（计算数学专业论文）多尺度计算方法的初探及应用.pdf

西北t 业人学顾t 学位论文 摘要 摘要 科学和工程中的许多问题都涉及多种尺度。对于多尺度问题，出于其巨大的 计算量使得传统的数值方法难以直接求解，因此人们希望找到既能节省计算时 间又可以保持计算精度的多尺度计算方法，以求解多尺度问题。目前为止，已经 有一些经典的多尺度计算方法，如多重网格方法、均匀化方法、小波数值均匀化 方法、多尺度有限元法、菲均匀化多尺度方法等，这些方法在很多科学和工程领 域中的应用已取得了一定的成功。本文对均匀化方法、非均匀化多尺度方法以及 小波数值均匀化方法进行了研究，主要研究结果如下： ( 1 ) 基于非均匀化多尺度方法的框架，提出了有限体积的非均匀化多尺 度方法，并将其用于求解多尺度双曲型方程。该方法分别在宏观尺度和细观尺度 上建立原方程的差分格式，通过不同尺度问的耦合有效地减小了计算所需代价。 计算结果表明：有限体积的非均匀化多尺度方法能有效地求解周期系数及非周期 系数的一些多尺度问题，且与直接求解的有限体积法相比较，有限体积的非均匀 化多尺度方法大大节省了计算时r a j 。 ( 2 )把小波数值均匀化方法用于求解快速振荡系数的抛物型方程。小波 数值均匀化方法已经成功地用于求解椭圆型方程，而对抛物型方程的应用仍未见 报道。本文把小波数值均匀化方法用于求解快速振荡系数的抛物型方程，计算结 果表明：与传统的有限差分法相比，小波数值均匀化方法既犬大地节省了计算时 间又获得了较好的精度。 ( 3 )改进了小波数值均匀化方法，并用于求解非均质多孔介质中的渗流 问题。该方法通过误差校f 来进一步提高算法的精度。计算结果表明：与传统的 有限差分法比较，改进的小波数值均匀化方法既大大地节省了计算量又获得了较 好的精度；且与小波数值均匀化方法相比，改进的方法进一步提高了计算精度。 ( 4 ) 将小波数值均匀化方法用于模拟地下水流问题。自然界中的地下水 含水系统大多都是非均质的，把小波数值均匀化方法用于菲均质多孔介质中的非 稳定地下水流问题。对水文地质参数连续变化、突变以及局部振荡变化的三种非 均质多孔介质中的二维非稳定地下水流问题的求解表明：小波数值均匀化方法比 传统的有限差分法有效，它既大大地节省了计算量又获得了较好的精度，是求解 地下水流问题的一种有效的数值均匀化方法。 关键词：多尺度多重网格小波 数值均匀化 多尺度有限元 非均质 地下水流多孔介质 ! ! 苎! ；些查兰皇銎! ：兰笪笙三三； 塑茎 a b s t r a c t m a n yp r o b l e m si ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n gt a k eo nm u l t i s c a l ec h a r a c t e r i s t i cf o r t h e s ep r o b l e m s ，t r a d i t i o n a ln u m e r i c a lm e t h o d sa r eh a r dt os o l v et h e mf o rh u g e c a l c u l a t i o nc o s t t h e r e f o r e ，m u l t i s c a l ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d sa r eu s e dt os o l v e m u l t i s c a l ep r o b l e m s ，b e c a u s et h e s em e t h o d sc a l ln o to n l ys a v ec a l c u l a t i o nc o s tb u t a l s ok e e pc a l c u l a t i o np r e c i s i o n a tt h ep r e s e n tt i m e ，s o m ec l a s s i c a lm u l t i s c a l e c o m p u t a t i o n a lm e t h o d sh a v ea p p e a r e d ，s u c ha sm u l t i - g r i dm e t h o d ，h o m o g e n i z a t i o n ， w a v e d b a s e dn u m e r i c a lh o m o g e n i z a t i o n ，m u l t i s c a l ef i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dt h e h e t e r o g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o de t c t h e s em e t h o d sa r es u c c e s s f u l l ya p p l i e di n s c i e n c ea n de n g i n e e r i n g i nt h i