（计算数学专业论文）矩阵特征值的估计.pdf

摘要 摘要 随着现代科学技术的发展，矩阵计算和特殊矩阵分析在计算数学、数学物理、 经济学、生物学等领域有着广泛的应用。因此引起了许多数学学者、工程技术人 员和科技人员的青睐。而矩阵计算的理论和方法对于方程组的求解是矩阵理论的 一个重要方向，成为计算数学的一个重要分支。 矩阵的特征值问题是矩阵计算的一个重要方向，在许多学科中具有广泛的应 用，因此矩阵特征值的界的估计及求解的理论研究等是当今计算数学和科学与工 程计算研究领域的重大课题，国际上研究工作十分活跃。许多科学和工程中的一 些问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题。 随着尸- 矩阵的提出，很多学者开始从p 矩阵及其子类方面来估计实矩阵的特 征值。本文主要提出了两类新的严矩阵的子类s d b 矩阵和s m b 矩阵，研究了这 些矩阵的性质及其于严矩阵的其他一些子类，如b 矩阵、伽一矩阵、m b - 矩阵的 关系。基于这些性质进一步获得一些新的实矩阵实特征值的包含区域和特征值的 实包含区域。 关键词：矩阵特征值的估计，g e r s g o r i n 定理，只矩阵，s d b - 矩阵，s m b - 矩阵 a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c l m o l o g y ，m a t r i xc o m p u t a t i o n s 觚d s p e c i a lm a t r i xa n a l y s i sh a v ew i d ea p p l i c a t i o n si nc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ，p h y s l c s ， e 0 0 n o m i c s 孤db i o l o g ye t c s o ，t h e yb e e nr e s e a r c h e db ym a t h e m a t i c i a n s ，e n g m e e r s0 r i c i a l l s i t st h e o r i e si nc a l c u l a t i o n , m e t h o d sa n di t s s o l u t i o nme q u a t i o n sa r e i m p o r t a n ta n dt h e yh a v eb e e ni n d i s p e n s a b l ei nm a t h e m a t i c i a n s e i g e r i v a l u e h a sb e e ng r e a t l ya p p l i e di nv a r i o n sa n d i s i m p o r t a n t 1 nm a m x c 0 如l p u t a t i o n s t h e r e f o r e ，m a t r i xe i g e n v a l u ee s t i m a t e sa n dt h ec o m m u n i t y t os o l v et h e m e o r e t i c a ls t u d i e sa r ei m p o r t a n ti s s u eo fi n t e r n a t i o n a lr e s e a r c hw o r ki nt o d a y sm a t r i x c o m p 岫t a t i o n sa n ds c i e n c ec o m p u t a t i o n sa n de n g i n e e r i n gf i e l d s s o m e q u e s t i o n so f s c i e n c e 孤de n g i n e e r i n go f t e nc a l lb ea t t r i b u t e dt oas q u a r em a t r i xo fe i g e n v a l u e sa n d e i g e n v e c t o r so f t h ep r o b l e m w i t ht h ep - m a t