（概率论与数理统计专业论文）robust+designs+for+approximately+linear+regression+models+with+correlated+errors.pdf

中文摘 要 摘要 经典最优设计理论假定响应曲面为真，不同试验点之间相互独立。但实际情况比较复 杂，响应曲面可能存在偏差，试验观察值之间也可能存在相依性。因此经典理论得到的 设计就存在一定的风险性。为降低设计风险，本文从一般模型出发研究模型的稳健试验 设计问题。着重考虑了不同偏差函数和误差结构下获得最优设计的设计准则，并通过实 例考察了不rp 设计准则下设计的稳健性。 第二章，假定试验所得观察值由两部分组成，一是真实响应部分 ( 包括线性部分和 偏差部分)，其由 近似线性函数表示，另一部分是观察误差。具体的，假设真实响应部 分来自 再生核h i lb e r t 空间， 且不同点的观察误差之间是不独立的，其相关结构由9 阶滑 动平均过程拟合。我们着重考虑e 二1 和4 =2 的情况。在来用响应曲面部分参数的最 小二 乘 估计的均方误差( m s e ) 作为损失函 数的 条件下， 我们利用极小极人方法给出了 获得 最优稳健设计的设计准则，证明了真实响应曲面为乘积 h e n n i t e 多项式函数时，设计准 则具有正交性。通过计算给出了不同方差结构下设计点的分布图。在协方差给定的条件 下，我们将本章获得的最优设计与经典最优设计 ( 独立方差假设模型下的最优设计)作 了比较，并将它们的效率列于表格中。结果表明全偏差设计对复合试验设计有着良 好的 近似。 因 此在 权重 参数不太确定的 情况 下， 可用 来 代替复 合设 计。 类同 于w e in s ( 1 9 9 9 ) 和 2 h o u ( 2 0 0 1 c ) 的结 论， 我们发现我们的 设 计准则的效 率与 过 程参数的 符号 有密 切的 关系。 当试验者对符号有正确认识时，所得设计完全好于经典设计。 第三章，采用再生核空间方法研究模型的稳健设计问 题假定不同点的观察值仍由 真 实响应和误差两部分组成，其中近似性线性函数部分可以是满足一定可积条件的实值函 数，而偏差函数来自 测度为尸的随机函数空间r c ， 并同时认为误差是相关的。我们在考虑 预测误差最小的基础上给出了获得最优设计的稳健设计准则。在稳健性研究部分，着重 考察了s o b o l e v - h i l b e rt空间中的一个例子。 我们研究了 两种不同的误差结构，数值结果表 明:在协方差距阵已知的条件下，设计的好坏依赖于权重参数久 ，当 a 较小但不小于0 时， 全偏差设计优于全方差设计，而当八 较大但不大于1 时，全方差设计要优于全偏差设计。 对于某些特殊的误差结构，设计具有非常好的稳健性。 第四 章，我们利用b a y e s i a n 方法求解一般模型的最优稳健设计。所考虑的模型类 同与第二章，误差结构与第二章一样由 4 - 阶滑动平均过程拟合。与前面都不同是本章 考虑的设计空间由有限设计点构成。在这一章，我们首次在相依误差设计问题中引入 b a y e s ia n 方 法。 假定过程参数服从某一特定的分布如截尾正态分布。 在考虑先验风险 最 小的原则 下， 给出了获得设计的b a y e s i a n 设计准则。考虑到不同 情况下 获得设计所需计 算量不同， 我们给出了三种不同的算法。为考察设计准则的有效性和稳健性，我们将不 同先验下m b a y e s i a n 设计与经典的等方差设计和部分标准设计作了比较。数值结果表 第i 页 中文摘要 明， b a y e s i a n 设计优于经典的 等方差设计和部分标准设计， 尤其在对过程参数有正 确的 先验的条件下，其优越性更加明显。 关键词:稳健设计，再生核h i lb e r t 空间， 滑动平均过程， h e r m i t e 多项式，相关误差， b a y e s i a n 设计，自 相关，协方差核，退火算法 第n 页 英文摘 要 ab s t r a c t i n o p t im u m d e s i g n t h e o r y , m a n y r e s u l t s h a v e b e e n o b ta i n e c o r r e c t r e s p o n s e a n d h o m o s c e d a s t i c it y . b u t t h i s a s s u m p t i o n i s 1 u n d e r t h e a s s u m p t i o n o f e x a c t l y n o t a l w a y s c o r r e c t . i n m o s t s i t u - a t i o n s , a n u n k n o w n b i a s o r c o n t a m in a t i o n m a y e x is t b e t w e e n t h e a s s u m e d r e s p o n s e a n d t h e t r u e r e s p o n s e ， s o i t s m o r e d a n g e r o u s t o p u t t h e d e s i g n o b t a in e d f r o m t h e i d e a l m o d e l i n t o p r a c t i c e , t o r e d u c e t h e r i s k , w e s t u d y t h e m o d e l - r o b u s t d e s i g n p r o b l e m f o r g e n e r a l m o d e ls w it h a n u n k n o w r b i a s o r c o n t a m i n a t i o n a n d t h e c o r r e l a t e d e r r o r s . we d e r i v e t h e c r i t e r i a t o o b t a i n t h e r o b u s t o p t i m a l d e s i g n s u n d e r d i f f e r e n t a s s u m p t i o n s t o t h e b i a s f u n c t i o n s a n d t h e e r r o r s t r u c t u r e s a n d i n v e s t ig a t e t h e r o b u s t n e s s o f t h e d e s ig n s g o tt e n f r o m t h e c r i t e r i a t h r o u 沙n u m e r i c a l e x a m p l e s . i n c h a p te r 2 , w e a s s u m e t h a t