sp a p e r ，h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ，t h eh e t e r o g e n e o u s m u l t i s c a l em e t h o da n dw a v e - b a s e dn u m e r i c a lh o m o g e n i z a t i o na r er e s e a r c h e d t h e m a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y ，b a s e d0 1 2t h ef r a m e w o r ko ft h eh e t e r o g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o d ，t h e f i n i t ev o l u m eh e t e r o g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o di sp r o p o s e df o rm u l f i s c a l eh y p e r b o l i c e q u a t i o n s t h en u m e r i c a lm e t h o dr e l i e so nt w od i f f e r e n ts c h e m e so fo r i g i n a le q u a t i o n ， a n dg i v e sn u m e r i c a lr e s u l t sa tal o wc o s tb y c o u p l i n gm i c r o s c a l es c h e m et o m a c r o s c a l es c h e m e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ec a l c u l a t i o nc o s to ft h ep r o p o s e d m e t h o di sl e s st h a nt h a to ft h ef i n i t ev o l u m em e t h o d s e c o n d l y ，w a v e b a s e dn u m e r i c a lh o m o g e n i z a t i o ni sa p p l i e dt os o l v ep a r a b o l i c e q u a t i o n sw i t hh i g h l yo s c i l l a t i n gc o e f f i c i e n t s e l l i p t i ce q u a t i o n sh a v eb e e ns o l v e d s u c c e s s f u l l yb yw a v e l e t - b a s e dn u m e r i c a lh o m o g e n i z a t i o n ，b u t i th a sn o tb e e na p p l i e d t os o l v ep a r a b o l i ce q u a t i o n s i nt h i sp a p e r , w a v e - b a s e dn u m e r i c a lh o m o g e n i z a t i o ni s a p p l i e dt os o l v ep a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t hh i g h l yo s c i l l a t i n gc o e f f i c i e n t s n u m e r i c a l r e s u l t ss h o wt h a tt h i sm e t h o di sb e t t e rt h a nt h ef i n i t ev o l u m em e t h o d ，n o to n l yi n c a l c u l a t i o nc o s tb u ta l s oi na c c u r a c y t h i r d l y , w a v e - b a s e dn u m e r i c a lh o m o g e n i z a t i o ni si m p r o v e df o rf l o wp r o b l e m si n h e t e r o g e n e o u sp o r o u sm e d i a ，a l g o r i t h m i cp r e c i s i o ni si m p r o v e db ye r r o rc o r r e c t i o n n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t