r i xp r e s e n t e d , al o to fs c h o l a r se s t i m a t e de i g e n v a l u e so f r e a lm a t r i x f 如m 廿1 ep m a t r i xa n di t ss u b c l a s s i nt h i sp a p e r ，w ep r e s e n t e dt w on e ws u b c l a s so f 只m a i d x s d b m a t r i x 锄ds m b - m a t r i x r e s e a r c h t h en a t u r eo ft h em a t r i xa n di t s r e l a f i o n s h i pw i t ha n u m b e ro fo t h e rs u b c l a s s ，s u c ha sb m a t r i x 、d b - m a t r i x , m b - m a t r i x b a s e do nm e s ep r o p e r t i e s ，s o m es u b c l a s so fp - m a t r i xa r eu s e dt ol o c a l i z e t h er e a l e i g e n v a l u e so f ar e a lm a t r i x k e y w o r d s ：e i g e n v a l u e s ，g e r s g o r i n ，p - m a t r i x ，s d b m a t r i x ，s m b - m a t r i x i i 主要符号表 主要符号表 n i c 朋“( 尺卅”) m n 彳o a 0 彳丁 d o t a 允 p ( 彳) d i a g ( o l ，o r n ) i i i 自然数集 l ，2 ，以 单位矩 朋以复( 实) 矩阵集 7 阶非奇异m 一矩阵类 矩阵a 是非负矩阵 矩阵彳是正矩阵 a 的转置 a c 咖的行列式 矩阵彳的特征值 矩阵么的谱半径 以吼，盯。为对角元的对角矩阵 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：垒 按日期：；刃7 年皇月2 7 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 躲王籀新虢垃 日期：】d 僻f 月7e l 第一章绪论 第一章绪论 随着科学技术的发展和良好性能计算机的日益普及，大规模的计算问题正越 来越多的引起人们的重视。而矩阵在科学计算中起着重要作用，所以，矩阵理论 与应用越来越受到数学学者、工程技术人员和科技人员的关注。矩阵理论不仅是 一门重要的数学理论，而且在数值分析、最优化方法、数学模型等数学分支上有 极其重要的应用。由于利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有 表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻等特点，因此利用矩阵理论方法来处理工 程技术的各种问题越来越受到工程界人士的重视。数值代数和矩阵理论与应用已 成为众多科学领域的数学工具。矩阵计算的理论和方法与方程组的求解是矩阵理 论的一个重要方向，已经成为经济学、生物学、现代物理学等领域处理数学问题 不可缺少的强大工具，成为数学计算的一个重要分支。许多实际问题最后常常归 结为一个或一些大型系数矩阵为特殊矩阵的线性方程组的求解问题，其中，非负 矩阵、肘矩阵、日矩阵及与之关系密切的其他特殊矩阵类，是应用广泛的几类特殊 矩阵。 随着科学的发展，矩阵理论已被广泛地运用到应用数学、计算机科学、经济 学、工程学、系统科学等诸多方面，成为现代科技领域处理大量有限维形式与数 量关系的强有力的工具。对矩阵理论的现代研究与系统工程、优化方法及稳定理 论、群论、图论等有着密切的相互关系。作为数学中的一个分支，包含了丰富的 内容，成为一门最有实用价值的数学理论。特征值问题是矩阵理论的一个主要研 究领域，对它的研究具有重要的理论意义和实用价值。许多科学和工程问题如结 构力学中的固有频率分析以及控制系统中的稳定性问题，最终都转化为特征值问 题。 