（运筹学与控制论专业论文）模糊数模糊测度空间中若干问题的研究.pdf

摘要 本文主要研究了模糊数值模糊测度的结构特性和模糊可测函数的性质以及c h o q u e t 积分定义的 单调集荫数对原单调集函数结构特性的遗传性具体工作如下； ( 1 ) 引入了模糊值模糊澜度的几个新的结构特性，如强序连续、弱零可加等并讨论了它们与其 他结构特性的关系 ( 2 ) 对模糊可测空间中模糊子集上的模糊可测函数给出了新的定义详细讨论了模糊可测函数的 性质通过个反匆指出了 5 】中模糊可测函数定义的不合理性 ( 3 ) 讨论了模糨值模糊溯度空间上模糊值模糊可浏函数序列的收敛性定理建立并证明了模糊值 模糊澍度空问上的e g o r o f f 定理、l e b e s g u e 定理和r i e s z 定理在强序连续和性质( 8 ) 的条件下证明 了e g o r o f f 定理；在强序连续的条俘下证明了l e b e s g u e 定理；在性质( 且) 的条件下证明了r i e s z 定理 所有这些结论都是经典测度论和数值模糊测度论中相应结论的推广 ( 4 ) c h o q u e t 积分是一个目前受到广泛关注的热点问题f 2 毛3 0 ，3 2 ，3 3 ，3 8 】本文在第五章讨论了 由c h o q u e t 积分定义的单调集函数的些性质，回答了王震源和g j k l i r 等在( 3 卸中提出的一个公 开同题 关麓词：非可加测度；模糊数；模糊值模糊测度；模糊可测函数；e g o r o 在定理；l e b e s g u e 定理； r i e 目z 定理；c h o q u e t 积分 a b 酣r a c t a b s t r a c t 1 l i nt h i sd i s s e r t a t i o n s o m er e s e a r c h e so nf u z z yv a l u e df u z z ym e a s u r e s a r em a d e t h e f u z z ym e a s u r a b l e f u n c t i o n so nf u z z ys u b s e t sa r ed e f i n e da n dt h ec o n v e r g e n c et h e o r e m sf o rs e q u e n c eo ff u z z yv a l u e df u z z y m e a s u r a b l ef u n c t i o n so nf u z z yv a l u e df u z z ym e a s u r es p a c e sa r ec o n c e r n e d t h ep a p e ri so r g a n i z e d f o r l o w s ( 1 ) s o m e n e ws t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i c 8o f f u z z yv a l u e df u z z ym e u r e ，s u c h 鲫w e a k l yn u l ! - a d d i t i v i t y a n ds t r o n g l yo r d e r - c o n t i n u i t ya r ei n t r o d u c e di nc h a p t e r2 t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e ma n dt h e p r e v i o u ss t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i o s u c ha sn u l l - a d d i t i v i t ya n do r d e r - c o n t i n u i t y a r ed i s c u s s e d ( 2 ) i nc h a p t e r3 ，f i r s tg i v et h ed e f i n i t i o no ff u z z yv a l u e df u z z ym e a s u r a b l ef u n c t i o na n dd i s c u s s s