（计算数学专业论文）关于多重耦合非线性抛物型方程组的几个问题.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本文主要研究了一类多重耦合的非线性抛物型方程组解的奇性的产生和发展问 题，特别纠正了在讨论同时b l o w - u p 速率中容易发生的一个常见错误，并且给出了保 证同时与不同时b l o w u p 发生的条件在这里通过引入相应的含有两个参数的特征代 数方程组，得到关于不同情形下同时b l o w u p 速率的清晰刻画另外，还讨论了一类 具对流项的非线性扩散方程组解的整体存在性与不存在性，特别是在f 占界情形下，给 出了区域的大小对解的整体存在性和不存在性的量化估计对这两个模型及结果简述 如下： 问题i 内部源及边界流多重耦合的非线性抛物型方程组 姚2v z 。+ u z 2 a v l 2 2 ( 1 ，t ) = ( 蜘v p 。) ( 1 ，t ) ( o ，) = 0 ， ( 。0 ) = v 0 ( x ) ， ( x ，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，t ) ( 0 ，t ) ， t ( 0 ，t ) ， x ( 0 ，1 ) ， 其中指标p i j 0 ( i ，j = 1 ，2 ) 仅考虑完全耦合的形式，假设下列条件至少之一成 立： 1 1 2 1 2 1 0 ，1 1 2 p 2 1 0 ，p 1 2 t 2 1 0 和p 1 2 p 2 1 0 为了刻画各种非线性机制之间 复杂的相互作用，这里所包含的非线性指标参数多到八个，使得该模型包括了非常丰 富的内容，需要讨论的问题多且复杂，例如，解的b l o w u p 临界指标，同时与不同时 b l o w u p 的条件，不同条件下的各种b l o w u p 速率等等这就需要有对非线性指标参 数细致的分类借助于对问题i 所引入的含有两个参数的特征代数方程组，得到所需 要的指标分类，完成了对以下问题的讨论： ( a ) 只发生同时b l o w u p 的充要条件； ( b ) 只发生不同时b l o w - u p 的条件； ( c ) 同时与不同时b l o w u p 共存的指标区域； ( d ) 边界流占优耦合时的b l o w - u p 速率； ( e ) 内部源占优耦合时的b l o w - u p 速率； ( f ) 一个内部源和一个边界流占优耦合时的b l o w u p 速率； ( g ) b l o w - u p 集 咖妒 lm m 酬 一。 | l i | 一一 一卅舻惦|q 刘丙辰：关于多重耦合非线性抛物型方程组的几个问题 问题i i 具对流项的非线性扩散方程组 髓 0 1 “”1 b l u ”1 2 i v u l 2 + t 俨1 q 1 a 2 甜m 2 b 2 v m 2 2 i v 秽j 2 + 让肌y q 2 。，t ) x ，o ) c o ) 0 3 ( x ，t ) = g o u o ( z ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ( z ，t ) n ( 0 ，丁) ， ( 2 2 ，t ) qx ( 0 ，丁) ， ( z ，t ) a n ( 0 ，t ) o q 其中ncr “是具有光滑边界的有界区域；常数p 2 ，q l 0 ，p 1 ，q 2 0 ，e o 0 ，m 。1 ， a i 0 ，巩芝0 ( i = 1 ，2 ) 由于系数和指标参数的任意性，问题i i 可以包含许多非线性 扩散模型，例如， 地= u h l ( a u ”1 + u 2 1 口。1 ) ，仇= 削 2 ( a v “2 + u 2 2 2 ) 其边界条件为u = 口= 5 0 和 u t = a e ”1 “+ e 】“+ 。 0 3 t = a e n 2 。+ e 2 “+ 。2 。 其边界条件为钆= ”= 0 我们详细地讨论了问题i i 解的整体存在性与不存在性文 献 6 6 讨论了问题i i 当a l = 0 2 = 1 ，6 l = 6 2 = 0 时的特殊情形，问题i i 的结果包含 了 6 6 中的全部结果，并有以下进一步的推广： ( a ) 在非临界情况下，给出了整体解和非整体解共存的指标区域； ( b ) 在临界情形下，得到区域大小对解的整体存在性和不存在性的最化估计 关键词：多重非线性抛物型方程组；多重耦合；非线性边界流；非线性内部源；特征代数 方程组；b l o w - u p ；同时b l o w - u p ；不同时b l o w u p ；整体存在；整体有界；b l o w - u p 速率；b