t h e o b t a in e d o b s e r v a ti o n s c o n s i s t o f tw o p a 滋 ， o n e is th e tr u e r e s p o n s e , t h e s u m o f t h e l i n e a r p a r t a n d t h e b i a s p a r t , w h i c h i s e x p r e s s e d b y a p p r o x i m a t e l y l i n e a r f u n c t io n s , t h e o t h e r i s t h e r a n d o m e r r o r s c a u s e d b y i n c o r r e c t o b s e r v a t i o n . w e s u p p o s e t h e t r u e r e - s p o u s e f u n c t io n c o m e s fr o m a r e p r o d u c in g k e rn e l h i lb e r t s p a c e a n d t h e e r ro r s a r e fi tte d b y t h e q th o r d e r m o v i n g a v e r a g e p r o c e s s , ma ( q ) . we e m p h a s i s t h e c a s e s w i t h q =i a n d q 二2 . t a k i n g t h e a v e r a g e e x p e c t e d q u a d r a t i c l o s s f o r t h e l e a s t s q u a re s e s t im a t io n a s t h e l o s s fu n c t i o n , w e d e v e l o p a d e s i g n c r it e r io n f o r g e tt i n g r o b u s t d e s ig n s b y u s i n g a m i n i rn a x m e t h o d . w e a l s o p r o v e t h e f a c t t h a t w h e n t h e t r u e re s p o n s e i s fi tt e d 妙t h e t e n s o r p r o d u c t s o f h e r m i t e p o ly n o m ia l , o u r c r it e r i o n h a s t h e o r th o g o n a l p r o p e r ty . we g iv e t h e c a l c u l a t e d d e s i g n s in d i a g r a m m a t i c r e p r e s e n t a t i o n . g iv i n g t h e t r u e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t ri x , w e c o m p a re o u r d e s i g n s w it h th e c la s s i c a l d e s i g n s o b t a i n e d u n d e r t h e l id a s s u m p t i o n , a n d . m c ie n c ie s a r e g iv e n i n t a b l e s . t h e r e s u lt s s h o w t h a t a l l - b ia s d e s ig n h a s a p e r f e c t a p p r o x i m a t i o n t o t h e c o m p o u n d e d d e s i g n s a n d c a n b e u s e d w h e n t h e w e ig h t e d p a r a m e t e r is u n c e r t a i n t y . s im i l a r t o t h e c o n c lu s i o n s o f w i e n s ( 1 9 9 9 ) a n d z h o u ( 2 0 0 1 c ) , n u m e r i c a l r e s u l t s s h o w t h a t t h e p e r f o r m a n c e o f o u r c r i t e r i a h a s s o m e r e l a t io n t o t h e s i g n s o f t h e p r o c e s s p a r a m e t e r s a n d w h e n a p r io r t o t h e m i s e l i c i t e d c o r r e c t l y , th e o p t im a l d e s i g n s o b ta i n e d th r o u g h o u r c r i t e r i a c a n b e b e tt e r t h a n t h e c l a s s i c a l o p t i m a l d e s i g n s . i n c h a p t e r 3 , w e s t u d y t h e m o d e l - r o b u s t d e s i g n p ro b l e m b y a p p ly i n g th e r e p r o d u c i n g k e rn e l s p a c e a p p r o a c h . w e s t i l l a s s u m e t h e o b s e r v a t io n s f o r m e d b y t h e tr u e r e s p o n s e a n d t h e r a n d o m e r r o r s玩o u r m o d e l , t h e a p p r o x i m a t e l y l in e a r f u n c t i o n c a n b e a n y r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s a t i s f y in g s o m e c o n d i t io n s , t h e b i a s i s u n k n o w n a n d fr o m s o m e c l a s s 7 w i t h a p r o b a b i