由于特征值问题在许多学科中具有广泛的应用，因此矩阵特征值的界的估计 及求解的理论研究等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题，国 际上研究工作也十分活跃，人们开始从各个方面来研究矩阵的特征值。1 9 6 2 年， 最早是f i e d l e r 和p t a l ( 1 引入的严矩阵和只矩阵的概念，随后，就有很多学者从 p 矩阵着手，定义出p - 矩阵的一些子类，得出相关性质，在此基础上来对矩阵的 特征值进行估计。 电子科技大学硕士学位论文 1 1 矩阵的特征值估计 1 1 1 矩阵特征值问题概述 矩阵的特征值问题既是一个理论上非常有意义的问题，同时又有着广泛的应 用。总的来说就是要满足这样一个关系：a x = 缸，x 0 ，五c 是方阵a c 职” 的特征值，x c ”是与其相适应的特征向量。而奇异值是对任意矩阵来说的( 不一 定是方阵) ，若把矩阵彳的共轭转置记作彳，那么a 的奇异值就是( 朋片) ：的特征 值。矩阵彳的所有特征值的集合称为矩阵的谱。在矩阵代数中，特征值奇异值问 题和矩阵的谱分析条件数问题是密切相关的，它们是矩阵最基本也是最重要的特 征，在工程和物理学方面应用也很广泛，具有重要的研究意义和价值。但是对于 阶数较高的矩阵，要计算出他的特征值和奇异值是相当困难的，所以估算出他们 的范围就显得尤为重要了。从估计的结果来看，所给出的范围越小，精度就越高。 而国内外很多学者都在试图估算他们的最小范围，所以这类问题在国际上仍然是 一个热点研究问题。例如，文献 2 ，3 ，4 中对此类问题进行了研究，著名学者 r s v a r g a 就矩阵特征值问题出版了一本专著1 5 】。下面我们将介绍几个著名的定理。 1 1 2 矩阵特征值估计的一些基本定理 最早，人们用矩阵的元素对矩阵的特征值作大致的估计，并且给出了一些重 要的不等式。 定理1 1 1 6 1 ( s c h u r ) 设a = ( ) c “的特征值为五，五，以，则 窆2 兰窆k 1 2 ：二， i = li = lj - - ! 等号成立当且仅当彳为正规矩阵。 定理1 1 2 吲( h i r s c h ) 设么= ( 嘞) c 雕”的特征值为五，如，以，则 刀m i a x a l 定理1 1 3 6 1 ( h a d a m a r d 不等式) 设a = ( a 盯) c 删“，则有 兀i - t , c 4 ) i = i d e t , 4 i p ( 召) ，那么彳被称为非奇异肝矩阵。 俨矩阵是m 一矩阵的一个自然推广，他们之间一般通过下列关系直接建立联 系： 定义2 1 2 1 8 j 矩阵么为伊矩阵当且仅当它的比较矩阵m ( a ) = ( m “) r 蛐为非 奇异肛矩阵，其中 m “= i a i i l ，m # = - a o | ，f ，n ，f 。 1 9 6 2 年，最早是f i e d l e r 和p t a k 1 引入的严矩阵和只矩阵的概念，p - 矩阵是 一类与肝矩阵和铲矩阵紧密联系的一类特殊矩阵，是所有主子式均大于零的实 矩阵。一般地，实俨矩阵是严矩阵当且仅当其所有对角元均为正值 3 0 ，3 1 。随 着严矩阵的引入，大量学者投入到这方面的研究，用来研究特征值，方程的解的 性质，线性余问题等。 定义2 1 3 t 1 】设a = ( 口；，) r 删“，如果么的所有主子式都是正( 非负) 的，则 称彳为p ( p o ) 矩阵。 在这里，他们还提出了几个等价的关于尸- 矩阵的定义。即：满足下面条件之 一的n 价实矩阵彳就称为p 啦阵： ( 1 ) 彳的所有主子式都是正的； 5 电子科技大学硕士学位论文 ( 2 ) 对任意刀阶非零实向量，都存在岛使得x k ( a x ) t 0 ； ( 3 ) 对任意玎阶非零实向量，都存在正对角矩阵d ，使得( a x ，d x ) 0 ； ( 4 ) 对任意, 阶非零实向量，都存在非负对角矩阵日，使得( 厶，g x ) 0 ； ( 5 ) a 及其任意主子阵的实特征值都是正的。 满足下列条件之一的n 阶实矩阵彳称为只矩阵： ( 1 ) a 的所有主子式都是非负的； ( 2 ) 对任意n 阶非零实向量，都存在k ，使得 0 并且( 出) t 0 ； ( 3 ) 对任意n 阶非零实向量，都存在非负对角矩阵d ，使得( a x ，d x ) 0 ，且 g ，d x ) o ； ( 4 ) 其任意主子阵的实特征值都是非负的。 