o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h em e a s u r a b l ef u n c t i o n s t h e nw ep o i n to u tt h ep r e v i o u sd e f i n i t i o no fm e * s u r a b l ef u n c t i o ng i v e ni n f 5 5 i sd e f e c t l a s t l y , t h ep r o p e r t i e so fm e a s u r a b l ef u n c t i o n & r ed i s c u s s e di n g e n e r a l ( 3 ) t h ec o n v e r g e n c et h e o r e m sf o rs e q u e n c eo ff u z z yv a l u e df u z z ym e a s u r a b l ef u n c t i o n so nf u z z y v a l u e df u z z ym e a q u r es p a c e sa r ec o n c e r n e di nc h a p t e r4 s e v e r a li m p o r t a n tc o n v e r g e n c et h e o r e m s ，s u c h 鸫e g o r o f ft h e o r e m ，l e h e e 弘et h e o r e ma n d p d e s zt h e o r e m ，韪r ee s t a b l i s h e da n dp r o v e d e g o r o f ft h e o r e m i sp r o v e du n d e rt h ec o n d i t i o no fs t r o n g l yo r d e r - c o n t i n u i t ya n dp r o p e r t y ( s ) w ea l s os h o wt h a te g o r o f f t h e o r e mr e m a i n sv a l i do nf i n i t ef u z z yv a l u e df u z z ym e a s u r es p a c e sw i t h o u ta n ya d d i t i o n a lc o n d i t i o n s l e b e s g u et h e o r e m i sp r o v e du n d e rt h ec o n d i t i o no fs t r o n g l yo r d e r - c o n t i n u i t y r i e s zt h e o r e mi sp r o v e d w h e nt h em e a e a l r ep o s s e s s e st h ep r o p e r t y ( s ) a l lr e s u l t si nt h i sc h a p t e rc b er e g a r d e da st h eg e n e r a l - i z a t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n go n e 8i nb o t hc l a s s i c a lm e a s u r et h e o r ya n df u z z ym e a b m et h e o r y , ( 4 ) c h o q u e ti n t e g r a ld r a w sm u c ha t t e n t i o nr e c e n t l y1 2 4 ，3 0 ，3 2 ，3 3 ，3 8 】i nc h a p t e r5 ，w em a i n l y c o n c e r nm o n o t o n es e tf u n c t i o nd e f i n e db yc h o q u e ti n t e g r a l a no p e np r o b l e ms u g g e s t e db yw a n ga n d g j k l i r 3 8 】i ss o l v e da n