l o w - u p 集 i i 大连理工大学博士学位论文 s o m ep r o b l e m so nm u l t i - c o u p l e d n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s a b s t r a c t t nt h i sp a p e r ，t h ea u t h o rs t u d i e san o n l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e mm u l t i c o u p l e dv i a n o n l i n e a rb o u n d a r yf l u xa n dn o n l i n e a ri n n e rs o u r c et e r m st h em a i np r o b l e m sf o c u s o no c c u r r e n c ea n dd e v e l o p m e n to fs i n g u l a r i t i e st ot h es o l u t i o n s e s p e c i a l l y , ac o m m o n e r r o ri s p o i n t e do u ta n dc o r r e c t e df o rp r o v i n gt h es i m u l t a n e o u sb l o w - u pr a t e s b y i n t r o d u c i n gt h ec h a r a c t e r i s t i cm a t r i xe q u a t i o na s s o c i a t e dt ot h em u l t i c o u p l e ds y s t e m t h e c o n d i t i o n sa r ed e t e r m i n e dt oi d e n t i f yn o n - s i m u l t a n e o u sa n ds i m u l t a n e o u sb l o w u p i np a r t i c u l a r ，f o u rd i f f e r e n ts i m u l t a n e o u sb l o w - u pr a t e sw i t hb l o w u ps e t sa r eo b t a i n e d a l s o i na d d i t i o n ，t h ea u t h o rc o n s i d e r san o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t hc o n v e c t i o n s t h ee x i s t e n c ea n dn o n - e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n si se s t a b l i s h e d i ti ss h o w nt h a tf o r t h ec r i t i c a lc a s e lt h ee x i s t e n c eo rn o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n sd e p e n d so nt h es i z e o ft h ed o r a a i n p r o b l e mic o n s i d e rt h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sm u l t i c o u p l e d v i an o n l i n e a rb o u n d a r yf l u xa n dn o n l i n e a ri n n e rs o u r c et e r m s ： 仇= v m z + u 。2 1 2 2 ， 口。