1 9 6 9 年，s a n d b e r g 和w i l l s o n 在文献 9 】、 1 0 】中给出了咒矩阵的又一个等价条 件： ( 5 ) 对任意正对角矩阵d ，都有d e t ( m + d ) 0 。 户矩阵的另一个著名定义是： 定义2 1 4 1 1 1 a = ( a f ，) r “”和向量g r ”，l c p 就是寻找一个z r ”，使得 z o ，q + m z o ，z 1 ( q + 勿) = 0 。 定义2 1 5 t 1 1 1 7 阶实矩阵彳是严矩阵当且仅当对任意维向量口，线性问题 l c p ( q ，么) 只有唯一解。 这里从各方面总结了近些年给出的户矩阵的一些等价定义，这些定义在严矩 阵的研究方面有着重大的意义，很值得我们去借鉴和思考。接下来，我们对户矩 阵的性质做个简单的描述。 2 2p - 矩阵的性质 1 9 8 7 年，m a n g a s a r i a n 和s h i a u 在 1 2 中证明，如果实矩阵彳是严矩阵，那么 它一定是李普希兹矩阵。 m u r t h y 、p a r t h a s a r a t h y 和s a b a t i n i l 9 9 6 年在 1 3 中证明了定理的充要性是成立 的，即实矩阵么是户矩阵当且仅当它是李普希兹矩阵。 1 9 9 9 年，s o n g ，g o w d a , r a v i n d r a n 首先引入r o w p - p r o p e r t y 的概念。假设以阶实 矩阵的一个非空集合s ，如果对任意i = l ，甩，a 的第i 行( 记为a i ) 都是集合s 中某个矩阵的第i 行，则称矩阵4 是集合s 的行代表。如果s 所有的行代表都是 尸( 层) 矩阵，则称s 具有r o w - p - p r o p e r t y ( r o w - e o - p r o p e r t y ) 6 第二章p 矩阵的研究现状 随后，便有了如下的定理： 定理2 2 1 1 4 1 甩阶实矩阵的一个集合s 具有r o w - p - p r o p e r t y 当且仅当对任意刀 维非零向量x ，都存在j 1 ，2 ，以 ，使得对所有的矩阵a s ，都有x ( 尬) 0 。 定理2 2 2 【1 4 】，l 阶实矩阵的一个集合s 具有r o w 昂- p r o p e r t y 当且仅当对任意n 维非零向量x ，都存在， l ，2 ，以) 满足x ，0 ，使得对所有的矩阵a s ，都有 工( 么x ) 0 。 文献 1 、 1 5 中对j d - 矩阵的另一些性质做了简单的叙述，并且用来证明了一 些重要结论。 定理2 2 3 1 5 1 设a m 。( r ) ，r 为j 下数且满足d e t ( r l - a ) 0 ，则下列关系等 价： ( 1 ) c _ ( 玎一彳) - 1 ( 玎+ 彳) ，f 为严矩阵； ( 2 ) p 矗( 彳) o ，三 ，v j , i ，则彳被称为 b 矩阵。 扣1仃扣1 在文献【1 6 】，中证明了b 矩阵其实为一个尸- 矩阵。随后文献【2 1 】中又介绍了只 矩阵的另一个子类珊矩阵( 舢) ，其包含了上面的口矩阵。 定义2 3 2 2 1 1 设a = ( 口盯) r 肼辟，a 肚 一，v k ， 7 电子科技大学硕士学位论文 ( 口露一彳) ( 口且一0 ) ( ( 彳一口跌) ) ( ( 哆一口业) ) ，f _ ，= 1 刀， ( 2 - 1 ) 则彳称为d b 矩阵。 。塞义2 3 3 u 7 1 设么一( 吩) 掣“，善口髓 o 寺荟 ，c j = m i n 0 , a 扩l i 办， ( 2 _ 7 ) 一。r + , ，a 口娃u u o j = t n ，c ，：= ：兰：三三，；= t 。n c 2 - 8 ， 定义2 3 5 呻1 设么= ( 口盯) r ”“，如黝是一个具有正对角元的厚矩阵，则彳被 称为h + - - 矩阵。 关于h + 矩阵与其他矩阵类之间的关系，在文献【8 ，2 9 1 d p 有详述。 定y 2 3 6 冽设a = ( 口。) r “”，如黝是一个具有鼢裂的p 矩阵， 彳= 目圳+ e 目矽= f ，) 是一个肛矩阵，则所有具有艮分裂的p 矩阵的集合称为姆矩 阵。 