（概率论与数理统计专业论文）几类变分不等式和算子方程的算法研究.pdf

l j 1 弋 i r a 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 ， 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：到确 日期：翮霹弓 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年n一年口一年半r l两年口 学位论文作者签名：司询 签字日期：如8 7 多 导师签名： 签字日期： 州) r【-rii 1叫j1 j 东北大学硕士论文 摘要 几类变分不等式和算子方程的算法研究 摘要 2 0 世纪6 0 年代，l i o n s 和s t a m p a c c h i a 创立了变分不等式理论。8 0 年代以来，作为 现代偏微分方程理论重要部分的变分不等式理论得到了广泛的发展。变分不等式理论被 广泛应用于研究力学、控制论、经济数学、对策论和最优化中的许多重要问题。 本文介绍了变分不等式理论发展的历史背景、研究现状及本文所做的工作。讨论了 两种类型的变分不等式的迭代算法。其中第二章讨论了广义集值混合拟变分不等式，建 立了寻求其近似解的一类迭代算法，并利用预解算子方程和极大单调算子的性质证明了 由此算法生成的近似解序列的收敛性。第三章讨论了随机广义集值混合拟变分不等式， 提出了解这类不等式的三阶迭代算法，并证明了由此算法生成的近似解序列的收敛性。 最后，在一致光滑b a n a c h 空间中，讨论了非线性算子方程问题，提出了方程的三阶有 偏差修正迭代法，证明了该算法的收敛性，讨论了关于强伪压缩算子的有偏差修正n o o r 迭代法和有偏差m a n n 迭代法的等价性。本文的结果可以看成对以往一些相应结果的推 。广和提高。 关键词：变分不等式；迭代算法；随机变分不等式；非线性算子方程 n 东北大学硕士论文 a l g o r i t h mr e s e a r c h e so ns e v e r a lc l a s s e so f v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i l i e s a n do p e r a t o re q u a t i o n s a bs t r a c t i nt h e19 6 0 s ，l i o n sa n ds t a m p a c c h i ac o n s t r u c tt h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r y s i n c e t h e19 8 0 s ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r y , 鹤o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tp a r to fm o d e mp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，h a sb e e nw i d e l yd e v e l o p e d v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r yi se x t e n s i v e l y u s e di ne l a s t i c i t y , c o n t r o lt h e o r y , e c o n o m i cm a t h e m a t i c s ，g a m et h e o r ya n dt h eo p t i m i z a t i o n i nt h i sp a p e r ，t h eb a c k g r o u n do fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r ya n dr e c e n ts i t u a t i o no f r e s e a r c ha r ei n t r o d u c e d t h ei t e r a t i v ea l g o r i t h m so ft w ot y p e so fv a r i t i o n a li n e q u a l i t i e sa r c d i s c u s s e d i nc h a p t e r2 ，t h eg e n e r a l i z e ds e t - v a l u e dm i x e dq u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi s e x p l o r e d , an e w i t e r a t i v ea l g