( 1 ，t ) = ( 乱”1 护”) ( 1 如( 0 ，t ) = 0 ， u ( z ，0 ) = v 0 ( x ) ， t ) ( 0 ，1 ) x ( 0 ，t ) ( 0 ，丁) ， ( 0 ，t ) ， ( 0 ，1 ) ， w h e r et h ep a r a m e t e r s ，p i j 0 ( i ，j = 1 ，2 ) t h ec o m p l i c a t e da n di n t e r e s t i n gm o d e l c o n t a i n se i g h tn o n l i n e a rp a r a m e t e r st od e s c r i b et h em u l t i n o n l i n e a r i t i e st h e r ea l w a y s a s s u m et h a tt h ec o u p l i n gi sc o m p l e t e ，n a m e l y , a tl e a s to n eo ft h ef o l l o w i n gf o u rc o n d i t i o n sh o l d s ：1 1 2 1 2 l 0 ，1 1 2 p 2 t 0 ，p 1 2 1 2 1 0a n dp 1 2 忱1 0 t h e r ea r em a n ys u b j e c t s t ob ec o n s i d e r e df o rt h ec o u p l e ds y s t e m ，s u c ha s ，t h eb l o w u pc r i t i c a le x p o n e n t ，s i m u l t a n e o u sa n dn o n s i m u l t m m o u sb l o w - u pc o n d i t i o n s ，a n da l lp o s s i b l eb l o w u dr a t e s c l e a r l y , ap r e c i s ec l a s s i f i c a t i o nf o rt h en o n l i n e a rp a r a m e t e r si sn e e d e dh e r e f o rt h i s r e a s o n ，t h ec h a r a c t e r i s t i cm a t r i xe q u a t i o nf o rp r o b l e mii si n t r o d u c e dt or e a c ht h e i i i 挺涎 如 2 ， k 帕 铲 ， l l、j扣庐i 舡w 仉“ 。 = | | = 舻舻垆 |q而 u 乱 让 札 ，i，、【 刘丙辰：关于多重耦台非线性抛物型方程组的几个问题 f o l l o w i n gt o p i c s ： ( a ) t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs i m u l t a n e o u sb l o w u po n l y ； ( b ) t h ec o n d i t i o n sf o rn o n - s i m u l t a n e o u sb l o w - u po n l y ； ( c ) t h er e g i o n sf o rc o e x i s t e n c eo fs i m u l t a n e o u sa n dn o n s i m u l t a n e o u sb l o w u p ； ( d ) t h eb l o w u pr a t ew i t hb o u n d a r yf l u xd o m i n a t i n g ； ( e ) t h eb l o w u pr a t ew i t hi n n e rs o u r c ed o m i n a t i n g ； ( f ) t h eb l o w - u pr a t ew i t hc r o s s d o m i n a t i n g ； ( g ) b l o w - u ps e t p r o b l e mi ic o n s i d e rc o u p l e dn o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t hc o n v e c t i o n s ( 。，) q ( 0 ，t ) ， ( 。，t ) n ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) a n ( 0 ，t ) o q w h e r encr 。