相似解。而c k 法是相对更为简单的方法，求解过程中没有用到李群变换 知识，是一种很有效的相似约化。 相似约化常见的简单的方法有： 1 )行波法 u ( x ，f ) = w ( z ) ( 2 i 1 ) 2 )自相似变换 u ( x ，r ) = 口o ) 咀( 力+ j 】， ( 2 1 2 ) 其中a ( t ) ，p c t ) 一般是r 的幂函数t ”，m ，疗为整数。 2 1 李群方法简介 李群方法【1 5 】是研究非线性发展方程精确解的比较有效的方法，其基本思想 是：研究在连续变换群下给定的非线性发展方程的不变性质。通过寻求使方程形 式不变的的变换群，使方程得到降阶，降维，进而求解。李群方法分为经典李群 对称方法和非经典李群对称方法。经典李群对称方法又包括经典李群对称方法和 经典条件李群对称方法。非经典李群对称方法包括非经典李群对称方法和非经典 条件李群对称方法【l “。 北京邮电大学研究生论文 非经典李群法基本过程如下： 对非线性发展方程 日( x ，f ，u ，“，) = 0( 2 1 3 ) 引进单参数s 李群变换： j v = f ( x ，t ，“，占) = x + ( x ，“) + d ( 占2 ) t = p ( x ，t ，甜，s ) = t + c r l ( x ，t ，“) + d 2 )( 2 1 4 ) l u = q ( x ，t ，z f ，占) = “+ s 妒( x ，r ，甜) + d ( s 2 ) 通过变换( 2 1 4 ) ，使方程( 2 1 3 ) 关于【，及其自变量z ，丁满足同样的方 程( 2 1 3 ) ，这样可以使方程得到约化( 2 1 3 ) 或者能够通过无穷小元善，7 ，矿来 求出方程( 2 1 4 ) 的精确解析解。 1 ) 如果再构造一个与方程( 2 1 3 ) 相容的辅助方程，构成新的方程组 使其在变换( 2 1 4 ) 下保持不变，这就是近几年发展的经典条件李 群变换。 2 )当重新构造的辅助方程为不变曲面条件方程： 孝( 毛f ，u ) u x + 叩( x ，t ，“) 珥一伊( x ，t ，u ) = 0 ( 2 1 5 ) 此时便是非经典李群变换群方法。 另外，既满足方程( 2 1 3 ) 和( 2 1 5 ) ，又增加另外一个新辅助方程构成方程 组时，保证在变换( 2 1 4 ) 下，方程组具有不变性就是前面所说的非经典条件李 群对称方法【17 1 通过这种方法可以求得自相似解，最初是由gw b l u m a n 和j d c o l e 提出 的【18 1 它是求自相似解的传统的办法。用这种办法可解出热传导方程，非线性热 传导方程，b o u s s i n e s q 方程，b u r g e r s 方程等的自相似解【1 9 1 。非经典李群变换与经 典李群变换相比计算量更大，更复杂，因为新不变变换条件的代入使很多独立的 项不再独立，但它有可能求出新的不变变换和相似解，即比经典李群变换得到的 信息多。但综合来看，用经典李群和非经典李群法求非线性发展方程的相似解难 度较大，因此，一般都是设定相似解的形式，用直接的办法求方程的相似解。 2 2 c k 法 c k 直接约化方法是由p a c l a k s o n 和m d k r u s k a l 于1 9 8 9 年提出的方 法，并首次用于求b o u s s i n e s q 方程的相似解，求得了许多不同于用经典李群和非 北京邮电大学研究生论文 经典李群变换所求的相似解【2 0 】。 c k 直接变换方法不涉及李群理论，通过变换： u ( x ，) = u ( x ，r ，w ( z ( x ，r ) ) ) ( 2 2 1 ) 把非线性发展方程化为w 的常微分方程。并证明可以更直接地设变换为 u ( x ，f ) = 口( 而，) + ( 工，t ) w ( z ( x ，f ) ) ( 2 2 2 ) 并通过规则使w ( z ) 的最高阶导数项和_ 的最高阶非线性项的系数之比仅为w 和 z 的函数，从而建立关于w ( z ) 的常微分方程。这里可以应用的三个规则是： 1 )如 a ( x ，t ) = c r 0 ( x ，f ) + ( z ，t ) n ( z ) ，可令n ( z ) 0 。 