i m p r o v e dw a v e l e t - b a s e dm e t h o d i sb e t t e rt h a nt h e t r a d i t i o n a lf i n i t ev o l u m em e t h o d ，n o to n l yi nc o m p u t a t i o n a lc o s tb u ta l s oi na c c u r a c y c o m p a r e dw i t hw a v e l e t - b a s e dh o m o g e n i z a t i o nm e t h o d c a l c u l a t i o na c c u r a c yo ft h e i m p r o v e dm e t h o di si m p r o v e d f i n a l l y , w a v e - b a s e dn u m e r i c a lh o m o g e n i z a t i o ni sa p p l i e dt os i m u l a t eg r o u n d w a t e rf l o wp r o b l e m g r o u n d w a t e rs y s t e mi nn a t u r ei sa l m o s th e t e r o g e n e o u s ，a n dt h e l l i 弭北丁业大学硕l 学位论立 摘要 m e t h o di sa p p l i e dt os o l v eu n s t e a d yf l o wp r o b l e m si nh e t e r o g e n e o u sp o r o u sm e d i a w i t ht h r e ek i n d so fp a r a m e t e r sw h i c ha r ec o n t i n u o u s ，a b r u p ta n dl o c a l l yo s c i l l a t i n g t h ec o m p m a t i o n a lr e s u l t ss h o wt h a tw a v e l e t - b a s e dm e t h o di sb e t t e rt h a nt h e t r a d i t i o n a lf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o dn o to n l yi nc o s tb u ta l s oi na c c u r a c y k e y w o r d s ：m u l t i s c a l e ，m u l t i g r i d ，w a v e l e t ，n u m e r i c a lh o m o g e n i z a t i o n ，m u l t i s c a l e f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，h e t e r o g e n e o u s ，g r o u n d w a t e rf l o w , p o r o u sm e d i a i v 型! 二些圭主竺上兰堡堡兰 丝= 主堕丝 第一章绪论帚一早殖丫匕 1 ，1 研究背景及意义 很多自然科学和工程的问题都具有多尺度的特征。例如高雷诺数湍流的涡 有大小不同的尺度，材料的微损伤有大小不同的尺度，多孔介质的i l 径大小存在 着不同的尺度等。然而，在实际应用中却常常忽略多尺度特征而采用经验模型。 这些模型在应用中取得很大的成功，但经验模型也存在本身的局限性，主要体现 在： ( 1 ) 由于模型的误差很大，导致很多问题求解的精度不高； ( 2 ) 完全忽略细观结构的影响，不能完全反应问题本身的自然特征： f 3 ) 缺乏可靠的理论基础。 因此，对于很多问题，我们希望建立能反应自然属性、精度更高且具有理论 基础的多尺度模型。在建立多尺度模型的同时，首先必需考虑问题自身的特征。 按照问题的特征可以把多尺度问题分为以下几类： 第类：这类多尺度问题包含了孤立的瑕点或奇异点，比如裂痕、断层、突 变以及接触线。对于这类问题，只需要在孤立的瑕点或奇异点附近建立细观尺度 的模型，其他区域满足某个宏观模型即可。这样，细观尺度的模型只需在很小的 计算区域里求解。 第二类：这类多尺度问题存在相关的宏观模型，但宏观模型不清晰，不能直 接用于求解。典型的一个例子是均匀化问题，这时系数为口。( x ) = a ( x ，z s ) ，其 中f 表示细观尺度，虽然与宏观变量工相关的宏观模型确实存在，但宏观模型不 明确。 第三类：这类问题是包含第一类和第二类特征的多尺度问题。 第四类：这类多尺度问题的细观结构具有强烈的不规则性，难以找到相关的 宏观模型。 随着多尺度模型的发展，还会出现更多类型的多尺度问题，对各类多尺度问 题的求解引起了人们广泛的关注，也推动了多尺度计算方法的发展。