ds o m ep r o p e r t i e so ft h em o n o t o n e 喊f u n c t i o na r es u r v e y e d k e y w o r d s ： n o n - a d d i t i v em e a s u r e ；f u z z yn u m b e r ；b h z z yv a l u e df u z z ym e u r e ；f u z z ym e a s u r a b l e f u n c t i o n ；e g o r o f ft h e o r e m ；l e b e s g u et h e o r e m ；r i e s zt h e o r e m ；c h o q u e ti n t e g r a l y 6 444 9 0 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特i i i l i 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同怠对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：- 必幽期：丝，、切 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括 刊登) 论文的全部或部分内容。论文钓公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：丝陛竖：导师签名查垦日期：w 唧，。加 第一章引言 t t 从1 9 6 5 年l a z a d e h 发表关于模糊集的开创性论文【1 3 】后，模糊数学的研究获得了迅速的发 展，目前已经形成一个具有广泛应用的新学科【1 在实际中，模糊集理论已广泛应用于系统科学、 认知科学、信息科学和人工智能等领域；在理论上，模糊集理论与经典效学的各个分支相结合，从而 产生了诸如模糊拓扑学、模糊代数学、模糊分析学等新的数学分支 在模糊分析学这个分支中模糊测度与模糊积分占有重要位置模糊测度首先由s u g e n o 在 2 7 中提出，它是指满足以下条件的集函数p t ( 1 ) p ( 语) = 0 且p ( x ) = 1 ，e c f ：= 争p ( e ) 弘( f ) j ( 2 ) 若 足) 为m 中盼单调集列，则l i r a 。- 。p ( r ) = 芦( 1 虹n n _ + * 足) 后来r a l e s c u 和a d 2 s 把它推广到取值于【0 ，+ o 。】上： 定义设为空间x 的某些子集组成的类如果集函数弘：- 4 f 0 ，+ o 。】满足以下条件t ( f m l ) p ( 0 ) = o ； ( f m 2 ) a c b = 辛p ( a ) p ( b ) ； ( f m 3 ) a 。，a ，a 芑= = = h m 。- + p ( a 。) = p ( a ) ( f m 4 ) a 。a ，a e 且芦( a 1 ) 0 ，存在正整数n ，使得 当n 时，成立f ( k ，a ) 0 ，j6 0 ，使对雪，户，有 肛( 啻) v p ( f ) ( 6 = p ( 雪u 户) s 命题2 2 1 6 1 1 4 若p 是序连续的，则_ f 是穷竭的 命矗2 , 2 1 7 1 4 若p 上自连续，则p 有p g p 一 命氆2 2 1 s 1 4 1 若p 有p 9 p 且 岛) c ，( 幻l i m 。- + 。p ( 岛) = 0 ，则存在数列 矗) c 疗。和 岛) 的予列 岛) 使得“0 ，且 十 p ( u ) a ) ，：x + ，( r ) 表示定义在x 上的模糊数值函数，那末 ，( z ) = u 州( ，( 功) i ，( ，( z ) ) 女】垒u a l 西( 。) ，付( z ) 】 i o 1 1 【0 ，l 】 友( ) ，对( $ ) 是x 上的实值函数 定义3 , 1 1 设( x ，门是模糊可测空间，亩， ( 1 ) 实值函数，：x + 卜o o ，+ 】称为袁上( 关于x ，) 的实值模糊可铡丞数，如果对于任 何口e ( 一0 0 ，+ o 。) ，都有啻n x r ，和啻n x t ，； ( 2 ) 模糊数值函数，：x _ + p ( r ) 称为啻上( 关于伍，户) ) 模糊可测的，如果对于任何的 ( o ，1 】) 疗( ) 和对( ) 都是雪上的实值模糊可测函数 我们用f m ( e ) 表示宙上实值模糊可测函数全体所成之集，用f 砑( 雪) 表示啻上模糊值模糊可 测函数全体所成之集 现在我们来讨论实值模糊可测函数和模糊值模糊可铡函数的基本性质 定理3 1 2 ，f m ( 雪) 铮饱( 一，+ o 。) ，k n x 如，且啻n x k ， 证明：“辛”若，模糊可测，那末由 啻n 如= 亩n ( ux f a + ) = u ( 啻n x r 。