l i t y m e a s u r e p , a n d th e c o r r e la t e d e r r o r s a r e c o n s i d e re d . we d e r iv e a d e s i g n c r it e r io n i n t e r m s o f t h e a v e r a g e e x p e c t e d q u a d r a t i c lo s s f o r g e n e r a l i z e d l e a s t s q u a r e s e s t im a t i o n . i n t h e s e c t i o n o f n u m e r i c a l e x a m p l e s , w e m a i n ly in v e s t i g a t e t h e e x a m p l e s i n s o b o l e v - h i l b e r t s p a c e . we in v e s t i g a t e t w o d i ff e r e n t s t r u c t u r e s f ro m t h e n u m e r i c a ; e x a m p le s , w e fi n d t h a t w h e n t h e c o v a r ia n c e m a t r i x i s k n o w n , t h e a v e r a g e 第i i i 页 e x p e c t e d l o s s d e p e n d s o n t h e w e i g h t e d p a r a m e t e r a . f o r s m a l l v a lu e o f a i n ( 0 , 1 ) , t h e a ll - b i a s d e s i g n i s b e t t e r t h a n t h e a l l - v a r i a n c e d e s i g n , a n d f o r t h e l a r g e v a l u e o f a , t h e a l l - v a r i a n c e d e s i g n i s b e tt e r . f o r s p e c i a l s t r u c t u r e o f t h e c o v a r i a n c e m a t r i x , t h e d e s i g n s a t t a i n e d t h r o u g h o u r c r i t e r i o n s e e m mu c h mo r e r o b u s t . i n c h a p t e r 4 , o p t i m a l d e s i g n s a r e d e r iv e d w h e n t h e t r u e m o d e l a r e a s s u m e d a p p r o x im a t e l y l i n e a r a n d th e e r r o r s a r e c o r r e l a t e d f o r t h e r e s p o n s e f u n c t i o n e s t im a t i o n b y u s in g a b a y e s i a n a p - p r o a c h . t h e c o r r e l a t e d s t r u c t u r e i s , a s in c h a p t e r 2 , t h e q t h d e g r e e m o v i n g a v e r a g e p r o c e s s , m a ( q ) , e s p e c i a l f o r q =1 , 2 . d i f f e r e n t w i th t h e f o r m e r t w o c h a p t e r s , w e r e s t r i c t o u r d e s i g n s p a c e h a s fi n i t e d e s i g n p o i n t s . i n t h i s c h a p t e r , w e fi r s t c o n s i d e r t h e b a y e s i a n m e t h o d i n t h e d e s i g n i s - s u e o f t h e c o r r e l a t e d e r r o r s m o d e l . we a s s u m e t h e p r o c e s s p a r a m e t e r s h a v e a p r i o r s u c h a s t h e c e n s o r e d n o r m a l d i s t r i b u t i o n . t o m i n i m i z e t h e p r i o r r i s k , w e d e r i v e t h e b a y e s i a n r o b u s t d e s i g n c r i t e r ia . w e d e v e l o p t h r e e m e t h o d s t o c o m p u t e t h e b a y e s i a n r o b u s t d e s i g n s . w e c o m p a r e t h e b a y e s i a n d e s i g n s d e r iv e d w it h v a r io u s p r i o r s w it h t h e c la s s ic a l d e s ig n s w it h r e s p e c t t o t h e s p e c i fi c c o r r e l a t e d s t r u c t u r e . t h e r e s u l t s s h o w t h a t a n y p r i o r k n o w l e d g e a b o u t t h e s i g n o f t h e m a ( q ) p r o - c e s s p a r a m e t e r s le a d s t o d e s ig n s t h a t a r e c o n s i d e r a t e ly m o r e e ff i c ie n t t h a n t h e c l a s s ic a l o n e s b a s e d o n h o m o s c e d a s t i c a s s u m p t i o n k e y wo r d s : r o b u s t d e s i g n s , r e p r o d u c i n g k e rn e l h i l b e r t s p a c e , mo v i n g a v e r a g e p r o c e s s , h e r - m i t e p o l y n o m i a l , c o r r e l a t e d e r r o r s , b a y e s i a n d e s i g n s , a u t o c o r r e l a t i o n , c o v a r i a n c e k e rn e l , a n - n e a l i n g a l g o r i t h m . 