2 ) 如果p ( x ，t ) = 属f ) q ( z ) ，可令q ( z ) e 1 。 3 ) 如果n ( z ) = z o ( x , t ) ，且q ( z ) 为可逆的，则可令n ( z ) = z 。 继p a c l a k s o n 和m d k r u s k a l 之后，l e v i 和w i n t e r n i t z 给出了直接约化 方法的李群解释，这样直接约化方法与李群理论建立了密切的关系。 直接约化方法使用起来已经比较简单，但在2 0 0 4 年，楼森岳等进一步研究 了推广的直接约化方法，使直接方法中三个自由度函数a ( x ，f ) ，( x ，r ) 和z 之间 比较繁琐的约化得到化简，并比直接约化法更具普遍意义口”。 他们使用的变换为： u ( x , t ) = 口( 工，r ) + 卢( 五f ) “参叩) ( 2 2 3 ) 其中孝= 亭( x ，r ) ，7 = r ( x ，) ，使w 关于自变量善，7 满足与原来相同的方程。 2 3 用c k 法约化五阶色散方程 下面用c k 法约化五阶色散方程瞄】： 坼+ o l u x r 。+ p u h = 0 ( 2 3 i ) 设方程的相似约化为如下形式： u ( x , t ) = a ( x ，f ) + 6 ( x ，t ) w ( z ( x ，f ) ) ( 2 3 2 ) 其中a ，b ，z 为待定x ，y ，t 的函数，w ( z ) 为满足常微分方程组的待定函数。通 北京邮电大学研究生论文 过符号计算，将( 2 3 2 ) 代入方程( 2 3 1 ) 有： q + w6 f + 6 4 + 口( q + w 以+ b w z x ) ( b w z ，2 + + w k + w ( 2 6 ，z ，+ k 盯) ) + , a o o w z ，b 。+ 3 0 w b , z , l z 。+ 3 0 w z 。b = z 。+ 1 5 w b ，z 0 + 5 0 扪z ：q t z l + 2 b z 0 + 1 0 w z b 。+ 1 0 “z 0 。+ 2 0 w b x z x z , 。 + 1 0 w ，b “z 。，5 w z 童嘣+ s w b x z 端+ 口曩+ w b 戳。+ 6 ( w ( ”巧+ 1 0 + 5 w z a 3 z = 2 + 2 z ，z 。) + 5 t ：。+ ，z 一) ( 2 3 3 ) 为使( 2 3 3 ) 化为w 关于z 的常微分方程，令w 5 的系数6 0 为规范系数， ( 1 ) 当z ，0 时( 2 3 3 ) 式改写为： 其中： w ( 5 + r l ( z ) w 4 + r 2 ( z ) w ”+ r ，( z ) w w ”十r 4 ( z ) w 。+ r 5 ( z ) w w 8 + r 6 ( z ) 2 + r 7 ( z ) + r 8 ( z ) w + f 9 ( z ) 矿+ r l 。( z ) w + r l l ( 二) = 0 r 3 ( z ) = a b 2 0 吆5 ； ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) f 4 l 幻= a b d x z ? + 3 0 f l z ，b z = + l s f l b x z ：+ l o p z ，b 。+ 2 0 8 b x z l z 。 8 b z ? r 5 ( z ) = c t b b ：, z 。, 2 k ，5 ； r 8 ( z ) = 口6 0 k + 口以( 2 瓯乙+ b z 。) j 6 b z ，5 由( 2 3 5 ) 式， 6 ：旦) 乙2 口 应用规则( 2 ) ，取r 3 ( z ) ；1 ，于是得到： 啦f ) ：曼乙：， 口 ( 2 3 9 ) 式代入( 2 3 7 ) 式，整理得： 吲知别专= 。 2 i 6 6 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) 北京