+ ) ， r 0 1n = l 亩n k = 啻n ( u x + ) 。= n ( 亩n x t + 1 ) n = l “ t l = 1 并且v n = 1 ，2 ，雪n 碱+ 只啻n 琏+ 只可得雪n x 屁，且啻n x k ， 7 东南大学硬士论文 8 “仁”va ，由 + + 豆慨2 啻n ( q x 铒) 2 旦( g n x 铒 雪n 玩2 州旦x 卜型加x b 并且v 竹= 1 ，2 ，一，啻n x 崎，亩n k ：r ，所以雪n x r ，并且啻n x f 由此可知 。一：o 一 ，模糊可测，即，f m ( 亩) 推论3 1 3 若，f ( 甸，则v ae 一o 。，+ o 。】，雪n x 协m 净。) ，且啻n x l 。：，( ；) ：。) ， 证明：若口( 一o 。，+ o o ) ，则由 e n x ；：，( 。) = 。，= 豆n ( x 凡一x 玮) = ( 雪n x 凡) n ( 亩n x ) ， 啻n x 。：，( 。) ；。) = 亩n ( x f a x f 五) 。= ( 雪n x k ) u ( 啻n x 如) 并且，是模糊可测的，所以壶n x ；：，：。) ，豆nx 。：，( 曲：。 ， 若a = + o o ，则由 + 。+ 廖n x 。：，( ：) ：十。l = 啻n ( nx r ) = n ( 豆n x r ) ， ， = lf t = l + + o 。 雪n x ；：，( ；) ；+ 田l = 豆n ( nx f - ) 。= u ( 啻n x k ) n = ln = l 可得雪n x ( 。：，扣) = + 。 ，雪n x ；：，扛】_ + ) ，- 类似可证a = 一时结论成立 由上面的定理及推论可以得到下面的结论 推论3 1 4 以下三十条件等价t ( 1 ) ，f f ( 雪) ； ( 2 ) v a 卜o o ，+ 。o 】，豆n x r ，且意n x 免， ( 3 ) v a 【一o o ，+ o o ，g n x 凡，且g n 屯， 定理3 ，1 ，5 若i i ( z ) l o 。，则，f m ( 固) 甘v a ，卢e ( 一o 。，+ o o ) 陋 卢) ，有 啻n x 伽：a 蔓，( 。) 卢 e ，及豆nx ；：。s ，( ) 卢j ， 证明： 。= 只需注意x 协。s ，( ；) ( 册= x r x f 一即可 模糊值模糊可溯函数 9 a # ”v q ( 一。o ，+ o 。) ，由 + + 应n x n = 啻n ( u x 扣：。，( 。) 口+ 。 ) = u ( 啻nx ；：a s ，( z ) a + n ) ) n = 1 ”= 1 上o o + 塞n x k = 雪n ( ux 。：。s ，净) a ) ； ( 3 ) 对于v , y ( o ，1 和n ，卢( 一o 。，+ o 。) ( 口卢) ，有： e n x 王：。s ，f ( 。) ( 卢， 豆n x ；。：。s 巧( 。) 甜，e n x ( 茎疗( z ) 口) ，和er 、x ；。：。站；) 。) = 雪n ( x ；，( ；) 2 。) 一x 。，扣) = 。，) t gn x t 。，) 。) = gn ( x 忙，【。) 。) 一x 扣，( 。) ：。 ) 。，因此易知g n x ；，( 。) 4 ) 只和g n x i ，( ：) 。 ， 同理， e n x 恼，( 。) 1 时。 蜀n 缝。= ( o 8 1 + 0 4 2 ) n ( 1 1 + o 2 ) = o 6 1 + 0 1 2 簪， 注3 3 - 2 我们需要特别指出的是，如果，f m ( e ) 。鄢么未必对任何a ( 一o 。，+ ) ，都有 x r ，- 事实上，上例中，f m ( f - a ) ，但当2 a 1 时，r = 2 ，因此x r = x 2 ) g ， 3 3 可耐函数的进一步性质 现在我们进一步讨论可测函数的些其他性质 引理3 3 - 1 若f , g e f m ( 甸，则豆n 弘， 口 芦，豆n x ， ， 证明：设 r 。