o r i t h mt os o l v et h i sk i n do fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi sc o n s t r u c t e d a n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h mi sp r o v e d i n c h a p t e r3 ，t h er a n d o mg e n e r a l i z e ds e t - v a l u e dm i x e dq u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi ss t u d i e d , a t h r e e - s t e pi t e r a t i v em e t h o di ss u g g e s t e d , a n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h e i t e r a t i v es e q u e n c e s g e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h mi sp r o v e d f i n a l l y t h en o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n sp r o b l e mi s s t u d i e di nt h eu n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e am o d i f i e dt h m e - s t e pi t e r a t i v em e t h o dw i t h e r r o r sf o rn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n si ss u g g e s t e d ，t h ec o n v e r g e n c eo ft h ea r i t h m e t i ci s p r o v e da n dt h ee q u i v a l e n c eb e t w e e n t h ec o n v e r g e n c eo fm o d i f i e dn o o ri t e r a t i o n sw i t he l t o r 8 a n dm o d i f i e dm a n ni t e r a t i o n s w i t he r r o l si sd i s c u s s e df o r s t r o n g l ys u c c e s s i v e l y p s e u d o - c o n t r a c t i v eo p e r a t o r s t h er e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e re x t e n da n di m p r o v em a n y c o r r e s p o n d i n g r e s u l t si n t h el i t e r a t u r e k e yw o r d s ：v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；i t e r a t i v ea l g o r i t h m ；r a n d o m v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y ；, n o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n s i ， 2 4 广义集值混合拟变分不等式解的算法的收敛性证明1 6 2 5 本章小结2 l 第3 章随机广义集值混合拟变分不等式解的算法。2 3 3 1 预备知识2 3 3 2 随机广义集值混合拟变分不等式2 5 3 3 随机广义集值混合拟变分不等式解的迭代算法2 5 3 4 随机广义集值混合拟变分不等式解的算法的收敛性定理。2 6 3 5 本章小结3 2 第4 章非线性算子方程的三阶有偏差修正迭代法3 3 i v 东北大学硕士论文 目录 4 1 动j ! 名 矢口识3 3 4 2 非线性算子方程的三阶有偏差修正迭代法的收敛性证明3 4 4 3 有偏差修正n o o r 迭代法和有偏差修正m a n n 迭代法的等价性证明3 8 4 4 本章小结。4 1 第5 章结论4 3 5 1 结论4 3 5 2 今后研究工作的展望4 3 参考文献。