i sab o u n d e dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r y ；p a r a m e t e r sp 2 ，q 1 0 ， p l ，船0 ，e 0 0 tm i l ，吼 0 ，阮20 “= 1 ，2 ) d u et o t h ev a r i e t i e so f t h ee x p o n e n t p a r a m e t e r sa n dt h ec o e f f i c i e n t s ，p r o b l e mi ic o v e r ss o m en o n l i n e a rd i f f u s i o ns y s t e m so f d i 船r e n tf o r m s s u c ha s 砜= 1 t , h 1 ( a u m + u 籼甜2 1 ) ， 仇= v h 2 ( z x v “2 + 乱乜廿如) w i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n 札= ”= s o ，a n d 地= a e “1 “+ e k l “+ f w ，钝= a e ”2 ”+ e k 2 u + z 2 ” w i t h 钍= = 0o n t h eb o u n d a r y t h ee x i s t e n c ea n dn o n - e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n si sd i s c u s s e d i fa 1 = a 2 = 1 a n d b l = 6 2 = 0 ，t h er e s u l t si nt h i sp a p e rc o v e rt h o s ei nf 6 6 jw i t ht h ef o l l o w i n ge x t e n s i o n s ： ( a ) t h ep a r a m e t e rr e g i o nf o rt h ec o e x i s t e n c eo fg l o b a la n dn o n g l o b a ls o l u t i o n s ； ( b ) i nt h ec r i t i c a lc a s e ，t h ei n f l u e n c eo ft h ed o m a i n ss i z et ot h ee x i s t e n c ef g l o b a l b o u n d e d n e s si nf a c t ) o rn o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n s i v 蛳 舻俨 巩 严。一 旬陬驯卜卜哪一舢扩如咄 西抛 一 一 咄 一俨叭 啦幻 = 叠 q毗仇硪呱 大连理工大学博士学位论文 k e yw o r d s ：m u l t i - c o u p l e dn o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ；m u l t i c o u p l e d ； n o n l i n e a rb o u n d a r yf l u x ；n o n l i n e a ri n n e rs o u r c e ；c h a r a c t e r i s t i ca l g e b r am a - t r i xe q u a t i o n ；b l o w u p ；s i m u l t a n e o u sb l o w - u p ；n o n s i m u l t a n e o u sb l o w - u p ； g l o b a le x i s t e n c e ；g l o b a lb o u n d e d n e s s ；b l o w - u pr a t e ；b l o w - u ps e t v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 劐两履日期：型! ! ：! 