定义2 3 7 t 1 8 1 我们说一个实矩阵是广5 0 k l b 矩阵，若他能写成形x 式, d a ，其中d 是个元素仅为 l ，1 ) 的对角矩阵，a 是a v w 一矩阵。特别地，鞠册，那么我们称它 为广义孓对角占伽矩阵( g s b ) 。 第二章p - 矩阵的研究现状 在【1 6 】、【1 8 、 2 0 】中证明了雕阵的子类之间存在着这样的包含关系： 曰d b m b ，日+ c k scp ，m bc k s ，m b 旺h + ，h + 岱m b 2 4 特征值的包含区域 近些年来，j 朋p e f f a 等一些学者通过对严矩阵及其子类的性质的研究，结合 g c r s g o f i n 定理，在特征值的估计方面作出了很大的贡献。2 0 0 1 年，j 朋p e f f a 定义 了尸境阵的一类子矩阵b 毵阵，利用b 砸阵的性质来改进g e r s g o r i n 定理，定位一 个实矩阵的实特征值。 定理2 4 1 ( 1 6 1 设a = ( a 。) r 艄4 ，五黝的一个实特征值，则 ( 1 ) 五s _ u 一矿- e l r , + - - a kh 一乃一+ 卜- a 膻l 】 i = 1七f七f ( 2 ) 设c 是一类实矩阵集，即，如果b c ，那么召的所有特征值都是实数， e 净d + t ( b d ) ，t 0 , 1 的所有矩阵属于c ，同时a c 。如果s 是s 中m 个区域的 并且与余下的区域不相邻，那么s 包锄的m 个特征值。 2 0 0 2 年，朋凡 口在中通过对p 矩阵的子煳啦阵性质的研究，拟矩阵进 行m 吩裂，对b r a u e r 定理作了一个改进。 定理2 4 2 2 1 1 设a = 0 盯) r “4 ，矿，一形如( 2 5 ) ，q 竽陋f f 一彳，口靠一- 】， i = l n ，_ ，i ，我们定义( 不失一般性a 。 贝她的所有特征值都包含在曰_ ( u e ) u ( u 岛) 中。 1 = 1 忙 李厚彪在这两个定理的基础上定义了p 矩阵的子拗矩阵，并且优化了特征 值的包含关系。 定理2 4 3 t 1 8 1 设a = ( a 。) r “”，如果s 洲非空子集。那么彳的所有特征值属 于 s ：= ( u c ) u ( u e s ) u ( u - 驴) ， 其中 扭1把s 拒s 隹s e s - 口埘一+ 一硝( 曰+ ) ，a 甜一一+ r s ( b 一) 】， 9 电子科技大学硕士学位论文 f h ；u 日；u 日；当口。口，f s ，曩， h u 竽1 日；u 雷；u 日；当口盯口，f s ，j i 日；- x ( ，m i n a “，口) ) ：口甜一+ 一划一r ，( b + ) ) ( 1 口一彳一叫一尺歹( b + ) ) r ，( 曰+ ) r s ( b + ) ) ； 巧：= 缸( ，) ：( f 吒一r t 一一叫一碍( 召一) ) - r ；一叫一g + ) ) 群( b 一) g + ) ； 后苫_ 缸( 口j ，口。) ：( i 口。一+ 一蚓一r ? ( b + ) ) 口一丐一刊一r j ( b 一) ) r j ( b + ) r j ( b 一) ) ； 月苫：= x ( m a x a 豇，口) ，o o ) ：口。一一一州一r s ( b 一) ) 口一彳一叫一r s ( s 一) ) r s ( s 一) r j 一) 。 g e r s g o r i n 定理提供了矩阵的一个包含区域，可以得到一个实矩阵的特征值的 上下界。同样我们可以分析一个矩阵的非包含区域，即特征值不包含其中的区域。 ，m p e k a 在中利用饰阵得到一个实矩阵的非包含区域。 定理2 4 4 m 1 设彳= ( 口f ) l 鼠胁是个实矩阵，卢l 胁s ，s i 形如( 2 9 ) ，兄是 么的一个实特征值，那么五正e # ( 黔i = l 善嘞一万筇k i 鳃= l 善一刀) ) 。 no 一 一n 一7 s ，：= m a x 0 ，m i n a 茸l _ ，0 ) ；s f ：= m i n 0 ，m a x a 盯i f ) ) ( 2 9 ) 定理2 4 5 4 1 设a = ( 口i ) l 筑脚是个正矩阵，其中净l 以，s ? ，形如( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) ， p 是一个给定的数形如( 2 1 1 ) ，如果( 2 1 2 ) 成立。