4 5 致谢4 9 攻读硕士学位期间发表的论文5 1 v 东北大学硕士论文第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 变分不等式的发展 “变分不等式 的英文为“v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ，也有人译为“变分不等方程 。 它起源于数学物理问题和非线性规划问题。变分不等式问题( v i p ) 是应用数学中一个十 分重要的研究领域，是偏微分方程的一个重要分支。 2 0 世纪6 0 年代，l i o n s 和s t a m p a c c h i a 等人创建了变分不等式理论。h a r t m a n 和 s t a m p a c c h i a 等人在创建变分不等式理论的基础之初提出和研究了第一个变分不等式： 设k 是掣中的有界闭凸集，b ：k - - - r “是一连续映像，求i k ，使得： ( 曰i ，v - t ) 0 ，v v k ( 1 1 ) 该变分不等式被称为h a r t m a n s t a m p a c c h i a 变分不等式，并在有限维空间中讨论其 解的存在性，这一变分不等式与极值理论和微分方程紧密相关。 后来b r o w d e r 和l i o n s 等人将其推广到无穷维空间。作为h a r t m a n 。s t a m p a c c h i a 变分 不等式理论的发展和深化，1 9 7 6 年b r o w d e r 在局部凸拓扑线性空间上讨论了如下形式的 变分不等式： 设k 是一局部凸拓扑线性空间e 中的紧凸集，丁是足一e + ( f 为e 的共轭空间) 的连续映像， ( t u ，v - u ) 0 ，v v k 该变分不等式称为b r o w d e r - h a r t m a n s t a m p a c c h i a 型变分不等式，并研究了其解的存 在性问题。 l i o n s ，s t a m p a c c h i a 首先提出椭圆变分不等式，即： 设日是一实h i l b e r t 空间，f 日( h 的共轭空间) 是一给定元，口是日上的一双 线性连续泛函，j ：h - 9 , r 是一给定的泛函，求u h 满足变分不等式： a ( u ，一”) + j ( d 一( “) ( f ，v - u ) ，v ，h 该变分不等式称为l i o n s s t a m p a c h i a 变分不等式，偏微分方程中的许多自由边值问 题和许多带单侧约束的定常力学和物理问题都可归结为此类变分不等式的研究。并把所 得的结果应用于研究力学、控制论、经济数学、对策论、微分方程和最优化理论中的许 多重要问题，同时也在最优控制问题、弹性问题及渗流问题等领域中得到了成功的应用。 2 0 世纪8 0 年代以来，作为现代偏微分方程理论重要部分的变分不等式理论得到了深入 的发展。1 9 8 1 年，g w i n n e r 借助k k m 定理及其推广形式研究了一类抽象变分不等式， 其中k yf a n 极大极小原理就是其中一个很重要的推论。k yf a n 首先提出和研究了下面 形式的变分不等式： 设e 是局部凸的h a u s d o f f 拓扑线性空间，kce 是一非空的紧凸集，设厂：k 专e 是 一连续映像，求“k 和e 上的连续半范数p ，使得： 东北大学硕士论文 第1 章绪论 p ( ( “) 一x ) 一p ( ( ”) 一“) 0 ，v x k 该变分不等式称为k yf a n 变分不等式，以后l i n ，r e i c h 和s e h g a l 等作了进一步的 改进和发展。这类变分不等式与优化理论密切相关。接着，丁i t 等人研究了多值单调映 像的b r o w d e r - h a r t m a n - s t a m p a c c h i a 变分不等式；张和向【2 】等人讨论了双线性型变分不等 式解的存在性。同时也有很多人在b a n a c h 空间的闭球，b a n a c h 空间的球面以及锥上的 凝聚映像，或局部凸空间讨论了k yf a n 变分不等式。 另外b e n s o u s s a n 和l i o u s 在研究与随机脉冲有关的某些问题时最早提出了拟变分不 等式，a u b i n ，e k e l a n d 最先提出了如下形式的拟变分不等式： 设e 是局部凸的h a u s d o f f 拓扑线性空间，kce 是一非空的紧凸集，设f ：k 一2 足 是一多值映像，设厂：k x k r ，求i k 满足变分不等式： 厂( i ，j ，) 0 ，渺，( 工) 1 9 8 2 年c h a r t ，p a n g 又讨论了集值映像的拟变分不等式： 设scr “是一非空集，设t ：s 一2 s 。