皇 刘丙辰：关于多重耦合非线性抛物型方程组的几个问题 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交 学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：塑两丛 导师签名 塑q 年上月丝日 8 8 1 绪论 我们首先概述本文所研究问题的实际背景和发展现状，然后对本文的主要结果做 简要介绍 1 1问题的背景及发展现状 非线性科学是当代科学中重要而活跃的研究领域大干世界复杂的自然界现象和 规律大都是由非线性偏微分方程( 组) 来刻画的，这使得非线性偏微分方程( 组) 成为 数学与整个自然科学的一个重要接口同时人们发现，对非线性问题的研究不存在一 劳永逸的统一工具和方法非线性问题的极端复杂性直接反映了自然现象的极端复杂 性以下是非线性发展方程的典型实倒：对非线性抛物型方程组来说，非线性可以来 自内部反应项( 源) 、对流项( c o n v e c t i o n ) 、扩散项( 高阶项) 、边界流项( f l u x ) 以及经 由它们所形成的复杂的耦合关系所有这些非线性项都可能导致解的奇陛的产生：解 在有限时刻发生b l o w - u p ( 爆破) 、e x t i n c t i o n ( 灭绝) 、q u e n c h i n g ( 熄灭) 等，分别可以 用来刻画( 固体燃料) 爆炸、( 种群) 灭绝、( 金属) 淬火等现象上述四种非线性间的 相互作用，加之各分量之间的非线性耦合作用( 竞争、互惠、交叉扩散等) ，使得产生 ( 或消除) 奇性的规律性极其复杂，有时还与空间维数和区域的几何性质有关下面简 要叙述关于这些问题的现有结果( 参阅文献f 1 8 7 j ) 以非线性扩散方程u 。= 札”土u p 为例来说明模型中各项所代表的意义： ” 刻画扩散，q - u p 为源( 负号表示吸收) ，当m = 1 时是热传导方程；而m 1 代表多 孔介质或慢扩散方程，0 1 ) ，并做出b l o w u pp r o f i l e 估计关于指数型吸收项和边界流问 题的b l o w - u pp r o f i l e 的研究参见 8 4 】在文献 5 8 中r o d r i g u e z b e r n a l 和t a j d i n e 对 具有吸收项的半线性方程“t = a u 一，( 札) 附加n e u m a n n 边界条件丽o u = 9 ( u ) 的初一 边值问题得到解整体存在与不存在的条件 在文献【8 0 ，8 1 ，8 2 中，z h e n g 研究了毗= a u 4 - ! u q l v p l ，地= a v 4 - ! u q 2 v p 2 的齐 次d i r i c h l e t 问题，得到解整体存在与不存在的条件，并在一定的假设条件下得到“和 口的同时b l o w - u p 速率为d ( ( 丁一t ) ”) 和o ( ( t t ) 一4 ) ，这里t 为b l o w u p 时间，而 血，口是以下特征代数方程组的解 ( p 1驰! 。) ( ；) = ( ；) w a n g o 】改进了上述b l o w - u p 速率估计的条件 对u = a u ，吨= 附加n e u m a n n 边界条件豢= , u q l v p l ，是= , u q 2 v p 2 的初一边 值问题，d e n g 圳对9 1 = p 2 = 0 的情形得到解整体存在的充要条件，后来w a n g 7 3 1 得到b l o w - u p 速率估计为0 ( ( t 一) 一；) ，o ( ( t t ) 一g ) ，其中q ，卢的定义如上 对于拟线性方程( u m ) t = i t 。附加边界条件“。( o ，t ) = 0 ，! u x ( 1 ，t ) = ! u a ( 1 ，t ) 的初 一边值问题，f i l o 在文献 2 0 】中得到解整体存在的充要条件，并在更强的条件下得 到b l o w - u p 速率估计后来，d e n g 和x n 解决了 2 0 】中留下的问题w a n g 在文 献 6 8 中研究了7 , = a u ”，仇= 护( m ，札1 ) 附加n e u m a n n 边界条件舞= 札。矿， 2 大连理工大学博士学位论文 嘉= t t q v b 的初一边值问题，得到解整体存在的充要条件，又在文献 7 5 中研究了 ( u ”) t = “，( “) t = a v ( m ，n 1 或m l ，0 0 ，1 1 2 p 2 1 0 ，p 1 2 1 2 1 0 和p 1 2 p 2 1 0 文献 6 2 ，7 7 讨论了上述问 题的b l o w - u p 临界指标，但所讨论的b l o w - u p 并未区分同时或不同时，也未涉及解的 b l o w - u p 速率本文将深入研究非整体解的b l o w u p 渐近行为，得到各种不同条件下 的b l o w - u p 速率为此，需要首先确定非整体解的同时与不同时b l o w u p 准则。通过 引入特征代数方程组 ，a 1 ( 2 p 1 i 一2 ) + ( 1 一a 1 ) ( # 1 1 一1 ) a l 2 p 1 2 + ( 1 一；h ) i 1 2 、。