，为有理数的全体，则只薷注意到 + 忙：， 办= u ( 扣：， h ，n 伽：g 9 ) ，豆n ) ( ， g ) ， 定理3 3 2 设，9 在亩上模糊可测则下列函数( 假定它们有意义) 皆在亩上模糊可测：( 1 ) ，+ 9 ( 2 ) ，f ( 3 ) 1 ( 4 ) ，g 证明：当g ( z ) 三c ( 有限常数) 时( 1 ) 和( 4 ) 显然成立对于般情形只蘅注意到： ( 1 ) 譬：，+ g a = z ：， 一g + a ) ( 2 ) 忙： ，i o ) = ( 3 ) 如：1 s o ) = ( 4 ) 忙：，- 9 口) = a 0 a 0 n = 0 n , 1 i o l 口0 j u i ，i a ) n = 1r l = 1 即知口( ) ，a ( ) f m ( 雪) 由命题3 3 3 易知； 命赶3 3 4 设u 。) cf l f ( 亩) ，则l n 乳_ + 。厶( $ ) f m ( 雪) ，面。一+ 。厶( $ ) ef m ( 啻) 特别地，若 h l n - + 。 ( 砷存在，贝4l 血。 ( ) f m ( 甸 定理3 3 5 设，是一模糊值函数，廖，则 ( 1 ) 如果，e f 丽( 自，蟊c 亩。且岛，则，痢( 咸) ； ( 2 ) 当豆= u 墨l 意i ，营i ，u = 1 ，2 ，- - ) 时，j i 蔚( 豆) 的 充分必要条件是，n 墨l f m ( b ) 证明：( 1 ) v ( o ，1 】 口( 一t + o 。) ， 我们有日n x k 。= 目n ( e n x k 。) ，和毋n x 鼍。2 磊n ( 雪n 砖一) ，因此巧f m ( 宣) ；同理贯e f m ( 岛) ，于是，厨( 扇) ( 2 ) “辛。由( 1 ) 显然 “乍。v a ( o ，1 ，。( 一，+ 。o ) ，我们有砉n x 曩。= ( u 墨l 衷) n k 。= u 墨1 ( 毫n x 。) ，同样雪n 辱一，因此荭f m ( 甸；同理对e f m ( 雪) 于是，f 砑( 宙) 由定理8 , 3 2 、命题3 3 3 及模糊距离的定义可得： 命题3 3 6 设，丽i ( 意) ，则 ( 1 ) 对于任何的a p ( 兄) ，a 0 或a 50 。如果a ，有意义， 则6 ，f m ( e ) ； ( 2 ) 如果，+ 有意义，则，+ i f m ( 奶； ( 3 ) n l a 犀( ，互) f m ( e ) ，m i n ( ，奇) ef m ( e ) ； ( 4 ) ( 勘f m ( e ) 注3 3 7 ( 1 ) 中的a 0 或a s0 可以去掉，事实上还有下面更般的结论 命题3 3 8 设，口厨( 雪) 。若 ( # ) = ( ，) ( ) 皇，( z ) i 有意义，则元j j 膏( 甸 模糊值模糊可测函数 证明：v e ( 0 ，l 】，ne ( 一，+ 。) ，由于 因此 ( ) ) i = 血n 反( $ o ) - g i - ( = o ) ，臂) 9 ) ，荭) 或) ，对( z o ) 妖) ， t z ：h i a ) = 霉：f i - 9 i 口) n z ：对或芝n ) n z ：荭对口) n g ：对g i - n ) 由疗，对，妖，g 的可测性及定理3 3 2 ，命题3 3 - 3 知亩n x k k 。，且亩n x i ， ： 。 ，即 k e f m 旧) 同理蚊e f m ( 自，于是 ( z ) = ( ，口) ( z ) 皇，( 2 ) ( z ) e j 面( 亩) 定义3 3 。9 5 j 设五：x - + 尸( 冗) 弗= o ，1 ，2 ，如果对于任何2 e 曰c x ，有 五( ) 2 s n u p l 五( z ) ( 矗( z ) 2 甚五( 。) ) 则称，0 为 ，扎) 的上确界( 下确界) ，记为 扣s 。u p 。 ( 0 2 疆五) 如果对于任何z e c x ，有 五( 甸= ( p ) 面k + 。五( z ) ( 五( 甸= ( f ) 量马，_ + 。五( ) ) 刚称五为 五 的上极限( 下极限) ，记为 五= ( f ) 面酩- + 。，( o = ( f ) h 自。五) 定理3 3 1 0 设 五) c j 砑( 廖) ，如果 s 。u p 1 ，。m f 1 五，( 国面n - * 五，( 动篁望。