丫7 0 j i 9 1 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了 解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即:学校有权保留送 交 论文 的 复 印 件， 允 许论 文 被 查 阅 和 借 阅 : 学 校 可以 公 布论 文 的 全 部 或 部 分内 容， 可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名 日期 一 雄场 二 - - ? - r, - * - 井 导师签名 日期 c h a p t e r i n t r o d u c t io n c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n i n t h i s p a p e r , w e s t u d y d e s i g n s f o r r e g r e s s i o n m o d e l s , w it h a n e y e t o a tt a i n i n g r o b u s t n e s s a g a in s t t w o v i o l a t i o n s o f t h e c l a s s i c a l a s s u m p t i o n s : ( i ) t h e r e s p o n s e i s t a k e n t o b e o n l y a p p r o x im a t e l y li n e a r i n t h e r e g r e s s o r s , 试 x 刁二e y x 月 十 : 、 ，: =1 ， 一， 二 e y 二 ， =9 ( 二 、 ) 0 + h ( x j ) ( 1 一 1 ) f o r a p - d i m e n s i o n a l v e c t o r g o f r e g re s s o r s , d e p e n d i n g o n a q - d i m e n s i o n a l v e c t o r x o f in d e p e n d e n t v a r i a b l e s . t h e r e s p o n s e e r r o r f u n c t i o n h r e p r e s e n t s u n c e rt a i n t y a b o u t t h e e x a c t n a t u r e o f t h e r e g r e s s i o n r e s p o n s e . o n e e s t i m a t e s 0 b u t n o t h , l e a d in g t o t h e b i a s e d e s t im a t i o n o f e y 二 ， ( i i ) t h e r a n d o m e r r o r s , w i t h z e r o m e a n , a r e c o r r e l a t e d v a r 同=cr 2 p( i 一 2 ) w h e re: 二( 。 ( 二 、 ) ， 一 ， : ( 二 二 ) ) ， a n d p i s th e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e m a t ri x o f t h e e r r o r v e c t o r 日 v i o l a t i o n ( i ) i s c o m m o n l y d e a lt w i t h a t t h e d e s i g n s t a g e . t h e m o d e l - r o b u s t d e s i g n p r o b - le m h a s b e e n s t u d ie d 勿m a n y a u t h o r s , w h o s e in v e s t i g a t io n s d i ff e r i n s p e c i fi c a t io n o f t h e c 7 t , w h ic h c o n s i s t s o f t h e b i a s f u n c t i o n h . a n a p p r o a c h i n i t i a t e d i n th e s e m in a l w o r k o f la s s , 直 j ox a n d d r a p e r ( 1 9 5 9 ) w h o , w it h k ie f e r ( 1 9 7 3 ) , r e s t r i c t t h e ir a n d c o n t i n u e d b y h u b e r ( 1 9 7 5 ) , m a r c u s a n d s a c k s ( 1 9 7 8 ) , a tt e n t i o n s t o fi n i t e d i me n s i o n a l 1 l . ( 1 9 8 2 ) , l i ( 1 9 8 4 ) , wi e n s ( 1 9 9 0 , 1 9 9 2 ) , y u e a n d h i c k e r n e l l e r s . t h e l a t e r m e n t i o n e d a u t h o r s p u t t h e i r a tt e n t i o n s t o t h e p e s o t c h i n s k y ( 1 9 8 2 ) , l i a n d n o t z ( 1 9 9 9 ) , y u e ( 2 0 0 2 ) a n d s o m e o th - i n fi n i t e d i me n s i o n a l 9 -l . s o me o f t h e m t a k e 7 = h: i h ( 二 ) 0 ( 二 ) ， 二x