很多科学和 工程问题都存在多尺度问题，多尺度模拟是个典型的跨学科问题，它涉及到数 学、化学、物理、工程、计算机科学、环境科学等等学科，越来越受到科学家的 重视。 很多科学和工程问题都存在多尺度问题。对于多尺度问题，传统的数值方法 需要在细尺度上求解，即要对求解区域进行非常精细的剖分。精细剖分产生的节 点过多，往往需要很大的计算量而导致计算时问过长。若只在粗尺度上求解则 1 1 2 多尺度计算方法的概述 随着多尺度问题在工程中的应用越来越广泛，基于多尺度问题求解的复杂 性，国内外学者提出了些多尺度计算方法， 这些数值方法主要可分为传统的 多尺度计算方法和近年来发展的多尺度计算方法。 传统的多尺度计算方法包括多重网格法【h 】、自适应方法【5 i 等。其中多重网 格方法通过粗网格校正和误差光滑技术，在减小工作量的同时保证了细尺度上解 的计算精度。然而，传统的多尺度计算方法需要在细观尺度上求解原问题，使得 在解决很多实际问题时仍需要巨大的计算量，甚至难以求解。因此，人们希望找 到更有效的数值方法来求解多尺度问题。 近年来发展的多尺度计算方法包括多尺度有限体积法1 6 1 ( m u l t i s c a l ef i n i t e v o l u m em e t h o d ) 、多尺度有限元法【7 母1 ( m u l t i s c a l ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ) 、均匀 化方法 1 0 - j 6 ( h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ) 、非均匀化多尺度方法陋2 1 1 ( h e t e r o g e n e o u s m u l t i s c a l em e t h o d ，f v - h m m ) 以及小波数值均匀化方法 2 2 - 2 4 ( w a v e l e t b a s e d n u m e r i c a lh o m o g e n i z a t i o n ) 等。 多尺度有限体积法是由j e n n y 等 6 1 提出的，多尺度有限元方法是由b a b u s k a 等【7 】提出的。这两类方法在宏观尺度上进行网格剖分，然后通过在每个单元罩求 解细观尺度的方程( 构造线性或者振荡的边界条件) 来获得基函数。从而把细观 尺度的信息反应到有限元法或有限体积法的基函数里，使宏观尺度的解包含了细 观尺度的信息。但多尺度有限元方法和多尺度有限体积法在构造基函数时需要较 大的计算量。 均匀化方法是一种多尺度分析的方法。该方法通过对单胞问题的求解，把 细观尺度的信息映射到宏观尺度上，从而推导出宏观尺度上的均匀化等式，即可 在宏观尺度上求解原问题。均匀化方法在很多科学和工程应用中取得了巨大成 功，但这种方法建立在系数细观结构周期性假设的基础上，因此应用范围受到了 很大限制。鄂维南等【17 】提出的非均匀化多尺度方法，是构造多尺度计算方法的一 般框架。该方法有两个重要的组成部分：基于宏观变量的整体宏观格式和由微观 模型束估计缺少的宏观数据，多尺度问题的解通过这两部分共同得到。 小波数值均匀化方法是由d o r o b a n t u 和e n g q u i s t l 2 2 1 提出的求解椭圆型方程的 新型方法。该方法基于多分辨分析，在细尺度上建立原方程的离散算子，然后对 离散算予进行小波变换，得到了大尺度上的数值均匀化算子。此方法在大尺度上 豢熏蠹 黧 翌j ! ! ：些墨兰! 竖。! ：兰壁堡苎 兰：要竺丝 求解方程，大大地减小了计算时间。 上述各类近年来发展的多尺度计算方法着重抓住宏观尺度的特征，而不直接 在细观尺度求解多尺度问题，因而能大大地减小计算工作量。随着多尺度计算方 法的不断发展，它在科学和工程领域中的应用也越来越广泛。然而，无论多尺度 计算方法本身，还是在工程领域中的应用都仍然处于探索阶段。进一步研究多尺 度计算方法及其在工程领域中的应用具有很重要的意义。 1 3 论文安排及主要工作 论文的结构安排如下： 第一章：介绍多尺度计算方法的研究意义。 第二章：介绍经典的多尺度计算方法均匀化方法。 第三章：介绍非均匀化多尺度方法的框架，并应用于求解二阶多尺度双曲型 问题。 第四章：介绍小波数值均匀化方法，并将其应用于求解非均质多孔介质中的 渗流问题以及快速振荡系数的抛物型方程。 第五章：将小波数值均匀化方法用于模拟非稳定地下水流问题。 对于多尺度问题，用传统的数值方法难以求解。本文分别用非均匀化多尺度 方法和小波数值均匀化方法求解了多尺度问题，主要工作如下： 】 基于非均匀化多尺度方法的框架，提出了有限体积的非均匀化多尺度方法， 并将其用于求解二阶多尺度双曲型方程。 2 用小波数值均匀化方法及改进的小波数值均匀化方法求解了一维非均质多孔 介质中的渗流问题。 3 将小波数值均匀化方法用于求解系数快速振荡的抛物型方程。 4 用小波数值均匀化方法模拟了二维地下水的非稳定流问题。 晒北f 业人学颂i j 学位沦文 第一章均匀化方法 第二章均匀化方法 均匀化方法是一种分析的多尺度计算方法，是当前国际上研究的热点之一 f r o - t 6 1 ，其创始人为前国际数学家联盟主席l i o n s ，现今在国际上从事这方面研究 的华人数学家有林芳华，鄂维南，候一钊，而在国内有崔俊芝曹礼群等人。