另外，a c ，其中c 是一类 实矩阵，如果b c ，b 的所有特征值都是实的，所有形如( 2 1 3 ) 的矩阵都属于c ， 那么彳的( n - - 1 ) 个特征值小于或等= 于= m a x r i n s i + i = 1 以) ，同时存在唯一的特 征值都包含在( 2 1 4 ) 中。 _ 叼，r ：= m a x r i i = 1 棚) ( 2 一l o ) p 等吲f = 1 以) ( 2 - 1 1 ) 一研 0 。设c = ( 勺) 尺“”， 气= m 矿一s 。如果f 是一个给定的数集( 2 - 1 5 ) ( 非对角元q 州护i = l 一，l 满足( 2 - 1 7 ) 、 ( 2 1 8 ) 。c 是( 2 1 6 ) 中给定的区域。如果五是? 蝴一个特征值，满足 1 0 第二章p - 矩阵的研究现状 r e ( a ) 川 ( 2 1 7 ) c ) ec 枷( f ) i ( 2 1 8 ) 2 5 本章小结 在本章中，我们对p 矩阵的发展现状做了简单的介绍。首先给出了尸矩阵和昂 矩阵的一般定义，接着介绍了一些学者在此基础上延伸的等价概念和从线性问题 方面给出的定义。第二部分从r o w - p - p r o p e r t y 方面等简单介绍了一下p - 矩阵的性 质；接下来对只矩阵的子类进行了一个简单的归纳，最后把p - 矩阵子类的一些性 质运用于矩阵特征值的估计。有关p - 矩阵的一系列问题，这里只是简单叙述了一 部分。接下来的一章，我将在 2 】的基础上对只矩阵做进一步的研究，获得了一个 新的优于 2 】的特征值包含区域。 电子科技大学硕士学位论文 3 1 引言 第三章p 矩阵子类的一些推广 p - 矩阵是一类所有的主子式均为正的矩阵，是一类在工程和科学计算中有着 广泛应用背景的特殊矩阵类，因此得到多数学者的关注。b r a u e r 在 2 3 、e 2 7 、 2 4 中通过c a s s i n i 卵形域得到一个矩阵谱半径的包含集。这个结论在 2 5 、 2 4 、 2 6 中证明一个双对角占优的矩阵具有非零的行列式。 这里，我们感兴趣的是这些矩阵和他们的实特征值包含区域。上一章主要介 绍了最近出现的几个子类，以及推出的几个矩阵实特征值的包含区域。在这部分， 由 2 1 中d b 矩阵的定义推广出p _ 矩阵的新的子类s d b 一矩阵，这类矩阵包含了上 章出现的b 一矩阵和伽一矩阵。最后，被用来确立一个实矩阵的实特征值的包含区 域，改进了上章出现的定理2 4 2 。 3 2s d b 矩阵 一个矩嘞是对角占优矩阵，如果对每一个i = l ，r ，l a 盯l r ，( 彳) ；是双对角占 优矩阵，如果f j 缸，n , l a “忙矗l r ，( 彳) 吩( 彳) 。如果等式是严格的，我们说这 个矩阵分别是对角占优矩阵和严格双对角占优的矩阵。一个严格双对角占优矩阵 是非奇异的 3 。 曰一矩阵和伽一矩阵的定义在上一章节中已经叙述过，在这里我们将再次引用。 定义3 1 1 1 6 1 设a = ( a 甜) r “，彳肋- 矩阵当且仅当( f 1 ，刀 ) ( 口打一+ ) ( + 一口竹) ( 3 - 1 ) 七j 定义3 1 1 2 1 1 设a = ( 口。) r “8 ，彳形如( 2 5 ) 对于所有的尉角元满足 a 胜 0 ，那么么是伽矩阵( f j 1 ，刀 ) 当 ( 口- r j + ) ( 口f 一一) ( ( 彳- a 雎) ) ( ( 哆一口且) ) ( 3 - 2 ) k # i k j 定义3 1 2 设a = ( a 甜) r 麒”，c ? 形如( 2 5 ) 对于所有的埘角元满足a 肚 c ：， 那么么7 是伽矩阵( f j 1 ，行 ) 当 ( 一c j ) ( 口口一c ；) ( ( c j - a 船) ) ( ( c ；- a 灯) ) ( 3 - 3 ) 1 2 第三章p 矩阵子类的一些推广 定义3 1 3 设彳= ( 口。) r “，彳，c j 形如( 2 5 ) 对于所有的尉角元满足口址 c t 4 - 且口殷 ，那么彳是s d b 矩阵( i ， 1 ，甩 ) 当且仅当 ( a 盯一乃+ ) ( 口f f c ? ) ( 口f 一哆) ( 口f c ；) ( ( 矿一a i k ) ) ( ( c ? 