、1 、 a 2 2 p 2 1 + ( 1 a 2 ) 1 2 1 a 2 ( 勋2 2 2 ) + ( 1 一a 2 ) “2 2 1 ) 卢 1 其中九 o ，1 ，i = l ，2 ，实现了对这一准则的清晰刻画 ( a ) 对于任意初值，只发生同时b l o w - u p 的充要条件； ( b ) 对于任意初值，只发生不同时b l o w - u p 的条件； ( c ) 同时与不同时b l o w u p 共存的指标区域 第3 章继而讨论上一章的多重耦合非线性抛物型方程组的b l o w - u p 速率 不同时b l o w - u p 的b l o w - u p 速率本质上等价于单个方程情形，故在这里仅考虑较 为复杂的同时b l o w - u p 情形的b l o w - u p 速率 在文献【4 9 ，5 0 】中，m u 等利用上下解方法分别考虑了非线性内部源占优耦合时 和非线性边界流占优耦合时的同时b l o w u p 速率但是上、下解方法并不适用于讨论 解的b l o w - u p 速率问题，因为所构造的上、下解一般不可能拥有与解相同的b l o w - u p 时间，从而它们的b l o w - u p 速率对解的b l o w u p 速率估计没有意义本文纠正了这一 错误，采用合理的方法给出这两种情形下解的b l o w - u p 速率估计的证明此外，我们 还讨论了【4 9 ，5 0 】中没有考虑的两种交叉耦合占优情况，得到各自的同时b l o w - u p 速 率特征代数方程组使我们得以清晰地刻画所得到的四种同时b l o w ，u p 速率本章所 讨论的问题是： 4 查垄垄三查兰堡主兰垡堡茎 ( a 1 边界流占优耦合时的b l o w u p 速率； ( b ) 内部源占优耦合时的b l o w - u p 速率； ( c ) 一个内部源和一个边界流占优耦合时的b l o w u p 速率 ( d ) b l o w u p 集 在第4 章中，考虑如下具有对流项的非线性扩散方程组 ； 。1 “”1 一b l u ”1 2 i v u l 2 + l i p l v q l a 2 a v m 2 一b 2 v m 2 2 v 1 2 + t 上9 2 口q 2 z ，t ) = c o ， z ，0 ) = u o ( x ) v ( x ，t ) = e o ， u ( z ，0 ) = v o ( x ) ( 茁，t ) n ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) n ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) a q ( 0 ，t ) z q 、 其中n r n 是有界区域，边界a n 光滑；常数m i 1 ，啦 0 ，b i 0 ( i = 1 ，2 ) ， p 2 ，口l 0 ，p 1 ，口2 0 ，g o 0 讨论了解的整体存在与不存在性，包括；整体解与非整 体共存的指标区域；只存在整体解的指标区域；在临界情况下，给出解的整体存在与 不存在性对区域大小的依赖性的量化估计这个问题所对应的特征代数方程组是 p l 一”1 i p 21 m 。) ( ：) = ( ：) 5 2 多重耦合非线性抛物型方程组的同时与不同时b l o w - u p 2 1问题介绍 考虑如下具有非线性内部源和非线性边界流的多重耦合抛物型方程组 fu t = u 。+ 札。l l 1 2 ， 仇= u 。+ 钍1 2 1 口b ，( x ，亡) ( o ，1 ) ( o ，t ) ， j u z ( 1 ，) = = ( “9 1 1 口9 1 2 ) ( 1 , t ) ，v x ( 1 , t ) = = ( “9 2 1 口”2 2 ) ( 1 ，。) ，。( o ，t ) ， f 2 1 1 1 i “。( o ，t ) = 0 ， ( o ，t ) = 0 ，( 0 ，t ) ， 【u ( z ，0 ) = 札o ( 。) ， u ( z ，0 ) = v o ( x ) ，z ( 0 ，1 ) ， 其中b ，p 甜20 ( i ，j = 1 ，2 ) ；t 是解的最大存在时间；初值( “o ，u o ) 适当光滑，并且 “o ，口o 矿 0 ，u ：，口：，u ：+ “0 1 话2 ，略+ “0 1 瞎2 0 ，z ( 0 ，1 ) ，( 2 1 2 ) “j ( 1 ) = ( u g “ 9 1 2 ) ( 1 ) ，( 1 ) = ( 让p 。” 驴) ( 1 ) ，u ：( o ) = 嵋( o ) = 0 ( 2 1 3 ) 本文将把满足( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 的初值的集合记为v o 由比较原理 5 2 】得 7 2 t ( z ，) ， t ( 。