本 章主要对经典的均匀化方法做一个详细的介绍。 2 1 均匀化方法 均匀化方法通过对单胞问题的求解把细观尺度信息反映到宏观尺度上，得 到宏观尺度的均匀化等式。大体上来说，均匀化方法是沿四种不同的途径平行发 展起来的，包括：( 1 ) 级数渐进展开白勺方法；( 2 ) 能量估计的方法；( 3 ) 基于概率分 析的方法；( 4 ) 具有周期性系数算子的谱分解方法。其中级数渐进展开方法是最 常用的方法。 2 1 1 椭圆型算子的均匀化方法 现考虑如下椭圆型的边值问题 卜= ( 一缸9 扣吼卧= ，x q 酬 - ， i “。满足适当的边界条件 假设函数d 。( f ，= i ，h ) 满足 a 0 ( y ) r ，口。是y - 周期的，目r ( 虎”) ， n u 0 炫i i a t l a 0 。 且函数满足 r ( r ”) ，是y 一周期的，d o ( y ) 2 0 。 针对以上问题，希望能够建立一个椭圆型算子盯，使得“。_ u ( e 寸0 ) ，其 中“是下列方程的解 f ；f x n l “满足桕应的边界条件 两北r 业人学颂 学位论盅= 第一章均匀化疗法 式中算子盯称为算f 族a 。的均匀化算子，下面具体介绍推导均匀化算子的过程。 设“。= ”。( x ) 的多尺度渐进展开式为 甜。( x ) = “o ( x ，x ) + 岔l l ( x ，叫) + 占“2 ( x ，x s ) + 。( 2 2 ) 其中函数“，( t y ) ( = 1 , 2 ，3 ，) 对v x q 在y 方向上是y 一周期的。 为了简化计算，首先把工和y 作为独立变量，即用y 代替工序。则算子三变 删 戍鲁+ 击，毒变成毒+ 昙音，得 爿= 一毒卜c 姒毒+ 毒，) 一丢岳( 吖以鲁+ 去岳， + 州y ， = s 。( _ 岳c 嘣力毒， + e 。( _ 毒c 州y ，毒卜毒c 州力参) + 旧耖州y ) j 铲一孙刳 。：= 一参lc x ，爿一苦lc 如参) 铲一孙卦纵 则a 5 可表示为 a e = s 一2 a l + s 一1 4 2 + o a 3 把( 2 2 ) 和( 2 3 ) 式代入到( 2 1 ) 中，可得 4 “o = 0 a 。“，+ a ，雅。= 0 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 旦里笔三些2 兰塑! 二! ：丝! 苎 笙= 主望竺竺塑垡 a j u 2 + 一2 村l + 4 甜o = f ( 2 6 ) 在推导均匀化等式之前，先介绍一个重要得结论。 由f r e d h o l m 定理，可以得出以下结论： 篇名勰 b ， 【新生 j 是剧期的 、 当且仅当 i ，, f ( y ) d y 2 0 ( 2 8 ) 有等于二积分常数的唯一解。 下面根掘( 2 4 ) 、( 2 5 ) 和( 2 6 ) 式来推导均匀化算子o - 。 a 解方程( 2 4 ) 根据( 2 7 ) 和( 2 8 ) ，可知方程( 2 4 ) 的唯一周期解是“。= 常数，其中x 是一个参 数，即 “o ( x ，y ) = “( x )( 2 9 ) b 解方程( 2 5 ) 利用( 2 9 ) 式，方程( 2 ，5 ) 可以简化为 舢刊：铲孙掣) = b o 。 等b 设x = x ( y ) 是下列方程的解 一。j = 4 t ”= 一毒( ，) ( 2 。1 1 ) l x 是y - 周期的 因为 胁咖= 丢吖y ，p = 。 由( 2 7 ) ，( 2 8 ) 可知，解x 。存在且唯一。 那么方程( 2 5 ) 的一般解可以表示为 ( ) ：一z 坳) 曼掣+ 甄( z ) ( 2 1 2 ) o x c 解方程( 2 6 ) 对于方程( 2 6 ) ，把“：作为未知量，x 作为参数，则甜：存在，当且仅当： 两北- tt 凡学颂 学位论 即 第二章均匀化方法 l ( 厂爿：“一4 ，“。x 抄= o l ( 爿：“。+ a 3 u o 渺= l 肋= i t 7 ( 2 1 3 ) 其中i y l 表示y 的测度。后面将看到条件( 2 1 3 ) 就是要找的均匀化方程a 由胁砂= 一毒胁力筹砂，把( 2 1 2 ) 式代入有 胁咖= 言力掣咖掣 则( 2 1 3 ) 式变为 一附1 ( a a ) o 瓦x j ，州裟+ 南( ，方) “( x ) = ， 综上所述，推导均匀化算子盯的一般规则如下： ( 1 ) 在基元y 上解方程( 2 1 1 ) ，对_ ，= 1 , 2 ， ； f 2 1 均匀化算子仃由( 2 1 5 ) 式得到。 2 1 2 抛物型算子的均匀化方法 考虑以下抛物型问题 盹。= 鲁一言k 刈，鼍 _ ，x d c r , t e o , t 。：。， ( x ，0 ) = l d o ( x ) ， x d 虬满足适当的边界条件且假设函数d ；( f = 1 ，”) 满足 a ；( x ，f ) = a ( x g ，f ) = 口( y ，f ) a 0 ( y ，f ) 满足y 周期， n ：( y ，) 亭，a 善。