一口艋) ) ( ( 一一口且) ) ( ( c j - a 材) ) ( 3 - 4 ) k ik i k jk j 由式( 3 1 ) 、( 3 2 ) 、( 3 3 ) 我们可以得到这样的包含关系 曰d bs s d b 现在我们引用以下的几个引理，对s d b 矩阵的性质作简单的介绍。 引理3 1 4 1 2 l j 设a = ( a 。) r ”，如黝严格对角占优并且具有j 下的对角元，则 d e t a 0 。 引理3 1 5 1 2 1 l 设a = ( a “) r 删4 ，如黝是一个非奇异肛矩阵，p 是一个n n 阶 矩阵且r a n k ( p ) = l ，那么0 0 。 ( 2 ) a 为p _ 矩阵。 证明口+ ，c 形如( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，a 是s d b 矩阵，则b + ，( b + ) r 均为严格对角 占优矩阵，所以d e t b + 0 。 由引理3 1 5 知d e t a = d e t ( 艿+ + c ) d e t b + 0 ； 因为b + 是个非奇异的必矩阵，由引理3 1 6 知么为p - 矩阵。 这里，如黝是不可约矩阵或者尸的所有元素都是正的，那么我们可以利用不 可约m 矩阵的逆的元素都是正的，证明0 ( ( f - a 膻) ) 2 ( ( 哆一口肛) ) 2 ； k 幸i k 事j 因为a 从 彳，有下式成立 ( 口。一r ) 五一彳) ( ( f - a 政) ) ( ( 彳一口业) ) ， k i k j 得证。 1 6 】中的定理3 5 得出了一个相似于g e r s c h g o r i n 区域的一个实矩阵的实特征值 电子科技大学硕士学位论文 的包含区域， 2 1 中把定理3 5 ( i ) 转化成这样一种形式：实矩阵的特征值包含在 这样一类集合中 r = u 毋，b t = 口盯一+ 一r i ( b + ) ，口一r 7 + r i ( b 一) 】 ( 3 5 ) i - i 每一个最区间叫做行b 区间。 1 6 中定理4 3 通过行列平均值来定位实矩阵特征值的实部。同样，我们可以把 它转换成这样的形式： r e ( a ) s ：= u k ，屏l f = l ，刀， ( 3 - 6 ) i = 1 其中 口f ：= m i n ! a 豇一+ 一r f ( b + ) ，口盯一c ? - c t ( b + ) j 屏：= m a ) 【扛甜一彳+ r ( 召一) ，a 厅一一q 伊一) j 2 1 】中定义了一类面矩阵，得到一个类似于b r a u e r 定理的c a s s i n i 卵j 型域的实 矩阵的实特征值包含区域。接下来我们将定义一类s d b 矩阵，对 1 6 】、【2 l 】中的特 征值问题进行补充。 3 3 实特征值的包含区域 在这里，类似【2 1 】中定义了一类和d b 矩阵相关的非奇异的面矩阵，这里我们 将定义一类s d b 矩阵相关的一类非奇异矩阵，并且用来定位一个实矩阵的实特征值 的包含区域。首先，我们介绍一下著名的关于主子式问题的b a l l a n t i n e 。f i s h e r - f u l l e r 定理。 定理3 2 1 3 2 1 诎为n 阶实的或复的矩阵，糊的所有顺序主子式均非零，则存 在对角矩阵d ，使釉的所有特征值是实正数，且严格分离。 定义3 2 2 我们说一个矩阵是s d b 矩阵，若它能写眦的形式，其中d 是个元 素仅为 1 ，1 ) 的对角矩阵，彳是s d b 矩阵。 我们知道矩阵d 和矩翰均是非奇异的矩阵，因此很容易得出s d b 矩阵也是非 奇异的。 定理3 2 3 设a = ( a f ，) r 艄“，且具有非零的对角元，c ，形如( 2 7 ) 。那么 彳是s ：面矩阵当且仅当k l i l 且l 口甜i i c k l ，k = l ，刀且对于 1 ，刀) 中的所有的 i j 都有 i 口甜一8 口盯- - c ，i l a - 乃l l a 口一c ，l ( l - a 跃i ) ( f c ；- a 舡1 ) ( l o 一口业i ) ( i c ，- - a # i ) 。 1 4 第三章只矩阵子类的一些推广 证明设d 是一个对角元属于 1 ，- 1 ) 的对角矩阵，r ，彳形如( 2 5 ) 、( 2 6 ) 。 