w it h v a r i o u s a s s u m p t i o n s b e in g m a d e t h e d e s i g n s c o n s t r u c t e d a p p e a r t o b eq u i t e s e n s i t iv e t o t h e a s s u r e d f o r m o f 叭t h e 7 i = h : f x h ( x ) 2 d x ( 二 ) h ( 二 ) d x=0 j=， p . h e r e t h e s e c o n dc o n d it i o n e n s uid e n t ifi a b i l it y o f t h eb u t t h i s s p e 7 l i s a s s u m e d c i fi c a t i o n i s( 叭隽 o n l y d e s ig n s w h i c h a r e a b s o lu t e l y c o n t i n u o u s o n xh a v e a fi n i t e l o s s . t h e rea s o n i s a fi l i n c l u d e s h w h i c h h a s a n a r b i t r a r i l y h i g h晒k e a b o v e a n y p o i n t s in x. t h e re v i e w b y c h a n g a n d n o t z ( 1 9 9 6 ) p r o v i d e s a g o o d s u m m a r y o f t h e p r e v io u s w o r k i n t h i s s u b j e c t . t o a v o id t h i s l i m i ta t i o n , y u e a n d h ic k e r n e l l ( 1 9 9 9 ) g iv e a m o r e r e a s o n a b le a s s u m p t i o n o f h . t h e y s e 9 -t i s a re p r o d u c i n g k e r n e l h i lb e rt s p a c e a d m it t i n g a r e p ro d u c i n g k e r n e l k ( 二 ， ， ) a n d a n i n n e r p r o d u c t ( , ) . t h e y u s e t h e r e p r o d u c i n g k e rn e l s p a c e m e t h o d t o g e t t h e r o b u s t d e s i g n s . y u e ( 2 4 0 2 ) a d o p t s a n d p r a c t i c a l a n a s s u m p t i o n o f t h a t hi s a s p a c e o f r a n d o m f u n c t i o n s . t h a t i s m o r e r e a s o n a b l e 玩t h i s p a p e r , w e l l c o n t i n u e t o s t u d y t h e s e t w o a s s u m p t io n s wh e n t h e e r r o r s a r e c o r r e l a t e d , a s s h o w n in ( 1 - 2 ) , t h e m o d e l - r o b u s t d e s i g n s b e c o m e c o m p l i - c a t e d . t h e m o s t e l e g a n t re s u l t s i n t h i s d o m a i n h a v e b e e n o b t a i n e d i n a s e r i e s o f p a p e r s s t a r t e d 衍 s a c k s a n d y lv i s a k e r ( 1 4 6 6 ) , w h o s e a p p r o a c h i s a s y m p t o t i c a l i n t h e s e n s e t h a t t h e r a t e o f i n - c r e a s e o f i n f o r m a t i o n i s u s e d a s t h e d e s i g n c r i t e r i o n . a n o t h e r s u g g e s t i o n g o e s b a c k t o b i r mk u i o v e t a l . ( 1 9 8 0 ) , w h o h e u r i s t i c a l ly e x t e n d i d e a s fr o m w e l l - k n o w n a lg o r i t h m i c a p p r o a c h e s t o t h e c o r - r e l a t e d c a s e . c o n s t a n t i n e ( 1 9 8 9 ) o b t a i n d e s i g n s f o r a s p e c i a l c a s e o f ( 1 - 1 ) u n d e r a l a g - o n e s e r i a l c o r r e l a t i o n m o d e l f o r t h e e r r o r s . wh e n n o r e p p r e s e n t a t h e o r e m w h i c h d e m o n s t r a t e s t h a t t h e c c i i c a t i o n s a re p o s s i b l e , p a z m a n a n d m u l l e r ( 2 0 0 1 ) m p u t a t i o n o f o p t i m u m e x a c t d e s i g n s c o r r e s p o n d s t o s o l v i n g m i n i m i z a t i o n p r o b l e m s i n t e r m s o f d e s i g n m e a s u r e s . f o r re c e n t d e t a i l e d s u r v e y o f t h e a b o v e a n d s o me a l t e rna t i v