善，“ 0 ， 针对以上问题，希望能够建立一个算子a ，使得 。哼 ( s - - a t 0 ) ，其中“是 下列方程的解 7 两北t 业k 学坝t 学位论文 第二帝均匀化方泫 害础= 厂x e 。c 以r 咿】 【u ( x ，o ) = “o ( x ) ， j d 彳称为均匀化算子，下面具体地推导均匀化算子。 定义 p o t 硝硝一孙r ) 刮3 x 舭i ”。j 设“。= “。( x ，f ) 的多尺度渐进展开式为 若令 可以得到 甜s ( x ) = “o + 翻i + 2 “2 + 非一孙。刳 伤= 一毒川，毒卜毒 ，参 暑一斗眩o _ l ， 将( 2 1 6 ) 代入( 2 1 5 ) e p ，可得 p = e - 2q l + s q 2 + q 3 ( 2 1 6 ) q l “l + q 2 “o = 0 q 1 “2 + q 2 u l + q 3 u o = f 由( 2 1 7 ) f i 矢1 ，, 。与参数y 无关，故可设 “o = u ( x ，r ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 把( 2 2 0 ) f 弋a ( 2 1 8 ) 郯9 ，可得 阶锄= 孙，掣 = b r ， 掣 b z ， 旦型些兰竺堡丝生 苎三皇墼些互鎏 设7 = 并( 弘t ) 是下列方程的解 净x = q ，一参州弘。 ( 2 - 2 2 ) i x 是y 一嗣瑚的 因为 l q 1 _ y 胪l ( 一番叫川) 陟= o l q ( 2 7 ) 、( 2 8 ) 可知，解x 存在且唯一。 则方程( 2 1 8 ) 的一般解可以表示为 ”，( 训，) ：一爿，( y ，f ) 翼盟+ 。( 圳) 僦 对于方程( 2 1 9 ) ，把心作为未知量，工作为参数，则甜：存在，当且仅当 l ( 厂一q 2 “，一q 3 “。协= o 朗 f y ( q ：“，+ 0 3 u o 协= f f a y = l y 扩 ( 2 2 3 ) 其中j 卅= y 的测度。后面将看到条件( 2 ，2 3 ) 就是要找的均匀化方程。 由l q ：呐= 告力象咖，把( 2 1 6 ) 式代入有 胁咖= 毒胁y ，掣砂掣 b z 。， 所以f 2 2 3 ) x - 1 ：变为： o u ( 矿x , t ) 舢魄沪咄d 静笼等+ 南( 舢力咖= ， 从而得到了抛物型方程的均匀化等式。 2 2 数值算例 例2 1 求解一维抛物型方程 p q ：f l 丁业大学 i 贝l 学位论史 第二奇均匀化方浊 詹7 - , 一孙蛳，豢) = 舢 州啊， 1 ( x ，o ) = “。( x ) ， x d 在一维情况下，记工，= x ，7 j - 程( 2 2 2 ) 变为 舭= 一孙川，等) 一等 则有 吣，。茜o p 叫小c 警a y 小南a l ， y ， 此方程有唯一解，当且仅当 f ( 1 + 志渺一o ， 即 j r 毋+ j ，静琳，+ c l 扣) - o 一 l 扣) 。 根据( 2 2 3 ) 式，在均匀化等式中，一等的系数彳为 l r ( a - a - c c = ( l 扣) 。 从而得到维抛物型问题的均匀化等式为 l 塑一爿“：厂x d c r ，f o ，7 1 】 o t 。 2 3 本章小结 本章通过求解椭圆型和抛物型方程的均匀化等式，详细地介绍了均匀化方法 的基本原理。并通过一维抛物型方程的算例给出了均匀化算予的一个具体形式， 得到了方程的均匀化等式。从而为本文研究其他多尺度计算方法奠定了基础。 两北1 _ 业大学颂 ：学位论文 第二章 水1 q 化多，t 度方法技j e 心用 第三章非均匀化多尺度方法及其应用 鄂维南等1 1 ”综合了多尺度问题求解的一些方法，于2 0 0 3 年提出了一种新的求 解多尺度问题的数值方法一一非均匀化多尺度方法( t h eh e t e r o g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o d ，h m m ) ，并成功地用于求解了大量的多尺度问题【1 8 _ 2 叭。a b d u l l e 则 把h m m 应用于求解多尺度抛物型方程i 扪i 。然而，对于多尺度双曲型问题的求 解，h m m 仍处于探索阶段。本章将有限体积法与h m m 相结合，提出了有限体 积的非均匀化多尺度方法( f i n i t ev o l u m eh e t e r o g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o d f v - h m m ) ，并将其用于求解周期及非周期系数的二阶多尺度双曲型问题，同时 分析了f v - h m m 的稳定性。 3 。1 非均匀化多尺度方法的框架 非均匀化多尺度方法不仅是一个具体的多尺度计算方法，而且是构造多尺 度计算方法的一个框架。 给定一个细观尺度的问题，其方程为 f ( u ，6 ) = 0 式中“表示细观尺度的解，b 表示一些辅助的条件，比如问题的初始条件和边界 条件。对于细观尺度的问题，一般不关心“的具体信息，而是关心细观尺度的信 息对宏观尺度解( 记作u ) 的影响。