，) ，礼。( z ，t ) ，t 岛( z ，t ) 0 ，( 。，t ) e 0 ，1 o ，t ) ( 2 1 4 ) 八个指标参数的引入使得方程组( 2 1 1 ) 蕴涵了丰富的内容和物理背景，需要讨论 的内容多而且复杂形如( 2 1 1 ) 的多重耦合非线性抛物型方程组可以用于描述化学反 应和热交换过程等，其中u 和 可表示两种化学反应物的浓度，两种不同物质在热交 换中的温度【4 ，6 1 1 等 关于方程组( 2 1 1 ) 解的整体存在和不存在性，s o n g 和z h e n g 在 6 2 】中给出如 下结论： 命题2 1 方程组( 2 1 1 ) 的任何正解都是有限时刻b l o w - u p 的充要条件是 f 1 1 1 ， 或1 2 2 1 ，或p n 1 ，或p 2 2 1 ， 1 或p 1 2 p 2 l ( 1 一p h ) ( 1 一p 2 2 ) ，或1 1 2 1 2 l ( 1 一f 1 1 ) ( 1 一z 2 2 ) ， ( 2 1 5 ) 或1 1 2 p 2 1 ( 1 一f 1 1 ) ( 1 一p n ) ，或p 1 2 f 2 1 ( 1 一p 1 1 ) ( 1 一f 2 2 ) j 7 刘丙辰：关于多重耦合非线性抛物型方程组的几个问题 口 在 6 2 】中，条件( 2 1 5 ) 只能判断方程组( 2 1 1 ) 的解按如下定义是b l o w - u p 的 l i m s u p ( i l u ( ，t ) l l o 。+ i i v ( ，t ) l i 。) = + 。 t _ r 但不能区别是“与v 同时发生b l o w u p ，还是只有其中之一发生b l o w - u p ( 不同时b l o w - u p ) 为此，给出同时b l o w u p 的定义： l i m s u p l l u ( ，t ) l l 。= l i ms u p i i v ( - ，0 1 1 。= + 。 一r一t 在本章中，我们将以条件( 2 1 5 ) 为出发点，进一步给出区分方程组( 2 1 1 ) 的解发生 同时或不同时b l o w - u p 的精细条件 5 4 1 随后的有关分析方面的工作可参看 6 4 ，6 0 ，l ，5 6 ，5 7 _ 下面对已有的问题和结论 关于仅由边界流耦合的抛物型方程组问题，p i n a s c o 和r o s s i 5 4 对模型 赛划1 妒”，鬻一”庐2 ， 眯锄( 0 ，丁) ，( 2 ) 【札( z ，0 ) = u o ( z ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ， z ncr q u i r 6 s 和r 0 s s i 【5 6 】讨论了内部源耦合的c a u c h y 问题 毗2 u + u “1 口“2 ，仇2 + u 妊1 k 2 ， ( z ，。) r ( o ，t ) ， ( 2 1 7 1 【( z ，0 ) = 乜o ( 。) ，仃( ，0 ) = t 圯( z ) ， z r n ， 大连理工大学博士学位论文 命题2 3 当i n 1 和f 2 1 1 和f 2 1 0 ，p i j 0 ( t ，j = 1 ，2 ) 他们分析了发生不同时b l o w u p 的各种情 况值得注意的是在 2 的相应讨论中去掉了限制条件( 2 1 8 ) 我们首先引入( 2 1 1 ) 所对应的特征代数方程组( 参考 s o ，8 1 ，8 2 】) 9 ，o i 帕岬心孙h扣咖弦“|吣俨， k l(u坼舭州计 | | = 加甸加归净吣 k一 唧脚以垆 叫俨叫呻 驴书申毗 【 、一、心 口p，一 ， 、 胁也汁“ 却1 缈m ” 一k hn 力 h a 一 一 0 0 + +叫锄 轨a h ， 刘丙辰：关于多重捐台非线性抛物型方程组的几个问题 其中凡 o ，1 ) ( i = 1 ，2 ) 也就是 ( d ，p ) = ( 。l ，角) = 当 ( 0 2 ，岛) = p 1 2 + 1 一p 2 2 p 2 1 + 1 一p l l 2 p 1 2 p 2 1 一( 1 一p 1 1 ) ( 1 一p 2 2 ) 2 p 1 2 p 2 1 一( 1 一p 1 1 ) ( 1 一p 2 2 ) = a 2 = 1 1 1 1 ! 二垫 1 1 2 1 2 1 一( 1 一f 1 1 ) ( 1 一 当a 1 = 也= o ； 垒! ! 二! ! 1 2 1 一( 1 一f 1 1 ) ( 1 1 2 2 ) c 。