求i s ，歹丁( 习，使得： 0 ， v x s 后来，s h i h ，t a n ，k i m 等人讨论了广义拟变分不等式；c h a n g ，z h a n g 等人也进行 了深入地研究；p a r i d a 和s e n 首先提出了如下形式的似变分不等式，这类变分不等式与 数学规划中的某些问题有关： 设s 和c 分别是r ”和尺”中的子集，设t ：s 专2 c 是一集值映像，m 和r 分别是 s c _ 彤和s sjr “的单值映像，求i s 和歹r ( x - ) ，使得： ( m ( i ，歹) ，r l ( x ，i ) ) 0 ， v x s 1 9 8 9 年p a r i d a ，s e n 研究了更一般的集值映像的似变分不等式；1 9 9 1 年张和铲习研 究了集值映像的拟一似变分不等式。后来，还有很多作者在此基础上，除了讨论变分不 等式解的存在性，还研究了变分不等式的各种算法并证明了算法的收敛性。 设e 是一实线性空间，k 和x 是e 中的闭集且kcx ，g ：五x - ) ( - - o o ，栩】且 对每一z k ，g ( z ，) - ! - o o ，杪：k x xjr ，且对任一z 五，缈( z ，工，工) 0 ，v x ex 。 求孑k ，使得： g ( 孑，j ，) + ( 舅，i ，y ) g ( i ，i ) ，v y x 该变分不等式称为隐变分不等式，这类变分不等式首先在m o s c a 的文章中被提出和 研究，它与经济数学中的n a s h 限制平衡问题紧密相关。 设x 是一实线性拓扑空间，设( y ，s ) 是具偏序一的实拓扑线性空间，其中sc y 是 一闭凸锥且i n t s 矽，而一”是由s 引入的偏序。设f ：c 专y 是s 一凸的，其中cc x 。 求x o c 和b o w f ( x o ) ，使得： s ( x x o ) 叠一h a t s ，坛c 该变分不等式称为向量值的变分不等式，它与向量值的最优化理论紧密相联系。这 一2 一 东北大学硕士论文第1 章绪论 类变分不等式首先由c h e n ，c r a v e n 提出和研究。其中a w l ) 表示厂在处的弱次梯度。 1 9 8 0 年，g i a n n e s s 在有限维欧氏空间中引入了向量变分不等式，这是由于对多重评价指 标的考虑，从而把纯数字的变分不等式拓广到到向量的情况。以后，c h e n y a n g 等作者大 量地研究了向量变分不等式，向量拟变分不等式和在b a n a c h 空间中的相补问题。l e e 等 作者和s i d d i q i 给出了在b a n a c h 空问和h a u s d o r f f 拓扑向量空间中的几种向量不等式和 向量变分不等式的解的存在性定理。l e e ，c h e n 得到了在抽象空间中广义向量变分不等 式的解的存在性定理。 设e 是一线性拓扑空间，xce 是一非空紧凸集，e 是e 的共轭空间， 表e 与e 。间的配对，设( q ，a ) 是一可测空间，：q x - e + ，求可测映像，：q _ x ，使得： r e 0 ，v y x 该变分不等式称为随机变分不等式，它是相应的决定性变分不等式的随机化。这类 变分不等式与随机方程、随机不动点理论有密切的联系，它首先在n g u y e nx u a nt a n 和 的文章中提出和研究。 设e 是局部凸的h a u s d o f f 拓扑线性空间，x 是e 的非空紧凸集，陋) 是e 上的一 切f u z z y 集的集合，设g 和f 分别是z _ f ( x ) 和x - r ( e ) 的f u z z y 映像，设口( x ) 是 x _ ( o ，1 】的函数，卢_ ( 0 , 1 】o 求y 。e x ，使得： q 。( y o ) 苫a ( y o ) ，r e s 0 ，v u e f , 。 ) 苫卢，v x e g y oo ) 之口( ) ，o ) 该变分不等式称为f u z z y 映像的变分不等式，这类变分不等式与f u z z y 对策和f u z z y 不动点理论密切相关。 另一方面，2 0 世纪6 0 年代中期，在非线性规划的研究中出现了线性和非线性互补 问题，它们进一步发展成为有限维空间中的变分不等式问题。2 0 世纪9 0 年代， m a t h p r o g r a m i n g 等杂志出版了非线性互补问题与变分不等式的专辑，标志着变分不等 式已成为非线性规划的一个重要研究领域。在现代非线性分析中，变分不等式及其应用 具有非常基础和重要的作用。近来，d i n g 4 巧】等人在h i l b e r t 空间中研究了似变分不等式 问题；陈【6 l 和邓【7 1 等人在b a n a c h 空间中也进行了讨论。近年来，变分不等式有许多重要 的推广，比如涉及集值的、非单调的、，7 单调的、强制的、非( 半) 强制的、模糊的、 随机的、增生映象的变分不等式、拟变分不等式、拟一似变分不等式已经被研究，与非 凸优化、均衡问题紧密相关的变分不等式也已被解决。到目前为止，变分不等式作为一 门应用学科有着广泛的应用背景。 1 2 对于变分不等式的研究 变分不等式把很多看似不相关的线性和非线性规划问题最自然、直接、简单、有效 地统一在了一起。