当a f f o 时，d a 的第i 行形如( 口f l ，a 加) ； 当a 豇 0 ，则k l h 成立当且仅当a 拄 矿； 如果a 筇 l r j i 成立当且仅当a 撑 0 ，a 0 ，那么 ( a h r i ) ( 口“一c t ) ( a 口一一) ( 口口一c ；) ( ( 矿一口膻) ) ( ( c ? 一a k i ) ) ( ( 哆一口弛) ) ( ( c ；一口舻) ) 如果a 抒 0 ，a 口 ( ( f a i k ) ) ( ( 0 一口盯) ) ( ( 一哆- - ( - a # ) ) ) ( ( - c y 一( 一口耵) ) ) k * ik * i k jk j 如果 0 ，那么 ( 一a 豇一( 一吒一) ) ( 一口甜一( 一c f ) ) ( 口一r j ) ( a 一c j ) ( ( 一一- ( - a 膳) ( 百一( - 口材) ) ) ( ( 彳一口且) ) ( ( 一口村) ) k ik t i k t jk j 所有的形式都满足定理3 1 3 相应的形式，所以结果成立。 我们都知道，非奇异性给以否定的回答就会获得一些等价的特征值包含区域。 类似于j m p e f i a 对盖尔圆和卵形域的改进，我们同样可以用来定位一个实矩阵的 特征值包含区域。 定理3 2 4 设a = ( d e ) r 艄”是一个实矩阵，f ，形如( 2 5 ) 、( 2 - 6 ) 。让 c ：；p 打一+ ，a 甜一一j ，f 歹，i = - - - n 那么么的所有实特征值属于( 假定a 2 ) f - ( u g ) u ( u 白) ， i = l倍 其中，白：_ u f ；u f ； 旬1 z ( ，口盯) ：l 口盯一乃+ 一卅l 口打一0 一叫l 口一彳- 4 a 一c 一卅 r ，( 曰+ ) c ：( b + ) 尺，( b + ) c ，( b + ) ) 1 5 电子科技大学硕士学位论文 旬i - - x e ( a 。，口) ：i 口。- r t 一- - x l | a 。- c ；- - xa - r ；一刊l 口一一卅 r ，( b 一) c i ( b 一) r ，( b + ) c ，( b + ) ) 菇：= 伽 。，o o ) ：i a 。一一一叫i 嘞一百一z 忙且一下- x i i a 一丐一纠 尺，( b 一) c l ( b 一) r j ( b 一) c ( 召一) ) 证明设五是么的一个实特征值，实矩阵4 一甜和彳有相同的非对角元。 我们假设兄叠f ，则允仨( uc f ) 和允诺( u 白) 。 i - - i 净 如果五萑( uc f ) ，则对任意f = l 以有k 甜- 2 i 吒； 如果五g ( u o ) ，则由定理3 2 3 有彳一舡是舡厉矩阵，因为如画矩阵非奇异， l 幸j 所以a 一刀非奇异于允是么的实特征值矛盾。所以，允b 。 在这里，这个定理同样可以用来定位一个具有实特征值的实矩阵的谱。例如 一些具有实的谱半径的特殊矩阵，对称矩阵、规则的符号矩阵等。如果一个n x n 的 实矩阵是符号矩阵，对每一个后= 1 ，n ，所有的k k 阶主子矩阵的行列式都有相 同的符号。如果对于任意的k 都有这个符号是正的，这个矩阵叫做正定的。 3 4 数值例子 在这里，这个定理是对文【1 6 】中的盖尔圆定理，文 4 】中的c a s s i n i 卵形域以及 文 2 1 】中的定理3 3 关于实特征值包含域的一个补充。例如， 例3 3 1 考虑矩阵 彳= 三 三 三 盖尔圆定理 - 4 ，1 2 c a s s i n i 卵形域【4 一历，4 + 历】 定理2 4 1 - 6 ，1 2 定理2 4 2 【- 2 ，4 + 压】 定理3 2 4 - 2 ，10 7 2 7 1 】 对比上面这些区间，我们可以很容易看出定理3 2 4 的包含区域要更接近于真 实值。 1 6 第三章p 矩阵子类的一些推广 3 5 本章小结 在本章中，我们由 2 1 】中对d b 矩阵的定义以及a r 为d b 矩阵的条件进行综合， 得出了一个特殊的d b 矩阵，即s d b 矩阵。文章中，我们证明了s d b 矩阵的非奇 异性，并且证明了s d b 矩阵是p - 矩阵。接下来我们类似d b 矩阵又定义了一类和 s d b 矩阵密切相关的矩阵，证明了一个类似于b r a u e r 卵形域的实矩阵的实特征值 包含区域。 p 矩阵的研究还有很多问题没有解决，而且由于它在工程问题上应用的广泛 性，吸引了越来越