e me t h o d s s e ec h a p t e r s o f mil l e r 第1 页 ( 2 0 0 2 ) . u n f o r t u n a t e ly , m o s t w o r k a f o r e m e n t io n e d j u s t a s s u m e s t h e fi tt i n g r e s p o n s e i s e x a c t , w h ic h s e l d o m o c c u r s i n p r a c t ic a l . f o r a p p r o x i m a t e r e g r e s s i o n m o d e l s , w i e n s a n d z h o u ( 1 9 9 6 ) p r o p o s e a m i n i m a x m e t h o d t o g e t th e r o b u s t d e s i g n s w h e n t h e e r r o r s a r e a u t o c o r r e l a t e d . i n h a v i n g m o r e i n f o r m a t i o n , wi e n s a n d z h o u ( 1 9 9 9 ) d i s c u s s e s t h e r o b u s t d e s i g n s f o r m o d e l s w i t h a r ( 1 ) p r o c e s s e s . z h o u ( 2 0 0 1 a ,b ) in v e s t i g a t e t h e r o b u s t d e s i g n s f o r m o d e l s w i t h m a p r o c e s s e s . i n t h i s p a p e r , w e t a k e a n o t h e r m e t h o d t o o b t a i n t h e r o b u s t d e s i g n s f o r t h e a p p r o x i ma t e r e g r e s s i o n mo d e l wi t h c o r r e l a t e d e r r o r s . we ma i n l y d i s c u s s t h e e r r o r s c o m i n g f r o m ma p r o c e s s e s . we a r r a n g e o u r p a p e r a s f o l l o w : i n f r o m a r e p r o d u c in g k e r n e l h i l b e r t s p a c e p r o c e s s , ma ( q ) . we w i l l e m p h a s i s t h e c h a p t e r 2 , we a s s u m e a n d t h e e r r o r s a r e fi t t e d t h e t r u e r e s p o n s e f u n c t i o n c o m e s b y t h e q th o r d e r m o v i n g a v e r a g e c a s e s w i t h q= 1 a n d q=2 . i n b o t h s i t u a t i o n s , we d e v e l o p a d e s i g n c r i t e r i o n i n t e r m s o f t h e a v e r a g e e x p e c t e d q u a d r a t ic l o s s f o r t h e l e a s t e s t i m a t i o n b y u s i n g a m i n i m a x m e t h o d . i n c h a p t e r 3 , w e s q u a r e s b y a p p l y i n g t h e r e p r o d u c i n g k e rne l s p a c e a p p r o a c h . we o r c o n t a m i n a t i o n f r o m s o me c l a s s 7 w i t h a p r o b a b i l i t y s t u d y t h e m o d e l - r o b u s t d e s i g n p r o b l e m a s s u me t h e mo d e l h a s a n u n k n o wn b i a s m e a s u r e p , a n d t h e c o r r e l a t e d e r r o r s c o n s i d e r e d . we d e v e l o p a d e s i g n c r i t e r io n i n t e r m s o f t h e a v e r a g e e x p e c t e d q u a d r a t i c l o s sa refo r g e n e r a l i z e d l e a s t s q u a r e s e s t i m a t i o n . i n c h a p t e r 3 , o p t i m a l d e s i g n s a r e d e r i v e d w h e n t h e m o d e l a r e a s s u m e d a p p r o x i m a t e l y l i n e a r a n d t h e e r r o r s a r e c o r r e l a t e d f o r r e s p o n s e f u n c t i o n e s t i m a t i o n b y u s i n g a b a y e s i a n a p p r o a c h . t h e c o r r e l a t e d s t r u c t u r e i s t h e q th d e g r e e m o v in g a v e r a g e p r o c e s s , m a ( q ) , e s p e c i a l f o r q = 1 ,2 . t h e b a y e s i a n d e s i g n s d e r i v e d w i t h v a r i o u s p r i o r s a r e c o m p a r e d t o t h e c l a s s i c a l d e s i g n