因此，人们研究了许多方法来解变分不等式问题。同时，应用新的技 术和方法，已经把变分不等式推广到了几个新的方向。1 9 8 8 年，n o o r 引入和考虑了有 两个算子的变分不等式，称为广义变分不等式。 3 一 东北大学硕士论文第1 章绪论 由于理论发展和应用的需要，近年来人们利用各种新的技巧从不同的途径对 v i ( f ，q ) 进行推广，这些途径大致可分为四类： ( 1 ) 从不等式形式的推广 经典变分不等式一一般变分不等式( 拟变分不等式，拟一似变分不等式，隐变分不 等式，混合变分不等式等) ( 2 ) 从空间上的推广 彤空间- - - h i l b e r t 空间- - - - b a n a c h 空间一拓扑空间 ( 3 ) 从算子上的推广 单值算子一集值算子，强单调算子一单调算子以及经典算子一随机算子等 ( 4 ) 从变分不等式到变分包含 近几年变分包含得到了长足发展【8 】，已成为一个相对独立的研究领域。 变分不等式问题的研究具有很重要的意义，受到许多数学工作者及工程技术人员的 重视，并提出了许多数值解法。 我们通常所说的变分不等式理论的基本内容，就是研究各种类型的变分不等式解的 存在性和唯一性条件，解( 或解集) 的性状及其逼近问题，以及各种问题的应用。因此， 变分不等式的基本问题之一就是解的存在性问题。关于变分不等式解的存在性，已经有 许多理论性的结果。关于变分不等式( 1 1 ) 解的存在性，1 9 6 6 年h a r t m a n s t a m p a c c h i a 给 出了一个最基础的结果： 设k 是彤中的非空有界闭凸集，设a ：k 呻尺“连续，则存在u e k ，满足变分不等 式( 1 1 ) 。 为求解变分不等式问题，人们做了大量的工作。解变分不等式的迭代算法是变分不 等式理论发展的一个不可或缺的重要研究分支。一方面，各种各样的应用领域要求计算 变分不等式的近似解；另一方面，算法本身也促进了变分不等式的理论研究。本文主要 讨论两类特殊变分不等式解的算法。变分不等式的主要算法包括牛顿算法、近似点算法、 t i k h o n o v 正则化算法和投影算法等。其中，投影方法是一类特殊的迭代方法，尽管大多 数投影方法有时是无效的，但由于它们具有全局收敛性和易于实现等优点，因而这类方 法得到了人们的广泛关注。对求解单调非线性变分不等式问题，最简单的算法是 g o l d s t e i n l e v i l i n p o l y a k 投影法，它是一种显式法；对应的隐式法是逼近点法。基于这 两种方法，k o r p e l e v i c h 提出t e l 梯度法，它实际上是一种特殊的预估一校正法：在预估 过程中采用了g o l d s t e i n l e v i l i n p o l y a k 显式投影法，在校正过程中使用了隐式逼近点法； k o r p e l e v i c h k h o b o t o v 改进了外梯度法，得到k o r p e l e v i c h k h o b o t o v 法。最近，何炳生 教授等【9 】用一个新的步长准则改进了k o r p e l e v i c h k h o b o t o v 外梯度法。投影法及它的各 种形式，w i e n e r - h o p f 方程，辅助原理，分解技术，d e s c e n t ，n e w t o n 和动力系统都已经 用来解决变分不等式和相关的优化问题。l i o n s 和s t a m p a c c h i a 引入的投影法及它的包括 w i e n e r - h o p f 方程在内的各种形式，是找到变分不等式问题的近似解的有效工具。这种 4 东北大学硕士论文 第1 章绪论 方法的主要思想是利用投影来找到变分不等式和不动点问题之间的等价性。迭代成为变 分不等式投影法的重要部分。众所周知，投影法要求算子必须是强单调且l i p s c h i z 连续 的，这些条件严格限制了投影法的应用。这个事实引起人们对其进行改进，调整投影法 或发展其它的方法。e x t r a g r a d i e n t - t y p e 法根据二次投影，通过在每次迭代利用另外的前 进步和投影，克服了上述困难。这些方法的收敛只要求解存在和单调算子是l i p s c h i z 连 续的，当算子不是l i p s c h i z 连续的或不知道l i p s c h i z 常数时，e x t r a g r a d i e n t 及它的变化 形式要求一个a r m i j o 1 i k e 线性搜索以计算新的投影的步长，这又导致了较多的计算。为 了克服这些困难，几种校正投影和e x t r a g r a d i e n t t y p e 已经发展来解决变分不等式问题。 广义变分不等式与w i e n e r - h o p f 方程密切相关，由n o o r 引入。要实施p r o j e c t i o n - t y p e 方 法，先要估计投影，这将会遇到困难。