设u 满足宏观尺度的方程 f ( u ，d ) = 0 d 表示宏观尺度模型所缺少的数据。 非均匀化多尺度方法的目标是通过f 和细观尺度的模型，来求解宏观尺度 的解u 。h m m 方法主要包括两个重要的组成部分： ( 1 1 选择合适的宏观尺度的模型； ( 2 ) 用细观尺度模型的解来估计缺少的宏观数据d 。这个过程可以分解为两 个步骤：对细观尺度进行求解，构造适当的初值条件和边界条件，以求解细观模 型；数据处理，由细观的解来得到所需的宏观数据。 3 2 非均匀化多尺度方法的应用 包含多尺度系数的双曲型问题( 简称多尺度双曲型问题) 是一类经典的多尺 度阅题，出于此类阅题在气体动力学、表面动力学及分子动力学等领域中广泛存 在，多尺度双曲型问题的求解已经引起了人们广泛的关注。下面碡于有限体积法， 善；窖；量；堕毒差堡兰姜_ = ? = 等 塑三塞韭塑竺些兰竖些塑鎏丝些生星 根据非均匀化多尺度方法的框架建立有限体积的非均匀化多尺度方法，弄蒋真鬲 于求解二阶多尺度双曲型方程。 3 ，2 1 方法的构造 考虑具有周期系数的一维双曲型问题 薏0 积暑麓三 b 、， “( x ，) = 厂( x ) ，“j ( x ，o ) = ( x ) 0 3 。1 u8 ( 口，r ) = g ( f ) ，“( 6 ，f ) = 9 1 ( r ) 式中t t 5 = “( x ，r ) ，q f - 【日，b 【o ，t ，系数口。( 功= a ( x s ) = 口( ，) 是y 周期的， s 代表细观的尺度( s 1 ) 。针对上述问题，下面具体构造f v - h m m ，并分析 该方法的稳定性。 f v - h m m 的核心思想为：分别在宏观尺度和细观尺度上建立原方程的差分 格式，由细观尺度上的解来估计宏观尺度上的数据，从而有效地实现不同尺度涮 数据的耦合，并最终通过宏观格式的求解得到原问题的宏观解。 一构造宏观尺度和细观尺度的差分格式 ( 1 ) 宏观尺度的差分格式 在宏观尺度上，用粗网格对区间【日，6 】进行剖分，并构造宏观尺度的差分格 式。 对区间陋，6 】进行如下网格剖分 x ，= j 出，= 0 ，m ；t “= n a t ，h = 0 ， 具q t m = 6 一a ) a x ，n = ? a t ，a x 和& 分别为空间和时间步长。 则方程( 3 1 ) 可写成 击篡o2 b t u ( x , t ) ，西2 k = 石1e 口鲁( 口砸，f ) 等) 巩 ( 地) 记j ( x ，f ) = ：a ( x ) “：( x ，f ) 缸则方程( 3 2 ) 满足 上& r - i i x ，2 2 ( a 2 州蹦) a f 2 k = 昙m ，f ) 定义宏观尺度的解是细观尺度的平均值，即u ( 墨f ) = i 1 篡”( y , t ) d y ，贝, l j u ( x , t ) 满足 a 2 uj ( x + a x 2 ，r ) 一j ( x 一5 x 2 ，f ) o t 2 a x 从而得到粗网格上的离散格式 塑竺三些查兰竺! ! 兰垡堡苎 笙三要苎望竺些兰鉴塞立鎏丝坚坐里 叼“= 掣一u t j1 + 譬咚一t ) ( 3 3 ) 式中j = 0 ，m ，h = o ，n ，盖i ，2 = j ( x j + 1 2 ，f ”) 称为宏观流量，u ? 是 u ( x ，t “) 的近似值。 方程( 33 ) 对应的初值条件与边界条件如下： u ；= f ( x ，) ，= 0 ，m( 3 4 ) u ，i = u 。0 + 篆( j a j i ) + 蛳( x = 0 ，m ，”_ o ，( 3 5 ) u ( a ，t ”) = g ( t “) ，u ( 6 ，t “) = g l ( f ”) ，n = 0 ，一，n( 3 6 ) 岳m i c 。： l 一xj x l “ 图3 1 在e 周丽的占一单元 ( 2 ) 细观尺度的差分格式 在细观尺度上，对每个x j 周围的子区域( 图3 1 ) 啄l ，2 = x ，+ ( 缸一c ) 2 ，x j + ( a x + e ) 2 】 岳l ，2 = 【x j 一( a x 一6 ) 2 ，z 一( x + ) 2 】 用细网格进行剖分，并得到原方程细观尺度上的差分格式。 对区域，之。采用如下网格剖分( 区域，乙，：相似) 仇= _ + 譬+ k a r ，k = o ，f f ”= f “+ m 缸m = o ，f 1 其中，= s a t ，i = a t a r ，a r “和7 7 a x 分剐是细网格的时间步长和空 间步长。用有限体积法可得原方程在细网格上的离散格式 “= 2 “? 一“r + r ( 0 k + ! ( 峨，一“? ) 一。一! ( 蹿一“r t l ) ) ( 3 7 ) 式中r = a r2 a t 2 ，0 女= a ( 仉g ) ，“? u ( r ”，仉) 的近似值 出宏观格式，“时刻的解u ”，分别线性地构造( 3 7 ) 式的初值条件和边界条件。 方程( 3 7 ) 对应的初值条件为 甜? = u j + ! ! 盖i ；翌( r l , - x j ) ，七= o ，0 8 ) “：= “：+ r ( 晓。