+ 。五 存在，则它们雪都是上模糊可测函数 证明：我们只证s u p n 1 五可测，其他类似证明记，= s u p 。l 五，则va 【0 ，1 口( 一o o ，+ o o ) ，有 $ ，臂0 ) 口) = u ，o ；0 1 扣，： 0 ) a e ， 于是 雪n x 磁。= u ( 应n x 。，e ( 。) 。) ) ， 东南大学硕士论文 并且 亩n ) ( 。= n ( 啻n x i ；，t ，( 。) ! 。) ) 芦 所以对f m ( 富) ；同理，疗f m ( e ) 因此，= s l l p 。 1 五厨( 廖) 定义3 3 1 1 【5 设五：x - ，+ ( 冗) ，n = 0 ，1 ，2 ， ( 1 ) 我们说 五 在点$ x 依模糊距离口收敛于五，记为 1 4 ( p ) 撬五( z ) = ，0 ( 功， 如果对于任意给定的e 0 ，存在正整数n = ( ，z ) 0 使得当n 2 n 时， f ( 五( z ) ，五( ) ) 0 ，存在正整 数n = ( ) o 使得当n n 时对于任何口a 成立 p ( 五0 ) ，五( z ) ) o ) 上处处成立，则称p 在上处处成立； ( 2 ) 如果存在d c x 且a n x d ，及p ( a n x d ) = 0 使得p 在a n x 毛上处处成立，则称p 在 a 上几乎处处成立 定义4 1 3 设( x ，是一模糊数值模糊测度空间，五，且 厶) cf 砑( 五) ，f 砺( 五) ， 如果对于任意给定的 o ，存在fcx 且五n ，a n 婚，使得p ( 五n x f ) 不收敛于，( 妨的点z 所戚的集合于是 = 。- i - ：o o ，。- - ：o od ；一。o 。o 霉ex ：p ( 五( z ) ，苁z ) ) 磊1 d un u 1 ) = ( 五( ) ，苁z ) ) 磊 m = 1 t = = n 、 因为 五在上几乎处处收敛于， 所以存在e c x ，五n 加，且 使得 在a n x 备上处处收敛于， p ( a f l x 目) = o 东南大学硕士论文 1 6 但由于d c 是使得 厶) 收敛到7 的所有点的集合 所以( s u p p a ) n e 8cd 。，于是( m l p p 五) 。u e3 口，因此 一 a n ( ：p p u x e ) ) a n x d 这即是j n x 冒) 4 n x d 于是芦( 五n x d ) = o 定理4 1 5 ( e g o r 。硼设( x ，只曲是一模糊数值模糊测度空间， 五， 五，c 厨( 五) ， f 丽( 五) ，若p 强序连续且具有性质( s ) ， 五) 在五上几乎处处收敛于五剐 五) 在五上几乎致收敛 予， 证明：设d 表示所有使得 五( 。) l 不收敛于，( z ) 的点。所成的集合，由于 五) 在_ 上几乎处 处收敛于，所以由定理4 1 4 可知p ( 1 n x d ) = 0 ，且 4 在附p p j n d 。上处处收敛于，记 刺：签nkx 积狲翮) 孙排耍蒯 f “) = z ，f ( 五( 。) ，( z ) ) n 0 ，使得p ( 五n x 砖) 示1 因此 i 甄p ( a n x 口) 。0 于是由p 具有性质( s ) 可知。存在 n x ：= ( 。) 的子列似n x ；，使得 + n 饥+ n m 蜓】竖( 五n x 巍，) ) = o b l j 2 i 叉由于 4 + 0 0 + 望n x 蕊，) 、川nu ：。( j n x 因此由“的强序连续性有 + 。 熙p 竖抽x 砜】) ) 刈 可测函数序列的收敛性定理 于是v 8 ，j k 芝1 ，使得p ( u 兰基( 五n x ：( 。，) ) ) 岛注意到 垒( a n 确扣a n x ( n 箴成孓 j = o 。 若令屋= ( 啊q - ：s h o 砖2 ) 。，则卢( 五n x 岛) 下证 厶) 在五n x 包即在s u p p , i n 晋上一致收敛于，由于 + 十，、 s u p p a n 霹。j n = k o 曼卜眦即如( 狲m ) ) 志j = ：h m 、 。7 因此对任意固定的j k s 蜥n 霹c 直 z e s u p p a , p ( n s u p p a 触确) 击 8 u p 磁n 霹c 五( z ) ，( 。) ) o ，取如o 使得去 6 ，于是对一切 2 n m ，。