其次，投影和w i e n e r - h o p f 方程技术不能推广到 涉及到非线性或非可微函数的变分不等式问题【i o 】。这个缺点激发我们利用辅助原理的办 法这种办法通过利用不动点的方法，找到辅助变分不等式，使辅助问题的解是原问题 的解。利用各种等价形式，人们也考虑了与变分不等式密切相关的全局投影动力系统。 d u p u i sn a g u r n e y 利用变分不等式的不动点理论引入了投影动力系统。在这一方法中， 视变分不等式问题为初始值问题。这种等价形式使人们能研究变分不等式的唯一解的稳 定性特征。l u e e h e t t ip a t r o n e 把适定性的概念引入了变分不等式，得到了一些适定性结 果。这种方法也给出了一种计算变分不等式的近似解的方法。 变分不等式解的迭代算法是变分不等式理论研究的重要组成部分。通常研究无穷维 空间中的变分不等式( 包含) 解的存在性有两种方法：其一，灵活地利用几个经典的大 定理，如b r o w d e r 不动点定理、k k m 定理、k yf a n 极大极小原理等，这种方法可以看 作是经典不动点理论的一个重要应用【l l 】；其二，将变分不等式( 包含) 转化为等价的不 动点问题，构造迭代算法，然后利用空间完备性证明迭代点列收敛到变分不等式( 包含) 的解。近年来，第二种研究方法越来越受到人们的青睐【1 2 - i 引。这种方法的核心问题有两 个：( 一) 、如何把问题转化为等价的不动点问题? 常用的技巧有：辅助原理、预解方程 和预解算子技巧【1 2 。1 s 1 ；( 二) 、如何构造迭代算法? 常用方法有：预估一校正的多步迭代 法、隐式方法以及对预解方程或辅助变分不等式做适当变形后产生的迭代法。 2 0 0 0 年，张石生在一致光滑b a n a c h 空间框架下研究了变分包含的迭代算法；n o o r 在自反的一致光滑b a n a c h 空间框架下研究了一类变分不等式的迭代算法。b a n a e h 空间 的凸性和光滑性在变分不等式( 包含) 问题的研究中起着重要的作用，它是b a n a c h 空 间理论的一个重要方向，且被广泛应用于算子方程、变分不等式( 包含) 及不动点问题 的理论和迭代逼近等领域。近年来，k - 凸性和k - 光滑性的研究也日益引起了人们的重 视。 n o o r 和张石生等研究的变分不等式( 包含) 都是关于强单调算子的( 统称为强单 调变分不等式( 包含) ) 。众所周知，在单调算子的情形下( 统称为单调变分不等式) 研 究变分不等式( 包含) 的算法与在强单调算子的情形下有着本质的不同。近年来，人们 也利用不同的技巧研究了伪单调变分不等式的算法【1 9 1 。 一5 一 东北大学硕士论文第1 章绪论 变分不等式的发展，又促进了其它学科的迅速发展。如对变分不等式问题，常见的 假设是单调性，且单调性在很多应用中也是成立的。但是，在管理和经济的许多问题中， 凸性和单调性的经典假设通常是不成立的。这样，广义凸函数得到了相应的发展。 s k a r a m a r d i a n 和s s c h a i b l e 给出了伪单调性和伪凸性的关系，以及拟单调性和拟凸性的 关系，这是单调性和凸性关系的推广的一个重要突破，并把它从可微条件下的单值映射 推广到非光滑情况下的多值映射。s k a r a m a r d i a n 引入伪单调算子，从而使一些广义单调 性应运而生【1 9 1 。近几年来，人们在关于拟单调性在变分不等式中的应用做了一些研究， 并得到了一些结论。变分不等式对许多理论学科和应用性学科都有着重要的影响。2 0 0 1 年，v e r m a 2 0 l 考虑了非线性变分不等式系统，讨论了非线性变分不等式系统的迭代算法 的收敛性。 1 3 拟变分不等式 随着对变分不等式问题研究的深入，b e n s o u s s a n ，l i o n s 在1 9 7 3 年研究与随机脉冲控 制有关的某些问题时提出了拟变分不等式。变分不等式中的一个重要推广是拟变分不等 式，可参见【2 1 - 2 2 1 。现在，拟变分不等式无论在理论或者应用方面都取得了重要进展，并 被成功地应用与解决各种力学问题和经济学问题。例如，b a i o c c h i a 通过未知函数的变换， 解决了非矩形水坝的渗流问题；作为比拟变分不等式更一般的形式的广义拟变分不等式 问题也随之发展。广义拟变分不等式问题是c h e r t 和p a n g 在1 9 8 2 年提出的。 设e 是一h a u s d o r f f 拓扑线性空间，xce 是任一非空子集，设f 是e 的对偶空间， 表示矿和e 之间的配对。设s ：x 专2 j 和r ：z 一2 f 为两个集值映像。所谓广义 拟变分不等式问题： 求一点歹s ( 习及一点订r ( 刃，使得： r e 0 及p 0 使得对x ，y ，z e h ， i i j ；卜j ( z ) 一，：，卜，y ( z ) f s a0 z y0 日 卜嬲i 身( 1 - k ) + ( 卢2 r 2 一亭2 y 2 ) 七( 2 - k ) ，身 叩 p 身 傀 其中， 吒) 是非负实数列，满足吒一0 ( 刀呻o o ) ，则有l i m s u p y 。