l ( “：+ l 一“：) 一0 。1 ( “：一“0 一1 ) ) ( 3 9 ) 22 方程( 3 7 ) 对应的边界条件为 - t = “罡i + u ! l u ：i ( 3 1 0 ) ! 生e 尘兰墨兰堡圭兰兰要苎= 一芝三塞j ! 望竺些童! ! 壁互鎏丝! ! 坐旦 蠕= h ，+ 睨f w k = o ，肌= 0 ，f 3 i ) 式州n = 叼+ 竿( 缶训，氢_ + - - 缸如，7 且纠。h 1 d jf v - h m m 的基本求解步骤 已知r “时刻的解u ? ，由以下三步可以得到f 时刻的解u _ 。 第一步单元问题的求解 针对s 区域二。，在细观尺度上求解原问题。 以区域，a ，。为例，由细网格上的差分格式( 3 7 ) ，以及上述构造的仞值条件 和边界条件( 3 8 ) 一( 3 1 1 ) ，可以得到单元问题的解，i 2 f 乍u ；= h , ( , - m 仇) ，k ：0 ， m = 0 ，。 第二步用单元问题的解估计宏观流量 以区域，a 。为例，宏观流量的积分形式为 2 碉1 “嘶和触出 在后面的数值实验中，我们采用以下离散格式估算宏观流量 j j + 1 2 = 硐1 孙i 叫m 删+ 2 善峨叫) ) 式中“? 是单元问题的解。同样可得区域，二，：的宏观流量j ：。，：。 第三步宏观解 由所得宏观流量以。，2 对宏观离散格式( 3 4 ) 一( 3 6 ) 进行求解，得到f ”1 时刻 的解c ，? “。 3 2 2 稳定性分析 文献 1 7 】中已经给出：若g g s ( g e n e r a l i z e dg o d u n o vs c h e m e ) 稳定，则h m m 稳定。 因此，若构造出相应的g g s ，并分析g g s 的稳定性，则可分析本章 f v - h m m 的稳定性。 根据文献1 1 6 1 构造g g s 的方法，本文以均匀化等式为相关的宏观格式。 先 用均匀化理论推导方程( 3 1 ) 的均匀化等式 粤：e a ( x - 解- e - ) ( 3 1 1 ) c g t 。 。 、7 式中u 是均匀化问题的解。4 是出以下式子给出的均匀化算子 两北工业人学硕l 学位论t第三章 非均匀化多j t 度方法及j e 应用 爿2 南p 一删 式中x 由在单元y 上求解以下两个式子得到 钟力等) = 茜吣， f x ( y ) d y = 0 再出均匀化等式构造f v o h m m 相关的g g s ，即 曰“= 2 曰一e n 。+ a t2 ，- - ，n ( 可) ( 3 1 2 a ) p ( 可) 。去( 了m u m ，n ) 一了m 曰) ) ( 3 1 2 b ) ：( 耻南i ：小哟，州耐叩 ( 3 1 2 c ) 式中玎( x ，f ) 是用均匀化等式( 3 1 1 ) 取代原方程( 3 1 ) ，构造与原方程单元问题类似的 初值条件和边界条件，即得嚷。区域单元问题的解玎( x ，f ) ，f ( f ”，f ”1 ) 对于问题( 3 1 ) ， f v - h m m 稳定性条件【1 7 】是 爿堡1 a x 下面对上述稳定性条件进行证明。 先给出g g s 稳定的条件。由线性构造的初值条件及均匀化等式( 3 1 1 ) ，可以 知道 嘶) = 叼+ 鼍笋”即 四i 旃 ，+ l 。f ) u 品一叫n -_：-_ 缸x 将( 3 13 ) 式代入( 3 1 2 c ) 可以得到g g s 为 曰“= 2 曰一曰一l + 4 碚a t 2 u - - 川n 一2 曰+ 霹t ) 当爿坐妄l 时，k ( 3 1 4 ) 稳定，即与f v - h m m 相关的g g s 是稳定的。 a x 时f v _ h m m 稳定。 3 2 3 数值算例 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 故当4 坐l 血 为了验证算法的正确性，下面将本文所建立的f v - h m m 分别用于求解周期 系数的问题( 例3 1 ) 、拟周期系数( 例3 ，2 ) 及非周期系数( 相关随机系数，例3 3 ) 的 1 5 票冀妻当奎善篓害薹篓关娄= 了：= = = 一 笙三主韭望竺些兰鉴塞变鲨垒塾! ! 里 问题。在以下算例中，我们以精细削分有限体积法获得自獗石碎罹两否两磊。百 考察f v - h m m 的误差。 例3 1 周期系数( 口6 ( x ) = 口0 s ) ) 的多尺度问题 考虑以下具体问题 。蓑妻缡0 b 嘲 “5 ( x ，o ) = x2 ，“j ( x ，o ) = j “( 0 ，t ) = 0 ，“5 ( 1 ，r ) = 1 一t 2 其中口8 ( x ) = a ( x s ) = 2 + s i n ( 2 c f ) ，= 1 0 2 ，x e 【o ，l 】，f 0 , 1 】。 下面用f v - h m m 、有限体积法及均匀化方法分别求解上述问题，并通过f = i 时刻的解对三种方法进行比较。 ( 1 ) 计算结果的比较 在图3 2 中，我们把f v - h m m 的解与均匀化方法、有限体积方法的解分别 进行比较。可以看出，f v - h m m 与另外两种