a = ( 瓣喜等，甄搴杀 1 一z 2 2 p 1 1 ) ( 1 1 2 2 ) 当a l = l ，a 2 = 0 垒! ! 二垄! 1 2 p 1 2 1 2 1 一( 1 一p 1 1 ) ( 1 一f 2 2 ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 0 ) 中的参数对方程组( 2 1 1 ) 的非线性项之间的相互作用关系是很重要的 为清晰表示同时与不同时b l o w - u p 发生的判据，引入记号 五= m a x l i j + 1 一j ，助甜+ 1 一如j ) = m a x 幻+ 2 一锄，w + 2 2 鳓，) 其中i ，j = l ，2 ，i j 下文中以g 和c 表示不依赖于时间t 的正常数，且可以逐行代表不同的数值 2 2 只发生同时b l o w u p 的充要条件 定理2 1 对于任意初值解只能发生同时b l o w - u p 的充要条件为 m i n 1 ，历，互，况) 0 ，口 显然，定理2 1 等价于以下不同时b l o w - u p 判据 (h( 、 兰一 扎 瓣h ( 当 卜风 大连理工大学博士学位论文 为 定理2 2 存在适当初值使得方程组( 2 1 1 ) 的解发生不同时b l o w u p 的充要条件 m i n z 1 ，另，毛，函1 0 在定理2 2 条件下，一个分量可单独发生b l o w u p ，但不能带动另一个分量b l o w - u p 例如条件 五= h l a , x ( 1 1 2 + 1 一f 2 2 ，2 p 1 2 + 1 一f 2 2 ) 0 ，z ( 0 ，1 ) ，存在正常数c 使得 叫( o ，t ) c ( t t ) 一可气，t ( 0 ，丁) ( 2 2 1 ) ( i i ) 存在只依赖于i n 的正常数5 0 和岛使得( 2 2 1 ) 对于所有w ( x ，0 ) 5 0 一致成 立。其中c = c o 证明情况( i ) 是定理4 ( i ) 【6 3 】的直接结果，不再赘述 情况( i i ) 的证明可以类似于定理4 ( i ) 6 3 1 和引理3 4 1 6 3 1 得到，只需要进行一些小 的修改，例如，取( z ) 26 。= 2 等譬( ( 。) 的定义见【6 3 】中( p ) ) ；在引理3 4 ( 6 3 1 中， 取r 3 = 2 2 。l l + 6 和5 3 = 2 - ( 2 1 i i + 鼬，因此 c r = 岛瑙4 1 i ，1 + - l j 3 1 1 1 南口 刘丙辰：关于多重耦合非线性抛物型方程组的几个问题 以下引理对于证明让在有限时刻? 发生b l o w - u p 而 保持有界是非常重要的 引理2 2 ，假设m a x l l l ，p i t 1 ( i ) 若f 1 1 2 p 1 1 1 ，则存在正常数e 使得 u ( t ) c ( t t ) ，t ( 0 ，r ) ，( 2 2 2 ) 其中d = 1 ( 1 n 一1 ) 特别地，存在只依赖于f 1 1 的正常数南和q ，对于初值满足 u o 如的解一致地有( 2 2 2 ) 成立，其中c = c o ( i i ) 若f l ls2 p , 一l ，则( 2 2 2 ) 成立，其q - 乜= i ( 印i l 一2 ) ， c = 岛= f 2 p l l 一1 ) 1 一雨赢可( 2 一娩) 一者( 谚矗百9 1 2 ( 1 ) ) 雨1 j 让明【l j 足义u ( x ，t j2w 【l z ，”宙引理2 1 互授得到 ( i i ) 设r 是热方程的基本解( 参见【2 1 ，4 6 1 ) 对于0 z t t ，由g r e e n 恒等式 和跳跃关系得 ；钍( 1 i t ) = l i ( 1 - y , t - z ) u ( 舭协 + z t z 0 1 f ( 1 - y , t - r ) ，l l l l v l l 2 ( 可，r ) 白打 + 。r ( o , t - - 1 ) 钍p 1 1 v p l 2 ( h 胁 + z 。邮等鲁氓 因此 即，掣裟批 v 丽j = 、，。i 1 一t 则归z 。器删。 玖蛇 掣 p 1 1 器 对以上不等式从t 到t 积分得 邢，s 去( 高) “ 南c ，一南皿z 矧 盔堡垄王查兰堡主堂垡堡茎一 另一方面，对于0 z = 2 t t t 四2 1 ( 8 v o ( 1 ) 十4 m o ) “2 ， 其中c o 的定义见引理2 2 选取初值( 钍o ，) 使得t 满足 t 冬知羔t 1 - 1 2 1 a - i - 而鼍丽t 知2 m 1 类似子 4 7 的讨论得 c ( t t ) 一o u ( t