和z b u p p j 乏n 霹，有 p ( 五( 乩，( 圳( 去 6 此即 五 在s u p p 4 n 群于是在e n x 备上一致收敛于， 1 7 定理4 1 1 6 设( x ，p ) 是一模糊数值模糊测度空间，五只 五) cj 强i ( 五) ，丽( 五) ，若p 序连续且具有性质p g ，p ， 厶) 在五上几乎处处收敛于五则 五) 在五上几乎一致收敛于f 证明：由于 五) 在 上几乎处处收敛于，所以存在e c x ，五n x ee ，且p 口n x e ) = o ，使得 f 磊) 在五n x 缶上处处收敛于，即f 五) 在s u p p a n 曰。上处处收敛于，记 碟= 查( ze x ：觚( 破弛) ) 去 ，f ”= 堕昭 碟= n z x ：p ( 五( z ) ，弛) ) 去 ，f ”= u 昭 i = n 、 n = 1 则霸；f m ( vm ) ，由于f ，n ) 在s u p p 4 n e c 上处处收敛于，因此f “ s u p p - 4 n e 。，于是 x f m ) 五n x 备( v ，n ) 所以 ( 童n 赡) n x ；( 五n x 警) n x 夤m = 日( v r 哟 由i 的序连续性知 ( 刃撬p 【似n x 台) n x b 】= 0 所以v ，珥3 n m ( 霹结i + 1 ) ，使得 p ( 五n x 备) n x 】 0 ，使p ( 五) v l 睛) 再： p 积u 唐) 叉因为矗0 所以3 r o ，使札 d ，注意到p ( j 玉n x f ) = o 于是 p ( n x f ) u ( u ( ( 五n x 各) n x ；黑：) ) l e 注意到 ( a n x e ) u ( u ( 口n x 夤) n x 娩j ) ) 2 n x e ) u ( n 赡) n x 矗墨”。嘏) 2 a n ( x f u x 墨。+ ，霸：。) 。且n x 刚( f l y _ q + 。f ：- ，) c 因此，若记d 。= 启u ( n 墨。+ 1 豫) 。，则u ( a n x 皿) e ，且由于 a n 巍= a n 帅( n 墨小，碾) ca n x n 墨时，麟 和 五) 在 m p p 五n ( n 磁) = n 。n z s u p p - 4 ：p ( ( z ) ，( z ) ) 0 ，存在n l ，使得p ( 五n x “1 ) u d ) n 1 ) ，使p ( 囊n x 碟u 蝎，u d ) ；如此继续下去- 可得到一个集列 砖：) ：兰， 使 p ( a n x ( u ：= ，一：) u d ) e 令毋= v u m + o = 0 1 i r 。( m 机) ，则五n x 风，且p ( 五n x e 。) p ( 五n x 且u d ) s 下证 五) 在a n 包上一致收敛于，由于五n x 鼠j r ，因此只需证 厶 在s u p p ( a n x l ) = s u p p a n 上一致收敛于，由于 s u p p a n 霹= 芥芥f 。e 唧一： m = i 忙r h 、 p ( 五国) ，( 甸) 磊1 ) c 。芥 z e ：觚(乩纳)夏1supp41 ) ( v m ) c n z e ：卢( 五( $ ) ，氕z ) ) 夏 ( v m ) 扛n m 、 ， 于是，当i n m 时，v p n 霹，有烈五( 砷，a 功) 0 ，有 ( f ) 0 埘譬_ f i ( 五nx 。；f ( ( 。) ，( ；) ) 。) ) = 0 ， 则称 五，在五上依模糊值模糊测度收敛于， 注4 2 2 这个定义实际上就是文 5 】中的强依模糊值模糊测度收敛 命赶4 2 3 5 设，p ) 是一模糊效值模糊测度空间，五只( 五) c 厨( 1 ) ，赢污( ) ，如 果 五) 在a 上几乎一致收敛于，。则 五 在 上依模糊值模糊测度收敛于， 定理4 2 4 ( l e b e s g u e ) 设( x ，p ) 是模糊数值模糊测度空间且p 具有强序连续的性质。五， 五) c 厨( ) ，j 泐( i ) ，且 五在a 上几乎处处收敛于，则 五) 在互上依模糊值模糊测度 收敛于歹 证明：设d 是使 五) 不收敛于，的所有点组成的集合，则 d 2 型f = | u z x ；酗( m ，m ) ) # 示1 )1 l 由于 ，n ) 在五上几乎处处收敛于，。由定理4 1 4 # ( , 4 n x d ) ：0 记 砖“1 = u 。x ； p ) ( 五缸)