一0 。 从而利用此引理证明了近似解收敛到精确解的目的，但是这在集值情形下却无法做 到。已有的方法和技巧已经不够用了。h u a n g l 3 0 】的单值映像下的方法和技巧已经失效， 必须另辟途径。按照传统的方法和技巧，希望估计h 州与u 。的误差，从而证明 “。) 是 c a u c h y 序列，进而证明 h 。) 的收敛性。但在此处显然是行不通的。因为按照i s h i k a w a 迭代算法，在估计“m 与h 。的误差时，会出现迭代参数口。与口“，这就无法产生h u a n g 【3 0 1 可利用引理中的递推不等式的情形。因此，我们无法转化为h u a n g 3 0 1 所研究的单值映像 情形下的关于近似解与精确解的误差的递推不等式的形式。为了克服这个困难，我们发 展了新的方法与技巧，以便将其推广到集值的情形。 2 2 预备知识 设日是一个实h i l b e r t 空间，其范数为i | 内积为 ，令g ，s ，t ：h _ 2 h 是集 值映像，其中2 h 表示表示h 的非空子集族。p ：h _ h 和n ：h x h _ 日是单值映像。 假设m ：hx h 呻2 是集值映像，使得对每个固定的te h ，m ( - ，) ：h 一2 h 是极大单， 调映像及r a n g e ( p ) n d o m ( m ( 。，f ) ) 乒妒，v t e h 。 定义2 1 设x 是b a n a c h 空间，x 为其对偶空间，t ：x _ 2 r 称为极大单调映像，如果 其图像g r a p h t 是x x 中的极大单调集，或等价的：丁是极大单调映像，当且仅当 ( 厂一g ，工一y ) 苫0 ，v y ，g 】g r a p h t 时，就有x o ( t ) ，x 玖。 定义2 2 设x 是b a n a c h 空间，x ：为其对偶空间。集合mc x x x + 称为单调集，如果 ( 厂- g ，x - y ) 20 ，v x ，厂】，【y ，g 】m 由此定义知，t ：x 呻2 z 使单调映像，当且仅当其图像g r a p h t 是x 石中的单调集。 定义2 3 设z 是b a n a c h 空间，z 为其对偶空| 日j 。设x 是一线性空间，mc x 是一子 集，设驴是定义在x 上的扩充实值泛函，集合d o m q 9 = 石x ，驴o ) 0 ，称由下 式定义的映像，。m ：日一日： ，o ) = ( ，+ p m ) 。 ) ，v x e h 为m 的预解算子，其中，为日上的恒等映像。 定义2 5 映像g ：h 一日称为 ( i ) 6 一强单调的，如果存在常数6 0 ，使得： 26lu 1 一“20 2 ，v u ie h ，f = l 2 ， ( i i ) o r - - l i p s c h i t z 连续的，如果存在o r 0 ，使得： 09 0 。) - g ( u ：) 0sa l lu 。一“：i l ，y u 。e h ，i = l 2 定义2 6n ：日x h _ h 称为依第一个变量是一l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数卢 0 ， 使得： 8 ( “。，。) 一( m ：，) 0s 卢0 “。一h ：0 ，v u ，e h ，i = 1 ，2 同样方法，可以定义( ，) 依第二个变量的l i p s c h i t z 连续性。 定义2 7 集值映像s ：h _ c b ( h ) 称为h l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数r 0 ，使得： h ( s ( u 。) ，s ( u ：) ) s 叼l l “。一“：0 ，f = 1 ，2 其中，h ( ，) 是c b ( 日) 上的h a u s d o r f f i 眍离，_ h c b ( h ) 是h 的非空有界闭子集之族。 定义2 8n ：hx h 一日，s ，t ：h _ 2 日，则称关于s 与z 是口一混合强单调的，如果 存在常数口 0 使得对任意u ，e h ，f = 1 ，2 ，有 a0 咆一“2 | | 2 ，魄e s ( u f ) ，v y ；丁 f ) 为证明结论，还需要以下引理： 引理2 2 1 3 2 】：( “，石，y ，z ) 是问题1 1 的解当且仅当( “，x ，y ，z ) 满足关系式 p ( u ) = ，：一( p ( 比) 一p n ( x ，y ) ) 其中，p 0 是常数，j ，2 ( ，+ p m ( ，z ) ) 1 并且，是h 上的恒等映像。 引理2 3 t 3 3 】：设m ：日呻2 日是极大单调映像，则m 的预解算子，了：h 呻h 是非扩张的， 即 0 ，| ：，o ) 一，多